Задания командной олимпиады V Областного студенческого турнира по математике март 2010 г. 1. Какое из двух чисел больше: (2012 ) 2010 (2010 ) 2012 или (2011) 2 2011 ? 2. Дрожжевые грибки при благоприятных условиях размножаются с большой скоростью, увеличиваясь в объеме в 2 раза за каждую минуту. В колбу поместили 1 гриб, который заполнил ее за 30 минут. За сколько минут заполнят колбу помещенные в нее два гриба? 3. Найдите d 2 y , считая известными du , d 2u, dv, d 2 v : y u 2 v 2 . 4. В книгах новгородских писцов XV в. упоминаются такие меры жидкостей: бочка, насадка и ведро. Из этих же книг стало известно, что одна бочка и 20 ведер кваса уравниваются с тремя бочками кваса, а 19 бочек, одна насадка и 15,5 ведра уравниваются с 20 бочками и 8 ведрами. Определить на основании этих данных, сколько насадок содержится в бочке. 5. Задача Софи Жермен. Доказать, что каждое число вида a 4 4 есть составное, где a 1. 6. На окружности отмечено десять точек. Сколько существует незамкнутых несамопересекающихся девятизвенных ломаных с вершинами в этих точках. 7. Пусть А, B, C, D – произвольные точки плоскости. Докажите, что AB, CD BC , AD CA, BD 0 . 4 log11 ( x 1) 15 8. Решите неравенство: . log x 1 11 log123 11 9. Имеется три карточки. На одной с обеих сторон нарисована буква А, на другой – В. На третьей карточке с одной стороны А, а с другой – В. Одна из карточек выбирается наугад и кладется на стол. Предположим, что на видимой стороне оказывается буква А. Какова вероятность, что на другой стороне карточки тоже будет А? 10.Найти самую высокую и самую низкую точки кривой x 2 y 2 xy 27 . 1 11.Функция y y (x) задана с помощью уравнения y xy 2 . Найти y ( x)dx . 5 0 12. Существует ли тетраэдр, все грани которого равнобедренные треугольники, причем никакие два из них не равны?