памятки
n, m, k ∈ R; m ≠ 0; a, c ≠ 1; a > 0, b > 0, c > 0, d > 0
формулы степеней
n ∈ R, m ∈ R, a > 0, b > 0
Определения и основные формулы
1
a = n
a
1
5 a · b = ab
n
−n
m
n
2 a =
n
am
n
6
4 a
m−n
m
=
a
n
a
7
a
m n
a
b
8
=a
n
−n
9 1 =1
b
a
=
10 a = a
1
11 a 0 = 1
13 a = a
14
a
b
−1
=
b
a
Решение по определению
2
3
n
ab = a ·
n
m
a =
k
nk
a =
n
для нечётных m
b
для чётных k
7
8
a
дз
решаем уравнение и учитываем ОДЗ
оверка
тождества для модулей
f(x), g(x) — функции, определенные в ОДЗ
Уравнение с модулями в обеих частях
5
a k = |a|
k
f(x) = g(x)
f(x) = − g(x)
12 loga an = n
n
ограничения и ОДЗ
a — константа, f(x) и g(x) — функции от x
Ограничения для выражений
f(x)
g(x)
g(x) = 0
пример выражения
3
2x + 1
2x + 1 > 0
log x (2x)
x=1
x>0
2x > 0
f(x) = 1
f(x) > 0
g(x) > 0
tg(x)
tg(x) =
cos(x) = 0
ctg(x)
ограничения
2
g(x) > 0
1
f(x) · g(x) = 0
2
g(x) = 0
ax 2 + bx + c > 0
ax 2 + bx + c < 0
2
приравниваем к нулю
ax 2 + bx + c = 0
3
находим дискриминант и корни
D<0
x1=
f(x) > 0
g(x) > 0
3 f(x) · g(x) > 0
D=0
x0 = −
x2 =
b
2a
D<0
5
при
−
при
2
−
−
x1
xx
x2
−
х+3 = 0
х = −6
x ∈ ( − ∞; х 1 ) ⋃ ( х 2 ; + ∞ )
решение < 0
решение = 0
решение >0
x ∈ ( − ∞; + ∞ )
или
нет решений
x ∈ ( − ∞; х 0 ) ⋃ ( х 0 ; + ∞ )
или
нет решений
x ∈ ( − ∞; х 1 ) ⋃ ( х 2 ; + ∞ )
0
2
4
0
2
4
f(x) < g(x)
x
x
f(x) = g(x)
f(x) = g(x)
g(x) > 0 или f(x) > 0
2
8
f(x) > g(x)
f(x) > g(x)
f(x) > g(x)
g(x) > 0
f(x) + g(x) = 0
10
f(x) + g(x) > 0
f(x) + g(x) > 0
!
− +
5
−
+
−6
−3
−
0
+ −
2
(10 + 3) (10 − 4)
+
!
х = 10
выбираем нужные промежутки
по знаку начального неравенства.
− +
6
−
+
−6
−3
−
0
+ −
2
4
>0
но
+
x
записываем ответ, причем обязательно
слева направо по числовой прямой
Ответ: x ∈ { − 6 } ⋃ ( − 3 ; 0 ] ⋃ [ 2 ; 4 ) ⋃ ( 4 ; + ∞ )
функции p(x), f(x), g(x), h(x) из ОДЗ для каждого выражения
f(x)
g(x)
1
p(x) − p(x)
2
f(x)
p(x) − 1
3
f(x)
4
но
если начальное неравенство нестрогое, и точка
вколотая, то берём в ответ вне зависимости от знака
дз
2
x
4
14
f(x) · g(x) < 0
f(x) > 0
g(x) > 0
f(x) < 0
g(x) > 0
15
f(x) > 0
g(x) > 0
f(x) · g(x) > 0
f(x) < 0
g(x) = 0
f(x) > 0
g(x) > 0
16
f(x) > 0
f(x) < 0
g(x) > 0
f(x) · g(x) < 0
f(x) > 0
g(x) = 0
g(x) > 0
метод рационализации метод рационализации производные функций
в начальное неравенство подставляем контрольные точки из каждого интервала,и записываем знак каждого промежутка на прямой.
5
f(x) · g(x) > 0
f(x) = g(x)
2
11
13
f(x) = 0
g(x) = 0
Неравенства с суммой корней
2
f(x) в ОДЗ
g(x) = 0
Неравества с умножением на корень
g(x) > 0
Уравнение с суммой корней
9
f(x) = 0
g(x) > 0
12 f(x) · g(x) = 0
f(x) > g(x)
для решения иррациональных неравенств
3
но
7
f(x) > 0
g(x) > 0
10 (10 − 2) (10 + 6) 4
м знака
Уравнение с умножением на корень
4
х = −3
корни четной кратности повторяются четное
число раз или находятся в четной степени
−3
f(x) < g(x)
тождества на корни
Уравнение с корнями в обеих частях
2
f(x) > g(x)
g(x) > 0
в начальное неравенство подставляем одну
контрольную точку из крайнего правого
интервала, и записываем ее знак, затем по
очереди справа налево меняем знаки, причем в
петельках знак неравенства тоже меняется.
