ЕГЭ матемитика

Формулы сокращенного умножения:
Квадрат суммы
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Квадрат разности
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Разность квадратов
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
Куб суммы
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Куб разности
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Сумма кубов
a3 + b3 = (a + b)( a2 - ab + b2)
Разность кубов
a3 – b3 = (a – b)( a2 + ab + b2)
a1 + an
n
2
a c a⋅d − c⋅b
− =
b d
b⋅d
Умножение
a c a⋅c
⋅ =
b d b⋅d
a n = a k + d(n – k)
a n + a m = a k + a l , если
n+m=k+l
Sn =
2a1 + d (n −1)
n
2
Геометрическая прогрессия
n–1
n–k
bn = b1 q
b n 2 = b n-1 b n+1
bn = bk q
bn bm = bk bl ,
если n + m = k
+l
Бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия
b (1− q n )
Sn = 1
1− q
b
S= 1
1− q
Степень
Определение
n
a = a ⋅ a ⋅ a ... ⋅ a , если n – натуральное число
a – основание степени, n - показатель степени
n
a 1 = a a m = m a n a −n = 1
an
Формулы
n
a ⋅a
m
=a
a ⋅ b = (a ⋅ b )
n+m
n
n
n
n
an
= a n −m
m
a
m =
b
b
Делимость натуральных чисел:
Пусть n : m = k, где n, m, k – натуральные числа.
Тогда m – делитель числа n, а n – кратно числу m.
Число n называется простым, если его делителями являются
только единица и само число n.
Множество простых чисел: {2; 3; 5; 7; 11; 13; . . .; 41; 43; 47 и т.д.}
Числа n и m называются взаимно простыми, если у них нет
общихделителей, кроме единицы.
Десятичные числа:
Стандартный вид: 317,3 = 3,173⋅ 102 ;
0,00003173 = 3,173⋅ 10-5
Форма записи:
3173 = 3⋅ 1000 + 1⋅ 100 + 7⋅ 10 + 3
Модуль
Формулы
•
x ≥ 0
•
x - y ≥ x - y
n
( a) =a
a = a
a
a
=
b
b
a ⋅b = a ⋅ b
2
Корнем k–ой степени из a (k - нечетное) называется число, k-ая степень
которого равна a.
k
k
k
k
k k
k
k
( a ) = a a = a a ⋅b = a ⋅ b
k
a
a
= k
b
b
Если
D<0
D=0
D>0
Приведенное квадратное уравнение:
x1 + x2 = - p
x1 ⋅ x2 = q
x 1 +x 2 = -b/a
x 1 ⋅ x 2 = c/a
x + px + q = 0
Логарифм
Определение
Логарифмом числа по b основанию a называется такое число,
log a b
обозначаемое
.
a , что
log b
a
=b
a - основание логарифма (a > 0, a ≠ 1),
b - логарифмическое число ( b > 0)
Модуль: уравнения и неравенства
lg b = log10 b
Десятичный логарифм:
Натуральный логарифм:
Формулы
ln b = loge b где e = 2,71828
Правило:
ab, cde( fg ) =
2
1%A = 0,01A
log a (b ⋅ c ) = log a b + log a c
b
log a   = log a b − log a c
c
log a b n = n ⋅ log a b
⇒
a
log a b
=b a
log cb
=b
A
⇒ x = ⋅100%
B
B
100%
A
x%
Сложные проценты.
Число A увеличилось на 20%, а затем полученное число уменьшили на
25%.
Как, в итоге, изменилось исходное число?
1)
A 1 = (100% + 20%)A = 120%A = 1,2A
2)
A 2 = (100% - 25%)A 1 =75%A 1 = 0,75A 1 = 0,75⋅1,2A = 0,9A
= 90%A
3)
A 1 – A = 90%A – 100%A = -10%A
⇒ Ответ:
уменьшилось на 10%. Изменение величины.
Как изменится время, если скорость движения увеличится на 25%?
log a 1 = 0 log a a = 1
1
loga b =
logb a
S
Ответ:
S
v
⇒ t1 =
S
=
1, 25v
=
1 S
= 0,8
1, 25 v
S
= 80%t
уменьшится на 20%
S
6
1
cos 2 x
7
1
2
sin x
8
ex
tgx + C
x
+C
n +1
1
ln x + C
x
sin x − cos x + C
− ctgx + C
ex + C
Первообразная
k ⋅ F (x )
F1 (x ) + F2 (x )
1
F (ax + b )
a
Правила вычисления производной функции
′
(C )'= 0
u
u ′⋅v −u ⋅v′
  =
′
v
v2
′
(C ⋅ u ) = C ⋅ u
 
