tema 3(2)

Лекция 5
Тема 3. Переходные процессы в линейных электрических цепях
Установившимся называется процесс, который может продолжаться
как угодно долго.
Переходным будем называть процесс перехода от одного
установившегося процесса к другому. Такой переход обычно осуществляется
коммутацией.
Коммутацией называется подключение (отключение) источника
энергии к (от) цепи или изменение конфигурации цепи.
Законы коммутации
1 закон коммутации: ток, протекающий через катушку индуктивности,
есть функция непрерывная (т.е. ток не может измениться скачком).
i L  0  i L 0
Закон основан на связи тока, протекающего через катушку
индуктивности с электромагнитной энергией.
WL 
L  iL
2
2
- электромагнитная энергия, запасаемая на катушке
индуктивности.
На основе закона сохранения энергии можно сделать вывод, что
энергия есть функция непрерывная. Следовательно, и ток будет функция
непрерывная.
после коммутации
до коммутации
При t  0 происходит коммутация.
i 0 при t  0 (перед коммутацией)
i 0 при t  0 (после коммутации)
uL  L 
di
dt
2 закон коммутации: падение напряжения на конденсаторе есть
функция непрерывная (т.е. напряжение не может измениться скачком).
uC 0  uC  0
C  uC
.
2
2
Конденсатор аккумулирует электростатическую энергию WC 
На основе закона сохранения энергии можно сделать вывод, что
энергия есть функция непрерывная. Следовательно, и напряжение будет
функция непрерывная.
Примеры расчета переходных процессов различных цепей
Подключение r  L цепи к источнику постоянного напряжения
1) До коммутации нас интересует ток через катушку индуктивности iL  0
-?
i 0  0
2) Коммутация
Запишем уравнения по 2 закону Кирхгофа в дифференциальной форме.
Комплексным методом в данном случае пользоваться нельзя, так как
процессы апериодические.
U 0  u r  u L , где u r  i  r ; u L  L 
di
dt
di
- неоднородное дифференциальное уравнение 1 порядка
dt
U0  i  r  L 
(1)
3) i  i   i  ,
(2)
где i  - решение соответствующего однородного дифференциального
уравнения (ОДУ);
i  - частное решение неоднородного дифференциального уравнения
(НДУ).
4) Найти i  - ?
Составим соответствующее ОДУ:
0  i   r  L 
(3)
di 
dt
Характеристическое уравнение:
0  r  L p
(4)
где p - оператор ( p 
p
r
L
di 2
di 2
; p  2 ;1 / p   idt ).
dt
dt
- корень характеристического уравнения. Тогда решение
записывается в виде: i   A  e pt .
В нашем случае i   A  e
r
 t
L
- решение ОДУ.
(5)
5) Найти i  - ?
За частное решение принимается решение при t   , т.е. при новом
установившемся процессе. Это решение можно найти, пользуясь известными
приемами, в том числе и комплексными числами для анализа
установившегося процесса.
I  jL .
Так как xL    L , при t      0 . Тогда U 0  I  r  

0
U
i  0
r
6) На основании выражения (2) записываем полное решение.
r
 t
U0
 Ae L
r
При t  0  i 0  i0  0 .
i
U0
 A  e0  0
r
U
A 0
r
r
r
 t
 t
U
U
U
U
i  0  0  e L , где i   0 ; i    0  e L .
r
r
r
r
i   iсв - свободная составляющая тока i ;
i   iпр - принужденная составляющая тока i .
i0 
t
0

3


i
U0
r
U0
r
U0
r
U0
r
1
L

p r
i 
U
 0
r
U
 0  0.37
r
U0

 0.05
r
0
i
0
U0
 0.63
r
U0
 0.95
r
U0
r
(сек) – постоянная времени. Она характеризует скорость
прохождения переходного процесса.
При t    e 1  0.37
При t  3  e 3  0.05
U 0  ur  u L
u L  U 0  ur  U 0  i  r
r
U0 
 t  
L 


