Теория графов и ее приложения

ТЕОРИЯ ГРАФОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
проф. О.М. Касим-Заде
1/2 года
1. Основные понятия. Графы неориентированные и ориентированные. Способы задания графов. Матрицы смежности и инцидентности графа. Понятие изоморфизма графов.
Понятия пути, цепи и цикла в графе. Связность графов. Компоненты связности графа.
2. Деревья и их простейшие свойства. Различные определения понятия дерева и их эквивалентность. Связь между числом вершин и ребер дерева. Понятие концевой (висячей)
вершины. Существование остовного дерева в связном графе.
3. Задача о построении кратчайшего остовного дерева в связном графе со взвешенными ребрами. Алгоритм построения кратчайших остовных деревьев.
4. Основные свойства матриц смежности и инцидентности графа. Связь между матрицами смежности и инцидентности. Матричная теорема о деревьях.
5. Число остовных деревьев графа. Подсчет числа деревьев на n нумерованных вершинах. Формула Кэли.
6. Вершинные раскраски графов. Хроматическое число. Бихроматические (двудольные) графы и их характеризация.
7. Простейшая оценка хроматического числа графа (хроматическое число не превосходит наибольшей из степеней вершин графа, увеличенной на единицу). Теорема Нордхауза-Гаддума.
8. Теорема Брукса.
9. Планарные графы. Формула Эйлера для плоских графов. Неравенства между числом
вершин и ребер планарного графа. Непланарность графов K5 и K 3,3 . Теорема о существовании в планарном графе по меньшей мере двух вершин степени не выше 5.
10. Вершинные раскраски планарных графов. Проблема четырех красок. Теорема о пяти красках для планарных графов.
11. Проблема Заранкевича. Числа Заранкевича k2 (n) (для графов) и z2 (n) (для двудольных графов и булевых матриц). Верхняя оценка числа z2 (n) . Нижняя оценка числа
Заранкевича z2 (n) на основе конструкции конечной аффинной плоскости над полем классов вычетов по простому модулю. Оценки числа k2 (n) .
12. Вентильные схемы. Матрица проводимости вентильной схемы. Сложность вентильной схемы. Теорема о минимальных вентильных схемах, реализующих булевы матрицы без "единичных" подматриц размера (2,2). Нижняя оценка вида n 3/ 2 для сложности
вентильных схем, реализующих булевы матрицы, связанные с конечной аффинной плоскостью.
Литература
1. Берж К. Теория графов и ее применения. М., ИЛ, 1962.
2. Зыков А.А. Теория конечных графов, I. Новосибирск, Наука, 1969.
3. Кристофидес К. Теория графов (алгоритмический подход). М., Мир, 1978.
4. Оре О. Теория графов. М., Наука, 1968.
5. Свами М., Тхуласираман К. Графы, цепи и алгоритмы. М., Мир, 1984.
6. Харари Ф. Теория графов. М., Мир, 1973.
7. Эрдеш П., Спенсер Дж. Вероятностные методы в комбинаторике. М., Мир, 1976.
8. Уилсон Р. Введение в теорию графов. М., Мир, 1977.
9. Нечипорук Э.И. Об одной булевской матрице. В сб.: “Проблемы кибернетики”,
вып. 21. С. 237-240. М., Наука, 1969.