Карамов С.

реклама
305
МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД ПРОНИ ДЛЯ СОПРОВОЖДЕНИЯ
ТРОХОИДАЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИЙ
С.В. Карамов1
1
ООО "Вакарис", 141607, Московская обл., г. Клин,
Волоколамское шоссе, 44, стр. 28, sergkar@mail.ru
Рассматривается модифицированный метод наименьших квадратов Прони для
распознавания, сопровождения и прогнозирования трохоидальных траекторий,
получаемых
при
наблюдении
за
вращающимися
и
произвольно
перемещающимися в пространстве объектами. Приводится сравнение с другими
методами обработки подобных траекторий.
Введение
В различных приложениях существует
необходимость
в
осуществлении
обнаружения, сопровождения и управления
объектами,
в
движении
которых
присутствует вращательная составляющая.
К таким объектам, к примеру, относятся
летательные аппараты (ЛА), вращающиеся
вокруг
своей
продольной
оси
и
произвольно
перемещающиеся
в
пространстве преимущественно
в
заданном
направлении
[1].
При
наблюдении за подобным ЛА, на плоскость
перпендикулярную
оси
визирования
проецируется траектория, имеющая две
составляющие,
поступательную
и
вращательную.
Предполагается, что на ЛА существует
источник излучения, координаты центра
которого можно принять за реперную
точку, по которой проводится наблюдение.
В случае отсутствия источника излучения,
за реперную точку можно взять любой
малый
участок
ЛА,
максимально
удаленный от оси вращения. Под
наблюдением подразумевается измерение
двумерных координат реперной точки в
дискретные
моменты
времени.
Получаемую в результате наблюдения
двумерную
траекторию
условимся
называть трохоидальной, поскольку на
плоскости она приближается функцией –
обобщенной трохоидой.
Для слежения за ЛА необходимо
выделение
составляющих
параметров
траектории, таких как: координаты центра
вращения, частоты вращения, текущей фаза
вращения, радиуса вращения. По этим
параметрам возможно решение задачи
распознавания
ЛА,
прогнозирования
движения в случае пропадания координат,
формирования модельной сглаженной
траектории и др. Также, процесс измерения
координат
подвержен
воздействию
пассивных и активных помех, в результате
действия которых появляются ошибки в
измерениях либо отсутствие достоверных
измеренных координат. На рисунке показан
пример
идеальной
трохоидальной
траектории, зашумленной траектории, а
также
траектории
поступательного
движения центра вращения.
306
В [2,3] описываются восемь методов
обработки трохоидальных траекторий.
Условно их можно разделить на две
группы. К первой группе относятся методы
использующие расчет параметров на
локальном
участке
с
последующей
фильтрацией этих параметров и их
прогнозировании в случае пропадания
фильтром Калмана. Ко второму методу
относится квазиоптимальная обработка,
при которой расчет параметров происходит
одновременно
с
их
Калмановской
фильтрацией.
В
настоящей
статье
представлен
дополнительный
метод
обработки траектории, основанный на
модифицированном методе Прони [4].
Оценка параметров методом Прони
В
параметрическом
виде
модель
измеренного двумерного сигнала можно
представить в виде уравнений
M
x(t )  xс (t )   Rm (t ) cos m (t )    x (t )
m 1
M
y (t )  yс (t )   Rm (t ) sin  m (t )    y (t )
(1)
m 1
xс (t ), yс (t )
где:
–
координаты
поступательной составляющей (центра
вращения); R (t ) – радиус вращения;  (t ) –
фаза вращения.  x (t ),  y (t ) – шумы
измерения.
Нестационарные параметры
сигнала (1) в общем случае могут
изменяться
произвольно.
Будем
рассматривать
локальный
участок
траектории, на котором измерено какоелибо количество координат за время T.
Интервал
дискретизации
–
τ.
Соответственно число равноотстоящих
отсчетов: n=T/τ. Введем признак наличия
достоверных координат ek. Отсчеты,
содержащие информацию с достоверными
координатами, имеют ek=1, в противном
случае ek=0, где k=1,...,n – номер отсчета в
текущем
анализируемом
временном
интервале.
Основу алгоритма составляет вычисление
оценки параметров сигнала по методу
Прони с последующей фильтрацией
Калмана по каждому параметру. Примем
гипотезу
о
меньшей
динамике
поступательной
составляющей
центра
вращения
перед
вращательной
составляющей.
В
общем
случае,
вращательных составляющих может быть
произвольное количество. Применительно
к
реальным
объектам
подлежащих
распознаванию
и
сопровождению,
например ЛА, обычно бывает достаточно
всего двух гармонических членов. Первый
отвечает за основное вращение по углу
крена, тогда как второй отражает наличие
какой-либо дополнительной составляющей
второго порядка малости. Подобной
гармоникой может быть описано, к
примеру,
явление
флаттера
–
высокочастотного колебания вращающейся
консоли стабилизатора или крыла ЛА. Для
упрощения дальнейших выкладок будем
использовать комплексную форму записи
параметрических уравнений (1)
M
z (t )  zс (t )   Rm (t )ei m (t )   z (t )
(2)
m 1
Траекторию
центра
вращения,
на
локальном участке можно приблизить
выражением
zс (t )  R1ei1  R2ei  2 t  2   R3ei 3t  3  (3)
Возможное изменение радиуса вращения на
локальном участке, можно приблизить
экспонентой. Таким образом, добавляя к (3)
члены, отвечающие за основное вращение
и
флаттер,
получим
сумму
пяти
комплексных экспонент с изменяющейся
амплитудой.
M
z (t )   Rm e mt ei mt m  ,
(4)
m1
где M=5 – порядок метода. Для применения
метода Прони перепишем (4) в виде
M
M
m 1
m 1
zk   Rmei m e m  i m k 1   hm Emk 1
(5)
Для того, чтобы учесть отсутствующие
отсчеты входного сигнала, введем новый
весовой параметр, определяемый через
признаки пропадания входных данных. В
общем случае для порядка M весовой
параметр определяется как:
ek  ek ek 1  ...  ek M ,
(6)
k  M  1,..., N .
при
Необходимые
комплексные
коэффициенты
характеристического многочлена находятся
307
n
2
M
P
 ek  a0 zk M ,
min
k 3
(7)
m 0
где a0=1. Решение (7) представляется в
виде
S1 a  S2
(8)
n