но
Ответ:
Рационализация показательных
отмечаем петельками корни четной кратности
−6
f(x) > g(x)
или
с учето
4 записываем ответ
Алгоритм метода интервалов
знаменатель = 0
3
не уд. ОДЗ
Неравенства с корнями в обеих частях
f(x) > 0
g(x) < 0
х=4
х−4 = 0
верка
или про
f(x), g(x) — функции, определенные в ОДЗ
6
f(x) > 0
g(x) > 0
метод интервалов
знаменатель
х=2
−3
f(x) < g(x)
для решения рациональных неравенств
справа ноль
наносим корни на числовую прямую
−6
x2
+
a<0
x0
−
f(x) < g(x)
5
ищем нули (или корни) множителей
х=0
+
x1
x0
f(x) < 0
g(x) > 0
делением или в степени
числитель
+
убираем логарифмы и решаем ур-е,
учитывая ОДЗ
верка
записываем ответ
2
f(x) > g(x)
g(x) > 0
f(x) < 0
g(x) < 0
+
a>0
3
f(x), g(x) — функции, определенные в ОДЗ
f(x) > 0
g(x) < 0
f(x) > g(x)
4
приводим неравенство к стандартному виду
х−2 = 0
2
f(x) > 0
g(x) > 0
f(x)
>0
g(x)
х+6 = 0
+
f(x) > 0
g(x) < 0
б множители с умножением,
− b + D
2a
f(x) = g(x)
3
метод интервалов
1
f(x) = g(x)
g(x) > 0
f(x) < 0
g(x) > 0
а
D>0
преобразуем ур-е к одному основанию
дз
или про
тождества на корни
Неравества с корнем в одной части
f(x) > 0
g(x) < 0
D = b 2 − 4ас
D=0
g(x) = 0
f(x)
<0
g(x)
6
f(x) < 0
g(x) < 0
4 f(x) · g(x) < 0
0
− b − D
2a
1
Неравества с умножением и делением ф-ий
Алгоритм метода интервалов
D>0
f(x) = 0
f(x)
=0
g(x)
для решения рациональных неравенств
приводим неравенство к стандартному виду
f(x) − g(x) · f(x) + g(x) < 0
f(x) > g(x)
1
f(x) = 0
−1 < x < 1
Решение квадратного нер-ва
Неравенство с модулями в обеих частях
f(x) < − g(x)
Уравнение с корнем в одной части
−1 < x < 1
cos(x) = x
2
Ответ:
для чётных n
для решения рациональных неравенств
g(x) > 0
f(x) > − g(x)
log a b = n · log a | b |
Уравнение с умножением и делением ф-ий
x >0
=x
квадратные нер-ва
f(x) = − g(x)
f(x) < g(x)
2x + 1
4
Ответ:
для нечётных m
x >0
sin(x) = x
− 1 < g(x) < 1
3
решаем уравнение и проверяем ОДЗ
m
f(x), g(x) — функции, определенные в ОДЗ
sin(x)
cos(x)
2x + 1 = x
− 1 < g(x) < 1
возводим левую и правую часть
уравнения в квадрат
учитываем ОДЗ и ограничения
записываем ответ
3
f(x), g(x) — функции, определенные в ОДЗ
пример уравнения
g(x) > 0
= g(x)
m
тождества на корни
Ограничения для уравнений
f (x)
2
1
слева логарифм, справа логарифм
не уд. ОДЗ
n
n
cos(x)
ctg(x) =
sin(x)
sin(x) = 0
f(x) = g(x)
дз
приводим уравнение к стандартному виду
убираем основание и решаем уравнение
тождества на произведение
2x + 1 = 0
2x + 1
f(x) > 0
log f(x) g(x)
учитываем ОДЗ и ограничения
2
14 loga b = m · loga b
ограничения
слева корень, справа число или
слева корень, справа корень
0
Практические и полезные формулы
11 log a a = 1
f(x) = g(x)
Неравенство с одним модулем
2
a2 = |a|
выражение
1
преобразуем ур-е к одному основанию
6 loga b · log c d = logc b · log a d
для чётных k
нет решений
| f(x) | > g(x)
a =a
b
log a b − log a c = log a c
m
12
Уравнение с одним модулем
5
m
a
a
=
b
b
cos(x) = g(x)
Ответ:
| f(x) | < g(x)
4 loga b + log a c = log a bc
1
10
sin(x) = g(x)
4
a =a
приводим уравнение к стандартному виду
слева и справа числа в степени
log c b
log a b =
log c a
9
0
приводим уравнение к стандартному виду
1
log b a
13 loga b = m · logа b
a
4 записываем ответ
3
1
log a m b =
· log а b
m
n
для нечётных m
a
8 loga b =
2 loga bn = n · log a b
0
c
10 log a 1 = 0
преобразуем ур-е к показательному по определению
| f(x) | < | g(x) |
n
c
a =a
f(x)
не уд. ОДЗ
3
ak = n |a|
nk
7 a log b = b log a
=b
11
учитываем ОДЗ и ограничения
| f(x) | = g(x)
a
log a b
ab = a · b
уравнение
2
n
am =
a
Алгоритм ур-ий с логарифмом
Алгоритм иррациональных ур-ий
Алгоритм показательных ур-ий
9
слева логарифм, | f(x) | = | g(x) |
mn
nm
Практические и полезные формулы
приводим уравнение к стандартному виду
или пр
1
n
n
a
a
= n
b
b
n
5
справа число
1
n
6
am
1
2
ур-я с логарифмом
0
n
a =
4
1
−1
a =
a
12
1
n m
Практические и полезные формулы
m
m
n
= a
n
1
Определения и основные формулы
3
mn
Определения и основные формулы
n ∈ N, m ∈ N, k ∈ N, a ≥ 0, b ≥ 0
2
n
a
a
n =
b
b
(при m ∈ Z, n ∈ N)
3 a m + n = am · an
n
формулы корней
ур-я с логарифмом
показательные ур-я иррациональные ур-я
формулы логарифмов
matematikaj
p(x) − h(x)
p(x) − 1 · f(x) − g(x)
p(x) − 1 · f(x)
f(x)
p(x) − h(x) · f(x)
Оформление рационализации
с
0
x
1
xn
1
x
−
ъ
f(x) − g(x)
ак как
Т
f(x) − g(x)
и
ак как
— монотонная функция, то выражения
log p(x)f(x) − log p(x) g(x)
log p(x) f(x) − 1
p(x) − 1 · f(x) − g(x)
log p(x) f(x)
p(x) − 1 · f(x) − 1
и
По методу интервалов найдем нули множителей и нанесем на прямую
+
−
x
1,5
x
учетом ОДЗ:
1
Ответ:
ln x
1
x
n x n−1
log a x
1
x · ln a
1
2
x
sin x
cos x
x
1
2 x
cos x
− sin x
x
e
x
tg x
1
2
cos x
ax
ax · ln a
ctg x
−
имеют одинаковые знаки.
Применим метод интервалов и учтем ОДЗ
p(x) − 1 · f(x) − p(x)
производная
e
— монотонная функция, то выражения
огда по методу рационализации:
4
функция
имеют одинаковые знаки.