uL  U 0  r 
 1 e 
 r 




0

uL
U0
U0

0.37  U 0
0.37  U 0
3
0.05  U 0
0.05  U 0

0
0
t
r
 t
L
uL  U 0  e


uL  uL  uL

uL  0

uL  U 0  e
r
 t
L
uL
Лекция 6
Подключение r  L цепи к источнику переменного напряжения
u  U m  sint   
1) До коммутации
i 0  0
2) Коммутация
ut   u r  u L
ur  i  r
di
uL  L 
dt
U m  sin t     i  r  L 
(6)
3) i  i   i 
(7)
di
- НДУ
dt
4) i  - ?
0  i   r  L 
di 
dt
(8)
0  r  L  p - характеристическое уравнение
p
r
- корень характеристического уравнения.
L
i   A  e  A  e
pt
r
 t
L
(9)
5) i  - ?
За частное решение принимается решение при t   , т.е. при новом
установившемся процессе. Так как установившийся процесс – переменный
ток, то используем для анализа комплексные числа. Для этого запишем
уравнение (6) в комплексной форме.
U  I  r  I  jL ,
(10)
где U  U  e j .
I
U
U

r  j  L Z
Z  r  j  L  z  e j , где z  r 2  L  ;   arctg
2
I
L
r
.
U
U U  e j

 I  e j    , где I  .
j
z
Z
z e
j    
I  I e
 i   I m  sint      ,
(11)
где I m  2  I .
6) На основании пункта 3 записываем общее решение:
i  I m  sin t       A  e
r
 t
L
(12)
7) A - ?
При t  0 уравнение (12) превращается в тождество:
i0  I m  sin     A  0 , так как в соответствии с пунктом 1 и законом
коммутации i 0  i0  0 .
A   I m  sin   
Подставив это выражение в уравнение (12), получим
i  I m  sin t       I m  sin      e
r
 t
L
(13)
Здесь i  I m  sint      ; i    I m  sin      e
t
i
r
 t
L
.
i 
i
I m  sin   
 I m  sin    
0
I m  sin     
 0.37 I m  sin    
i   i 
…
…
…
…

…
0
…
0
1
L

p r

Пусть   80 ,   30 , тогда     50 .
uL  L 
di
или u L  u  u r
dt
r
 t


L

u L  U m  sin t     r  i  U m  sin t     r    I m  sin      e
 I m  sin t     


u L  U m  sin t     U rm  sin t       U rm  sin      e
Здесь u L   U m  sint     U rm  sint      :
r
 t
L
r

uL
U rm  sin   
U m  sin 
…
0

uL
U m  sin   U rm  sin   
…
t
…
 t

u L  U rm  sin      e L .
uL

…

Пусть   80 ,   30 , тогда     50 .
При t  0 , u L  0
При t  0 , u L  U m  sin 
В момент включения при неблагоприятной начальной фазе падение
напряжения на катушке индуктивности может превышать амплитуду
входного напряжения.
Подключение r  C цепи к источнику постоянного напряжения
1) До коммутации
uC  0 - ?
Пусть uC  0  U C 0
2) Коммутация
U 0  u r  uC ,
(14)
где u r  i  r .
i
dq C  du C

dt
dt
du C
.
dt
du
U 0  r  C  C  u C - НДУ
dt
Тогда u r  r  C 
(15)
3) uC  uC   uC 
4) u C  - ?

du C

0  r C 
 uC
dt
0  r  C  p  1 - характеристическое уравнение
1
p
r C

uC  A  e  A  e
5) u C  - ?
pt

1
t
r C
По завершению переходного процесса uC   U 0 .
6) В соответствии с уравнением (14) общее решение запишется в виде:
uC  U 0  A  e

1
t
r C
7) A - ?
При t  0 : uC  U 0  A  U C 0 , так как uC  0  uC 0  U C 0 .
A  U 0  U C 0 
uC  U 0  U 0  U C 0   e
Здесь uC   U 0 ;

uC  U 0  U C 0   e


1
t
r C
1
t
r C
.

