Численные методы 2014г. - Владивостокский государственный

Министерство образования и науки Российской Федерации
Владивостокский государственный университет
экономики и сервиса
Кафедра математики и моделирования
и
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Рабочая программа учебной дисциплины
Основная образовательная программа
210700.62 (11.03.02) Инфокоммуникационные технологии и
системы связи
Б
а
к
а
л
а
в
С.В. КУЧЕРОВА
р
а
т
Институт информатики, инноваций и бизнес-систем
Владивосток
Издательство ВГУЭС
2014
ББК 22.174
Рабочая программа учебной дисциплины «Численные методы» составлена в соответствии с требованиями ООП: 210700.62 (11.03.02) Инфокоммуникационные технологии и системы связи на базе ФГОС ВПО.
Автор-составитель: Кучерова С.В., канд. физ.-мат. наук, доцент,
доцент кафедры математики и моделирования
Утверждена на заседании кафедры математики и моделирования от 27.03.2014 г., протокол № 10
Рекомендована к изданию учебно-методической комиссией Института информатики, инноваций и бизнес-систем ВГУЭС.
© Издательство Владивостокского
государственного университета
экономики и сервиса, 2014
ВВЕДЕНИЕ
В связи с возрастающими требованиями современной математики,
техники и физики увеличивается интерес к приближенным способам
решения математических задач, к способам, позволяющим получить
окончательный результат решения задачи в конкретной числовой форме.
Условием широкого внедрения средств вычислительной техники во
всех областях деятельности человека является повышение математических знаний специалистов.
Распространенная черта молодых специалистов-математиков - их
растерянность перед задачами, возникающими непосредственно из
практики. Это совсем не обязательно связано с недостатком способностей, а отражает формальный характер вузовского курса математики по
сравнению с другими дисциплинами.
Возможным решением этой важной проблемы следует считать введение в традиционный курс разделов, главной целью которых было бы
обучение методам постановки математических задач, возникающих в
реальных практических ситуациях.
Учебная дисциплина «Численные методы» предназначена для
ознакомления студентов с основными методами и приемами вычислительной математики на базе стандартного вузовского курса высшей математики, привития им навыков решения типовых задач вычислительной математики с применением компьютера или микрокалькулятора.
При вычислениях с помощью персонального компьютера возможно
применение системы компьютерной математики MathCAD.
Для успешного усвоения дисциплины необходимы знания по математическому анализу, аналитической геометрии и линейной алгебре,
дифференциальным уравнениям, программированию.
При этом повышенное внимание уделено проблемам практического
применения вычислительных методов, в частности, возникающих при
их машинной обработке. Полученные знания могут быть использованы
при решении физических и научно-технических задач, создании и анализе работы различных математических моделей в экономике и других
сферах человеческой деятельности.
Данная программа построена в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта России к дисциплине «Численные методы».
3
1. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
1.1. Цель и задачи освоения учебной дисциплины
Целью изучения дисциплины «Численные методы» является формирование у студентов достаточных теоретических знаний и практических навыков по использованию методов вычислительной математики в
производственной деятельности, в том и числе, при их программной
реализации на компьютерах..
Задачей изучения дисциплины «Численные методы» является формирование у студента необходимых знаний:
– о вычислительной математике как о разделе высшей математики;
– о классификации численных методов;
– о причинах возникновения погрешностей и их учете при оценке
результата вычислений;
– об основах численных методах линейной алгебры, о приближении функций, об основах дифференцирования и интегрирования функций, о рядах Фурье, о решении обыкновенных дифференциальных
уравнений и решении некоторых уравнений в частных производных, об
оптимизации;
– об особенностях машинной реализации численных методов и
использования при этом стандартных пакетов прикладных программ
(ППП).
1.2. Место учебной дисциплины в структуре ООП
Дисциплина «Численные методы» относится к дисциплинам по выбору базовой части ООП.
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые
в результате освоения учебной дисциплины
Формируемые компетенции
Таблица 1
Название
ООП (сокращенное название ООП)
Блок
Код компетенции
1
2
3
Составляющие компетенции
4
4
5
Инфокоммуникационные
технологии и
системы
связи
Б.2
ОК-9 использовать
основные законы
естественнонаучных дисциплин в
профессиональной
деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического
и экспериментального исследования
Владеть
методами решения
дифференциальных и
алгебраических уравнений, дифференциального и
интегрального исчисления
аналитической геометрии теории вероятностей и
математической статистики, математической логики,
функционального
анализа
1.4. Основные виды занятий и особенности
их проведения
Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы,
108 часов, из них 51 час аудиторной нагрузки. Дисциплина изучается в
пятом семестре. Удельный вес занятий, проводимых в интерактивных
формах, составляет 20% аудиторных занятий.
