Григорьева Г.В., Надырова И.М. Механика. Теория механизмов и машин. 2007

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»
Г.В. Григорьева, И.М. Надырова
МЕХАНИКА
ТЕОРИЯ МЕХАНИЗМОВ И МАШИН
Утверждено редакционно-издательским советом академии
в качестве учебного пособия для студентов 3-го курса,
обучающихся по специальности
170101 «Испытание и эксплуатация техники»
Новосибирск
СГГА
2007
УДК 621(002.5)
Г834
Рецензенты:
Доктор технических наук, профессор
Новосибирского государственного технического университета
Г.А. Куриленко
Доктор технических наук, профессор
Сибирской государственной геодезической академии
В.Я. Черепанов
Григорьева, Г.В.
Г834
Механика. Теория механизмов и машин [Текст] : учеб. пособие /
Г.В. Григорьева, И.М. Надырова. – Новосибирск: СГГА, 2007. – 201 с.
ISBN 978-5-87693-254-9
В учебном пособии описаны методы структурного и кинематического
анализа рычажных, кулачковых и зубчатых механизмов, приведена их
классификация. Рассмотрены вопросы силового анализа и уравновешивания
механизмов, синтеза передаточных механизмов и даны основные понятия по
оптимизации проектирования.
Материал изложен с учетом современных требований, стандартов;
приведены примеры определения параметров механизмов на основе
графоаналитических и аналитических методов.
Пособие предназначено для студентов СГГА, изучающих теорию
механизмов и машин, и также может быть полезно специалистам, занятым
проектированием машин или отдельных механизмов.
Ответственный редактор: доктор технических наук, профессор Сибирской
государственной геодезической академии С.В. Савелькаев
УДК 621(002.5)
Печатается по решению редакционно-издательского совета СГГА
ISBN 978-5-87693-254-9
© ГОУ ВПО «Сибирская государственная
геодезическая академия» (СГГА), 2007
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ............................................................................................................... 7
1. Основные понятия механизмов и машин .................................................. 8
1.1. Основные определения ......................................................................... 8
1.2. Классификация кинематических пар ................................................ 10
1.2.1. Условия существования кинематических пар ............................ 10
1.2.2. Классификация кинематических пар в зависимости от числа
условий связи ................................................................................ 11
1.2.3. Классификация кинематических пар по роду относительного
движения звеньев .......................................................................... 12
1.2.4. Классификация кинематических пар по характеру
соприкосновения элементов пары ............................................... 13
1.2.5. Классификация кинематических пар по способу замыкания... 14
1.3. Основные виды механизмов............................................................... 15
2. Структурный анализ механизмов............................................................. 16
2.1. Задачи структурного анализа механизмов ........................................ 16
2.2. Определение степени подвижности плоского механизма............... 16
2.3. Особенности структурного анализа механизма с высшими
кинематическими парами ................................................................... 17
2.3.1. Преобразование расчётной схемы плоского механизма (замена
высшей пары низшими) ............................................................... 17
2.3.2. Частные случаи замены высших пар низшими ......................... 19
2.4. Преобразование расчётной схемы плоского механизма (устранение
избыточных связей и лишних степеней свободы) ........................... 19
2.5. Порядок структурного анализа плоского механизма....................... 21
2.6. Классификация механизмов ............................................................... 22
2.7. Основные виды плоских рычажных механизмов ............................ 25
3. Кинематический анализ механизмов ....................................................... 26
3.1. Методы кинематического анализа ..................................................... 26
3.2. Задачи кинематического анализа ....................................................... 26
3.3. Планы положений механизма ............................................................ 27
3.4. Планы скоростей плоских механизмов ............................................. 29
3.5. Свойства плана скоростей .................................................................. 32
3.6. Планы ускорений плоских механизмов ............................................ 32
3.7. Свойства плана ускорений ................................................................. 37
3.8. Определение скоростей и ускорений структурных групп .............. 37
3.8.1. Группа Ассура 1-го вида............................................................... 37
3.8.2. Группа Ассура 2-го вида............................................................... 40
3.8.3. Группа Ассура 3-го вида............................................................... 42
3.9. Аналоги скоростей и ускорений ........................................................ 44
3.10. Графическое дифференцирование и интегрирование как методы
кинематического анализа ................................................................... 46
3.11. Кинематическое исследование механизмов методом диаграмм .... 47
3.11.1. Последовательность графического дифференцирования ......... 47
3.11.2. Последовательность графического интегрирования ................. 49
3.12. Аналитические методы кинематического исследования механизмов
............................................................................................................... 50
4. Динамический анализ плоских механизмов ........................................... 53
4.1. Задачи и методы силового анализа .................................................... 53
4.2. Характеристика сил, действующих на звенья механизма ............... 53
4.3. Кинетостатический метод .................................................................. 54
4.4. Определение сил инерции .................................................................. 55
4.5. Условие статической определимости кинематической цепи .......... 59
4.6. Силовой расчет структурных групп .................................................. 60
4.6.1. Силовой расчет группы 1-го вида ............................................... 60
4.6.2. Силовой расчет группы 2-го вида ............................................... 63
4.6.3. Силовой расчет группы 3-го вида ............................................... 65
4.6.4. Силовой расчет начального звена ............................................... 67
4.7. Определение уравновешивающей силы методом Жуковского ....... 68
5. Силы трения в механизмах ....................................................................... 71
5.1. Виды трения ......................................................................................... 71
5.2. Угол трения и коэффициент трения................................................... 72
5.3. Силовой анализ с учетом сил трения ................................................ 74
5.3.1. Трение в поступательной паре..................................................... 74
5.3.2. Трение во вращательной паре ...................................................... 74
5.3.3. Трение в винтовой паре ................................................................ 75
5.4. Трение качения .................................................................................... 76
5.5. Коэффициент полезного действия механизмов ............................... 77
6. Динамика механизмов и машин ............................................................... 79
6.1. Основные задачи динамики................................................................ 79
6.2. Режимы движения механизмов, их энергетическая характеристика
............................................................................................................... 79
6.3. Приведение масс и сил. Одномассовая динамическая модель ....... 80
6.4. Графоаналитическое решение основного уравнения движения .... 83
6.5. Определение закона движения начального звена ............................ 85
6.6. Определение параметров маховика по допускаемому
коэффициенту неравномерности движения ..................................... 87
6.7. Регулирование непериодических колебаний скорости машин ....... 90
6.8. Уравновешивание механизмов ........................................................... 91
6.8.1. Уравновешивание вращающихся масс ....................................... 91
6.8.2. Уравновешивание масс, движущихся поступательно ............... 97
6.9. Колебания в механизмах и машинах ............................................... 100
