Математическое моделирование, численные

«УТВЕРЖДАЮ»
Директор ОФ ИМ СО РАН
профессор, д.ф.-м.н
В.А.Топчий
«____»________________2010 г.
ПРОГРАММА
вступительного экзамена в аспирантуру
по специальности 05.13.18 “Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ”
(технические науки)
I. Математический анализ.
1. Теория пределов. Теория рядов. Основные теоремы о непрерывных функциях.
2. Основные теоремы дифференциального исчисления (теорема о средних значениях, теорема о
неявных функциях, формула Тейлора).
3. Основные теоремы интегрального исчисления (теоремы о замене переменных, теоремы о
повторных интегралах).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
II. Основы функционального анализа.
Конечномерные вещественные пространства (характеризация открытых, замкнутых и компактных множеств).
Определения и основные свойства интеграла Лебега. Теоремы Лебега, Леви, Фату о предельном переходе под знаком интеграла. Теорема Фубини.
Функции ограниченной вариации и интеграл Стилтьеса.
Основные нормированные пространства. Полнота, сепарабельность, критерий компактности,
сильная и слабая сходимости.
Гильбертовы пространства. Теоремы Рисса-Фишера. Ряды и интегралы Фурье.
Элементы теории линейных операторов. Теорема Банаха об обратном операторе. Теорема
Хана-Банаха. Теоремы Фредгольма для вполне непрерывных операторов..
Линейные функционалы. Теорема Рисса о представлении.
III. Основы ТФКП.
1. Условия Коши-Римана. Конформные отображения, осуществляемые элементарными функциями. Точки ветвления и римановы поверхности.
2. Комплексное интегрирование. Теорема Коши. Интеграл типа Коши. Теорема Морера.
3. Ряды Тейлора и Лорана. Изолированные особые точки аналитической функции. Теорема
единственности аналитической функции. Принцип модуля и аргумента для аналитической
функции. Элементы теории вычетов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1-3.
2. Колмогоров А. Н. и Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа.
3. Бицадзе А. В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного.
1
IV. Обыкновенные дифференциальные уравнения
1.
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Теоремы
существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения и
нормальной системы. Зависимости решения от начальных условий и от параметров.
2.
Общая теория линейных систем. Необходимое и достаточное условие линейной независимости решений линейной однородной системы. Построение общего решения. Неоднородные линейные системы. Метод вариации произвольных постоянных. Линейное уравнение nго порядка. Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
3.
Теория устойчивости. Теоремы Ляпунова об устойчивости. Теоремы о неустойчивости.
Устойчивости по первому приближению.
ЛИТЕРАТУРА
1. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
1.
2.
3.
4.
5.
V. Алгебра
Векторные пространства. База и ранг системы векторов. Изоморфизм любого пространства некоторому пространству строк. Преобразование координат вектора при смене базиса
пространства. Фактор-пространство. Размерность суммы, пересечения, фактор-пространства.
Системы линейных уравнений. Теорема о ранге матриц. Теорема Кронекера-Капелли.
Общее решение системы линейных уравнений (определение и отношение). Однородные системы (пространство решений, фундаментальные системы решений ).
Многочлены. Делимость многочленов (алгоритмы деления с остатком, наибольший
общий делитель, алгоритм Евклида). Разложение на неприводимые множители. Корни и значения (теорема Безу, формула Тейлора, интерполяционный многочлен). Основная теорема о
комплексных числах.
Линейные преобразования векторных пространств. Изоморфизмы с алгеброй матриц.
Образ, ядра, ранг и дефект линейного преобразования. Невырожденные преобразования. Инвариантность пространства.
Квадратичные формы. Поведение матриц квадратичной формы при линейной замене
переменных. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции действительной квадратичной формы. Положительно определенные формы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Курош А. Г. Курс высшей алгебры.
2. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры.
V. Геометрия
1.
Линии и поверхности 2-го порядка. Алгебраические поверхности. Пересечение алгебраической поверхности с прямой, условие касания. Линия второго порядка (фокусы, асимптоты,
оптические свойства). Строение поверхностей 2-го порядка. Алгоритмы отыскания канонического уравнения и главных осей поверхности, заданной общим уравнением 2-й степени.
Метод Лагранжа (метод выделения полных квадратов) для определения аффинного типа поверхности 2-го порядка.
ЛИТЕРАТУРА
1. Погорелов А. В. Аналитическая геометрия.
2
VII. Теория вероятностей и математическая статистика
1. Классическое определение вероятности.
2. Условная вероятность. Независимость событий. Формула полной вероятности. Формула
Байеса.
3. Случайные величины. Математическое ожидание. Моменты.
4. Дисперсия и ее свойства. Ковариация. Коэффициент корреляции и его свойства.
5. Многомерное нормальное распределение.
6. Последовательные испытания. Независимые испытания. Схема Бернулли. Формула для
числа успехов в схеме Бернулли.
7. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел.
8. Центральная предельная теорема.
9. Конечные и счетные цепи Маркова. Классификация состояний.
10. Эргодическая теорема для цепей Маркова.
11. Точечные и интервальные оценки параметров. Их свойства.
12. Метод максимального правдоподобия и метод моментов.
13. Задача проверки статистических гипотез.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1.
2.
3.
4.
5.
1.
2.
3.
4.
ЛИТЕРАТУРА
Гнеденко Б. Г. Курс тории вероятностей.
Феллер Б. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1, 2.
Неве Ж. Математические основы теории вероятностей.
Боровков А. А. Лекции по теории вероятностей.
Фанг Р. Передача информации. Статистическая теория связи.
Лоэв М. Теория вероятностей.
VIII. Методы вычислений
Элементы теории приближений. Интерполирование. Задача наилучшего приближения в
линейном нормированном пространстве. Полиномы Чебышева. Интерполяционные и квадратурные формулы. Выбор узлов интерполяции. Сплайн-интерполяция.
Численные методы линейной алгебры. Вычисление наибольшего по модулю собственного значения матрицы. Итерационные методы. Способы ускорения сходимости. Градиентные
методы. Методы ортогонализации.
Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод РунгеКутта. Метод Адамса (интерполяционный и экстраполяционный). Метод предикторколлектор. Дифференциальное уравнение 2-го порядка. Факторизация. Метод прогонки.
Устойчивость метода.
Линейное программирование. Прямая и двойственная задачи линейного программирования. Метод последовательного улучшения допустимого вектора.
Общая теория разностных схем. Аппроксимация. Аппроксимационная вязкость. Устойчивость. Достаточные признаки устойчивости. Сходимость. Теорема Лакса об эквивалентности. Вариационно-разностные схемы.
ЛИТЕРАТУРА
Березин Н. О. и Жидков Н. П. Методы вычислений. Т.1,2, М:1962.
Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. Новосибирск:1972.
Рождественский Б. Л. и Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений.
Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М: 1971.
3
5.
6.
7.
8.
Рихтмайер. Разностные методы решения краевых задач.
Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики.
Фаддеев Д. К. Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры.
Рубинштейн Г. И. Конечномерные модели оптимизации.
XI. Математическое моделирование
Модель. Типы моделейи моделирования. Требования к модели. Обобщенная модель
простейшей системы. Входы и выходы моделей. Элементы модели.
2.
Математические схемы моделирования систем. Непрерывно (дискретно) – детерминированные (стохастические) модели. Обобщенные модели.
3.
Пакеты программ и системы моделирования.
1.
ЛИТЕРАТУРА
1. Советов В.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. – М: Высшая школа, 1985.
Составил В.А. Топчий
4