Раздел 4: Квантовая физика Лекция 20 (3) План

Раздел 4: Квантовая физика
Лекция 20 (3)
Тепловое излучение. Внешний фотоэффект.
Давление света. Эффект Комптона
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
План
Тепловое излучение. Абсолютно чёрное тело
Законы теплового излучения
2.1. Закон Кирхгофа
2.2. Законы Вина
2.3. Закон Стефана-Больцмана
Ультрафиолетовая катастрофа
Квантовая гипотеза и формула Планка
Оптическая пирометрия
Внешний фотоэффект. Уравнение Эйнштейна
Фотоны: энергия, импульс
Давление света
Эффект Комптона
1. Тепловое излучение. Абсолютно чёрное тело
Излучение тела, обусловленное тепловым движением молекул,
называется тепловым, так как происходит за счёт энергии теплового движения
молекул (атомов). Любое тело с температурой Т≠0, излучает, причём спектр
излучения – сплошной. Тепловое излучение – единственное излучение, способное
находиться в термодинамическом равновесии с веществом. Если уменьшение
энергии тела при излучении восполняется за счёт поглощения излучения,
падающего на тело из окружающей среды, то излучение называется
равновесным.
Тепловое излучение тел может быть охарактеризовано следующими
величинами:
1) Интегральная интенсивность излучения RT численно равна энергии
всех длин волн, излучаемой за единицу времени с единичной площади
поверхности тела:
dWèçëó÷.
.
(20.1)
RT 
dtS
Эту величину называют также полной энергетической светимостью. Она
зависит от абсолютной температуры тела. Размерность RT :
RT   Âò2 .
ì
2) Монохроматическая (дифференциальная) интенсивность излучения
(спектральная плотность энергетической светимости) численно равна энергии,
1
излучаемой за единицу времени с единичной площади поверхности тела в
единичном интервале длин волн:
dWèçëó÷.
(20.2)
r ,T 
t  S  d
или частот:
dWèçëó÷.
.
(20.2а)
r ,T 
t  S  d
Размерности:
r ,T   Âò3 ;
r ,T   Äæ2
.
ì
ì
Монохроматическая интенсивность излучения является функцией длины
волны и температуры (20.2) или частоты и температуры (20.2а). Найдём связь
между r ,T и r ,T . Из (20.2) и (20.2а):
d
d c
c


  2
r ,T
d
d    
r ,T
Связь между
излучения:
интегральной

и
r ,T 
2
c
 r ,T .
монохроматической

(20.3)
интенсивностями

RT   r ,T  d   r ,T  d
0
(20.4)
0
Это значит, что площадь под графиком зависимости r ,T  f   или
r ,T  f   равна RT .
Из всей падающей на тело энергии dWпадающ. монохроматического света в
интервале длин волн [ d] часть энергии dWпоглощ. поглощается телом.
3) Спектральная поглощательная способность тела – это величина,
показывающая, какую долю энергии падающего излучения в интервале длин
волн [ d] вблизи данной длины волны  тело поглощает:
dWïîãëîù .
a ,T 
,
(20.5)
dWïàäàþù .
a,T   1.
Тело называется абсолютно чёрным (АЧТ),
если поглощает всё излучение, падающее на него.
Для абсолютно черного тела
aÀ×Ò
,T  1 .
В природе не существует абсолютно чёрных тел.
Рис.20.1.
Тела, покрытые сажей или платиновой чернью,
приближаются по своим свойствам к абсолютно черным лишь в ограниченном
интервале длин волн. Наиболее совершенной моделью черного тела может
2
служить небольшое отверстие в непрозрачной стенке замкнутой полости
(рис.20.1). Луч света, попадающий внутрь через отверстие, претерпевает
многократные отражения от стенок полости, прежде чем он выйдет обратно. При
каждом отражении происходит частичное поглощение энергии света стенками.
Поэтому независимо от материала стенок интенсивность света, выходящего из
полости через отверстие, во много раз меньше интенсивности падающего извне
первичного излучения. Эта модель тем ближе по характеристикам к чёрному телу,
чем больше отношение площади поверхности полости к площади отверстия.
2. Законы теплового излучения
2.1. Закон Кирхгофа
Исходя из второго начала термодинамики, Кирхгоф показал, что условие
теплового
равновесия
заключается
в
следующем:
отношение
монохроматической
интенсивности
излучения
к
поглощательной
способности тела не зависит от природы тела; является универсальной
(одинаковой для всех тел) функцией длины волны и температуры
(универсальная функция Кирхгофа):
r ,Ò
 f ( , Ò)   ( , Ò) .
(20.6)
à ,Ò
Тело, хорошо поглощающее лучи каких-либо длин волн, лучи тех же длин
волн будет хорошо излучать; а если данную длину волны не поглощает, то и
излучать не будет. Пример: для уменьшения теплоотдачи трубы теплотрассы
покрывают фольгой: она не поглощает излучение (хорошо отражает), значит, и
излучать энергии будет меньше.
Универсальная функция Кирхгофа  ( , Ò) не зависит от природы тела и
является функцией лишь длины волны и температуры. Для абсолютно черного
тела:

