Формулы сокращенного умножения: Деление с остатком: a c ad cb b d b d Квадрат суммы (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Квадрат разности (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Разность квадратов a2 – b2 = (a + b)(a – b) Куб суммы (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Куб разности (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 Сумма кубов a3 + b3 = (a + b)( a2 - ab + b2) Разность кубов a3 – b3 = (a – b)( a2 + ab + b2) Формула деления с остатком: n= mk + r, где n – делимое, m делитель, k - частное, r – остаток: 0 r < m Вычитание a c ad cb b d bd Умножение Делимость натуральных чисел: арифметической прогрессией: an+1 = an + d, где d – разность прогрессии. Sn Пусть n : m = k, где n, m, k – натуральные числа. Тогда m – делитель числа n, а n – кратно числу m. Число n называется простым, если его делителями являются только единица и само число n. Множество простых чисел: {2; 3; 5; 7; 11; 13; . . .; 41; 43; 47 и т.д.} Числа n и m называются взаимно простыми, если у них нет общихделителей, кроме единицы. an = ak + d(n – k) an + am = ak + al, если n+m=k+l a1 an n 2 Sn 2a1 d (n 1) n 2 Десятичные числа: Геометрическая прогрессия Определение: Последовательность, у которой задан первый член b1 0, а каждый следующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q 0, называется геометрической прогрессией: bn+1 = bn q, где q – знаменатель прогрессии. bn = b1 qn – 1 bn2 = bn-1 bn+1 bn = bk qn – k bn bm = bk bl, если n + m = k +l Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия b (1 q n ) Sn 1 1 q b S 1 1 q Степень Определение a n a a a... a , если n – натуральное число a – основание степени, n - показатель степени n a1 a a m m a n a0 1 1 a n n a Формулы n a a an m a a b a b nm n n n n an a b b a Арифметический квадратный корень Определение a n m m n Стандартный вид: 317,3 = 3,173 102 ; 0,00003173 = 3,173 10-5 Форма записи: 3173 = 3 1000 + 1 100 + 7 10 + 3 a a a a a b a b a b 2 b k b k b abиbcac abacbc a b и с 0 ac bc abисd acbd a b и с 0 ac bc не имеет корней x имеет один корень x1 имеет два корня x1; x2 x2 + px + q = 0 Логарифм Определение Логарифмом числа по b основанию a называется такое число, loga b обозначаемое . a , что a b a - основание логарифма (a > 0, a 1), b - логарифмическое число ( b > 0) lg b log10 b f ( x) f ( x) f ( x) 0 Замена : y f ( x ) y ay ln b loge b где e = 2,71828 Правило: ab, cde( fg ) abcdefg abcde 99000 1%A = 0,01A Основные типы задач на проценты: Сколько процентов составляет число A от числа B? S v t b log a log a b log a c c log a b n n log a b t1 S S v1 1,25 v Ответ: S v t1 S 1 S 0,8 1,25 v S 80 %t 1 log a b log b a f x dx F b F a a Первообразная элементарных функций № f(x) F(x) № f(x) F(x) k kx C xn x n1 C n 1 1 ln x C x sin x cos x C S 6 1 cos 2 x 7 1 2 sin x 8 ex tgx C ctgx C ex C Первообразная k F x F1 x F2 x 1 F ax b a Правила вычисления производной функции (C )' 0 u u v u v v2 C u C u v Сложная функция: № Функ ция Произво дная 1 xn nx n 1 sin x cos x 2 y f x y f' x' 3 4 1 S S 80 %t v1 1,25 v 1,25 v v Ответ: уменьшится на 20% Среднее арифметическое: a1 a2 a3 ... an n log c a Среднее геометрическое: k a1 a2 ... ak Уравнение движения 1 tgx cos2 x ctgx 5 Функ ция Произво дная 6 ex ex 7 ax a x ln a 8 1 sin2 x 9 1 x ln x loga x 1 x ln a Равносильные уравнения: Исходное уравнение Равносильное уравнение (система) f ( x) g ( x) f ( x) C g ( x) C f ( x) g ( x) 0 f ( x) 0 g ( x) 0 f ( x) 0 g ( x) f ( x) 0 g ( x) 0 f 2 ( x) g 2 ( x) 0 f ( x) 0 g ( x) 0 v 0,8 № cos x sin x Числовые множества: уменьшится на 20% Среднее арифметическое, геометрическое Дроби Сложение A x 100% B B 100% A x% Сложные проценты. Число A увеличилось на 20%, а затем полученное число уменьшили на 25%. Как, в итоге, изменилось исходное число? 