5 класс - U-mama

Математика, 5 класс
Задача 1.
1.1.
Квадрат имеет площадь 1 дм2. Чему равен периметр этого
квадрата?
Комментарий. Для решения достаточно понимать, что 1 дм2 – это площадь
квадрата, сторона которого равна 1 дм. Тогда периметр квадрата равна 4 дм.
Ответ: 4 дм.
1.2. Квадрат разрезали на два одинаковых прямоугольника, периметр
каждого из которых оказался равным 15 см. Найдите периметр и площадь
квадрата.
Комментарий. Для решения целесообразно построить чертеж.
а
а
2
а
2
а
Если сторона квадрата a, то периметр его «половинки» 3а = 15 см. Отсюда a = 5 см, pкв
= 4 а = 20 см; Sкв = a2 = 25 см2.
Ответ: 20 см, 25 см2.
1.3. В заповеднике решили на берегу реки отгородить прямоугольный
участок площадью 0,5 км2 для содержания редкого вида антилоп в
условиях, близких к естественным условиям их обитания. Антилопы на
протяжении всего участка должны иметь свободный доступ к воде (см.
рисунок).
Река
Изгородь
Выбери такую длину и ширину участка, чтобы длина изгороди была
как можно меньше. Чему в этом случае будет равна длина изгороди?
Примечание. Известно, что среди всех прямоугольников с одинаковой
площадью наименьший периметр имеет квадрат.
2
Комментарий. Указанное в тексте задания свойство квадрата – с одной стороны,
мощная подсказка, с другой стороны, – столь же мощная провокация. На первый взгляд
кажется очевидным, что участок с наименьшим периметром должен иметь форму
квадрата. Пытаясь исходить из этой предпосылки, учащиеся сразу столкнутся с
непреодолимым для них затруднением: как найти сторону квадрата, площадь которого
0,5 км2 (с квадратными корнями шестиклассники незнакомы).
В действительности, поскольку длина забора не является периметром участка, а
только ее частью, рассматриваемое свойство квадрата не следует впрямую переносить
на рассматриваемую ситуацию.
Если же преобразовать условие и рассматривать участок двойной площади, то
оптимальная форма – квадрат. Значит, участок наибольшей площади,
удовлетворяющий условию задачи, представляет собой половину квадрата – его
ширина равна половине длины. Для такого участка длина равна стороне квадрата – 1
км, а ширина 0,5 км. Длина изгороди 1 + 2  0,5 = 2 км.
Заметим, что в заданиях 1 и 2 содержатся подсказки к решению.
Ответ: 1 x 0,5 км, 2 км.
Задача 2.
2.1. На соревнованиях автомоделей первое место заняла модель,
которая расстояние в 1500 метров преодолела за 1 минуту. У кого скорость
больше и во сколько раз: у этой модели или у автомобиля, который едет со
скоростью 90 км/ч.
Комментарий. Либо переводом скорости модели в км/ч, либо переводом
скорости машины в м/мин устанавливается, что скорости модели и машины одинаковы.
Ответ: скорости одинаковы.
2.2. В живом уголке самый большой аквариум вмещал 100 литров
воды. Петин папа из командировки в тропическую страну привез рыбу, для
которой требуется аквариум в два раза большей длины, в два раза большей
высоты и в два раза большей высоты, чем самый большой аквариум в
живом уголке. Сколько литров воды будет вмещать новый аквариум?
Комментарий. Удвоение любого из размеров аквариума приводит к увеличению
его объема в 2 раза. Поэтому увеличение всех размеров (длины, ширины, высоты) в 2
раза приведет к увеличению объема в 8 раз.
Ответ: 800 л.
2.3. Квадратную скатерть сложили пополам, потом еще раз пополам,
так что опять получился квадрат. В таком сложенном виде скатерть
попытались положить на полку размером 50 см х 70 см, но она там не
поместилась. Тогда скатерть еще раз сложили пополам, так что получился
прямоугольник, после чего она благополучно разместилась на полке.
Можно ли этой скатертью полностью накрыть прямоугольный стол:
1) площадью 7650 см2, одна из сторон которого имеет длину 85 см?
2) площадью 7500 см2, одна из сторон которого имеет длину 50 см?
3
Комментарий. В решении задачи можно выделить два этапа: 1) выяснение, в
каких пределах может находиться размер скатерти; 2) сопоставление возможного
размера скатерти с размерами столика.
1) Из условия, что салфетка не помещается на полке 50 см х 70 см в сложенном в 4
раза виде, заключаем, что ее сторона больше 100 см; из условия, что сложенная еще в
два раза скатерть помещается на той же полке, заключаем, что ее сторона не больше
140 см.
2) В случае 1 имеем стол размером 90 х 85 см, который можно покрыть даже
салфеткой минимально возможного размера 100 х 100 см.
В случае 2 размер стола 50 х 150 см. Его невозможно покрыть даже скатертью
максимально возможного размера 140 х 140 см.
Следует обратить внимание на некорректность сравнения скатерти и стола по
площади. Этот признак можно использовать только для отсеивания вариантов, но не
для их принятия. Площадь скатерти может быть большой, но этого недостаточно для
того, чтобы обеспечить покрытие – необходимо учитывать соотношение сторон.
Задача 3.
3.1. На рисунке показано несколько объемных фигур. Раздели их на
две группы так, чтобы в каждую группу попали фигуры, близкие по форме
(впиши буквы, обозначающие фигуры одной группы, в левую колонку
таблицы, буквы, обозначающие фигуры другой группы, – в правую
колонку). Учти, что при изображении объемных фигур на бумаге
невидимые линии принято изображать пунктиром.
