Логические функции двух переменных

Авторы
Чолокава Тамари (8 класс)
Гусев Никита (10 класс)
Руководитель Моисеева Надежда Николаевна
Содержание
Введение ...............................................................................................................- 3 Основоположники логики ..................................................................................- 4 Логические функции ...........................................................................................- 6 Логические функции одной переменной ..........................................................- 6 Логические функции двух переменных ............................................................- 7 Карты Карно .....................................................................................................- 11 Минимизация логических функций двух переменных .................................- 12 Выводы ...............................................................................................................- 16 Авторы ................................................................................................................- 17 Источники информации ...................................................................................- 18 -
-2-
Введение
Научиться правильно рассуждать, мыслить и познавать окружающий мир помогает
нам одна из величайших наук – логика. Наука о формах, методах и законах
интеллектуальной познавательной деятельности, формализуемых с помощью языка. Так
как мышление оформляется на языке в виде рассуждения, то можно сказать, что логика это наука о способах доказательств и опровержений.
Исторически логика изучалась как часть философии. Сейчас логика изучается как
часть математики и информатики.
Предметом исследования является представление логических функций двух переменных
через набор базовых логических функций, практическая проверка тезиса о
представимости любой логической функции через базовые.
Актуальность исследования состоит в понимании механизмов преобразования
логических выражений, представления сложных логических функций (штрих Шеффера,
стрелка Пирса, импликации и т.п.) через базовые логические функции И, ИЛИ, НЕ.
Приобретённые навыки позволяют глубже понять логические основы устройства
компьютера.
Целью исследования является:
1. ознакомление с логическими функциями одной и двух переменных
2. освоение метода представления произвольных логических функций через И, ИЛИ,
НЕ с помощью карт Карно.
3. получение представления всех логических функций двух переменных через И,
ИЛИ, НЕ.
Объектом исследования являются логические функции одной и двух переменных
Предмет исследования: представление произвольных логических функций через набор
базовых функций И, ИЛИ, НЕ.
Результат исследования: Проведена классификация всех логических функций одной и
двух переменных. Для каждой функции получено их оптимальное представление через
базовые функции И, ИЛИ, НЕ с помощью карт Карно.
-3-
«Где начало того конца,
которым оканчивается начало»
Основоположники логики
Древнегреческий философ и учёный Аристотель является и основоположником
логики.. Познание у Аристотеля имеет своим предметом
бытие. Основа опыта — в ощущениях, памяти и привычке.
Любое знание начинается с ощущений: оно есть то, что
способно принимать форму чувственно воспринимаемых
предметов без их материи; разум же усматривает общее в
единичном.
Однако с помощью одних только ощущений и
восприятий приобрести научное знание нельзя, потому что
все вещи имеют изменчивый и переходящий характер.
Формами истинно научного знания являются понятия,
постигающие сущность вещи.
Детально и глубоко разобрав теорию познания,
Аристотель создал труд по логике, который сохраняет своё
непреходящее значение и поныне. Здесь он разработал
теорию
мышления и
его
формы, понятия, суждения и умозаключения.
Задача понятия состоит в восхождении от простого
чувственного восприятия к вершинам абстракции. Научное
знание есть знание наиболее достоверное, логически
доказуемое и необходимое.
В учении о познании и его видах Аристотель
различал «диалектическое» и «аподиктическое» познание.
Область первого — «мнение», получаемое из опыта,
второго — достоверное знание. Хотя мнение и может
получить весьма высокую
степень вероятности по
своему содержанию, опыт
не
является,
по
Аристотелю, последней инстанцией достоверности
знания, ибо высшие принципы знания созерцаются умом
непосредственно.
Английский математик и логик.
Буль
был,
вероятно, первым после Джона Валлиса математиком,
обратившимся к логической проблематике. Идеи
применения символического метода к логике впервые
высказаны им в статье «Математический анализ логики»
(1847).
Буль высказывал пожелание, чтобы о его взглядах
судили по обширному трактату «Исследование законов
мышления, на которых основываются математические
теории логики и вероятностей» (1854). Буль не считал
логику разделом математики, но находил глубокую
-4-
аналогию между символическим методом алгебры и символическим методом
представления логических форм и силлогизмов.
