Фотоны

ТЕМА 2. ФОТОНЫ
Итак, решение задачи о равновесном тепловом излучении абсолютно
черного тела привело к тому, что М. Планк в 1900 г. сформулировал
квантовую гипотезу, которая послужила основой для развития квантовой
физики. В те времена гипотеза оставалась лишь гипотезой, поскольку не
было прямых опытных доказательств ее справедливости. Некоторые явления,
подтверждающие квантовую гипотезу, будут рассмотрены ниже.
2.1. Тормозное рентгеновское излучение
Ранее уже говорилось о том, что рентгеновское излучение – это
электромагнитное излучение с длиной волны в диапазоне примерно от 10 до
0,1 нм. В зависимости от его физической природы оно делится на два вида –
тормозное и характеристическое. В настоящий момент нас интересует только
тормозное излучение; о характеристическом речь пойдет позже.
Из электродинамики известно, что любая заряженная частица,
движущаяся с ускорением, является источником электромагнитного
излучения, мощность которого пропорциональна квадрату ускорения.
Тормозное излучение возникает в результате бомбардировки
высокоэнергетичными электронами металлических поверхностей (мишеней).
На практике используется т.н. рентгеновская трубка – вакумированный
стеклянный баллон, в котором имеется несколько электродов (рис. 2.1).
рентгеновское изл.
анод
катод

фокусирующий цилиндр
 U

Рис. 2.1
Электроны, вылетающие из раскаленного катода, фокусируются
цилиндрическим электродом в параллельный пучок. Далее электроны
ускоряются электрическим полем и попадают на анод, изготавливаемый из
тяжелых металлов (медь, вольфрам, платина и т.п.). В результате торможения
электронов на поверхности анода возникает рентгеновское излучение, длина
волны которого, согласно законам электродинамики, должна изменяться
непрерывно в диапазоне от нуля до бесконечности. В действительности же
каково бы ни было ускоряющее напряжение U , спектр излучения имеет
строго определенную коротковолновую границу  min , которая связана с
величиной U следующим соотношением:
1
 min 
12390
(Å)
U
(2.1)
(здесь длина волны выражена в ангстремах, напряжение – в вольтах).
Существование коротковолновой границы в спектре тормозного
рентгеновского излучения непосредственно вытекает из его квантовой
природы. В самом деле, если излучение возникает за счет кинетической
энергии, теряемой электронами при торможении, то энергия одного кванта
 не должна быть больше энергии электрона, приобретаемой в
электрическом поле:
  eU   max 
eU
2C
,  min 

eU
(2.2)
Измерив min и U , можно найти численное значение постоянной Планка
(практика показывает, что этот способ ее измерения является наиболее
точным).
Следующее явление, подтверждающее квантовую гипотезу Планка,
называется внешним фотоэлектрическим эффектом (кроме внешнего
существует и внутренний фотоэффект, который будет рассматриваться
позже).
2.2. Внешний фотоэффект
Внешним фотоэффектом называется явление испускания электронов
металлами под действием света. Впервые это явление наблюдал Герц в 1887
г. в опытах с электрическим разрядом. Он заметил, что проскакивание искры
между шариками разрядного устройства происходит при меньших
напряжениях, если один из шариков освещать ультрафиолетовым
излучением.
Явление внешнего фотоэффекта исследовалось многими физиками, в
том числе российским ученым П.Н. Лебедевым. Схема типичной установки,
использовавшейся для проведения опытов, приведена на рис. 2.2.
Ультрафиолетовое излучение через входное отверстие вакумированного
стеклянного баллона (отверстие закрывалось кварцевым стеклом) попадало
на катод. Фотоэлектроны, вылетевшие из катода, ускорялись электрическим
полем, достигали анода и замыкали цепь. В ходе экспериментов измерялась
вольтамперная характеристика фотоэффекта – зависимость силы анодного
тока от напряжения между электродами, которое изменялось с помощью
реостата.
Согласно результатам измерений (рис. 2.3), при повышении
напряжения сила тока увеличивается и достигает наибольшего значения,
которое называется фототоком насыщения. При нулевом напряжении сила
тока отлична от нуля; он создается электронами, скорость которых случайно
направлена к аноду и достаточна для того, чтобы достичь его. Ток
прекращается, если на катод подать т.н. задерживающий потенциал, при
котором кинетическая энергия вылетающего из катода электрона равна его
2
потенциальной энергии: WK  e 3 . Очевидно, измерив значения  3 , можно
найти кинетическую энергию электрона.
катод
анод