à ,Ò  1
r ,Ò   ( , T ) .
Следовательно,  ( , T ) есть монохроматическая интенсивность излучения
абсолютно черного тела. Её график при различных температурах тела дан на
рис.20.2. Для сравнения на рис.20.3 приводится график r ,Ò ( ) излучения
Рис.20.2
3
Рис.20.3
Солнца. С хорошей степенью точности Солнце можно считать абсолютно чёрным
телом. Для тел, не являющихся абсолютно чёрными,
(20.7)
r ,Ò  a ,Ò   ( , T )
Для многих тел поглощательную способность можно считать не зависящей от
длины волны:
à ,Ò  a  const  1.
Такие тела называются серыми; величина а называется коэффициентом
серости (или коэффициентом черноты).
2.2. Законы Вина
Эксперименты показали, что с повышением температуры максимум функции
 ( , Ò) смещается в область коротких волн, а интенсивность излучения растет
(рис.20.2). Эти закономерности излучения АЧТ описываются законами Вина.
Первый закон Вина (закон смещения Вина). Длина волны m , на которую
приходится максимум монохроматической интенсивности излучения,
обратно пропорциональна абсолютной температуре:
b
(20.8)
m  .
T
Рис.20.4
С повышением температуры максимум излучения смещается в
коротковолновую область. Железка при нагреве в пламени костра изменяет цвет:
сначала тёмно-бордовая, затем красная, оранжевая; - это значит, что в спектре её
излучения появляются более короткое волны (большие частоты – см. рис.20.4).
Одновременно растёт полный поток излучаемой энергии и максимальное
значение r ,T
.

