1. цели и задачи изучения дисциплины.

Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
УТВЕРЖДЕНО
Ученым советом факультета математики и
информационных технологий
Протокол №________ от «____»_________2008 г.
Председатель __________________А.А. Бутов
(подпись, расшифровка подписи)
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
Дисциплина:
Кафедра:
Теория чисел
Алгебро-геометрических вычислений ____(АГВ)____
(аббревиатура)
Специальность (направление):
Прикладная математика и информатика. 01.02.00.
(код специальности (направления), полное наименование)
Дата введения в учебный процесс УлГУ:
«_____» ___________ 2008 г.
Сведения о разработчиках:
ФИО
Самойлов Леонид Михайлович
Аббревиатура
кафедры
АГВ
Ученая степень,
звание
к.ф.-м.н.
Заведующего кафедрой
Мищенко С.П.
(ФИО)
/_____________/
(Подпись)
«______»__________ 2008 г.
Форма А
Страница 1 из 7
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
Оглавление
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ. ...................................... 3
1.1. Цели ........................................................................................................... 3
1.2. Задачи ........................................................................................................ 3
2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ...................... 3
3. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ. ............................................................................... 4
3.1. Объем дисциплины и виды учебной работы: ....................................... 4
3.2. Распределение часов по темам и видам учебной работы: ................... 4
4. СОДЕРЖАНИЕ ................................................................................................ 5
Тема 1: Предмет курса. ..................................... Error! Bookmark not defined.
Тема 2: Простые числа ..................................... Error! Bookmark not defined.
Тема 3. Арифметические функции.................. Error! Bookmark not defined.
Тема 4. Числовые сравнения ............................ Error! Bookmark not defined.
Тема 5. Первообразные корни и индексы....... Error! Bookmark not defined.
Тема 6. Понятие об алгебраических и трансцендентных числах ......... Error!
Bookmark not defined.
5. ТЕМЫ СЕМИНАРСКИХ ЗАНЯТИЙ ............................................................ 6
6. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ПО
ПОДГОТОВКЕ К ЗАЧЕТУ ................................................................................... 6
7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ.............. 7
7.1. Список литературы: ................................................................................. 7
Форма А
Страница 2 из 7
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ.
Учебная дисциплина «Теория чисел» является одним из специальных курсов,
изучаемых студентами второго курса, обучающихся по специальности “Компьютерная
безопасность”.
Дисциплина «Теория чисел» базируется на знаниях и умениях, полученных
студентами на первом курсе в процессе изучения следующих дисциплин: линейная
алгебра, алгебра, математический анализ.
Цели
Целями учебной дисциплины являются:
1. овладение основными знаниями по теории чисел;
2. развитие навыков решения теоретико-числовых задач.
Задачи
Основными задачами учебной дисциплины являются:
 формирование у будущих математиков комплексных знаний о теории чисел
 приобретение студентами навыков и умений по решению теоретико-числовых
1.2.
задач
2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
В результате изучения дисциплины «Теория чисел» студенты должны знать:
 Определения и свойства простых и взаимно простых чисел
 Алгоритм Евклида и линейное разложение НОД
 Докзательство однозначности разложения на простые множители
 некоторые частные случаи теоремы Дирихле о бесконечности
множества простых чисел в арифметической прогрессии
 основные
теоретико-числовые
функции,
в
том
числе
мультипликативные функции; функция Эйлера; сумма делителей и
число делителей
 сравнения и их основные свойства; вычеты и классы вычетов по
модулю m; кольца классов вычетов; полная система вычетов;
приведенная система вычетов; теорема Эйлера и Ферма;
 решение сравнений первой и второй степени;
 первообразные корни и индексы;
 понятие об алгебраических и трансцендентных числах:
алгебраические и трансцендентные числа; теорема Лиувилля о
приближении алгебраических чисел рациональными числами;
существование трансцендентных чисел.
уметь:

Форма А
решать теоретико-числовые задачи
Страница 3 из 7
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
3.1.
Объем дисциплины и виды учебной работы:
Вид учебной работы
1
Аудиторные занятия:
Лекции
практические и семинарские занятия
Самостоятельная работа
Всего часов по дисциплине
Текущий контроль (количество и вид,
контрольные работы)
Курсовая работа
Виды промежуточной аттестации
(экзамен, зачет)
Количество часов (форма обучения очная__)
В т.ч. по семестрам
Всего по плану
1
2
3
2
3
4
5
72
72
36
36
36
36
28
28
100
100
зачет
зачет
3.2.
Распределение часов по темам и видам учебной работы:
Форма обучения ___очная____
Название и разделов и тем
Всего
Виды учебных занятий
Аудиторные занятия
практиче Самосто
ятельная
ские
лекции
работа
занятия,
семинар
3
4
5
1
2
1. Простые числа
2. Арифметические функции.
3. Числовые сравнения.
4. Первообразные корни и индексы.
5. Понятие об алгебраических и трансцендентных
числах.
12
16
30
22
20
4
6
10
10
6
6
6
10
8
6
5
5
8
5
5
Итого
100
36
36
28
Форма А
Страница 4 из 7
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
3. СОДЕРЖАНИЕ
Тема 1. Предмет курса.
Краткий исторический обзор развития теории чисел; основные направления
исследований и основные методы; влияние теории чисел на развитие других разделов
математики; применение теоретико-числовых результатов в математике и ее
приложениях; роль русских и советских математиков в развитии теории чисел;
Тема 2. Простые числа.
