Занятие 11 Дифференциальные уравнения первого порядка 11.1 Основные понятия Обыкновенным дифференциальным уравнением называется соотношение F (x, y, y , y , . . . , y (n) ) = 0, связывающее независимую переменную x, функцию y = y(x) и её производные y , y , . . . , y (n) . Порядок старшей производной n, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Прилагательное "обыкновенный"означает, что рассматриваются функции y(x) одной переменной, и мы его в дальнейшем будем опускать. Более того, мы часто будем опускать прилагательное "дифференциальное". Дифференциальное уравнение y (n) = f (x, y, y , y , . . . , y (n−1) ) называется дифференциальным уравнением порядка n, разрешенным относительно старшей производной. 80 Решением дифференциального уравнения называется функция y = ϕ(x), при подстановки которой в уравнение получается тождество. Решить уравнение это значит найти все его решения. Решение уравнения часто получается в виде функции, заданной неявно уравнением Φ(x, y) = 0. Решения уравнения иногда называют его интегралами. Задача 11.1. Проверить, что указанные функции являются решениями данных уравнений: 2 2 a) y = ex+x + 2ex , y − y = 2xex+x ; b) y = sin x + x, (y )2 + (y )2 = 1. Дифференциальное уравнение имеет бесконечно много решений. Множество всех его решений называется общим решением. Как следует из теоремы Коши, общее решение дифференциального уравнения порядка n зависит от n произвольных постоянных. Общим решением мы будем называть семейство функций y = ϕ(x, C1 , . . . , Cn ), зависящих от n произвольных постоянных C 1 , . . . , Cn такое, что: ) i) при любых значениях постоянных C10 , . . . , Cn (из некоторой области) функции y = ϕ(x, C10 , . . . , Cn0 ) являются решениями уравнения; ii) (почти) любое решение уравнения получается в таком виде при некоторых значениях постоянных. Отметим, что число произвольных постоянных равно порядку уравнения. Пример. Простейшим дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y = f (x). Решение этого уравнения — это любая первообразная функции f (x). Общее решение — это множество всех первообразных, т.е. неопределенный интеграл. Таким образом, общее решение про стейшего уравнения имеет вид y = f (x)dx = F (x)+C, где F (x) — одна из первообразных, а C — произвольная постоянная. 81 Дифференциальное уравнение первого порядка записывается следующим образом: F (x, y, y ) = 0 . Дифференциальное уравнение первого порядка разрешенное относительно производной имеет вид y = f (x, y) . (1) dy , мы можем записать уравнение (1) в виде: Подставляя y = yx f (x, y)dx − dy = 0. Более симметричным образом: M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0. (1 ) Это — дифференциальное уравнение первого порядка разрешенное относительно производной в дифференциальном виде. 11.2 Уравнения с разделяющимися переменными Уравнение (1) называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными, если функция f (x, y) = f1 (x)f2 (y) является произведением функции, зависящей только от x, и функции, зависящей только от y, т.е. если оно имеет вид y = f1 (x)f2 (y). Дифференциальное уравнение (1 ) является уравнением с разделяющимися переменными, если оно имеет вид: M1 (x)N1 (y)dx + M2 (x)N2 (y)dy = 0. (2) Решение уравнения с разделяющимися переменными состоит dy , мы можем записать уравнев следующем. Подставляя y = dx ние в дифференциальном виде (2). Затем мы разделяем пере82 менные, т.