=
1 S
= 0,8
S
= 80%t
v1 1, 25v 1, 25 v
v
Ответ:
уменьшится на 20%
Среднее арифметическое, геометрическое
Среднее арифметическое:
Среднее геометрическое:
2
3
Функ
ция
Сложная функция:
y = f (ϕ ( x )) ⇒
y ′ = f ϕ' ⋅ ϕ x'
Произво
дная
№
Функ
ция
Произво
дная
xn
nxn −1
6
ex
ex
sin x
cos x
7
ax
a x ln a
ln x
1
cos x − sin x
1
4
tgx
cos2 x
5
ctgx
−
a1 + a2 + a3 + ... + an
n
k
a1 ⋅ a2 ⋅ ... ⋅ ak
8
1
sin 2 x
9
x
loga x
1
x ⋅ ln a
Равносильные уравнения:
Исходное
уравнение
Равносильное
уравнение (система)
f ( x) = g ( x)
⇔
f ( x) + C = g ( x) + C
f ( x) ⋅ g ( x) = 0
⇔
 f ( x) = 0
 g ( x) = 0

f ( x)
=0
g ( x)
⇔
 f ( x) = 0

 g ( x) ≠ 0
f 2 ( x) + g 2 ( x) = 0
⇔
 f ( x) = 0

 g ( x) = 0
v
log c a
Дроби
x
n
Проценты
Основные типы задач на проценты:
Сколько процентов составляет число A от числа B?
⇒
kx + C
k
1
=k
abcdefg − abcde
99000
Определение:
Процентом называется сотая часть от числа.
t=
logc b
1
log a m b = log a b loga b =
logc a
m
Первообразная элементарных функций
№ f(x)
F(x)
№ f(x)
F(x)
1
Замена : y = f ( x ) ⇒ y + ay
Периодическая дробь
=
Определенный интеграл
Производные элементарных функций
2
2
f ( x) = g ( x) ⇒ f ( x) = g ( x) ⇒ ( f ( x) − g ( x)) ⋅ ( f ( x) + g ( x)) = 0
v1
a(t )=v′(t ),
a
№
2
2
f ( x ) + af ( x ) = k ⇒ f ( x ) + a f ( x ) = k
⇒ t1 =
()
v – скорость, a - ускорение.
(u ⋅ v ) = u ′ ⋅ v + u ⋅ v ′
f ( x) = − f ( x) ⇔ f ( x) ≤ 0
v
()
……7
5
……0
∫ f (x )dx = F (b ) − F (a )
c ) f ( x ) = − k ( k > 0) ⇒ x ∈ ∅
t=
Числа, оканчивающиеся нулём.
′
2. f ( x ) = f ( x ) ⇔ f ( x ) ≥ 0
S
На 10
(u + v )' = u '+v'
b) f ( x) = 0 ⇒ f ( x) = 0
S
Числа, оканчивающиеся нулём или цифрой 5.
Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число,
делящееся на 25.
f (ax + b )
a < b и с < 0 ⇔ ac > bc
Теорема Виета
2
На 5
f 1 (x ) + f 2 (x )
a < b и с > 0 ⇔ ac < bc
Признаки делимости чисел:
не имеет корней
x∈∅
имеет один корень x1
имеет два корня
x1; x2
то
уравнение
Числа, сумма цифр которых делится на 9.
k ⋅ f (x )
3,1737373... = 3,1(73) =
D = b2 – 4ac
Числа, сумма цифр которых делится на 3.
На 9
Функция
ax2 + bx + c = 0
Дискриминант:
На 3
b
a<bиb<c⇔a<c
3173 − 31
990
Числа, у которых три последние цифры нули или выражают число,
делящееся на 8.
Определение:
Функция F(x) называется
первообразной для функции f(x), если F ′(x )= f (x ).
a<bис<d ⇔a+c<b+d
Квадратное уравнение:
На 8
…….6
……1
2
…..10
4
57061
2
35945
1
…….5
cos sin x + C
ax
+C
9
ax
5
ln a
Правила вычисления первообразной функции
(k a ) = k a m k a = a k
m
Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число,
делящееся на 4.
Тогда: v t = S ′ t ;
4
a<b⇔a+c<b+c
4.
На 4
На 25
где
3
5. f ( x ) < k ⇒ f 2 ( x ) < k 2 ⇒ ( f ( x ) − k ) ⋅ ( f ( x ) + k ) < 0
1
Числа, оканчивающиеся нулём или четной цифрой
2
 x, если x ≥ 0
x =
 − x, если x < 0
•
-x=x
•
x ⋅ y = x ⋅ y
•
x ≥ x
•
x : y =x : y
•
x + y ≤ x + y
x2 = x2
Неравенства
Определения:
Неравенством называется выражение вида:
a < b (a ≤ b),
a > b (a ≥ b)
a < b
a ≤b ⇔ 
a = b
Основные свойства:
3.
Пример
Признак
На 2
n +1
Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a - ( a ) 1.
a ) f ( x ) = k ( k > 0) ⇒ f ( x ) = ± k
- называется неотрицательное число, квадрат которого равен a.
2
где S – путь, t – время движения.
Определение
a<b⇔b>a
a 
= 
b
a
b
Арифметический квадратный корень
Определение
an
a c a d a ⋅d
: = ⋅ =
b d b c b⋅c
Составная дробь
Уравнение движения
Пусть S (t ) - уравнение движения материальной точки,
Пример:
Любое число можно
представить в виде:
n = 2k + r, где r = {0; 1}
или n = 4k + r, где r = {0; 1;
m⋅b + a 2; 3}
Деление
Определение: Последовательность, у которой задан первый член b 1 ≠ 0, а
каждый следующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же
число q ≠ 0, называется геометрической прогрессией:
b n+ 1 = b n q, где q – знаменатель прогрессии.
a0 = 1
Формула
деления с остатком:
n=
m⋅k + r,
где n – делимое, m делитель, k - частное, r –
остаток: 0 ≤ r < m
Вычитание
Последовательность, у которой задан первый член a 1 , а каждый
следующий равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d,
называется арифметической прогрессией:
a n+ 1 = a n + d, где d – разность прогрессии.
Sn =
Деление с остатком:
a c a⋅d + c⋅b
+ =
b⋅d
b d
Арифметическая прогрессия
a n = a 1 + d(n –
1)
2a n = a n-1 + a n+1
Сложение
Числовые множества:
Натуральные числа
N = { 1; 2; 3; 4; . .}
Целые числа
Z=N∪
Рациональные числа
Действительные числа
Q=Z∪
R=Q∪
{ 0; -1; -2; -3; …}
1 1 1 1

