МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского
Факультет компьютерных наук и информационных технологий
УТВЕРЖДАЮ
___________________________
"__" __________________20__ г.
Рабочая программа дисциплины
Методы алгебраической геометрии в криптографии
Специальность
090301 Компьютерная безопасность
Специализация
Математические методы защиты информации
Квалификация выпускника
Специалист
Форма обучения
очная
Саратов,
2012
1. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Методы алгебраической геометрии в криптографии» являются:
- ознакомление студентов с основными понятиями алгебраической геометрии;
- овладение основными идеями и методами построения криптографических
систем на основе эллиптических кривых;
- овладение основными методами дискретного логарифмирования на эллиптических кривых;
- развитие навыка построения криптографических протоколов на эллиптических кривых.
Курс «Методы алгебраической геометрии в криптографии» составляет
одну из фундаментальных частей современной теоретической криптографии,
без знания которых невозможна дальнейшая профессиональная подготовка в
области современной защиты информации. При освоении данного курса у
студентов формируются навыки грамотного применения теоретических основ криптографии в постановке практических задач, в решении задач с применением современного теоретического аппарата, в систематизации полученных знаний.
2.Место дисциплины в структуре ООП
Данная учебная дисциплина входит в раздел «Профессиональный цикл.
Базовая часть. Дисциплины специализации» ФГОС-3.
Для изучения дисциплины необходимы компетенции, знания, умения и
готовности, сформированные у обучающихся в результате освоения курсов
«Алгебра», «Геометрия», «Дискретная математика», «Теория вероятностей и
математическая статистика», «Теория информации», «Математическая логика и теория алгоритмов», «Основы информационной безопасности», «Криптографические методы защиты информации», «Методы программирования»,
«Алгоритмы алгебры и теории чисел», «Теоретико-числовые методы в криптографии».
3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Методы алгебраической геометрии в криптографии».
Выпускник должен обладать следующими компетенциями в рамках
специальности:
Общепрофессиональными:
способностью выявлять естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, и применять соответствующий физико-математический аппарат для их формализации,
анализа и выработки решения (ПК-1);
способностью применять математический аппарат, в том числе с использованием вычислительной техники, для решения профессиональных задач (ПК-2);
способностью применять методологию научных исследований в профессиональной деятельности, в том числе в работе над междисциплинарными и инновационными проектами (ПК-4);
способностью учитывать современные тенденции развития информатики и вычислительной техники, компьютерных технологий в своей
профессиональной деятельности (ПК-7);
способностью работать с программными средствами прикладного, системного и специального назначения (ПК-8);
способностью использовать языки и системы программирования, инструментальные средства для решения различных профессиональных,
исследовательских и прикладных задач (ПК-9);
способностью формулировать результат проведенных исследований в
виде конкретных рекомендаций, выраженных в терминах предметной
области изучавшегося явления (ПК-10);
в контрольно-аналитической деятельности:
способностью обосновывать правильность выбранной модели решения
профессиональной задачи, сопоставлять экспериментальные данные и
теоретические решения (ПК-28);
в организационно-управленческой деятельности:
способностью организовывать работу малых коллективов исполнителей, находить и принимать управленческие решения в сфере профессиональной деятельности (ПК-30);
способностью разрабатывать оперативные планы работы первичных
подразделений (ПК-31);
Специализация №2 «Математические методы защиты информации»:
способностью ориентироваться в современных и перспективных математических методах защиты информации, оценивать возможность и
эффективность их применения в конкретных задачах защиты информации (ПСК-2.1);
способностью разрабатывать вычислительные алгоритмы, реализующие современные математические методы защиты информации (ПСК2.3);
Специализация № 2 «Математические методы защиты информации»:
С целью получения данной специализации при изучении базовой части цикла
обучающийся должен:
Знать:
принципы применения эллиптических и гиперэллиптических кривых в
криптографии;
Владеть:
навыками программирования алгебраических операций в конечных алгебраических структурах, в том числе в группе точек эллиптических и
гиперэллиптических кривых;
4. Структура и содержание дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единиц 144 часов.
