Урок Теорема Пифагораx

Урок по геометрии.
8 класс.
Тема урока:
Теорема Пифагора
Учитель высшей категории
Семеошенкова О.В.,
ГБОУ лицей 395
Санкт-Петербург
Теорема Пифагора.
Цель изучения:
Познакомить учащихся с теоремой Пифагора.
Существенно расширить круг геометрических задач, решаемых
школьниками.
Образовательная:
Создание условий для усвоения учащимися теоремы Пифагора, включение
их в процесс поиска формулировок и доказательств, формирование навыка
применения теоремы Пифагора при решении задач.
Развивающая:
Развитие зрительной памяти, внимания, умений анализировать, сравнивать,
обобщать, развивитие познавательного интереса учащихся к историческим
моментам математики.
Воспитательная: умение оценивать себя и своих товарищей.
Формы организации обучения: коллективная, групповая, индивидуальная.
Принципы обучения: доступность, научность, наглядность, сознательность и
творческая активность; развивающий и воспитывающий характер обучения,
последовательность и систематичность.
Методы обучения:
Словесные – беседа, рассказ.
Наглядные – демонстрация.
Практические – решение задач, практическая работа.
Оборудование:
проектор
компьютер.
Прогнозируемый результат:
Знать зависимость между сторонами прямоугольного треугольника.
Уметь доказывать теорему Пифагора.
Уметь применять теорему Пифагора для решения задач.
Тип урока - урок изучения нового материала с элементами исследования.
План урока
1. Организационный момент. Домашнее задание.
2. Историческая справка о теореме Пифагора. Сообщение темы урока,
постановка целей и задач урока.
3. Актуализация знаний.
4. Практическая работа.
5. Работа над теоремой.
6. Решение задач с применением теоремы.
7. Подведение итога урока.
I. Организационный момент.
Приветствие, определение отсутствующих, проверка готовности
учащихся к уроку. Организация внимания.
Домашнее задание: § 3,483(б), 484(б), 485, 486(б).
II. Сообщение темы урока.
Сегодня мы познакомимся с теоремой, которая существенно расширит круг
решаемых задач, которая находит широкое применение в практической
деятельности людей.(слайд 1)
Эту теорему знали в Китае, Вавилонии, Египте, но возможно только как
факт, выведенный из измерений. (слайд2 )
Ее называли теоремой невесты. В «Началах» Евклида она именуется, как
«теорема нимфы». Ее чертёж очень похож на пчёлку, а греки их называли
нимфами. (слайд3 )
Но когда арабы переводили эту теорему, то подумали, что нимфа – это
невеста. Вот так и вышла «теорема невесты». (слайд4 )
В Индии ее называли «правилом верёвки». (слайд 5)
Для постройки прямого угла пользовались верёвкой, которую разбивали на
три части. К примеру, брали 12 м и с одного конца привязывали цветную
полоску через 3 м, а с другого через 4 м, то есть 3 и 4 метры – это будут
катеты , а 5 м – гипотенуза. (слайд6 )
Доказательство этой теоремы учащиеся средних веков считали очень
трудным. Ученики, не имевшие серьезной математической подготовки,
бежали от геометрии. (слайд 7)
Слабые ученики, заучившие теорему наизусть, без понимания, и прозванные
поэтому "ослами",были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора,
служившую для них вроде непреодолимого моста. (слайд 8)
Магистр математики – вот еще одно название этой теоремы! Вместо
экзамена на звание магистра математики студенты приносили присягу, что
изучили определённое число глав «Начал» Евклида. Фактически же никто не
преодолевал больше первой главы, которая заканчивалась теоремой
Пифагора. (слайд 9)
Существует легенда, что в честь «открытия» теоремы ученый принес в
жертву 100 быков. (слайд 10)
На не рисовали карикатуры, составляя стишки . (слайд 11)
Эта теорема одна из главных теорем геометрии. Значение ее в том , что из
нее или с помощью нее можно вывести большинство теорем геометрии.
