РП Дискретная Математика ПИ - Институт управления, бизнеса

ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ, БИЗНЕСА И ПРАВА
УТВЕРЖДАЮ:
Проректор по науке и качеству образования
________________ Ю. В. Дашко
_________________ 2010г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
ОПД. 04
(индекс)
«Дискретная математика»
(наименование)
СПЕЦИАЛЬНОСТЬ(И)
080802.51
Прикладная информатика (по отраслям)
(шифр)
(наименование)
СПЕЦИАЛИЗАЦИЯ(И)
нет
(шифр)
(наименование)
Образовательный проект
КОЛЛЕДЖ
Информационные технологии
кафедры
(код)
(наименование)
ПЛАНОВЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ
Всего часов на освоение учебного материала
(по ГОС/по Учебному плану)
Часов аудиторных занятий всего
Часов лекций
с разбивкой по семестрам (курсам)
Часов практических занятий
с разбивкой по семестрам (курсам)
Часов самостоятельной работы
Число контрольных работ
с разбивкой по семестрам (курсам)
Число курсовых работ
с разбивкой по семестрам (курсам)
Число зачетов
с разбивкой по семестрам (курсам)
Число экзаменов
с разбивкой по семестрам (курсам)
Число кредитов
Число модулей
Очная форма
Заочная форма
90
-
70
20 (6 семестр)
20 (7 семестр)
14 (6 семестр)
16 (7 семестр)
20
1 (6 семестр)
-
-
-
-
1 (7 семестр)
-
-
-
АВТОР
Рабочей
программы
к.п.н., доц. Гурниковская Рената Юрьевна
(Ф.И.О., ученая степень, звание, должность)
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА СОСТАВЛЕНА НА ОСНОВАНИИ:
1. Государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования
___________
31 января 2004 года__________________________
(дата утверждения)
2. Типовой программы
3. Учебного плана
-________________________
(дата утверждения)
16.06.2007 года
(дата утверждения)
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ОБСУЖДАЛАСЬ И СОГЛАСОВАНА
КАФЕДРОЙ:
«Информационные технологии»
(наименование)
Протокол заседания кафедры № 1
УМС по экономике и управлению
Строцев А.А.
(подпись зав. каф)
от 30.08.2010
(наименование)
(подпись председателя УМС)
Протокол УМС № 1
от 31.08.2010
(Ф.И.О.)
Киянова Л.Д.
(Ф.И.О.)
2
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
 Целью курса для студента- изучить основы теории множеств, комбинаторики,
алгебры логики, теории графов.
 Задачами курса являются: закрепление умений оперировать над аппаратом
теории множеств, в том числе с отношениями и функциями; распознавать различные комбинаторные конфигурации и подсчитывать их число; осуществлять
элементарные операции над графами; использовать основные законы алгебры
логики для преобразования логических функций, в том числе их минимизация.
2 Требования к уровню усвоения дисциплины
В результате изучения дисциплины студент должен:
иметь представление:
·
о значении и областях применения данной дисциплины;
о теоретико-множественном построении разделов дискретной математики:
алгебры логики, комбинаторики, теории графов.
знать:
·
о круге задач дискретной математики и их применении в других курсах и
практических задачах;
·
аппарат формул логики и теорию булевых функций, логические операции,
формулы логики, законы алгебры логики; понятие функции алгебры логики,
представление функции в совершенных нормальных формах;
·
·
основы теории множеств; теоретико-множественные операции и их связь с
логическими операциями;
·
логика предикатов, бинарные отношения и их виды;
·
элементы теории отображений и алгебры подстановок;
·
основы алгебры вычетов и их приложение к простейшим криптографическим
шифрам;
·
алгоритмическое перечисление основных комбинаторных объектов;
·
элементы теории автоматов;
3
·
способы минимизации логической схемотехники;
·
основы алгебры вычетов;
·
методологию шифрования;
·
метод математической индукции;
·
основные формулы комбинаторики;
·
основные понятия теории графов, характеристики графов, эйлеровы и гамильтоновы графы, плоские графы, деревья, ориентированные графы, бинарные деревья;
·
элементы теории автоматов
уметь:
·выполнять операции над множествами, применять аппарат теории множеств
для решения задач;
·строить таблицы истинности для формул логики и упрощать формулы логики;
·представлять булевы функции в виде форму заданного типа, определять
возможность выражения одних булевых функций через другие;
·исследовать бинарные отношения на заданные свойства;
выполнять операции в алгебре вычетов;
·применять простейшие шифры для шифрования текстов;
·доказывать утверждения с помощью метода математической индукции;
·генерировать основные комбинаторные объекты;
·находить характеристики графов, выделять структурные особенности графов, исследовать графы на заданные свойства, применять аппарат теории графов