max
Второй закон Вина: максимальное значение спектральной плотности
энергетической светимости прямо пропорционально пятой степени
абсолютной температуры:
r ,T
max
 b  T 5 .
(20.9)
Первая и вторая константы Вина в (20.7.) и (20.8) равны соответственно:
4
b  1.29 10 5
b  2.9 10 3 ì  Ê ,
Âò
ì
2
Ê
5
.
2.3. Закон Стефана-Больцмана
Полная энергетическая светимость абсолютно черного
пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры:
RT    T 4 .
Постоянная Стефана-Больцмана  была определена опытным путем:
  5.67  10 8
Âò
2
4
тела
(20.10)
.
ì Ê
Излучение серых тел подчиняется аналогичной закономерности, однако
излучение их для каждой длины волны меньше, чем для абсолютно черного тела
(см.(20.7); а<1). Полная энергетическая светимость серого тела:
RT  a    T 4 .
(20.11)
3. Ультрафиолетовая катастрофа
Несмотря на детальное изучение характеристик теплового излучения,
математический вид функции  ( , Ò) долгое время оставался для физиков
загадкой. Английские учёные Дж.Рэлей и Дж.Джинс попытались теоретически
вывести зависимость  ( , Ò) , исходя из теоремы классической статистики о
равнораспределении энергии по степеням свободы. Они предположили, что на
каждое электромагнитное колебание приходится в среднем энергия, равная двум
половинкам kT – одна половинка на электрическую, вторая – на магнитную
энергию волны (по классическим представлениям на каждую степень свободы
kT
приходится в среднем энергия, равная
). Получалось, что средняя энергия
2
классического осциллятора равна
(20.12)
 êë.  kT .
Спектральная энергетическая светимость связана со средней энергией
осциллятора  :
r ,T 
2 2
c
поэтому Рэлей и Джинс получили:
r ,T 
2
2 2
 ,
(20.13)
 kT .
(20.14)
c2
Эти результаты хорошо согласовывалась с данными опыта только в области
малых частот излучения. На рис.20.5 пунктир соответствует формуле РэлеяДжинса; сплошная кривая – экспериментальная зависимость. Для больших частот
(20.14) даёт r ,T   . Полная энергетическая светимость по формуле Рэлея5
Джинса также равна бесконечности. С точки зрения классической физики вывод
формулы Рэлея-Джинса безупречен, но она оказалась неверна.
Классическая физика оказалась несостоятельной при описании
теплового излучения. Невозможность решения проблемы теплового излучения
методами классической физики назвали «ультрафиолетовой катастрофой».
Рис.20.5
4. Квантовая гипотеза и формула Планка
Причина «ультрафиолетовой катастрофы» оказалась лежащей чрезвычайно
глубоко. Законы классической электродинамики давали неверный результат при
рассмотрении элементарных процессов, обуславливающих тепловое излучение.
Выход из создавшегося положения указал Макс Планк, выдвинув гипотезу,
совершенно чуждую представлениям классической физики. Он предположил, что
электромагнитное излучение испускается и поглощается дискретными
порциями энергии – квантами электромагнитного поля (фотонами). Энергия
такого кванта пропорциональна частоте колебаний
 0  h ,
(20.15)
а коэффициент пропорциональности h=6.63.10-34Дж.с – постоянная Планка –
получил название в честь автора квантовой гипотезы.
Так как излучение испускается порциями, то энергия квантового осциллятора
ε может принимать лишь определённые дискретные значения, кратные целому
числу элементарных порций энергии ε0: ε=nhν (n=0, 1, 2…). Средняя энергия
квантового осциллятора равна
h
 êâ. 
,
(20.16)
h
kT
e 1
где k=1.38 10 Дж/с – постоянная Больцмана. Исходя из того, что в состоянии
термодинамического равновесия расход энергии на излучение осцилляторов с
собственной частотой ν должен полностью компенсироваться в результате
поглощения этими осцилляторами энергии падающего на них излучения, Планк
показал, что
.
-23
6
2 2
r ,T 
 .
2
(20.17)
c
Тогда спектральная плотность энергетической светимости АЧТ
r ,T 
2 2
c
2
h

h
kT
,
(20.18)
e 1
или, при переходе от частоты к длине волны по (20.3):
 (  ,Т ) 
2 hc2

5

1
hc
kT 
.
(20.18а)
e
1
Это и есть формула Планка. Если бы для определения средней энергии 
осциллятора Планк, подобно Рэлею, воспользовался законом классической
статистики, он получил бы из (20.17) и (20.13) формулу Рэлея-Джинса (20.14).
Формула Планка правильно описывает экспериментальную кривую рис.20.2
и 20.4; на её основе были объяснены все экспериментально открытые законы
теплового излучения, не находившие своего объяснения в рамках классической
физики. Так, например, из (20.18а) и (20.4) можно получить закон СтефанаБольцмана (20.10) интегрированием функции Планка по всему интервалу длин
волн:

RT    (  ,T )d    T 4 ,
(20.19)
0
где

2 5k 4
2 3

(20.20)
15c h
Из формулы Планка можно получить также законы Вина, решив уравнение
d (  ,T )
 0 . Кроме того, формула Планка удовлетворяет принципу соответствия
d
– в области малых частот, когда hν<<kT, (20.18) переходит в формулу РэлеяДжинса (20.14).
5. Оптическая пирометрия
Оптические пирометры позволяют измерять температуры нагретых тел на
расстоянии путём сравнения яркостей свечения тел.
Принцип действия оптического пирометра с исчезающей нитью основан на
сравнении монохроматической яркости излучения накаленного тела с
монохроматической яркостью излучения нити специальной пирометрической
лампы накаливания. В поле зрения объектива наблюдатель видит участок
излучающей поверхности накаленного тела (объекта измерения) и на этом фоне –
нить лампочки (рис.20.6). Если яркости нити и накаленного тела неодинаковы,
нить будет видна более темной или более светлой, чем фон (рис.20.6, а, в).
7
Регулируя накал нити реостатом, наблюдатель добивается равенства яркостей,
при этом изображение нити сольется с фоном и станет неразличимо (нить
"исчезнет" – рис.20.6, б). В этот момент яркостная температура нити равна
яркостной температуре объекта измерения. Глаз весьма чувствителен к
различению яркостей и момент "исчезновения" нити улавливается с достаточной
уверенностью. Измерительный прибор, включенный в цепь нити накаливания,
градуируется в °С (или К) яркостной температуры.
а
б
в
Рис.20.6
Если объект измерения близок к абсолютно черному телу, то показываемая
пирометром яркостная температура равна истинной температуре объекта. Для
«серых» тел при одинаковой яркости излучения (при одинаковой яркостной
температуре)
истинная температура T выше яркостной (радиационной)
температуры T ðàä. , показываемой оптическим пирометром. Для определения
истинной температуры объекта в показания оптического пирометра необходимо
вносить поправку. Соотношение истинной и яркостной температур определяется
из (20.11):
R  a    T 4
T ðàä.
 T

Ò

 T ðàä.

