МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ ФГБОУ ВПО ОрелГАУ

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
ФГБОУ ВПО ОрелГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240700 «Биотехнология», 1 курс (бак)
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
ФГБОУ ВПО ОрелГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240700 «Биотехнология», 1 курс (бак)
Зачетный билет № 1
Зачетный билет № 2
1. Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой: с угловым
коэффициентом. Примеры.
2. Определители, их свойства. Миноры и алгебраические дополнения.
Различные способы вычисления определителей. Примеры.
3. Решить систему линейных уравнений:
1. Уравнение прямой на плоскости: проходящей через две точки; в
отрезках на осях. Общее уравнение прямой. Частные случаи.
2. Решение n линейных уравнений с n неизвестными. Формулы
Крамера для решения системы двух линейных уравнений с двумя
неизвестными.
Исследование
СЛАУ
на
совместность
и
определённость с помощью определителей. Пример.
3. Решить систему линейных уравнений:
2 x  3 y  z  11

 x  y  z  0
3x
 2 z  3

4. Векторы
a и b составляют угол 450. Найти площадь
треугольника, построенного на векторах
a  2b
и
3 a  2 b , если a  b  5 .
2 x  y  3 z  6

 x  y  x  2
 2 y  7 z  1

4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах:
a  6 i  3 j  2k
и b  3i  2 j  6k .
5. Написать каноническое уравнение эллипса, проходящего через т.
М (5; 0), если фокальное расстояние с = 6, а центр эллипса - в начале
координат.
6. Написать уравнения сторон и найти углы треугольника с
вершинами A(0; 7), B(6; -1), C(2; 1).
7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
А(5; -4; 6) перпендикулярно оси Ox.
5. Написать уравнение плоскости, параллельной оси Oz и
проходящей через точки М1 (2; 2; 0) и М2 (4; 0; 0). Построить
плоскость.
6. Дан треугольник с вершинами A(2; -1), B(-7; 3), C(-1; -5). Написать
уравнения медианы AD и прямой AM, параллельной BC.
7. Для гиперболы 3x2-4y2=12 найти действительную и мнимую
полуоси; координаты фокусов; эксцентриситет; уравнения асимптот.
Зав. кафедрой
Зав. кафедрой
Преподаватель
Преподаватель
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
ФГБОУ ВПО ОрелГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240700 «Биотехнология», 1 курс(бак)
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
ФГБОУ ВПО ОрелГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240700 «Биотехнология», 1 курс(бак)
Зачетный билет № 3
Зачетный билет № 4
1. Угол между прямыми на плоскости. Условия параллельности и
перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.
2. Матрица. Основные понятия. Виды матриц. Действия над
матрицами (пять действий). Примеры.
3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
A(5; -4; 6) и отсекающей равные отрезки на координатных осях.
4. Дан треугольник с вершинами А (2; 6), В (4; -2), и С (-2; -6).
Написать уравнение прямой АЕ, перпендикулярной ВС.
5. Вычислить определитель:
3 1 1 2
1. Плоскость. Общее уравнение плоскости. Частные случаи.
Уравнение плоскости в отрезках. Пример.
2. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы. Теорема о
ранге матрицы. Пример.
3. Решить систему линейных уравнений:
0
4
7
1
1 1
2
4. Найти смешанное произведение векторов:
a  2i  j  k ; b  i  3 j  k ; c  i  j  4k .
1
1 3 2 1
6. Найти площадь треугольника с вершинами в точках А (6; 2; 0),
В (2; 0; 0) и С (8; 0; 0).
7. Даны точки M1(2; 3; 1), M2(0; 6; 1). Найти модуль и направление
вектора M1 M2.
Зав. кафедрой
 x  2 y  3z  6