Тема нашего урока: теорема Пифагора (запись в тетрадях) (слайд12 )
Сегодня на уроке:
Сегодня мы с вами посмотрим доказательство этой теоремы, порешаем
задачи на применение этой теоремы И в конце урока постараемся ответить на
вопрос: «Действительно ли важна теорема Пифагора в нашей жизни? В чём
причина её популярности и в чём её красота?» (слайд 13)
Актуализация знаний
1. Как найти угол 2, зная углы 1и 3? (слайд 14)
1
2
3
Если сумма углов 1 и 2 составляет 20процентов от 450градусов, то чему
равен угол 2?
2.Вычислите
 3
2 5 
2
2
32  42
 7 3
2
2
(слайд15)
3.Найти площадь фигуры: (слайд16 )
B
D
4. Докажите, что ABCD – квадрат(слайд 17)
B
M
N
D
A
P
K
C
5. Найдите площадь треугольника, АВ=13см, АС=12см. (слайд 18)
A
B
C
Как можно вычислить площадь треугольника? Что необходимо знать?
Постановка проблемы:
И так, о какой же геометрической фигуре сегодня пойдет речь? (Учащиеся
отвечают, что о прямоугольном треугольнике).
Анализ ситуации позволяет заключить, что на данном этапе задачу
решить нельзя. Если бы зависимость между катетами и гипотенузой в
прямоугольном треугольнике была известной, то можно было бы в
треугольнике выразить катет через гипотенузу.
Возникает вопрос: существует ли зависимость между гипотенузой и
катетами в прямоугольном треугольнике и, если она существует, то, как она
формулируется. (слайд 19)
Ход урока
Попробуем самостоятельно выяснить эту связь, выполнив небольшую
исследовательскую работу( приложение1).
Предмет нашего исследования – прямоугольный треугольник. ( выполнение
работы)
Проанализировав данные в таблице что мы можем заметить? (сумма
квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы). (слайд 20)
Вы выполняли задание всего на трёх треугольниках. А как вы думаете,
будет ли наш с вами вывод действителен и для других треугольников? Как
это можно проверить?
( Учащиеся выдвигают гипотезы, предполагаемые ответы учащихся:
нарисовать еще треугольник, проверить соотношение, доказать теорему…).
(Формулируется теорема и разбирается доказательство. Делаются
необходимые записи на доске и в тетрадях).
Работа с классом.
Выделим условие теоремы. Что дано в теореме?
Выделите заключение теоремы. Что требуется доказать? (слайд 21)
Нарисуйте прямоугольный треугольник у себя в тетради. Запишите, что
дано, что требуется доказать.(На экране – прямоугольный треугольник с
катетами а и b и гипотенузой с). (слайд22 )
Продолжите катеты: катет а - на длину b, а катет b - на длину а.
(Ученики выполняют эту работу в тетради, а на экране появляется новый
рисунок. Ученики объясняют, почему эту фигуру можно достроить до
квадрата и выполняют это в тетради. Такой же рисунок появляется на
экране.) (слайд23 )
Найдем площадь квадрата. (Ученики записывают в тетрадях,
S  a  b  /
2
комментируют; на экране появляется запись
(слайд24 )
S  a 2  2ab  b 2 / )
На сторонах квадрата возьмем точки А,В,С,D так, чтобы они отсекали
от квадрата прямоугольные треугольники с катетами a и b и
четырехугольник Р. (слайд )
Что можно сказать о треугольниках?( Прямоугольные, равны по 2 катетам,
значит равны и гипотенузы этих треугольников). Что можно сказать о
площадях этих треугольников?(слайд25,26 )
Что можно сказать о четырехугольнике Р?( Ромб) (слайд28)
Докажите, что углы четырехугольника равны 900.(из равенства
треугольников вытекает: угол2 равен углу3, по свойству острых углов
прям.
1
 2  900
треуг.
