ВОПРОСЫ для подготовки к экзамену по математике за II семестр 1. Числовые последовательности. Способы задания числовых последовательностей. 2. Пределы числовых последовательностей. Теорема о единственности предела. Теорема о переходе к пределу в неравенстве. Теорема о двух милиционерах. Ограниченность сходящейся последовательности. 3. Бесконечно малые последовательности. Арифметические действия над последовательностями. Теоремы о пределах суммы, произведения и отношения сходящихся последовательностей. 4. Бесконечно большие последовательности, их связь с бесконечно малыми. 5. Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса. Число e. 6. Принцип компактности. Признак сходимости Больцано-Коши для последовательностей. 7. Предельная точка. Два определения предела функции в точке, теорема об их эквивалентности. Признак сходимости Больцано-Коши. 8. Замечательные пределы. 9. Односторонние пределы. Теорема об эквивалентности существования предела функции и существования односторонних ее пределов. 10. Ограниченные функции. Достаточные условия ограниченности функций в окрестности точки. 11. Бесконечно малые функции и их свойства. Теорема о связи предела функции с пределом бесконечно малой. 12. Теоремы о пределах суммы, разности, произведения и частного функций. Теорема о двух милиционерах. 13. Сравнение бесконечно малых. Основные эквивалентности. Теорема об эквивалентных бесконечно малых. 14. Непрерывность функции в точке и на множестве. Классификация точек разрыва. 15. Теорема о сумме, разности, произведении и частном непрерывных функций. Теорема о непрерывности сложной функции. 16. Теорема об обращении непрерывной функции в нуль. Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции. 17. Теорема об ограниченности непрерывной функции. Теорема о наименьшем и наибольшем значениях непрерывной функции. 18. Монотонные функции. Обратные функции. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции. 19. Определение производной. Физический и геометрический смысл производной. Касательная к графику функции: определение и уравнение. 20. Формула для приращения функции. Непрерывность функции, имеющей производную. 21. Производные основных элементарных функций. 22. Теорема о производной обратной функции. 23. Алгебраические правила вычисления производных. Производная сложной функции. 24. Дифференциал функции. Связь между дифференцируемостью и существованием производной. Формулы и правила дифференцирования. Приближенные вычисления с помощью дифференциалов. 25. Понятие экстремума. Теорема Ферма о производной в точке экстремума. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. 26. Теорема Коши. Правило Лопиталя-Бернулли. Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя-Бернулли. 27. Достаточные условия монотонности функции на интервале. Необходимые и достаточные условия экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции. 28. Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба. Асимптоты. Исследование функций и построение графиков. 29. Производные высших порядков. Формула Тейлора для многочленов. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Пеано. Применения формулы Тейлора.