6.9.1. Основные определения............................................................... 100
6.9.2. Эквивалентная система .............................................................. 102
6.10. Способы устранения колебаний ...................................................... 104
6.11. Изгибные колебания.......................................................................... 105
6.12. Виброзащита машин ......................................................................... 107
6.12.1. Основные методы виброзащиты ............................................... 107
6.12.2. Демпферы – гасители колебаний .............................................. 108
Синтез передаточных механизмов. простые зубчатые механизмы .... 112
7.1. Основные понятия ............................................................................. 112
7.2. Классификация зубчатых механизмов ............................................ 113
7.3. Основная теорема зацепления ......................................................... 114
7.4. Эвольвента и её свойства.................................................................. 116
7.5. Эвольвентное зацепление ................................................................. 117
7.6. Свойства эвольвентного зацепления ............................................... 118
7.7. Методы изготовления зубьев ............................................................ 118
7.8. Изготовление зубчатых колес методом обкатки ............................. 119
7.8.1. Основные понятия ...................................................................... 119
7.8.2. Способы обработки зубьев при методе обкатки ...................... 122
7.8.3. Установка рейки при нарезании и виды зубчатых колес ........ 123
7.9. Определение размеров зубчатых колес ........................................... 124
7.9.1. Определение толщины зуба по дуге делительной окружности
....................................................................................................... 124
7.9.2. Определение толщины зуба на любом радиусе ....................... 125
7.9.3. Определение угла зацепления.................................................... 126
7.9.4. Определение радиуса окружности выступов ........................... 127
7.10. Виды зацеплений двух зубчатых колес ........................................... 127
7.11. Основные факторы зацепления........................................................ 128
7.11.1. Основные понятия ...................................................................... 128
7.11.2. Коэффициент перекрытия .......................................................... 130
7.11.3. Коэффициент скольжения .......................................................... 130
7.11.4. Коэффициент удельного давления ............................................ 131
7.12. Корригирование зубчатых колес ...................................................... 131
7.12.1. Цели корригирования ................................................................. 131
7.12.2. Устранение подрезания зубьев .................................................. 132
7.13. Особенности внутреннего зацепления ............................................ 134
7.14. Свойства внутреннего зацепления .................................................. 136
7.15. Особенности конического зацепления ............................................ 137
7.16. Свойства конического зацепления ................................................... 139
8. Зубчатые механизмы................................................................................ 140
8.1. Основные понятия ............................................................................. 140
8.2. Сложные зубчатые механизмы с неподвижными осями ............... 140
8.3. Сложные зубчатые механизмы с подвижными осями ................... 142
8.4. Определение передаточных отношений простых планетарных
механизмов......................................................................................... 145
8.4.1. Планетарный однорядный AJ -механизм................................. 145
8.4.2. Планетарный двухрядный АJ-механизм ................................... 147
8.4.3. Планетарный двухрядный JJ-механизм ................................... 148
8.4.4. Планетарный AA-механизм ........................................................ 149
8.5. Подбор чисел зубьев простых планетарных механизмов ............. 151
8.6. Планы линейных и угловых скоростей планетарных механизмов
............................................................................................................. 153
9. Винтовые зубчатые механизмы .............................................................. 156
7.
10. Червячные механизмы............................................................................. 161
11. Волновая передача ................................................................................... 164
12. Кулачковые механизмы ........................................................................... 166
12.1. Кинематический анализ кулачковых механизмов.......................... 166
12.2. Законы движения ведомого звена .................................................... 173
12.3. Определение действительного угла передачи ................................ 175
12.4. Динамический синтез кулачкового механизма............................... 177
13. Синтез плоских рычажных механизмов................................................ 179
13.1. Условие существования кривошипа в четырехзвенных механизмах
............................................................................................................. 179
13.2. Синтез шарнирного четырехзвенника по коэффициенту изменения
средней скорости коромысла ........................................................... 180
13.3. Синтез кулисно-ползунного механизма по заданному
перемещению выходного звена ....................................................... 182
14. Выбор параметров и оптимизация проектирования ............................ 184
14.1. Уравнения связи, переменные проектирования и ограничения ... 184
14.2. Цель оптимизации, критерий оптимальности и целевая функция
............................................................................................................. 185
14.3. Постановка задач оптимизации ....................................................... 186
Заключение....................................................................................................... 188
Библиографический список ........................................................................... 189
ВВЕДЕНИЕ
Теория механизмов и машин – наука об исследовании и проектировании
механизмов и машин по их кинематическим и динамическим свойствам.
В теории механизмов и машин классифицируются механизмы,
рассматриваются строение и связи между их частями, изучаются кинематика и
динамика механизма.
Если кинематика как раздел теории механизмов и машин включает в себя
изучение связи между скоростями и ускорениями звеньев, то в разделе
«Динамика механизмов» изучаются силы, действующие на механизм, даётся их
анализ и классификация, производится силовой расчет механизма.
Изучение кинематики и динамики предлагается осуществлять на основе
типовых механизмов, т. е. простых механизмов, имеющих при различном
функциональном назначении широкое применение в машинах и приборах. Для
таких механизмов разработаны типовые методы и алгоритмы синтеза и анализа.
Данный курс является базовым для специальностей, связанных с
проектированием и конструированием механизмов, машин, приборов, таких как
«Детали машин и основы конструирования», «Основы автоматизированного
проектирования» и т. п.
Программа дисциплины предполагает предварительное освоение курсов
физики, математики, информатики и теоретической механики.
Это дисциплина федерального компонента общепрофессионального цикла,
её содержание соответствует требованиям Государственного образовательного
стандарта
высшего
профессионального
образования
подготовки
дипломированного специалиста по направлению 170100 (специальность 170101
«Испытание и эксплуатация техники»).
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНИЗМОВ И МАШИН
1.1. Основные определения
Машина – техническое устройство, которое в результате осуществления
технологического процесса определенного рода позволяет автоматизировать
или механизировать труд человека.
человека
Составные части машины – двигатель, передаточный механизм,
механизм рабочая
машина. Двигатель и рабочая машина имеют определённые механические
характеристики. Они указаны в технических паспортах двигате
двигателя и рабочей
машины, в том числе число оборотов двигателя в минуту (n1) и число оборотов
главного вала рабочей машины в минуту (n2):
n=
30ω
об/мин,
π
где ω – угловая скорость вала, ω =
πn
1/с.
