Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова» А.И Алексейцев, Е.В. Черепанова ПЛОСКИЙ ИЗГИБ Методические указания и варианты заданий для студентов обучающихся по направлениям входящим в укрупненные группы «Металлургия, машиностроение и материалообработка», «Транспортные средства» Барнаул 2015 УДК 620.174(0.75.5) А-478 Алексейцев А.И. Плоский изгиб: Методические указания и варианты заданий/А.И. Алексейцев, Е. В. Черепанова; Алт. гос. тех. ун-т им. И. И. Ползунова. – Барнаул, 2015. – 32 с. Методические указания предназначены для студентов изучающих курс «Сопротивление материалов» по направлениям входящим в укрупненные группы «Металлургия, машиностроение и материалообработка», «Транспортные средства» и включают в себя варианты решений домашних заданий по подбору сечений при плоском изгибе. Рассмотрена и одобрена на заседании кафедры «Механика и инноватика». Протокол №6 от 20.03.2015г. 2 Плоский изгиб – изгиб, при котором все усилия изгибающие конструкцию, лежат в одной из главных плоскостей конструкции. Подбор сечения при плоском изгибе делаем для опасного сечения конструкции. Сечение, в котором изгибающий момент имеет максимальное значение, является опасным. Для определения опасного сечения конструкции строим эпюры внутренних усилий (поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mx), используя метод сечений . Оси Х и У – это главные центральные оси поперечного сечения конструкции. Из условия прочности при изгибе, которое имеет вид: max max MWxx , определим минимально допустимое значение момента сопротивления сечения относительно оси Х (такой тип расчета называется проектным расчетом): M xmax W x W x . Wx - это допускаемый момент сопротивления сечения относительно оси Х. Далее требуется составить выражение для определения момента сопротивления сечения относительно оси Х, используя геометрические параметры сечения: Wx где Ix , y max Ix – осевой момент инерции сечения относительно оси Х; ymax – расстояние от оси Х до наиболее удаленных точек сече- ния. Запишем выражение для определения Ix по следующему плану: 1. Разбиваем сложное сечение на простейшие составляющие; 2. Определяем центр тяжести сечения, через который проводим главную центральную ось сечения Х; 3. Записываем выражение для определения осевого момента инерции Ix сложного сечения, который равен сумме осевых моментов инерции простейших составляющих сложного сечения относительно оси Х: n I x I xI I xII ... I xn = I xi i 1 3 Осевой момент инерции простейшей составляющей сложного сечения относительно оси Х определяем, используя правило параллельного переноса осей. I I 2 I Например: I x I x1 a1 A , I где I x - осевой момент инерции первой простейшей составляющей сложного сечения относительно оси Х, I xI1 - осевой момент инерции простейшей составляющей сечения относительно собственной центральной оси Х1, которая параллельна оси Х, a1 - расстояние между осью Х и осью Х1, АI – площадь сечения первой простейшей составляющей сложного сечения. Аналогично определяем осевые моменты инерции всех остальных простейших составляющих сложного сечения относительно оси Х и затем все складываем. Записываем выражение для определения момента сопротивления сечения: Wx Ix . y max Далее методом попыток, подставляя необходимые геометрические параметры сечения из таблицы сортамента прокатной стали вычисляем Wx и сравниваем его с Wx , полученным из условия прочности. Должно выполняться условие W x W x Перебором нескольких вариантов прокатного профиля из таблицы сортамента, добиваемся, чтобы момент сопротивления сечения Wx был, в целях экономии материалов, максимально приближен к W x . Допускается, чтобы W x был меньше W x , но не более чем на 5%. 