В
А
Г
Б
Фигуры первой группы
Фигуры второй группы
4
Комментарий.
Участники
могут
предложить
различные
основания
классификации. Наиболее естественным представляется выделение в одну группу
пирамид (А, Г), а в другую – призм (Б, В). Знания названий фигур от учащихся не
требуется.
3.2. В каждой колонке таблицы из задания 1 начерти еще по одной
фигуре соответствующей группы.
Комментарий. Задание проверяет: 1) насколько осознан принцип, по которому
учащиеся проводили классификацию в предыдущем задании; 2) соблюдается ли
правило изображения объемных фигур, описанное в первом задании. Предпочтение
следует отдать работам, в которых будут показаны принципиально другие
представители каждого класса, отсутствующие в первом задании. Например,
четырехугольная пирамида, пятиугольная призма.
3.3. Для поверхностей многих объемных фигур существуют
развертки. Развертка – это такая плоская фигура, из которой можно
сложить соответствующую объемную фигуру. Например, фигура,
показанная на рис. 1, является разверткой поверхности треугольной
пирамиды – фигуры вида А из задания 1. Тонкие линии на рис. 1 – это
линии сгиба, показывающие, как нужно согнуть развертку, чтобы сложить
из нее поверхность пирамиды.
Рис. 1
Рис.2
5
Дострой фигуру, приведенную на рис. 2, так, чтобы она стала
разверткой треугольной призмы – фигуры вида Б из задания 1. Покажи на
этой развертке линии сгиба.
Комментарий. Наиболее очевидный вариант развертки показан на рисунке.
Необходимо обратить внимание на соответствие длин сторон добавленных
прямоугольников длинам сторон треугольников.
Задача 4.
4.1. Сколько различных делителей имеет число 24?
Комментарий. Делители: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Типичная ошибка – пропуск
делителей 1 и 24.
Ответ: 8 делителей.
4.2. На уроке математики Петя предложил следующий признак
делимости на 20: «Если число делится на 10 и на 2, то оно делится на 20».
1) Согласен ли ты с Петей?
2) Предложи свой признак делимости на 20.
Комментарий. Для того чтобы опровергнуть Петин признак делимости,
достаточно привести контрпример: 30 делится на 10 и на 2, но не делится на 20.
Возможный критерий: «Если число делится на 4 и на 5, то оно делится на 20». В
отличие от 10 и 2 числа 4 и 5 – взаимно простые, поэтому такой критерий корректен.
6
4.3. Существует ли двузначное число, которое при делении на 3 даёт
остаток 2, при делении на 5 – остаток 4 и при делении на 7 – остаток 3?
Если считаешь, что существует, найди это число. Если считаешь, что
не существует, объясни, почему.
Комментарий. Задание проверяет понимание смысла деления с остатком, умение
находить число по неполному частному и остатку.
В принципе, можно проанализировать все двузначные числа, но такой способ
слишком громоздок. Подойдем к поиску нужного числа более целенаправленно.
Выпишем все двузначные числа, дающие при делении на 7 остаток 3 (их меньше, чем
обладающих другими заданными свойствами). Это 17; 24; 31; 38; 45; 52; 59; 66; 73; 80;
87; 94. Выберем из них дающие при делении на 5 остаток 4 (тут могут прийти на
помощь признаки делимости – это будут числа, оканчивающиеся на 4 или на 9, но
нетрудно и выполнить непосредственную проверку). Имеем: 24; 59; 94. Из этих чисел
единственное, которое при делении на 3 дает остаток 2, – это число 59.
Ответ: 59.
Задача 5.
Числовой последовательностью называется запись, составленная из
следующих друг за другом по определённому правилу чисел.
Рассмотрим следующую последовательность: 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, …..
В ней чередуются числа 1 и 2.
5.1. Чему равна сумма всех чисел этой последовательности с 1-го по
11-е?
Комментарий. Удобнее всего находить сумму первых 11 чисел, образующих
последовательность (членов последовательности) следующим образом. Разобьем
первые 10 членов на пары вида (1; 2). Таких пар 5, сумма чисел в каждой из них равна
3. Значит, сумма первых 10 членов равна 3  5 = 15. Остается добавить в качестве
слагаемого 11-й член, равный 1.
В принципе, задание может быть выполнено и прямым подсчетом суммы.
Ответ: 16.
5.2. Чему равна сумма всех чисел этой последовательности с 202-го по
226-е?
Комментарий. Задание похоже на предыдущее, но осложнено тем, что
рассматриваются не первые члены последовательности. Однако легко увидеть, что
здесь мы имеем дело с таким фрагментом: 2, 1, 2, 1, 2, 1,…, 2, 1, 2, состоящим из 12 пар
вида (2; 1) и числа 2. Сумма равна 3  12 + 2 = 38.
Ответ: 38.
5.3. Сколько чисел рассматриваемой последовательности, начиная с
561-го, нужно сложить, чтобы сумма была равна 151?
7
Комментарий. Задание, обратное по отношению к двум предыдущим. Задание
решается совсем просто, если заметить, что фрагмент последовательности,
начинающийся 561-м членом, ничем не отличается от фрагмента такой же длины,
начинающегося с первого члена. Сумму, равную 150, дают первые 50 пар членов
последовательности, т.е. ее первые100 членов. Чтобы сумма стала равной 151, нужно
добавить еще один – 101-й член.
Ответ: 101.