Приложение к приказу первого проректора по учебной и научной работе от________________№_______________ Правительство Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный университет РАБОЧАЯ ПРОГРАММА (учебной дисциплины Эргодическая теория Ergodic Theory Язык(и) обучения русский Трудоёмкость (границы трудоёмкости) в зачетных единицах: ________ Регистрационный номер рабочей программы: ______________ Санкт-Петербург 2013 1 Раздел 1. 1.1. Характеристики учебных занятий Цели и задачи учебных занятий Сообщить сведения по эргодической теории в объеме, необходимом для научной работы в области вещественного, комплексного и функционального анализа и изучения смежных дисциплин физико-математического цикла. 1.2. Требования к подготовленности обучающегося к освоению содержания учебных занятий (пререквизиты) Обучающиеся должны обладать знаниями по математическому и функциональному анализу в объеме стандартного университетского курса по программе подготовки магистра по математическим специальностям. 1.3. Перечень результатов обучения (learning outcomes) Знать содержание программы курса и иметь навыки самостоятельной работы. 1.4. Перечень активных и интерактивных форм учебных занятий Промежуточная аттестация (зачет). Раздел 2. 2.1. Организация, структура и содержание учебных занятий Организация учебных занятий 2.1.1 Факультативная дисциплина Трудоёмкость, объёмы учебной работы и наполняемость групп обучающихся ОСНОВНАЯ ТРАЕКТОРИЯ очная форма обучения 28 2 18 18 2 18 1 год обучения ИТОГО 2 Трудоёмкость Объём активных и интерактивных форм учебных занятий итоговая аттестация (сам.раб.) промежуточная аттестация (сам.раб.) текущий контроль (сам.раб.) сам.раб. с использованием методических материалов Самостоятельная работа итоговая аттестация под руководством преподавателя в присутствии преподавателя промежуточная аттестация текущий контроль коллоквиумы контрольные работы лабораторные работы консультации практические занятия семинары Период обучения (модуль) лекции Контактная работа обучающихся с преподавателем Формы текущего контроля успеваемости, виды промежуточной и итоговой аттестации Формы текущего контроля успеваемости Период обучения (модуль) Виды итоговой аттестации Виды промежуточной аттестации (только для программ итоговой аттестации и дополнительных образовательных программ) ОСНОВНАЯ ТРАЕКТОРИЯ очная форма обучения зачет, устно, традиционная форма 1 год обучения 2.2. Структура и содержание учебных занятий Факультативная дисциплина Основная траектория Очная форма обучения Период обучения (модуль): 1 год обучения Тема 1. Вероятностные и механические истоки ЭТ. Основные примеры динамических систем с инвариантной мерой. Тема 2. Пространства Лебега. Измеримые разбиения, операции над ними, классификация. Теорема о канонической системе условных мер Тема 3. Инвариантные меры. Теорема Крылова - Боголюбова. Примеры. Тема 4. Теорема Пуанкаре о возвращении. Тема 5. Эргодичность и связанные с ней свойства (с примерами). Тема 6. Индивидуальная эргодическая теорема Биркгофа-Хинчина. Тема 7. Перемешивание. перемешивания. Тема 8. Понятие сопряженностью. о Функциональные спектральном переформулировки изоморфизме, соотношение Тема 9. Слабое перемешивание и спектр. Тема 10. Спектры конкретных преобразований. Тема 11. Дискретный спектр, теорема фон Неймана. Тема 12. Энтропия эндо(авто)морфизма, теорема Колмогорова - Синая. Тема 13. Свойства энтропии преобразования. Примеры вычисления. Тема 14. Теорема Шеннона - Макмиллана – Брэймана Раздел 3. 3.1. Обеспечение учебных занятий Методическое обеспечение 3 эргодичности с и метрической 3.1.1 Методические указания по освоению дисциплины Посещение семинаров 3.1.2 Методическое обеспечение самостоятельной работы Основная и дополнительная литература 3.1.3 Методика проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации и критерии оценивания Методика проведения зачета Зачет проводится в устной форме. Билет содержит 2 вопроса. На подготовку к ответу отводится не менее 1 академического часа. После ответа на основные вопросы билета, преподаватель вправе задать дополнительные вопросы по любой теме из списка вопросов, вынесенных зачет. В качестве дополнительных, используются вопросы, не требующие длительного вывода и трудоемких вычислений, в том числе определения, основные формулы. Использование конспектов может быть разрешено