  r C
U0
 U 0  U C 0 
U C0
 0.37  U 0  U C 0 
0.63  U 0  0.37  U C 0
…
U0
uC
…
0

uC
…
uC
…
t
3
U0
 0.05  U 0  U C 0 
0.95  U 0  0.05  U C 0

U0
0
U0
8) i - ?
du C
dt
1

t 

1
r C 

i  C 
 U 0  U C 0   e

 r C

i C
U  U C 0  r C t
i 0
e
r
i   0 ; i  i 
1
t
0
  r C
3

Если r  0 , то i0   , так как i0 
U 0  U C0
.
r
i  i 
U 0  U C0
r
U  U C0
0.37  0
r
U  U C0
0.05  0
r
0
Лекция 7
Подключение r  C цепи к источнику переменного напряжения
u  U m  sint   
1) До коммутации
uC  0 - ?
Пусть uC  0  U C 0 , т.е. конденсатор заряжен.
2) Коммутация
u  u r  uC ,
где u r  i  r .
i
C  du C
dt
Тогда u r  r  C 
u  r C 
du C
.
dt
du C
 uC
dt
U m  sin t     r  C 
duC
 u C - НДУ
dt
(16)
3) Ищем решение в виде uC  uC   uC 
(17)
4) u C  - ?

du C

 uC
dt
0  r  C  p  1 - характеристическое уравнение
1
p
r C
0  r C 
1

t

uC  A  e pt  A  e r C
(18)
5) u C  - ?
За частное решение принимается решение при t   , т.е. при новом
установившемся процессе. Так как установившийся процесс – переменный
ток, то используем для анализа комплексные числа.
Запишем уравнения по 2 закону Кирхгофа для данной цепи в
комплексной форме:
1 

U 
I  r  I  j 


C

UR

UC
I
U
r  j
1
C

U
Z
1
 1 / C
 1 
Здесь Z  r  j 
.
 z  e  j , где z  r 2  
 ;    arctg
C
r
 C 
2
U  U  e j 
U
U U  e j 
I 
 I  e j   , где I  .
 j 
z
Z z e
1 

UC  I   j 

C 


 j
 j
1
1

e 2 ,
C C
так
как
 j
1
1
 0 j
 z C  e  j ,
C
C
где
2
1
 1 
zC  0  
;
 
C
 C 
2
   arctg
 1 / C

   .
0
2




j     
 j
 j
1
1
1
2
, где U C  I 
.
UC  I 
 e 2  I  e j   
 e 2  UC  e 
C
C
C
UC  UC  e


j     
2




uC  U Cm  sin t       , где U Cm  2  U C
2

(19)
6) В соответствии с выражением (17) общее решение

t


u C  U Cm  sin t      A  e r C
2

7) A - ?


u 0  U Cm  sin       A  U C 0 , так как uC  0  uC 0  U C 0 .
2



A  U C 0  U Cm  sin     
2

1
  j r C t
 



8) uC  U Cm  sin t        U Cm  sin       U C 0   e
2 
2



1

Здесь uC   U Cm  sin t       ;

uC

t
0
  r C
2

  t


 U Cm  sin       U C 0   e r C .
2




uC
1


U Cm  sin     
2



U Cm  sin       
2

uC



 U Cm  sin       U C 0
2



 0.37  U Cm  sin       U C 0
2

uC
U C0
…
3


U Cm  sin   3      
2



 0.05  U Cm  sin       U C 0
2

…

…
0
uC  uC
Пусть   80 ,   20 , тогда    

2
 10 .
Подключение r  L  C цепи к источнику постоянного напряжения
1) До коммутации
i 0 - ? uC  0 - ?
i 0  0
uC  0  U C 0
2) Коммутация
U 0  u r  u L  uC
ur  i  r

uL  L 
di
dt
t
uC 
du
1
1
idt   idt  u C 0 , так как i  C  C .