4à
4
 RT    T ðàä.
Пирометры применение находят в электроэнергетике, теплоэнергетике.
6. Внешний фотоэффект. Уравнение Эйнштейна
Ещё одно явление, имеющее объяснение только на основании квантовых
представлений, это – фотоэлектрический эффект. Свет, попадая на тело (твёрдое
или жидкое), выбивает с его поверхности электроны. Внешний фотоэффект –
это испускание электронов веществом под действием света.
Фотоэффект открыт Г.Герцем в 1887 г.: при освещении ультрафиолетовым
светом отрицательного электрода газовый разряд между электродами происходит
при меньшем напряжении. А.Г.Столетов исследовал фотоэффект в 1888-1890гг. и
получил, что при освещении металлический катод теряет отрицательные заряды.
Основные законы фотоэффекта были экспериментально открыты Столетовым ещё
ДО ОТРЫТИЯ ЭЛЕКТРОНА Дж.Томсоном в 1897 году. Систематические
исследования фотоэффекта были выполнены в 1900 г. Ф.Леннардом на установке,
схема которой дана на рис. 20.7. Свет попадает на катод через кварцевое окошко.
8
Вылетевшие из катода в результате фотоэффекта электроны достигают анода.
Напряжение между катодом и анодом можно менять по величине, а также менять
его полярность с помощью переключателя.
На рис. 20.8 показаны вольтамперные характеристики фотоэлемента. При
отсутствии напряжения ток в цепи есть,
поскольку наиболее энергичные электроны
достигают анода. При увеличении напряжения
ток в цепи фотоэлемента сначала растёт: на анод
оттягиваются электрическим полем также и
менее энергичные электроны. Затем ток
достигает насыщения I íàñ. : все электроны,
покинувшие катод в результате фотоэффекта,
достигают анода, и ток больше расти не может.
С увеличением светового потока  сила тока
насыщения увеличивается.
При обратном включении (на катоде –
плюс, на аноде – минус) электрическое поле
между катодом и анодом «загоняет» электроны
обратно к катоду, и только самые энергичные
способны преодолеть это задерживающее поле и
достичь анода. С увеличением обратного
напряжения
ток
уменьшается
и
при
Рис.20.7
задерживающем напряжении U ç. электроны не
могут дойти до анода – ток прекращается.
Формулируем законы фотоэффекта и их объяснение, которое было дано
А.Эйнштейном в 1905 г. на основании гипотезы о световых квантах. Свет,
попадая на катод, поглощается отдельными порциями – квантами (фотонами) с
энергией    h . Фотон, попадая на катод, поглощается электроном и передаёт
ему свою энергию.
1)
Сила тока насыщения прямо пропорциональна световому потоку
и не зависит от частоты света:
I íàñ.     .
(20.21)
Объяснение: чем больше фотонов падало на катод, тем больше будет выбито
электронов, и все они при достаточном напряжении попадут на катод, независимо
от первоначальной скорости электронов. Сила тока насыщения не зависит от
энергии электронов, а только от их количества.
2)
Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов линейно
зависит от частоты света и не зависит от его интенсивности. Энергия фотона
передаётся электрону. Часть энергии электрон тратит на работу выхода, часть
остаётся у него в виде кинетической энергии, и часть может быть передана
кристаллической решётке. Поэтому электроны вылетают из катода с разными
скоростями, и только для тех, которые не передали часть энергии решётке, можно
записать закон сохранения энергии:
9
h  Àâûõ. 
2
m max
.
2
(20.22)
2
m max
 f   очевидна.
2
Скорость (и энергия) фотоэлектрона не зависит от интенсивности света,
поскольку определяется энергией одного фотона, а не количеством фотонов.
Задерживающее напряжение не позволяет даже самым энергичным
электронам достигать анода, то есть фотоэлектроны тратят всю энергию на
преодоление задерживающего напряжения:
Из (20.22) линейная зависимость
Eêèí. max 
2
m max
Eêèí. max 
 eU ç.
(20.23)
2
При изменении частоты света будет меняться и U ç. (см. семейство
характеристик на рис.20.9):
h  Àâûõ.  eU ç..
Ф2>Ф1
Рис.20.8
Рис.20.9
3)
Существует красная граница фотоэффекта, то есть такая частота
 0 , при которой начинается фотоэффект: при    0 фотоэффект есть, а при
   0 фотоэффекта нет. Красная граница – своя для каждого вещества катода.
Фотоэффект возможен только в том случае, если энергии фотона хватит
электрону на работу выхода. Минимальная энергия фотона, вызывающего
фотоэффект, равна
h 0  Aâûõ. ,
откуда красная граница:
A
(20.24)
 0  âûõ. .
h
Длина волны красной границы:
ñ
ñh
;
(20.25)
0 

 0 Aâûõ.
10
причём фотоэффект есть при   0 и отсутствует при   0 .
Уравнение Эйнштейна можно записать ещё и так:
2
m max
h  h 0 
2
h  h 0  eU ç.
2
mmax


 0
2
hñ hñ

 eU ç.
 0
hñ
hñ
4) Фотоэффект безинерционен. Это было замечено ещё Столетовым.
Законы фотоэффекта не могут быть объяснены волновой теорией. Например,
существование красной границы не укладывается в волновую теорию: световая
волна малой частоты (энергии) тоже могла бы «раскачать» электрон (только за
более продолжительное время) и он мог бы вылететь из металла.
Безинерционность также необъяснима волновой теорией (для «раскачки»
электрона волной нужно время), а с точки зрения квантовой теории процесс
взаимодействия фотона с электроном происходит практически мгновенно. Если
свет поглощается как волна, то необъяснима независимость энергии
фотоэлектрона от её амплитуды, то есть интенсивности света.
Компьютерная модель фотоэффекта:
http://www.physbook.ru/images/9/9f/Fot_7.swf
7. Фотоны: энергия, импульс
Таким образом, свет:
а) излучается дискретными порциями – квантами, фотонами (к этому
привело объяснение законов теплового излучения);
б) поглощается тоже квантами (фотоэффект).
Энергия фотона равна
(20.26)
   h ,
ñ
  h .