1) A1 = (100% + 20%)A = 120%A = 1,2A 2) A2 = (100% - 25%)A1=75%A1 = 0,75A1 = 0,751,2A = 0,9A = 90%A 3) A1 – A = 90%A – 100%A = -10%A Ответ: уменьшилось на 10%. Изменение величины. Как изменится время, если скорость движения увеличится на 25%? log a b c log a b log a c log c b 1 log a m b log a b log a b log c a m Определенный интеграл k Проценты Определение: Процентом называется сотая часть от числа. log a 1 0 log a a 1 b 2 Периодическая дробь t v – скорость, a - ускорение. Производные элементарных функций Теорема Виета Приведенное квадратное уравнение: x1 + x2 = - p x1 x2 = q x1+x2 = -b/a x1 x2 = c/a at vt , ……7 5 ……0 b c ) f ( x ) k ( k 0) x Признаки делимости чисел: D = b2 – 4ac u v u v u v 2. f ( x) f ( x) f ( x) 0 3173 31 990 b) f ( x ) 0 f ( x ) 0 3,1737373... 3,1(73) то уравнение b a На 10 Числа, оканчивающиеся нулём. u v' u'v' Модуль: уравнения и неравенства ax2 + bx + c = 0 a Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 25. f ax b abba Квадратное уравнение: log cb Числа, оканчивающиеся нулём или цифрой 5. На 25 f 1 x f 2 x 5. f ( x) k f 2 ( x) k 2 f ( x) k f ( x) k 0 loga b Числа, сумма цифр которых делится на 9. На 5 k f x 2 2 f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) 0 Формулы Числа, сумма цифр которых делится на 3. На 9 Функция 4. k Натуральный логарифм: На 3 Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если F x f x . 1 k m k m k a ak a a Десятичный логарифм: Числа, у которых три последние цифры нули или выражают число, делящееся на 8. …….6 ……1 2 …..10 4 57061 2 35945 1 …….5 cos x sin x C ax C 9 ax 5 ln a Правила вычисления первообразной функции 2 2 f ( x ) af ( x ) k f ( x ) a f ( x ) k log b На 8 где 4 3. D<0 D=0 D>0 Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 4. Тогда: v t S t ; 3 k a k a k ak a k a b k a k b a a Если На 4 2 x, если x 0 x x, если x 0 Пример Числа, оканчивающиеся нулём или четной цифрой Определение -x=x x y = x y x x x : y =x : y x + y x + y 2 x = x2 Неравенства Определения: Неравенством называется выражение вида: a < b (a b), a > b (a b) a b a b a b Основные свойства: a Корнем k–ой степени из a (k - нечетное) называется число, k-ая степень которого равна a. Дискриминант: Признак На 2 1 Модуль Формулы x 0 x - y x - y Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a - ( a ) 1. a ) f ( x ) k ( k 0) f ( x ) k - называется неотрицательное число, квадрат которого равен a. 2 где S – путь, t – время движения. a c ac b d b d Пример: Любое число можно Деление представить в виде: a c a d a d n = 2k + r, где r = {0; 1} : или n = 4k + r, где r = {0; 1; b d b c bc Составная дробь Арифметическая прогрессия a mb a 2; 3} m Последовательность, у которой задан первый член a1, а каждый следующий b b равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называется an = a1 + d(n – 1) 2an = an-1 + an+1 Пусть S (t ) - уравнение движения материальной точки, Натуральные числа N = { 1; 2; 3; 4; . .} Целые числа Z=N Рациональные числа Действительные числа Q=Z R=Q { 0; -1; -2; -3; …} 1 1 1 1 ; ; ; ; . . . 2 2 3 3 2; 3; и т.д.; 3,14..; . Тригонометрические уравнения Тригонометрия Косинус: Основные триг. формулы cos x 0 x sin 2 cos 2 1 sin cos cos sin tg 1 tg 2 ctg 1 cos 2 sin sin 2 sin cos 2 Уравнения с синусом sin x 1 x 2 sin 2 2 cos cos 2 cos cos 2 2 cos cos 2 sin sin 2 2 sin cos cos tg tg sin cos cos Если 0 < x 1, то Если x > 0 , то arccos(-x) = arctg(-x) = - arctgx arccosx arcctg(-x) = - arcctgx arcsin(-x) = - arcsinx Обратные триг функции Свойства Функция Область Множество определения значений 1; 1 arccosx [0; ] cos cos cos sin sin tg tg tg tg tg tg 1 tgtg 1 tgtg Формулы произведения функций 1 cos cos 2 1 cos cos cos cos 2 1 sin cos sin sin 2 sin sin 2 Формулы половинного аргумента 1 cos 2 cos 2 2 sin 1 cos 1 cos tg 2 1 cos sin 2 Формулы двойного аргумента sin 2 2 sin cos cos 2 cos 2 sin 2 2 cos 2 1 1 2 sin 2 tg 2 2tg 1 tg 2 Формула дополнительного угла где a sin b cos a 2 b 2 sin b sin cos a a2 b2 Определение тригонометрических функций a2 b2 900 1800 1 0 cos 900 1 cos 1800 0 10 sin 0 00 