2 x  3 y  4 z  20
3x  2 y  5 z  6

Преподаватель
5. Вычислить расстояние от точки пересечения прямых x + y-2 =0 и
3x + 2y-5 =0 до прямой 5x-12y-32 =0.
6. Отрезок прямой y=(5/4)x+10, содержащийся между осями
координат, служит диаметром окружности. Составить уравнение
окружности и построить линии.
7. Написать уравнение плоскости, параллельной оси Oz и
проходящей через точки M1 (3; -1;2) и M2 (-1; 2; 5). Построить
плоскость.
Зав. кафедрой
Преподаватель
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
ФГБОУ ВПО ОрелГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240700 «Биотехнология», 1 курс(бак)
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
ФГБОУ ВПО ОрелГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240700 «Биотехнология», 1 курс(бак)
Зачетный билет № 5
Зачетный билет № 6
1. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и
перпендикулярности плоскостей. Уравнение плоскости, проходящей
через три точки. Пример.
2. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Исследование СЛАУ на совместность и определённость с помощью
матриц. Теорема Кронекера-Капелли. Пример.
1. Общие уравнения прямой в пространстве. Параметрические и
канонические уравнения прямой. Примеры.
2. Скалярные и векторные величины. Линейные операции над
векторами (три операции), их свойства. Единичный вектор a0.
3. Написать уравнение окружности, диаметром которой служит
отрезок, отсекаемый на оси Ox параболой y=-x2 -2x +3. Построить обе
кривые.
4. Даны вершины треугольника А (2; 2), В (-2; 8), С (-6: -2). Составить
уравнение медианы АД треугольника.
5. Вычислить определитель:
1 1 1 1
3. Найти скалярное произведение векторов
если
a  4, b  6,
3a  2b и 5a  6b ,
 ^  
a ;b  .

 3
4. Дан треугольник с вершинами А (2; -1), В (-7; 3), С (-1; -5).
Написать уравнение прямой АМ, параллельной ВС.
5. Найти угол прямой
x  2z  1
с прямой, проходящей через

 y  2 z  1
начало координат и точку (1; -1; -1).
6. Написать уравнение окружности с центром в точке C(-1; -1),
касающейся прямой AB, если A(2; -1), B(-1; 3).
7. Найти все решения системы уравнений:
1
2
4
8
 1  3  9  27
1
4 16 64
6. Найти объём треугольной пирамиды с вершинами А (2; 2; 2),
В (4; 3; 3), С (4; 5; 4), D (5; 5; 6).
7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M1(3; -1;2)
перпендикулярно вектору M1 M2, если M2 (-1; 2; 5).
z  y  z  2

3x  2 y  2 z  1
4 x  3 y  3z  4

Зав. кафедрой
Преподаватель
Зав. кафедрой
Преподаватель
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
ФГБОУ ВПО ОрелГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240700 «Биотехнология», 1 курс(бак)
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
ФГБОУ ВПО ОрелГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240700 «Биотехнология», 1 курс(бак)
Зачетный билет № 7
Зачетный билет № 8
1. Уравнения прямой в пространстве, проходящей через две точки.
Переход от общих уравнений прямой к каноническим и обратно.
Пример.
2. Прямоугольные координаты в пространстве. Проекция вектора на
ось, свойства проекции (три свойства).
1.
Угол
между
прямыми.
Условия
параллельности
и
перпендикулярности прямых в пространстве. Построение прямой «по
следам». Примеры.
2. Разложение вектора по базису (теорема). Свойства координат
вектора (три свойства). Модуль вектора. Направляющие косинусы.
3. Определить угол между векторами
3. Показать, что векторы a  2 i  5 j  7k ; b  i  j  k ;
c  i  2 j  2k компланарны.
4 5
) и M2 (0; 6). Найти
5
полуоси эллипса, координаты фокусов и эксцентриситет.
5. Точка В (-3; 2; 1) служит основанием перпендикуляра, опущенного
из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой
плоскости.
6. Вычислить определитель:
1 0 2 4
4. Эллипс проходит через точки M1 ( 4;
1 4
5
3
8
3 2 3
0 0 6 1
7. Построить треугольник с вершинами А (1; -2; 8), В (0; 0; 4),
С (6; 2; 0). Вычислить его площадь и высоту ВД.
a  3 i  4 j  5k
Преподаватель
b  4i  5 j  3k .
4. Решить систему линейных уравнений:
3 x  y  2 z  11

