УДК 539 - eSSUIR

УДК 539.2
СИНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ФАЗОВЫЙ ПЕРЕХОД ВТОРОГО РОДА
С КОМПЛЕКСНЫМ ПАРАМЕТРОМ ПОРЯДКА
А.В. Хоменко, доц.
Сумский государственный университет
1 ВВЕДЕНИЕ
В последнее время повышенное внимание привлекает кинетика фазовых переходов, в
частности, описываемых комплексным параметром порядка (см. работы [1, 2] и
имеющиеся там ссылки). Очевидно, что для изучения особенностей кинетики фазового
перехода с комплексным параметром порядка перспективным представляется
использование комплексной модели Лоренца. Согласно синергетической схеме Лоренца
фазовый переход реализуется в результате взаимно согласованного поведения трех
степеней свободы: параметра порядка (t), сопряженного поля h(t) и управляющего
параметра S(t) [3]. Первая пара указанных переменных связана с управляющим
параметром отрицательной обратной связью, обеспечивающей устойчивость системы.
Основой синергетического подхода является то обстоятельство, что положительная
обратная связь η(t) и S(t) с h(t) может привести к самоорганизации системы, которая и
является причиной фазового перехода. С математической точки зрения наиболее простой
схемой описания указанных особенностей самоорганизующейся системы является
действительная система Лоренца [4]. Она состоит из трех дифференциальных уравнений,
выражающих скорости изменения величин η, h, S через их значения. Однако в ряде
случаев использование этой схемы не представляется возможным, поскольку величины η
и h являются комплексными, и учитывается частота их изменения. В частности, такая
ситуация реализуется при описании генерации когерентного излучения в лазере и
бистабильной оптической системы двух уровней атомов. Очевидно, данный пробел можно
восполнить, используя комплексные уравнения Лоренца, в которых η и h имеют
комплексный вид. Таким образом, задача предлагаемой работы состоит в исследовании
возможных сценариев течения фазового перехода второго рода в рамках комплексной
модели Лоренца. При этом отдельный интерес представляет изучение влияния величины
разности частот изменения параметра порядка и сопряженного поля на кинетику фазового
превращения.
2 АДИАБАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Система комплексных уравнений Лоренца имеет вид [5]:

h   

 i    ig S,
   1  i    igh,
1
h
(1)
h
(2)
S   Se  S  /  S  4g I m(h ),
(3)
где точка означает дифференцирование по времени t; η и h - комплексный параметр
порядка и сопряженное поле соответственно; S - управляющий параметр; ωη, ωh(τη,τh,τS) частоты (времена релаксации) соответствующих величин; Se - параметр внешнего
воздействия; g - положительная константа связи. Первые слагаемые описывают
релаксацию системы к стационарным значениям η=0, h=0, S=Se и колебания величин η, h,
вторые - связь между различными гидродинамическими модами. Отрицательный знак
перед нелинейным слагаемым (3) отражает отмеченную выше отрицательную обратную
связь параметра порядка и сопряженного поля с управляющим параметром, плюс перед ηS
в (2) - положительную обратную связь η и S с h, являющуюся причиной самоорганизации.
Система (1) - (3) сводится к уравнениям типа Максвелла-Блоха и получена в
полуклассическом приближении для описания генерации излучения в одномодовом
лазере. Для данного случая η - безразмерная комплексная амплитуда моды
электромагнитного поля, ωη(τη-1) - частота (константа релаксации) моды; h - безразмерная
поляризация (недиагональный элемент матрицы плотности); S - инверсия населенностей
атомных уровней; ωh - частота атомных переходов; Se - параметр, характеризующий
интенсивность накачки; g - константа связи между частицами и полем; τh-1(τS-1) поперечная (продольная) константа релаксации.
Используя масштабы
m  2g h 
1
,
hm  iS0 / 2,

S0   h g2

1
, h,
(4)
для измерения параметра порядка, сопряженного поля, управляющего параметра и
времени и переходя к представлению взаимодействия приходим к системе
     1  i     h  ,
(5)
h   1  i   i   h   r  i     S,
(6)
 