В учебном процессе предусмотрены активные формы обучения в
виде тренингов, групповых дискуссий. Особое место в овладении данным курсом отводится самостоятельной работе по решению текущих и
индивидуальных домашних заданий. Индивидуальные домашние задания представляют собой исследование реальных ситуаций.
1.5. Виды контроля и отчетности по дисциплине
Для контроля знаний студентов используется рейтинговая система.
В процессе обучения студент должен выполнять лабораторные работы и
индивидуальные домашние задания.
Текущий, промежуточный и итоговый контроль осуществляются с
использованием организационных форм и количественных показателей
контроля, закрепленных для данной дисциплины в соответствии с действующей системой оценки успеваемости студентов во ВГУЭС.
Текущий контроль предполагает:
– проверку уровня самостоятельной подготовки студента при выполнении индивидуальных заданий и лабораторных работ;
5
– опросы и групповые дискуссии.
Промежуточный контроль осуществляется путем проведения промежуточных аттестаций в виде тестирования преподавателем, проводящим лекционные занятия.
Дисциплина завершается экзаменом в 7-м семестре. Экзамен проводится в форме тестирования, в экзаменационные тесты включаются
теоретические и практические вопросы. Итоговая оценка по дисциплине
формируется на основе результатов текущих и промежуточной аттестаций.
2. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ
ДИСЦИПЛИНЫ
2.1. Темы лекций
Тема 1. Введение. Классификация численных методов. Приближенные числа и их погрешности (2 часа)
Определение численных методов. Требования устойчивости, сходимости и экономичности. Прямые и итерационные численные методы.
Классификация численных методов по группам решаемых задач. Причины возникновения погрешностей при решении задач численными
методами. Виды погрешностей. Абсолютная и относительная погрешности приближенного числа. Предельная абсолютная и предельная относительная погрешности. Погрешности арифметических операций.
Погрешности дифференцируемых функций.
Тема 2. Уравнения. Системы уравнений (2 часа)
Классификация уравнений и систем уравнений. Корни алгебраических уравнений. Корни трансцендентных уравнений. Постановка задачи
отыскания корней нелинейного уравнения. Графический метод. Итерационный метод. Метод хорд. Метод Чебышева.
Тема 3. Система линейных алгебраических уравнений. Основные
сведения и определения (2 часа)
Основные определения: стандартная форма записи системы линейных алгебраических уравнений, система линейных алгебраических
уравнений в матричной форме и её решение. Типы матриц: прямоугольная матрица размером m n , квадратная матрица размером n n , матрица - строка, матрица - столбец, диагональная матрица, верхняя треугольная матрица и нижняя треугольная матрица. Линейные операции:
умножение матрицы на число и сложение матриц. Свойства линейных
операций. Умножение матриц, свойства умножения матриц. Транспонирование матрицы.
6
Тема 4. Система линейных алгебраических уравнений. Метод Крамера (2 часа)
Определитель, минор и алгебраическое дополнение. Правила вычисления определителей. Теорема разложения. Правило Саррюса. Теорема Крамера для системы n линейных уравнений с n неизвестными.
Исследование системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) матрицы. Вырожденная и невырожденная матрицы.
Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера.
Тема 5. Система линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса. Матричный метод (4 часа)
Решение системы линейных алгебраических уравнений методом
Гаусса. Прямой и обратный ход. Блок – схема решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
Решение системы линейных алгебраических уравнений матричным
методом. Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы. Теорема о единственности матрицы, обратной данной. Нахождение обратной матрицы: метод присоединенной
матрицы, метод элементарных преобразований.
Тема 6. Приближенное решение систем нелинейных уравнений.
Метод Ньютона (4 часа)
Приближенное решение систем нелинейных алгебраических уравнений. Метод Ньютона. Пример решения системы уравнений.
Тема 7. Интерполирование функций (2 часа)
Типы ситуаций: выбор из двух или нескольких альтернатив; ранжированный выбор; количественная целочисленная переменная. Методы использования в моделях качественных переменных: метод фиктивных переменных для экзогенных факторов, logit- и probit-модели для
бинарных эндогенных переменных. Множественные совокупности фиктивных переменных, интерпретация коэффициентов при фиктивных
переменных. Фиктивные переменные для коэффициента наклона.
Тема 8. Биномиальные ряды в вычислительных процессах (4 часа)
Бином Ньютона. Полином. Основы теории биномиальных рядов.