  2 x  y  z  6
 x  2 y  3z  5

5. Составить уравнение линии, для каждой точки которой её
расстояние до точки A(2; -1) равно расстоянию до прямой y=2.
Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить
кривую.
6. Найти угол между плоскостями x + 2z-6 =0 и x + 2y-4 =0.
7. Треугольник задан вершинами А (-6; -2), В (4; 8), С (2; -8). Найти
уравнение высоты АЕ и угол В треугольника.
Зав. кафедрой
Зав. кафедрой
и
Преподаватель
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
ФГБОУ ВПО ОрелГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240700 «Биотехнология», 1 курс(бак)
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
ФГБОУ ВПО ОрелГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240700 «Биотехнология», 1 курс(бак)
Зачетный билет № 9
Зачетный билет № 10
1. Угол между прямой и плоскостью. Пример. Условия
параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
2. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного
произведения (пять свойств). Скалярное произведение одноимённых
и разноимённых ортов. Скалярный квадрат. Примеры. Физический
смысл скалярного произведения.
1. Линии второго порядка. Окружность. Эллипс. Каноническое
уравнение эллипса. Полуоси, вершины, фокусы, эксцентриситет
эллипса.
2.
Скалярное
произведение
векторов,
заданных
своими
координатами. Угол между векторами. Пример. Расстояние между
двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Пример.
3. При каком значении m векторы a  m i  j
перпендикулярны?
a1  2 i  3 j  5k и a 2  i  j  3k
3. По данным векторам
вычислить площадь построенного на них параллелограмма.
4. Даны вершины треугольника: А (2; 1), В (-2; 3), С (-10; -13).
Вычислить длину медианы СЕ.
5. На гиперболе x2 -4y2 =16 взята точка М с ординатой, равной 1.
Найти расстояние от неё до фокусов гиперболы.
1 2 0
2
и
b  3i  3 j  4k
4. Построить плоскость 2x + 3y + 6z + 2 = 0 и найти углы её векторанормали с осями координат.
5. По уравнению параболы y=x2 + 6x вычислить длину хорды,
соединяющей вершину параболы с началом координат.
 1 2
 2  3
 , B  

6. Вычислить АВ – ВА, если A  
4 1
 4 1 
7. Через точку пересечения прямых 3x + 2y – 13=0 и x + 3y – 9=0
x y
 1
проведена прямая, параллельная прямой 4 5
. Составить её
уравнение. Найти расстояние от этой прямой до прямой
Зав. кафедрой
Преподаватель
6. Вычислить определитель:
0
5
7
3
3
3
1
0
5
6 4 1
7. Плоскость проходит через точку М (6;-10; 1) и отсекает на оси
абсцисс отрезок а = -3 и на оси аппликат отрезок с = 2. Составить
уравнение плоскости.
x y
  1.
4 5
Зав. кафедрой
Преподаватель
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
ФГБОУ ВПО ОрелГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240700 «Биотехнология», 1 курс(бак)
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
ФГБОУ ВПО ОрелГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240700 «Биотехнология», 1 курс(бак)
Зачетный билет № 11
Зачетный билет № 12
1. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы. Полуоси,
вершины, фокусы, эксцентриситет гиперболы. Директрисы,
асимптоты.
2. Векторное произведение двух векторов. Свойства векторного
произведения
(четыре
свойства).
Векторное
произведение
одноимённых и разноимённых ортов.
3. Треугольник задан вершинами A(-6; -2), B(4; 8), C(2; -8). Найти
уравнение высоты AE , угол B треугольника.
4. Решить СЛУ методом Гаусса:
1. Парабола. Каноническое уравнение, фокальный параметр,
вершина, директриса параболы.
2.
Векторное
произведение
векторов,
заданных
своими
координатами. Пример. Векторное произведение одноимённых и
разноимённых ортов.
3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
2 x  3 y  z  2