при согласии преподавателя. Использование учебников, а также электронных устройств хранения, обработки или передачи информации при подготовке и ответе на вопросы экзамена категорически запрещено. В случае обнаружения факта использования недозволенных материалов (устройств) составляется акт и студент удаляется с экзамена. Критерии выставления оценок за зачет. Оценка «зачтено» выставляется, если выполняются оба условия: 1. обучающимся дан полный ответ на один вопрос билета, по второму вопросу написаны определения, основные формулы и графики (в случае наличия); 2. обучающийся отвечает более чем на половину дополнительных вопросов. Оценка «не зачтено» выставляется, если не выполняется условие для получения оценки «зачтено». 3.1.4 Методические материалы для проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации (контрольно-измерительные материалы, оценочные средства) Список вопросов к зачету: 1. Вероятностные и механические истоки ЭТ. Топологический и метрический аспекты динамики. 2. Основные примеры динамических систем с инвариантной мерой. 3. Пространства Лебега. 4. Инвариантные меры. Теорема Крылова - Боголюбова. Примеры. 5. Теорема Пуанкаре о возвращении. 6. Теорема о разложении меры на эргодические компоненты. 7. Эргодичность и связанные с ней свойства (с примерами). 8. Индивидуальная эргодическая теорема Биркгофа - Хинчина. 9. Равномерная распределенность последовательности, связанной с иррациональным сдвигом. Нормальные числа. 10. Перемешивание. Функциональные переформулировки эргодичности и перемешивания. 4 11. Оператор, сопряженный с авто(эндо)морфизмом. Его свойства. Понятие о спектре унитарного оператора. 12. Понятие о спектральном изоморфизме, соотношение с метрической сопряженностью. 13. Слабое перемешивание и спектр. 14. Спектры конкретных преобразований. 15. Дискретный спектр, теорема фон Неймана. 16. Измеримые разбиения, операции над ними, классификация. Теорема о канонической системе условных мер (формулировка). 17. Энтропия разбиения. 18. Средняя условная энтропия. Средняя условная энтропия на единицу времени. 19. Энтропия эндо(авто)морфизма, теорема Колмогорова - Синая. 20. Свойства энтропии преобразования. Примеры вычисления. 21. Теорема Шеннона - Макмиллана - Брэймана (без доказательства). 3.1.5 Методические материалы для оценки обучающимися содержания и качества учебного процесса 3.2. Кадровое обеспечение 3.2.1 Образование и (или) квалификация штатных преподавателей и иных лиц, допущенных к проведению учебных занятий К чтению лекций должны привлекаться преподаватели, имеющие ученую степень доктора или кандидата наук (в том числе степень PhD, прошедшую установленную процедуру признания и установления эквивалентности) и/или ученое звание профессора или доцента. 3.2.2 Обеспечение учебно-вспомогательным и (или) иным персоналом не требуется 3.3. Материально-техническое обеспечение 3.3.1 Характеристики аудиторий (помещений, мест) для проведения занятий Стандартно оборудованные лекционные аудитории с возможностью электронной презентации курса, должна вмещать поток в соответствии со списком студентов 3.3.2 Характеристики аудиторного оборудования, в том числе неспециализированного компьютерного оборудования и программного обеспечения общего пользования доска для письма мелом или фломастером, мультимедийный проектор 3.3.3 Характеристики специализированного оборудования не требуется 3.3.4 Характеристики специализированного программного обеспечения не требуется 3.3.5 Перечень и объёмы требуемых расходных материалов Мел — не менее 1 куска на час семинара, фломастеры для доски, губка 5 3.4. Информационное обеспечение 3.4.1 Список обязательной литературы 1. Halmos P.R. Lectures on Ergodic Theory, Martino Fine Books, Eastford, CT, 2006. 1 экз. 3.4.2 Список дополнительной литературы 1. Биллингслей П. Эргодическая теория и информация. М., 1969. 10 экз. 2. Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория. М., 1980. 7 экз. 3. Рохлин В.А. Лекции по энтропийной теории преобразований с инвариантной мерой. Успехи математических наук, 1967, т. 22, вып. 5, с. 3-56. 4 экз. 3.4.3 Перечень иных информационных источников Презентации по лекциям, размещенные в учебных материалах в интернете. Раздел 4. Разработчики программы Лодкин Андрей Александрович, кандидат физ.-мат. наук, доцент, доцент кафедры математического анализа, alodkin@gmail.com 6