S = -b-1S - Re ηh ,
(7)
где проведена замена S - r на S, введены параметры
   h /  , b   S /  h , r  Se / S0 ,
и величина

 
    h / 1   h1
  0,

(8)
(9)
представляет расстройку частоты. Параметр ρ введен, чтобы система имела вид
рассмотренной в [6]. Поскольку (t) и h(t) комплексные функции (η=η1+iη2, h=h1+ih2), то
система (5) - (7) состоит из пяти уравнений для действительных переменных η1, η2, h1, h2,
S.
В адиабатическом приближении τh, τS << τη, означающем, что в ходе своей эволюции
сопряженное поле h(t) и управляющий параметр S(t) изменяются настолько быстро, что
успевают следовать за медленным изменением параметра порядка η(t), можно пренебречь
флуктуациями величин h(t)≈h(η(t)), S(t)≈S(η(t)), полагая в (6), (7) h =0, S =0. В результате
получаем равенства:
h
S=
b1 (r  i  )(1  i   i  )  i  |  |2
[1  (    )2 ] b1  |  |2
,
2
 (    )  r  |  |
,
(1  (    )2 )b1  |  |2
(10)
(11)
выражающие сопряженное поле и управляющий параметр через параметр порядка. В
случае r<ρ(Δ-ρ) зависимость S(|η|) монотонно возрастает от нуля при |η|=0, а когда r>ρ(Δρ) - имеет монотонно убывающий вид. Последнее является следствием отрицательной
обратной связи в (3).
В области |η|<<1 функция |h|(|η|) носит линейный характер, характеризуемый
восприимчивостью χ=[1+(Δ-ρ)2]-1/2(r2+ρ2)1/2. Эта зависимость при ρ=0 имеет максимум в
точке |η|= b 1 (1  2 ) . После достижения максимума она асимптотически спадает до
значения |h|=0. В случае ρ=Δ вид зависимости |h|(|η|) определяется соотношением
параметров r и Δ. При r<33/2Δ она имеет монотонно возрастающий вид. В точке r=33/2Δ
появляется плато. При r>33/2Δ функция |h|(|η|) возрастает на промежутке
1/ 2 
  2 br

  2 

 , cos  33 / 2  / r , а затем убывает до точки
|  | 0, 
cos  
 b
  3 

3
3 




1/ 2
 2 br


|  | 
cos  b 

3
 3

, после чего снова монотонно возрастает. Очевидно, что
спадающий характер зависимости |h|(|η|) не имеет физического смысла.
Подставляя (10) в (5), приходим к уравнению типа Ландау-Халатникова
  
V
,    1 [1  i (   )] 1 ,

(12)
где синергетический потенциал имеет вид
V  |  |2  b1 [ r   (    )] ln{[1  (    )2 ] b1  |  |2 }.
(13)
Если параметр Se не больше критического значения
Sc  S0 [1       ],
(14)
то зависимость V(|η|) имеет монотонно возрастающий вид с минимумом в точке ηst=0. При
этом сопряженное поле и управляющий параметр принимают стационарные значения
hst=0 и Sst=0, а система не упорядочивается, что отвечает спонтанному излучению в лазере.
В закритической области Se>Sc синергетический потенциал приобретает минимум при
ненулевом значении параметра порядка
1st  b1/ 2 [ r  1  (   )]1/ 2 , 2st  0.
(15)
Теперь стационарные значения сопряженного поля и управляющего параметра
определяются равенствами:
h1st  1st ,
h2st   1st ,
(16)
Sst  1  (  )  r .
(17)
Это означает, что при резком переходе системы в область, характеризуемую значением
параметра Se>Sc, она за время
(18)
 ef   [1  (  )2 ][ r  1  (  )] 1
приобретает стационарное значение параметра порядка (15) (происходит когерентное
излучение света - генерация в лазере). При этом зависимость η(t) имеет обычный
дебаевский вид
  1st [1  exp(t /  ef )].
(19)
3 СЛУЧАЙ τh<<τ, τS
Как и выше, в (6) можно положить h = 0, что дает связь
h
(S  r  i  )
.
1  i (   )
(20)
Учитывая ее в оставшихся уравнениях (5), (7), приходим к системе