Т
С
7
производная
3 Об ясним применение метода рационализации
функции p(x), f(x), g(x), h(x) из ОДЗ для каждого выражения
6
функция
1 Запишем ОДЗ
2 Приведем к стандартному виду
Рационализация логарифмов
5
Производные основных функций
Реши неравенство:
Т
!
a, c — константы, f и g — функции от x
для решения иррациональных неравенств
1,5
1
2
sin x
Правила вычисления производных
1
a·f = a· f
2
f+g = f + g
3
f (g) = f (g) · g
f · g − f · g g2
4
f g
5
f·g = f ·g + f· g
=
точка максимума/минимума функции — находим х
наибольшее/наименьшее значение функции — находим у
памятки
matematikaj
экстремальные точки
производная
производная
производная
Геометрический смысл f
Угол наклона касательной
y
Экстремальные
y
sin
f >0
f
f
120 °
3π
4 135 °
Δy1
График функции
у2
x2
0
Δх 1
x
Δх 2
f =
f
Δf
x5
0
Δх
0
x5
−
f <0
y
x6
0
f2
−
0
x
точка min
x6
k>0
x
перегиб функции
y
f4
f
f3
x3
0
x
x4
0
f1 > f2
f3 < f4
α — угол в градусах или в радианах
1
2
1
2
2 1 + tg α =
2
2
5 cos α = 1 − sin α
2
cos α
6 tg α ⋅ ctg α = 1
3 1 + ctg α = sin2α
7 sin 2α = 2 sin α ⋅ cos α
8 cos 2α = cos α − sin α
2
2
2
cos 2α = 2 cos α − 1
2
1 + cos 2α
2
10 cos 2α = 1 − 2 sin α
tg 2α =
2 tg α
14 tg α =
2
sin (α − β) = sin α ⋅ cos β − cos α ⋅ sin β
3
cos (α + β) = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β
1 + cos 2α
2
1 − tg α
2
ctg α − 1
12 ctg 2α =
2ctg α
15 sin 2α = 1 − cos 2α
16
ctg α =
1 − cos 2α
ctg α ⋅ ctg β − 1
Спираль
−
π
из окружности видим,
6
что в промежуто
π
2
2
− 2π;
− 2π
π
2
π
−
11π
к
6
х1 = 0 +
6
используем спираль, если
промежуток больше одной
х 2 = − 2π +
=
π
m
P = n
P
n — все возможные
события
6
р
2
cos
sin
2
0
α−β
14π
= А
В
2
6 P (AB) = P (A) ⋅ Pа (B)
зависимые события
1
sin π −
cos
α
cos
α
2
3
несовместные события
= А +
В
π
=
3
3
π
=
sin 5π −
sin π −
В
В
= А
+
р(−А)
В
1
А
В1
π
−π <
3
6
π
−π −
половинный
угол
угол
−
оставляем ф-ию, меняем ф-ию как и была
на ко-функцию
переписываем ф -ию шага 2 с табличным углом
и ставим перед ним знак
начального угла у начальной функции
π
= +
π
= 3
sin
3
3
sin
2π
3
π
А
2
6
0
π
7π
1
3
3
6
2
2
3
π
2
2
4
2
2
π
3
1
3
2
2
1
0
π
2
ctg α
sin
sin
6
π
+ +
− −
4
3
π
ctg
− +
− +
cos
− +
+ −
cos
tg α
cos α
3
sin
sin
tg
sin (− α) = − sin (α)
α
1
1
cos
cos (− α) = cos (α)
cos
α
3
3
cos
Значения функций отрицательных углов
sin α
−α
3
tg (− α) = − tg (α)
−α
ctg (− α) = − ctg (α)
0
найди все корни из − π;
+ 2πk, k ∈ Z
π
+ 2 πk <
7
12
O
2
<
π
−
6
< 2π k <
6
+
2π
3π
показательные нер-ва
−
2
Подстановка
x
2
π
11π
π
−π
6
π
6
2
2
6
<k<
π
6
+ 2 πk <
π
π
2
−
π
6
x2 =
: 2π
3
1
6
π
x
1
6
приводим неравенство к стандартному виду
cos
x=
π
6
+ 2π ∙ 0 =
0
7
x1 =
1
12
6
преобразуем неравенство к одному основанию
смотрим на основание и объясняем
ние
основа
a > 1
ние
основа
0 < a < 1
возрастающая функция
убывающая функция
НЕ меняется знак неравенства
меняется знак неравенства
6
+ 2π ∙ (− 1) =
π
6
−
12π
6
=−
11π
6
<− π
π
6
+ 2π ∙ 0 =
π
6
k=1
x3 =
π
6
нер-ва с логарифмом
Алгоритм нер-в с логарифмом
0
π
k=0
приводим неравенство к стандартному виду
π
6
+ 2π ∙ 1 =
π
6
+
12π
6
=
13π
6
= 2
1
6
π
π>
2
иррациональные нер-ва
Алгоритм иррациональных нер-в
0
приводим неравенство к стандартному виду
слева корень, справа число и
слева и справа логарифм
ил
слева корень, справа корень
1
учитываем ОДЗ и ограничения
дз
2
3
учитываем ОДЗ и ограничения
2
возводим левую и правую часть
неравенства в квадрат
3
решаем неравенство
4
пересекаем неравенство с у етом О
смотрим на основание и объясняем
ние
основа
a > 1
ние
основа
0 < a < 1
НЕ меняется знак неравенства
меняется знак неравенства
возрастающая функция
убывающая функция
т. к у = og 3
р
1
дз
преобразуем нер-во к одному основанию
−
2
π
отбор корней уравнения
−
слева и справа числа в степени
В2
2
π
sin
π
так как k ∈ Z, то k = 0
2
p — возрастающая ф-ция
т. к у = 0,5 — убывающая ф-ция
3
убираем основание и решаем неравенство
В2
4
5
комбинированные события
+
−
0
−
3
P 12 = (P(A 1 ) ⋅ P(B 1 )) + (P(A 2 ) ⋅ P(B 2 ))
В1
− 90 °
π
−
2
−
−
tg α
cos α
k = −1
3
−
В
Независимые и несовместные события
1
− 60 °
1
l
2
− 45 °
3
2
0
2
А
sin α
− 30 °
0
6
π
НЕ половинный
1
1
А
3
π
=
−
Алгоритм показательных нер-в
8 P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
А
А
15π
2π
А
Знаки тригонометрических функций
Неравенство
табл.
sin π −
7 P(A + B) = P(A) + P(B)
cos
1
0°
π
x=
3
гранич.
-
0
1
2
tg
90 °
π
А
В
cos
отбор корней уравнения
смотрим на граничный угол
0
10
−1
60 °
3
= sin 4π + π −
β−α
P — вероятность; А , В — события
обратного события
В
2π
3
3
2
cos
— это ускорение
B
−
− 120 °
45 °
14π
= sin
3
2
теория вероятностей
Р(− А) — вероятность
А
− 135 °
2
1
2
sin
движение
(табл. + гранич.)