C
C0
dt
t
di 1
U 0  i  r  L    idt  u C 0
dt C 0
t
U 0  u C 0  i  r  L 
di 1

idt - НДУ 2-го порядка
dt C 0
(20)
3) i  i   i 
4) i  - ?
Запишем соответствующее ОДУ:
0  i   r  L 
di  1

i dt
dt C 0
t
(21)
Продифференцируем уравнение
d i 
di  1

r

  i   0
dt C
dt 2
d 2 i  r di 
1
 

 i   0
2
L dt C  L
dt
L
2
Запишем соответствующее характеристическое уравнение:
r
1
 p
0
L
LC
r
1
2
 2 ;
 0
LC
L
2
2
p  2  p  0  0
p2 
p1, 2     2  0
2
Возможны 3 варианта:
1.   0 - корни вещественные, разные;
2.   0 - корни кратные;
3.   0 - корни комплексно-сопряженные.
Рассмотрим каждый вариант отдельно.
3.   0
p1     2  0
2
p2     2  0
2
p2  p1  0
i   A1  e p1t  A2  e p2 t
(22)
5) i  - ? при t  
i   0 , так как имеется конденсатор.
6) i  i  A1  e p t  A2  e p t
(23)
A1 - ? A2 - ?
Чтобы найти два коэффициента A1 и A2 , надо иметь два уравнения,
которые затем превратить в тождество при t  0 . Составим второе уравнение,
продифференцировав исходное (23).
1
2
i  A1  e p1t  A2  e p2 t
di
 p1  A1  e p1t  p 2  A2  e p2 t
dt
(24)
di
0 - ?
dt
Для нахождения
di
0 превращаем уравнение (20) в тождество при t  0
dt
.
0
di
1
U 0  u C 0  i0  r  L  0   idt
 
dt
C0
0
UC 0

0
i0  i 0  0 - на основании 1 закона коммутации.
uC 0  uC  0  U C 0 - на основании 2 закона коммутации.
di
0  U 0  U C 0
dt
L
Превращаем уравнение (24) в тождество при t  0 .
i0  A1  A2  0
di
0  p1  A1  p2  A2  U 0  U C 0
dt
L
A1   A2
U 0  U C0
A1 
 p1  p2   L
U  U C0
A2   0
 p1  p2   L
Подставляя значения коэффициентов в уравнение (23), получим
окончательное решение.
i
U 0  U C0
 e p1 t  e p2 t
L   p1  p 2 

(25)
exp 1 
U 0  U C0
 e p1 t
 p1  p2   L
exp 2 
U 0  U C0
 e p2 t
 p1  p2   L

p2  p1  0
1 
1
1
; 2 
p1
p2
1   2
Апериодический процесс
uL  L 
di
dt
t
uC 
1
idt  U C 0
C 0
2.   0
p1  p2  
i   e  t   A1  t  A2 
i  i   e  t   A1  t  A2 
di
   e  t   A1  t  A2   e  t  A1
dt
(26)
При t  0 : i0  A2  0
di
0    A2  A1  U 0  U C 0
dt
L
U  U C0
A1  0
; A2  0
L
U  U C0
i  e  t  0
 t - граничный случай
L
3.   0
p1, 2    j    , где    0 2   2 .
i  A1  e  t  sin    t  A2  e  t  cos    t или i  A  e  t  sint   
A -?  -?
A1 - ? A2 - ?
Составляем два уравнения:
i  A1  e  t  sin    t  A2  e  t  cos    t
di
   A1  e  t  sin    t     A1  e  t  cos    t    A2  e  t  cos    t     A2  e  t  sin    t
dt
При t  0 : i0  A2  0
di
0     A1    A2  U 0  U C 0
dt
L
U 0  U C0
; A2  0
A1 
  L
U  U C 0  t
i 0
 e  sin    t
  L
T
2

1
r
2L
 
2L
r

Если r  0     - незатухающие колебания.

,
Лекция 8
Подключение r  L  C цепи к источнику переменного напряжения
u  U m  sint   
1) До коммутации
i 0 - ? uC  0 - ?
i 0  0
uC  0  U C 0
2) Коммутация
ut   u r  u L  uC , где u r  i  r ; u L  L 
t
di
1
; uC   idt  uC 0 .
dt
C0
t
di 1
U m  sin t     i  r  L    idt  u C 0
dt C 0
(27)
U m  sin t     u C 0  i  r  L 
t
di 1

