Дифференциальные уравнения и ряды

УТВЕРЖДАЮ
Проректор - директор ФТИ ТПУ
___________ Долматов О.Ю.
«_____»_____________2012 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА МОДУЛЯ (ДИСЦИПЛИНЫ)
Дифференциальные уравнения и ряды
НАПРАВЛЕНИЕ ООП 231300 Прикладная математика
ПРОФИЛЬ ПОДГОТОВКИ Применение математических методов для
решения инженерных и экономических задач
КВАЛИФИКАЦИЯ (СТЕПЕНЬ) бакалавр
БАЗОВЫЙ УЧЕБНЫЙ ПЛАН ПРИЕМА 2011 г.
КУРС 2 СЕМЕСТР 3
КОЛИЧЕСТВО КРЕДИТОВ 6
ПРЕРЕКВИЗИТЫ математический анализ, линейная алгебра и аналитическая
геометрия
КОРЕКВИЗИТЫ теория вероятностей, дисциплины гуманитарного, социального и
экономического цикла, дисциплины естественнонаучного цикла, профессионального
цикла и цикл «Физическая культура»
ВИДЫ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ И ВРЕМЕННОЙ РЕСУРС:
Лекции 36 час.
Практические занятия 36 час.
АУДИТОРНЫЕ ЗАНЯТИЯ 72 час.
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 90 час.
ИТОГО 162 час.
ФОРМА ОБУЧЕНИЯ
очная
ВИД ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ экзамен
ОБЕСПЕЧИВАЮЩЕЕ ПОДРАЗДЕЛЕНИЕ
кафедра ВММФ
ЗАВЕДУЮЩИЙ КАФЕДРОЙ
Трифонов А.Ю.
РУКОВОДИТЕЛЬ ООП
Трифонов А.Ю.
ПРЕПОДАВАТЕЛЬ
Корякин А.И.
2012 г.
1. Цели освоения дисциплины Дифференциальные уравнения и ряды
В результате освоения данной дисциплины студент приобретает знания, умения и
навыки, обеспечивающие достижение целей P1, Р2, Р3, Р7, Р8 ,Р9, Р10 и Р11 основной
образовательных программ 231300 «Прикладная математика».
Основные цели преподавания курса дифференциальные уравнения и ряды.
1. Изучение предусмотренных программой определений, теорем, их доказательств, связей
между ними, формирование умения применять полученные знания при решении
конкретных задач.
2. Создание отношения к математическому аппарату как к инструменту исследования и
решения прикладных задач. Эта цель достигается выработкой у студентов понимания
сущности математической модели и умения моделировать некоторые наиболее доступные
объекты, процессы и явления.
3. Развитие у студентов логического и алгебраического мышления, математической
интуиции, точности и обстоятельности аргументации, т.е. воспитания математической
культуры, которая способствовала бы включению будущих специалистов в процесс
активного познания, в частности, обеспечивала бы им возможность самостоятельного
овладения новым математическим аппаратов.
2. Место модуля в структуре ООП
Дисциплина
относится
к
базовым
дисциплинам
математического
и
естественнонаучного цикла (Б2.Б1). Для освоения дисциплины необходимо знать:
 курс «Математический анализ»,
 курс «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»
Параллельно с данной дисциплиной могут изучаться дисциплины гуманитарного,
социального и экономического цикла, дисциплины естественнонаучного
цикла,
профессионального цикла и цикл «Физическая культура»
3. Результаты освоения дисциплины Дифференциальные уравнения и ряды.
При изучении дисциплины студенты должны получить представление: о значении
дифференциальных уравнений и рядов в математике, естествознании, инженерных
дисциплинах и общественных науках; об индукции и дедукции, доказательных и
правдоподобных рассуждениях, их роли в процессе научного познания; об условном
суждении и эквивалентных ему утверждениях. Студенты должны будут уметь: грамотно
применять основные понятия и методы дифференциальных уравнений и рядов,
представляя реальные границы их применения; проверять найденные решения;
самостоятельно овладевать новыми математическими знаниями, опираясь на опыт,
приобретенный в процессе изучения курса математического анализа.
После изучения данной дисциплины студенты приобретают знания, умения и опыт,
соответствующие результатам основной образовательной программы: Р1, Р2, Р9.
Соответствие результатов освоения дисциплины формируемым компетенциям ООП
представлено в таблице.
Формируемые
компетенции в
соответствии с
ФГОС*
З1
У1
Результаты освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен знать:
основные положения теории числовых и функциональных рядов,
обыкновенных дифференциальных уравнений и теории устойчивости
В результате освоения дисциплины студент должен уметь:
 определять возможности применения теоретических положений
У2
У3


У4.