№
п/п
1
2
3
Раздел дисциплины
Семестр
Элементы ал- 9
гебраической
геометрии
Криптосисте- 9
мы на эллиптических кривых
Дискретное
9
логарифмирование на эллиптической
кривой
Промежуточная аттестация
Неделя
семестра
1-7
Виды учебной работы,
включая самостоятельную работу студентов и
трудоемкость (в часах)
Лек- Пра ЛаСации
кти- бомока
растотор- ятел
ные ьны
е
14
14
12
8-15
14
14
12
16-18
6
6
7
Формы текущего
контроля успеваемости (по
неделям семестра)
Формы промежуточной аттестации (по семестрам)
опрос, проверка
домашнего задания
Контрольная
работа №1
на 12 неделе
Контрольная
бота №2
на 18 неделе
Экзамен
Итого:
34
34
31
45
Содержание разделов
1. Элементы алгебраической геометрии.
1. Кубические кривые. Закон сложения.
2. Нормальные формы эллиптической кривой.
3. Группа неособых точек кубики.
4. Параметризация эллиптической кривой с помощью эллиптических функций.
5. Дискриминант и j-инвариант.
6. Закон сложения точек эллиптической кривой.
7. Эллиптические кривые над числовыми полями.
8. Отображения алгебраических кривых.
9. Дивизоры на алгебраических кривых.
10. Эллиптические кривые над конечными полями.
11. Гиперэллиптические кривые.
12. Задача дискретного логарифмирования на эллиптической кривой.
2. Криптосистемы на эллиптических кривых.
1. Расчет числа точек эллиптической кривой в общем случае.
ра-
1.1. Предварительные сведения.
1.2. Полиномы деления.
1.3. Алгоритм Чуфа.
2. Расчет числа точек эллиптических кривых над простыми полями.
2.1. Кривая y2 = х3 + В.
2.2. Кривая y2 = х3 + Aх.
3. Эллиптические кривые с комплексным умножением.
3.1. Генерация эллиптических кривых с комплексным умножением.
3.2. Влияние комплексного умножения на скорость вычислений.
4. Протоколы на эллиптических кривых.
4.1. Встраивание открытого текста в координату точки.
4.2. Установление сеансового ключа.
4.3. Шифрование.
4.4. Цифровая подпись.
4.5. Генераторы псевдослучайной последовательности.
3. Дискретное логарифмирование на эллиптической кривой.
1. Универсальные методы логарифмирования.
1.1. Метод Гельфонда.
1.2. Методы встречи посередине и «giant step — baby step».
1.3. Метод Полларда.
1.4. Метод встречи на случайном дереве.
2. Логарифмирование с использованием функции Вейля.
3. Требования к эллиптической кривой.
Задания по лабораторным работам
1. Изучить теоретический материал по выбранному заданию и предоставить
подробное его описание.
2. Написать программу (пакет программ), с помощью которой можно решить поставленные задачи.
3. Подготовить и сдать полный отчёт о проделанной работе. В отчёт входят:
1) Теоретическое описание поставленных задач и их решений; 2) Программа (пакет программ), с помощью которой можно решить поставленные задачи; 3) При необходимости (в случае отсутствия понятного интерфейса программы) пользовательское описание программы (пакета программ).
4. Список заданий:
Задание 1:
1. Написать программу, реализующую арифметику аддитивной группы
(по сложению точек) на конике.
2. Написать программу, реализующую арифметику аддитивной группы
(по сложению точек) на кубике.
3. Написать программу, реализующую арифметику аддитивной группы
(по сложению точек) на эллиптической кривой.
4. Написать программу, реализующую арифметику конечного поля по
неприводимому многочлену.
Задание 2:
1) Написать программу вычисления неприводимых многочленов порядка
n над простым полем G(p), где p простое число.
2) Написать программу, реализующую арифметику конечного поля по неприводимому многочлену.
3) Написать программу генерации точки, образующей группу порядка r на
эллиптической кривой.
Задание 3:
1) Написать программу вычисления неприводимых многочленов порядка
n над простым полем G(p), где p простое число.
2) Написать программу, реализующую арифметику конечного поля по неприводимому многочлену.
