Определение точки пересечения луча с арочной поверхностью

УДК 514.18
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ЛУЧА
С АРОЧНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ СВЕТОПРОЕМА
МЕТОДАМИ БН-ИСЧИСЛЕНИЯ
Балюба И.Г., д.т.н.,
Егорченков В.А., к.т.н.,
Конопацкий Е.В., к.т.н.,
Донбасская национальная академия строительства и архитектуры,
Тел. (062)300-29-38
Кощавка И.В., аспирант,*
Донецкий национальный университет экономики и торговли
Аннотация – в работе представлен геометрический и аналитический способ определения точки пересечения луча с арочной
поверхностью светопроема методами БН-исчисления, что позволяет учесть толщину ограждающей конструкции при расчете параметров распределения лучистого потока в помещении от арочного светопроема, произвольно расположенного в пространстве.
Ключевые слова – лучистый поток, БН-исчисление, арочная
поверхность, точки сканирования, точка пересечения.
Постановка проблемы. Довольно часто в архитектурном проектировании используются разнообразные по форме арочные светопроемы, различно расположенные в пространстве. Они разнообразят
архитектурно-художественные решения, создают интересную световую обстановку в зданиях и в значительной степени влияют на энергетический баланс здания. Поэтому разработка методов расчета параметров распределения лучистой энергии от таких светопроемов в помещениях представляется важным, как с точки зрения энергосбережения, так и с точки зрения создания благоприятной световой среды.
Лучистый поток от небосвода или непосредственно от солнца,
проходя через проем к расчетной точке, частично экранируется
ограждающей конструкцией. Это затенение зависит от расположения
расчетной точки: чем дальше от проема расположена проекция расчетной точки на внутреннюю поверхность ограждения, тем больше
она затеняется ограждением и, следовательно, тем меньше лучистого
потока до нее доходит. И дальше наступает момент, когда ограждение
полностью экранирует поток из проема (рис.1).
___________________
*
Научный руководитель – к.т.н., доцент Егорченков В.А.
Следовательно, учет влияния затенения ограждающей конструкцией приближает свето-радиационную обстановку в зданиях к
более реальным условиям.
Анализ последних исследований. Наиболее близки в этом отношении работы Пугачева Е.В. [1], в которых из расчетной точки определяется видимый контур светопроема, а затем область этого контура
интегрируется. Эта методика имеет два недостатка. Во-первых, рассматриваются только прямоугольные и треугольные светопроемы. Вовторых, эти светопроемы располагаются в плоскости частного положения.
Если использовать методы БН-исчисления [2], то можно значительно упростить задачу определения влияния толщины ограждающей
конструкции светопроемов любой формы на энергетическую освещенность и, в том числе, арочной формы.
В работе [3] представлен метод расчета прямой средней сферической освещенности от арочного светопроема, расположенного в
плоскости общего положения, с использованием математического аппарата БН-исчисления без учета толщины ограждающей конструкции.
Целью данной работы является геометрическое и аналитическое определение точки пересечения луча с параболической поверхностью арки при расчете параметров распределения лучистой энергии
в помещении методами БН-исчисления.
Основная часть. При проектировании положение светопроемов
задается из различных соображений: архитектурно-художественных,
функциональных или конструктивных. Толщина ограждения, как известно, определяется, в основном, из конструктивных и теплотехнических характеристик.
Расчетные точки задаются на
основании нормативных требований. Требуется определить ту величину лучистого потока, которая
проходит через реальное выходное
отверстие светопроема A1B1C1 и
доходит до точки N (рис. 1).
Поскольку лучистый поток,
попадающий в точку N распределяется неравномерно от различных
участков небосвода и солнца через
светопроем, то необходимо примеРис.1. Схема светопроема с откосами
нить метод сканирования.
В [4] получено точечное
уравнение (1) для определения точек сканирования Mij арочного проема с параболическим завершением (рис.2):
2  n  j  m  i  n  2 j   in 2