30
Введём следующие обозначения:
обозначения
ω 1 – угловая скорость,
скорость с которой вращается вал двигателя
двигателя;
ω 2 – угловая скорость,
скорость с которой должен вращаться главный вал рабочей
машины.
Чтобы привести в соответствие механические характеристики
актеристики двигателя и
рабочей машины, между ними устанавливают передаточный механизм
механизм.
Механизм – совокупность подвижных материальных тел, из которых одно
закреплено, а все остальные совершают движения в соответствии с
определенным законом относительно неподвижного тела.
Звенья – материальные тела, из которых состоит механизм
механизм.
Стойка – неподвижное звено механизма.
Обычно за стойку принимают корпус или раму машины,
машины а также все
жестко связанные с ними детали.
детали Стойка в механизме всегда одна
одна.
Графическое изображение
бражение стойки следующее:
или
Звено, которому сообщается движение от двигателя, называется ведущим.
Звено, совершающее движение,
движение для выполнения которого предназначен
механизм, называется ведомым.
ведомым
Отношение угловой скорости ведущего звена ω1 к угловой скорости
ведомого звена ω 2 называется передаточным числом механизма i12 =
Пример.
Дано: число оборотов n1 = 700 об/мин, n2 = 70 об/мин.
Требуется определить передаточное число механизма.
Передаточное число механизма определится как:
ω1
.
ω2
i12 =
ω1 n1 700
= =
= 10.
ω2 n2
70
В качестве передаточных механизмов могут использоваться:
− фрикционные передачи (с использованием трения);
− цепные передачи;
− ременные передачи;
− зубчатые передачи.
передачи.
В качестве основных механизмов рабочей машины наиболее часто
используют рычажные механизмы.
Рассмотрим кривошипно-ползунный механизм (рис. 1).
Рис. 1. Кривошипно-ползунный механизм:
1 – кривошип;
кривошип 2 – шатун; 3 – ползун
Если это компрессор,
компрессор, то звено 1 – ведущее, а звено 3 – ведомое.
ведомое
Если это механизм двигателя внутреннего сгорания, то звено 3 – ведущее,
а звено 1 – ведомое.
Кривошип,
шатун,
ползун
–
подвижные
тела
тела,
называемые
кинематическими звеньями.
Кинематическим звеном называется тело или несколько тел, соединенных
между собой неподвижно.
Звенья соединяются в механизме с помощью кинематических пар.
Кинематическая пара – подвижное соединение звеньев,
звеньев допускающее
их относительное движение. Соединение может быть по точке
точке, линии или
поверхности.
Поверхность, линия или точка звена, находящаяся в соприкосновении
с другим звеном, называется элементом кинематической пары
пары.
Любой механизм можно представить в виде кинематической схемы,
состоящей из кинематических звеньев и кинематических пар. Все
кинематические пары на схеме обозначают буквами латинского алфавита,
например A, B, C и т. д
д.. Каждому звену присваивают свой номер: номер 1
имеет ведущее звено, номер 0 – стойка и т. д.
Звенья, соединяясь друг с другом, образуют кинематические цепи.
Кинематической цепью называется связанная система звеньев,
звеньев входящих
в кинематические пары.
Например, в кривошипно-ползунном
кривошипно
механизме (рис.
рис. 1) кривошип 1
образует с неподвижным подшипником, находящимся в стойке,
кинематическую пару A, дающую возможность вращения
ащения кривошипа
относительно стойки 0. Шатун 2 с кривошипом 1 образует вторую
кинематическую пару B, обеспечивающую вращение этих звеньев
относительно друг друга. Шатун 2 с ползуном 3 – третью пару C, благодаря
которой шатун и ползун могут поворачиваться друг относительно друга и
ползун 3 с направляющими стойки (с неподвижным звеном)
звеном образует
кинематическую пару D, позволяющую этим звеньям иметь между собой
относительное поступательное движение.
Совокупность этих звеньев,
звеньев связанных кинематическими парами,
парами образует
кинематическую цепь,
цепь которая определяет данный кривошипно-ползунный
кривошипно
механизм.
В основе каждого механизма лежит кинематическая цепь
цепь. Но не каждая
кинематическая цепь представляет собой механизм, а только та
та, звенья которой
осуществляют движения в ссоответствии с заданным законом.
Кинематические цепи бывают простые и сложные, открытые и закрытые
(замкнутые) (рис. 2).
Рис 2. Кинематические цепи
Рис.
В замкнутой цепи каждое звено входит не менее чем в две кинематические
пары, в открытой цепи есть звенья, входящие только в одну кинематическую
пару. В простой цепи каждое звено входит не более чем в две кинематические
пары; в сложной цепи есть звенья, входящие в три и более кинематические
пары.
1.2. Классификация кинематических пар
1.2.1. Условия существования кинематических пар
Кинематические пары (КП) во многом определяют работоспособность
машины, поскольку через них передаются усилия от одного звена к другому.
Вследствие трения элементы пары находятся в напряженном состоянии и
подвергаются износу. Поэтому при проектировании механизма большое
значение имеет правильный выбор вида кинематической пары, её
геометрической формы, размеров,
размеров конструкционных материалов и смазки.
Необходимы три условия для существования кинематической пары:
− наличие двух звеньев;
звеньев
− возможность их относительного перемещения;
− постоянное соприкосновение этих звеньев.
С целью облегчения правильного выбора кинематической пары их
классифицируют в зависимости от числа условий связи, по роду
относительного движения звеньев, по характеру соприкосновения элементов
кинематических пар и способу замыкания пары.
1.2.2. Классификация кинематических пар в зависимости от числа
условий связи
Твердое тело, свободно движущееся в пространстве, имеет 6 степеней
свободы. Его возможные движения могут быть представлены как вращение
вокруг трёх осей координат и поступательное движение вдоль этих же осей
(рис. 3).
Y
X
Z
Рис. 3. Число степеней свободы любого тела в пространстве
Звенья, соединённые кинематическими парами, получают в той или иной
степени ограничения в их относительном движении.
Ограничения, накладываемые на независимые движения звеньев,
образующих кинематическую пару, называются условиями связи S.
Н=6–S,
где Н – число степеней свободы звеньев;
S – число условий связей.
Если звено не входит в кинематическую пару, т. е. не связано с другим
звеном, то у него нет ограничений движению: S = 0.
