ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ «ИНТЕГРАЛ»
1. Что является основной задачей интегрального исчисления?
2. Какая функция называется первообразной для заданной функции?
3. Если F(x) – первообразная для f(x) , то каким равенством связаны они между
собой?
4. Сформулируйте теорему о существовании первообразной функции.
5. Первообразная определяется неоднозначно. Как это нужно понимать?
6. Почему при интегрировании функций появляется произвольная постоянная?
7. Почему одна функция имеет целую совокупность первообразных?
8. Как записать всю совокупность первообразных функций?
9. Что называется неопределенным интегралом?
10. Чем отличается неопределенный интеграл от первообразной функции?
11. Почему интеграл называется неопределенным?
12. Как называются все элементы равенства  f ( x)dx  F ( x)  C ?
13. Чем отличаются друг от друга подынтегральная функция и подынтегральное
выражение?
14. Что означает постоянная С в определении неопределенного интеграла?
15. Какие свойства неопределённого интеграла вы знаете?
16. Как доказать справедливость каждой формулы интегрирования?
17. Почему n ≠ -1 для интеграла  x n dx ? В какой формуле рассматривается этот
случай?
18. Какие из следующих равенств записаны верно, а какие нет:
dx
x2
 ln x  C ; в)  (1  x)dx  x 
C ?
а)  x 3 dx  3x 2  C ; б)
x
2
19. В чем состоит геометрический смысл неопределенного интеграла?
20. Что такое интегральные кривые? Как они расположены друг относительно
друга? Могут ли они пересекаться?
21. Как расположены касательные к интегральным кривым в точках, имеющих
одну и ту же абсциссу?
22. Как из семейства интегральных кривых выделить одну из них?
23. Как определить постоянную интегрирования по начальным данным?
24. Какие методы интегрирования неопределённого интеграла вы знаете? В чём
заключается суть каждого из методов?
25. Напишите формулу интегрирования по частям неопределённого интеграла.
26. Укажите целесообразные подстановки для нахождения следующих
интегралов:
3
e arctgx
1  ln x
dx
dx ; в)  x 3  5 1  3x 4 dx .
а) 
;
б)

2
x
1 x
27. Укажите, какие из следующих интегралов целесообразно интегрировать по
частям:
x 3 dx
dx
arcsin xdx
а)  xarctgxdx; б) 
; в) 
; г) 
; д)  cos x ln(sin x)dx .
x ln x
x2
4  x2
28. Что такое неберущиеся интегралы? Приведите примеры.
29. Что такое определенный интеграл?
b
30. Что в записи
 f ( x)dx
означают : а) числа а и в; б) х; в) f(x); г) f(x)dx. Может
a
ли быть а=в; а>в ?
31. Запишите формулу Ньютона-Лейбница.
32. Объясните,
почему
неверен
следующий
результат:
1
dx
1
1 x  ln x 1  ln 1  ln 1  0 .
33. Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.
34. В чем заключается формула замены переменной интегрирования в
определенном интеграле?
35. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?
36. Что такое криволинейная трапеция?
37. Может ли площадь криволинейной трапеции быть отрицательной, равной
нулю и почему?
38. Что такое несобственный интеграл?
39. Геометрический смысл несобственного интеграла.
40. Геометрические приложения определенного интеграла. Где?
41. Физические (механические) приложения определённого интеграла.
ВЫВОДЫ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВА.
1. Доказательство свойств неопределённого интеграла.
2. Вывести формулы для вычисления интегралов от некоторых функций,
dx
dx
содержащих квадратный трёхчлен:  2
;

2
ax  bx  c
ax  bx  c
3. Метод интегрирования по частям. Вывод формулы.
4. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?
Вывод.