2mn 2
2 j  m  i  2 j  n   in 2
4 j  n  j  m  i 
  B  B0 
  C  B0 
 B0 .
2
2mn
mn 2
M ij   A  B0 
(1)
Для учета влияния
ширины откосов принимаются следующие рассуждения. В расчетную точку N
не будет попадать прямой
световой поток от небосвода в том случае, если отрезок DijN будет пересекать
Рис.2. Схема сканирования арочного проема
криволинейную
поверхность откоса АА0СС0ВВ0. Где Dij определяется как середина одной из
диагоналей, ограниченной четырьмя соседними точками сканирования:
M ij  M i 1 j 1
(2)
Dij 
.
2
Определим уравнение точки Dij в симплексе ACBB0 :
Dij   A  B0  pij   B  B0  qij   C  B0  rij  B0 ,
(3)
2
1  2  n  j  m  i  n  2 j    2i  1 n  
где pij 

,
4mn2  2  n  j  1 m  i  1 n  2 j  2  
2
1  2 j  m  i  2 j  n    2i  1 n  
qij 

,
4mn 2  2  j  1 m  i  1 2 j  2  n  
2 j  n  j  m  i   2  j  1 n  j  1 m  i  1
.
mn 2
Пусть заданы координаты характерных точек светопроема
(рис. 3), определяющие его границы с наружной стороны ограждения
A  xA , y A , z A  ,
B  xB , yB , zB  ,
rij 
C  xC , yC , zC  и с внутренней сто-


роны ограждения A0 xA0 , y A0 , z A0 ,




B0 xB0 , yB0 , zB0 , C0 xC0 , yC0 , zC0 , а
также координаты расчетной
точки N  xN , yn , z N  .
Рис. 3. Расчетная схема пересечения
Представим точку N в
арочного откоса с прямой
симплексе ACBB0 :
N   A  B0  pN   B  B0  qN   C  B0  rN  B0 ,
(4)
где pN , q N и rN - отношения ориентированных объёмов.
Определим уравнение поверхности арки методом подвижного
симплекса [5]. Зададим опорные контуры параболической поверхности тремя прямыми: AA0 , BB0 и CC0 с помощью соответствующих
точечных уравнений:
P  B0u  Bu,
Q  C0u  Cu,
(5)
R  A0u  Au,
где u  1  u - дополнение до единицы.
Поскольку А0АВВ0 и С0СВВ0 являются параллелограммами, то
для них справедливы следующие соотношения:
A0  A  B0  B,
(6)
C0  C  B0  B.
Подставив выражения (6) в уравнения прямых (5), после некоторых преобразований, получим:
Q   B  B0   u  1  C ,
(7)
R   B  B0   u  1  A.
Точечное уравнение дуги параболы, проходящей через три точки, имеет следующий вид:
M  Pv 1  2v   4Qvv  Rv  2v  1.
(8)
Подставив уравнения опорных контуров (5) и (6) в уравнение
(8), получим точечное уравнение параболической поверхности арки:
M   A  B0  pM   B  B0  qM   C  B0  rM  B0 ,
(9)
где pM  v  2v  1 , qM  u  v  2v  3 , rM  4v 1  v .
Определим точку S – точку пересечения прямой Dij N с параболической поверхностью арки АА0СС0ВВ0. При этом площадь треугольника Dij NM должна равняться нулю. На основании s  теоремы
БН-исчисления, получим:
 pij qij rij 1
p

(10)
 N qN rN 1  0
p

 M qM rM 1
Если точки Dij, M, и N принадлежат одной прямой, то их проекции также лежат на одной прямой. На основании этого утверждения
получим следующие определители:
qij rij 1
pij rij 1
qN
qM
rN
rM
1  0,
1
pN
pM
rN
rM
1  0.
1
(11)
Раскрывая определители (11), получим систему уравнений:

qN rM  qM rij  qij rN  qN rij  qM rN  qij rM  0,
(12)

p
r

p
r

p
r

p
r

p
r

p
r

0.