3) Написать программу, реализующую алгоритм “giant step — baby step”
для расчёта числа точек эллиптической кривой над конечным полем G(pn).
Задание 4:
1) Написать программу вычисления неприводимых многочленов порядка
n над простым полем G(p), где p простое число.
2) Написать программу, реализующую арифметику конечного поля по неприводимому многочлену.
3) Написать программу, реализующую алгоритм Чуфа для расчёта числа
точек эллиптической кривой над конечным полем G(pn).
Задание 5: Написать программу, реализующую алгоритм генерации эллиптической кривой с j = 0.
Задание 6: Написать программу, реализующую алгоритм генерации эллиптической кривой с j = 1728.
Задание 7: Написать программу, реализующую алгоритм 1 генерации эллиптической кривой, обладающей комплексным умножением над C.
Задание 8: Написать программу, реализующую алгоритм 2 генерации эллиптической кривой, обладающей комплексным умножением над C.
Задание 9: Написать программу, реализующую модульную арифметику по
модулю полинома f(t) = tn – t – a.
Задание 10: Написать программу, реализующую алгоритм умножения точки
на число в расширенном поле.
Задание 11: Написать программу, реализующую аналог криптосистемы RSA
на эллиптических кривых.
Задание 12: Написать программу (пакет программ), с помощью которой реализуема адаптация протокола Диффи-Хеллмана для эллиптических кривых.
Задание 13: Написать программу (пакет программ), с помощью которой реализуема адаптация протокола цифровой подписи Эль-Гамаля на эллиптических кривых.
Задание 14: Написать программу (пакет программ), с помощью которой реализуема адаптация протокола цифровой подписи Шнорра на эллиптических кривых.
Задание 15: Написать программу (пакет программ), с помощью которой реализуем протокол аутентификации на основе диалоговых доказательств с
нулевым разглашением.
Задание 16: Написать программу (пакет программ), с помощью которой реализуем неинтерактивный протокол аутентификации на основе доказательств с нулевым разглашением знания логарифма в группе точек эллиптической кривой.
Задание 17: Написать программу, реализующую алгоритм вычисления на эллиптической кривой односторонней функции, свободной от коллизий.
Задание 18: Написать программу, реализующую аналог генератора ПСП
Блюма-Шуба на эллиптической кривой.
Задание 19: Написать программу (пакет программ), с помощью которой реализуем протокол подписи «вслепую» на основе протокола Эль-Гамаля на
эллиптической кривой (протокол для электронных платежей).
Задание 20: Написать программу (пакет программ), с помощью которой реализуем протокол создания электронной монеты на основе протокола ЭльГамаля на эллиптической кривой.
Задание 20: Написать программу (пакет программ), с помощью которой реализуем протокол создания электронной монеты на основе протокола
Шнорра на эллиптической кривой.
5. Образовательные технологии
В учебном процессе при реализации компетентностного подхода используются активные и интерактивные формы проведения занятий:
интерактивный опрос;
модельный метод обучения – моделирование в процессе обучения тех
или иных ситуаций;
кейс-стади – имитация в учебном процессе реального события для демонстрации того или иного изучаемого явления, студентам предлагается рассмотреть случай, который требует решения тех или иных задач текущей темы;
метод проектов – распределение заданий между учащимися, предполагающий сбор и анализ информации, а также представление полученных результатов в виде реферата;
метод Делфи – метод поиска быстрых решений в группе;
эвристические технологии генерирования идей: «мозговой штурм», синектика, ассоциации;
тренинг – активное овладение и развитие знаний, умений и навыков
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины «Криптографические протоколы»:
а) основная литература:
1. Смарт Н. Криптография [Текст] / Н. Смарт; пер. с англ. С.А. Кулешова;
под ред. С. К. Ландо. – М.: Техносфера, 2006. – 525, [3] с.: рис., табл. –
(Мир программирования). – ISBN 5-94836-043-1. – ISBN 0077099877
(англ.).