 x  5 y  4 z  5
 4 x  y  3 z  4

 x  2 y  3z  14

z  y  z  6
x  y  3

5. Вычислить длину вектора a  2 b  c , если
b  i  2 j  k,
c  4i  8 j  3k
6. Написать уравнение окружности, диаметром которой служит
отрезок, отсекаемый на оси Ox параболой y = -x2- 2x + 3. Построить
обе кривые.
7. Составить уравнение плоскости, проходящей через т. М (-3; -2; 4) и
параллельной плоскости x – 2y – 3z + D = 0.
Зав. кафедрой
Преподаватель
4.
Построить
векторы
a  i  j  4k ,
b  i  2 j,
c  3 i  3 j  4k и показать, что они компланарны.
5. Написать уравнение прямой, проходящей через точку (-1; 2; -2) и
x  y  2
.
 y  2z  1
параллельной прямой: 
6. Составить уравнение прямой, проходящей через центры
окружностей x2 + y2 =5 и x2 + y2 +2x + 4y – 31=0. Найти отношение
радиусов окружностей.
7. Составить уравнения прямых, проходящих через точку
пересечения прямых 2x - 3y + 1 = 0 и 3x – y – 2 = 0 параллельно и
перпендикулярно прямой y = x + 1.
Зав. кафедрой
Преподаватель
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
ФГБОУ ВПО ОрелГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240700 «Биотехнология», 1 курс(бак)
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
ФГБОУ ВПО ОрелГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240700 «Биотехнология», 1 курс(бак)
Зачетный билет № 13
Зачетный билет № 14
1. Уравнение поверхности. Цилиндрические поверхности (пять
видов), их канонические уравнения, характерные линии и точки.
Построение.
2. Определители, их свойства. Миноры и алгебраические дополнения.
Различные способы вычисления определителей. Примеры.
3. Вычислить площадь треугольника с вершинами: А (2; 2; 2),
В (4; 0; 3), С (0; 1; 0).
4. Построить плоскость 2x + 3y + 6z + 2 = 0 и найти углы её вектора –
нормали с осями координат.
5. Найти угловой коэффициент к прямой и ординату точки её
пересечения с осью Oy, зная, что прямая проходит через точки
А (1; 1) и В (-2; 3).
6. Решить систему уравнений методом Крамера:
 x  2 y  3z  5

4 x  5 y  6 z  8
7 x  8 y
2

7. Вычислить определитель:
10 2
0
0
12 10
0
0
0
12 10
0
0
0
Зав. кафедрой
12 10
Преподаватель
1. Конические поверхности. Каноническое уравнение, характерные
линии и точки. Конические сечения. Построение. Эллипсоид.
Каноническое уравнение, характерные линии и точки. Построение.
Сфера.
2. Решение n линейных уравнений с n неизвестными. Формулы
Крамера для решения системы двух линейных уравнений с двумя
неизвестными (вывод). Исследование СЛАУ на совместность и
определённость с помощью определителей. Пример.
3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения
прямых 2x – y – 1 = 0 и 3x – y + 4 = 0 параллельно прямой
4x + 2y – 13 = 0.
1 1
1
4. Вычислить определитель:
6 3 2
3 2
6
8
1 5 
 2 0


2
4 
 3 7 7
5. Найти ранг матрицы:
  8 2  6  3  13 


 11  3 13 5 17 


6. Найти смешанное произведение векторов AB, AC , AD , если
А (0; 1; 2), В (-2; 4; 2), С (-2; 1; 8), D (0; 4; 10). Построить эти векторы.
x  2z  1
7. Найти угол прямой 
с прямой, проходящей через
 y  2 z  1
начало координат и точку (1; -1; -1).
Зав. кафедрой
Преподаватель
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
ФГБОУ ВПО ОрелГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240700 «Биотехнология», 1 курс(бак)
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
ФГБОУ ВПО ОрелГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240700 «Биотехнология», 1 курс(бак)
Зачетный билет № 15
Зачетный билет № 16
1. Гиперболоиды. Канонические уравнения однополостного и
двуполостного гиперболоидов, их характерные линии и точки.
Построение.
2. Исследование СЛАУ на совместность и определённость с
помощью метода Крамера. Решение с помощью определителей
СЛАУ. Пример.
3. Дана пирамида с вершинами А (7; 2; 4), В (7; -1; -2), С (3; 3; 1), D
(-4; 2; 1). Найти угол между рёбрами АВ и АD. Построить пирамиду.
 1 0
 .
4. Вычислить –А3+ 2А2-А+3 , если A  
 3 2
5. Решить систему уравнений методом Гаусса:
5 x  y  z  0

 x  2 y  3 z  14
4 x  3 y  2 z  16

1. Параболоиды. Эллиптический и гиперболический параболоиды, их
канонические уравнения, линии и точки. Построение.
2. Матрица. Основные понятия. Виды матриц. Действия над
матрицами (пять действий). Примеры.
3. Показать, что точки А (5; 7; -2), В (3; 1; -1), С (9; 4; -4), D (1; 5; 0)
лежат в одной плоскости.
4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
x  3 y  2 z 1