для решения прикладных задач;
·строить автоматы с заданными свойствами.
4
3 АУДИТОРНАЯ РАБОТА
3.1. Лекции
№
Тема занятия
Краткое содержание
Кол-во часов
О
Высказывания. Истинность высказываний. Некоторые логические
операции над высказываниями: отрицание, дизъюнкция, конъюнкция,
импликация, эквивалентность. Таблицы истинности, свойства.
1
1
2
Операции
“Штрих
Шеффера”,
“Символ Лукасевича”. Связь между
логическими операциями. Булевские
операции. Применение алгебры высказываний для анализа контактных
схем.
2
3
Логическая переменная и логическая формула. Логические операции.
Формулы логики, законы алгебры
логики. Равенство логических формул. Двойственные формулы. Понятие функции алгебры логики, представление функции в совершенных
нормальных
формах
(СДНФ,
СКНФ), многочлен Жегалкина; основные классы функций, полнота
множества функций. Теорема Поста.
Теоремы о тождественной истинности и тождественной ложности логической формулы. Логическое
следствие.
Высказывания. Истинность высказываний. Некоторые логические
операции над высказываниями: отрицание, дизъюнкция, конъюнкция,
импликация, эквивалентность. Таблицы истинности, свойства.
2
Операции
“Штрих
Шеффера”,
“Символ Лукасевича”. Связь между
логическими операциями. Булевские
операции. Применение алгебры высказываний для анализа контактных
схем.
2
1
4
5
Алгебра высказываний
З
С
5
№
Тема занятия
Краткое содержание
Кол-во часов
О
2
6
Логическая переменная и логическая формула. Формулы логики, законы алгебры логики. Равенство логических формул. Двойственные
формулы. Понятие функции алгебры
логики, представление функции в
совершенных нормальных формах
(ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ) многочлен Жегалкина; основные классы
функций, полнота множества функций. Теоремы о тождественной истинности и тождественной ложности логической формулы. Логическое следствие. Теорема Поста.
2
7
Основные понятия теории множеств. Множество, равенство множеств. Пустое множество, его единственность.
Теоретикомножественные операции и их связь
с логическими операциями. Мощность множества. Множества конечные, счетные. Теорема Кантора.
Операции над множествами: объединение, пересечение, разность,
симметрическая разность, абсолютное дополнение. Свойства. основные понятия теории множеств, теоретико-множественные операции и
их связь с логическими операциями;
логика предикатов, бинарные отношения и их виды.
2
8
Прямое произведение множеств,
свойства, примеры. Проектирование
множеств. Инверсия множеств.
Композиция множеств. Покрытие и
разбиение множеств. Предикаты,
операции над ними.
2
9
Понятие соответствия, способы задания соответствий. Операции над
соответствиями. Образ и прообраз
множества при данном соответствии. Сужение и продолжение соответствий. Функция.
Отношения. Понятие отношения и
способы задания. Операции над отношениями. Основные свойства от-
2
10
Элементы теории множеств
Соответствия
З
С
6
№
Тема занятия
Краткое содержание
Кол-во часов
О
З
С
ношений: рефлексивность, симметричность, транзитивность, связанность. Отношения эквивалентности,
толерантности, порядка, квазипорядка, связь с разбиением и покрытием множества.
11
12
Элементы теории графов
Элементы теории графов
(продолжение)
Определение и способы задания
графов. Основные понятия теории
графов, характеристики графов, эйлеровы и гамильтоновы графы,
плоские графы, деревья, ориентированные графы, бинарные деревья;
Историческая справка. Граф как абстрактное математическое понятие.
Вершины, ребра, дуги. Понятие инцидентности. Неориентированные и
ориентированные графы (орграфы).
Смешанные графы. Понятие изоморфности графов. О- графы и полные графы. Петля. Обратный граф.
Плоский граф.
2
Графы и отношения. Виды графов и
классы отношений. Мультиграф и
псевдограф.Конечный и бесконечный граф. Локальная степень графа.
Теорема о вычислении вершин нечетной степени в графе. Однородные графы. Части графа. Подграфы
Звездный граф. Дополнение графа.
Покрывающий суграф графа. Основные операции над графами: объединение, соединение, произведение
композиция графов. Бинарные отношения на графах.
2
Пути в графах. Маршрут. Цепь.
Простая цепь. Начальная и конечная
вершины. Нетривиальный маршрут
(цикл). Пути и контуры. Связность
графа. Компоненты связности. Число ребер в связном графе и полном
графе. Разъединяющее множество
связного графа. Разрезы. Мост (перешеек).
13
Элементы теории графов
(продолжение)
Матрицы графов и их свойства.
Матрица смежности. Линейный
подграф орграфа. Остовной под-
2
7
№
Тема занятия
Краткое содержание
Кол-во часов
О
З
С
граф. Матрица инцинденций. Теорема о связи матрицы смежности и
