Лекция_4

ЛЕКЦИЯ № 4
Тема: Неопределенный и определенный интегралы и их свойства.
Применение определенного интеграла к решению прикладных задач.
План:
1. Понятие первообразной
2. Свойства и таблица интегралов
3. Методы интегрирования
4. Понятие определенного интеграла
5. Методы решения определенного интеграла
6. Применение определенного интеграла
1. Понятие первообразной
Опр: Процесс обратный процессу дифференцирования называется
интегрированием.
Опр: Процесс интегрирования применяется для нахождения
первообразной.
Опр: Функция y=F(x) называют первообразной функции y=f(x) , если
для всех х из области определения функции F’(x)=f(x).
Опр: Совокупность первообразных F(x)+C для данной функции f(x)
называют неопределенным интегралом от функции f(x):
 f ( x)dx  F ( x)  C
2. Свойства и таблица интегралов
  f ( x)dx ' 
d  f ( x)dx  f ( x)dx
f ( x)
 kf ( x)dx  k  f ( x)dx
 dF ( x)  F ( x)  C
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx
Интегралы некоторых элементарных функций.
 du  u  c

du
 ln u  c
u
 sin udu   cos u  c
du
 cos

2
u
du
 tgu  c
1  u2
 arcsin u  c
u 1
c
 1
au
u
 a du  ln a  c
u
u
 e du  e  c

 u du 
(α≠-1)
 cos udu  sin u  c
du
 sin
2
u
du
1 u
2
 ctgu  c
 arctgu  c
13
3.Методы интегрирования
Методы интегрирования
Непосредственное
интегрирование
- основан на использовании
свойств неопределенного
интеграла
Метод замены
переменной
- этот способ заключается
в переходе от данной
переменной
интегрирования к другой
переменной для
упрощения
подынтегрального
выражения и приведения
его к одному из
табличных
sin x  t
 sin
7
x cos xdx  d sin x  dt 
  t 7 dt 


x3
x  6 x  3 dx 
 3x 2  3x  C
3
2
cos xdx  dt
t8
sin 8 x
C 
C
8
8
Интегрирование по
частям
∫udv = uv - ∫vdu
∫xlnxdx
обозначим lnx=u,
тогда xdx=dv
Находим
du=d(lnx)’=(lnx)’dx=
1
x
= dx
x2
v=∫xdx=
2
Используя формулу
интегрирования по
частям:
x2
x2 1
ln x  
dx
2
2 x
x2
1 x2
 ln x 
C 
2
2 2
x2 
1
  ln x    C
2
2
 x ln xdx 
14
4.Понятие определенного интеграла
Определенный интеграл от непрерывной на отрезке [a; b] функции
y=f(x) равен приращению первообразной y=F(x) для этой функции на
указанном промежутке:
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a)
(Формула Ньютона – Лейбница)
a
Свойства определенного интеграла:
1.
b
b
a
a
 kf ( x)dx  k  f ( x)dx
b
2.
b
 ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dx
a
3.
4.
b
a
b
0
a
a
a
b
 f ( x)dx   f ( x)dx  f ( x)dx
0
b
a
a
b
 f ( x)dx   f ( x)dx
a
5.
 f ( x)dx 0
a
5. Методы решения определенного интеграла
Замена переменных интегрирования в определенных интегралах
b
Определенный интеграл  f ( x)dx может быть вычислен с помощью
a
введения новой переменной, если выполнены следующие условия:
1. Функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b]
2. Отрезок [a,b] является множеством значений функции x=φ (t),
определенной на отрезке [a,b] и имеющей на нём непрерывную
производную
3. φ(α)=a, φ(β)=b
Тогда справедлива формула:

b
 f ( x)dx  f ( (t )) ' (t )dt
a
Интегрирование по частям
Если функция u и v имеют непрерывные производные на отрезке [a,b],
то для определенного интеграла справедлива формула интегрирования по
частям
b
b
b
a
a
a
 udv  uv |   vdu
15
6. Применение определенного интеграла
Вычисление площадей
Геометрический смысл определённого интеграла: как известно,
определённый интеграл от неотрицательной непрерывной функции есть
площадь соответствующей криволинейной трапеции. В этом заключается
геометрический смысл определённого интеграла, на этом основано его
применение к вычислению площадей плоских фигур.
Пример: Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями
у=-х2+х+12, х=-2, х=3, у=0.
у=-х2+х+12 – парабола, «ветви» направлены вниз, пересекает ось х в точках
х= -3 и х=4.
Данная плоская фигура представляет собой криволинейную трапецию,
поэтому её площадь вычисляется по формуле:
3
3
x3 3 x2 3
5
S   (-х  х  12)dx  |
|  12 x |  50
3 2 2 2
6
2
2
Вычисление длины дуги кривой:
b
l   1  [ f ' ( x)]2 dx
a
Вычисление объёма тела вращения:
b
V    [ f ( x)]2 dx
a
Контрольные вопросы для закрепления:
1. Дайте определение понятию «первообразной».
2. Какова формула вычисления неопределенного интеграла.
3. Назовите свойства неопределенного интеграла.
4. По какой формуле вычисляется интеграл от степенной функции?
5. Назовите методы интегрирования неопределенного интеграла,
16
охарактеризуйте каждый из методов.
6. Раскройте суть формулы Ньютона-Лейбница.
7. Назовите свойства определенного интеграла.
8. Назовите
методы
решения
определенного
интеграла,
охарактеризуйте каждый из них.
9. Исходя из того, что процесс интегрирования обратный процессу
дифференцирования какие задачи можно решать на физический и
геометрический смысл?
10.Каково практическое применение определенного интеграла?
Литература:
1. Омельченко В.П., Демидова А.А. Математика: Компьютерные
технологии в медицине. – Ростов н/Д:Феникс, 2008. -588 с. Ил.-(Среднее
профессиональное образование)
2. Подготовка к ЕГЭ по математике [электронный ресурс]: конспект по
алгебре. URL: http://uztest.ru/abstracts/
17