е. делаем так, чтобы x содержалось только в одной части уравнения, а y — только в другой: переносим второе слагаемое направо M1 (x)N1 (y)dx = −M2 (x)N2 (y)dy и делим на M2 (x)N1 (y). Получаем уравнение с разделенными переменными M1 (x) N2 (y) dx = − dy. M2 (x) N1 (y) Интегрируя это уравнение, т.е. приравнивая интегралы от левой и правой части, получим общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: N2 (y) M1 (x) dx = − dy. M2 (x) N1 (y) При вычислении неопределенных интегралов мы учитывает произвольную постоянную только в одном из них. Обычно получается общее решение, заданное неявно, и практически y не удается выразить через x. Задача 11.2. Решить дифференциальное уравнение: a) y = 1 + x2 + y 2 + x2 y 2 ; b) (x − y 2 x) + (y − x2 y)y = 0; c) (xy 2 − x)dx + (y + xy)dy = 0 ; d) (1 + y 2 )(e2x dx − ey dy) − (1 + y)dy = 0. ♥ a) Правая часть уравнения разлагается на множители: dy 1+x2 +y 2 +x2 y 2 = (1+x2 )(1+y 2 ). Подставляя y = yx , получаем уравнение dy = (1 + x2 )(1 + y 2 ). dx Разделяя переменные, т.е. деля обе части уравнения на 1 + y 2 , и dy 2 умножая на dx, получаем уравнение 1+y 2 = (1+ x )dx. Интегри dy руя, получаем общее решение: 1+y2 = (1+x2 )dx, или arctg y = x + 13 x3 + C. Отсюда можем выразить y: y = tg(x + 13 x3 + C). ♠ 83 Ответ: a) y = tg(x + 13 x3 + C); b) x2 + y 2 = x2 y 2 + C; c) 12 ln |y 2 − 1| + x − ln |x + 1| = C; d) 2ey − e2x + 2 arctg y + ln (1 + y 2 ) = C. 11.3 Однородные дифференциальные уравнения первого порядка Определение однородного дифференциального уравнения первого порядка связано с понятием однородной функции. Функция f (x, y) называется однородной функцией степени k, если для любого λ имеет место тождество f (λx, λy) = λk f (x, y) , т.е. если при умножении x и y на одну и ту же постоянную λ функция умножается на λk . Если k = 0, т.е. f (λx, λy) = f (x, y), то функция называется просто однородной. Простейший пример однородной функции — это однородный многочлен, т.е. многочлен все члены которого имеею одну и ту же степень k. Задача 11.3. Проверить, что следующие функции являются однородными и найти их степень: a) f (x, y) = x3 − 5xy 2 + 7y 3 , b) f (x, y) = x3 + y 3 . ♥ a) f (λx, λy) = (λx)3 − 5(λx)(λy)2 + 7(λy)3 = λ3 (x3 − 5xy 2 + 7y 3 ) = λ3 f (x, y). ♠ Ответ: a) λ = 3; b) λ = 32 . При умножении (делении) двух однородных функций снова получается однородная функция степени равной сумме (разности) их степеней. Любую однородную функцию можно представить как функцию от отношения xy , f (x, y) = ϕ( xy ). Дифференциальное уравнение первого порядка y = f (x, y) называется однородным, если функция f (x, y) однородна. 84 Из свойств однородных функций следует, что однородное дифференциальное уравнение первого порядка может быть представлено в виде y (3) y = ϕ( ). x А если дифференциальное уравнение записано в дифференциальном виде (1 ), то оно является однородным, если M (x, y) и N (x, y) — однородные функции одной и той же степени. Метод решения. Замена xy = t , где t = y(x) x — новая неизвестная функция, сводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными. Задача 1.4 Решить дифференциальное уравнение: 2 2 2 2 2 a) 2x2 dy = (x + y )dx ; ; b) (x − xy + y )dy − (2y − xy)dx = 0 ; 2 2 c) xy = 3 x + y + y; d) x + y − (y − x)y = 0 ; dy dx e) y = xy + xy ; f ) 2x2 −2xy+2y 2 = y 2 −4xy . ♥a) Разделим обе части равенства на x 2 dx. Получим уравне 2 ние 2y = 1 + xy . Делая замену xy = t, получаем: 2xt + 2t = 1 + t2 , 2x