матрицы инцинденций для реберного графа
2
Элементы теории графов
(продолжение)
Основные циклы в графах. Эйлеров
и Гамильтонов циклы в графе. Полуэйлеров и полугамильтонов циклы. Теоремы о существовании Эйлерова цикла в графе. Алгоритм построения Эйлеровой цепи В Эйлеровом графе (алгоритм Флери). Теорема Дирока о существовании Гамильтонова цикла в графе. Задачи
нахождения Эйлерова цикла в графе. Связи между Эйлеровым и Гамильтоновым циклами в графе. Задача о коммивояжере. Матрица циклов в графе.
2
Элементы теории графов
(продолжение)
Деревья и их свойства. Деревья,
остовы, леса. Ранг и цикломатическое число. Базисные циклы. Разрезающие множества. Разрез. Построение всех остовных деревьев грвфа.
2
Элементы теории графов
(продолжение)
Кратчайшие пути в графе. Вес дуги.
Задачи о кратчайших путях в графе.
Кратчайший путь между двумя заданными вершинами. Алгоритм
Дейкстры нахождения кратчайшего
пути в графе.
1
Элементы теории графов
(продолжение)
Кратчайшее остовное дерево в графе. Алгоритм Краскала. Алгоритм
Дейкстры.
Алгоритм
ПримаДейкстры.
1
Элементы теории графов
(продолжение)
Нахождение критического пути в
графе. Критические работы. Критический путь. Алгоритм нахождения
критического пути в графе.
1
19
Элементы теории потоков
Потоки в сетях. Задача о нахождении максимального потока в графе.
Максимальный поток между каждой
парой вершин. Поток минимальной
стоимости от источника к стоку. Алгоритм Форда-Фалкерсона.
20
Элементы теории графов
Раскраски. Хроматическое число.
1
14
15
16
17
18
8
№
Тема занятия
Кол-во часов
Краткое содержание
О
(продолжение)
21
22
23
С
Алгоритмы раскраски (точные и
приближнные). Реберные и вершиные покрытия. Хроматические полиномы. Проблема четырех красок.
2
Элементы теории графов
(продолжение)
Основные задачи теории графов. Задача о покрытии. Максимальное паросочетание. Внутренние и внешнеустойччивые множества вершин.
Опора. Клика. Формулировка задач
теории графов в терминах целочисленного линейного программирования. Алгоритм решения задачи
ЦЛП.
2
Комбинаторика
Основные правила комбинаторики.
Теоретико-множественное произведение. Понятие – выборки. Размещение Перестановки. Сочетания.
Упорядоченные и неупорядоченные
– выборки. Пересчет. Пересечение.
Классификация. Оптимизация.
Элементы теории отображений и
алгебры подстановок; основы алгебры вычетов и их приложение к простейшим криптографическим шифрам; метод математической индукции; алгоритмическое перечисление
основных комбинаторных объектов.
2
Комбинаторика
(продолжение)
З
Элементы теории автоматов.
Всего:
40
3.2. Практические занятия
№
Тема занятия
Краткое содержание
Кол-во часов
О
1
2
Алгебра высказываний
Высказывания, операции над высказываниям, таблицы истинности для
высказываний.
1
Булевские операции. Применение
логических операций для анализа
контактных схем.
2
З
С
9
№
Тема занятия
Краткое содержание
Кол-во часов
О
Приведение логической формулы к
СДНФ, СКНФ.
2
Множество, способы задания множеств. Операции над множествами,
свойства.
2
Проектирование множеств, свойства
1
Способы задания соответствий.
Операции над соответствиями.
2
1
7
Отношения, способы задания отношений, операции над отношениями.
2
8
Основные свойства отношений. Отношения эквивалентности, толерантности, порядка.
2
9
Построение графов различных видов (неориентированные, ориентированные). Изоморфные графы. Получение обратных графов. Степени
вершины.
2
10
Построение частей графа, подграфа,
дополнений графа, остовных подграфов, порожденных подграфов.
Решение задач на основные операции над графами.
1
11
Нахождение путей в графах, разрезов.
2
12
Построение графов по матрицам
смежности и инцендентности. Задача построения реберных графов.
1
13
Решение задач на нахождение Эйлеровых и гамильтоновых циклов в
графе. Построение матрицы циклов
графа.
2
14
Построение остовных деревьев и
разрезов в графе. Использование алгоритма Дейкстры.
2
16
Решение задач нахождения критического (длиннейшего) пути в графе
3
4
Элементы теории множеств
5
6
Соответствия
Элементы теории графов
З
С
10
№
Тема занятия
Кол-во часов
Краткое содержание
О
1
17
Нахождение максимального потока
с помощью алгоритма ФордаФалкерсона.
2
18
Нахождение хроматического числа в
графе, построение хроматических
полиномов при решении задачи о
раскраске. Самостоятельная работа.
1
19
Решение задач теории графов,
сформулированных в виде задачи
целочисленного линейного программирования с булевыми переменными.
Всего:
20
4
№
1
2
Краткое содержание/
Деятельность студента.
Решая задачи, студент:
Тема занятия
Операции над множествами. 
Доказательство
известных
тождеств.