Если на материальные тела наложить 6 условий связи, они потеряют
взаимную подвижность и получится жесткое соединение, т. е. кинематической
пары не станет: S = 6.
Таким образом, число условий связи, наложенных на относительное
движение каждого звена, может изменяться от 1 до 5.
Число условий связи кинематической пары определяет её класс (рис. 4).
Рис. 4. Классы кинематических пар
1.2.3. Классификация кинематических пар по роду относительного
движения звеньев
По роду относительного движения звеньев различают кинематические
пары:
− поступательные;
− вращательные;
− винтовые.
Если одно звено движется относительно другого поступательно, то такая
пара называется поступательной. На схеме поступательные пары могут
изображаться следующим образом:
Если звенья, образующие пару, вращаются относительно друг друга, то
такая кинематическая пара называется вращательной, и изображается она так:
Условное
следующее:
обозначение
винтовой
кинематической
пары
на
схеме
1.2.4. Классификация кинематических пар по характеру
соприкосновения элементов пары
По характеру соприкосновения элементов кинематических пар различают
пары низшие и высшие.
Низшие кинематические пары – пары, в которых элементы касаются
друг друга по поверхностям
ям конечных размеров.
К ним относятся: поступательная (рис. 5), вращательная (рис.
(рис 6) и винтовая
(рис. 7) пары. Низшие пары обратимы, т. е. характер движения не изменяется в
зависимости от того, какое звено
звено, входящее в пару, закреплено.
Рис. 5. Поступательная кинематическая пара
Рис. 6. Вращательная кинематическая
пара
Рис. 7. Винтовая кинематическая пара
Высшие кинематические пары – это пары, элементы которых касаются
друг друга по линии или в точке (рис. 8).
а)
б)
Рис. 8. Механизмы с высшей кинематической парой: а) контакт по линии или в
точке
(кулачок
кулачок с толкателем);
толкателем б) два зуба контактируют по линии
(зубчатое зацепление)
Высшие пары необратимы.
необратимы Точки контакта описывают различные кривые в
зависимости от того, какое звено, входящее в пару, закреплено.
1.2.5. Классификация кинематических пар по способу замыкания
По способу замыкания (обеспечения контакта звеньев пары)
пары различают
кинематические пары с силовым и геометрическим замыканиями
замыканиями.
Силовое замыкание происходит за счёт действия сил веса или силы
упругости пружины (рис.
рис. 9); геометрическое – за счёт конструкции рабочих
поверхностей пары (рис. 10).
Рис. 9. Силовое замыкание кинематической пары
Рис. 10. Геометрическое замыкание кинематической пары
1.3. Основные виды механизмов
Принята следующая классификация механизмов:
а) по виду преобразования движения:
− редукторы (угловая скорость ведущего звена больше угловой скорости
ведомого звена);
− мультипликаторы (угловая скорость ведущего звена меньше угловой
скорости ведомого звена);
− муфты (угловая скорость ведущего звена равна угловой скорости
ведомого звена).
б) по движению и расположению звеньев в пространстве:
− пространственные (все звенья движутся в разных, непараллельных
плоскостях);
− плоские (все звенья движутся в одной плоскости).
в) по числу степеней подвижности механизма:
− с одной степенью подвижности;
− с несколькими степенями подвижности (интегральные – суммирующие,
дифференциальные – разделяющие).
г) по виду кинематических пар:
− с низшими кинематическими парами (все кинематические пары
механизма – низшие);
− с высшими кинематическими парами (хотя бы одна кинематическая пара
– высшая).
д) по способу передачи и преобразования движения:
− фрикционные (сцепления);
− с зацеплением;
− волновые (создание волновой деформации).
е) по конструктивному исполнению и движению звеньев:
− рычажные;
− зубчатые;
− кулачковые;
− планетарные.
2. СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ
2.1. Задачи структурного анализа механизмов
В структурный анализ механизма входит:
− изучение строения механизма;
− изучение классов и видов кинематических пар;
− определение числа степеней свободы механизма;
− определение наличия или отсутствия избыточных связей; в случае
наличия избыточных связей – изучение способа их устранения;
− разбивка на структурные группы.
Рассмотрим механизм с n подвижными звеньями. Каждое звено до
соединения его с другим звеном имеет в пространстве 6 степеней свободы.
Тогда общее возможное число степеней свободы кинематической цепи,
образующей механизм, равно 6n.
Соединение звеньев в кинематические пары накладывает определённое
число условий связи: каждая пара 5-го класса накладывает 5 связей, пара
4-го класса – 4 связи и т. д. Это количество связей нужно исключить из общего
числа степеней свободы. Полученное соотношение – структурная формула
кинематической цепи связывает число степеней свободы (т. е. число независимых
движений) с числом и видом кинематических пар в данной кинематической цепи:
W = 6n – 5p5 – 4p4 – 3p3 – 2p2 – p1,
где p5, p4, p3, p2, p1 – число кинематических пар 5, 4, 3, 2 и 1-го классов.
Число степеней свободы кинематической цепи W относительно звена,
принятого
за
неподвижное,
называется
степенью
подвижности
кинематической цепи.
2.2. Определение степени подвижности плоского механизма
В данном курсе будут рассматриваться методы анализа (исследование
готового механизма) и синтеза механизмов (проектирование нового механизма
по требуемым параметрам) на примере плоских механизмов.
В плоском механизме все звенья движутся в одной плоскости, все оси
параллельны друг другу и перпендикулярны плоскости механизма.
На плоский механизм наложены три условия связи: в нем из шести
независимых движений (см. рис. 3) возможны только три: поступательное
вдоль осей X и Y и вращательное относительно оси Z. При этом звенья могут
двигаться только в плоскости XOY. Число степеней свободы кинематической
цепи, образующей плоский механизм, – 3n.
В плоском механизме возможно наличие кинематических пар только 5-го и
4-го класса. Соединение звеньев парами 5-го класса в плоском механизме
накладывает 2 связи, парами 4-го класса – 1 связь. Степень подвижности
плоского механизма определяется следующим соотношением (формула
Чебышева):
W = 3n – 2p5 – p4 ,
(2.1)
где W – степень подвижности кинематической цепи ((число степеней
свободы);
n – число подвижных звеньев
звеньев;
p5 – число пар 5-го
го класса;
класса
p4 – число пар 4-го
го класса.
класса
Это соотношение впервые было выведено в 1869 гг. П.Л.
П.Л Чебышевым и
названо структурной формулой плоских механизмов.