и методов для постановки и решения конкретных прикладных
задач,
решать основные задачи на разложение функций в ряды Тейлора
определять возможности применения теоретических положений
дифференциальных уравнений для постановки и решения
конкретных прикладных задач;
решать
основные
типы
обыкновенных
дифференциальных уравнений первого порядка,
линейных дифференциальных уравнений и систем с
постоянными коэффициентами, исследовать на
устойчивость решения уравнений и систем
В результате освоения дисциплины студент должен владеть:
 навыками письменной и устной коммуникации на
математическом языке
 стандартными методами теории обыкновенных
дифференциальных уравнений и теории устойчивости и их
применением к решению прикладных задач.
 навыками математической формализации прикладных задач;
анализа и интерпретации решений соответствующих
математических моделей
В.1
В.2
В.3
Структура и содержание дисциплины Дифференциальные уравнения и
4.
ряды.
4.1. Наименование модулей дисциплины:
Модуль 1. Числовые ряды
Лекции. Практика. Понятие числового ряда. Определение сходящегося и
расходящегося ряда. Теоремы о свойствах сходящихся рядов. Необходимый признак
сходимости ряда. Понятие знакоположительного ряда, необходимое и достаточное
условие его сходимости. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов:
Д’Аламбера, радикальный Коши, интегральный Коши, признаки сравнения. Эталонные
ряды и их сходимость. Знакопеременные ряды: понятие условной и абсолютной
сходимости.
Теорема
Лейбница.
Признак
Дирихле.
Схема
исследования
знакочередующихся рядов на сходимость.
Модуль 2. Функциональные ряды
Лекции. Практика.
Определения функционального ряда и области его сходимости. Понятие равномерной
сходимости. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов. Степенные
ряды. Теорема Абеля и ее геометрическая иллюстрация. Интервал и радиус сходимости
степенного ряда. Основные свойства степенных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена.
Теорема о необходимых и достаточных условиях разложения функции в ряд Тейлора.
Таблица разложения основных элементарных функций в ряд Маклорена
Модуль 3. Ряды Фурье
Лекции. Практика.
Ортогональные и нормированные системы функций. Тригонометрическая система
функций. Понятие тригонометрического ряда Фурье. Теорема о коэффициентах ряда
Фурье. Сумма ряда Фурье. Теорема Дирихле. Разложение четных и нечетных функций в
ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на полуинтервале. Ряд Фурье для
функций с произвольным периодом. Сдвиг сегмента разложения. Понятие об интеграле
Фурье.
Модуль 4.
Дифференциальные уравнения I порядка
Лекции. Практика.
Дифференциальные уравнения первого порядка: основные определения и понятия.
Метод изоклин. Существование и единственность решения задачи Коши. Особые
решения. Уравнения с разделяющимися переменными и уравнения, приводящиеся к
ним. Однородные уравнения: определение, понятие однородной функции n-го и
нулевого измерения. Способ решения. Уравнения, приводящиеся к однородным.
Линейные уравнения. Методы решения: метод Лагранжа, метод Бернулли. Уравнения
Бернулли и методы решения.
Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Простейшие типы
уравнений, не разрешенных относительно производной. Особые решения.
Модуль 5. Дифференциальные уравнения высших порядков. Системы
уравнений. Элементы теории устойчивости.
Лекции. Практика.
Дифференциальные уравнения высших порядков: основные понятия и определения.
Уравнения,
допускающие
понижение
порядка.
Линейные
однородные
дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Определитель
Вронского. Фундаментальная система решений. Характеристическое уравнение.
Свойства решений.
Линейные
неоднородные
дифференциальные
уравнения
с
постоянными
коэффициентами с произвольной правой частью. Метод Лагранжа (вариации
постоянных).Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами со специальной правой частью.
Системы дифференциальных уравнений: основные определения и понятия. Методы
последовательного исключения неизвестных и интегрирующих комбинаций.
Линейные однородные системы дифференциальных уравнений. Метод Эйлера.
Элементы теории устойчивости.
4.2.
№
Структура дисциплины по модулям, формам организации и контроля
обучения
Название модуля
Аудиторная работа
(час)
Лек Практ./ Лаб.
ции семина зан.
р
6
6
1
1
Числовые
ряды
2
6
3
Функциональные
ряды
Ряды Фурье
4
Дифференциальные
СРС
(час)
Итого
14
26
6
16
28
6
6
14
28
8
8
20
36
Формы текущего
контроля и
аттестации
ИДЗ.
Контрольная работа
ИДЗ. Контрольная
работа
ИДЗ. Контрольная
работа
ИДЗ.
5
уравнения 1 –го
порядка
Дифференциальные
уравнения высших
порядков. Системы
уравнений.
Элементы теории
устойчивости
Аттестация за семестр
итого
Контрольная работа
10
10
26
46
ИДЗ.
Контрольная
работа
Экзамен
36
36
90
162
5. Образовательные технологии
Для успешного освоения модуля дисциплины применяются как предметно —
ориентированные технологии обучения (технология постановки цели, технология полного
усвоения, технология концентрированного обучения), так и личностно — ориентированные
технологии обучения (технология обучения как учебного исследования, технология
педагогических мастерских, технология коллективной мыследеятельности, технология
эвристического обучения) которые обеспечивают достижение планируемых результатов
обучения согласно основной образовательной программе.
Перечень методов обучения и форм организации обучения представлен в таблице 2.
Таблица 2.
Методы и формы организации обучения
ФОО Лекц. Пр. зан./сем. Тр.*, Мк** СРС
Методы
IT-методы
Работа в команде
х
х
Case-study
Игра
Методы проблемного обучения
х
х,х
х
Обучение на основе опыта
х
х
х,х
х
Опережающая самостоятельная работа
х,х
х
Проектный метод
Поисковый метод
х
х
х,х
х
Исследовательский метод
х
х
х,х
х
6. Организация и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов
6.1. Общий объем самостоятельной работы студентов поданному модулю включает
две составляющие: текущую СРС и творческую проектно-ориентированную СР
(ТСР).
6.1.1.
Текущая СРС направлена на углубление и закрепление знаний студентов,
развитие практических умений и представляет собой:
- работа с лекционным материалом, поиск и обзор литературы и электронных источников
информации по индивидуально заданной проблеме курса;
- выполнение домашних заданий
- опережающая самостоятельная работа;
- изучение тем, вынесенных на самостоятельную проработку;
- подготовка к практическим и семинарским занятиям;
- в изучении теоретического материала по теме курсовой работы, оформлении отчета и
презентации доклада;
- подготовка к контрольной работе и коллоквиуму, к зачету, к экзамену
6.1.2.
Творческая проектно-ориентированная самостоятельная работа (ТСР),
ориентирована на развитие интеллектуальных умений, комплекса общекультурных и
профессиональных компетенций, повышение творческого потенциала студентов и
представляет собой:
- выполнение расчетно-графических работ;
- участие в научных студенческих конференциях, семинарах и олимпиадах;
6.2.
Содержание самостоятельной работы студентов по модулю
6.2.1.Темы индивидуальных заданий:
1. Числовые ряды.
2. Функциональные ряды.
3. Ряды Фурье.
4. Дифференциальные уравнения 1-го порядка.
5. Дифференциальные уравнения высших порядков и системы.
6.2.2 Темы работ выносимые на самостоятельную проработку:
1. Уравнение Риккати.
2. Уравнение Клеро.
3. Приложения степенных рядов
4. Интеграл Фурье
6.3 Контроль самостоятельной работы
Контроль СРС студентов проводится путем проверки работ, предложенных для
выполнения в качестве домашних заданий согласно разделу 6.2. и рейтинг-плану освоения
модуля дисциплины. Одним из основных видов контроля СРС является защита
индивидуальных домашних заданий. Наряду с контролем СРС со стороны преподавателя
предполагается личный самоконтроль по выполнению СРС со стороны студентов.
6.4 Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
Для организации самостоятельной работы студентов рекомендуется использование
литературы и Internet-ресурсов согласно перечню раздела 8. Учебно-методическое и
информационное обеспечение дисциплины.
7. Средства (ФОС) текущей и итоговой оценки качества освоения модуля
7.1. Текущий контроль. Средствами оценки текущей успеваемости студентов по
ходу освоения модуля дисциплины являются:
7.1.1. Пример перечня вопросов, ответы на которые дают возможность студенту
продемонстрировать, а преподавателю оценить степень усвоения теоретических и
фактических знаний на уровне знакомства
 Что такое задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого
порядка?
 Какие обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка называются
уравнениями с разделёнными и с разделяющимися переменными? Как они решаются?
 Какие обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка называются
однородными? Как они решаются?




