Операции над множествами. 
Доказательство тождеств.


3
Отношения и функции
4
6
С
30
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТА
Решение систем уравнения.
5
З


Отношения и функции

Специальные бинарные от- 
ношения
использует определения операций над множествами;
выбирает способ доказательства
тождеств.
использует знания, полученные
на первом занятии и самостоятельно доказывает тождества.
учиться решать системы уравнений относительно множеств;
совместно с преподавателем разрабатывает методику решения
таких задач.
использует определения, отношения и функции;
решает совместно с преподавателем соответствующие задачи.
закрепляет навыки, полученные
на предыдущем занятии.
использует практически такие
понятия как «эквивалентность»,
«частичный порядок на А», «линейный порядок на А», «моно-
Кол-во часов
О
З
С
1
1
2
1
1
2
11
тонное отображение».

Таблицы истинности

7

Совершенные ДНФ и КНФ

8

9
Минимизация булевых функ- 
ций.

Правила суммы и произведе- 
ния. Типы расстановок.

10


Типы расстановок.
11
12
13
Формула включений и ис- 
ключений. Круги Эйлера.
Способы задания графов. 
Операции над графами.

учится строить таблицы истинности;
определяет существенные и
фиктивные переменные;
определяет двойственные функции.
строит СДНФ и СКНФ, используя таблицу истинности и эквивалентные преобразования;
учится переходить от одних
форм к другим.
использует карту Карно для получения сокращенной ДНФ;
использует таблицу Квайна для
получения МДНФ.
учится различать различные типы расстановок, их отличие друг
от друга;
решает задачи на типы расстановок;
устанавливает роль правил
суммы и произведения для анализа этих расстановок.
использует полученные ранее
знания для решения конкретных
задач.
использует полученные ранее
знания для решения более сложных задач.
формирует графы различных
типов;
производит над ними соответствующие операции.
Всего:
20
5
2
2
2
2
2
1
1
30
ТЕМЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ:
«Индукция и комбинаторика»
Краткое содержание: Метод математической индукции. Индукция по структуре
объекта. Комбинаторика: число размещений, перестановок и сочетаний. Принцип
включения и исключения .
«Булевы функции и их представления»
Краткое содержание: Класс Pn булевых функций от n переменных. Геометрическое представление булевых функций. Задание булевых функций с помощью таб12
лиц. Булевы функции от 1-ой и 2-х переменных. булевы (логические) формулы.
Решение задач логики высказываний с помощью булевых формул и функций
«Эквивалентность формул и нормальные формы»
Краткое содержание: Эквивалентность булевых формул. Основные эквивалентности (законы логики). Эквивалентные преобразования формул. Принцип замены
эквивалентных. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы (ДНФ и
КНФ). Совершенные ДНФ и КНФ. Сокращенные ДНФ и их построение методом
Блейка. Многочлены Жегалкина и их построение с помощью эквивалентных преобразований формул и методом неопределенных коэффициентов по таблицам
«Полные системы функций и теорема Поста»
Краткое содержание: Замкнутые классы функций. Полные системы булевых
функций. Замкнутость классов функций, сохраняющих 0, функций, сохраняющих
1, самодвойственных функций, монотонных функций и линейных функций. Критерий полноты системы булевых функций (теорема Поста)
«Хорновские формулы и задача получения продукции»
Краткое содержание: Хорновские формулы. Задача получения продукции. Связь