На рис. 11, а представлен механизм со степенью подвижности
подвижнос W = 1, на
рис. 11, б – механизм со степенью подвижности W = 2.
а)
б)
W = 3 × 3 – 2 ×4 = 1
W=3×4–2×5=2
Рис. 11. Определение степени подвижности механизмов
2.3. Особенности структурного анализа механизма с высшими
кинематическими парами
2.3.1. Преобразование расчётной схемы плоского механизма (замена
высшей пары низшими)
низшими
Для того чтобы провести классификацию и структурный
руктурный анализ плоского
механизма с высшими кинематическими парами, необходимо заменить
предварительно высшие пары низшими (т. е. пары 4-го класса – парами 5-го
класса). Рассматривать механизмы с низшими парами целесообразнее
целесообразнее, так как
для них разработаны типовые решения всех основных задач анализа
механизмов. При замене высших пар низшими должны быть соблюдены
следующие условия:
− степень подвижности механизма должна остаться неизменной;
неизменной
− относительное движение звеньев должно сохраниться;
− закон движения не д
должен измениться.
Рассмотрим кинематическую цепь, включающую высшие и низшие пары,
со степенью подвижности, равной W0.
Если из цепи убрать кинематическую пару 4-го класса, то число степеней
свободы станет на единицу больше, так как пара 4-го класса накладывает
наклады
одну
связь. Вместо исключённой пары необходимо ввести дополнительную
кинематическую цепь замены,
замены содержащую только низшие пары и
уменьшающую степень подвижности всей цепи на единицу.
Для этого следует соблюсти равенство:
(W0 + 1) + (3n – 2p5) = W 0,
(2.2)
где W0 – степень подвижности заданной кинематической цепи;
цепи
(W0 + 1) – степень подвижности кинематической цепи с отброшенной
высшей парой;
(3n – 2p5) – степень подвижности дополнительной кинематической цепи
замены (содержащей только низшие пары).
Преобразуем равенство (2.2):
p5 = (3 n + 1)/2..
(2.3)
Затем из равенства
ва (2.3) определим минимальное число звеньев и
кинематических пар в цепи замены:
n = 1; p5 = (3×1 + 1) / 2 = 2.
Итак, вместо одной высшей кинематической пары в цепи замены можно
ввести одно дополнительное звено и две низшие пары.
Пример.
Дано: Механизм, состоящий из звеньев 1 и 2. Звенья образуют между
собой высшую пару, элементы которой представляют собой произвольные
кривые a и b (рис. 12), соприкасающиеся в точке C. D и E – центры кривизны
соприкасающихся поверхностей звеньев.
Рис.. 12. Построение заменяющего механизма
Степень подвижности заданного механизма равна:
W = 3n – 2p5 – p4;
W = 3×2 – 2×2 – 1 = 1.
Для замены высшей кинематической пары проводим нормаль NN в
точке C касания звеньев до центров кривизны соприкасающихся участков
кривых D и E (пунктирная
пунктирная линия). В центры кривизны условно поместим
вращательные пары. Соединяя точки D и E с точками А и В, получим
расчётную схему заменяющего механизма с тремя условными звеньями:
1 (AD), 2 (BE) и дополнительным звеном 3 (DE) и четырьмя парами 5-го
класса. Его степень подвижности равна:
W = 3n – 2p5 – p4;
Wзм = 3×3 – 2×4 – 0 = 1,
т. е. степень подвижности нового заменяющего механизма Wзм осталась
прежней.
Таким образом, высшую пару C заменили дополнительным звеном 3 и
двумя низшими парами D и E.
2.3.2. Частные случаи замены высших пар низшими
Рассмотрим частные случаи замены высших пар низшими.
низшими
1. Высшая пара образована элементами, один из которых представляет
собой произвольную кривую,
кривую а со стороны другого имеется точечный контакт.
При точечном контакте радиус кривизны элемента пары равен нулю
(условная вращательная пара ставится в точку контакта) (рис.
(рис 13, а).
2. Высшая пара образована элементами, один из которых представляет
собой произвольную кривую,
кривую а со стороны другого имеется контакт по линии.
Для прямой линии радиус кривизны равен бесконечности,
бесконечности т. е. в цепи
замены условная вращательная пара заменяется поступательной
пательной (рис. 13, б).
а)
б)
Рис. 13. Частные случаи заменяющих механизмов
2.4. Преобразование расчётной схемы плоского механизма (устранение
избыточных связей и лишних степеней свободы)
Избыточные связи в механизмах – явление нежелательное
нежелательное, поскольку при
этом возникает статическая неопределенность системы, а также возрастают
требования к точности изготовления деталей, что необходимо для
осуществления сборки механизма без деформации звеньев.
в. Однако в ряде
случаев приходится проектировать и изготавливать механизмы с избыточными
связями для обеспечения необходимой жесткости и прочности системы.
системы
Например, в механизме (рис. 14, а) звено 4 представляет собой
избыточную связь.
а)
б)
Рис. 14. Схема механизма:
механизма а) с избыточными связями; б) без избыточных
связей
Из схемы (рис. 14, а)) видно,
видно что степень подвижности механизма должна
быть определена следующим образом:
W = 3×4 – 2×6 = 0.
Но в действительности звено 4 не влияет на относительное движение
звеньев, а служит для увеличения жесткости конструкции.
конструкции Прежде чем
определять степень подвижности механизма, нужно из расчётной схемы убрать
избыточную связь – звено 4 и вращательные пары E и F (рис. 14, б).
Убеждаемся, что для такого механизма степень подвижности равна:
равна
W = 3×3 – 2×4 = 1.
Рассмотрим две схемы кулачкового механизма (рис. 15).
Степень подвижности механизма (рис. 15, а):
W = 3n – 2 p5 – p4;
W = 3×2 – 2×2 – 1 = 1.
а)
б)
2
2
3
1
1
Рис. 15. Схема механизма:
механизма а) без лишних степеней свободы
свободы; б) с лишней
степенью свободы
Схема (рис. 15, б) изображает тот же механизм, но на конце толкателя 2
установлен ролик 3. Казалось бы, степень подвижности механизма должна
быть равна W = 3× 3 – 2× 3 – 1 = 2, но на самом деле ролик не влияет на
относительное движение звеньев,
звеньев а служит лишь для уменьшения трения.
В расчётной схеме необходимо убрать лишнюю степень свободы – ролик 3
и вращательную пару, соединяющую его с толкателем. Тогда степень
подвижности механизма будет равна:
W = 3×2 – 2×2 – 1 = 1.