idt - ЛНДУ 2-го порядка
dt C 0
(28)
3) i  i   i 
4) i  - ?
0  i   r  L 
di  1

i dt
dt C 0
t
Продифференцируем выражение и разделим на L :
d i  r di 
1
 

 i   0
2
L dt C  L
dt
r
1
p2   p 
0
L
LC
r
1
2
 2 ;
 0
LC
L
2
2
p  2  p  0  0
2
p1, 2     2  0
2
1.   0 - корни вещественные
p2  p1  0
i   A1  e p1t  A2  e p2 t
2.   0 - корни кратные
p1  p2  p  
i   e pt   A1  t  A2 
3.   0 - корни комплексно-сопряженные
p1, 2    j    , где    0 2   2 .
i   A1  e  t  sin    t  A2  e  t  cos    t
5) i  - ? при t   , т.е. при новом установившемся процессе.
При этом определим значение i  , используя символический метод, т.е.
запишем уравнение (27) в комплексной форме.
1 

U  I  r  I   j  L   I    j 

C 


1 

U  I   r  j   L 

C  


L  1 / C
1 
1 


2
j 
.
Z  r  j   L 
 ;   arctg
  z  e , где z  r   L 
C 
r
C 


U  U  e j 
U  I Z
U
U U  e j 
I 
 I  e j   , где I  .
j 
z
Z
z e
j    
I e
 i   I m  sint      , где I m  2  I .
2
6) В соответствии с пунктом 3 записываем общее решение:
i  I m  sint       A1  e p1t  A2  e p2 t
Дифференцируем это выражение, чтобы получить второе для
нахождения A1 и A2 .
di
   I m  cost       p1  A1  e p1t  p2  A2  e p2 t
dt
Решаем эту систему уравнений при t  0 .
i0  I m  sin     A1  A2
di
0    I m  cos     p1  A1  p2  A2
dt
(29)
На основании 1 закона коммутации i0  i 0  0 .
di
0 решаем уравнение (28) при t  0 .
dt
0
0  r  L  di 0  1  i0di
U m  sin   u C 0  i
dt
C0
0

Для нахождения
0
На основании 2 закона коммутации uC 0  uC  0  U C 0 .
di
0  U m  sin   U C 0
dt
L
Подставляя найденные значения i0 и
I m  sin     A1  A2  0
  I m  cos     p1  A1  p2  A2 
di
0 в систему (29), получим:
dt
U m  sin   U C 0
L
Решая эти уравнения совместно, находим A1 и A2 .
Методика расчета переходных процессов классическим методом
Известны: r1 , r2 , C , L
e  Em  sint   
Найти: ток в ветви с
конденсатором
Решение:
1) До коммутации
i L  0 - ? uC  0 - ?
До коммутации установившийся процесс переменного тока, поэтому
можем пользоваться символическим методом, т.е. записывать уравнения в
комплексной форме.
1 способ. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа.
Ir  IC  I L
1 

E  I r  r1  r2   I C    j 

C 

1 

0  IC    j 
  I L   j  L 
C 

2 способ. Метод контурных токов.
1 
1 


E  I I   r1  r2  j 
  I II    j 

C 
C 


1 
1 


0  I II   j  L  j 
  II  j 

C 
C 


3 способ. Метод узловых потенциалов.
Пусть  b  0 .
 1 

E  
r1  r2 

 a  U ab 
1
1
1


1
r1  r2
j  L
 j
C
U ab  U C
IL 
U ab
j  L
U C  U C  e jC  uC t   U Cm  sint   C 
uC  0  U Cm  sin  C , где U Cm  2  U C
I L  I L  e j L  iL t   I Lm  sint   L 
iL  0  I Lm  sin  L
2) Коммутация
ir  iC  i L
t
e  ir  r2 
1
iC dt  u C 0
C 0
(30)
0
t
di
1
iC dt  u C 0  L  L