 ( S  r  1  2   )[1  i (    )]
S  b1 S 
1  (    )2
|  |2 [ S  r   (    )]
1  (    )2
.
,
(21)
(22)
Поведение данной системы задается параметрами (8) и (9).
В общем случае стандартный анализ [7] системы (21), (22) показывает, что ее фазовый
портрет характеризуется наличием двух особых точек D(0, 0, 0) и O(Sst, 1st,0) с
координатами, определенными равенствами (15), (17).
Как показывает проведенное исследование, при отстройке частоты
=(   h )/( 1   h1 )=0 вид фазовых портретов, представляющих кинетику фазового
перехода (см. рис. 1а, 2а, 4), совпадает с соответствующим для действительной модели
Лоренца [4].
В предкритической области (r<1+Δ(Δ-ρ)) фазовые траектории сходятся к точке D, а
точка O не реализуется. Это означает, что с течением времени система эволюционирует в
отвечающее точке D стационарное неупорядоченное состояние согласно рис. 1. Рост
параметра Δ приводит к закручиванию траекторий вокруг точки D в комплексной
плоскости параметра порядка, т.е. с ростом частоты изменения параметра порядка по
сравнению с сопряженным полем проявляется тенденция к возникновению
колебательного режима (см. рис. 1б).
Рисунок 1 - Фазовые портреты неупорядоченной фазы (Se=Sc-0,5S0, 102τh=τ=τS): а - Δ= ρ=0; б-Δ=10, ρ=0
Как видно из рис. 2 - 5 эта тенденция реализуется и при переходе в закритическую
область r>1+Δ(Δ-ρ), где появляется дополнительная точка O, к которой сходятся фазовые
траектории. При Δ=0 колебания в плоскости Re  - Im  отсутствуют, а при Δ0 здесь
возникает колебательный режим. Увеличение параметра Δ сопровождается ростом
частоты этих колебаний.
Рисунок 2 - Фазовые портреты упорядоченной фазы (102τh= τη=τS): а - Δ= ρ=0; б - Δ=10, ρ=0. Этот и все последующие рисунки
соответствуют параметру Se=Sc+0,5S0
Указанные выше особенности относятся к случаям    S ,    S и    S .
Последний предел отвечает адиабатическому приближению, представляющему
стандартную картину фазового перехода. В этом случае на фазовом портрете, в частности,
показанном на рис. 3а, выделяется участок MON, который имеют все траектории. Как
видно из временных зависимостей, приведенных на рис. 3б, конфигуративная точка
быстро движется по траектории, расположенной за пределами участка MON, а с
попаданием на него существенно замедляется. В работе [4] было показано, что этот
участок отвечает притягивающему множеству, названному в [8] "руслом большой реки".
Универсальность кинетической картины фазового перехода проявляется в том, что
независимо от начальных условий параметры системы быстро достигают участка MON и
затем медленно эволюционируют по этой универсальной траектории. Как видно из рис.
3а, синергетический фазовый переход, описываемый комплексными уравнениями
Лоренца, характеризуется движением по универсальному участку, которое представляет
затухающий осцилляционный процесс в плоскости комплексного параметра порядка.
Согласно рис. 4 в обратном пределе    S при =0 колебательное поведение
возникает в плоскостях Re  - S и Im  - S, а в плоскости Re  - Im  колебания
отсутствуют. С ростом расстройки частоты  появляется колебательный режим в
плоскости комплексного параметра порядка, а колебания в двух других плоскостях
трансформируются к виду, показанному на рис. 5в. Таким образом, сохраняется общая
тенденция, присущая изменению поведения конфигурационной точки в плоскости Re  Im  в зависимости от значения параметра .
10
б
S
1
8
6
2
4
2
0
0
20
40
60
80
100
t
Рисунок 3 - Фазовый портрет (а) и временная зависимость пути s, пройденного конфигуративной точкой по фазовой траектории (б)
