физико-математические науки

«УТВЕРЖДАЮ»
Директор ОФ ИМ СО РАН
профессор, д.ф.-м.н
В.А.Топчий
«____»________________2010 г.
ПРОГРАММА
вступительного экзамена
по специальности 05.13.11 – «Математическое и программное
обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей»
(физико-математические науки).
ВЕЩЕСТВЕННЫЙ И КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ
I. Математический анализ.
1. Теория пределов. Теория рядов. Основные теоремы о непрерывных функциях.
2. Основные теоремы дифференциального исчисления (теорема о средних значениях,
теоремы о неявных функциях, формула Тейлора).
3. Основные теоремы интегрального исчисления (теорема о замене переменных, теоремы
о повторных интегралах, формулы Грина, Остроградского, Стокса).
II. Основы функционального анализа.
1. Конечномерные вещественные пространства (характеризация открытых, замкнутых и
компактных множеств).
2. Основные теоремы о сходимости последовательностей измеримых функций (теоремы
Егорова).
3. Определение и основные свойства интеграла Лебега.
4. Основные нормированные пространства. Полнота, сепарабельность, критерий компактности, сильная и слабая сходимости.
5. Гильбертовы пространства. Теорема Рисса-Фишера. Ряды и интеграл Фурье.
6. Элементы теории линейных операторов. Теорема Банаха об обратном операторе.
Теорема Хана-Банаха. Теоремы Фредгольма для вполне непрерывных операторов.
7. Линейные функционалы. Теорема Банаха-Штейнгауза. Теорема Рисса о представлении.
9. Теоремы о неподвижной точке. Принцип Банаха, принцип Шаудера.
III. Основы теории функций комплексного переменного.
1. Условия Коши-Римана. Конформные отображения, осуществляемые элементарными
функциями. Точки ветвления и римановы поверхности.
2. Комплексное интегрирование. Теорема Коши. Интеграл типа Коши. Теорема Морера.
3. Ряды Тейлора и Лорана. Изолированные особые точки аналитической функции. Теорема единственности аналитической функции. Принцип модуля и аргумента для аналитических функций. Элементы теории вычетов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1 - 3.
2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.
3. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного.
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.
Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального
уравнения и нормальной системы. Зависимость решения от начальных условий и от параметров.
2. Общая теория линейных систем.
Необходимое и достаточное условие линейной независимости решений линейной однородной системы. Построение общего решения. Неоднородные линейные системы. Метод
вариации произвольных постоянных. Линейное уравнение n-го порядка. Линейные системы
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
3. Теория устойчивости.
Теоремы Ляпунова об устойчивости. Теоремы об неустойчивости. Устойчивость по первому приближению. Понятие о краевых задачах для уравнения второго порядка. Собственные числа. Собственные функции. Функции Грина.
ЛИТЕРАТУРА
1. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
АЛГЕБРА.
1. Основные понятия алгебры.
Алгебраическая система. Изоморфизм. Группа. Кольцо. Поле. Поле комплексных чисел.
Кольцо многочленов. Кольцо матриц. Группа подстановок.
2. Теория определителей.
3. Векторные пространства.
База и ранг системы векторов. Изоморфизм любого пространства некоторому пространству строк. Преобразование координат вектора при смене пространства. Факторпространство. Размерность суммы, пересечения, фактор-пространства.
4. Системы линейных уравнений.
Теорема о ранге матриц. Теорема Кронекера-Капелли. Общее решение системы линейных
уравнений (определение и отношение). Однородные системы (пространство решений, фундаментальные системы решений).
5. Многочлены.
Делимость многочленов (алгоритмы деления с остатком, наибольший общий делитель,
алгоритмы Евклида). Разложение на неприводимые множители. Корни и значения (теорема
Безу, формула Тейлора, интерполяционный многочлен). Основная теорема о комплексных
числах.
6. Линейные преобразования векторных пространств.
Изоморфизмы с алгеброй матриц. Образ, ядро, ранг и дефект линейного преобразования.
Невырожденные преобразования. Инвариантность пространства.
ЛИТЕРАТУРА
1. Курош Ф.Г. Курс высшей алгебры.
2. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры.
ГЕОМЕТРИЯ
1. Аффинные и ортонормальные системы координат. Формулы замены координат. Вычисление скалярных произведений, длин отрезков, углов.
2. Геометрические основы теории определений.
Одинаково и противоположно ориентированные реперы, ориентация пространства. Вычисление объема параллелепипеда, построенного по реперу, через координаты составляющих вектора. Геометрический смысл детерминанта матрицы Грамма. Векторное и смешанное произведение в 3-мерном ориентированном евклидовом пространстве.
3. Аффинные подпространства.
Задание аффинного подпространства параметрическим уравнением и системой уравнений
1-й степени. Определение взаимного расположения, расстояний, углов по коэффициентам
уравнений.