Свойства делимости целых чисел; простые числа; решето Эратосфена; теорема Евклида о
бесконечности множества простых чисел; основная теорема арифметики о разложении
целых чисел на простые сомножители; наибольший общий делитель и наименьшее общее
кратное ; некоторые частные случаи теоремы Дирихле о бесконечности множества
простых чисел в арифметической прогрессии;
Тема 3. Арифметические функции.
Целая и дробная часть числа; разложение числа n! на простые множители; суммы,
распространенные на делители числа; мультипликативные функции; функция Эйлера и
ее свойства; сумма делителей и число делителей; оценки Чебышева для функции числа
простых чисел, не превосходящих х;
Тема 4. Числовые сравнения.
Сравнения и их основные свойства; вычеты и классы вычетов по модулю m; кольца
классов вычетов; полная система вычетов; приведенная система вычетов; теорема Эйлера
и Ферма; сравнения первой степени: сравнения с одним неизвестным; равносильные
сравнения; решения сравнения; сравнения первой степени; теорема о существовании
решений; простейшие приемы решений; системы сравнений, их решения; теоремы о
решении систем сравнений первой степени; сравнения *n*-ой степени: сравнения *n*-ой
степени по простому модулю; теоремы о равносильности сравнений; теорема о числе
решений сравнения; теорема Вильсона; сравнения *n*-ой степени по составному
модулю; сведение сравнения по составному модулю к системе сравнений по простому
модулю; сравнения второй степени: сведение сравнений второй степени к вучленному
сравнению; двучленные сравнения по простому модулю;
Тема 5. Первообразные корни и индексы.
Показатель числа по модулю m; свойства показателей; теорема о существовании
первообразного корня по простому модулю; первообразные корни по модулям р и 2р ;
теорема об отыскании первообразных корней; индексы по модулям р и 2р ; таблицы
индексов; двучленные сравнения n-ой степени; существование решений; степенные
вычеты и невычеты n-ой и степени; число степенных вычетов; критерий для отыскания
степенных вычетов; решение двучленных сравнений с помощью вычетов; решение
показательных сравнений; условие принадлежности числа показателю и, в частности, к
классу первообразных корней; число классов принадлежащих показателю; число классов
первообразных корней; арифметические приложения теории сравнений: отыскание
остатков от деления некоторого числа на заданное число; установление признаков
делимости чисел;
Тема 6. Понятие об алгебраических и трансцендентных числах.
Форма А
Страница 5 из 7
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
Алгебраические и трансцендентные числа; теорема Лиувилля о приближении
алгебраических чисел рациональными числами; существование трансцендентных чисел.
Иррациональность числа е.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
4. ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
Применение однозначности разложения на множители.
Алгоритм Евклида и линейное разложение НОД.
Решение диофантовых уравнений.
Сравнение. Решение сравнений различных степеней.
Применение сравнений.
Китайская теорема об остатках
Теорема Ферма и Эйлера
Первообразные корни и индексы.
Алгебраические и трансцендентные числа.
5. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ПО ПОДГОТОВКЕ К
ЗАЧЕТУ
1. Свойства делимости целых чисел; простые числа; решето Эратосфена; теорема
Евклида о бесконечности множества простых чисел;
2. Основная теорема арифметики о разложении целых чисел на простые
сомножители;
3. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное;
4. Некоторые частные случаи теоремы Дирихле о бесконечности множества
простых чисел в арифметической прогрессии;
5. Целая и дробная часть числа; разложение числа n! на простые множители;
6. Суммы, распространенные на делители числа; мультипликативные функции;
7. Функция Эйлера и ее свойства;
8. Сумма делителей и число делителей; оценки Чебышева для функции числа
простых чисел, не превосходящих х;
9. Сравнения и их основные свойства; вычеты и классы вычетов по модулю m;
кольца классов вычетов; полная система вычетов; приведенная система
вычетов;
10. Теорема Эйлера и Ферма;
11. Сравнения первой степени: сравнения с одним неизвестным; равносильные
сравнения; решения сравнения; сравнения первой степени; теорема о
существовании решений; простейшие приемы решений; системы сравнений,
их решения; теоремы о решении систем сравнений первой степени;
12. Сравнения *n*-ой степени: сравнения *n*-ой степени по простому модулю;
теоремы о равносильности сравнений; теорема о числе решений сравнения;
теорема Вильсона;
13. Сравнения *n*-ой степени по составному модулю; сведение сравнения по
составному модулю к системе сравнений по простому модулю; сравнения
второй степени: сведение сравнений второй степени к вучленному сравнению;
двучленные сравнения по простому модулю;
Форма А
Страница 6 из 7
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
14. Свойства показателей; теорема о существовании первообразного корня по
простому модулю;
15. Первообразные корни по модулям р и 2р;
16. Теорема об отыскании первообразных корней; индексы по модулям р и 2р ;
таблицы индексов;
17. Двучленные сравнения n-ой степени; существование решений; степенные
вычеты и невычеты n-ой и степени; число степенных вычетов; критерий для
отыскания степенных вычетов; решение двучленных сравнений с помощью
вычетов; решение показательных сравнений; условие принадлежности числа
показателю и, в частности, к классу первообразных корней; число классов
принадлежащих показателю; число классов первообразных корней;
18. Арифметические приложения теории сравнений: отыскание остатков от
деления некоторого числа на заданное число; установление признаков
делимости чисел;
19. Алгебраические и трансцендентные числа; теорема Лиувилля о приближении
алгебраических
чисел
рациональными
числами;
существование
трансцендентных чисел.
20. Иррациональность числа е.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ.
7.1.
Рекомендуемая литература:
И.М. Виноградов, Основы теории чисел. М:Просвещение, 1970.
А.А. Бухштаб, Теория чсиел. М:Просвещение, 1966.
Форма А
Страница 7 из 7