комбинированные события
р(А)
3π
4
2
−
равноускоренное
определяем формулу приведения
9 P 12 = (P(A 1 ) + P(B 1 )) ⋅ (P(A 2) + P(B 2 ))
р(− А)
−
30 °
Δх 3
0
2
радианы
2
2
Δх 2
и sin
3
sin
Несовместные и независимые события
Р — число от 0 до 1
независимые события
6
2
α+β
cos α − cos β = 2sin
P — полная вероятность
5 P (AB) = P (A) ⋅ P (B)
11π
α+β
α+β
совместные события
6
= −
2
Независимые и зависимые события
π
cos
Несовместные и совместные события
m — благоприятные
события;
0 < P <1
α−β
2
π
10 ctg α − tg β = sin α ⋅ cos β
P — вероятность; А , В — события
4 P(− А) = 1 − Р(А)
попадет π
Δх 1
cos (α + β)
6
2
две точки
0
окружности
π
=
2
sin
cos (α − β)
2 sin α ⋅ sin β = cos (α − β) − cos (α + β)
2 P =1
cos
α−β
9 tg α − ctg β = cos α ⋅ sin β
11 2 sin α ⋅ cos β = sin (α + β) + sin (α − β)
1
α+β
8 ctg α − ctg β = sin α ⋅ sin β
9 2 cos α ⋅ cos β = cos (α + β) + cos (α − β)
Свойства вероятностей
в промежуто
6
3π
−
6
a t
1
−
2
0°
градусы
— это скорость
B
Алгоритм формул приведения
sin (β − α)
Формулы умножения функ>ций
ctg
формулы приведения
7 ctg α + ctg β = sin α ⋅ sin β
по спирали видим, что
π
−π
попадет π
Δх
S = x(t) = x 0 + V ⋅ t +
A
Формулы суммы функций
ctg α ⋅ ctg β + 1
3
π
−
к
2
одна точка
х=0+
2
Δх
2
2
производная скорости f = k = tgα
sin (α + β)
ctg α + ctg β
π
Тригонометрические значения в таблице
x = V + at
6 tg α − tg β = cos α ⋅ cos β
π
O
Δх
f
sin (α − β)
Основная формула вероятностей
−π
f <0
5 tg α + tg β = cos α ⋅ cos β
8 ctg (α − β) = ctg α − ctg β
10
1 + cos 2α
2
π
4
sin (α + β)
Окружность
− π;
Δх
A
формулы тригонометрии
4
теория вероятностей
0
равномерное
x =V
y
f
3 cos α + cos β = 2cos
отбор корней уравнения
2
S = x(t) = x0 + V ⋅ t
2
3
−
−
движение
отвечает за угол наклона функции
2 sin α − sin β = 2sin
6 tg (α − β) = 1 + tg α ⋅ tg β
7 ctg (α + β) =
2
1 − cos 2α
2
sin (α + β) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β
tg α − tg β
2
11
k<0
1 sin α + sin β = 2sin
5 tg (α + β) = 1 − tg α ⋅ tg β
Формулы понижения степени
13 cos α =
Формулы суммы углов
tg α + tg β
Формулы двойного угла
9
α, β — углы в градусах или в радианах
4 cos (α − β) = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β
1
2
2
4 sin α = 1 − cos α
sin α + cos α = 1
x
формулы тригонометрии
1
Основные соотношения
2
2
+
x7
0
sin
tg
α
30 ° 6
1
2
− 150 °
−
α, β — углы в градусах или в радианах
формулы тригонометрии
2
x
3
5π
6
−
V =a
f
+
− 1 80 °
−π
производная расстояния
y
f >0
точка перегиба
f3 убывает сильнее, чем f 4
f 1 возрастает сильнее, чем f2
x7
0
tgα < 0
касательной
f
y
tgα > 0
коэффициент k отвечает за угол наклона
f
+
y
f1
α > 90°
min
f
min
f
α < 90°
−
1 80 ° − 1
Физический смысл f
за наклон функции
y
y
x
ного направления оси Ох против часовой стрелки
1 общую точку с графиком функции
x
x2
π
Угол наклона касательной считается от положитель-
угол α между прямой и осью Ох отвечает
отвечает за угол наклона функции
f
x
Касательная — это прямая, которая имеет
0
x
точка max
x0
f
минимум функции
Δx
f >0
0
+
x1
0
α
max
f
производная — это отношение приращения функции
к приращению аргумента, при условии, что Δх
0
1
y
max
sin
2
максимум функции
y
x1
График производной
2
π
45 ° 4
2
2
5π
6 150 °
1
ctg α
sin
3
60 °
3
tg α
cos α
π
2
90 °
1
Значения тригонометрических функций
sin α
π
2π
3
f <0
y = kx + b
значения — это координаты по оси Оу ординат
у=f х
Δy
Тригонометрические значения на круге
y
y = f(x)
точки — это координаты по оси Ох абсцисс
у1
тригонометрическая
свойства тригономет-
окружность
рических ф-ий
убираем основание и решаем неравенство
ч
ДЗ
пересекаем нер-во с у етом О
1
Ответ:
Ответ:
,5
,5
ч
,5
−0
x
4
Ответ:
ДЗ
1
,5
x
памятки
matemati aj
k
формулы движения
Движение по реке
11 Vпр = V1 − Vтеч
S — расстояние; V — скорость; t — время
движение против течения
Основные формулы движения
V = S
t
1
5
перевод [мин] в [с]
V1
A
движение в противоположных
направлениях
км
× 1000
= м
ч
мин
60
перевод [км/ч] в [м/мин]
Средняя скорость
S
t2 = —2
V2
V2
S1
V3
S2
Медиана треугольника
14 определение
АМ = МВ
СM — медиана
15 S AСM = S МСВ
C
21
Биссектриса треугольника
16
22
определение
АСN = NСВ АBK = KBC
СN, BK — биссектрисы
K
АС
В
17 АСN = 2
18 точка О — центр А
С
О
Высота треугольника
А
20 в остроугольном
Н
А
Н
a
произвольный четырехугольник
27 Р = 2 (а + b)
параллелограмм
28 Р = 4 а
квадрат
b
с
b
a
р/б трапеция
с
по радиусу вписанной ◯
В
a
b
с
четырехугольники
32 S = a h a , S = b h b
ha
параллелограмм через высоту
a
hb
a
a
34 S = a b
прямоугольник
35 S = a
квадрат
a
36 S = 2
1
d 1 d 2 a
ромб
а
c
a
а
m
четырехугольник
1
P
b
α
d1
А 1 = Р1
P
P
Р2
если работу выполняют несколько участников,
то совместная производительность равна
сумме производительностей каждого.