упорядоченной фазы (104τh=102τS=τη, Δ=15, ρ=0). Начало отсчета s отмечено крестиком на соответствующих траекториях
Рисунок 4 - Фазовый портрет упорядоченной фазы (104τh=102τη=τS, = ρ=0)
Рисунок 5 - Фазовый портрет упорядоченной фазы (104 τh=102τη= τS, Δ=10, ρ=0): а - общий вид; б, в - проекции на плоскости Re  - Im 
и Re  - S соответственно
Во всех рассмотренных в этом разделе случаях соотношений времен релаксации при
выполнении условия Δ=ρ картина поведения системы сводится к случаю Δ=0. При
отклонении значения параметра ρ (ρ>0) от величины расстройки частоты Δ1(Δ1>0)
фазовые портреты принимают вид, соответствующий случаю Δ=|Δ1-ρ|, при этом ситуации
ρ<Δ1 и ρ>Δ1 в представлении фазового портрета являются одинаковыми.
4 СЛУЧАЙ τη<<τh, τS
Аналогично первому случаю, полагая в (5)  =0, получаем связь
  h(1  i ) 1 ,
подстановка которой в уравнения (6), (7) дает систему
hh
( S  r  1  2   )(1  i )
1  2
S  b1S 
| h |2
1  2
.
(23)
,
(24)
(25)
Подобно предыдущему случаю фазовый портрет определяется наличием особых точек
D(0, 0, 0) и O(Sst, h1st, h2st) с координатами, определенными равенствами (16) и (17).
Как показывает проведенное исследование, при отстройке частоты Δ=0 вид фазовых
траекторий совпадает с соответствующим для действительных параметра порядка и
сопряженного поля [4]. В неупорядоченной области фазовые траектории сходятся к точке
D, а точка O не реализуется. Рост параметра Δ приводит к закручиванию траекторий
вокруг точки D в комплексной плоскости сопряженного поля.
Такое поведение реализуется и при переходе в упорядоченную область, где появляется
дополнительная точка O, к которой сходятся фазовые траектории. При Δ=0 колебания в
плоскости Re h - Im h отсутствуют, а при Δ0 здесь возникает колебательный режим.
Увеличение параметра Δ сопровождается ростом частоты этих колебаний.
Проведенный анализ и вид фазовых траекторий на рис. 6 показывают, что как и в
предыдущем случае, в адиабатическом пределе (τh>>τS) проявляется универсальность
кинетического поведения, состоящая в выделении участка MON, на котором параметры
системы медленно эволюционируют к стационарной точке O.
Рисунок 6 - Фазовый портрет упорядоченной фазы (104τη=102τS=τh, Δ=10, ρ=0)
В обратном пределе τh<<τS при Δ=0 колебательное поведение возникает в плоскостях
Re h - S и Im h - S, а в плоскости Re h - Im h колебания отсутствуют. С ростом расстройки
частоты Δ появляется колебательный режим в плоскости комплексного сопряженного
поля, а колебания в двух других плоскостях сводятся к виду, подобному приведенному на
рис. 5в. Таким образом, зависимость поведения конфигурационной точки в плоскостях Re
 - Im  в первом случае и Re h - Im h от величины параметра Δ имеет одинаковый
характер.
Характерно, что в данном случае изменение параметра Δ не влияет на вид фазовых
портретов.
5 СЛУЧАЙ τS<< τη, τh
Полагая в (7) S =0, находим
b
S   ( h   h)
2
(26)
и уравнения (5), (6) принимают вид
   [ h  (1  i ) ],
h  h(1  i   i  )   [ r  i  
(27)
b
( h   h)].
2
(28)
Фазовый портрет системы имеет особые точки D(0, 0, 0, 0) и O(1st,0,h1st,h2st) (см. (15),
(16)), вторая из которых реализуется только в упорядоченной области.
Проведенный анализ и вид фазовых траекторий на рис. 7-9, показывает, что
универсальность кинетического поведения системы проявляется как при τh<< τη, так и при
τh>>τη. Это выражается в наличии универсального участка, по которому эволюционируют
параметры системы.
В случае τh<<τη (рис. 7) наблюдается возникновение колебаний в плоскостях Re  - Im
 и Re h - Im h при ненулевых значениях параметра Δ. С ростом параметра Δ колебания в