4 Пример 1. Подобрать поперечные сечения указанного типа для стальной балки (рисунок 1) по методу допускаемых напряжений. Дано: M=qa2=60 кНм, F=qa =30 кН, q=15 кН/м, a=2 м, =160 МПа. . Рисунок 1 Перед построением эпюр определим опорные реакции (если это необходимо). M M q2a 2a RB 3a F 4a 0 A 7 RB qa 70кН. 3 M RA 3a M q2a a F a 0 B 2 R qa 20кН. A 3 F H 0 HB 0 z B После определения опорных реакций делается проверка. Для этого составляется уравнение F y 0 . R A R B F q 2a 2 7 qa qa qa q 2a 0 3 3 Так как тождество выполняется, то опорные реакции определены верно. 5 Рисунок 2 Из условия прочности по допускаемым напряжениям следует: M xmax 60 103 Н м W x W x = 0,375 10 3 м 3 375 см3 . 160 106 Н / м 2 В нашем примере опасным сечением конструкции, является сечение «В», в котором изгибающий момент и поперечная сила имеют максимальные значения (рисунок 2). M xmax qa 2 60 кН м, Q ymax 4 qa 40 кН . 3 6 а). Сделаем подбор сечения балки, которое состоит из двух двутавров (рисунок 3). Рисунок 3 Определим момент сопротивления сечения: Ix , y max где I x – осевой момент инерции сечения относительно нейтраль- Wx ной оси Х; ymax – расстояние от оси Х до наиболее удаленных точек сечения. 2 h I x 2 I x1 A 2 После определения осевого момента инерции, запишем выражение для момента сопротивления сечения, вычислим его и сравним с минимально допустимым значением момента сопротивления, которое определили из условия прочности 7 2 h 2 I x1 A 2 I W 375 см 3 . Wx x z y max h При подборе сечения применяем метод попыток, подставляя в выражение Wx необходимые геометрические параметры сечения из таблицы сортамента. Выбираем двутавр №18. (Ix=1290 см4, h=18 см, A=23,4 см2). 2 18 2 1290 23,4 2 Wx 353,93 375 см 3 18 Двутавр №18 условию прочности не удовлетворяет. Выбираем двутавр №18а. (Ix=1430 см4, h=18 см, A=25,4 см2). 2 18 21430 25,4 2 387,5 375 см 3 . Wx 18 Двутавр №18а условию прочности удовлетворяет. 8 В некоторых случаях необходимо проверить прочность балки по главным напряжениям. Такую проверку целесообразно проводить при выполнении следующих условий: 1. Изгибающий момент и поперечная сила достигают максимальных значений (или близких к максимальным) в одном и том же сечении. 2. Ширина балки резко меняется вблизи границ сечения. Фактические максимальные напряжения составят: M xmax 60 10 3 max 154,8 10 6 Н / м 2 154,8 МПа. 6 Wx 387,5 10 Эпюра нормальных напряжений и касательных напряжений представлена на рисунке 4. Касательные напряжения вычисляем по формуле Журавского в некоторых характерных точках сечения: Q y S отс Ix B . Для нашего сечения Ix=6974,8 см4, Qy=40 кН, B – ширина сечения в точке, где определяется касательное напряжение, Sотс – статический момент отсеченной части сечения, который определяется по формуле: S отс A отс y отс , где Аотс – площадь отсеченной части, yотс – координата центра тяжести отсеченной площади сечения относительно главной центральной оси сечения. В точках 1, 7 касательные напряжения равны нулю, т.