 ; − ; ; − ; . . .
2 2 3 3

{ 2; 3; и т.д.; π = 3,14..; .}
Тригонометрия
Косинус:
Основные триг. формулы
Тригонометрические уравнения
cos x = 0 ⇒ x =
sin α
cos α
1 + tg 2α =
ctgα =
1
cos 2 α
⇒
cos α
sin α
Уравнения с синусом
sin x = −1 ⇒ x = −
Формулы суммы функций
sin α + sin β = 2 sin
α +β
cos
2
sin (α + β )
cos α cos β
tgα − tgβ =
tgx = a ⇒
x = arctga + πn, n ∈ Z
arcsin x + arccos x =
sin (α − β )
cos α cos β
cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β
tgα + tgβ
tgα − tgβ
tg (α + β ) =
tg (α − β ) =
1 − tgαtgβ
1 + tgαtgβ
Формулы произведения функций
1
(cos(α − β ) − cos(α + β ))
2
1
cos α cos β = (cos(α − β ) + cos(α + β ))
2
1
sin α cos β = (sin (α − β ) + sin (α + β ))
2
sin α sin β =
2
Формулы половинного аргумента
1 − cos α
2
=
cos 2
α
2
=
sin α
1 − cos α
α
1 + cos α
tg =
=
2 1 + cos α
sin α
2
Формулы двойного аргумента
sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α
2tgα
tg 2α =
1 − tg 2α
Формула дополнительного угла
где
a sin α + b cos α = a 2 + b 2 sin (α + ϕ )
b
sin ϕ =
cos ϕ =
a
a2 + b2
Определение тригонометрических функций
a2 + b2
900
1800
-
α
0
cosβ
0 cosα
90
1
1
1800
0
α
sinα
0
0
0
sinβ
β
- 270
β 2700
0
tgα
900
β
α
-
1
ctgβ
1 ctgα
0
α
1800
tgβ
-
2700
00
1800
0
tgα =
sin α
0
cos α
270
β
ctgα =
Универсальная подстановка
2tgα
sin 2α =
1 + tg 2α
cos 2α =
1 − tg 2α
1 + tg 2α
Свойства тригонометрических функций
Свойства
Функ
ция
Область
определения
cosx
x ∈ (− ∞; ∞ )
sinx
x ∈ (− ∞; ∞ )
tgx
ctgx
π
x ≠ + πn, n ∈ Z
2
Множес
тво
значени
й
[− 1; 1]
[− 1; 1]
(− ∞; ∞ )
x ≠ πn, n ∈ Z (− ∞; ∞ )
π
arctgx +arcctgx =
2
π
2
Если 0 < x ≤ 1, то
Если x > 0 , то
arccos(-x) = π arctg(-x) = - arctgx
arccosx
arcctg(-x) = π - arcctgx
arcsin(-x) = - arcsinx
Обратные триг функции
Свойства
Функция
Область
Множество
определения
значений
[− 1; 1]
arccosx
[0; π]
sin (α − β ) = sin α cos β − cos α sin β
cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β
α
ctgx = a ⇒
x = arcctga + πn, n ∈ Z
Формулы обратных триг функций
Формулы суммы аргументов:
sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β
sin 2
2
π
+ 2πn
2
Общая формула:
n
sin x = a ⇒ x = (− 1) arcsin a + πn, n ∈ Z
Уравнения с тангенсом и котангенсом
α −β
2
α+β
α −β
sin α − sin β = 2 cos
sin
2
2
α +β
α −β
cos α + cos β = 2 cos
cos
2
2
α+β
α −β
cos α − cos β = −2 sin
sin
2
2
tgα + tgβ =
cos x = 1 ⇒ x = 2πn
tgα ⋅ ctgα = 1 Частные формулы:
sin x = 0 ⇒ x = πn sin x = 1 ⇒ x = π + 2πn
1
sin 2 α
1 + ctg 2α =
+ πn
cos x = a ⇒ x = ± arccos a + 2πn, n ∈ Z
cos 2 α = 1 − sin 2 α
tgα =
2