C0
dt
Поскольку стоит задача найти ток iC , то эти три уравнения путем
преобразований нужно свести к одному уравнению относительно тока iC . В
результате получится НДУ 2-го порядка, где аргументом будет iC .
3) iC  iC   iC 
4) iC  - ?
Используя метод операторной схемы замещения
можно
непосредственно получить характеристическое уравнение, соответствующее
ОДУ для данной цепи.
Эквивалентная операторная схема замещения составляется следующим
образом:
1. Активное сопротивление заменяется активным.
2.
3.
4. Источник э.д.с. закорачивается.
5. Источник тока отбрасывается.
В результате операторная схема замещения нашей цепи будет иметь
вид:
Размыкается любая ветвь в этой схеме, и относительно образовавшихся
зажимов подсчитывают эквивалентное сопротивление Z  p  данной схемы.
Приравняв выражение к нулю, получаем характеристическое уравнение.
1
 pL
r  p 2  LCr2  pL
pC
Z  p   r2 
 2
0
1
1  p 2  LC
 pL
pC
r2  p 2  LCr2  pL  0
1
1
p2 
 p
0
r2 C
LC
Находим корни: p1, 2   1 
2r2 C
2
 1 
1

 
.
LC
 2r2 C 
Покажем, что характеристическое уравнение не зависит от того, какая
ветвь размыкается.
r2  pL r2  pL  r2  p 2  LC
1
Z  p 


pC r2  pL
p  C  r2  pL 
r2  pL  r2  p  LC  0
1
1
p2 
 p
0
r2 C
LC
Как видим, характеристическое уравнение то же самое.
В соответствии с тем, какие будут корни, записываем решение iC  .
Пусть корни вещественные, тогда iC   A1  e p t  A2  e p t .
1
2
5) iC  - ? при t   , т.е. при новом установившемся процессе.
E
U ab 
IC 
1

r2
1
r2
1
 j
UC
1
C

1
j  L
 U C  U C  e jC

 I C  e j C  iC t   I Cm  sin t   C  , где I Cm  2  I C
1
 j
C
Записываем полное решение iC  iC   iC  .
iC  I Cm  sint   C   A1  e p1t  A2  e p2 t
diC
   I Cm  cost   C   A1  p1  e p1 t  A2  p2  e p2 t
(31)
dt
6) iC 0 - ?
diC
0 - ?
dt
Эти условия будут называться зависимыми начальными условиями.
Независимые начальные условия – это условия, связанные с законами
коммутации ( i L 0 , uC 0 ).
Используя значения независимых начальных условий из системы
уравнений (30), находим интересующие нас зависимые начальные условия.
Лекция 9
Пример:
ir  iC  i L
(32)
t
1
e  ir  r2   iC dt  u C 0
C0
(33)
0
t
di
1
iC dt  u C 0  L  L

C0
dt
(34)
Составим дополнительно еще одно уравнение:
e  ir  r2  L 
(35)
di L
dt
Рассмотрим уравнение (33) при t  0 :
e0  ir 0  r2 
0
1
iC dt  u C 0
C 0
uC  0  uC 0  U C 0
e0  U C 0
ir 0 
 I r0
r2
Уравнение (32) при t  0 будет иметь вид:
ir 0  iC 0  iL 0
iC 0  ir 0  iL 0  I r 0  I L0  I C 0
iL  0  iL 0  I L0
Дифференцируем уравнение (32):
dir di L diC


dt
dt
dt
(36)
Уравнение (35) при t  0 будет иметь вид:
di L
0
dt
di L
0  e0  ir 0  r2   diL 
dt
L
 dt  0
e0  ir 0  r2  L 
(37)
Продифференцируем уравнение (33):
de dir
1

 r2   iC
dt
dt
C
(38)
При t  0 уравнение (38) будет иметь вид:
de
0  dir 0  r2  1  iC 0
dt
dt
C
1
 de

 0   I C 0 
dir
C
   dir 
0   dt


dt
r2
 dt  0
(39)
Подставляя найденные значения (37) и (39) в уравнение (36) при t  0 ,
получим:
dir
0  diL 0  diC 0
dt
dt
dt
diC
0   dir    diL    diC 
dt
 dt  0  dt  0  dt  0
(40)
Зависимые начальные условия:
iC 0  I C 0
diC
0   diC 
dt
 dt  0
Решая систему уравнений(31) при t  0 , получаем искомые значения
коэффициентов A1 и A2 .
I C 0  I Cm  sin  C  A1  A2
 diC 