Приближённое вычисление значения корня. Представление в виде
степенного ряда дробно-рациональной функции с радикалами в числителе и знаменателе. Длина эллипса.
Тема 9. Приближённое вычисление определённых интегралов (4 часа)
Постановка задачи численного интегрирования. Численное интегрирование функций: формулы прямоугольников, формула трапеций и
формула Симпсона. Квадратурные формулы открытого и замкнутого
типов. Квадратурная формула Гаусса - Лежандра открытого типа: общий вид, алгебраическая степень точности. Нули многочленов Ле7
жандра и формула весовых коэффициентов. Другие типы квадратурных
формул Гаусса. Рекомендации по применению квадратурных формул в
вычислительных процессах.
Тема 10. Ряды Фурье. Основы теории приближения функций (4
часа)
Обобщенный ряд Фурье: вид и формулы его коэффициентов. Ортогональность тригонометрической системы функций. Ряд Фурье: вид и
формулы его коэффициентов. Явление Гиббса. Типы сходимости в теории приближения функций. Пространство среднеквадратичного приближения функций L2 (a, b;  ) : определение; скалярное произведение
двух функций f (x) и q(x) , норма функции f (x) ; погрешность приближения функции f (x) с помощью другой функции q(x) .
Ортогональность произвольной системы многочленов Rk (x) ,
k  0,1, 2,  , заданных на отрезке [a, b] с весовой функцией  (x) , и
квадрат их нормы. Классические ортогональные многочлены: обозначение, весовая функция  (x) , область определения и отрезок ортогональности [a, b]. Обобщенный ряд Фурье: вид и формулы его коэффициентов. Многочлены Чебышева первого рода: рекуррентная формула,
явный вид, ортогональность и квадрат их нормы. Ряд по многочленам
Чебышева первого рода: вид и формулы для нахождения его коэффициентов. Многочлены Лежандра: рекуррентная формула, явный вид, ортогональность и квадрат их нормы. Ряд Лежандра: вид и формулы для
нахождения его коэффициентов.
Тема 11. Дифференциальные уравнения (4 часа)
Классификация дифференциальных уравнений. Основные определения. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого
порядка методом разделения переменных. Уравнение Лапласа. Методы
приближенного решения дифференциальных уравнений. Приближенное
решение дифференциальных уравнений. Метод Эйлера. Приближенное
решение дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутта.
2.2. Перечень тем практических/лабораторных занятий
Тема 1. Система линейных алгебраических уравнений. Метод Крамера. Метод Гаусса. Матричный метод. (2 часа).
Решение системы линейных алгебраических уравнений методом
Крамера. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Прямой и обратный ход. Решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом.
Тема 2. Приближенное решение систем нелинейных уравнений.
Метод Ньютона (2 часа).
8
Приближенное решение систем нелинейных алгебраических уравнений. Метод Ньютона.
Тема 3. Интерполирование функций.
Тренинг «Применение методов интерполирования» – 4 часа.
Описание: Слушатели разбиваются на группы 3–4 чел. Каждой
группе предоставляются задания одинаковой сложности. Группа решает
задание применяя различные методы интерполирования функций.
Каждая группа защищает свои результаты перед остальными группами.
Тема 4. Приближённое вычисление определённых интегралов.
Тренинг «Приближённое вычисление определённых интегралов» –
4 часа.
Описание: Слушатели разбиваются на группы 3–4 чел. Каждой
группе предоставляются задания одинаковой сложности. Группа выполняет интерполирование функций различными методами.
Каждая группа защищает свои результаты перед остальными группами.
Тема 5. Ряды Фурье. Исследование на сходимость (3 часа)
Обнаружение гетероскедастичности: тест ранговой корреляции
Спирмена, тест Голдфелда-Квандта., тест Глейзера. Обобщённый метод
наименьших квадратов.
Автокорреляция: определение, причины и последствия автокорреляции. Критерий Дарбина-Уотсона проверки на автокорреляцию. Авторегрессионная схема первого порядка. Итеративный метод КокранаОрката. Поправка Прайса-Уинстона для малых выборок.
Тема 6. Методы приближенного решения дифференциальных уравнений (2 часов)
Построение аддитивной и мультипликативной модели временного
ряда. Циклическая, трендовая и случайная компоненты ряда. Задачи
эконометрического исследования временных рядов.
Автокорреляционная функция ряда и выявление структуры ряда.
Аналитическое выравнивание методом скользящей средней. Моделирование сезонных и циклических колебаний, десезонализация данных.
Моделирование тенденции временного ряда.
3. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
Лекционные занятия проводятся с использованием мультимедийного оборудования, позволяющего демонстрацию слайдов и методики
применения программного продукта в статистических исследованиях.
9
Лабораторные работы проводятся в компьютерном классе с использованием ППП «MS Excel» и математико-статистического пакета
MathCAD.
4. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ
4.1. Перечень и тематика самостоятельных работ
магистрантов по дисциплине
Самостоятельная работа студентов заключается в изучении вышеперечисленных тем и выполнении текущих и индивидуальных заданий,
выполнении аудиторных лабораторных работ:
– парная регрессия;
– множественная регрессия;
– моделирование одномерных временных рядов.
4.2. Контрольные вопросы для самостоятельной
оценки качества освоения учебной дисциплины
. Классификация уравнений и систем уравнений.
2. Постановка задачи отыскания корней нелинейного уравнения.
3. Корни алгебраических уравнений.
4. Корни трансцендентных уравнений.
5. Вычисление корней нелинейного уравнения. Графический метод.
6.
Вычисление корней нелинейного уравнения. Итерационный
метод.
7. Вычисление корней нелинейного уравнения. Метод хорд.
8.
Вычисление корней нелинейного уравнения. Метод Чебышева.
9.
Системы линейных алгебраических уравнений. Основные
определения.
10. Матрица, определитель, минор, алгебраическое дополнение.
11. Теорема разложения, обратная матрица, умножение матриц.
12. Теорема Крамера. Проблема единственности решения системы
уравнений.
13. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
14. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера.
15. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
10
16. Решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом.
17. Постановка задачи интерполирования.
18. Интерполирующая функция – алгебраический многочлен.
Способы нахождения коэффициентов этого многочлена.
19. Сущность и область применения линейной интерполяции.
20. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
21. Фундаментальные многочлены Лагранжа.
22. Интерполяционный многочлен Ньютона.
23. Бином. Полином.
24. Бином и биномиальный ряд.
25. Применение биномиальных рядов в вычислительных процессах. Приближённое вычисление значения корня. Представление в виде
степенного ряда дробно-рациональной функции с радикалами в числителе и знаменателе.
26. Приближённое вычисление длины эллипса.
27. Классификация квадратурных формул.
28. Квадратурные формулы открытого и замкнутого типов.
29. Три формулы прямоугольников.
30. Формула трапеций.
31. Формула Симпсона.
32. Формулы Гаусса открытого типа, узлами которых являются
нули ортогональных многочленов.
33. Формула Гаусса - Лежандра открытого типа, построенная с
применением нулей многочленов Лежандра.
34. Область применения квадратурных формул разного типа.
35. Ортогональность тригонометрической системы функций.
36. Ряд Фурье: вид и формулы его коэффициентов.
37. Явление Гиббса.
38. Типы сходимости в теории приближения функций.
39. Пространство среднеквадратичного приближения функций
L2 (a, b;  ) : определение; скалярное произведение двух функций
f (x ) и q(x) , норма функции f (x ) ; погрешность приближения
функции f (x ) с помощью другой функции q (x) .
40. Ортогональность произвольной системы многочленов
k  0,1, 2,  , заданных на отрезке [a, b] с весовой функцией
квадрат их нормы.
11
Rk (x) ,
 (x) , и
41. Классические ортогональные многочлены: обозначение, весо-
вая функция  (x) , область определения и отрезок ортогональности [a,
b].
42. Обобщенный ряд Фурье: вид и формулы его коэффициентов.
43. Многочлены Чебышева первого рода: рекуррентная формула,
явный вид, ортогональность и квадрат их нормы. Ряд по многочленам
Чебышева первого рода: вид и формулы для нахождения его коэффициентов.
44. Многочлены Лежандра: рекуррентная формула, явный вид,
ортогональность и квадрат их нормы.
45. Ряд Лежандра: вид и формулы для нахождения его коэффициентов.
46. Числовые ряды. Признаки сходимости рядов с положительными членами. Признак Даламбера. Интегральный признак.
47. Признак сходимости знакочередующихся рядов (признак Лейбница).
48. Функциональные ряды. Признак сходимости функционального ряда: признак Вейерштрасса. В качестве примера взять известный
ряд Фурье.
49. Теорема о дифференцировании и интегрировании функциональных рядов.
50. Классификация дифференциальных уравнений. Основные
определения.
51. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом разделения переменных.
52. Методы приближенного решения дифференциальных уравнений.
53. Приближенное решение дифференциальных уравнений. Метод Эйлера.
54. Приближенное решение дифференциальных уравнений. Метод
Рунге-Кутта.