б) дополнительная литература:
2. Рябко Б. Я. Основы современной криптографии для специалистов в информационных технологиях [Текст] / Б.Я. Рябко, А.Н. Фионов. – М.:
Науч. мир, 2004. – 172, [4] с. – Библиогр. – ISBN 5-89176-233-1 (в пер.).
3. Салий В.Н. Криптографические методы и средства защиты информации.
– 2010. – URL:
http://www.sgu.ru/files/nodes/11017/V.N._Saliy._Kriptograficheskie_metody
_i_sredstva_zashchity_informacii.doc
4. Основы криптографии [Текст]: учеб. пособие / А. П. Алфёров [и др.]. –
3-е изд., испр. и доп. – М.: Гелиос АРВ, 2005. – 479, [1] с. – Библиогр.: с.
469-475. – ISBN 5-84438-137-0.
5. Фомичев В.М. Дискретная математика и криптология [Текст]: курс лекций / В. М. Фомичев; общ. ред. Н.Д. Подуфалов. – М.: ДИАЛОГ-МИФИ,
2003. – 397, [3] с. – Библиогр.: с. 386-390 (86 назв.). – ISBN 5-86404-1858.
6. Василенко О.Н. Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии [Текст]
/ О. Н. Василенко. – М.: Изд-во Моск. Центра непрерыв. мат. образования, 2003. – 325, [3] с. – Библиогр. – ISBN 5-94057-103-4.
Виноградов И.М. Основы теории чисел [Текст]: учеб. пособие / И. М.
Виноградов. – 10-е изд., стер. – СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2004. – 176 с.
– (Учебники для вузов. Специальная литература). – ISBN 5-8114-0535-9.
8. Маховенко Е.Б., Ростовцев А.Г. Быстрая арифметика для эллиптических
кривых над расширенными полями // Проблемы информационной безопасности. Компьютерные системы. 1999. № 2. С. 50-54. Ссылка на
электронный вариант:
http://www.ssl.stu.neva.ru/ssl/publications/magazine/1999_2.htm
9. Ростовцев А.Г. О выборе эллиптической кривой над простым полем для
построения криптографических алгоритмов // Проблемы информационной безопасности. Компьютерные системы. 1999. №3. С. 37-40. Ссылка
на электронный вариант:
http://www.ssl.stu.neva.ru/ssl/publications/magazine/1999_3.htm
10. Ростовцев А.Г., Маховенко Е.Б. Криптосистема на категории изогенных
эллиптических кривых // Проблемы информационной безопасности.
Компьютерные системы. 2002. № 3. С. 74-81. Ссылка на электронный
вариант:
http://www.ssl.stu.neva.ru/ssl/publications/magazine/2002_3.htm
11. Ростовцев А.Е., Маховенко Е.Б. Реализация протоколов на эллиптических кривых // Проблемы информационной безопасности. Компьютерные системы. 1999. № 4. С. 62-67. Ссылка на электронный вариант:
http://www.ssl.stu.neva.ru/ssl/publications/magazine/1999_4.htm
7.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:
Стандартное программное обеспечение компьютерного класса, интегрированная среда разработки программного обеспечения Microsoft Visual Studio.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Лекционные занятия проводятся в аудиториях на 40-60 посадочных
мест, в отведенных для занятий аудиториях имеются учебные доски (большого размера) для визуализации информации. Также в ходе лекционных занятий применяются учебно-демонстрационные мультимедийные презентации, которые обеспечиваются следующим техническим оснащением:
1. Компьютер (в комплекте с колонками)
2. Мультимедийный проектор
3. Экран.
Лабораторные занятия: дисплейные классы на 10-20 посадочных мест с
установленным необходимым инструментальным программным обеспечением.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом
рекомендаций и Примерной ООП ВПО по специальности 090301 «Компьютерная безопасность» и специализации «Математические методы защиты
информации».
Автор
ст. преподаватель
В.Е.Новиков
Программа одобрена на заседании кафедры теоретических основ компьютерной безопасности и криптографии от «___» __________2012 года, протокол
№ ___
Зав. кафедрой
теоретических основ
компьютерной безопасности и криптографии
профессор
В.Н.Салий
Декан факультета
компьютерных наук
и информационных технологий
доцент
А.Г.Федорова