Метод конечных элементов

Аннотация программы учебной дисциплины
«Метод конечных элементов»
Направление 010100.62 – «Математика».
Профиль: Вычислительная математика и информатика.
Общее количество часов — 144 (4 зачетные единицы). Семестр – 8.
1. Цели и задачи дисциплины.
Целями освоения дисциплины являются: освоение современных методов численного решения дифференциальных уравнений; ознакомление с общими технологиями решения задач на ЭВМ; приобретение навыков анализа
и исследования математических моделей.
2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины.
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:
способностью к критике и самокритике (ОК-5); способность применять знания на практике (ОК-6); исследовательские навыки (ОК-7); фундаментальной
подготовкой по основам профессиональных знаний и готовностью к использованию их в профессиональной деятельности (ОК-11); способностью к анализу и синтезу (ОК-14); определение общих форм, закономерностей и инструментальных средств отдельной предметной области (ПК-1); умение понять поставленную задачу (ПК-2); умение формулировать результат (ПК-3);
умение на основе анализа увидеть и корректно сформулировать результат
(ПК-5); умение самостоятельно увидеть следствия сформулированного результата (ПК-6); умение грамотно пользоваться языком предметной области
(ПК-7); умение ориентироваться в постановках задач (ПК-8); знание корректных постановок классических задач (ПК-9); понимание корректности постановок задач (ПК-10); самостоятельное построение алгоритма и его анализ
(ПК-11); способность передавать результат проведенных физикоматематических и прикладных исследований в виде конкретных рекомендаций, выраженной в терминах предметной области изучавшегося явления
(ПК-15); умение извлекать полезную научно-техническую информацию из
электронных библиотек, реферативных журналов, сети Интернет и т.п. (ПК17); умение публично представить собственные и известные научные результаты (ПК-18); владение методом алгоритмического моделирования при анализе постановок математических задач (ПК-19); владение методами математического и алгоритмического моделирования при решении прикладных задач (ПК-20); владение методами математического и алгоритмического моделирования при анализе теоретических проблем и задач (ПК-21).
В результате освоения данной дисциплины обучающийся должен:
знать: современные численные методы решения дифференциальных
уравнений;
уметь: применять для анализа и исследования конкретных математических моделей общий метод взвешенных невязок и его вариант метод конечных элементов;
владеть: технологической цепочкой проведения вычислительного эксперимента на ЭВМ.
3. Содержание дисциплины. Основные разделы.
Основные положения метода взвешенных невязок (МВН). Аппроксимация с помощью МВН. Аппроксимация решений дифференциальных уравнений МВН с использованием базисных функций. Одновременная аппроксимация решений дифференциальных уравнений и краевых условий. Слабая
формулировка МВН и естественные краевые условия. Методы граничного
решения в МВН. Понятие конечного элемента. Локально определенные базисные функции с минимальными носителями. Конечно элементная аппроксимация решений дифференциальных уравнений и требование гладкости.
Кусочно-линейные базисные функции и методология ансамблирования. Концепция аналогии в стандартных дискретных инженерных системах. Обобщение метода конечных элементов на двумерные и трехмерные задачи. Двумерные и трехмерные конечные элементы линейного типа. Конечно элементные аппроксимации высших порядков. Степень многочленов базисных
функций и скорость сходимости. Кусочный тест. Стандартные базисные
функции высших степеней для одномерных конечных элементов. Иерархические формы высших степеней для одномерных конечных элементов. Иерархические многочлены. Иерархические многочлены почти ортогональной
формы. Двумерные базисные функции высших степеней для лагранжевых и
сирендиповых конечных элементов. Иерархические базисные функции для
прямоугольных и треугольных конечных элементов. Отображение областей.
Параметрическое отображение. Отображение составной функцией. Отображение решением дополнительных уравнений. Отображение бесконечных областей. Частичная дискретизация для нестационарных задач. Использование
процедур аналитических решений для линейных задач: однородное уравнение первого и второго порядков, разложение решения по собственным векторам. Конечно элементные аппроксимации решения нестационарных задач во
временной области. Анализ различных схем интегрирования. Обобщенный
метод конечных элементов. Погрешность дискретизации в численном решении. Мера погрешности дискретизации. Оценка, погрешности дискретизации.
Составитель: доцент каф. МАиМ Рыженко А.В.