Единицей Буль обозначал универсум мыслимых объектов, буквенными
символами — выборки из него, связанные с обычными прилагательными и
существительными. Буль показал, что символика такого рода подчиняется тем же
законам, что и алгебраическая, из чего следовало, что их можно складывать, вычитать,
умножать и даже делить. Буль показал, как из любого числа высказываний, включающих
любое число терминов, вывести любое заключение, следующее из этих высказываний,
путём чисто символических манипуляций.
Немецкий философ, математик, физик, языковед.
Отец Лейбница был университетским профессором
морали, и его сын с юных лет проявил интерес к науке.
После окончания школы Готфрид продолжил образование
в Лейпцигском (1661-66) и Йенском университете, где он
провел один семестр в 1663, оказавшийся весьма полезным
благодаря знакомству с идеями математика и философа Э.
Вейгеля.
В 1663 под руководством известного немецкого
мыслителя Я. Томазия Лейбниц защитил тезисы работы «О
принципе
индивидуации» (выдержанной
в
духе
номинализма и предвосхитившей некоторые идеи его
зрелой философии), что принесло ему степень бакалавра.
В 1666 в Лейпциге он пишет габилитационную
работу по философии «О комбинаторном искусстве», в
которой высказывается идея создания математической
логики, а в начале 1667 года становится доктором права,
представив диссертацию «О запутанных судебных
случаях» в Альтдорфском университете.
Из божественного попечительства над миром
философ выводит универсальную, неразрывную связь
всего со всем. Одно тело не отделено от остальных. Оно –
кирпичик в едином здании мира. И душу, по Лейбницу Бог с самого начала создал так, что
она “представляет” происходящее в теле; а тело в свою очередь сотворено так, что
выполняет “распоряжения души. Идея “репрезентации”, т. е. изображения и воплощения в
каждом сущем всего мира, лейтмотивом проходит через философию великого мыслителя.
Мы должны быть благодарны Аристотелю, Булю Джорджу и Лейбницу за то, что
они
познакомили
нас
с
наукой о
формах,
методах
и
законах интеллектуальной познавательной деятельности - с логикой.
-5-
Логические функции
Логическая функция — это функция логических переменных, которая может
принимать только два значения: 0 или 1. В свою очередь, сама логическая переменная
(аргумент логической функции) тоже может принимать только два значения: 0 или 1.
Логический элемент — это устройство, реализующее ту или иную логическую
функцию. Y=f(X1,X2,X3,...,Xn) — логическая функция, она может быть задана таблицей,
которая называется таблицей истинности.
Таблица истинности
Логические функции одной переменной
Таблица истинности функции одной переменной Y=f(X) содержит всего 2 строки, а
число функций одной переменной равно 4.
Функция константа 0, Y=0. Техническая реализация этой функции — соединение
вывода Y с общей шиной с нулевым потенциалом. Таблица истинности функции
константа 0 имеет вид:
Функция Y=f(X)=X — функция повторения. Техническая реализация этой
функции — соединение между собой выводов X и Y.
Таблица истинности функции повторения имеет вид:
-6-
Функция Y=f(X)=NOT(X) — отрицание НЕ или инверсия (NOT(X) — это НЕ X).
Техническая реализация этой функции - инвертор на любом транзисторе или логическом
элементе, или транзисторный ключ.
Таблица истинности функции отрицания имеет вид:
Логический элемент НЕ обозначается на схемах следующим образом:
пишется X c чертой сверху
Функция константа 1, Y=1. Техническая реализация этой функции — соединение
вывода Y с источником питания.
Таблица истинности функции константа 1 имеет вид:
Важнейшей функцией одной переменной является отрицание НЕ, остальные
функции являются тривиальными.
Логические функции двух переменных
Таблица истинности функции двух переменных Y=f(X1,Х2) содержит 4 строки, а
число функций двух переменных равно 16.
Рассмотрим только несколько основных функций двух переменных.