Поэтому 1 3  900 значит, углы 1,3 и ADС образуют развернутый
угол, отсюда угол ADС = 900. (слайд29 )
Аналогично доказывается, что углы ABC, BCD, ВCD равны 900. Фигура Р –
квадрат.) (слайд 30)
Площадь квадрата можно найти как сумму площадей 4 равных прям.
треугольников и площади малого квадрата со стороной с.
1
S  4 * ab  c 2  2ab  c 2 (слайд 31)
2
Приравняем правые части этих выражений, получим:
2ав + с2 = 2ав + а2 + в2
Откуда имеем: с2 =а2 + в2 ( слайд 32)
Вывод: Мы установили связь между гипотенузой и катетами
прямоугольного треугольника. Это и есть теорема Пифагора. Учащиеся дают
словесную формулировку теоремы: «Квадрат гипотенузы равен суме
квадратов катетов».
Какие задачи можно решать, применяя эту теорему?
1. Можно найти гипотенузу треугольника, зная его катеты.
№ 483(а,г)
2. Можно найти катет, зная длину гипотенузы и другого катета.
№ 484(а,г)
3. Можно найти длину диагонали квадрата или сторону квадрата.
Задача. Длина диагонали квадрата равна 8 см, найти сторону квадрата
и его площадь.
4. Можно найти одну из сторон прямоугольника, диагональ.
Придумайте задачу.
5. Вчера в школе появился инопланетянин и предложил мне выбрать
пластинки из очень дорогого, неизвестного мне металла. Он положил на
стол прямоугольный треугольник, а потом на катетах и гипотенузе
построил квадраты из этого металла, причём все пластинки одинаковой
толщины и однородны. От нас зависит выбор: взять одну пластинку с
гипотенузы или две с катетов. Что выгоднее?»
Сделайте чертеж. Сделайте вывод.
(В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на
гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на
катетах).
Это геометрическая формулировка теоремы. (слайд 33)
На данный момент в научной литературе зафиксировано около 500
доказательств данной теоремы . Вероятно, теорема Пифагора является
единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое
многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы
для геометрии.
Среди пифагорейцев был распространён способ доказательства теоремы
“без слов”. Слушателям представляли чертёж , на котором изображены два
равных квадрата со стороной a+b, после чего писали одно слово “Смотри”.
(слайд 34,35)
Итог урока.
С какой теоремой мы сегодня познакомились? Дайте ее формулировку.
(ответы учащихся)
При решении каких задач она применяется?
(ответы учащихся)
Действительно ли важна теорема Пифагора в нашей жизни? В чём
причина её популярности и в чём её красота?(ответы учащихся)
 Позволяет находить элементы прямоугольного треугольника.
 Применяется для построения прямых углов.
 Очень проста, но не очевидна. Сколько не гляди на прямоугольный
треугольник, никак не увидишь, что между катетами и гипотенузой
есть простое соотношение.
 Существует около 400 доказательств этой теоремы. В этом ее
значимость.
 Теорема Пифагора справедлива для бесчисленного множества
конкретных прямоугольных треугольников, но всё это многообразие
треугольников обладает единственным общим свойством a² + b² = c²,
т.е. единство в многообразии и есть красота.
 Применяется в практической деятельности людей.
(слайд 36,37)
Пребудет вечной истина, как скоро
Её познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далёкий век.
Приложение1
Практическая работа.

На листах изображены прямоугольные треугольники. С помощью линейки
измерьте длины сторон треугольников.
Результаты измерений запишите в таблицу.

b
а
с
с
с
b
а
а
с
а
b
𝒂


𝒃
𝒄
𝒂𝟐
𝒃𝟐
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
𝒄𝟐
Внимательно изучите таблицу. Заметили ли вы связь между катетами и
гипотенузой . Какую?
Сформулируйте вывод, используя слова «квадрат», «гипотенуза», «катет», «сумма»,
«прямоугольный треугольник», длина.
 Запишите вывод:
В прямоугольном треугольнике…………………………………………………..
………………………………………………………………………………………
…………