Фотоны – безмассовые частицы:
(20.26а)
m  0 .
Теория относительности даёт такую связь между полной энергией и
импульсом частицы:
E 2  p 2c 2  m 2c 4 .
Отсюда для фотона:
 2  p2c 2 ;
   p c ;
11
p 


c
p 
h

h
;
c
(20.27)
.
(20.27а)
8. Давление света
Поскольку фотоны обладают импульсом, то при падении света на
поверхность она получает импульс, то есть на поверхность действует сила
давления. Впервые измерил давление света около
1900 г. русский физик П.Н.Лебедев. Чтобы
исключить влияние потоков воздуха на движение
лёгких крылышек, в сосуде создаётся вакуум
(рис.20.10). Световое давление рассчитывалось по
углу
закручивания
кварцевой
нити
очень
чувствительных крутильных весов, к которым были
подвешены крылышки. Количественный результат,
полученный в опытах Лебедева, совпал с точностью
до 2% с предсказанным теорией Максвелла для
электромагнитного поля.
Выражение для светового давления здесь будет
получено, исходя из квантовых представлений.
Рис.20.10
Пусть на поверхность с коэффициентом
отражения ρ нормально падает свет (рис.20.11). За промежуток времени Δt на
площадку S попадает N фотонов. Из них отражается число фотонов, равное
N1=ρN, и поглощается N2=(1–ρ)N фотонов.
Импульс одного фотона равен
h
.
p 
c
При отражении изменение импульса фотона



p  p2  p1
направлено по нормали к площадке и равно по
величине
p
 2 p
îòð .

(см. рис.20.11; здесь p1 – импульс падающего

p
фотона,
2 – отражённого).
Рис.20.11
Изменение импульса поглощённого фотона
равно величине самого импульса:
p
 p .
 
 ïîãë.
По закону сохранения импульса суммарное изменение импульса фотонов
равно величине импульса, полученного площадкой:
p  N1  p
 N 2  p
   N  2 p  1     N  p ,
 îòð.
 ïîãë.
12
или
p  N  p  1    ,
 
откуда по второму закону Ньютона в импульсной форме p  F  t найдём силу
давления света:
p N  p  1   
,
F

t
t
а затем – давление:
F N  p  1    N  h   1    W  1   
,
p 


S
t  S
c  t  S
c  t  S
где W  Nh – суммарная энергия всех фотонов, падающих на площадку S за
время Δt, то есть находящихся в объёме V  S  c  t , на расстоянии от площадки
W
W
не более, чем c  t . Величина