sin - 270 1 2700 0 tg 900 1 1 0 1800 1800 tg 2700 1 tg ctg 0 1 ctg 00 sin 2700 cos ctg Универсальная подстановка 2tg sin 2 1 tg 2 cos 2 1 tg 2 1 tg 2 Свойства тригонометрических функций Свойства Функ ция Область определения cosx x ; sinx x ; tgx ctgx x n, n Z 2 Множес тво значени й 1; 1 1; 1 ; x n, n Z ; ctgx a x arcctga n, n Z Формулы обратных триг функций arctgxarcctgx arcsin x arccos x 2 2 sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin 2 2 2n tgx a x arctga n, n Z Формулы суммы аргументов: sin sin cos cos sin sin 2 Общая формула: n sin x a x 1 arcsin a n, n Z Уравнения с тангенсом и котангенсом sin sin 2 cos tg tg cos x 1 x 2n cos x a x arccos a 2n, n Z Формулы суммы функций n tg ctg 1 Частные формулы: sin x 0 x n sin x 1 x 2n 1 sin 2 1 ctg 2 2 cos x 1 x 2n sin 2 1 cos 2 cos 2 1 sin 2 Четностьнечетность Период cos(-x)= cosx sin(-x)= -sinx tg(-x)= -tgx ctg(-x)= -ctgx cos sin arcsinx 1; 1 [-/2; /2] arctgx ; (-/2; /2) arcctgx ; (0; ) Геометрия Конус Теорема косинусов, синусов B Теорема косинусов: c A H c 2 a 2 b 2 2abcos b куб Sбок.= R(R+L) a b c 2R sin sin sin C вписанные углы Sбок R L Теорема синусов: a Центральный, вписанный угол 1 V R2H 3 V a3 R Усеченный конус Площадь треугольника S p p a p b p c 1 S aha 2 R 1 b c центральный угол 1 V H ( R12 R1 R2 R22 ) 3 Sбок ( R1 R2 ) L H ha Сектор b R a 2 a Вписанная окружность abc b S p r S 4R c d Средняя линия B O Средняя линия – отрезок, с соединяющий середины двух a с сторон треугольника. c a Центр окружности, вписанной в треугольник, Средняя линия параллельна nb лежит на пересечении биссектрис треугольника. т третьей стороне и равна Если окружность вписана в произвольный е её половине: C 1 A четырехугольник, тогда попарные суммы b nb b противолежащих сторон равны между собой: 2 a+b=c+d Средняя линия отсекает подобный треугольник, площадь Описанная окружность которого равна одной четверти от исходного Касательная, секущая Равносторонний треугольник треугольник, у которого все стороны равны. O Все углы равны 600. O O O Каждая из высот является одновременно биссектрисой и медианой. Центр окружности, описанной около треугольника, Центры описанной и вписанной окружностей лежит на пересечении серединных перпендикуляров к совпадают. его трем сторонам. Радиусы окружностей: a 3 a 3 Центр окружности, описанной около прямоугольного r ; R 6 3 треугольника, лежит на середине гипотенузы. Около трапеции можно описать окружность только Площадь a2 3 a 1 S a b sin 2 S 4 Равнобедренный треугольник треугольник, у которого две стороны равны. 1.Углы, при основании треугольника, равны 2.Высота, проведенная из вершины, является биссектрисой и медиан b б b тогда, когда трапеция равнобочная. Если окружность описана около произвольного четырехугольника, тогда попарные суммы противолежащих углов равны между собой: A O Сектор – часть круга, ограниченная двумя его радиусами. Длина дуги сектора: R l 180 0 Площадь сектора: B S R 2 360 0 Касательная, секущая B N M A P K O C Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку. Секущая – прямая, имеющая с окружностью две общие точки. AB OB AC OC AB AC AM AN AP AK AB 2 Призма V Sосн H Длина окружности, площадь радиус a bc b R Прямоугольный треугольник h Теорема Пифагора: c 2 a 2 b 2 Тригонометрические соотношения: Площадь: S 1 a b 2 l d 2 R Площадь круга: S R 2 Хорда Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Радиусы окружностей: r a b c ; R c 2 2 Высота, опущенная на гипотенузу: Катеты: a c bc ab ; c a b 2 S бок 2 RH V R 2 H Медиана B C B c M A bc a ac c ; b bc c Неравенство треугольника: a + b > c; a + c > b; b + c > a Сумма углов: Против большей стороны лежит больший угол, и обратно, против большего угла лежит большая сторона. Против равных сторон лежат равные углы, и обратно, против равных углов лежат равные стороны. D Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен хорде. В окружности равные хорды равноудалены от центра