d1
d2
0
+
=
%
В
13 СН = АН ⋅ НВ
A
14 СМ = АМ = ВМ
∆ АВС — р/с
R
O
С
A
16 sin A = BC
AB
17 cos A = AC
AB
a
r
19 ctg A = AC
BC
точка О — центр вписанной
и описанной окружностей
1
2
4
2= 5,
1= 6
2= 7,
3= 6,
5= 4
1= 8
накрест-лежащие углы
C
определение
10
O
вер ина — центр окружности
АOB — центральный угол
A
B
вер ина лежит на окружности
АСB — вписанный угол
C
AB = АOB
O
центральный угол равен дуге, на которую опирается
A
B
8
7
А
В А1
AM = MС ; BN = NC
MN — средняя линия
11 MN || AВ
12 MN = 2
1
AВ
В1
С
С1
А
В А1
A
3
2 + 6 = 180°
3 + 7 = 180°
4
D
C
АСB = 90°
E
O
C
углы при боковой стороне
C
А + В = 180°
C + D = 180°
16 BH = CK
A
12
A
АВ = ВС = CD = AD + пар-м
ABCD — ромб
11 выполняются все свойства
параллелограмма
A
12 АEB = 90°
13
21
22
E
C
АВЕ = СВЕ = ADE = CDE
BAЕ = DCЕ = DAE = BCE
притом только одну
K
P
CОA
АC
MCA =
2
= 2
O
▲ OAK = ▲ OBK
K
O
попарно равны (по сторонам)
AN = AK , BN = B , CK = C
= 2 (AN + B + CK)
B
P
P
P
A
C
K
определение
описанная ● проходит
через все вер ины фигуры
B
A
C
K
H
D
BR
В
Площади через радиусы окружности
B
по радиусу вписанной ●
26 S = a4bR
c
O
С
СВ
= АВ
= АС
= 2R
sinA sinC sinB
А
25 S = pr , где p = 2
P
a
b
с
по радиусу описанной ●
C
▲
можно описать ●,
притом только одну
E
O
P
В= C
А + С = 180° ,
B + D = 180°
24
O
A
22 около любого
L
Площадь круга и длина окружности
A
27 S = R 2
π
C
F
B
ш
▲ BNO = ▲ BPO
ш
B
A
N
▲ CKO = ▲ CPO
21
D
19 отрезки от вер ин до точек касания
A
отрезки
углы
BАE = CAE
ABF = CBF
ACL = BCL
A
KA = KB
A
вписанной окружности
18 центр
лежит на пересечении биссектрис
M
D ,
Теорема синусов
P
Описанная окружность
O
Cвойства вписанных ● в ▲
С
А=
углы при основании
окружности
B
20 ▲ ANO = ▲ AKO
C
B
АВ + CD = BC + AD = 2
N
C
A
четырехугольник можно
17 ввписать
окружность, если ◯
A
OCM = 90°
С — точка касания
OKA = OKB
AOK = BOK
O
●
D
противолежащие углы
Cвойства вписанных ● в ▲
Признак вписанной окружности
определение
AK — касательная
прямая, у которой 1 общая точка
с окружностью
вписанная ● касается
всех сторон фигуры
N
боковые стороны
23 AH = KD
24 AC = BD
D
окружности
B
С
Равнобедренная трапеция
20 AB = CD
B
диагонали
определение
D
В
AM = MB , CN = ND
MN — средняя линия
М
18 MN || BC || AD
19 MN = 2
1
(BC + AD) А
диагонали перпендикулярны
А + В + С + D = 360°
K
17 определение
D
10 определение
внутренние углы
C
Средняя линия трапеции
Свойства ромба
В
▲
O
14 для двух касательных из одной точки
B
В
высоты
Е
9 ВЕ = ЕD , АЕ = ЕС
С
16 в любой можно вписать ,
B
угол между касательной и хордой в точку касания
равен половине дуги между хордой и касательной
B
O
угол, опирающийся на диаметр, прямой
C
Свойства касательных
13
вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны
A
11
СВ — хорда
отрезок, концы которого
лежат на окружности
А
B
BC || AD , ВС = AD
ABCD — трапеция
15 А + В = 180°
C + D = 180°
A Н
точка пересечения диагоналей
Вписанная окружность
определение
определение
N
М
14 определение
B
противолежащие углы равны
противолежащие стороны равны
односторонние углы
D
С
CK — секущая
прямая, пересекающая окружность
С
13 △ СMN ~ △ САВ
В1
определение
8 АB = CD , BC = AD
А
угол между касательной и радиусом,
проведенным в точку касания
Свойства углов окружности
вписанный угол равен половине дуги, на которую
опирается, и половине центрального угла
10 определение
С1
AB || CD , BC || AD
АВСD — параллелограмм
6 А= С , В= D
B
Секущая, хорда, касательная
AB — дуга окружности
В
АСB = АО
2
Средняя линия треугольника
углы при одной стороне
15
7
5
3
1
АDB = АCB = АEB
С
по трем сторонам
a || b
c — секущая
9
6
В1
Свойства трапеции
окружности
AB + ВС + AС = 360°
А = A1
B = B1
АB = A 1 B 1
В А1
Свойства параллелограмма
окружности
определение
А
В1
В А1
А
Углы при параллельных прямых
с
8
7
b
5
6
окружности
2
по отно ению сторон
диагонали ромба — биссектрисы углов
определение
С1
ш
АС = A 1 С 1
АB = A 1 B 1
Углы четырехугольников
BC
18 tg A = AC
В
H
С1
С
k
четырехугольники
соответственные углы
Тригонометрия в геометрии тригонометрия
С
9 СВ
= АВ
= АС
=
С 1 В 1 А 1 В 1 А 1 С1
В1
В А1
А
четырехугольники
1
2
М
медиана из прямого угла
AB = BC = AC r = a 6
3
и R = a 3
3
А
2
a
3
8 S = 4
Н
15 ∆ AMC и ∆ СМВ р/б
ш
С1
четырехугольники
a
С
высота из прямого угла
5 определение
С
С
k
по отно ению двух сторон
и одному равному углу м/у ними
ш
В1
В А1
через концентрацию
B
2
С1
А
А 1 В 1 А 1 С1
А = A1
D
E
вне ние углы
6 ВС = В 1 С 1
6 c 1 m 1 + c2m2 = c 3 m1 + m2
11 S = 2
1
AC ⋅ BC H
=
ш
B
катет, лежащий против угла 30°
А
CBD = ABE = А + С
по двум углам
и стороне м/у ними
сумма масс в растворе при сме ивании
10 AB 2 = BC 2 + AC 2
12 a = 2
1
AB при A = 30°
5
акон сохранения масс
5 m3 = m 1 + m 2
n раз
ш
по двум сторонам
и углу м/у ними
М
Прямоугольный треугольник
С
6 А= В= С
7 h = a 2
3
= R + r = 3r , c < 100%
+
теорема Пифагора
А
<
%
М
З
вне ний и внутренний углы
4 АC = A 1 C 1
m o — асса основного вещества
m — асса всего раствора
%
CBD + ABC = 180°
АB = A 1 B 1
А = A1
С
А = A1
B = B1
8 АВ
= АС
=
В
Признаки равенства треугольников
·
%
внутренние углы
определение
Концентрация — это процентное
содержание вещества в растворе
4 с = mm 100
виды треугольников
определение
m
асса всего
раствора
С
А + В + С = 180°
3
·k
S n — число S, увеличенное на р
Р1
Равносторонний треугольник
9
−
·
= 1+ 2
вода
o
Формула сложного %
n
р
6 Sn = S 1 + 100
3 ∆ AСH = ∆ ВСН 5
a
d2
·
1
ш
вещества
М
1
2
поро ок
М
7
по двум углам
асса — это количество
вещества
увеличение для кредитов
тогда производительность — это часть работы за
единицу времени, и это число в промежутке от 0 до 1.
