Загрузил Саша Павельев

Вывод уравнения стандартной атмосферы Земли и Венеры

1
1.1 Вывести уравнение стандартной атмосферы Земли (тропосферы,
тропопаузы) и Венеры (тропосферы).
Из формулы 𝑝𝑉 = 𝜇 ∙ R ∙ T
следует, что давление уменьшается
с высотой. Установим эту
зависимость. Выделим на высоте ℎ
над поверхностью земли узкий
цилиндрический слой 𝑑ℎ. Пусть
площадь основания цилиндра равна
𝑆 и при ℎ = 0, 𝑝 = 𝑝0 . Тогда на
высоте ℎ, давление будет равно p, а
на высоте ℎ + 𝑑ℎ, давление будет
равно 𝑝 + 𝑑𝑝. Тогда разность
давлений равна:
𝑝 − (𝑝 + 𝑑𝑝) = −𝑑𝑝 =
𝜌∙𝑔∙𝑆∙𝑑ℎ
𝑆
𝑃
𝑆
=
𝑑𝑚∙𝑔
𝑆
=
= 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑑ℎ,
Где 𝑔 = 9,80665 м ∙ с −2 – ускорение свободного падения на Земле.
При этом изменение ускорения свободного падения за 25 километров
составит:
𝑔25
𝑅02
6371,112
1−
=1− 2 =1−
= 0,0078 или 0,78%.
𝑔0
6396,112
𝑅25
Данной погрешностью можно пренебречь.
Модель изменения температуры по высоте тропосферы:
𝑇Зℎ = 𝑇З0 +∝З ℎ,
где 𝑇З0 = 288,15 К; ∝З= −6,5 · 10−3 К · м−1.
Выразим плотность 𝜌 из уравнения Менделеева – Клапейрона:
𝑝∙𝑉 =
𝑚
𝑀
∙ 𝑅 ∙ 𝑇 => 𝑝 =
𝜌
𝑀
∙ 𝑅 ∙ 𝑇 => 𝜌 =
𝑀
𝑅∙𝑇
∙ 𝑝.
Подставляем 𝜌 в разность давлений:
𝑑𝑝 = −
𝑀
𝑅∙(𝑇З0 +∝З ℎ)
∙ 𝑝 ∙ 𝑔 ∙ 𝑑ℎ.
Это уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка.
После решения дифференциального уравнения и интегрирования результата
получим:
2
𝑝ℎ = 𝑝З (1 +
∝
𝑇З
ℎ)
𝑔 𝑀
∝𝑅0
− З
.
Подставляя значения постоянных, получаем:
ℎ
)5,256 .
44300
Подставляя это соотношение в формулу плотности, получаем:
𝑝ℎ = 𝑝З (1 −
𝜌ℎ = 𝜌З (1 −
ℎ
)4,256 .
44300
Для тропопаузы принимаем 𝑇 = 216,65 𝐾. Тогда получаем
𝑝ℎ = 𝑝0 𝑒𝑥𝑝[−
𝑀𝑔(ℎ − ℎ0 )
].
𝑅0 𝑇
При ℎ0 = 11000м 𝑝0 = 22 692 Па. С учётом этого окончательно получим:
ℎ − 11000
]и
6340
ℎ − 11000
𝜌ℎ = 0,3649 𝑒𝑥𝑝[−
].
6340
𝑝ℎ = 22690 𝑒𝑥𝑝[−
1.2 Сформировать уравнения изменения по высоте в атмосфере Земли
парциального давления кислорода и плотности воздуха.
Парциальное давление кислорода составляет 20% от общего давления
воздуха (𝑝В0 = 1,01325 ∙ 105 Па).
𝑀к = 0.032 кг ∙ моль −1 – молярная масса кислорода.
Давление воздуха мы находим по ранее скомпонованной формуле
(используются переменные для кислорода):
5,807
ℎ
𝑝ℎк = 𝑝Зк (1 −
)
44300
1.3 Сформировать таблицу значений давления, парциального давления
кислорода, плотности и температуры воздуха с интервалом по высоте
1000 м.