М (-2; 3; -1) перпендикулярно прямой
.
4
3
2
5. Дан треугольник с вершинами А (2; -1), В (-7; 3), С (-1; -5).
Написать уравнение медианы AD.
5 
 2 3


6. Найти матрицу, обратную к матрице  7  1 4 
 9  8  6


6. Точка А - вершина параболы y = x2 + 6x + 5, т. В – точка
пересечения параболы с осью Oy. Написать уравнение
перпендикуляра, восстановленного из середины отрезка АВ.
x4 y2
z


7. Найти следы прямой
на координатных
1
2
2
плоскостях и построить прямую.
Зав. кафедрой
7. Вычислить определитель:
3
1 1
2
1
0
5
2
1  3 2
3
2
1
1 1
Преподаватель
Зав. кафедрой
Преподаватель
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
ФГБОУ ВПО ОрелГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240700 «Биотехнология», 1 курс(бак)
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
ФГБОУ ВПО ОрелГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240700 «Биотехнология», 1 курс(бак)
Зачетный билет № 17
Зачетный билет № 18
1. Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой: с угловым
коэффициентом. Пучок прямых. Примеры.
2. Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие
существования обратной матрицы (теорема). Вычисление обратной
матрицы.
1. Уравнение прямой на плоскости: проходящей через две точки; в
отрезках на осях. Общее уравнение прямой. Частные случаи.
2. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы. Теорема о
ранге матрицы. Пример.
3. Найти объём треугольной пирамиды с вершинами А (1; 2; 2),
В (-1; 5; 2), С (-1; 2; 8), D (1; 5; 10).
4. Вычислить расстояние от точки пересечения прямых x + y – 2 = 0 и
3x + 2y – 5 = 0 до прямой 5x – 12y – 32 = 0.
5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (2; 1; -3) и
параллельную плоскости 2x – y – 3z = 0.
3
5 4
 7 1 8
6. Вычислить определитель:
2
6 9
3. Показать, что векторы a  7 i  3 j  2k ; b  3i  7 j  8k ;
c  i  j  k компланарны. Построить эти векторы.
4. Написать уравнение окружности, диаметром которой служит
отрезок, отсекаемый на оси Ox параболой y = - x2 – 2x + 3.
x3 y 2 z 4


5. Вычислить угол между прямой
и плоскостью,
2
4
3
проходящей через точку М (0; 4; -1) перпендикулярно вектору
n (1; 2; 3). Написать уравнение плоскости.
6. Прямая проходит через точки А (2; 3) и В (-4; -1), пересекает ось
Oy в точке С. Найти координаты точки С.
7. Решить систему уравнений методом Гаусса:
3 x  2 y  z  5

x  y  z  0
4 x  y  5 z  3

Зав. кафедрой
Преподаватель
7. Решить систему уравнений методом Гаусса:
2 x  3 y  z  7

 x  2 y  3z  14
 x  y  5 z  18

Зав. кафедрой
Преподаватель
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
ФГБОУ ВПО ОрелГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240700 «Биотехнология», 1 курс(бак)
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
ФГБОУ ВПО ОрелГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240700 «Биотехнология», 1 курс(бак)
Зачетный билет № 19
Зачетный билет № 20
1. Угол между прямыми на плоскости. Условия параллельности и
перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.
2. Исследование СЛАУ на совместность и определённость с
помощью матриц. Теорема Кронекера-Капелли. Пример.
3.
Найти
координаты
центра
и
радиус
окружности:
2
2
x + y – 4x + 8y – 16 = 0.
4. Вычислить определитель:
1 1 1 1
1. Плоскость. Общее уравнение плоскости. Частные случаи.
Уравнение плоскости в отрезках. Пример.
2. Решение СЛАУ методом Гаусса (в случаях, когда СЛАУ имеет
единственное решение и бесконечное множество решений).
Примеры.
3. Решить систему линейных уравнений:
2 x  y  z  2