AС = BC ∆ АВС — р/б
2 А= В
3 AH = HВ 4 АСH = HСВ
4
37 S = 2
1
(а + b) h , S = m h m
h
трапеция
m — средняя линия
b
38 S = 2
1
d 1 d 2 sinα < P<
=
·
5 S2 = S 1 + r = S
А
если всю работу сложно измерить в обычных
величинах, то обозначаем ее за 1.
ш
а
b
4 A=1
3
p
S2 = S 1 +
100
S2 — это число S, увеличенное на p
Равнобедреннный треугольник
3
α
b
2
ш
4
определение
раствор или сплав — это
смесь двух веществ
М
S 1 — это число S, умень енное на p
а
mo
асса основного
2 определение
p
100
·
ь
ш
b
b
часть
работы
Углы и дуги в окружности
Формулы площадей
параллелограмм через угол
d
31 Р = 2 (а + m)
а
b
26 S = pr В
33 S = a b sinα
ромб
трапеция
Формулы площадей треугольника
23 S = 2
1
a h h
по высоте и основанию
a
24 S = 2
1
a b sinα a α
по двум сторонам и углу между ними
b
d
29 Р = 4 а
30 Р = a + b + c + d
В
по радиусу описанной ◯
Формулы периметров
25 Р = a + b + c + d
R
СВ
= АВ
= АС
= 2R
sinA sinC sinB
А
27 S = a4bR
c
четырехугольники
прямоугольник
a
α
= Аt
r=
Формулы простого %
p
S
=
S
1
−
3 1
100
вся работа
виды треугольников
С
где p = P
= a + b + c
2
2
С
треугольнике высота внутри
треугольника
в тупоугольном
треугольнике высота вне
треугольника
26 Р = 2 (а + b)
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cosα
25 S = p (p − a) (p − b) (p − c) ,
С
определение
СНВ = 90°
СН — высота
В
N
вписанной окружности
19
b
P
Один процент от числа —
это сотая часть числа
десятичная запись процента р
— производительност
А — работ
t — время
P
1
определение
2
Свойства производительности
6
V2
Теорема синусов
B
M
B
V1 > V2
c
А
3
B
формулы треугольников
Теорема косинусов
работа
определение
Производительность — это
скорость выполнения работы
5 0
V1 > V2
В диаметрально
противоположных точках значит, что между автомобилями
половина длины окружности
всё время
формулы треугольников
2
движение в одном направлении
B
A
t время
S
t время
V2
движение по кругу
в одном направлении
1
производительность
P
путь
B
V1 > V2
15 Vотн = V1 − V2
10 Vср = —St—оо , где Sо = S 1 + S 2 + S 3 ; t о= t 1 + t 2 + t 3
весь путь
Углы треугольника
16 Vотн = V1 − V2
S
t3 = —3
V3
S3
V1
A
A
S
t 1 = —1
V1
Растворы и сплавы
B
V2
14 Vуд = V1 + V2
перевод [м/с] в [км/ч]
перевод [ч] в [мин]
Проценты
V2
A
м
× 3600
= км
с
ч
1000
6 ч × 60 = мин
Движение и работа
движение навстречу друг другу
перевод [км/ч] в [м/с]
8
формулы треугольников
Производительность
V1
13 Vсб = V1 + V2
растворы и сплавы
B
Vтеч
Относительная скорость
проценты
1 V скорость
V1
A
1000
= м
7 км
ч × 3600
с
мин × 60 = с
A
движение по течению
Перевод единиц измерения
перевод [км] в [м]
Vтеч
12 Vпо = V1 + Vтеч
3 t = V
S
2 S=V⋅t
4 км × 1000 = м
V1
совместная работа
Признаки подобия треугольников
N
площадь круга
четырехугольника можно
23 вокруг
описать окружность, если◯
P
360
А + С = B + D = 2
= 180°
A
°
O
K
C
28 = 2 R
Признак описанной окружности
l
R
π
длина окружности
B
C
29 S = 360
α
α
lα
R
= 360 2 R
α
длина сектора
D
π
2
площадь сектора
30
O
°
°
π
R
α
памятки
matematikaj
параллелепипеды
параллелепипеды
Параллелепипед
Виды параллелепипедов
1
B1
определение
С1
АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 — параллелепипед
6-гранник, противолежащие грани
которого попарно параллельны
B
D
A
8
B1
3 ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1
С1
D1
A1
AА 1 D 1 D = BB 1 C 1 C
противолежащие грани равны
B
4 BC = AD
соотвественные ребра равны
C
B1
5 A 1H = C 1K
все высоты равны
6 АЕ = ЕС 1
B
А 1 Е = ЕС
A
бок. грани — прямоугольники
A
H
K
D
O1
A1
определение
прямоугольника вокруг стороны
OO 1 — ось цилиндра
A
1
2
2
АА 1 = ОО 1 = СС 1 = h
3 V = πR 2 h
α
4 V = 360°
πR 2 h
O
O1
h
A
Шар
O
O1
α
h
3
4
V=
R
h
h
h
R
площадь боковой поверхности
комбинации тел
Шар + конус
комбинации тел
10 шар описан около конуса
16 цилиндр описан около призмы, если она
в любом случае
прямая и около основания можно описать
окружность
11 центр О шара всегда лежит
2
на высоте ОО 1 или ее продолжении
O1
17 h ц = h
п
N1
M1
A
С
M
y=−
P
Конус + пирамида
в любом случае
13 центр О шара всегда лежит
2
к
O
M
С
Цилиндр + призма
O1
п
N
O
M
P
O
A
С
O
A
K
M
С
N
M
K
P
K
A
K
O
A
M
k>0
f
С
N
С
O
M
N
A
D>0
3
k<0
f
O
O
r
A
решение ур-й k 1 x + b 1 = k 2 x + b 2 — пересечение прямых
−b
y=
a
x+b
4 y=k x
+с
уравнение ф-ии корня
a = − 2 < 0
b = 0
c=0
y=− x
y=
3
1
x+2
I
а<0
решение ур-я ax + bx + c = 0 — пересечение с ОХ
2
E
K
а1
P
D
4 2R = а
K
a
P
O
A
P
A
С1
C
x+b
8 2R = h
M
B
D
A1
С1
A1
С1
A
С
A
С
R
C
N
A
N
a
K
P
y
y= x
k=1
y=2 x
k=2>0
y = − 0,5 x
k = − 0,5 < 0
y = 3х
а=3>1
y = 0,5 х
а = 0,5 < 1
свойства функций
свойства функций
5 y = ах
График логарифмической функции
График логарифмической функции
9 y = log a (x + b)
8 y = log a x
уравнение логарифмической ф-ии
уравнение логарифмической ф-ии
y
а>1
x
0
x
f
0<a<1
Cвойства функции
коэффициент k отвечает за возраст./убывание
а=4>1
y=2
х−2
х
y=2 +1
!