 w – объёмная плотность энергии,
ñ  S  t V
то есть энергия фотонов в расчёте на единичный объём, и тогда
p  w  1    .
(20.28)
С другой стороны, давление можно выразить через интенсивность света I.
По определению, интенсивностью света называется энергия световой волны,
переносимая за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную
лучу:
W
.
I
S  t
Тогда
I
p  1    .
c
Есть ещё одно понятие, аналогичное интенсивности света: энергетическая
освещённость Ee – это энергия света, попадающая на единичную площадку за
единицу времени:
W
,
Ee 
S  t
тогда давление
E
(20.29)
p  e 1    .
c
Если свет падает на поверхность под углом  , то нормальное давление
равно
I
p  cos2  1    .
c
(Доказательство см. в третьей части пособия для самостоятельной работы,
примеры решения задач; задача № 5.)
9. Эффект Комптона
13
Комптоновское рассеяние открыто в 1923 году. Комптоновское рассеяние –
это упругое рассеяние рентгеновского излучения на свободных электронах. В
рассеянных лучах наряду с первичным излучением с длиной волны 
присутствует излучение с длиной волны     (рис.20.12, 20.13), причём
изменение длины волны  зависит только от угла рассеяния  :
       ñ 1 cos   .
(20.30)
Здесь ñ  2.43 ïì – комптоновская длина волны.
С точки зрения классической электродинамики объяснение рассеяния с
изменением частоты (длины волны) невозможно.
Следуя волновым представлениям, получим, что
механизм рассеяния состоит "в раскачивании"
электронов электромагнитным полем падающей волны.
Колеблющийся электрон должен в свою очередь
излучать электромагнитную волну, имеющую частоту,
равную частоте колебаний электрона, т.е. частоте
падающей волны. Таким образом, свободные
электроны рассеивают излучение, причем частота
рассеянных волн должна равняться частоте падающих.
Рис.20.12
Теоретическую интерпретацию явлению дали А.
Комптон и П. Дебай. Эффект становится объяснимым,
если полагать, что электромагнитное излучение представляет поток фотонов,
h
каждый из которых обладает энергией    h и импульсом p 
. В «легких»
c
веществах, с которыми проводил опыты А.Комптон (графит, парафин), энергия
связи электронов мала по сравнению с энергией, передаваемой ему квантами
рентгеновского излучения, и электроны можно считать свободными. При
комптоновском рассеянии происходит упругое столкновение фотона со
свободным электроном. По образному выражению М.Борна, эффект Комптона –
это игра в биллиард фотонами и электронами. Объяснение комптоновского
рассеяния явилось одним из главных аргументов в пользу корпускулярной
природы электромагнитного излучения.
Рис.20.13
14
Фотон рассеивается на внешних электронах в атоме, которые можно считать
свободными, так как энергия их связи с ядром много меньше энергии фотона.
Электрон можно считать покоящимся по той же причине: его кинетическая
энергия много меньше энергии фотона. Выполняются законы сохранения
импульса и энергии (рис.20.14):



p  p  pe
,
(20.31)
(20.32)
   E0     E .
h h
 – импульс первичного фотона;
c

hc
   h 
 p  c – энергия первичного фотона;
Здесь p 

h  h
 – импульс рассеянного фотона;
c

hc
   h  
 p  c – энергия рассеянного фотона;

p 
E0  mec 2 – энергия покоя электрона;
E – энергия электрона отдачи.
Рис.20.14
Из рис.20.14 по теореме косинусов:
(20.33)
pe2  p2  p2  2 p  p  cos .
Взаимосвязь импульса и энергии электрона даёт теория относительности:
E 2  p 2c 2  m 2c 4
pe2c 2  E 2  m2c 4 ,

или
pe2c 2  E 2  E02 .
Из (20.32):

 
(20.34)

E 2        E0 2  p  c  p  c  E0 2 ,
тогда




E 2  p  c  p  c 2  E02  2 p  c  p  c E0 .
Подставим последнее равенство в (20.34):
15




pe2c 2  p  c  p  c 2  2 p  c  p  c E0 .
Сокращаем на c 2 :






E
pe2  p  p 2  2 p  p 0 .
ñ
Сравниваем с (20.33):


E
pe2  p2  p2  2 p  p  cos  p  p 2  2 p  p 0 .
ñ
Отсюда


E
p2  p2  2 p  p  cos  p2  p2  2 p p  2 p  p 0 .
ñ
2
2
Сокращаем на p  p :

 2 p  p  cos  2 p p  2 p  p
 Eñ0 .
Сокращая на 2, подставляем выражения для импульсов фотонов через длину
волны и выражение для энергии покоя электрона:
h h
h h  h h  me c 2
   cos  
  
.
 
      ñ
Приводим к общему знаменателю и сокращаем на h:
h
h
  

 cos  

m c.
 
    e
Сокращаем на    :
 h  cos   h        me c .
Теперь можно выразить       :
h  h  cos         me c ,
h1  cos          me c .
Наконец,
h
1 cos  ,
      
mec
h
где
 c и есть комптоновская длина волны.
mec
16