Таким образом, прежде чем определять степень подвижности механизма,
необходимо в расчётной схеме убрать лишние степени свободы и избыточные
связи, не влияющие на относительное движение звеньев.
2.5. Порядок структурного анализа плоского механизма
Установлен следующий порядок структурного анализа механизма:
− определение степени подвижности механизма (число степеней
свободы);
− выделение структурных групп механизма;
− выделение механизма I класса;
− определение класса и порядка механизма.
Степень подвижности механизма W определяет число независимых
параметров, которые необходимо задать механизму, чтобы движения всех
звеньев механизма были определены, т. е. определяет число ведущих звеньев.
Группа, состоящая из ведущего звена (или ведущих звеньев), соединенного
кинематической парой со стойкой, должна иметь степень подвижности равную
степени подвижности всего механизма.
Ведущее звено, соединённое со стойкой одной кинематической парой,
условно называется механизмом I класса со степенью подвижности W = 1
(рис. 16).
W=1
Рис. 16. Механизм I класса
Если к механизму I класса присоединить кинематическую цепь, то
получится кинематическая схема механизма. При этом степень подвижности
всего механизма не должна измениться.
Принцип образования механизмов, впервые сформулированный Л.В.
Ассуром, заключается в следующем. Схема любого механизма может быть
составлена последовательным присоединением к механизму I класса групп
звеньев с нулевой степенью подвижности – групп Ассура.
Группой Ассура называется незамкнутая кинематическая цепь с нулевой
степенью подвижности. Сколько бы групп Ассура ни присоединяли к
механизму I класса, степень подвижности механизма остаётся равной единице.
Для плоского механизма, состоящего только из кинематических пар 5го класса, степень подвижности групп Ассура определится согласно формуле
Чебышева (2.1):
W = 3n – 2 p5 = 0.
(2.4)
Поскольку n и p5 могут быть только целыми числами, из равенства (2.4)
следует, что в группах Ассура возможны следующие сочетания количества
звеньев и примыкающих к ним кинематических пар:
n = 2, p5 = 3;
n = 4, p5 = 6;
n = 6, p5 = 9 и т. д.
На практике встречаются только первые два сочетания (рис. 17).
а)
б)
Рис. 17. Примеры структурных групп Ассура
Разложение механизма на структурные группы необходимо для решения
задач кинематического и динамического анализа, что обеспечит статическую
определимость составляющих частей схем плоских механизмов.
Структурный анализ механизма следует проводить путем расчленения его
на структурные группы в порядке, обратном образованию механизма.
Выделение групп Ассура начинают с наиболее удаленной группы (последней в
порядке присоединения к механизму I класса). В результате отсоединения
структурных групп остается механизм I класса.
2.6. Классификация механизмов
Класс и порядок механизма определяются наивысшим классом и
наивысшим порядком групп, входящих в данный механизм.
Класс группы Ассура определяется наивысшим числом кинематических
пар, примыкающих к замкнутому контуру, входящему в группу.
Класс механизма – наивысшим классом структурной группы, входящей в
механизм.
Порядок группы определяется числом кинематических пар, которыми
группа присоединяется к остальному механизму.
Группа, имеющая два звена и три кинематические пары 5-го класса (n = 2,
p5 = 3), называется группой II класса 2-го порядка, или двухповодковой группой
(рис. 17, а). На рис. 17, б изображена группа III класса 3-го порядка –
трехповодковая (n = 4, p5 = 6). Пунктирными линиями показаны те звенья, к
которым присоединяется группа.
Группы второго класса и второго порядка (n = 2, p5 = 3) делятся на 5 видов,
которые определяются взаимным расположением вращательных и
поступательных пар (рис. 18).
а)
в)
б)
г)
д)
Рис. 18. Виды структурных групп II класса:а) группа 1-го вида (все пары
вращательные); б) группа 2-го вида (на конце одного из звеньев
поступательная пара); в) группа 3-го вида (в середине поступательная пара); г)
группа 4-го вида (на конце обоих звеньев поступательные пары); д) группа 5-го
вида (в середине и на конце одного из звеньев поступательные пары)
Пример. Выполнить структурный анализ шарнирного механизма (рис. 19).
Рис. 19. Структурная схема шарнирного механизма
В соответствии с установленным порядком в разделе 2.5:
1. Определяем степень подвижности механизма (число степеней свободы)
W = 3n – 2p5 – p4;
W = 3×3 – 2×4 – 0 = 1.
2. Выделяем структурную группу механизма – группу Ассура (последние
два звена и три кинематических пары). Это группа II класса 2-го порядка 1-го
вида со степенью подвижности, равной
W = 3×2 – 2×3 – 0 = 0.
3. Выделяем механизм I класса (ведущее звено со стойкой). Его степень
подвижности равна
W = 3×1 – 2×1 – 0 = 1.
4. Определяем класс и порядок механизма.
В данном случае механизм образован присоединением группы Ассура
II класса 2-го порядка 1-го вида к механизму I класса. Этот механизм является
механизмом II класса 2-го порядка.
В зависимости оттого, какое звено является ведущим, механизм может
раскладываться на различные группы и иметь различную классификацию.
Рассмотрим механизм, изображенный на рис. 20.
а)
б)
Рис. 20. Структурные схемы плоского шарнирного механизма:
механизма а) с ведущим
звеном AB; б) с ведущим звеном DE
1. Примем за ведущее звено AB (рис. 20, а).
Степень подвижности механизма:
механизма
W = 3n – 2 p5 – p4;
W = 3×7 – 2×10 – 0 = 1.
Механизм состоит из следующих структурных групп:
− двухповодковой группы Ассура II класса 2-го порядка 1-го вида (два
звена: KM, MN и три вращательные
вращательны пары 5-го класса: K, M, N):
W = 3×2 – 2×3 – 0 = 0;
− трехповодковой группы Ассура III класса 3-го порядка (четыре звена:
LF, CDF (жесткое звено), DE и BC и шесть вращательных пар 5-го класса: L,
F, C, D, E, B):
W = 3×4 – 2×6 – 0 = 0;
− механизма I класса (стойка, звено AB и одна пара 5-го
го класса – A):
W = 3×1 – 2×1 – 0 = 1.
Данный механизм является механизмом III класса 3-го
го порядка.
порядка
2. Примем за ведущее звено DE (рис. 20, б).