к. Sотс=0. В точках 2, 8 t 0,0083 Q y b t h 40 10 3 0,10 0,0083 0,18 2 2 2, 8 Ix B 6974,8 10 8 0,10 0,84 10 6 Па 0,84 МПа здесь, из таблицы сортамента, ширина сечения B= b = 100 мм = 0,10 м. 9 В точках 3, 9 t 0,0083 Q y b t h 40 10 3 0,10 0,0083 0,18 2 2 3, 9 Ix B 6974,8 10 8 0,0051 16,41 10 6 Па 16,41 МПа. Здесь ширина сечения B= d = 5,1 мм = 0,0051 м В точках 4, 10 4,10 Qy t h 40 10 3 b t h d h 2t x Ix B 2 2 6974,8 10 8 0,0051 0,0083 0,18 x 0,10 0,0083 0,18 0,00510,18 2 0,0083 2 2 24,84 10 6 Па 24,84 МПа. Здесь ширина сечения B= d = 5,1 мм = 0,0051 м В точках 5, 11 5,11 Qy t h 40 10 3 b t h d h 2t x Ix B 2 2 6974,8 10 8 0,1 0,0083 0,18 x 0,10 0,0083 0,18 0,00510,18 2 0,0083 2 2 1,27 10 6 Па 1,27 МПа. Здесь ширина сечения B= b = 100 мм = 0,1 м 10 В точке 6 6 40 10 3 0,18 h A x 25, 4 10 8 8 I x B 2 6974,8 10 0,0051 2 Qy 1,31 10 6 Па 1,31 МПа. Здесь ширина сечения B= d = 5,1 мм = 0,0051 м, А – площадь сечения. Рисунок 4 По третьей теории прочности (гипотезе наибольших касательных напряжений) для точки 3 определим эквивалентное напряжение: экв 32 4 32 147,66 2 4 16,412 151,26 МПа, max y 3 max h t 147,66 МПа . y max h Прочность балки обеспечена. Двутавр №18а условию прочности удовлетворяет. где 3 11 б). Сечение балки состоит из двух неравнобоких уголков (рисунок 5). Рисунок 5 Определим момент инерции сечения Ix относительно центральной оси Х, используя правило параллельного переноса осей, и момент сопротивления сечения Wx. 2 B I x 2 I x1 y 0 A, 2 2 B 2 I x1 y 0 A 2 Wx . B 2 Выбираем уголок №16/10/1,4 (Ix=897 см4, B=16 см, A=34.7 см2, y0=5,4 см). 2 0,16 8 2 897 10 0,054 34,7 10 4 2 Wx 0,16 2 6 3 282,9 10 м 282,9 см 3 375 см 3 . Условие прочности не выполняется. 12 Выбираем уголок №20/12,5/1,1 (Ix=1449 см4, B=20 см, A=34.9 см2, y0=6,5 см). 2 0,20 8 2 1449 10 0,065 34,9 10 4 2 Wx 0,20 2 6 3 3 375,3 10 м 375,3 см 375 см 3 . Уголок №20/12,5/1,1 условию прочности удовлетворяет. 13 в). Сечение балки состоит из двух швеллеров (рисунок 6). Определим момент инерции Ix сечения относительно центральной оси Х, используя правило параллельного переноса осей, и момент сопротивления сечения Wx. Рисунок 6 I x 2 I x1 b z 0 A , 2 W 2 . 2 I x1 b z 0 A x b Выбираем швеллер №33 (Iy=410 см4, b=10,5 см, A=34.9 см2, z0=2,59 см). Здесь следует обратить внимание, что ось Х1 на рисунке 6 является главной центральной осью одного швеллера, которая в таблице сортамента прокатной стали представляется осью Y, поэтому при выборе геометрических параметров сечения для расчетов берется осевой момент инерции относительно оси Y, т.е. Iy.. 2 2 410 10 8 0,105 0,0259 34,9 10 4 Wx 494,02 10 6 м 3 0,105 494,02 см 3 . Получили очень большой запас прочности. 14 Выбираем швеллер №24 (Iy=208 см4, b=9 см, A=30,6 см2, z0=2,42 см). Wx 2 2 208 10 8 0,09 0,0242 30,6 10 4 0,09 340,64 10 6 м 3 340,64 см 3 . Условие прочности не выполняется. Выбираем швеллер №24а (Iy=254 см4, b=9,5 см, A=32,9 см2, z0=2,67 см). 2 2 254 10 8 0,095 0,0267 32,9 10 4 Wx 383 10 6 м 2 0,095 383 см 2 375 см 2 . Швеллер №24а условию прочности удовлетворяет. 15 г). Сечение балки состоит из двух швеллеров №14 (Ix=491 см2, b=5,8 см, h=14см, t=0,81см) и двух пластин прямоугольного сечения, сверху и снизу жестко соединенных со швеллерами (рисунок 7). Требуется определить толщину пластин t. Рисунок 7 2 2bh h t I x 2 I x 2bt , 12 2 2 3 2 2bt 3 h t 2 I x 2bt 12 2 2 Wx . h t 2 2 3 0,14 t 8 2 0,058 t 2 491 10 2 0,058 t 12 2 2 375 10 6 м 3 W x 0,14 t 2 Откуда t 0 ,07 м 7 cм . 16 д). Сечение балки состоит из трех прямоугольных пластин (рисунок 8). Рисунок 8 2 3 5b b 3 b b 6b I x 2 5b b 3b , 2 12 12 2 3 5b b 3 b b 6b 2 5b b 3b 2 12 I 12 Wx x 4b 4b 35,33b 3 375 cм 3 . Откуда b=2,2см. 17 е). Сечение балки представляет собой прямоугольник с вырезанным центральным отверстием (рисунок 9). Рисунок 9 3 4 5b 8b 2b Ix , 12 64 3 4 5b 8b 2b 12 64 53,137b 3 375 см 3 . Wx 4b Откуда b=1,92 см. 18 Пример 2. Для рамы (рисунок 10), которая изготовлена из хрупкого материала, подобрать размеры сечения (рисунок 11), если [ ]р=40 МПа, [ ]с=120 МПа, а=2 м, q=7,5 кН/м, F=qa=15 кН, M=qa2= 