2
функ ия всегда проходит через точку (0; 0)
b=1
x
2
y = log 0,5 x
а = 0,5 < 1
!
коэффициент b отвечает за вертик. асимптоту
с противоположным знаком
уравнение логарифмической ф-ии
а отвечает за возрастание/убывание и наклон
b=−2
а>1
f
0<a<1
f
x
коэффициент с отвечает за горизонт. асимптоту
0
Cвойства функции
область определения (все х) — ( 0 ; + ∞) ∞
множество значений (все у) — ( − ∞ ; + ∞) ∞
y
2
1
с=1
коэффициент b отвечает за пересечение с у = 1
с тем же знаком
y = log 2 (x + 1)
10 y = log a x + с
1
0
b=−2
x
Cвойства функции
−1
y = log 2 (x − 2)
0
f
y
дз
0
−1
уравнение показательной ф-ии
уравнение показательной ф-ии
множество значений (все у) — [ 0 ; + ∞) ∞ (для k > 0)
y = log 4 x
7 y = ах + с
6 y = а х+b
f
область определения (все х) — [ 0 ; + ∞) ∞
y
множество значений (все у) — ( 0 ; + ∞) ∞
и растяжение/сжатие вдоль ОУ
ц
С
2r
когда высота цилиндра = 2R шара
M
K
с противоположным знаком
a
+ c = 0 — пересечение с ОХ
A
С
A
С
График показательной функции
II, IV
коэффициент c отвечает за горизонт. асимптоту
A
свойства функций
уравнение показательной ф-ии
k<0
B1
D1
K
B
С1
9 R ш = R ц= R
A1
D
A1
С1
если он — куб
а отвечает за возрастание/убывание и наклон
f
C
D
P
C
0
k>0
A1
С1
7 шар вписан в цилиндр,
S
S
в любом случае
6 2R = d
(2R) 2 = h 2+ (2r) 2
α
F
H
β
5 шар описан около цилиндра
3 шар вписан в параллелепипед,
(ABC) = SPK
E
Шар + цилиндр
плоскостями
S PK
D
P
h
B
S
O
D
D
=
β
O
A
D
D1
b1
4
область определения (все х) — ( − ∞ ; + ∞) ∞
коэффициент b отвечает за вертик. асимптоту
решение ур-я
(SAD)
(ABC) = SA AO = SAO
C
А
0
IV
I, III
y
x
коэффициент a отвечает за четверти графика
а>0
SA
α
a = 1 > 0
b = 2
c=3
+3
с тем же знаком
2a
E
С
A1
A
α
A
С1
E
C
A1
3
1
S а
B
С
H
График корня
III
коэффициенты b и a отвечают за вершину
В
D
4
а 1 — проекция а наα
Н
А
Свойства гиперболы
x
ветви
B
K
2
3
F
B
P
комбинации тел
2 2R = d = B 1D
B1
C
O
F
когда он прямоугольный
а
2
4 м/у прямой и плоскостью 5 между
АН — взаимный перпендикуляр
H
1= 3
Углы к плоскостям
плоскостями
B
1 шар описан около параллелепипеда,
b1
b
АН — высота
свойства функций
II
!