Высота, м
𝑇Зℎ, К
1000 281,65
2000 275,15
3000 268,65
4000 262,15
5000 255,65
6000 249,15
p, Па
89866,74
79481,05
70089,36
61617,2
53994,05
47153,22
ρ,
кг
м3
1,116101
1,010451
0,912629
0,822222
0,738832
0,662071
pк, Па
17748,65
15496,68
13486,59
11697,33
10109,22
8703,931
3
7000
8000
9000
10000
11000
12000
13000
14000
15000
16000
17000
18000
19000
20000
21000
22000
23000
24000
25000
242,65
236,15
229,65
223,15
216,65
210,15
203,65
197,15
190,65
184,15
177,65
171,15
164,65
158,15
151,65
145,15
138,65
132,15
125,65
41031,77
35570,33
30713,02
26407,33
22604,01
19305,67
16488,61
14082,62
12027,7
10272,64
8773,67
7493,429
6399,998
5466,12
4668,512
3987,289
3405,47
2908,549
2484,137
0,591567
0,526955
0,467886
0,414021
0,365034
0,311769
0,266276
0,227421
0,194236
0,165894
0,141687
0,121012
0,103354
0,088273
0,075392
0,064391
0,054995
0,04697
0,040117
7464,373
6374,673
5420,107
4587,046
3862,903
3299,234
2817,815
2406,643
2055,469
1755,538
1499,373
1280,586
1093,725
934,1303
797,8234
681,4062
581,9764
497,0552
424,5257
1.4-1.5 Отобразить вышеуказанные закономерности изменения
параметров по высоте (ордината) в атмосфере Земли на одном графике,
выделить индифферентную область, область возможной адаптации, порог
смерти.
а) 0-5000 метров – индифферентная зона;
б) 5000-7900 метров – область возможной адаптации;
в) свыше 7900 метров – порог смерти.
4
1.6. Вывести уравнение статики тропосферы Венеры.
p0 = 93,3 ∙ 105 Па – давление на поверхности Венеры.
Выделим в атмосфере две изобарические поверхности, расположенные на
высотах z и z-dz. Давление на этих поверхностях обозначим через 𝑝 и 𝑝 + 𝑑𝑝.
Между изобарическими поверхностями 𝑝 и 𝑝 + 𝑑𝑝 выделим объем воздуха с
горизонтальными основаниями 1 м2. На нижнее основание выделенного
объема воздуха действует сила давления 𝑝, направленная снизу вверх, на
верхнее основание - сила давления 𝑝 + 𝑑𝑝, направленная сверху вниз.
Кроме сил давления, на объем воздуха действует сила тяжести Р, равная по
модулю и направленная сверху вниз по вертикали.
𝑃 = 𝑔 ∙ ρ 𝑑𝑧.
Спроектируем все силы, действующие на выделенный объем воздуха, на
положительное направление вертикали z, вдоль которой действует (в
отрицательном направлении) сила тяжести. Сумма этих проекций равна:
𝑝 − (𝑝 + 𝑑𝑝) − 𝑃.
Поскольку выделенный объём находится в покое, векторная сумма всех
действующих на него сил тождественно обращается в нуль:
5
𝑝 − (𝑝 + 𝑑𝑝) − 𝑃 = 0.
Подставив вместо Р его выражение, получим основное уравнение статики
атмосферы:
−𝑑𝑝 − 𝑔 ∙ ρ 𝑑𝑧 = 0.
1.7. Сформировать таблицу значений давления и температуры в
тропосфере Венеры и графики их изменения по высоте (ордината).
𝑔 = 8,87 м ∙ с −2 – ускорение свободного падения на Венере.
При этом изменение ускорения свободного падения за 60 километров
составит:
𝑔60
𝑅02
61002
1−
=1− 2 =1−
= 0,019 или 1,9%.
𝑔0
61602
𝑅60
Данной погрешностью можно пренебречь.
Модель изменения температуры по высоте тропосферы:
𝑇Вℎ = 𝑇В0 +∝В ℎ,
где 𝑇В0 = 740 К; ∝В= −8,6 · 10−3 К · м−1.
Высота, м ТВℎ, К
0
740
5000
697
10000
654
15000
611
20000
568
25000
525
30000
482
35000
439
40000
396
45000
353
50000
310
55000
267
60000
224
p, Па
9450000
6753311
4801792
3347778
2281839
1512782
998152,6
599540
354738,8
200522,2
108012,5
53844,11
23882,3
p, кПа
9450
6753,31125
4801,79175
3347,778
2281,839
1512,78225
998,152575
599,540025
354,738825
200,522175
108,01245
53,844105
23,8823025
6