V
A

Рис. 2.2
I
I нас
з
O
U
Рис. 2.3
Вольтамперные характеристики фотоэффекта, полученные при
различной освещенности катода и различных длинах волн УФ-излучения,
позволили установить три закона фотоэффекта:
–сила фототока насыщения пропорциональна освещенности и не
зависит от частоты света;
– максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов увеличивается с
повышением частоты света по линейному закону и не зависит от
освещенности катода;
– существует минимальная частота света, характерная для каждого
металла, при которой фотоэффект еще наблюдается (т.н. красная граница
фотоэффекта).
Перечисленные законы были необъяснимы в рамках волновой природы
света. Действительно, с волновой точки зрения для вырывания электрона из
3
металла ему необходимо сообщить энергию за счет возбуждения
вынужденных колебаний в электрическом поле световой волны. Амплитуда
колебаний пропорциональна модулю вектора напряженности и,
следовательно, освещенности, что противоречит опытным данным. Кроме
того, опыт показывает, что фотоэффект практически безынерционен, т.е.
прекращается в тот же момент, когда отключается свет. Это также не
соответствует волновой теории, поскольку вынужденные колебания
затухают не мгновенно.
А. Эйнштейн применил для объяснения законов фотоэффекта
квантовую гипотезу М. Планка. Он обобщил ее, полагая, что свет не только
испускается, но распространяется и поглощается также квантами (в 1926 г.
по предложению А. Комптона кванты света стали называть фотонами). В
результате Эйнштейн сформулировал уравнение   A  WK , где  –
энергия фотона, A – работа выхода электрона, WK – его кинетическая энергия
(впоследствии это уравнение назвали формулой Эйнштейна для
фотоэффекта). Из этого уравнения, которое в сущности представляет собой
закон сохранения энергии в элементарном акте фотоэффекта, следуют все
его законы. Действительно, в рамках квантовых представлений освещенность
катода пропорциональна количеству падающих на него фотонов. Если
считать, что энергия одного фотона воспринимается одним электроном, то
число фотоэлектронов и, соответственно, сила тока также будет
пропорциональна количеству падающих на катод фотонов, т.е. его
освещенности, и не зависит от длины волны света. Поскольку энергия
кванта пропорциональна частоте света, из уравнения (2.3) получается, что
кинетическая энергия фотоэлектрона зависит частоты по линейному закону.
Наконец, если   A    A /  , то кинетическая энергия фотоэлектрона
становится отрицательной величиной, что недопустимо. Это означает, что
существует минимальная частота света, равная A /  , при которой
фотоэффект еще наблюдается (красная граница). Если же частота меньше
этого значения, энергия фотона недостаточна для того, чтобы электрон
покинул металл, и фотоэффект не имеет места.
В рассмотренном выше явлении электрон металла воспринимает
энергию лишь одного кванта. В связи с изобретением лазеров появилась
возможность получения световых пучков очень большой интенсивности, что
дало возможность реализовать т.н. многофотонные процессы. В частности,
наблюдался многофотонный фотоэффект, в котором один электрон
воспринимал энергию сразу нескольких квантов. Формула Эйнштейна в этом
случае имеет вид: N  A  WK , где N – количество фотонов, передающих
энергию одному электрону. Красная граница при этом смещается в
низкочастотную (длинноволновую) сторону:
N  A   
A
,
N
т.е. минимальная частота уменьшается в N раз.
4
Как уже отмечалось, Планку для отыскания функции Кирхгофа
достаточно было предположить, что электромагнитное излучение
испускается атомами вещества в виде отдельных порций – квантов. Для
объяснения законов внешнего фотоэффекта Эйнштейну было бы достаточно
того, что свет поглощается также квантами. Однако Эйнштейн пошел дальше
– он предположил, что свет не только испускается и поглощается, но
распространяется также в виде квантов. Это предположение получило
подтверждение в опытах Ботэ (схема экспериментальной установки
приведена на рис. 2.4). Тонкая металлическая фольга помещалась между
двумя газоразрядными счетчиками. На фольгу направлялся пучок
рентгеновского излучения небольшой интенсивности, под действием
которого фольга сама испускала рентгеновское излучение. Кванты этого
излучения, попадая в счетчик, вызывали импульс тока, приводившего в
газоразрядные счетчики
фольга
ГС
ГС
лентопротяжные механизмы
Рис. 2.4
действие лентопротяжный механизм; при этом на соответствующей стороне
бумажной ленты ставилась черточка. Если бы рентгеновское излучение
фольги распространялось в виде сферической волны, каждый акт испускания
приводил бы в действие оба механизма одновременно, и на ленте черточки
появлялись строго симметрично. На самом же деле черточки располагались
хаотично; объяснить это можно лишь тем, что рентгеновское излучение
фольги испускается квантами, причем направление их распространения
также хаотично.
Таким образом, экспериментально было доказано, что свет
испускается, распространяется и поглощается квантами. Поскольку световые
кванты – фотоны обладают энергией, они должны обладать импульсом. Из
частной теории относительности следует соотношение между энергией
фотона и модулем его импульса:
P

