11 класс 1. Решите уравнение ( 1 1 1 1 1 1 1 1 )x = ... . ... 11 24 39 11000 101 204 309 1100 2. Решите систему уравнений x 5 xy 4 y10 y 6 6 2 3 x x 8y 2 y 3. Двое рабочих могут выполнить некоторую работу за 7 дней при условии, что второй приступит к ней на 2 дня позже первого. Если бы ту же работу каждый выполнял в одиночку, то первому потребовалось бы на 4 дня больше, чем второму. За сколько дней каждый рабочий мог бы выполнить эту работу? 4. Найти все действительные решения уравнения: х2 + 2хsin (ху) + 1 = 0. 5. Проценты содержания (по весу) спирта в трех растворах образуют геометрическую прогрессию. Если смешать первый, второй и третий растворы в весовом отношении 2 : 3 : 4, то получится раствор, содержащий 32 % спирта. Если же смешать их в весовом отношении 3 : 2 : 1, то получится раствор, содержащий 22 % спирта. Сколько процентов спирта содержит первый раствор? Решение 11 класс 1 . Ответ: 10. Обозначим через a коэффициент при x, а через b свободный член. Тогда уравнение имеет вид ax = b. Воспользуемся тождеством 1 1 1 1 ( ). (n k )n k n n k 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 101 204 309 1100 1 101 2 102 3 103 10 110 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) ... ( ) 100 101 100 2 102 100 3 103 100 10 110 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ... ... ). 100 2 3 10 101 102 103 110 a Тогда Аналогично b 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... (1 ) ( ) ( ) ... ( )= 11 24 39 11000 10 11 10 2 12 10 3 13 10 100 110 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ... ... ) 10 2 3 100 11 12 13 110 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ... ... ) 10a . 10 2 3 10 101 102 103 110 Итак, имеем ax = 10a, откуда получаем, что x = 10. 1. Ответ (0; 0); ( 3 4 ; 3 2 0 ). Решение (0; 0) очевидно. Пусть теперь y 0. Разделив обе части первого уравнения на y 5 , получим систему, равносильную данной при y 0 x 5 x 5 ( y ) y y y, ( x 2 ) 3 x 2 (2 y) 3 2 y. Пусть f (t ) t 5 t; g(t ) t 3 t . Обе функции – возрастающие (это легко установить – например, так: f / 5t 4 1 0; g / 3t 2 1 0 ), поэтому каждое свое значение принимают только один раз. Значит, последняя система равносильна такой: x x y 2 , y y, 2 x 2 y. x 2 2 y. Подставив x из первого уравнения во второе, находим, что y( y 3 2) 0 , откуда (при y 0) получаем, что y 3 2 , Приходим к ответу. 3. Обозначив за х дней - время, за которое второй рабочий смог бы выполнить всю работу один, получим уравнение: 77 1 x+4 1 +5 =1 x Решая его, найдём время работы второго рабочего: 10 дней. Тогда время работы первого рабочего будет 14 дней. Ответ: 14 и 10 дней. 4. Дискриминант квадратного уравнения. D = 4 sin2 (ху) – 4 0, отсюда |sin(xy)| = 1 и х = – sin(ху), х = у= 2k 2 ,k 1, Z. 2k , k Z . 1 2 О т в е т: 5. Пусть в первом растворе содержится х % спирта, во втором у % и в третьем z % спирта. Это означает, что в 1 г первого раствора у 100 х содержится 100 г z 100 спирта, в 1г второго раствора – г спирта и в 1 г третьего раствора – г спирта. Если возьмем 2 г первого раствора, 3г второго и 4 г третьего, то у z х 3 4 2 получим 9 г смеси, содержащей: 100 100 100 г спирта. 32 По условию, это 9 100 г спирта. Получим уравнение: 2 х 3 у 4 z 9 32 100 100 . Аналогично для второго случая получим уравнение 3х 2 у z 6 22 100 100 . По условию, числа х, у и z образуют геометрическую прогрессию, поэтому у = хz. Найдем х из системы: 2 2 х 3 у 4 z 288, 3х 2 у z 132, у 2 хz. Учитывая условие, получим х = 12. О т в е т: 12 %.