3x  2 y  2 z  2
x  2 y  z  1

4. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А (6; -4; 0) и
параллельной вектору s (1; 2; 3); найти след прямой в плоскости xOz,
построить прямую.
5. Дан треугольник с вершинами А (2; -1), В (-7; 3), С (-1; 5).
Написать уравнение медианы АD.
6. Составить уравнение эллипса, проходящего через точки:
М ( 2;  4 3 ) и N (  1; 2 15 ) .
1
2
4
8
 1  3  9  27
5.
Определить
a  3i  4 j  5k
1
4
угол
16
64
между
векторами
и b  4i  5 j  3k .
6. Даны вершины треугольника А (-3; 6), В (9; 10), С (-5; 4).
Вычислить его площадь и написать уравнение медианы ВD. Сделать
чертёж.
7. Написать уравнение плоскости, параллельной оси Oz и
проходящей через точки M (2; 2; 0) и N (4; 0; 0). Построить
плоскость.
Зав. кафедрой
Преподаватель
7. Показать, что векторы a  7 i  3 j  2k ; b  3i  7 j  8k ;
c  i  j  k компланарны. Построить векторы в системе xOyz.
Зав. кафедрой
Преподаватель
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
ФГБОУ ВПО ОрелГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240700 «Биотехнология», 1 курс(бак)
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
ФГБОУ ВПО ОрелГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240700 «Биотехнология», 1 курс(бак)
Зачетный билет № 21
Зачетный билет № 22
1. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и
перпендикулярности плоскостей. Уравнение плоскости, проходящей
через три точки. Пример.
2. Скалярные и векторные величины. Линейные операции над
векторами (три операции), их свойства. Единичный вектор a0.
1. Общие уравнения прямой в пространстве. Параметрические и
канонические уравнения прямой. Примеры.
2. Прямоугольные координаты в пространстве. Проекция вектора на
ось, свойства проекции (три свойства).
3. Решить систему линейных уравнений:
 x  2 y  3z  5

2 x  y  z  1
x  3 y  4z  6

c  3i  3 j  4k и его направляющие
3. Найти длину вектора
косинусы. Построить вектор.
4. Треугольник задан вершинами А (-6; -2), В (4; 8), С (2; -8). Найти
угол В треугольника.
5. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А (-1; 2; -2) и
x  y  2
параллельно прямой 
.
 y  2x  1
6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
 x  2 y  3z  3

2 x  6 y  4 z  6
3x  10 y  8 z  21

7. Составить уравнение эллипса, зная, что его большая полуось равна
10 и фокусы находятся в точках F1(-6; 0), F2(10; 0).
4. Стороны треугольника заданы уравнениями x + y = 4, 3x – y = 0,
x – 3y – 8 = 0. Найти длину одной из высот треугольника.
5. Вычислить расстояние от точки А (3; 4; 2) до плоскости
3x + 4y + 12z + 16 = 0.
6. Даны вершины треугольника А (1; -1; 2), В (5; -6; 2), С (1; 3; -1).
Найти длину его высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.
7. Вычислить определитель разложением по третьему столбцу:
1
1
0
1
1  2
Зав. кафедрой
Зав. кафедрой
Преподаватель
0
1
1
3
3
1
3
1
4
2
Преподаватель
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
ФГБОУ ВПО ОрелГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240700 «Биотехнология», 1 курс(бак)
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
ФГБОУ ВПО ОрелГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240700 «Биотехнология», 1 курс(бак)
Зачетный билет № 23
Зачетный билет № 24
1. Уравнения прямой в пространстве, проходящей через две точки.
Переход от общих уравнений прямой к каноническим и обратно.
Пример.
2. Разложение вектора по базису (теорема). Свойства координат
вектора (три свойства).
3. Найти смешанное произведение векторов AB, AC , AD , если
А (0; 1; 2), В (-2; 4; 2), С (-2; 1; 8), D (0; 4; 10). Построить векторы.
4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
М (-3; -2; 4) и параллельной плоскости x – 2y – 3z + D = 0.
5. Найти произведение матриц АВ и ВА, если возможно:
 2 4


