АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ «КУБАНСКИЙ ИНСТИТУТ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ» ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ по дисциплине «Математика» на тему «История создания логарифмов» Выполнила студентка 1 курса группы 20-ПД1-9 Специальность: 40.02.02 «Правоохранительная деятельность» Демчук Алина Сергеевна Руководитель: преподаватель математики Ширяева Е. А. Подпись ____________ Краснодар, 2021 г. СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ........................................................................................................... 3 1. Теоретическая часть 1.1 История логарифмов ............................................................................... 4 1.2 Логарифмическая шкала ........................................................................ 6 1.3 Логарифмическая спираль ..................................................................... 6 1.4 Логарифмическая зависимость в природе ............................................ 7 1.5 Звезды, шум и логарифмы ................................................................... 10 1.6 Глаза и логарифмы ................................................................................ 11 ЗАКЛЮЧЕНИЕ .................................................................................................. 14 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ........................................ 15 ВВЕДЕНИЕ Логарифмы были изобретены шотландским математиком Джоном Непером (1550–1617) в 1614 г. Его «Канон о логарифмах» начинался так: «Осознав, что в математике нет ничего более скучного и утомительного, чем умножение, деление, извлечение квадратных и кубических корней, и что названные операции являются бесполезной тратой времени и неиссякаемым источником неуловимых ошибок, я решил найти простое и надежное средство, чтобы избавиться от них». Актуальность: данного проекта заключается в том, что в школьном курсе мы изучаем логарифмы, но мы даже не догадывается, что они применяются и на практике. Об этом мне и хотелось бы рассказать в своей работе. Цель: изучить историю логарифмов, а также узнать в каких областях она применяется. Задачи: собрать и изучить материал, а также рассмотреть понятие логарифмов. Доказать, что они окружают нас по всюду. Объект: логарифмы. Предмет: история возникновения логарифмов. Гипотеза: проводя исследовательскую работу, я могу предположить, что логарифмы применяются не только в курсе математики, но и в окружающем нас мир. Методы исследования: теоретический. Новизна: заключается в том, что данная тема позволяет систематизировать знания о логарифмах из школьной программы, но практически ничего не знают о их применениях в жизни. Проблема: заключается в том, что общество знает о логарифмах только из школы, но даже не знают о их применении. Готовый продукт: наглядное пособие. Практическая значимость проекта: полученную информацию можно использовать во время занятий математике. 3 1. Теоретическая часть 1.1 История логарифмов Еще в Древнем Вавилоне и Египте знали принцип, лежащий в основе алгебраического понятия, получившего в последствии название логарифм. Из трудов древнегреческого математика Архимеда видно, что он владел понятием степени и действиями с показателями. Но от знания до применения этих знаний в логарифмических вычислениях было еще очень далеко. В сочинении «Всеобщая арифметика», созданного в 1544 году, Михаил Стифель из Германии применил степени отрицательными и дробными показателями. Через несколько лет инженер Симон Стевин открыл таблицу сложных процентов. Причем вычисление он сделал в десятичных дробях, которые сам же изобрел. Но Стевин делал свои таблицы исключительно для решения финансовых задач. Йост Бюрги пошел дальше и составил таблицы, которые были пригодны для упрощения различных вычислений. Бюрги был помощником известного астронома Иоганна Кеплера в его астрономических вычислениях. Именно благодаря настоянию Кеплера, который по достоинству оценил этот труд, Брюги опубликовал свои таблицы арифметической и геометрической прогрессии. Эти таблицы сыграли свою роль в развитии логарифмов, но пользоваться ими было чрезвычайно трудно. Но этому труду не суждено было стать широко известным, потому что уже в 1614 году шотландец Джон Непер издал в Англии таблицы, которые на порядок лучше. Он же ввел термин «логарифм». Не спроста многие ученые практически одновременно пытались решить одну и ту же задачу. В это время и астрономы, и мореплаватели остро нуждаются в астрономических таблицах, для составления которых нужны сложные вычисления. 