данных плоскостях менее выражены и прекращаются при Δ=ρ, после чего они снова
возобновляются. Однако при этом фазовые портреты, соответствующие ситуациям ρ<Δ и
ρ>Δ, не являются одинаковыми. Данное предельное соотношение времен релаксации
характеризуется выделением на фазовых траекториях универсального участка MO (см.
рис. 7).
В обратном пределе τh>> τη (рис. 8) наблюдаются
колебания в плоскостях Re 
- Im  и Re h - Im h, возрастающие по амплитуде с ростом параметра Δ. При увеличении
параметра Δ указанная характеристика колебательного режима в плоскости Re  - Im  не
претерпевает изменений (рис. 8б), а в плоскости Re h - Im h уменьшается и достигает
своего минимума при значении ρ=Δ (рис. 8в), после чего она снова возрастает. В отличие
от предыдущего случая универсальный участок здесь не выделен графически, а
представляет прилегающую к центру O часть фазовых траекторий, проекции которых на
плоскости Re - Im  и Re h - Im h имеют вид спиралей.
Рисунок 7 - Фазовый портрет упорядоченной фазы (104τS=102τh=τη, Δ=10, ρ=0)
Рисунок 8 - Фазовые портреты упорядоченной фазы (104τS=102τη=τh, Δ=100,
кривая 1 - ρ=1; 2 - ρ=50; 3 - ρ=100): а - общий вид;
б - проекция на плоскость Re  - Im ; в - проекция на плоскость Re h - Im h
В промежуточной области τh=τη (рис. 9), при ненулевых значениях параметров ρ и Δ
возникают колебания в плоскостях Re  - Im  и Re h -Im h. С ростом параметра ρ
амплитуда колебаний в плоскости Re  - Im  уменьшается, а частота растет (рис. 9б). В
плоскости Re h - Im h относительно амплитуды реализуется обратная картина, а частота
по прежнему увеличивается (рис. 9в).
6 ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Проведенное исследование показывает, что система комплексных уравнений Лоренца
(1) - (3) позволяет представить основные особенности фазового перехода второго рода,
характеризуемого комплексным параметром порядка. Термодинамическое описание
достигается использованием зависимости V(||) синергетического потенциала от
величины параметра порядка. Эта зависимость имеет вид (13), и ее характер определяется
управляющим параметром Se: при Se<Sс имеем монотонно возрастающую зависимость
V(||) с минимумом в точке st=0, а при Se>Sc минимум отвечает упорядоченной фазе,
характеризуемой параметром порядка (15). Кинетическая картина фазового перехода
представляется фазовыми портретами, показанными на рис. 1 – 9, и временной
зависимостью пути, пройденного точкой по траектории (рис. 3б). Фазовый портрет имеет
при Se<Sс притягивающий узел D, отвечающий неупорядоченной фазе; при Se>Sc
появляется дополнительный узел/фокус O, соответствующий упорядоченной фазе.
Очевидно, при несоизмеримости времен релаксации τη, τh, τS можно выделить шесть
характерных режимов: а) τh<<τS<< τη, б) τη<<τS<<τh, в)τS<<τh<< τη, г) τS<< τη<<τh, д)
τh<<τη<<τS, е) τη<<τh<<τS. В случаях (а) - (г) по истечении короткого времени траектория
системы выходит на универсальный участок ("русло большой реки"). Как видно из
приведенных фазовых портретов, "русло большой реки" расположено в параметрическом
пространстве , h, S таким образом, что при проектировании на плоскости Re  - Im  и
Re h - Im h оно имеет вид спирали типа MON на рис. 3а, 6. Из приведенных фазовых
портретов можно видеть, что при указанной несоизмеримости времен релаксации в
режимах (а) - (г) выход на универсальный участок происходит по почти прямолинейным
траекториям, практически параллельным осям, соответствующим меньшим временам
релаксации. Так, в режиме (а) точка сначала очень быстро движется по прямой,