cos x = −1 ⇒ x = π + 2πn
⇒ sin 2 α = 1 − cos 2 α
sin 2 α + cos 2 α = 1
π
Четностьнечетность
Период
cos(-x)= cosx
2π
sin(-x)= -sinx
2π
tg(-x)= -tgx
π
ctg(-x)= -ctgx
π
cos α
sin α
arcsinx
[− 1; 1]
[-π/2; π/2]
arctgx
(− ∞; ∞ )
(-π/2; π/2)
arcctgx
(− ∞; ∞ )
(0; π)
Геометрия
β
α
γ
b
2α
S = p( p − a )( p −b )( p − c )
R
b
c
центральный
угол
1
V = πH ( R12 + R1 R2 + R22 )
3
S бок =π ( R1 + R2 ) L
H
ha
Сектор
b
R
γ
a
Вписанная окружность
abc
b
S
=
p⋅r
S=
4R
c
d
Средняя линия
B
O
Средняя линия – отрезок,
с
соединяющий середины двух
a
с
сторон треугольника.
c
a
•
Центр окружности, вписанной в треугольник,
Средняя линия параллельна
nb
лежит на пересечении биссектрис треугольника.
т
третьей стороне и равна
•
Если окружность вписана в произвольный
е
её половине:
1
A
C
четырехугольник, тогда попарные суммы
b
nb = b
2
противолежащих сторон равны между собой:
a+b=c+d
Средняя линия отсекает подобный треугольник, площадь
Описанная окружность
которого равна одной четверти от исходного
Касательная, секущая
Равносторонний треугольник
γ
α
треугольник, у которого все стороны равны.
O
 Все углы равны 600.
φ
O
O
O
β
 Каждая из высот является одновременно
•
биссектрисой и медианой.
•
Центр окружности, описанной около треугольника,
 Центры описанной и вписанной окружностей
лежит на пересечении серединных перпендикуляров к
совпадают.
его трем сторонам.
 Радиусы окружностей:
a 3
a 3
a
a
1
S = a ⋅ b ⋅ sin γ
2
r=
Площадь
S=
6
; R=
•
3
•
a2 3
4
•
Равнобедренный треугольник
треугольник, у которого две стороны равны.
б
b
b
α
α
V = a3
R
Усеченный конус
Площадь треугольника
1
S = a⋅ha
2
куб
S бок. = πR(R+L)
a
b
c
=
=
= 2R
sin α sin β sin γ
C
вписанные углы
S бок = π R L
Теорема синусов:
a
Центральный, вписанный угол
1
V = π R2H
3
H
c 2 = a 2 + b 2 − 2⋅a⋅b⋅cos γ
c
A
Конус
Теорема косинусов, синусов
B
Теорема косинусов:
1.Углы, при основании треугольника, равны
2.Высота, проведенная из вершины, является
биссектрисой и медиан
Центр окружности, описанной около прямоугольного
треугольника, лежит на середине гипотенузы.
Около трапеции можно описать окружность только
тогда, когда трапеция равнобочная.
Если окружность описана около произвольного
четырехугольника, тогда попарные суммы
противолежащих углов равны между собой:
A
O
Сектор – часть круга,
ограниченная двумя
его радиусами.
α
Длина дуги сектора:
πRα
l=
180 0
Площадь сектора:
B
S=
πR 2α
360 0
Касательная, секущая
B
N
M
A
P
K
O
C
Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну
общую точку.
Секущая – прямая, имеющая с окружностью две общие
точки.