4 В 1619 году вышел другой его труд, где Непер описывает теорию построения десятичных логарифмов. Англичанин Генри Бригг, уже после смерти товарища, представил общественности таблицы, где были собраны логарифмы чисел до 1000. Через год Бригг создал 14-значные таблицы десятичных логарифмов, которые и сегодня часто называют его именем. Все, что не успел сделать Бригг, с успехом было продолжено голландцем Андрианом Влакком. Он создал в 1628 году 10-значные таблицы, которыми пользоваться было намного удобнее, чем трудами Непера, поэтому моментально вытеснили логарифмы последнего. Учитель математики из Лондона Джон Спайделл стал автором логарифмов натуральных чисел. Он много раз дополнял их и выпускал в свет. Примерно в это же время, ученный английского университета Эдмунд Уингейт создал таблицы десятичных логарифмов тригонометрических величин. Он же стал автором логарифмической шкалы, прототипом одноименной линейки. Сен-Винсен, француз по происхождению, в 1647 году открыл великолепное соотношение между логарифмами и некоторой кривой — равнобочной гиперболой, чем колоссально модернизировал неудобные и сложные вычисления логарифмов Непера. В России издали таблицы логарифмов только в 1703 году. В основу были положены труды Влакка. Большой вклад в развитие математики внес российский ученный Леонард Эйлер, который стал автором теории логарифмов отрицательных и комплексных чисел. Логарифмы и астрономия. По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности, галактика которой принадлежит Солнечная Система. Яркость звезд составляет геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5 легко понять, что «величина» звезды представляют собой логарифм её физической яркости. Оценивая яркость звезд, астроном оценивает таблицей логарифмов, составленной при основании 2,5. 5 1.2 Логарифмическая шкала Этот вид шкал используется достаточно часто, особенно когда речь идёт о научных исследованиях. Она используется для отображения широко диапазона величин, когда значения, которые попадают на график отличаются на много порядков. То есть когда мы хотим одновременно видеть и значения 0.1, 0.2 и значения 100, 200 на одном графике. Зачастую это связанно с физикой процесса. Так, например, в музыке ноты, различающиеся по частоте в два раза это ноты на октаву выше (Ля и Ля следующей октавы). Чтобы показать частоты двух нот будет удобно использовать логарифмическую шкалу. Чаще всего используются логарифмические шкалы с основанием 10. Это значит, что одинаковые расстояние на графике откладываются между значениями, отличающимися на один порядок. Рисунок 1- Логарифмическая шкала 1.3 Логарифмическая спираль Логарифмическая спираль представляет собой кривую, которую описывает точка, движущаяся вдоль луча, равномерно вращающегося вокруг своего начала таким образом, что логарифм расстояния от точки до начала луча возрастает прямо пропорционально углу поворота луча. Обычно уравнение логарифмической спирали записывают, пользуясь в качестве основания системы логарифмов неперовым числом e. Такой логарифм числа r называют натуральным логарифмом и обозначают ln 𝑟. Итак, уравнение логарифмической спирали записывается в виде ln 𝑟 = 𝑘𝑎, (1) где r — расстояние от точки до начала луча, α — угол поворота луча, k — коэффициент пропорциональности. 6 Рисунок 2- Логарифмическая спираль Из многих свойств логарифмической спирали отметим одно: любой луч, выходящий из начала, пересекает любой виток спирали под одним и тем же углом. Величина этого угла зависит только от числа k в уравнении спирали. При этом под углом между лучом и спиралью понимается угол между этим лучом и касательной к спирали, проведённой в точке пересечения. Поразительно, что в природе логарифмические спирали встречаются на каждом шагу. По логарифмической спирали растут раковины разнообразных моллюсков, рога у многих животных. Во внутреннем ухе человека есть орган, называемый улитка, который исполняет функцию передачи звуковой вибрации. Эта костевидная структура наполнена жидкостью и также сотворена в форме логарифмической спирали. По спирали располагаются семена подсолнечника. 1.4 Логарифмическая зависимость в природе Известно, что живые существа обычно растут, сохраняя общее начертание своей формы. При этом чаще всего они растут во всех направлениях – взрослое существо и выше и толще детеныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем рост совершается так, что сохраняется подобие раковины с её первоначальной формой. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или её некоторым пространственным аналогам. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а также рога таких млекопитающих, как горные козлы (архары), закручены 7 по логарифмической спирали. Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения формы и роста. Великий немецкий поэт Иоганн-Вольфганг Гёте считал её даже математическим символом жизни и духовного развития. По логарифмической спирали очерчены не только раковины. Рисунок 3- Раковина Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмическим спиралям. Рисунок 4- Паук В подсолнухе семечки расположены по дугам, близким к логарифмической спирали. Рисунок 5 - Подсолнух 8 По логарифмическим спиралям закручены и многие Галактики, в частности Галактика, которой принадлежит Солнечная система. Рисунок 6 - Солнечная система Астрономы делят звезды по степени яркости: видимые и абсолютные звездные величины. Уже из первого знакомства с небом вы знаете о том, что яркость звезд не одинакова. Астрономы делят звезды по степени яркости: видимые и абсолютные звездные величины. Уже из первого знакомства с небом вы знаете о том, что яркость звезд не одинакова. Со времен древнегреческого астронома Гиппарха (II в. до н.э.) используется понятие «звездная величина». Считая, что расстояния до звезд одинаковы, предполагали, что, чем звезда ярче, тем она больше. Наиболее яркие звезды отнесли к звездам первой величины (сокращенное обозначение 1 т, от лат. magnitude - величина), а едва различимые не вооруженным глазом – к шестой (6 т). Сейчас мы знаем, что звездная величина характеризует не размеры звезды, а ее блеск, т.е. освещенность, которую создает на Земле. Логарифмическая спираль знаменита не только тем, что её образы достаточно широко встречаются в природе, но и своими удивительными свойствами. Неизменяемость спирали при преобразовании подобия является основой любопытного явления, состоящего в том, что если лист бумаги с изображенной на нем логарифмической спиралью быстро поворачивать вокруг полюса по ходу часовой стрелки или против хода часовой стрелки, то можно наблюдать кажущее увеличение 9 или уменьшение спирали. В технике часто применяют вращающиеся ножи. Сила, с которой они давят на разрезаемый материал, зависит от угла резанья, т.е. угла между лезвием ножа и направлением скорости вращения. Для постоянного давления нужно, чтобы угол резания сохранял постоянное значение, а это будет в том случае, если лезвия ножей очерчены по дуге логарифмической спирали. Величина угла резания зависит от обрабатываемого материала. Рисунок 7 – Вращающийся нож 1.5 Звезды, шум и логарифмы Логарифмическая спираль – это замечательная кривая, имеющая много интересных свойств, но примеры логарифмической функции в природе на этом не ограничиваются. Поэтому рассмотрим еще несколько интересных фактов. Практическая аналогичная картина получается при оценивании громкости шума. Единицей громкости служит «бел» (в честь изобретателя А. Г. Бела), практически – его десятая доля, «децибел». Последовательные степени громкости 10 децибел, 20 децибел и т.д. составляют для нашего слуха арифметическую прогрессию. Физическая же «сила» этих шумов (точнее – энергия) составляет геометрическую прогрессию со знаменателем 10. Громкость шума, выраженная в белах, равна десятичному логарифму его физической силы. Рассмотрим этот вопрос подробнее. Если мы будем слушать звуки различных частот, но одинаковой силы, то они покажутся нам отличающимися по громкости. То есть наше ухо с разной чувствительностью воспринимает звуки различной частоты. Если увеличивать силу какого-нибудь звука в 2,3,4 10 раза, то наше звуковое ощущение (громкость звука) во столько же раз не увеличивается. Тихий шелест листьев оценивается в 1 бел, громкая разговорная речь – в 6,5 бела, рычание льва – в 807 бела. Но разности громкостей в 1 бел отвечает отношение силы шумов равное 10. По силе звука разговорная речь превышает шелест листьев в 106,5-1 = 105,5 «31600 раз, львиное рычание в 108,7-6,5=102,2» 158 раз. При оценке видимой яркости светил и при измерении громкости шума, мы имеем дело с логарифмической зависимостью между величиной ощущения и порождающего его раздражения. Оказывается, что оба эти явления – следствия общего психофизического закона Вебера - Фехнера, согласно которому ощущение изменяется пропорционально логарифму раздражения. Как видно, логарифмы вторгаются и в область психологии. Теперь рассмотрим еще один интереснейший пример о связи логарифмов и музыки. Нажимая на клавиши современного рояля, мы, можно сказать, играем на логарифмах. Действительно, так называемые «ступени» темперированной хроматической гаммы не расставлены на равных расстояниях ни по отношению к числу колебаний, ни по отношению к длинам волн соответствующих звуков, а представляют собой логарифмы этих величин. И основание этих логарифмов равно 2. 