параллельной оси S, со скоростью, в τη/τS раз превышающей скорость последующего
движения по универсальному участку. При соотношении времен релаксации, отвечающем
случаям (д), (е), система испытывает затухающие колебания в плоскостях,
соответствующих двум наибольшим их значениям. При всех соотношениях времен
релаксации различие частот изменения параметра порядка и сопряженного поля приводит
к возникновению осцилляционного режима поведения параметров в комплексных
плоскостях этих величин.
Рисунок 9 - Фазовые портреты упорядоченной фазы (102τS=τh=τη, Δ=10, кривая 1 - ρ=10;
2 - ρ=100): а - общий вид; б - проекция на плоскость Re  - Im ; в - проекция на плоскость Reh - Im h
Как известно [2, 9], комплексная система Лоренца описывает появление странного
(хаотического) аттрактора при росте управляющего параметра Se выше критического
значения Sc. Термином "странный аттрактор" называется сложная структура, каждая
траектория которой экспоненциально неустойчива. Очевидно, что в случаях (д), (е)
следует ожидать переход от затухающих колебаний в режим странного аттрактора в
трехмерном (Re - Re h - S) или пятимерном (Re  - Im  - Re h - Im h - S) пространстве
комплексной системы Лоренца. Таким образом, этот переход возможен при выполнении
условий τh~ τη<<τS.
Приведенные фазовые портреты могут быть использованы для прогнозирования
возможных режимов генерации излучения в одномодовом лазере, в частности, в
зависимости от величины расстройки частоты Δ. В качестве примера такого анализа
можно привести сопоставление результатов теории [2] и эксперимента с CO2 лазером c
однородно уширенной линией излучения [10], в котором удалось превысить порог Sc
устойчивости равновесного состояния (15). Согласно [2] при малых отстройках Δ0
хаотический аттрактор образуется при параметре SeSc, и с ростом Δ после каскада
удвоений периода система не проявляет хаотический режим даже при Se10-20Sc.
Выражаю благодарность А.И. Олемскому за ценные предложения и А.Д. Киселеву за
обсуждение работы.
SUMMARY
Using the Lorenz model the kinetics of second-order phase transition is studied represented by a complex order parameter and conjugate
field as well as a control parameter. The various limiting cases in the ratios of the corresponding relaxation times are examined. The phase
portraits in various kinetic modes are studied numerically. The universal attracting section (“mainstream”) is found in the phase portraits. It is
shown that the difference of variation frequencies of the order parameter and the conjugate field leads to oscillatory behavior of the parameters
in complex planes of above quantities.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Olemskoi A.I., Klepikov V.F. // Phys. Rep. - 2000. - V.338. - P.571.
Kiselev A.D. // J. Phys. Stud. - 1998. - V.2, No.1. - P.30.
Хакен Г. Синергетика. - М.: Мир, 1980. - 404 с.
Олемской А.И., Хоменко А.В. // ЖЭТФ. - 1996. - Т.110, N12. - С.2144.
Haken H. Laser Light Dynamics. - North-Holland Phys. Publishing, 1985.
Fowler A.C., Gibbon J.D., McGuinness M.J. // Physica. - 1982. - V.4D. - P.139.
Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. - М.: Наука, 1981. – 568с.
Зельцер А.С., Соболева Т.К., Филиппов А.Э. // ЖЭТФ. - 1995. - Т.108, N1. - С.356.
Sparrow C. The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos and Strange Attractors.- New-York: Springer, 1982.
Arrecchi F.T., Meucci R., Puccioni G., Tredicce J. // Phys. Rev. Let. - 1982. - V.49. - P.12-17.
Поступила в редколлегию 12 января 2004 г.