Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 5
Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии
Цель. Изучение применяемых в криптографии базовых алгоритмов работы с большими числами.
Порядок выполнения работы.
1. Выбрать одну из предложенных тем работ.
2. Познакомиться с алгоритмами решения задач в рамках выбранной темы.
3. Объяснить, при решении каких задач криптографии они применяются.
4. Изложить суть алгоритмов, их свойства, оценки вычислительной сложности, провести
сравнительный анализ, описать подходы к программной реализации.
5. Выполнить программную реализацию одного или нескольких алгоритмов (по согласованию
с преподавателем)
6. Подготовить отчет о работе (5-7 страниц)
7. На основе отчета подготовить обзорное сообщение по теме на 15 минут (включая
демонстрацию программы)
Темы.
1. Арифметика вычетов. Операции с большими числами по модулю p. Возведение числа в
степень по модулю р. Алгоритм Евклида. Нахождение обратных чисел по модулю р.
Нахождение квадратичных вычетов. [2, 3, 7]
2. Модульное представление чисел и Китайская теорема об остатках. [2,3,7]
3. Проверка большого числа на простоту (тест на основе малой теоремы Ферма, тест
Соловея-Штрассена, тест Рабина-Миллера и др.) [1,2,3,]
4. Построение больших простых чисел (Критерий Люка, на основе теоремы Диемитко, метод
Мауэра, на основе чисел Мерсена и др.) [1,2,3]
5. Алгоритмы факторизации целых чисел (алгоритм Полларда, алгоритм ПоллардаШтрассена, Факторизация Ферма, Алгоритм Диксона, квадратичное решето и др.) [1,2,3,5]
6. Дискретное логарифмирование (Алгоритм перебора, алгоритм Сильвера- ПоллигаХеллмана (алгоритм согласования) и др.) [1,3,5,7]
7. Операции на эллиптических кривых. Дискретное логарифмирование на эллиптических
кривых.[4,8]
8. Построение псевдослучайных последовательностей.[3,5]
Примечание:
одна тема может выполняться совместно двумя студентами.
время на подготовку 1-2 недели
Литература.
1. В.В.Ященко Введение в криптографию. – М.:МЦНМО, 1998 (второе издание – в изд.
«Питер» в 2001 или 2002 году). Полнотекстовый вариант есть на www.cryptography.ru
2. А.В.Черемушкин. Вычисления в алгебре и теории чисел. Полнотекстовый вариант есть на
www.cryptography.ru и в локальной сети.
3. Б. Шнайер. Прикладная криптография (http://www.ssl.stu.neva.ru/psw/crypto.html)
4. Рябко Б.Я., Фионов А.А. Основы современной криптографии. – М.: Научный мир, 2004
(была заказана для библиотеки НГУ и должны были приобрести).
5. Нечаев В.И. Элементы криптографии. Основы защиты информации. – М.: ВШ.,1999.
6. Д. Кнут. Искусство программирования. Т. 2.
7. Ахо, Ульман, Хопкрофт. Построение и анализ вычислительных алгоритмов.
8. Болотов А.А. Алгоритмические основы эллиптических кривых (есть в локальной сети)