Какие обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка называются
линейными? Перечислите методы решения
Как решается уравнение Бернулли?
Какие обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка называются
уравнениями в полных дифференциалах? Как они решаются?
Что такое задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений высших
порядков? Когда она имеет единственное решение?
Перечислите основные типы обыкновенных дифференциальных уравнений высших
порядков, допускающих понижение порядка.
Дайте определение линейного дифференциальные уравнения n - го порядка.
Перечислите основные свойства частных решений однородного уравнения.
Сформулируйте теоремы о вронскиане.
Сформулируйте теорему о структуре общего решения неоднородного линейного
дифференциальные уравнения
В чем состоит метод Лагранжа отыскания частного решения неоднородного линейного
дифференциальные уравнения?
Схема построения фундаментальной системы решений однородного линейного
дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Перечислите методы отыскания частных решений неоднородного линейного
дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Дайте определение нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений
n-го порядка. Сформулируйте задачу Коши для такой системы.
Изложите методы исключения и характеристического уравнения отыскания общего
решения системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами.
Приведите определение сходящегося и расходящегося числового ряда и основные
теоремы о свойствах сходящихся рядов.
Сформулируйте достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов:
Д’Аламбера, радикальный Коши, интегральный Коши, признаки сравнения.
Знакопеременные ряды: понятие условной и абсолютной сходимости.
Сформулируйте теорему Лейбница и признак Дирихле
Дайте определения функционального ряда и области его сходимости. Что такое сумма
и n-частичная сумма функционального ряда?
В чем состоит понятие равномерной сходимости?
Сформулируйте признак Вейерштрасса.
Перечислите свойства равномерно сходящихся рядов
Сформулируйте теорему Абеля.
Перечислите основные свойства степенных рядов
Какие ряды называют рядами Тейлора и Маклорена?
Ортогональные и нормированные системы функций
Понятие тригонометрического ряда Фурье.
Сформулируйте теорему Дирихле
Что называется интегралом Фурье?
 Индивидуальные задания
Пример варианта индивидуальных заданий.
7.2. Рубежный контроль. Данный вид контроля производится на основе баллов,
полученных студентом при выполнении контрольных и индивидуальных заданий.
Данный вид деятельности оценивается отдельными баллами в рейтинг-листе.
Образцы контрольных заданий
Контрольная работа
Диф. уравнения n-го порядка. Вариант 2
1. Найти общее решение следующих уравнений
а) y   6 y   9 y  6 cos 2 x
в) y   2 y   10 y 
ex
sin 3x
2. Решить задачу Коши
a)
y y   2( y ) 2 , y (0)  1
y (0)  1 y (0)  1
b) y   4 y  3 cos x , y (0)  1
y (0)  0
Контрольная работа
Системы ДУ.
Вариант № 1
x = 2x - 2y,
1. Решить систему ОДУ 
y = 8x + 2 y,
x = 3x + y - z,