 3 5  1
 , B    3 0  .
A  
2  2 0 
 5 1


1.
Угол
между
прямыми.
Условия
параллельности
и
перпендикулярности прямых в пространстве. Примеры.
2. Модуль вектора. Направляющие косинусы. Линейная зависимость
векторов. Примеры.
6. Решить систему уравнений методом Крамера:
 x  2 y  3z  6

4 x  5 y  6 z  9
7 x  8 y
 6

7. Через точку пересечения прямых 3x + 2y – 13 = 0 и x + 3y – 9 = 0
x y
  1 . Составить её
проведена прямая, параллельная прямой
4 5
уравнение.
Зав. кафедрой
Преподаватель
3. Даны векторы: a  mi  j  k и b  2i  m j  11k . При каком
значении m эти векторы ортогональны?
 y  3x  1
4. Найти угол прямой 
с плоскостью 2x + y + z – 4 = 0.
2 z  3x  2
5. Составить каноническое уравнение гиперболы, если её фокусы
лежат на оси Oy и расстояние между ними равно 10, а длина
действительной оси равна 8.
6. Через точку пересечения прямых x + y – 6 = 0 и 2x + y – 13 = 0
провести прямую, отсекающую на осях равные отрезки и написать её
уравнение.
3 2 2


7. Дана матрица A   1 3 1  . Найти ей обратную матрицу А-1.
5 3 4


Зав. кафедрой
Преподаватель
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
ФГБОУ ВПО ОрелГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240700 «Биотехнология», 1 курс(бак)
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
ФГБОУ ВПО ОрелГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240700 «Биотехнология», 1 курс(бак)
Зачетный билет № 25
Зачетный билет № 26
1. Уравнения прямой в пространстве, проходящей через две точки.
Переход от общих уравнений прямой к каноническим и обратно.
Пример.
2. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного
произведения (пять свойств). Скалярное произведение одноимённых
и разноимённых ортов. Скалярный квадрат. Примеры. Физический
смысл скалярного произведения.
3. Показать, что точки А (2; -1; -2), В (1; 2; 1), С ( 2; 3; 0), D (5; 0; 6)
лежат в одной плоскости.
x  y  z  0
4. Найти направляющий вектор прямой 
, её следы в
y  x
системе координат. Построить прямую.
5. Решить СЛУ методом Крамера:
1.
Угол
между
прямыми.
Условия
параллельности
и
перпендикулярности прямых в пространстве. Примеры.
2.
Скалярное
произведение
векторов,
заданных
своими
координатами. Угол между векторами. Пример. Расстояние между
двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Пример.
3. Даны точки А (2; 2; 1), В (0; 5; 1), С ( 0; 2; 7). Найти угол между
векторами AB и AC .
4. Точка А - вершина параболы y = x2 + 6x + 5, т. В – точка
пересечения параболы с осью Oy. Написать уравнение
перпендикуляра, восстановленного из середины отрезка АВ.
5. . Решить систему уравнений методом Гаусса:
 x  2 y  3z  6

4 x  5 y  6 z  9
7 x  8 y
 6

6. Вычислить определитель, разложив его по элементам какого –
либо столбца:
 x  2 y  3z  14

z  y  z  6
x  y  3

6. Найти произведение матриц АВ и ВА, если возможно:
3 5 
 1 4
 , B  
 .
A  
 2  2
 2 5
7. Найти расстояние от точки А (4; 3; 0) до плоскости, проходящей
через точки К ( 1; 1; 0), М (4; -1; 2), N (3; 0; 1).
1 1
1
1
1
4
8
2
 1  3  9  27
1
4
7. Найти точку пересечения прямой
16
64
x 1 y 1 z


1
2
6
2x + 3y + z – 1 = 0.
Зав. кафедрой
Преподаватель
Зав. кафедрой
Преподаватель
и плоскости
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
ФГБОУ ВПО ОрелГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240700 «Биотехнология», 1 курс(бак)
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
ФГБОУ ВПО ОрелГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240700 «Биотехнология», 1 курс(бак)
Зачетный билет № 27
Зачетный билет № 28
1. Угол между прямой и плоскостью. Пример. Условия
параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
2. Векторное произведение двух векторов. Свойства векторного
произведения
(четыре
свойства).
Векторное
произведение
одноимённых и разноимённых ортов.
1. Линии второго порядка. Окружность. Эллипс. Каноническое
уравнение эллипса. Полуоси, вершины, фокусы, эксцентриситет
эллипса.
2.
Векторное
произведение
векторов,
заданных
своими
координатами. Пример. Векторное произведение одноимённых и
разноимённых ортов.
3. . Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
3. Найти скалярное произведение векторов 2a  3 b
если
a  1, b  2,
и
5a  6b
 ^  
a ; b  .