N
b1 =
b
А
α
b=a
а
1
C
H
5 между
А
свойства функций
y
коэффициент a отвечает за направление ветвей
H
a
B
D
АН — высота пирамиды
A
R
C
b || b 1
3
b
A
AH — перпендикуляр
C
2
коэффициент с отвечает за пересечение с ОУ
хв =
1=
а
АН — высота
4 от точки до плоскости
с противоположным знаком
решение ур-я kx + b = 0 — пересечение с ОХ
b=
Н
Расстояние в пространстве
M
уравнение ф-ии обр. пропорциональности
2
а<0
b
A
Шар + параллелепипед
наименьший угол (острый)
А
а
в центр пересечения
диагоналей
SO — высота
комбинации тел
определение
a
A
10 высота пирамиды падает
S
C
B
EP = PD
D
D
S
на середину ребра оси
C
боковые ребра равны
2 м/у пересекающимися 3 м/у скрещивающимися
прямыми
Правильная 6-угольная пирамида
9 апофема пирамиды падает
A
E
1
B
B
A
a
правильная пирамида
S
В
p
а — сторона основания
р — апофема
SA = SB = SC = SD
D
F
n — число бок. граней
S
SABC — правильная пирамида
основание — правильная фигура
C
1
2
n a p
S бок =
D
A
высота попадает
в центр основания
O
C
B
A
Углы между прямыми
S
B
−2
ветви
B
S
− x + 2x + 3 = 0
а>0
E
АН — взаимный перпендикуляр
А
▲ MNK ~ ▲ ABC
0
х − 2 = − 0,5 x + 3
F
A
3
2
3 между
Н
9 высотное сечение SBD
10 сечение основанию
С
a = − 1 < 0
b = 2
c=3
2
y = − x + 2x + 3
2
3a
=
А
С
A
D
8 S п = S осн + S бок
определение
D
7 S п = S осн + S бок
произвольная пирамида
углы
AH — перпендикуляр
N
B
C
расстояние — кратчайший отрезок
а
K
M
C
B
определение
С1
Сечения пирамиды
− 0,5 x + 3 = 0
K
N
O
x
D<0
8
коэффициент b отвечает за пересечение с ОУ
O1
hк= hп
b=3
−2
A1
A
O1
a = 2 > 0
b = 1
c=8
y = 2x + x + 8
3
4
2 от точки до прямой
B1
E1
4
а
3
2
2
D1
B
АН — высота
С
r<R
y
k = − 0,5 < 0
коэффициент k отвечает за угол наклона
если высота и ось совпадают
и около основания можно описать окружность
21
п
P1
y=
х−2=0
−2
20 конус описан около пирамиды,
и в основание можно вписать окружность
K1
b=−2
1
D1
B
O
a
S осн = 6S▲ = 6
С
SA = h
C1
F1
A
правильных треугольников
C
С1
A1
A
АВСDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 —
правильная 6-угольная призма
в основании правильный 6-угольник
Расстояние в плоскости
B1
A1
определение
7 диагональное сечение BВ 1D 1D
8 сечение основанию
С1
уравнение квадратичной ф-ии
0
K
N
14 цилиндр вписан в призму, если она прямая
O1
+3
A1
6 сечение центральному
R
x
O2
N1
0,5 x
3
если ее высота — ось конуса
и в основание можно вписать окружность
O1
19 h = h
M1
y=x−2
18 конус вписан в пирамиду, на высоте ОО 1
15 h ц = h
k = 1 > 0
y = − 0,5 x + 3
P
O1
2 y = ax 2 + bx + c
y = kx + b
O
K
O
M
12 шар вписан в конус
N
R
Свойства квадратичной функции
K
B
B1
10 6-угольник делится на 6
C
▲ MNK = ▲ ABC
5 центральное сечение
Свойства линейной функции
y
N
площадь центрального сечения
C1
B
A
Сечения шара
свойства функций
P1
O2
5 S = πR 2
R
уравнение линейной ф-ии
K1
4 сечение основанию
9
расстояния
/
4 S п = 4πR 2
l
C
Сечения параллелепипеда (призмы)
∆ AО 1 С — р б
R
Шестиугольная призма
A1
боковые грани —
равные прямоугольники
осевое сечение
свойства функций
1
O1
−
3 осевое сечение
Площадь поверхности
R
+
Сечения конуса
C
4
3 V = 3
πR 3
R
α
l
−
2 сечение основанию
O
B
АО = BO = OC = R
3
площадь боковой поверхности
A
в пространстве, которые равноудаленны от центра
2
α
1
πR 2 h
360°
3
C1
Площадь поверхности
S
2 боковые грани —
прямоугольные треугольники
прямая призма
B1
AA 1 С 1 С — прямоугольник
Объем шара
5 S п = πR (R + l)
6 S бок = πR l
h
1
C
Площадь поверхности
R
6 S бок = 2πRh
полукруга вокруг диаметра
O
A
1
V = πR h
O
B
2 шар — множество точек
ОО 1 = h
A1
определение
сечения
Сечения цилиндра
A
определение
шар — фигура вращения
С
Объем конуса
R
=
+
достроить
1
АО 1 = О 1 С = l
O
R
5 S п = 2πR (R + h)
A
15 S o = Sд − Sл + S п
C
A
O1
но всегда больше высоты
AО 1 — образующая
Площадь поверхности
С
b
A
h
правильная пирамида
A
определение
h
P — периметр основания
6 V = 3
S осн h
S
SABCD — прямая пирамида
ребро перпендикулярно основанию
8 S п = 2S осн + h P
B
АВСA 1 B 1 C 1 — правильная призма
основание — правильная фигура
3
C1
A
4
=
A1
боковые грани —
прямоугольники
Свойства площадей
14 S o = S 1 + S 2 − 2S p
произвольная призма
1
С
Виды пирамид
h
произвольная пирамида
A
треугольники
ASC — треугольник
7 S п = 2S осн + S бок
1
5 V = 3
Sосн h
B
2 боковые грани пирамиды —
Площадь поверхности
Объем пирамиды
S
определение
SABC — пирамида
многогранник, который
имеет основание и вершину
S — вершина
АВС — основание
с
прямая призма
С
АА 1 = ВВ 1 = СС 1 = h
c
a
D
С1
A
определение
h
6 V = Sосн h = Sосн c
B1
шары
объем части конуса
O
A
С
A
АВСA 1 B 1 C 1 — прямая призма
боковое ребро — высота
b
сумма площадей всех граней
a
2 образующие равны м/у собой,
объем части цилиндра
A
13 S п = 2 (ab + bc + ac)
D1
d
определение
С
A
Объем цилиндра
O1
A1
D
2
конус — фигура вращения
прямоугольного треугольника
вокруг катета
OO 1 — ось конуса
O 1 — вершина
и параллельны
AA 1 — образующая
С
C
С
3
−
Площадь поверхности прямоуг. пар-да
D
конусы
Конус
С1
A1
2 ось и образующая равны
O
D1
B
=
достроить
1
произвольная призма
B
Виды призм
12 Vo = V1 − V2
параллелепипеда
9 d =a +b +c
2
цилиндр — фигура вращения
A
D
c
Цилиндр
O1
A
+
=
разрезать
параллелограммы
АA 1 C 1 C — параллелограмм
5 V = Sосн h
С1
A1
2 боковые грани призмы —
11 Vo = V1 + V2
С1
В
c
разрезать
Е
цилиндры
1
A1
Диагонали
C
диагонали точкой
пересечения делятся пополам
АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 —
прямой параллелепипед
основание — параллелограмм
A
D1
D1
B1
С1
A1
D
определение
АВСD — параллелограмм
АА 1 D 1 D — прямоугольник
D
A
С A1
A1
определение
пирамиды
Пирамида
Объем призмы
B1
АВСA 1 B 1 C 1 — призма
фигура с параллельными и равными
многоугольниками в основаниях
Свойства объемов
D
A
Свойства параллелепипедов
C
1
b
a
A
D
10 V = a b c
D1
B
прямоугольники
параллелограммы
С1
B1
В
призмы
Объем прямоугольного пар-да
A1
все грани — C
B
определение
АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 —
прямоуг. параллелепипед
C
A
2 грани параллелепипеда —
7
D1
A1
параллелепипеды
пирамиды
призмы
1
y = log 2 x + 2
с=2
y = log 2 x + 1
с=1
x
дз
коэффициент с отвечает за пересечение с х = 1
с тем же знаком