    I Cm  cos  C  A1  p1  A2  p2
 dt  0
(41)
Решение найдено:
iC  I Cm  sint   C   A1  e p1t  A2  e p2 t
Методика расчета переходных процессов классическим методом:
1. До коммутации: определяются значения iL  0 , uC  0 .
2. Коммутация: записываются уравнения по 2 закону Кирхгофа в
дифференциальной форме для цепи после коммутации.
3. Нахождение свободной составляющей i  . Здесь составляется
операторная схема замещения, разрывается какая-либо ветвь и
относительно образованных зажимов записывается эквивалентное
операторное сопротивление. Оно приравнивается к нулю. Это и будет
характеристическое уравнение. Находим его корни и в соответствии с
видом корней записывается соответствующее решение i  .
4. Нахождение принужденной составляющей i  . Находим ее при t   ,
т.е. при новом установившемся процессе. Если это цепь переменного
тока, то используется символический метод с комплексными числами.
Если цепь постоянного тока, то обычный метод.
5. Составляется общее решение i  i   i  . Если необходимо составляется
второе уравнение:
di di  di 


dt dt dt
6. Нахождение зависимых начальных условий: i0 ,
di
0 . Они находятся
dt
из уравнений, записанных в пункте 2, с использованием независимых
начальных условий i L 0 , uC 0 .
7. Составляются уравнения:
i0  i 0  i 0


di
0  di 0  di 0
dt
dt
dt
Находятся искомые значения A1 и A2 . Таким образом, решение
найдено.
Лекция 10
Операторный метод расчета переходных процессов
L
di
 I  jL
dt
d
 j
dt
 1 
1
1 

  I    j 
idt  I  


C
C 

 jC 
1
 idt  j
Операторное преобразование Лапласа
Если имеется функция f t  действительного переменного. Эта функция на
каком-то конкретном интервале a, b имеет конечное значение
относительных экстремумов и имеет разрывы только 1 рода, т.е.
удовлетворяет условиям Дирихле и имеет ограничения в виде f t   A  e at , то
такая функция может иметь отображение функцией комплексной
переменной.
F  p  - функция комплексной переменной.
f t 

F  p    f t   e  pt dt , где p    j - прямое преобразование Лапласа.
0
  j
1 0
f t  
F  p   e pt dp - обратное преобразование Лапласа.
2  j  0  j
В дальнейшем f t  будем называть оригиналом, F  p  - изображением
(оригинала).
F  p
f t 
Свойства преобразования Лапласа
1. Свойство линейности.
Если f1 t 
F1  p  и f 2 t 
F2  p  , то 1  f1 t   2  f 2 t 
1  F1  p   2  F2  p  .
2. Дифференцирование и интегрирование
F  p  , то
Если f t 
d2 f
dt 2
df
dt
p 2  F  p   p  f 0 
 f t dt
p  F  p   f 0 .
df
0
dt
1
 F  p
p
3. Если f t   A - постоянное число, то f t 
F  p 
A
p
A
4. e at
1
pa

5. sin t
p 2
2
p2
p2   2
6. cos t
Законы Ома в операторной форме
ur  i  r
I  p ;
Если i
ur
uL  L 
di
dt
Если i
uL
U r  p  , то U r  p   r  I  p  .
I  p ;
U L  p  , то U L  p   pL  I  p   L  i0 .
A
.
p
t
uC 
1
idt  u C 0
C 0
I  p ;
Если i
uC
U C  p  , то U C  p  
u 0
1
 I  p  C .
pC
p
t
u  r i  L
di 1

idt  u C 0
dt C 0
В операторной форме это уравнение будет иметь следующий вид:
u 0
1
 I  p  C
pC
p
U