4.3. Методические рекомендации по организации СРС
Самостоятельная работа студента включает в себя работу с литературой, что гарантирует возможность качественного освоения данной
дисциплины. В качестве самостоятельной работы предполагается выполнение домашних заданий, групповая работа над ситуационными задачами. При выполнении индивидуальных домашних заданий необходимо использовать теоретический материал, делать ссылки на соответствующие теоремы, свойства, формулы и пр.
12
4.4. Рекомендации по работе с литературой
В процессе изучения дисциплины помимо материала, изложенного
преподавателем на лекционных занятиях и имеющегося в электронном
виде на сервере (слайды в PowerPoint), а так же раздаточного материала
для выполнения лабораторных работ, может возникнуть необходимость
в использовании учебной литературы.
В качестве основного источника можно использовать учебное пособие: Киселевская С.В., Ушаков А.А. «Вычислительная математика.Численные методы».
Наиболее подробно и просто теория большинства тем изложена в
учебнике Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику.
Примеры решения практических задач содержатся в пособиях: Киреев В.И. Численные методы в примерах и задачах.
Бахвалов Н.С. Численные методы. Решения задач и упражнения.
Более подробное изложение материала курса можно найти в учебниках и пособиях, указанных в списке рекомендованной и дополнительной литературы.
5. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
5.1. Основная литература
1. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику: учебное пособие для студ. вузов / В.С. Рябенький. – 3-е изд.,испр. и доп. –
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. – 288 с.
2. Mathcad 14: Практическое руководство [Электронный ресурс]: /
Д.В. Кирьянов. – Санкт-Петербург: БХВ-Петербург: Новый диск, 2005.
3. Бахвалов Н.С. Численные методы. Решения задач и упражнения:
учебное пособие для студ. вузов / Н.С. Бахвалов, А.А. Корнев, Е.В. Чижонков. – М.: Дрофа, 2009.
4. Киреев В.И. Численные методы в примерах и задачах: учебное
пособие для студ. вузов / В.И. Киреев, А.В. Пантелеев. – 3-е
изд.,стереотип. – М.: Высш. шк., 2008. – 480 с.: ил.
5. Синчуков А.В. Вычислительная математика: учебник для студентов вузов – М.: Синергия 2012. – 176с.
13
5.2. Дополнительная литература
6. Шевцов Г.С. Численные методы линейной алгебры: учебное пособие для студ. вузов / Г.С. Шевцов, О.Г. Крюкова, Б.И. Мызникова. –
М.: Финансы и статистика: ИНФРА-М, 2008. – 480 с.
7. Формалев В.Ф. Численные методы: учебное пособие для студ.
вузов / В.Ф. Формалев, Д.Л. Ревизников; под ред. А.И. Кибзуна. – 2-е
изд.,испр. и доп. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 400 с.
8. Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения): учебное пособие для вузов / В. М. Вержбицкий. –
2-е изд., испр. – М.: ОНИКС – 21 век, 2005.
9. Волков Е.А. Численные методы: учебное пособие / Е. А. Волков. – 3-е изд., испр. – СПб.: Лань, 2004. – 256 с.
10. Самарский А.А. Задачи и упражнения по численным методам:
учебное пособие / А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская. –
2-е изд., испр. – М.: Едиториал УРСС, 2003. – 208с.
11. Петров И.Б. Лекции по вычислительной математике: учебное
пособие / И.Б. Петров, А.И. Лобанов. – М.: БИНОМ: ЛЗ : ИНТУИТ.РУ,
2006. – 523 с.: ил.,табл.
12. Поршнев С.В. Численные методы на базе Mathcad [Текст]:
учебное пособие для студ. вузов / С.В. Поршнев, И.В. Беленкова. –
СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 464 с.
5.3. Интернет-ресурсы
1. http://lib.vvsu.ru – Полнотекстовые базы данных, библиотека
ВГУЭС.
2. http://www.gost.ru – Библиотека стандартов ГОСТ.
3. http://www.gks.ru.
4. http://www.primstat.ru.
5. http://www.oecd.org
6. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ДИСЦИПЛИНЫ
Для проведения лекционных занятий в аудитории должно быть
оборудование для представления презентационных материалов.
14
Для проведения лабораторных занятий необходима специальная
аудитория, оснащенная персональными компьютерами не менее Pentium
IV- с оперативной памятью не менее 512 Мбайт и памятью на жестком
диске 40 Гбайт и выше. На персональных компьютерах должно быть
установлено следующее программное обеспечение: операционная система Windows XP и выше, MS Office 2003 и выше, программа
MathCAD и выше.
15