Степень подвижности механизма:
механизма
W = 3n – 2 p5 – p4;
W = 3×7 – 2×10 – 0 = 1.
Механизм состоит из следующих структурных групп:
− двухповодковой группы
групп Ассура II класса 2-го порядка 1-го вида (два
звена: KM, MN и три вращательные пары 5-го класса: K, M, N):
W = 3×2 – 2×3 – 0 = 0;
− двухповодковой группы
групп Ассура II класса 2-го порядка 1-го вида (два
звена: LF и жесткое звено CDF и три вращательные пары 5-го
го класса: L, F, D):
W = 3×2 – 2×3 – 0 = 0;
− двухповодковой
ой группы Ассура II класса 2-го порядка 1-го вида (два
звена: AB и BC и три вращательные пары 5-го класса: A, B, C):
W = 3×2 – 2×3 – 0 = 0;
− механизма I класса (стойка, звено DE и одна пара 5-го класса – E):
W = 3×1 – 2×1 – 0 = 1.
Механизм образован присоединением к механизму I класса трёх групп
II класса 2-го порядка.
Данный механизм является механизмом II класса 2-го порядка.
2.7. Основные виды плоских рычажных механизмов
К простейшим плоским рычажным механизмам относятся: шарнирный
четырехзвенник, кривошипно-ползунный механизм, кулисный механизм.
Шарнирный четырехзвенник состоит из одного неподвижного звена
(стойки) и трёх подвижных звеньев. Звенья соединены вращательными парами
(рис. 21, а).
а)
б)
в)
Рис. 21. Простейшие плоские механизмы: а) шарнирный четырехзвенник; б)
кривошипно-ползунный механизм; в) кулисный механизм
Звено, совершающее полный оборот вокруг оси вращения, называется
кривошипом (звено 1).
Звено, которое совершает вращательное движение на неполный оборот,
называется коромыслом (звено 3).
Звено, совершающее плоскопараллельное движение, называется шатуном
(звено 2).
Если звено 3 соединить со стойкой поступательной парой, то оно будет
называться ползуном, а весь механизм – кривошипно-ползунным механизмом
(рис. 21, б).
Если звенья 2 и 3 соединены между собой поступательной парой и звено 2
перемещается поступательно вдоль звена 3, как по подвижной направляющей,
то механизм называется кулисным механизмом (рис. 21, в).
Коромысло, служащее подвижной направляющей для ползуна называют
кулисой, а ползун – камнем кулисы.
Более сложные механизмы образуются присоединением различного вида
структурных групп к рассмотренным основным рычажным механизмам.
3. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ
3.1. Методы кинематического анализа
При проектировании новых машин и механизмов составляют несколько
вариантов кинематических схем, проводят структурный анализ и выбирают
лучший вариант. Затем осуществляется кинематический анализ.
Кинематический анализ – это изучение движения механизма без учета
действующих сил. Движения механизма описываются с помощью
кинематических характеристик.
Под кинематическими характеристиками (параметрами) понимают
перемещения, скорости и ускорения точек звеньев, а также угловые скорости и
ускорения звеньев.
В результате кинематического анализа устанавливают соответствие
кинематических параметров (перемещений, траекторий точек, скоростей и
ускорений звеньев) заданным условиям, например: определение траекторий
точек необходимо, чтобы при проектировании корпуса машины исключить
столкновение звеньев при их движении. Кроме того, в результате
кинематического анализа получают исходные данные для выполнения
динамических расчётов. Знание кинематических параметров необходимо для
расчёта сил инерции и моментов сил инерции, кинетической энергии механизма
и мощности.
Кинематическое исследование схем механизмов выполняют графическими
и аналитическими методами. Первые отличаются наглядностью и
относительной простотой, но не дают точных результатов. Аналитический
метод позволяет получить требуемую точность, но отличается большей
сложностью и трудоемкостью вычислений.
Перемещения, скорости и ускорения звеньев определяют для нескольких
положений в пределах цикла работы механизма, т. е. за один оборот ведущего звена.
Основными методами кинематического анализа являются:
− графический метод (метод построения планов);
− аналитический метод;
− метод построения кинематических диаграмм.
Используя принципы структурного анализа, т. е. разложения механизма на
группы Ассура, можно применять методы кинематического анализа не ко всему
механизму в целом, а к отдельным его частям, что, как правило, упрощает
задачу.
3.2. Задачи кинематического анализа
К основным задачам кинематического анализа относятся:
− определение положений звеньев при заданном положении ведущего
звена и построение траекторий отдельных точек;
− установление зависимости перемещений отдельных звеньев от законов
перемещения ведущего звена;
− определение зависимости скоростей отдельных звеньев от закона
движения ведущего звена;
− установление зависимости ускорений отдельных звеньев от закона
движения ведущего звена.
Движение звеньев зависит от закона движения ведущего звена, поэтому
при решении задач кинематического анализа должны быть заданы следующие
данные:
− структурная схема механизма с указанием размеров звеньев и
параметров их расположения;
− закон движения ведущего звена.
При кинематическом исследовании механизма расчет и построение планов
скоростей и ускорений начинают от ведущего звена, угловая скорость которого
обычно постоянна, и далее – по группам Ассура в порядке их присоединения.
Графические методы отличаются простотой и наглядностью, иногда они
являются единственно приемлемыми, так как дают наиболее простое решение.
Если же требуется осуществить большой объем однообразных построений, а
также когда необходимо провести расчеты с высокой точностью, целесообразно
использовать аналитические методы.
3.3. Планы положений механизма
Изображение кинематической схемы механизма, соответствующее
определенному положению начального звена, называется планом механизма.
Планы строятся в заданном масштабе. При этом различают понятия
«масштаб» и «масштабный коэффициент».
Масштабом физической величины называют длину отрезка в
миллиметрах, изображающую единицу измерения этой величины.
Масштабным коэффициентом физической величины называют
отношение численного значения физической величины к длине отрезка в
миллиметрах, изображающего эту величину.
Масштаб и масштабный коэффициент являются взаимно обратными
величинами. Масштабные коэффициенты обозначают буквой µ с индексом,
указывающим, к какой величине они относятся.
Например, масштабный коэффициент длин µl для плана механизма есть
отношение какой-либо длины l AB в метрах к отрезку АВ, изображающему эту
длину на чертеже в миллиметрах: µl = l AB / АВ.
Рассмотрим построение планов механизма на примерах.
Пример 1. Шарнирный четырехзвенник (рис. 22).