1.6 Глаза и логарифмы Зрительные рецепторы, так же, как и другие — слуховые, температурные и т. д., получают сигналы из внешнего мира; они должны передать зрительную информацию в мозг точно и своевременно. Передача сигналов от глаза к мозгу осуществляется нейронами «порогового» типа — аналоговый способ оказывается неприменимым при передаче сигналов на достаточно большие расстояния. А у пороговых нейронов, как уже говорилось, все импульсы совершенно одинаковы, и сведения о величине входного сигнала эти нейроны передают, меняя частоту импульсации. Тут возникает вот какая проблема. Освещенность в сумерках, когда предметы еле видны, отличается от освещенности при ярком солнечном све11 те примерно в миллиард (т. е. в 109) раз. Максимальная же частота, с которой может работать нейрон — 1000 импульсов в секунду. Легко сообразить, что нельзя передавать информацию, меняя частоту работы нейрона пропорционально освещенности: если при ярком свете частота импульсов будет максимальной (1000 имп/с), то при уменьшении освещенности в миллион раз сигнал будет поступать всего один раз в 15 минут. Зрительные рецепторы, выработавшееся в ходе эволюции, позволяет глазу работать эффективно и экономно, обеспечивает возможность хорошо воспринимать контраст. Пусть светлый и темный предметы различаются по способности отражать свет в десять раз. Тогда и на ярком солнце, и в сумерках светлый предмет будет отражать в десять раз больше света, чем темный. Поэтому сравнительная яркость этих предметов не меняется; не меняется и расстояние между соответствующими точками на оси абсцисс. А это означает, что разница частот работы рецепторов, на которые падает свет от этих двух предметов, будет оставаться неизменной при разных освещенностях. Так что «умение логарифмировать» позволяет глазу не только работать в широком диапазоне освещенностей, но и при малой освещенности различать предметы, абсолютная разность освещенностей которых очень мала. Интересно, что описанная зависимость между внешним сигналом (раздражением) и сигналом, воспринимаемым мозгом (ощущением), первоначально была обнаружена психологами. Сделал это французский ученый П. Бугер еще в XVIII веке. В начале XIX века немецкий физиолог и психолог Э. Вебер детально изучил связь между раздражением и ощущением. Он выяснял, как нужно изменить какой-то раздражитель, чтобы человек заметил это изменение. Оказалось, отношение изменения величины раздражителя к его первоначальному значению есть величина постоянная: ∆I I = k, (2) где I — мера раздражителя, ∆I — прирост раздражителя, 12 k —константа Вебера. Константа Вебера зависит от того, какой рецептор раздражается. Например, при восприятии веса k=1/30. Это значит, что, когда человек держит груз в 100 г, он замечает его изменение при увеличении веса на 3,4 г, а для груза в 200 г требуется прибавка в 6,7 г. Для высоты звука константа Вебера равна 0,003, для громкости звука — 0,09 и т. д. Исходя из экспериментов Вебера, другой немецкий физиолог и психолог Г. Фехнер сформулировал знаменитый закон Вебера — Фехнера: Ощущения растут в арифметической прогрессии, когда раздражение растет в геометрической прогрессии. Этот закон был опубликован в книге Фехнера «Элементы психофизики» в 1859 году. Там же было приведено и математическое выражение закона: E = a ∙ IogI + b, (3) где Е — мера ощущения, а и b — константы, I — мера раздражения. Рисунок 8 – Глаз 13 ЗАКЛЮЧЕНИЕ В процессе работы над данным проектом я поняла, что понятие логарифма широко применяется человеком во многих науках и используется для изучения различных природных явления. Сведения, собранные мною в данной работе, — это далеко не всё, что можно рассказать о логарифмах. В заключении обратимся еще раз к основной идее. Мы, обучаясь в школе, не просто впитываем некоторый набор информации. Мы усваиваем научные данные об окружающем мире, о его устройстве и законах. В этот период складывается картина мира, и чем полнее и объективнее она будет, тем лучше мы будем понимать и оценивать окружающую нас жизнь. Поэтому стоит изучать вопросы, без которых картина мира будет неполноценной. В процессе работы я изучила и переработала большой познавательный материал. Моя гипотеза подтвердилась, что логарифмы применяются не только в курсе математики, но и в окружающем нас мире. Логарифмы используются для описания природных явлений астрономами, физиками, биологами. Понятие логарифма широко применяется человеком во многих науках. Логарифмы на самом деле очень интересно изучать, если приводятся примеры из жизни. Оказывается, что логарифмы окружают нас в нашей жизни практически везде. Поэтому знание правил вычисления логарифмов и их свойств поможет разобраться во многих вопросах, которые ставит перед нами жизнь. 14 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://studwork.org/spravochnik/matematika/logarifm. Что такое логарифм. – (Дата обращения 15.03.2021). 2. [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://rosuchebnik.ru/material/istoriya-vozniknoveniya-logarifmov/. История возникновения логарифма. – (Дата обращения 18.03.2021). 3. [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://mypresentation.ru/presentation/tvorcheskij_proekt_tema_logarifmy_v_astro nomii. Логарифмы в астрономии. – (Дата обращения 11.04.2021). 4. [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80% D0%B8%D1%84%D0%BC. Логарифм. – (Дата обращения 13.04.2021). 5. [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://schoolscience.ru/6/7/36579. Практическое применение логарифмов. – (Дата обращения 20.04.2021). 15