T
где:
S1i , j   ek zki zk  j  ,
ai  ai  ,
 k 3

n


S 2i , j   ek zki zk  , i, j  1,2,..., M , "*" –
 k 3

операция
комплексного
сопряжения.
Отсюда легко находятся am. Комплексные
значения Em вычисляются как корни
M
a E
M m
0
0
m 0
(9)
любым из известных способов. Для поиска
hm запишем:
n
min
e
k 1
k
M
2
zk   hm E
m1
k 1
m
Решение находится из уравнения
В1 h  В2
(10)
(11)
k 1 

T
В1i , j   ek Ei E j  ,
hi  hi  ,
 k 1

n
k 1


В 2i , j   ek Ei zk  , i, j  1,2,..., M
 k 1

Оценки искомых параметров гармоник в (4)
находятся из следующих уравнений
m  1  arg Em ,  m  1  ln Em
(12)
 m  arg hm , Rm  hm ,

n
где:

 
Оценка параметров методом Прони с
удалением тренда
Чем выше задается порядок метода Прони,
тем больше проявляется неустойчивость
оценок параметров к ошибкам измерения.
Понизить
порядок
до
минимально
возможного и увеличить точность расчета
параметров
возможно
удалением
постоянной составляющей и тренда в
измерениях. Исходя из гипотезы о
динамике перемещения центра вращения,
достаточно
выбрать
полиномиальную
модель невысокого порядка
P
M
p 1
m 1
z (t )   c pt p 1   Rm (t )ei m (t ) .
(13)
Для равномерных отсчетов запишем:
zk   ek c p k 
p 1
p 1
M
  hm Emk 1
(14)
m1
Для нахождения коэффициентов
минимизируем выражение
cp,
2
P
 

