Домашнее задание 2

Домашнее задание 2. «Подобие в геометрии»
1. Точка M расположена на стороне AD квадрата ABCD со стороной 1 так, что
AM : MD  1 : 2 . Через точку M проведена прямая так, что она делит квадрат на части,
площади которых относятся, как 3 : 5 . В каких точках прямая пересекает стороны
квадрата?
5
11
Ответ: прямая проходит через точку N  BC 1) BN 
2) BN 
12
12
2. В треугольнике ABC , у которого BC : AC  2 : 3 проведена медиана AM и биссектриса
CN , пересекающиеся в точке O . Найти отношение площади треугольника ANO к
площади треугольника ABC .
Ответ: S ANO : S ABC  9 : 40
3. На стороне AD квадрата ABCD расположена точка M так, что AM : MD  1: 2 .
Внутри квадрата расположен другой квадрат так, что одна из его вершин совпадает с
точкой M , а все другие лежат на сторонах квадрата ABCD . Найти отношение площадей
квадратов.
Ответ: 5 : 9
4. В кубе ABCDA1B1C1D1 на ребрах AA1 и CC1 расположены точки M и N
соответственно так, что AM : MA1  2 : 1 , CN : NC1  3 : 1 . Через точки M и N ,
параллельно ребру A1D1 проведена плоскость. Найти площадь сечения куба этой
плоскостью, если ребро куба равно 12 .
Ответ: 12 145
5. Биссектриса угла при вершине C параллелограмма ABCD пересекает прямую AB в
точке N такой, что AN : AB  1: 3 . Найти отношение площадей фигур, на которые
биссектриса разбивает параллелограмм.
Ответ: 1) случай 3 : 5 , 2) случай 1 : 2
6. Точка M делит гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC с катетами BC  8 и
CA  3 в отношении AM : MB  1 : 2 . Найти отношение радиусов окружностей, вписанных в
треугольники CAM и CMB .
Ответ: Ответ: BC  a, CA  b, AM : MB  p : q , c  a2  b2
73  125
p a( p  q)  qc  p 2 a 2  q 2b 2
r1 : r2 

144
q b( p  q)  pc  p 2 a 2  q 2b 2
7. Точка M расположена на диагонали B1D1 грани куба ABCDA1B1C1D1 со стороной 5
так, что B1M : MD1  3 : 2 . Найти площадь сечения куба плоскостью, проходящей через
точку M и перпендикулярной диагонали B1 D .
r1 : r2 
33 3
2
8. Через точки M и N , лежащие на стороне AB треугольника ABC проведены прямые,
параллельные основанию AC . Прямые разбивают треугольник на три части, площади которых,
считая от вершины B , относятся как 1 : 3 : 7 . Найти отношение длин отрезков BN : NM : MA .
Ответ: 1 : 1 : 11  2
9. В равнобочной трапеции ABCD диагонали AC и BD перпендикулярны боковым сторонам
CD и AB и образуют между собой угол 300 . Длина отрезка BN , где N - середина большего
основания, равна 1 . Найти длину средней линии трапеции.
2 3
Ответ: l 
2
10. Точка M делит сторону BC квадрата ABCD в отношении 1 : 2 , считая от
Ответ: S 


вершины B .Точка E делит сторону AB в отношении 1 : 3 , считая от вершины B . В
каком отношении прямая CE делит стороны треугольника AMD ?
Ответ: AM 2 : 9 , MD 1 : 6 , AD 3 : 4