2. Решить систему ОДУ y = 2x + 2y - z,
 z = -2x + y + 4z,

 3 1 2


3. Решить систему дифференциальных уравнений x = Ax , где A =  2 2 2  .
 2 1 3


4. Решить систему дифференциальных уравнений методом Лагранжа
x = - 4x + y,

 y = - 6x + y + 1 / (1 + exp(2t)),
Контрольная работа
Ряды Фурье.
Вариант 1
1. Функцию f ( x)  (  x) (  x)
 На промежутке (0,2π) разложить в тригонометрический ряд Фурье
 На промежутке (0,3π) разложить в тригонометрический ряд Фурье
только по синусам
 На промежутке (0,4π) разложить в тригонометрический ряд Фурье
только по косинусам
2. Представить интегралом Фурье функцию f ( x)  e | x 1|
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение модуля дисциплины
8.1. Основная литература
1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (в 3-х
томах) - Москва: Лань, 2009.
2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа (в 2-х томах).- Москва: Лань,
2008
3. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения - Москва: URSS, 2008
4. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. - Екатеринбург:
АТП, 2011.
5. Задачи и упражнения по математическому анализу (Под ред. Демидовича Б.П.) Москва: АСТ Астрель, 2007.
8.2. Дополнительная литература
1. Терехина Л.И., Фикс И.И. Учебное пособие., «Высшая математика» ч.1,—
Томск, Изд. ТПУ, 2004 – 2009 г.г.
2. Терёхина Л.И., Фикс И.И., Сборник индивидуальных заданий, «Высшая
математика», части 1,2
3. Запорожец Г.Н. Руководство к решению задач по математическому анализу. СПб. Лань, 2010
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях
и задачах. М.: ОНИКС: Мир и Образование, 2009
8.3. Internet-ресурсы:
http://portal.tpu.ru - персональный сайт преподавателя дисциплины
http://benran.ru –библиотека по естественным наукам Российской Академии Наук
http://mathnet.ru – общероссийский математический портал
http://lib.mexmat.ru –электронная библиотека механико-математического факультета
МГУ
9. Материально-техническое обеспечение модуля дисциплины
Освоение модуля производится на базе учебных аудиторий учебных корпусов ТПУ.
Аудитории оснащены современным оборудованием, позволяющим проводить лекционные
и практические занятия.
Программа составлена на основе Стандарта ООП ТПУ в соответствии с
требованиями ФГОС по направлению 231300 «Прикладная математика»
Программа одобрена на заседании кафедры ВММФ ФТИ ТПУ (протокол № от « »
2011 г.).
Авторы
доцент кафедры ВММФ ФТИ ТПУ Зальмеж В.Ф.
Рецензент доцент кафедры ВММФ ФТИ ТПУ Цехановский И.А.