.
C
Поскольку   2C /  ,
5
P
  2C
 
, P  k ,
C
C 
где k  2 /  – волновое число. Поскольку фотон движется в направлении
распространения электромагнитной волны, вектор импульса фотона и
волновой вектор сонаправлены; поэтому в векторной форме P  k .
Примечательно то, что обе корпускулярные характеристики фотона (энергия
и импульс) выражаются через частоту и длину волны, которые являются
характеристиками электромагнитной волны.
2.3. Эффект Комптона
Особенно отчетливо корпускулярные свойства света обнаруживаются в
явлении, которое впервые наблюдал в 1923 г. А. Комптон в опытах по
рассеянию рентгеновского излучения различными веществами (рис. 2.5).
рассеивающее в  во
рентгеновское изл.

спектрометр
Рис. 2.5
Узкий параллельный пучок монохроматического рентгеновского излучения с
длиной волны  направлялся на рассеивающее вещество; длина волны
излучения, рассеянного под различными углами, измерялось с помощью
спектрометра.
Комптон обнаружил, что в состав рассеянного излучения входят пучки
с длиной волны ' , большей  ; при этом разность   '   изменялась в
зависимости только от угла  и не зависела от химической природы
рассеивающего вещества и  :
   C (1  cos ) .
Здесь  C – константа, которая впоследствии стала называться комптоновской
длиной волны. При рассеянии на веществах с малым порядковым номером
( Li, Be, B ) практически все излучение, прошедшее через вещество, имеет
смещенную длину волны. По мере увеличения порядкового номера все
большая часть излучения не рассеивалась.
Классическая волновая теория рассеяния не смогла объяснить эффект
Комптона. В рамках этой теории рассеяние электромагнитной волны
обусловлено возникновением в рассеивающем веществе вынужденных
6
колебаний электронов с частотой, равной частоте падающей волны. Все
перечисленные особенности эффекта Комптона можно объяснить,
рассматривая рассеяние как неупругое столкновение фотонов рентгеновского
излучения с валентными электронами атомов. Поскольку энергия
рентгеновского фотона значительно больше энергии связи валентных
электронов, их можно считать свободными.
Пусть на свободный электрон, который первоначально покоится,
падает рентгеновский фотон с энергией  и импульсом k . Энергия
электрона до взаимодействия с фотоном равна mC 2 , импульс равен нулю.
После рассеяния электрон обладает импульсом P и энергией C P 2  m 2C 2 .
Энергия и импульс фотона также изменятся и станут равными ' и  k '
(рис. 2.6). Согласно законам сохранения энергии и импульса имеем:
k '

k
P
Рис. 2.6
  mC 2  '  C P 2  m 2 C 2 ,
(2.3)
k  P  k ' .
(2.4)
Разделим уравнение (2.3) на C :