окружности. Отрезки пересекающихся хорд связаны равенством: 4 V R3 3 ac b c A Шар S бок 4 R 2 c w делящий угол пополам. Биссектриса делит противолежащую сторону на части , пропорциональные прилежащим сторонам: ab : ac = b : c Биссектриса делит площадь треугольника, пропорционально прилежащим сторонам. w bc a a a Шаровой сектор H R 2 V R 2 H Sбок R 2RH H 2 3 Шаровой сегмент S 2 RH 1 V 2 H (3R H ) 3 H R b C Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Медианы треугольника точкой их пересечения делятся в отношении 2:1 (считая от вершины треугольника). Медиана делит треугольник на два треугольника с равными площадями. ma AM MB CM MD B Биссектриса a ab C A b Биссектриса – отрезок, выходящий из вершины треугольника и m a ac Основные соотношения в треугольнике Длина окружности: a b b cos ; sin ; tg c c a h Цилиндр прямая призма хорда дуга a диаметр Od ac – проекция катета a 1 2 2b 2 2c 2 a 2 a 2mb2 mc2 ma2 2 3 Правильная пирамида и м Правильная пирамида пирамида, у которой в основании правильный многоугольник, а вершина с проецируется в центр основания. М м м Все боковые рёбра равны между м собой и все боковые грани – равные равнобедренные треугольники. 1 1 V S H; S P h, бок 2 3 осн Усеченная пирамида 1 Sбок ( P1 P2 ) H 2 1 V ( S1 S 2 S1 S 2 ) 3 Скалярное произведение Выпуклый четырёхугольник Скалярное произведение d1 a b a b cos a b x a xb y a y b z a z b d2 Произвольный выпуклый четырёхугольник: Сумма всех углов равна 3600. a 1 S d1 d 2 sin 2 Правильный многоугольник Правильным многоугольником называется многоугольник, у которого все стороны и углы равны между собой. Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность и в него вписать окружность, причём центры этих окружностей совпадают. b Сумма, разность векторов a ( x a ; y a ; z a ) и b( x b ; y b ; z a ) a b ( x a xb ; y a y b ; z a z b ) a b ( x a xb ; y a y b ; z a z b ) a a Сторона правильного n–угольника: 1 1 360 0 S n Pn r; S n R 2 nsin 2 2 n ab 180 0 n R O r Произвольный выпуклый многоугольник Произвольный выпуклый многоугольник: Сумма всех углов равна n 2 или 180 0 n 2 Трапеция Углы на плоскости a n h Трапеция: b Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а другие не параллельны, называется трапецией. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и внутренние односторонние равна: вертик альны е Перпендикулярность, коллинеарность Перпендикулярные вектора: 1 nn 3 2 Число диагоналей: смежные углы an 2 R sin Площадь правильного n–угольника: b a b b Площадь: n a b Площадь: a b S h nh 2 2 Квадрат Квадрат: Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом. Диагональ квадрата d a 2 Площадь: a b ab 0 Коллинеарные вектора: 1 S a 2 d 2 2 a x y z a b a a a xb y b z b a b ab d a Ромб Ромб: Параллелограмм, все стороны которого равны Координаты вектора: a( x ; y ; z ) a x i y j z k называется ромбом. a a a a a a Диагональ ромба является его осью симметрии. Диагонали взаимно перпендикулярны. Диагонали Длина вектора: являются биссектрисами углов. 2 2 2 a xa y a z a Площадь: 1 S d1d 2 2 Умножение вектора на число: Параллелограмм a ( xa ; y a ; z a ) Координаты вектора Параллелограмм: Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельные называется параллелограммом. Середина диагонали является центром симметрии. Противоположные стороны и углы равны. Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Диагонали делятся точкой пересечения пополам: Свойства прямых и плоскостей S B B A C M A ’ O B ’ d12 d 22 2(a 2 b 2 ) A D (SO) – перпендикуляр к плоскости (ABCD). O – проекция точки S. SO – расстояние от точки S до плоскости (ABCD). Площадь: S a ha a b sin – двугранный угол между плоскостями (SAB) и (ABCD). Теорема о трёх перпендикулярах: B AB SM AB OM C Значения Функция cosx 0 1 0 300 3 2 450 2 2 600 1 2 900 0 A sinx 0 1 2 2 2 3 2 1 tgx 0 3 3 1 3 - ctgx - 3 1 3 3 0 d2 ha b 1 d 1 d 2 sin 2 d1 a D Прямоугольный параллелепипед V=abc d2=a2+b2+c2