4. Аффинные и ортогональные отображения.
Связь аффинных отображений с системами линейных уравнений. Существование и единственность аффинного отображения, имеющего заданные значения в заданных точках. Аффинные свойства фигур (прямолинейность, выпуклость, связность и т.п.). Инвариантные
подпространства аффинных и ортогональных преобразований. Разложение аффиного отображения в произведение растяжения и ортогонального отображения.
5. Линии и поверхности 2-го порядка.
Алгебраические поверхности. Пересечение алгебраической поверхности с прямой, условие касания. Линия второго порядка. (Фокусы, асимптоты, оптические свойства). Строение
поверхностей 2-го порядка. Алгоритмы отыскания канонического уравнения и главных осей
поверхностей, заданной общим уравнением 2-й степени. Метод Лагранжа (метод выделения
полных квадратов) для определения аффинного типа поверхности 2-го порядка.
ЛИТЕРАТУРА
1. Погорелов А. В. Аналитическая геометрия.
2. Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия.
СПЕЦИАЛИЗАЦИЯ
БАЗЫ ДАННЫХ
1. Трехуровневая модель описания и представления данных. Классические модели данных: иерархическая, сетевая, реляционная. Методы и алгоритмы построения межмодельных
отображений в базах данных.
2. Множество функциональных зависимостей (ФЗ). Построение минимального покрытия
множества ФЗ. Основные требования к проекту БД: третья нормальная форма, свойства декомпозиции (соединение без потерь информации, сохранение зависимостей).
3. Физическая организация БД. Факторы, влияющие на выбор методов доступа. Классификация методов доступа. В-деревья и инвертированные файлы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Калиниченко Л.А. Интеграция неоднордных баз данных.
2. Ульман Дж. Основы систем баз данных.
3. Тиори Т., Фрай Дж. Проектирование структур баз данных. Т. 2.
ТЕОРИЯ СИНТАКСИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
1. Элементы теории языков. Контексно-свободные (КС) грамматики. Автоматы с магазинной памятью (МП). Эквивалентность КС-грамматик и МП-автоматов. Свойства КСязыков.
2. Методы синтаксического анализа. Алгоритмы нисходящего и восходящего разбора.
Синтаксический анализ без возвратов: LL(k) и LR(k)-грамматики.
3. Методы оптимизации синтаксических анализаторов. Методы построения LR(k)анализаторов. Теория LL-языков, нормальная форма Грейбах.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ахо А., Ульман Дж. Теория синтаксического анализа, перевода и компиляции. Т1, Т2
СЕТИ ЭВМ
1. Определение архитектуры сети. Классификация сетей. Семиуровневая модель взаимодействия открытых систем (ВОС). Протоколы уровня канала передачи данных.
2. Сетевой уровень модели ВОС. Проблемы маршрутизации и регулирования сетевой
нагрузки для различных типов сетевых соединений. Виды маршрутизации. Алгоритм децентрализованной пользовательской маршрутизации в сетях ARPAnet и Internet.
3. Классы транспортного протокола (ТП) модели ВОС. Внешние и внутренние функции
ТП. Проблемы функционирования ТП и методы их решения. Протокол TCP/AP. Пользовательские протоколы сети Internet.
4. Помехоустойчивое кодирование. Циклические коды, свойства образующего полинома
кода. Сверточные (реккурентные) коды, алгоритм Витерби.
ЛИТЕРАТУРА
1. Шварц М. Сети связи. Протоколы, моделирование и анализ. Т1, Т2
2. Морозов В.К., Долганов А.В. Основы теории информационных сетей.
3. Дмитриев В.И. Прикладная теория информации.
ПРОГРАММИРОВАНИЕ
1. Объектно-ориентированное программирование. Основные понятия и модели: объект,
класс, данные, методы, доступ, наследование свойств; системы объектов и классов; проектирование объектно-ориентированных программ: методы и алгоритмы; объектноориентированные языки; классификация, архитектура, выразительные средства, технология
применения; интерфейс: правила организации, методы и средства программирования; объектно-ориентированные системы: методы, языки и способы программирования.
2. Технология разработки программного обеспечения. Программные продукты; процесс
производства: методы, технология и инструментальные средства; тестирование и отладка;
документирование; проектирование программного обеспечения; абстрактные структуры
данных; способы эффективного хранения и обработки; технологический цикл разработки
программных систем; коллективная работа по созданию программ; организация труда в
коллективе и инструментальные средства поддержки.
ЛИТЕРАТУРА
1. Буч Г. Объектно - ориентированный анализ и проектирование с примерами приложений на С++.
2. Шлеер С., Меллор С. Объектно - ориентированный анализ: моделирование мира в состояниях.
Составитель _______________/ Зыкин С.В./