Логическое ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция):
Y= X1 + X2 = X1VX2
Техническая реализация этой функции — два параллельно соединенных ключа:
Таблица истинности логического ИЛИ имеет вид:
-7-
Логический элемент ИЛИ обозначается на схемах следующим образом:
Логическое И (логическое умножение, конъюнкция, схема совпадений): Y = X1X2
= X1&X2
Техническая реализация этой функции — два последовательно соединенных
ключа:
Таблица истинности логического И имеет вид:
Логический элемент И обозначается на схемах следующим образом:
-8-
Функция стрелка Пирса (ИЛИ-НЕ): Y = NOT(X1+X2)
Таблица истинности функции ИЛИ-НЕ имеет вид:
Логический элемент ИЛИ-НЕ обозначается на схемах следующим образом:
Функция штрих Шеффера (И-НЕ): Y = X1|X2 = NOT(X1X2)
Таблица истинности функции И-НЕ имеет вид:
Логический элемент И-НЕ обозначается на схемах следующим образом:
-9-
Есть ещё три логические функции двух переменных, имеющие специальные
названия: импликация, эквивалентность, неравнозначность (исключающее ИЛИ,
сложение по модулю 2). Последние две функции являются взаимно обратными, также как,
например, функция И и функция штрих Шеффера.
Число строк в таблице — это число возможных наборов значений аргументов. Оно
равно 2n, где n — число переменных. Число различных функций n переменных равно
2^2n.
Таблица истинности функции двух переменных Y=F(X1,Х2) содержит 4 строки, а
число функций двух переменных равно 16.
Рассмотрим все эти функции двух переменных.
- 10 -
Карты Карно
Карта Карно – это графический способ минимизации (упрощения) логических
функций и представляет собой операции попарного склеивание и элементарного
поглощения. Карта Карно рассматривается как перестроенная соответствующим образом
таблица истинности функции.
Карты Карно были изобретены в 1952 году Эдвардом В. Вейчем и
усовершенствованы в 1953 году физиком Морисом Карно.
Исходной информацией для работы с картой Карно является таблица истинности
минимизируемой функции. Таблица истинности содержит полную информацию о
логической функции, задавая её значения на всех возможных 2N наборах входных
переменных X1 ... XN. Карта Карно также содержит 2N клеток, каждая из которых
ассоциируется с уникальным набором входных переменных X1 ... XN. Таким образом,
между таблицей истинности и картой Карно имеется взаимно однозначное соответствие, и
карту Карно можно считать соответствующим образом отформатированной таблицей
истинности.
Принципы склейки:
 Склейку клеток карты Карно можно осуществлять по единицам
 Склеивать можно только прямоугольные области с числом единиц (нулей) 2n,
где n — целое число.
 Область, которая подвергается склейке должна содержать только единицы
(нули).
 Крайние клетки каждой горизонтали и каждой вертикали также граничат между
собой и могут объединяться в прямоугольники. Все единицы (нули) должны
попасть в какую-либо область.
 С точки зрения минимальности число областей должно быть как можно
меньше.
 Одна ячейка карты Карно может входить сразу в несколько областей. Это
следует из очевидного свойства булевых функций: повторение уже
существующего слагаемого (сомножителя) не влияет на функцию:

- 11 -
Минимизация логических функций двух переменных
1. Конъюнкция
X1 X2
2. Запрет по Х1
X1 X2
3. Повторение X1
X1
4. Запрет по Х2
X1 X2
- 12 -
5. Повторение X2
X2
6. Сложение по модулю 2
X1X2 или X2 X1
7. Дизъюнкция
X1 или X2
8. Стрелка Пирса
X1X2
- 13 -
9. Эквивалентность
X1X2 или X1X2
10. Отрицание Х2
X2
11. Импликация x2-> x1
X1 или X2
12. Отрицание Х1
X1
- 14 -
13. Импликация x1-> x2
X2 или X1
14. Штрих Шеффера
X1 или X2
- 15 -
Выводы
1. Теория логических функций прошла долгую историю от Аристотеля до наших
дней. В современном виде её сформулировал Джорж Буль.
2. Логические
функции
вычислительных
являются
устройств.
математической
Для
реализации
основой
логических
современных
функций
в
вычислительных устройствах важно унифицировать и минимизировать их
представление.
3. Любая логическая функция может быть представлена как комбинация базовых
логических функций И, ИЛИ, НЕ.
4. Для минимизации представления произвольных логических функций двух
переменных удобно использовать карты Карно.
5. В работе приведены минимальные представления всех логических функций двух
переменных через базовые функции И, ИЛИ, НЕ.
Разработка схемы управления светофором
- 16 -
Авторы
- 17 -
Источники информации
1. А.А. Ивин Логика учебное пособие издание 2 Москва
издательство знание 1998
2. Д.А. Владимиров Булевы алгебры Москва, Наука 1969
1. http://ru.wikipedia.org/
2. http://slovari.yandex.ru
3. http://alglib.sources.ru/articles/logic.php
- 18 -