N
M
M
ij
ij
N
N
ij
M
N
ij
M

Вместо pM , qM и rM подставляем их значения из уравнения (9)
и после некоторых преобразований, получим:
2  2qij  rij  2qN  rN  v 2   4qN  3rN  4qij  3rij  v 

  rij  rN  u  qij rN  qN rij  0,
(13)

2  2 pij  rij  2 pN  rN  v 2   4 pN  rN  4 pij  rij  v 

 pij rN  pN rij  0.
Решим сначала второе уравнение системы и найдем значение
параметра v :
v1 
b  b 2  4ac
,
2a
(14)
b  b  4ac
,
2a
где a  4 pij  2rij  4 pN  2rN , b  4 pN  rN  4 pij  rij , c  pij rN  pN rij .
Теперь определяем значения параметра u из первого уравнения
системы (13):
u1  a1v12  b1v1  c1 ,
(15)
u2  a1v22  b1v2  c1 ,
4q  2rij  4qN  2rN
4q  3rN  4qij  3rij
q r  qN rij
, b1  N
, c1  ij N
.
где a1  ij
rij  rN
rij  rN
rij  rN
v2 
2
Итак, при 1  u  0 и при 1  v  0 точка пересечения будет находиться в пределах арочной поверхности, поэтому в дальнейшем значения лучистой освещенности исключаются из расчета.
Выводы. Разработан геометрический и аналитический способ
определения точки пересечения луча с арочной поверхностью светопроема методами БН-исчисления, что позволяет учесть толщину
ограждающей конструкции при расчете параметров распределения
лучистого потока в помещении от арочного светопроема, произвольно
расположенного в пространстве. Таким образом, данная работа является базой для разработки программы расчета естественной освещенности на компьютере.
Литература
1. Пугачев Є.В. Рекомендації щодо розрахунку інтегральних характеристик світлового поля від прямокутних і полігональних світлопрорізів / Пугачев Є.В. – Рівне: РДТУ, 2000. – 35 с.
2. Балюба І.Г. Основи математичного апарату точкового числення. /
Балюба І.Г., Поліщук В.І., Малютіна Т.П. / Праці ТДАТА. Вип.4.
Прикладна геометрія та інженерна графіка, т.29. – Мелітополь,
2005. - С.22-30.
3. Егорченков В.А. Средняя сферическая освещенность от выпуклого
четырехугольного светопроема, расположенного в плоскости общего положения / Егорченков В.А. / Науково-технічний збірник
"Енергозбереження в будівництві та архітектурі". Випуск 2.
Відповідальний редактор А.М. Тугай. – К.: КНУБА, 2011.- С. 95-99.
4. Егорченков В.А. Средняя яркость окна с параболическим завершением в условиях полуясного небосвода / Егорченков В.А. / Современные проблемы строительства / Ежегодный научно-технический
сборник № 13. - Донецк: Донецкий ПромстройНИИпроект, 2010. С. 40-43.
5. Поліщук В.І. Теоретичні основи точкового визначення поверхонь зі
змінним симплексом. / Конопацький Є.В., Поліщук В.І. / Наукові
нотатки. Міжвузівський збірник. Випуск 22. Частина 2. – Луцьк:
ЛДТУ. – 2008. – С.276-281.
ВИЗНАЧЕННЯ ТОЧКИ ПЕРЕТИНУ ПРОМЕНЯ З АРКОВОЮ
ПОВЕРХНЕЮ СВІТЛОПРОРІЗУ МЕТОДАМИ БН-ЧИСЛЕННЯ
Балюба І.Г., Єгорченков В.О., Конопацький Є.В., Кощавка І.В.
Анотація – в роботі представлено геометричний і аналітичний спосіб визначення точки перетину променя з арковою поверхнею світлопрорізу методами БН-числення, що дозволяє врахувати товщину огороджувальної конструкції при розрахунку параметрів розподілу променистого потоку від аркового світлопрорізу,
довільно розташованого в просторі.
DEFINITION THE POINT INTERSECTION OF THE RAY WITH
THE ARCH SURFACE BY BN-CALCULATION METHODS
I. Baluba, V. Yegorchenkov, E. Konopatsky, I. Koshavka
Summary
In work the geometrical and analytical method of definition the
point intersection of the ray with an arch surface by BN-calculation
methods.