Пример 1 Решить дифференциальное уравнение . Решение. Нетрудно заметить, что многочлены P(x,y) и Q(x,y), соответственно, при dx и dy, являются однородн функциями первого порядка. Поэтому, данное дифференциальное уравнение также будет однородн Положим y = ux, где u − некоторая новая функция, зависящая от x. Тогда Подставляя это в дифференциальное уравнение, получаем Следовательно, Разделим обе части уравнения на x: Выполняя деление x, мы могли потерять решение x = 0. Прямая подстановка показывает, что x = 0действительно является одним из решений нашего уравнения. Интегрируем последнее выражение: где C − постоянная интегрирования. Возвращаясь к старой переменной y, можно записать: Таким образом, уравнение имеет два решения: Пример 2 Решить дифференциальное уравнение . Решение. Заметим, что корень x = 0 не принадлежит области определения заданного дифференциального ура Перепишем уравнение в следующей форме: Как видно, уравнение является однородным. Сделаем замену y = ux. Следовательно, Подставляем полученное выражение в дифференциальное уравнение: Разделим обе части на x ≠ 0: В результате мы получаем уравнение с разделяющимися переменными: На следующем шаге проинтегрируем левую и правую части уравнения: Следовательно, Постоянную C здесь можно записать как ln C1 (C1 > 0). Тогда Таким образом, мы получили два решения: Если C1 = 0, то ответом является функция y = xe. Легко убедиться, что эта функция будет также и р дифференциального уравнения. В самом деле, подставляя в дифференциальное уравнение, находим: Таким образом, все решения дифференциального уравнения можно представить одной формулой: где C − произвольное действительное число.