30 кНм. Рисунок 10 Рисунок 11 19 Для определения опасного сечения построим эпюры продольных сил, поперечных сил и изгибающих моментов, используя метод сечений (рисунок 12). Рисунок 12 20 Опасным сечением рамы является сечение А, в котором: M xmax 2qa 2 60 кН м, Q ymax qa 15 кН . Определим положение центра тяжести сечения относительно оси Х 0, проведенной по нижнему краю сечения, предварительно разбив его на составляющие два прямоугольника. Сечение симметрично относительно оси У, поэтому необходимо определить только координату Ус. yc A1 y1 A2 y 2 , A1 A2 2 где A1 6b , y1 4b, A2 8b 2 , 2 yc y 2 0,5b, 2 6b 4b 8b 0,5b 6b 2 8b 2 2b. Определим момент инерции сечения относительно главной центральной оси Х используя формулу параллельного переноса осей: I x I x1 A1a12 I x2 A2 a 22 . 3 b6b I x1 18b 4 , 12 8b b 3 I x2 0,667b 4 , 12 a1 y1 y c 2b, a 2 y c y 2 1,5b. 2 2 I x 18b 4 6b 2 2b 0,667b 4 8b 2 1,5b 60,667b 4 . Сечение по условию задачи должно быть расположено рационально, т.е. чтобы в растянутой зоне размещалась большая доля материала. Поэтому точку А сечения расположим в сжатой зоне, а точку В в растянутой. Для точки А условие прочности запишем в виде: 60 10 3 M 5b 120 10 6 , A y A сж , откуда Ix 60,667b 4 60,667b 4 60 10 3 , 5b 120 10 6 b 3 41,21 10 6 , 21 b 3 41,21 10 6 3,454 10 2 м 3,5 см. Для точки В условие прочности запишем в виде: B M yB р , Ix 60 10 3 60,667b 4 2b 40 10 6 , 60,667b 4 60 10 3 , 2b 40 10 6 b 3 49,45 10 6 , b 3 49,45 10 6 3,67 10 2 м 3,7 см. Из двух найденных значений b принимаем наибольшее. Определим значения касательных напряжений для характерных точек сечения 1, 2, 3, 4, 5, используя формулу Журавского Q y S отс IxB . где Qy - поперечная сила в опасном сечении конструкции, Sотс – статический момент отсеченной части сечения, Ix – осевой момент инерции сечения относительно главной центральной оси Х. B –ширина сечения в точке, где определяем касательное напряжение. В точках 1, 5 В точках 1, 5 S1отс S 5отс 0, следовательно 1 5 0. В точках 2, 3 S 2отс S 3отс 8b b 1,5b 12b 3 12 3,7 10 2 3 607,836 10 6 м 3 , В точке 4 3 S 4отс 5b b 2,5b 10b 3 12,5 3,7 10 3 633,16 10 6 м 3 . Определим касательные напряжения в характерных точках. 22 В точке 2 2 Q y S 2отс IxB 15 10 3 607,836 10 6 4 60,667 3,7 10 2 8 3,7 10 2 9117,54 10 3 336551, 2 10 10 0, 27 10 6 Па. В точке 3 3 отс Q y S3 IxB 3 6 3 15 10 607,836 10 9117,54 10 10 2 4 2 42068 , 9 10 60,667 3,7 10 3,7 10 6 2,167 10 Па. В точке 4 4 Q y S 4отс IxB 15 10 3 633,16 10 6 4 60,667 3,7 10 2 3,7 10 2 9497,4 10 3 42068,9 10 10 2,258 10 6 Па. На рисунке 13 представлены эпюры нормальных и касательных напряжений для заданного типа сечения Проверку прочности проводим для точки 3, для которой 19,52 МПа, 2,17 МПа. Рисунок 13 23 Проверим условие прочности по Третьей теории прочности для плоского напряженного состояния. III экв 2 4 2 19,52 2 4 2,17 2 19,997МПа р Условие прочности выполняется. Окончательно принимаем b=3,7 мм. 24 ЗАДАНИЕ Определить внутренние силовые факторы, построить их эпюры и подобрать указанные типы сечений. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ Численные значения № q, Вар. кН/м 1 20 P кН 40 M, кНм 15 № q, Вар. кН/м 17 30 P, кН 40 M, кНм 25 2 30 35 20 18 40 35 30 3 40 30 25 19 20 30 15 4 20 25 30 20 30 25 20 5 30 40 15 21 40 40 25 6 40 35 20 22 20 35 30 7 20 30 25 23 30 30 35 8 30 25 30 24 40 25 40 9 40 30 35 25 20 30 15 10 20 25 40 26 30 25 20 11 30 40 15 27 40 40 25 12 40 35 20 28 20 35 30 13 20 30 25 29 30 30 35 14 30 25 30 30 40 25 40 15 40 30 35 31 20 40 35 16 20 35 40 32 30 45 20 25 27 28 29 30 31 32