между задачей о следствии для Хорновских формул и разрешимостью задачи о
продукции. Эффективные алгоритмы прямого поиска (поиска от данных) для решения задачи о продукции
«Язык логики предикатов»
Краткое содержание: Объекты, их свойства, отношения между объектами и
функции. Утверждения о свойствах объектов и отношениях между ними. Предикаты. Синтаксис логики предикатов. Семантика логики предикатов: системы, состояния и значения формул на состояниях
«Логика предикатов и базы данных»
Краткое содержание: Реляционные базы данных. Схемы отношений и предикаты. Реляционная алгебра и представление ее выражений формулами логики предикатов. Язык запросов SQL и его связь с логикой предикатов. Ограничения целостности: ограничения на ключи, ограничения на ссылки и ограничения на значения атрибутов
«Графы: представления, достижимость и связность»
13
Краткое содержание: Ориентированные и неориентированные графы. Представление графа с помощью матрицы смежности, матрицы инцидентности и списов
смежности. Граф достижимости (транзитивного замыкания). Отношение взаимной достижимости, компоненты сильной связности и базы ориентированного
графа
«Деревья»
Краткое содержание: Неориентированные и ориентированные деревья. Эквивалентность разных определений деревьев. Деревья и формулы (выражения). Обходы деревьев .
«Три алгоритма на графах»
Краткое содержание: Построение минимального остова графа: алгоритм
Крускала. Задача о лабиринте и поиск в глубину на неориентированном графе.
6
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Основная литература
Перечень литературы
1.
Алексеев В.Е., Таланов В.А.Графы и алгоритмы. Структуры данных. Модели вычислений БИНОМ. Лаборатория знаний, Интернет-университет информационных технологий ИНТУИТ.ру, 2006
2.
Костюкова Н.И.Графы и их применение. Комбинаторные алгоритмы для программистов БИНОМ. Лаборатория знаний, Интернет-университет информационных технологий ИНТУИТ.ру, 2007.
3.
Дехтярь М.И.Лекции по дискретной математике .БИНОМ. Лаборатория знаний, Интернет-университет информационных технологий - ИНТУИТ.ру, 2007.
Дополнительная литература
Перечень литературы
1.
Алексеев В.Е., Таланов В.А.Графы и алгоритмы. Структуры данных. Модели вычислений БИНОМ. Лаборатория знаний, Интернет-университет информационных технологий ИНТУИТ.ру, 2006.
2.
Костюкова Н.И.Графы и их применение. Комбинаторные алгоритмы для программистов. БИНОМ. Лаборатория знаний, Интернет-университет информационных технологий ИНТУИТ.ру, 2007.
14
7. ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ (УМК, компьютерные
программы, электронные учебники, интернет-ресурсы).
№
п/п
1
2
Перечень программ
Mathcad Professional
www.exponenta.ru
15
8. БЛАНК ИЗМЕНЕНИЙ
2-й учебный год (______/______) действия рабочей программы
Протокол № ___ от «___» ____ ______ г.
Протокол № ___ от «___» ____ ______ г.
Зав кафедрой
Председатель УМС
3-й учебный год (______/______) действия рабочей программы
Протокол № ___ от «___» ____ ______ г. Зав кафедрой
Протокол № ___ от «___» ____ ______ г. Председатель УМС
4-й учебный год (______/______) действия рабочей программы
Протокол № ___ от «___» ____ ______ г. Зав кафедрой
Протокол № ___ от «___» ____ ______ г. Председатель УМС
5-й учебный год (______/______) действия рабочей программы
Протокол № ___ от «___» ____ ______ г.
Протокол № ___ от «___» ____ ______ г.
Зав кафедрой
Председатель УМС
16