p 1 
(15)
min  ek  z k   ek c p k  
k 1 
p 1
 

что легко можно сделать любыми из
известных методов, например, методом
наименьших квадратов с весами. Вычислив
необходимые коэффициенты полинома,
вычитаем его из входного сигнала,
компенсируя тем самым возможные
тренды.
В
этом
случае
порядок
экспоненциальной модели M=2, что
значительно
повышает
устойчивость
решения.
Необходимо учитывать, что при обработке
сигнала длительностью в пределах одного
периода, следует использовать полином с
P=1. При длительности соизмеримой с
несколькими
оборотами,
оптимально
использование P=2. При увеличении n
растет
точность
экспоненциальной
аппроксимации вращения но уменьшается
точность полиномиальной аппроксимации
перемещения центра вращения.
Далее, вычисленные локальные параметры
поступают на фильтр Калмана, где
сглаживаются и прогнозируются в случае
пропадания сигнала. Все расчеты при
поступлении
следующего
измерения
повторяются. Размер временного окна для
оценки параметров должен адаптивно
перестраиваться
в
соответствии
со
значениями сглаженных оцениваемых
параметров.
n
Результаты
Приведенные алгоритмы исследовались на
модельных траекториях и реальных данных
с объекта управления в условиях наличия
шума и пропадания сигнала. В первом
случае использовался обычный метод
Прони. Во втором случае использовался
метод с удалением тренда. Оценки
производились по среднеквадратической
ошибке аппроксимации
1 n
2
(16)

ek zk  zˆk

n k 1
308
Для различных совокупностей параметров
второй метод оказался более точным.
Однако при больших величинах СКО
шума, оба метода дали недопустимые
расчетные погрешности гармонических
составляющих.
Впрочем, известно [4], что метод Прони
обеспечивает приемлемую точность только
при малых соотношениях сигнал-шум.
Если флаттер явно не выражен, то
соответствующий экспоненциальный член
можно опустить, понизив порядок M. В
противном случае возможно паразитное
влияние вычисленной ложной гармоники
на основное вращение.
Необходимо также отметить, что при
наличии одного недостоверного измерения
сигнала, в первом методе при расчетах
необходимо исключать шесть измерений, а
во втором только три.
Для приведенных методов по сравнению с
методом
полной
аппроксимации
траектории
нелинейными
параметрическими
уравнениями
[1],
ошибка (16) более чем на два порядка
выше.
Заключение
Алгоритмы на основе метода Прони, в
особенности с удалением тренда, обладают
преимуществом над методом полной
нелинейной аппроксимацией в скорости
вычисления. С другой стороны, в
приложениях, где ошибки измерения
координат
велики,
они
становятся
неработоспособными.
Большим
недостатком
подходов
основанных на методе аппроксимации
Прони, является прямая зависимость числа
не
учитываемых
отсчетов
сигнала
находящихся после недостоверного от
порядка модели. В некоторых практически
важных случаях, при частых потерях
сигнала, эта зависимость может оказаться
совершенно неприемлемой. Это общая
закономерность
методов
на
основе
линейного предсказания.
Достоинством предлагаемого подхода,
особенно при P=2 и M=2, является низкая
вычислительная сложность. В этом случае
нет
необходимости
проводить
ресурсоемкую процедуру факторизации
многочлена и одновременно малы числа
обусловленности в получаемых матрицах.
Полученные алгоритмы могут быть
применены, в частности, в оптикоэлектронных системах построенных на
фотоприемниках изображения матричного
типа,
выдающие
последовательность
изображений.
Список литературы
1. Карамов С.В., Тикменов В.Н. Построение
оптико-электронных
систем
управления
безгироскопной вращающейся ракетой // XXXII
военно-научная конференция 2ЦНИИ МО РФ
«Актуальные
проблемы
организации
комплексного
противодействия
силам
и
средствам воздушно-космического нападения»,
Тверь, 2007. Ч.2, Кн.3, –С. 173-176.
2. Карамов
С.В.
Методы
идентификации
параметров
трохоидальной
траектории
летательного аппарата // VI Международная
конференция «Идентификация систем и задачи
управления». Труды. –М.: ИПУ РАН, 2007. –С.
293-323.
3. Карамов С.В. Оценка параметров и прогноз
движения вращающегося объекта имеющего
трохоидальную
траекторию
по
видеоизображению // XVI Международная
конференция по компьютерной графике и ее
приложениям
«Графикон’2006».
Труды.
Новосибирск, 2006. –С. 347-350.
4. Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ
и его приложения. М.: Мир, 1990. 584 с.
Скачать