1 

U  p   L  i0  C 0  I  p    r  pL 
p
pC

U  p   r  I  p   pL  I  p   L  i0 
Z  p
Z  p   r  pL 
1
- операторное сопротивление.
pC
Законы Кирхгофа в операторной форме
1 закон Кирхгофа:
n
i  0
k 1
k
Если i1 t 
i2 t 
I1  p 
I 2  p
…
…
n
, то на основании свойства линейности  I k  p   0 k 1
сумма
ik t 
I k  p
…
…
in t 
операторных токов в узле равна 0.
I n  p
2 закон Кирхгофа:
m
n
e  u
j 1
j
k 1
k
E1  p 
U1  p 
Если e1 t 
u1 t 
…
…
m
, то на основании свойства линейности
n
 E  p   U  p  .
j 1
j
k 1
k
e j t 
E j  p
…
…
U k  p
u k t 
Лекция 11
Операторная схема замещения
i t 
ur
I  p
U r  p
i t 
I  p  ; u L t 
i t 
I  p ;
u C t 
U C  p 
U C  p ,
u 0
1
 I  p  C
pC
p
U L  p  , так как U L  p   pL  I  p   L  i0
Рассмотрим r  L  C цепь.
u 0
1
 I  p  C
pC
p
U

1 

U  p   L  i0  C 0  I  p    r  pL 
p
pC 

U
U  p   L  i 0  C 0
p
I  p 
1
r  pL 
pC

 

0  U  p r  I  p   pL  I  p   L  i0 
Z  p
(42)
Z  p   r  pL 
1
pC
Если сравним выражение (42), полученное при рассмотрении
эквивалентной операторной схемы замещения, и значение I  p  , найденное
ранее, то эти выражения одни и те же. Следовательно, просматривается два
способа анализа электрической цепи операторным методом:
1. Составляются дифференциальные уравнения для анализируемой
схемы, затем эти уравнения преобразуются в операторные на основе
преобразования Лапласа. В результате получается решение в виде:
I  p 
M  p
N  p
2. Составляется операторная схема замещения для исходной
оригинальной схемы. Для этой эквивалентной схемы составляются
уравнения по закону Ома и законам Кирхгофа. В результате получается
решение в виде:
I  p 
M  p
N  p
Далее стоит задача получить оригинальное значение тока it  . Это
преобразование производится с помощью теоремы разложения.
Теорема разложения
Пусть мы получили I  p   M  p  ,
где M  p   am  p  am1  p
n
n 1
N  p
 ...  ae  p e  ...  a1  p  a0 ;
N  p   bn  p n  bn1  p n1  ...  bk  p k  ...  b1  p  b0 .
Условия:
1) n  m , т.е. дробь правильная;
2) Многочлен N  p  не имеет кратных корней, т.е. p1 , p2 ,..., pn - разные.
В соответствии со вторым условием:
N  p    p  p1    p  p2   ...   p  pk   ...   p  pn  , где p1 , p2 ,..., pn - корни N  p  .
1
, то можем записать:
pa
Ak
An
A1
A2
M  p


 ... 
 ... 
N  p  p  p1 p  p 2
p  pk
p  pn
Так как e at
(43)
Ставится задача найти A1 , A2 ,..., An - ?
Умножим левую и правую часть выражения (43) на  p  pk  и возьмем
предел от левой и правой части при p  pk .
 A   p  p k  A2   p  p k 
M  p    p  pk 
A   p  pk 
A   p  pk  

 lim  1

 ...  k
 ...  n
p  pk
p  pk
N  p
p  p2
p  pk
p  p n 
 p  p1
lim
(44)
0
 Ak
0
Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя:
M ( p)   p  p k   M ( p)
 Ak
p  pk
N  p 
M  pk 
Ak 
N  p k 
M  p
; I  p
I  p 
i t 
N  p
n
M  p k  pk t
it   
e
k 1 N  p k 
M 0 n M  p k  pk t
Если pl  0 , то it  

e .
N 0 k 1 N  p k 
lim
Пример:
Пусть M  p   a1  p  a0 ; N  p   b2  p 2  b1  p  b0
M  p
; it 
I  p
N  p
M  p1  p1 t M  p 2  p2 t
it  
e 
 e , где p1 , p 2 - корни многочлена b2  p 2  b1  p  b0  0 .
N  p1 
N  p 2 
a  p  a0
a  p  a0
it   1 1
 e p1 t  1 2
 e p2 t
2b2  p1  b1
2b2  p 2  b1
I  p 