ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ ЦЕЛИ ЛЕКЦИИ • Логика. • Формы мышления. • Какие вопросы изучает математическая логика. • Базовые логические операции • Логическая функция • Порядок логических операций и функций • Логические законы ФОРМЫ МЫШЛЕНИЯ. АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ Логика, как и теория алгоритмов — является теоретической основой современных ЭВМ и программирования. Слово «логика» в широком смысле означает науку о правилах рассуждений, а в узком смысле — совокупность правил, которым подчиняется процесс мышления. Объектами изучения логики являются формы мышления: • Понятие • Суждение • Умозаключение Формы мышления: 1. Понятие — это мысль, в которой обобщаются отличительные свойства предметов. 2. Суждение (высказывание) — есть мысль (выраженная в форме повествовательного предложения), в которой нечто утверждается о предмете действительности, которая объективно является либо истинной, либо ложной. Суждение истинно, если оно соответствует действительности. Суждение, значение истинности которого неоднозначно, называется гипотезой. Закон науки — это суждение, истинность которого доказана. 3. Умозаключение — прием мышления, посредством которого из исходного знания получается новое знание; из одного или нескольких истинных суждений, называемых посылками, мы по определенным правилам вывода получаем заключение. Существуют умозаключения, осуществляемые по схемам аналогии, индукции и дедукции. Математическая логика изучает вопросы применения математических методов для решения логических задач и построения логических схем. Знание логики необходимо при разработке алгоритмов и программ, так как в большинстве языков программирования есть логические операции. Алгебру логики иначе называют алгеброй высказываний. Суждения и утверждения в математической логике называют высказываниями и предикатами. Высказывания — это конкретные частные утверждения. Предикаты — это утверждения о переменных, истинность предикатов зависит от значений входящих в них переменных. Пример высказываний: «5 + 7 = 12», «4 — четное число», Пример предикатов: «х + у > 0», «n — число нечетное». Алгебра (логики) высказываний позволяет определять истинность или ложность составных высказываний. Истинное высказывание — 1; Ложное — 0. Алгебра логики явилась математической основой теории электрических и электронных переключателей схем, используемых в ЭВМ, поэтому ее предпочитают называть Булевой алгеброй. Логические выражения - Составные высказывания или формулы, состоящей из логических переменных, которые обозначают высказывания, и знаков логических операций. Над высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания. Базовые логические операции конъюнкция дизъюнкция инверсия Конъюнкция. Операцию логического умножения (конъюнкцию) принято обозначать значком «&» либо «Λ». F=AΛB Функция логического умножения F может принимать лишь два значения «истина» (1) и «ложь» (0). Значение логической функции определяется с помощью таблицы истинности: A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 F=AΛB 0 0 0 1 Дизъюнкция. Операцию логического сложения обозначают «V» либо «+». F=A v B Функция логического сложения F может принимать лишь два значения «истина» (1) и «ложь» (0). Значение логической функции определяется с помощью таблицы истинности: А 0 0 1 1 B 0 1 0 1 F=AvB 0 1 1 1 Инверсия. Операцию логического отрицания обозначают: F =𝐴 = ¬ 𝐴 Функция логического отрицания F может принимать лишь два значения «истина» (1) и «ложь» (0). Значение логической функции определяется с помощью таблицы истинности: A F=𝐴 0 1 1 0 ЛОГИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ Логические функции – составное высказывание. Любую логическую функцию можно «разложить» на базовые: конъюнкцию, дизъюнкцию и инверсию. Логические функции Импликация Эквиваленция Импликация (логическое следование). Импликация по смыслу похожа на использование союзов «если… то…». F =A →B Для импликации равносильное выражение выглядит так: A → B = ¬A \/ B Это значит, что таблица истинности для A → B и для ¬A \/ B будет выглядеть идентично. A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 F=A → B 1 1 0 1 Эквивалентность ( логическое равенство) проверяет, одинаковы ли (эквивалентны ли) значения логических переменных – и выдает Истину, если одинаковы (1 и 1, 0 и 0) и Ложь, если не одинаковы (1 и 0, 0 и 1). Обозначается эквиваленция тремя полосами (как равно, только с еще одной чертой): A ≡ B (A ↔ B). Для эквиваленции существует два равносильных выражения: A ≡ B = (A /\ B) \/ (¬A /\ ¬B) = (¬A \/ B) /\ (A \/ ¬B) A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 F=A ↔B 1 0 0 1 ПОРЯДОК ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ И ФУНКЦИЙ 1. Операции внутри скобок; 2. Инверсия; 3. Конъюнкция; 4. Дизъюнкция; 5. Импликация 6. Эквивалентность. ОПРЕДЕЛИТЕ ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ 1 5 2 4 3 𝐹 = 𝐴 V 𝐵 Λ ( ¬ 𝐴 V ¬𝐵) ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ Закон тождества. Всякое высказывание тождественно самому себе: А=А. Закон непротиворечия. Высказывание не может быть одновременно ИСТИННЫМ И ЛОЖНЫМ: А& ¬ А=0. Закон исключенного третьего. Высказывание может быть либо истинным, либо ложным: А 𝑽 ¬ А= 1. Закон двойного отрицания. Двойное отрицание дает в итоге исходное высказывание: 𝑨 = 𝑨. ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ Законы де Моргана: 𝐴V𝐵=𝐴 Λ𝐵 𝐴Λ𝐵 =𝐴 V𝐵 Закон коммутативности. Как и в алгебре: от перемены мест ... АΛВ=ВΛА А V В = В V А. ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ Закон ассоциативности: (А Λ В) Λ С = А Λ(В Λ С) (А V В) V С = А V(В V С). Закон дистрибутивности. Отличается от подобного закона в алгебре — за скобки можно выносить не только общие множители, но и общие слагаемые: (А Λ В) V (А Λ С) =А & (В V С) (А V В) Λ (А V С)=А Λ (В & С). УПРОСТИТЕ ВЫРАЖЕНИЕ (А V В) Λ (А V С)