 3
x4 y2
z


на координатных
1
2
2
плоскостях и построить прямую.
5. . Вычислить определитель, предварительно получив нули на месте
трёх элементов в первом столбце:
3 1 1 2
2 x  3 y  z  11

 x  y  z  0
3x
 2 z  3

4. Найти следы прямой
0
4
7
1
1 1
2
1
6.
1 3 2 1
6. Найти вершину и фокус параболы y = -2x2 + 8x – 5, построить
схематично график.
7. Показать, что прямые 4x – 6y + 7 = 0 и 20x – 30y – 11 = 0
параллельны и составить уравнение прямой, им параллельной и
проходящей через точку А (2; -1).
Зав. кафедрой
4. Вычислить расстояние d от точки P (2; 3; -1)
до плоскости
4x – 2y + 5z – 12 = 0.
2 5
2 3 
 и B  
 .
5. Вычислить 2А + 5В – АВ, если A  
 4 `1
1  2
Преподаватель
Даны
три
c  3i  2 j  4k .
вектора
a  2 i  j  3k ; b  i  3 j  2k ;
Найти
вектор
x  x1i  x2 j  x3 k ,
удовлетворяющий условиям: x  a  5 ; x  b  11;
x  c  20 .
7. Даны три вершины А (2; 3), В (4; -1), С (0; 5) параллелограмма
АВСD. Найти его четвёртую вершину D. Сделать чертёж.
Зав. кафедрой
Преподаватель
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
ФГБОУ ВПО ОрелГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240700 «Биотехнология», 1 курс(бак)
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
ФГБОУ ВПО ОрелГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240700 «Биотехнология», 1 курс(бак)
Зачетный билет № 29
Зачетный билет № 30
1. Определители, их свойства. Миноры и алгебраические дополнения.
Различные способы вычисления определителей. Примеры.
2. Смешанное произведение трёх векторов. Геометрический смысл
смешанного произведения. Пример. Компланарность трёх векторов.
Необходимое и достаточное условие компланарности (теорема с
доказательством).
3. Найти объём треугольной пирамиды с вершинами А (0; 0; 1),
В (2; 3; 5), С (6; 2; 3), D (3; 7; 2). Построить пирамиду.
4. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Oy и точку
М (4; 0; 3).
0 5 
2 7 
 .
 и B  
5. Вычислить –А2 + 5В + ВА, если A  
1  2
 4 `1
6. Найти координаты точки М, симметричной точке N (-3; 4)
относительно прямой 4x – y – 1 = 0.
7. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:
2 x  3 y  2 z  9

 x  2 y  3z  14
3x  4 y  z  16

1. Матрица. Основные понятия. Виды матриц. Действия над
матрицами (пять действий). Примеры.
2. Плоскость. Общее уравнение плоскости. Частные случаи.
Уравнение плоскости в отрезках. Пример.
3. Решить систему линейных уравнений:
3 x  2 y  z  5

2 x  3 y  z  1
2 x  y  3 z  11

Зав. кафедрой
Преподаватель
4. Дан треугольник АВС с вершинами А (-2; 2), В (1; 6), С (2; 4).
Найти уравнение медианы АЕ.
5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
М (2; 3; -4) и параллельной векторам a  3i  2 j  k и b  3 j  k .
6. Проверить, лежат ли точки А (0; 1; 1), В (-2; -1; 2), С (-2; 1; 8),
D (0; 4; 11) в одной плоскости. Построить точки в системе xOyz.
7. Построить прямую, проходящую через точки
В (2; 3; 3), и написать её уравнение.
Зав. кафедрой
А (2; -1; 3)
Преподаватель
и