( AB)⊥(OB) ( AC )⊥(OC )

AB = AC

AM ⋅ AN = AP ⋅ AK = AB
Призма
α + β = φ +γ
2
V = S осн ⋅ H
Длина окружности, площадь
радиус
a
bc
R
Прямоугольный треугольник
b

Теорема Пифагора: c 2 = a 2 + b 2

Тригонометрические соотношения:





Площадь:
S=
1
a ⋅b
2
Длина окружности:
l =π ⋅d = 2π ⋅ R
Площадь круга:
S =π ⋅ R 2
b
a
b
cos α = ; sin α = ; tgα =
c
a
c
Хорда
Центр описанной окружности лежит на середине
гипотенузы.
Радиусы окружностей: r = a + b − c ; R = c
2
2
Высота, опущенная на гипотенузу:
h=

Цилиндр
S бок = 2 π RH
α
a

прямая
призма
хорда
дуга
h

диаметр
Od
ac – проекция катета
Катеты:
a c ⋅ bc =
a⋅b
;
c
a
 
b
2
=
ac
bc
a = a c ⋅ c ; b = bc ⋅ c
Основные соотношения в треугольнике
Неравенство треугольника:
a + b > c; a + c > b; b + c > a
Сумма углов: α + β + γ = 1800
Против большей стороны лежит больший угол, и обратно,
против большего угла лежит большая сторона.
Против равных сторон лежат равные углы, и обратно,
против равных углов лежат равные стороны.
Медиана
B
C
B
c
M
A
D
Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности.
•
Диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен
хорде.
•
В окружности равные хорды равноудалены от центра
окружности.
•
Отрезки пересекающихся хорд связаны равенством:
Шар
4
V = π R3
3
ac
S
бок
= 4π R 2
c w
делящий угол пополам.
•
Биссектриса делит противолежащую сторону на части ,
пропорциональные прилежащим сторонам: a b : a c = b : c
•
Биссектриса делит площадь треугольника,
пропорционально прилежащим сторонам.
•
w = b⋅c − a ⋅a
b
c
A
Шаровой сектор
H
R
2
V = π R 2 H S бок = π R 2 RH − H 2
3
Шаровой сегмент
S = 2π RH
1
V = π 2 H (3R − H )
3
H
R
m
b
a
C
Медиана – отрезок, соединяющий вершину
треугольника с серединой противоположной стороны.
•
Медианы треугольника точкой их пересечения
делятся в отношении 2:1 (считая от вершины
треугольника).
•
Медиана делит треугольник на два треугольника с
равными площадями.
ma =
AM ⋅ MB = CM ⋅ MD
B Биссектриса
a
ab
A
C
b
Биссектриса – отрезок,
выходящий из вершины треугольника и
V =π R 2 H
1
2
2b 2 + 2c 2 − a 2
a = 2(mb2 + mc2 )− ma2
2
3
Правильная пирамида
и
м
Правильная пирамида
пирамида, у которой в основании
правильный многоугольник, а вершина с
проецируется в центр основания.
М
м
м
Все боковые рёбра равны между м
собой и все боковые грани – равные
равнобедренные треугольники.
1
1
V= S
⋅H; S
= P ⋅ h,
бок 2
3 осн
Усеченная пирамида
1
Sбок = ( P1 + P2 ) H
2
1
V = ( S1 + S 2 + S1 ⋅ S 2 )
3
Скалярное произведение
Выпуклый четырёхугольник
Скалярное произведение
 
a ⋅ b = a ⋅ b cos α
 
a ⋅ b = x a xb + y a y b + z a z b
d1
φ
d2
Произвольный выпуклый четырёхугольник:

Сумма всех углов равна 3600.

a

∝
1
S = d1 ⋅d 2 ⋅sin ϕ
2
Правильный многоугольник
Правильным многоугольником называется многоугольник, у которого
все стороны и углы равны между собой.

Около всякого правильного многоугольника можно описать
окружность и в него вписать окружность, причём центры этих
окружностей совпадают.

b
Сумма, разность векторов

a ( x a ; y a ; z a ) и b( x b ; y b ; z a )
 
a + b = ( x a + xb ; y a + y b ; z a + z b )
 
a − b = ( x a − xb ; y a− y b ; z a − z b )
a


a
Сторона правильного n–угольника:
1
1
360 0
S n = Pn r; S n = R 2 ⋅n⋅sin
n
2
2
 
a+b
O
r
Произвольный выпуклый многоугольник:

Сумма всех углов равна π n − 2 или 180 0 n − 2
(

)
(
)
1
n⋅(n −3)
2
Число диагоналей:
Углы на плоскости
Трапеция
a
n
1800−α
h
Трапеция: b
Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а
другие не параллельны, называется трапецией.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и
внутренние
односторонние
равна:
вертик
n=
a + b Площадь:
a +b
S=
h = nh
2
2
Квадрат
Перпендикулярность, коллинеарность
Перпендикулярные вектора:
R
180 0
n
Произвольный выпуклый многоугольник
смежные углы
α
an = 2 R sin
Площадь правильного n–угольника:

b

a −b

b
Площадь:
Квадрат:
Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется
квадратом.

Диагональ квадрата d = a 2
Площадь:
 

a ⊥b ⇔ a⋅b =0
Коллинеарные вектора:
1
S =a 2 = d 2
a
2
 
x
y
z
a b ⇔ a = a = a =λ
xb y b z b
 

a b ⇔a=λb
d
a
Ромб
Ромб:
Параллелограмм, все стороны которого равны

Координаты вектора: a ( x ; y ; z ) ⇔ a = x i + y j + z k
называется ромбом.
a
a
a
a
a
a
 Диагональ ромба является его осью симметрии.
Диагонали взаимно перпендикулярны. Диагонали
Длина вектора:
являются биссектрисами углов.

2
2
2
a = xa + y a + z a
 Площадь:
1
S = d1⋅d 2
2

Умножение вектора на число:
Параллелограмм
λ a = (λ xa ;λ y a ;λ z a )
Координаты вектора
Параллелограмм:
Четырёхугольник, у которого противоположные стороны
попарно параллельные называется параллелограммом.

Середина диагонали является центром симметрии.

Противоположные стороны и углы равны.

Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных
треугольника.

Диагонали делятся точкой пересечения пополам:
Свойства прямых и плоскостей
S
α
B
B
β
A
C
M
A
O
B
d 12 + d 22 = 2(a 2 + b 2 )

A
D
(SO) – перпендикуляр к плоскости (ABCD). O – проекция точки S.
SO – расстояние от точки S до плоскости (ABCD).
Площадь:
S = a ⋅ ha = a ⋅ b ⋅ sin α =
α – двугранный угол между плоскостями (SAB) и (ABCD).
Теорема о трёх перпендикулярах: ( AB)⊥(SM ) ⇔ ( AB)⊥ (OM )
B
C
Значения
Функция
cosx
0
0
1
0
π
6
300
3
2
π
4
450
2
2
π
3
600
1
2
π
2
900
0
A
sinx
0
1
2
2
2
3
2
1
tgx
0
3
3
1
3
-
ctgx
-
3
1
3
3
0
d2
ha
b
1
d 1 ⋅ d 2 ⋅ sin ϕ
2
φ
d1
α
a
D
Прямоугольный параллелепипед
V=abc d2=a2+b2+c2