dt 2dt dx = 1 − 2t + t2 = (t − 1)2 , . = 2 dx (t − 1) x Интегрируем полученное уравнение с разделёнными переменными и, заменяя t на xy , найдём общее решение: − 2 2 − 2x = ln x + ln C , − y = ln xC , Cx = e y−x . t−1 x −1 Замечание При разделении переменных мы делили на x и (u − 1)2 , что возможно при x = 0 и u − 1 = 0 . Легко проверить, что x = 0 и u = 1 (то есть y = x) являются также решениеми данного уравнения и они не входят в общее решение. Делим уравнение на x и получаем уравнение y = c) 3 y x y2 x2 + xy . Это однородное уравнение вида (3). Делая замену √ = t, откуда y = tx, y = t x + t, получаем: t x + t = 3 1 + t2 + t, 1+ 85 √ или t x = 3 1 + t2 . Это уравнение с разделяющимися пере√ dt dt , получаем dx x = 3 1 + t2 , или менными. Заменяя t = dx dt √ dt √ = 3dx = 3 dx x . Интегрируя, получаем x , откуда 1+t2 √ 1+t2 √ 2 t + 1 + t2 = Cx3 , ln |t + 1 + t | = 3 ln |x| ln C. Потенцируем: 2 делаем обратную замену t = xy : xy + 1 + xy 2 = Cx3 , и получаем общее решение дифференциального уравнения: y + x2 + y 2 = Cx3 . ♠ − 2x y−x ; b) (y − x)2 = Cy(y − 2x)3 ; c) y + Ответ: a) Cx = e 3 2 2 x + y = Cx ; d) x2 + 2xy − y 2 = C; e) y 2 = x2 ln Cx2 ; f ) 2y 3 − 3xy 2 + 6x2 y = C. Задача 1.5. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию √ a) y = 2 y ln x, y(e) = 1; b) y ctg x + y = 2, y(0) = −1; y c) y 2 + x2 y = xyy , y(3) = 4; d) xdy − ydx = 2xe− x dx, y(1) = 1. ♥a) Это дифференциальное уравнение с разделяющимися пременными. Сначала находим общее решение. Разделяя пере√ = ln xdx. Интегрируя, найдём общее ременные, получаем: 2dy y √ шение: y = x ln x + C или y = (x ln x + C)2 . Частное решение получим, если в общее решение подставим начальные условия x = e и y = 1. Тогда 1 = (e − e + C)2 , откуда C = 1. c) Это однородное дифференциальное уравнение первого порядка, Сначала общее решение. Разделив уравнение на y находим 2 y 2 x , получим x + y = x y . Делая замену xy = t, получаем dx t−1 dt = ⇒ t2 + xt + t = t(xt + t) ⇒ x(1 − t)t = −t ⇒ t x dx 1 dt = ⇒ t − ln t = ln x + C ⇒ t − ln t − ln x = C 1− t x y ⇒ t − ln tx = C ⇒ − ln y = C - общее решение. x Постоянную C определим из начальных условий: C = 43 − ln 4. Подставив C в общее решение, найдём искомое частное решение: 3y−4x y = 4e 3x . ♠ 86 Ответ: a) y = (x ln x + 1)2 ; b) y = 2 − cos x; c) y = 4e y d) e x − 2 ln |x| = e. 3y−4x 3x ; Контрольные вопросы 1. Что такое дифференциальное уравнение и что такое его решение? 2. Что значит решить дифференциальное уравнение? Что такое общее решение дифференциального уравнения? 3. Простейшее дифференциальное уравнение и его решение. 4. Как выглядит диффенциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, в дифференциальном виде? 5. Что такое дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися пременными? 6. Что такое однородная функция веса k? 7. Приведите три равносильные формы записи однородного дифференциального уравнения первого порядка. Как решаются такие уравнения? Дополнительные вопросы и задачи D1. Показать, что линейной заменой переменных дифференax+by+c циальное уравнение y = f a1 +b1 +c1 сводится к однородному дифференциальному уравнению. x+y−3 . D2. Решить дифференциальное уравнение y = −x+y+1 D3. Найти кривые, для которых угловой коэффициент касательной пропорционален ординате точки касания. D4. Найти кривые, для которых в каждой точке длина отрезка касательной равна длине отрезка, отсекаемого касательной на оси абсцисс. 87