'
 mC    P 2  m 2 C 2 .
C
C
Поскольку / C  k , имеем:
k  mC  k '  P 2  m 2 C 2  P 2  m 2 C 2  (k  k ' )  mC .
Возведем последнее равенство в квадрат:
P 2  m 2 C 2   2 (k 2  (k ' ) 2  2kk ' )  2mC(k  k ' )  m 2 C 2 ,
P 2   2 (k 2  (k ' ) 2  2kk ' )  2mC(k  k ' )
(2.5)
Согласно равенству (2.4) имеем:
P  (k  k ' ) , P 2   2 (k 2  (k ' ) 2  2kk ' cos )
(2.6)
Из сравнения (2.5) и (2.6) следует, что
2mC(k  k ' )  2kk '  2 (1  cos )  mC(k  k ' )  kk ' (1  cos ) .
7
Умножим последнее равенство на 2 и разделим его на mCkk' :
2 2 2


(1  cos ) .
k
mC
k'
Учтя, что 2 / k   , приходим к формуле
'     C (1  cos ) ,
где
C 
2
.
mC
(2.7)
Если сюда подставить численные значения всех констант, получим:
 C  0,0243 Å, что очень хорошо согласуется со значением комптоновской
длины волны, найденной из опыта.
Как уже отмечалось, при увеличении порядкового номера атомов
рассеивающего вещества интенсивность пучка со смещенной длиной волны
уменьшается. Это обусловлено тем, что по мере увеличения Z
увеличивается и энергия связи валентных электронов с ядром атома; при
этом рассеяние рентгеновского фотона следует рассматривать как его
неупругое соударение с атомом в целом. Поскольку масса рассеивающей
частицы становится большей, величина  уменьшается в соответствии с
равенством (2.7).
Явление внешнего фотоэффекта, опыты Ботэ и эффект Комптона
убеждают нас в том, что свет – это поток фотонов, в которых сосредоточена
энергия света и его импульс. Вместе с тем явления интерференции,
дифракции и поляризации служат наглядным подтверждением волновой
природы света.
Что же такое свет? Одним из наиболее значительных достижений
физики ХХ века является осознание ошибочности попыток
противопоставления волновых и корпускулярных его свойств. На самом же
деле свойства непрерывности, характерные для электромагнитной волны, не
исключают, а сочетаются со свойствами дискретности, характерными для
световых квантов – фотонов. При этом в проявлении этих свойств имеется
вполне определенная закономерность: с уменьшением длины волны все
более отчетливо сказываются квантовые свойства света. Наглядным
подтверждением этого является то, что дифракцию рентгеновского
излучения можно наблюдать лишь в том случае, когда в качестве
дифракционной решетки использовать кристалл.
Взаимосвязь волновых и корпускулярных свойств проявляется в
статистическом характере распространения света. Например, в волновой
теории дифракция обусловлена перераспределением интенсивности
светового потока, которое можно наблюдать на экране в виде
дифракционной картины. В рамках квантового подхода освещенность
8
экрана в различных его точках пропорциональна суммарной энергии
фотонов, попадающих в эти точки в единицу времени. Как известно,
интенсивность световой волны в определенной точке экрана
пропорциональна квадрату амплитуды светового вектора, количество
фотонов – вероятности попадания фотонов в эту же точку. Отсюда следует,
что квадрат амплитуды светового вектора (т.е. вектора E ) в заданной точке
пространства представляет собой меру вероятности пребывания фотонов в
этой же точке.
Таким образом, корпускулярные и волновые свойства света не
исключают, но взаимно дополняют друг друга. Они отражают две различные,
но неразрывно связанные закономерности распространения
электромагнитного излучения и взаимодействия его с веществом.
Корпускулярные свойства проявляются в том, что энергия и импульс света
локализованы на фотонах; волновые свойства выражаются в статистическом
характере распределения фотонов в пространстве.
9