Подготовка к ОГЭ: геометрия Власова ГС учитель математики МОБУ ВГГ Волхов 2015 Содержание Пояснительная записка…………………………………………………………………3 1. Задачи на нахождение углов……………………………………………………4 1.1 Углы между прямыми…………………………………………………4 1.2 Углы в треугольнике…………………………………………………..5 1.3 Углы в четырехугольнике………………………………………….….6 1.4 Углы в n-угольнике…………………………………………………….7 1.5 Углы и окружность……………………………………………………..7 2. Задачи ОГЭ……………………………………………………………………….8 3. Приложение……………………………………………………………………..21 2 Пояснительная записка В настоящее время в связи с требованиями ОГЭ все учащиеся обязаны решать геометрические задачи. Между тем, уровень подготовки большинства учащихся по геометрии оставляет желать лучшего, и в 9 классе перед учителем остро встаёт вопрос: как «натаскать» «слабых» (и не очень) учеников на геометрические задачи. Да и остальным учащимся не помешает систематизация и обобщение знаний за курс планиметрии. В связи с поставленными задачами, материал в данной программе изложен следующим образом: сначала идут краткие теоретические сведения, представленные схематически. Затем следуют простейшие упражнения, нацеленные на представление теории в конкретных примерах. После краткого обзора теории предлагается подборка задач (в количестве 160), взятых, в основном, из Открытого банка заданий ОГЭ (ФИПИ). Причем задачи разных типов перемешаны (сначала для ознакомления даются по 2 задачи каждого типа): встречая задачу, которую учащиеся уже решали, они снова и снова восстанавливают ход решения. Таким образом, происходит закрепление изученного материала. В конце программы представлены два варианта самостоятельных работ, которые можно рассматривать и как вариант сначала домашней, а затем классной проверочной работ. 3 1. Задачи на нахождение углов 1.1 Углы между прямыми а) смежные б) вертикальные В A D O А О C C Вместе – 1800 ∟АОВ + ∟ВОС = 1800 B «бантик» - равны ∟АОС = ∟ВОD Упр (устн, для первичн. закрепления) 1. ∟АОВ = 630, ∟ВОС = ? 2. ∟АОВ меньше ∟ВОС в 3 раза, ∟ВОС = ? (решение «в частях» более понятно слабым ученикам) Упр 1. ∟АОС = 150, ∟АОD = ? 2. ∟АОС меньше ∟ВОС на 200. ∟ВОС = ? в) параллельные прямые и секущая с 1 2 а 1. НЛ углы равны. 2. Соответственные углы равны. 3. Сумма односторонних углов равна 1800. 3 4 b 5 6 7 8 Две серии равных углов: ходим как шашки в игре 1. 2. 3. 4. 4 Упр ∟1 = 330, найти все углы. ∟7 = 940, ∟2 = ? и ∟4 = ? ∟5 : ∟6 = 4 : 5, ∟1 = ? ∟2 больше ∟4 в 5 раз. ∟7 = ? 1.2 Углы в треугольнике Сумма углов в треугольнике равна 1800!!! Тупой (прямой) угол если и есть в треугольнике, то только один! Острых углов – 2 или 3! а) равнобедренный б) равносторонний в) прямоугольный Углы при основании равны Все углы равны 600 Сумма двух острых углов всегда равна 900. !!! Если в равнобедренном треугольнике хотя бы один угол 600, то и все остальные тоже по 600, и треугольник равносторонний. 2 1 3 Внешний угол треугольника: ∟4 + ∟3 = 1800 ∟4 = ∟1 + ∟2 4 Упражнения (устные, для первичного закрепления) 1. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 730. Найдите угол при вершине, противолежащей основанию. 2. В равнобедренном треугольнике угол при вершине, противолежащей основанию, равен 800. Найдите угол при основании. 3. В равнобедренном треугольнике угол равен 1000. Найдите остальные углы. 4. В равнобедренном треугольнике угол равен 200. Найдите остальные углы. 5. В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 230, найдите второй. 6. Внешний угол треугольника равен 1300, ∟2 = 700, найдите ∟1 (см рисунок). 7. ∟1 = 650, ∟2 = 800, найдите ∟4 (нумерация углов по рисунку). 5 1.3 Углы в четырехугольнике Сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна 3600. а) параллелограмм А б) ромб В в) четырехугольник, вписанный в окружность В В А С А С D D Противоположные углы Диагонали перпендикулярны равны; углы на одной стороне и делят углы ромба пополам + дают в сумме 1800 противоположные углы равны; углы на одной стороне дают в сумме 1800 г) трапеция А С Противоположные углы дают в сумме 1800 д) равнобедренная трапеция В А С D D В D Углы при боковой стороне дают в сумме 1800 С Углы при основании равны; противоположные углы и углы при боковой стороне дают в сумме 1800 Упражнения (устные, для первичного закрепления) 1. 2. 3. 4. В параллелограмме один из углов равен 700, найдите остальные углы. В ромбе угол между стороной и диагональю равен 250, найдите все углы ромба. В равнобедренной трапеции один из углов в 3 раза меньше другого, найдите все углы. В четырехугольнике, который вписан в окружность, известны два угла: 600 и 1100. Найдите остальные углы. 5. Сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 2950. Найдите четвертый угол. 6. Углы выпуклого четырехугольника относятся как 3:8:14:15. Найдите меньший угол. 6 1.4 Углы в n-угольнике Сумма углов любого выпуклого n-угольника: 1800(n – 2) Если n-угольник правильный, то каждый угол равен 1800(n – 2): n Упражнения (устные, для первичного закрепления) 1. 2. 3. 4. 5. 6. Найти сумму всех углов выпуклого 8-угольника. Найти сумму всех углов выпуклого 5-угольника. Найти сумму всех углов выпуклого 6-угольника. Найдите угол правильного 5-угольника. Найдите угол правильного 6-угольника. Найдите угол правильного 10-угольника. 1.5 а) касательная А Углы и окружность б) вписанный и центральный углы А В В) (сл-е) прямой вписанный угол С В Касательная всегда перпендикулярна радиусу Вписанный угол равен половине центрального угла Прямой угол всегда опирается на диаметр (и наоборот, угол, который опирается на диаметр, всегда прямой) !!! Углы, опирающиеся на равные дуги, равны. Упражнения (устные, для первичного закрепления) 1. Центральный угол равен 1400, найдите вписанный угол. 2. Вписанный угол равен 850, найдите центральный угол. 3. Центральный и вписанный углы в сумма дают 1200, найдите центральный угол. 7 Задачи ОГЭ 1. В треугольнике ABC AC=BC. Внешний угол при вершине B равен 1460. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах. 2. Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как 4:5. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах. 3. Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как 1:89. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах. 4. Один угол параллелограмма в четырнадцать раз больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах. 5. Один угол параллелограмма в одиннадцать раз больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах 6. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна трапеции. Ответ дайте в градусах. . Найдите больший угол 7. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна Ответ дайте в градусах. . Найдите больший угол трапеции. 8. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна Ответ дайте в градусах. 9. Найдите меньший угол равнобедренной трапеции, если два ее угла относятся как 1:2. Ответ дайте в градусах. 10. Найдите меньший угол равнобедренной трапеции, если два ее угла относятся как 7:29. Ответ дайте в градусах. 11. Сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна дайте в градусах. . Найдите четвертый угол. Ответ 12. Сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна дайте в градусах. . Найдите четвертый угол. Ответ 13. Углы выпуклого четырехугольника относятся как 1:4:15:20. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах. 14. Углы выпуклого четырехугольника относятся как 3:5:15:17. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах. 15. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. и . Найдите больший из 16. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. и . Найдите больший 17. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. 8 . Найдите меньший угол трапеции. и . Найдите 18. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 1120, угол ABC равен 1060. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах. 19. Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1=220, ∠2=720. Ответ дайте в градусах. 20. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 370, угол ABC равен 250. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах. 21. Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=800 и ∠ACB=590. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах. 22. Точка O – центр окружности, на которой лежат точки P, Q и R таким образом, что OPQR – ромб. Найдите угол ORQ. Ответ дайте в градусах. 23. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=380. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах. 24. Около трапеции, один из углов которой равен 49°, описана окружность. Найдите остальные углы трапеции. 25. Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 830. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах. 9 26. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 1480, угол ABC равен 1320. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах. 27. Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 25° и 30°. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах. 28. Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1=60, ∠2=1010. Ответ дайте в градусах. 29. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол ABO равен 75°. Найдите величину угла ODC. 30. В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 1300. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах. 31. В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 1320. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах. 32. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD=1040. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах. 33. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD=10. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах. 34. Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=540 и ∠ACB=1040. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах. 10 35. Точка O – центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC=150 и ∠OAB=80. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах. 36. Точка O – центр окружности, на которой лежат точки S, T и V таким образом, что OSTV – ромб. Найдите угол STV. Ответ дайте в градусах. 37. В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 122∘. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах. 38. Точка О — центр окружности, ∠BOC=160° (см. рисунок). Найдите величину угла BAC (в градусах). 39. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 50°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах. 40. Найдите угол АDС равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной АВ углы, равные 30° и 40° соответственно. 41. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и ∠ABC=1770. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах. 42. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и ∠ABC=250. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах. 43. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и ∠ABC=1230. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах. 11 44. В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 1480. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах. 45. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 1520, угол ABC равен 1370. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах. 46. Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 70. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах. 47. Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=190 и ∠ACB=1600. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах. В треугольнике ABC AC=BC. Внешний угол при вершине B равен 1250. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах. 48. 49. Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 840. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах. 50. Сторона AC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности. Найдите ∠C, если ∠A=750. Ответ дайте в градусах. 51. Сторона AC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности. Найдите ∠C, если ∠A=90. Ответ дайте в градусах. 52. Сторона AC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности. Найдите ∠C, если ∠A=440. Ответ дайте в градусах. 12 53. Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=100 и ∠ACB=1660. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах. 54. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и ∠ABC=280. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах. 55. В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 880. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах. 56. Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1=240, ∠2=900. Ответ дайте в градусах. 57. Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1=1170, ∠2=240. Ответ дайте в градусах. 58. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD=1730. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах. 59. Найдите величину угла DOK, если OK — биссектриса угла AOD, ∠DOB=108°. Ответ дайте в градусах. 60. Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как 2:3. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах. 61. Один угол параллелограмма в 35 раз больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах. 62. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна трапеции. Ответ дайте в градусах. . Найдите больший угол 63. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна трапеции. Ответ дайте в градусах. . Найдите меньший угол 64. Найдите меньший угол равнобедренной трапеции, если два ее угла относятся как 37:53. Ответ дайте в градусах. 65. Углы выпуклого четырехугольника относятся как 3:8:14:15. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах. 13 66. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах 67. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 80°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах. 68. В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 1140. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах. 69. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD=740. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах. 70. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и ∠ABC=1070. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах. 71. Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1=770, ∠2=880. Ответ дайте в градусах. 72. Сторона AC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности. Найдите ∠C, если ∠A=480. Ответ дайте в градусах. 73. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=730. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах. 74. Точка O – центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC=560 и ∠OAB=150. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах. 75. В треугольнике ABC AC=BC. Внешний угол при вершине B равен 1210. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах. 14 и . Найдите 76. В окружности с центром в точке O проведены диаметры AD и BC, угол OAB равен 70°. Найдите величину угла OCD. 77. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=480. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах. 78. Точка О – центр окружности, ∠AOB=84° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB (в градусах). 79. Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=1220 и ∠ACB=470. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах. 80. Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1=65°, ∠2=51°. Ответ дайте в градусах. 81. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и ∠ABC=88°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах. 82. Сторона AC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности. Найдите ∠C, если ∠A=44°. Ответ дайте в градусах. 83. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OAB равен 25°. Найдите величину угла OCD. 84. В треугольнике ABC AC=BC. Внешний угол при вершине B равен 154°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах. 15 85. В треугольнике ABC BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=216, HC=54 и ∠ACB=40∘. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах. 86. Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1=74∘, ∠2=39∘. Ответ дайте в градусах. 87. Около трапеции, один из углов которой равен 52°, описана окружность. Найдите остальные углы трапеции. 88. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=70°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах. 89. В треугольнике ABC BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=64, HC=16 и ∠ACB=37°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах. 90. В трапеции ABCD AB=CD, ∠BDA=10° и ∠BDC=109°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах. 100. Сторона AC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности. Найдите ∠C, если ∠A=53°. Ответ дайте в градусах. 101. Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной АВ углы, равные 30° и 45° соответственно. Ответ дайте в градусах. 102. Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1=129°, ∠2=1°. Ответ дайте в градусах. 103. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол ABO равен 55°. Найдите величину угла ODC. 16 104. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 52°, угол ABC равен 13°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах. 105. Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 8 мин? 106. Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 2 мин? 107. Диагональ прямоугольника образует угол 44° с одной из его сторон. Найдите угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах. 108. Найдите меньший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной CD углы, равные 25° и 100° соответственно. Ответ дайте в градусах. 109. Около трапеции, один из углов которой равен 44°, описана окружность. Найдите остальные углы трапеции. 110. В треугольнике ABC AC=BC. Внешний угол при вершине B равен 107°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах. 111. Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1=22°, ∠2=72°. Ответ дайте в градусах. 112. Точка O – центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC=75° и ∠OAB=67°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах. 113. В трапеции ABCD AB=CD, ∠BDA=49° и ∠BDC=13°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах. 114. В треугольнике АВС углы А и С равны 20° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD. 115. Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1=111°, ∠2=18°. Ответ дайте в градусах. 116. Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 13 мин? 17 117. ABCDEFGHI – правильный девятиугольник. Найдите угол BAG. Ответ дайте в градусах. 118. ABCDEFGHIJ – правильный десятиугольник. Найдите угол IBJ. Ответ дайте в градусах. 119. ABCDEFGHI – правильный девятиугольник. Найдите угол ADC. Ответ дайте в градусах. 120. ABCDEFGH – правильный восьмиугольник. Найдите угол DBE. Ответ дайте в градусах. 121. Точка О — центр окружности, ∠BOC=100°. Найдите величину угла BAC (в градусах). 122. Прямая касается окружности в точке K. Точка O – 123. центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 39∘. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах. В треугольнике ABC BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=112, HC=28 и ∠ACB=79°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах. 124. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол ABO равен 30°. Найдите величину угла ODC. 125. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и ∠ABC=66°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах. 126. Сторона AC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности. Найдите ∠C, если ∠A=74°. Ответ дайте в градусах. 127. Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной AB углы, равные 46° и 1° соответственно. Ответ дайте в градусах. 18 128. ABCDEFGHIJ – правильный десятиугольник. Найдите угол HEJ. Ответ дайте в градусах. 129. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 53°, 61° и 66°. 130. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 44°, 71° и 65°. 131. В трапеции ABCD AB=CD, AC=AD и ∠ABC=95°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах. 132. Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 7 мин? 133. В трапеции ABCD AB=CD, AC=AD и ∠ABC=115°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах. 134. В трапеции ABCD AB=CD, AC=AD и ∠ABC=124°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах. 135. В треугольнике ABC AC=BC. Внешний угол при вершине B равен 157°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах. 136. Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=26∘ и ∠ACB=145°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах. 137. Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 15 мин? 138. В трапеции ABCD AB=CD, AC=AD и ∠ABC=108∘. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах. 139. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 50°, 59° и 71°. 140. ABCDEFGH – правильный восьмиугольник. Найдите угол FCH. Ответ дайте в градусах. 141. ABCDEFGHI – правильный девятиугольник. Найдите угол DAC. Ответ дайте в градусах. 19 142. Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной АВ углы, равные 30° и 45° соответственно. Ответ дайте в градусах. 143. Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 21 мин? 144. В трапеции ABCD AB=CD, AC=AD и ∠ABC=100∘. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах. 145. Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=39° и ∠ACB=124°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах. 146. Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 62°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах. 147. В трапеции ABCD AB=CD, ∠BDA=64° и ∠BDC=19°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах. 148. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 86°, угол ABC равен 73°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах. 149. Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 25 мин? 150. В трапеции ABCD AB=CD, AC=AD и ∠ABC=123°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах. 151. Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах. . Найдите 152. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 38°, 78° и 64° 153. Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной AB углы, равные 62° и 9° соответственно. Ответ дайте в градусах. 154. ABCDEFGH – правильный восьмиугольник. Найдите угол ADF. Ответ дайте в градусах. 20 155. ABCDEFGHIJ – правильный десятиугольник. Найдите угол ADI. Ответ дайте в градусах. 156. Дана трапеция ABCD, в которой AB=CD, AC=AD и ∠ABC=109°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах. 157. Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах. . Найдите 158. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 56°, 58° и 66°. 159. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 38°, 78° и 64° 160. В трапеции ABCD AB=CD, AC=AD и ∠ABC=93∘. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах. Приложение Текст для самостоятельной работы в 2 вариантах (или 1 вариант для самостоятельной работы и 2-й вариант для домашней работы или работы над ошибками) 21 Вариант 1 1. 2. Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как 2:43. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах. Один угол параллелограмма в три раза больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах. 3. Сторона AC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности. Найдите ∠C, если ∠A=30°. Ответ дайте в градусах. 4. Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1=77°, ∠2=9°. Ответ дайте в градусах. 5. 6. Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 16 мин? В трапеции ABCD AB=CD, AC=AD и ∠ABC=128°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах 7. Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 79°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах. 8. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD=166°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах. 9. В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 92°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах. 10. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и ∠ABC=156°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах. 11. ABCDEFGHIJ – правильный десятиугольник. Найдите угол IBJ. Ответ дайте в градусах. 12. Найдите меньший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной CD углы, равные 30° и 105° соответственно. Ответ дайте в градусах. 22 Вариант 2 1. Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как 22:23. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах. 2. Один угол параллелограмма в одиннадцать раз больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах. 3. Сторона AC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности. Найдите ∠C, если ∠A=33°. Ответ дайте в градусах. 4. Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1=133°, ∠2=43°. Ответ дайте в градусах. 5. 6. Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 12 мин? В трапеции ABCD AB=CD, AC=AD и ∠ABC=113°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах. 7. Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 40°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах. 8. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD=140°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах. 9. В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 108°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах. 10. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и ∠ABC=170°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах. 11. ABCDEFGHI – правильный девятиугольник. Найдите угол CAF. Ответ дайте в градусах. 12. Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной AB углы, равные 33∘ и 13∘ соответственно. Ответ дайте в градусах 23