Кривошип ОА вращается с постоянной скоростью ω , поэтому положение
точки А известно для любого момента времени (любого угла поворота звена ОА).
Рис. 22. Построение плана положений шарнирного четырехзвенника
Делим окружность радиуса ОА на несколько равных частей, например
на шесть. Обозначим положения конца кривошипа точками А1, А2 , ..., А6.
Точка В (конец коромысла) движется по дуге окружности радиуса СВ.
Проведем эту дугу из центра – точки С. Радиусом, равным длине шатуна АВ,
делаем из точек А1, А2, ..., А6 засечки на дуге окружности.
Соединяем одноименные положения точек А1 и В1, А2 и В2, ..., а также В1
и С, B2 и С, ... . Получаем положения шатуна и коромысла за цикл движения, т.
е. за один оборот кривошипа.
Вращение коромысла против часовой стрелки соответствует
положениям рабочего хода, по часовой стрелке – положениям холостого хода.
Пример 2. Кривошипно-ползунный механизм (рис. 23).
Выбираем крайнее положение кривошипа (кривошип и шатун
располагаются на одной линии).
Рис. 23. Построение плана положений кривошипно-ползунного механизма
Делим окружность радиуса ОА на равные части. Из точек деления (А1, А2, …)
делаем засечки на оси движения ползуна (В1, В2 ...) радиусом, равным длине
шатуна. Соединяем одноименные точки (А1 и В1, А2 и В2...).
Найденные положения точки В определяют положение поршня (ползуна)
при рабочем ходе – В1, В2, В3; при холостом ходе – В4, В5.
3.4. Планы скоростей плоских механизмов
Планом скоростей называют чертеж, на котором изображены в виде
отрезков векторы, равные по модулю и по направлению скоростям различных
точек механизма в данном положении.
Для построения плана скоростей необходимы следующие исходные
данные:
− план механизма с указанием размеров;
− угловая скорость начального звена.
Из теоретической механики известно, что любое движение плоского тела
может рассматриваться как сумма двух движений: вращение относительно
некоторой точки (полюса) и поступательное (переносное) движение полюса.
Используя этот принцип, рассмотрим решение задач на определение скоростей
точек звеньев, образующих пары 5-го класса.
Задача 1. Определение скоростей точек звена, входящего во вращательную
пару с другим звеном.
Дано: VA – вектор скорости точки А; ω BA – угловая скорость звена АВ,
размеры звеньев.
Определить: скорости точек В и С (VB и VC ) (рис. 24, а).
а)
б)
Рис. 24. Построение плана скоростей точек звена, входящего во вращательную
пару
В соответствии с теоремой сложения скоростей абсолютная скорость (VB )
точки равна геометрической сумме переносной ( VA ) и относительной ( VBA )
скоростей этой точки:
VB = VA + VBA ,
(3.1)
где VBA = ω BAl AB – относительная скорость точки В во вращательном
движении вокруг точки А; вектор VBA направлен перпендикулярно звену АВ (т.
е. радиусу вращения).
Аналогично:
VC = VA + VCA ,
(3.2)
где VCA = ω BAl AC – вектор этой скорости направлен перпендикулярно
звену АС (VCA ⊥ AC ).
Построим векторные уравнения (3.1) и (3.2).
1. Выбираем произвольную точку рV – полюс плана скоростей и
откладываем в направлении вектора VA отрезок произвольной длины рVa
(рис. 24, б). При этом определяем значение масштабного коэффициента плана
скоростей:
(3.3)
µ V = VA / рV a.
2. Строим
вектор
VBA
.
Из
точки
а
проводим
прямую,
перпендикулярную АВ, и откладываем отрезок ab в выбранном масштабе:
ab = VBA / µ V = ω BA lAB / µ V.
(3.4)
3. Суммарный вектор – абсолютная скорость точки В определится
отрезком рVb:
VB = рV b × µ V.
(3.5)
4. Аналогично находим скорость точки С. Из точки а в направлении,
перпендикулярном
АС, откладываем отрезок ac, изображающий
относительную скорость с учетом масштабного коэффициента:
ac = ω AB lAC / µ V.
(3.6)
Соединяем полюс рV с полученной на плане скоростей точкой С. Измерив на
плане величину отрезка рVс, находим значение абсолютной скорости точки С:
VC = рVc × µ V .
(3.7)
5. С другой стороны скорость точки С можно определить, приняв
движение точки В за переносное:
VC = VB + VCB .
(3.8)
На плане скоростей (рис. 24, б) относительная скорость VCB – это вектор bc ,
направленный перпендикулярно стороне звена ВС (рис. 24, а). Соединив точки
b и с, получим на плане скоростей графическое изображение уравнения (3.8).
Сравнивая треугольники ABC и abс на рис. 24, можно заметить, что эти
фигуры подобны и сходственно расположены, так как стороны их взаимно
перпендикулярны и отрезки ab, ас, bс пропорциональны длинам сторон звена АВ,
АС, ВС.
6. Зная направление вектора относительной скорости VBA (на плане
отрезок ba) можно определить направление угловой скорости ω BA.
Задача 2. Определение скоростей точек звена, входящего в поступательную
пару.
Дано: ω АO – угловая скорость звена ОА (рис. 25);
VAAx – скорость
звена АВ относительно направляющей х-х.
Определить: скорость точки A (VA ), лежащей на звене АВ (рис. 25).
Рис. 25. Построение плана скоростей точек звена, входящего в поступательную
пару
Точки А и Аx совпадают, но принадлежат разным звеньям: А – звену АВ; Аx
– звену ОА (или направляющей х-х). Cкорость точки A определяется
уравнением:
(3.9)
VA = VAx + VAAx ,
где VAx – скорость переносного движения точки Аx, принадлежащей
направляющей, перпендикулярна ОА;
VAAx – скорость относительного движения точки A относительно Аx
направлена параллельно ОА.
Переносная скорость определяется из выражения:
VAx = ω xx lOB = ω АО lOB,
(3.10)
где ω xx – угловая скорость вращения направляющей х-х.
Вектор VAx откладываем из полюса перпендикулярно ОА в виде отрезка
произвольной длины рVax.
Определяем масштабный коэффициент
µ V = VAx / pV ax.
(3.11)
Вектор VAAx откладываем с учетом масштабного коэффициента в
направлении, параллельном направляющей х-х (см. рис. 25), в виде отрезка aax
aax = VAAx / µ V.
(3.12)
Вектор pV a (VA ) определяется как результирующий при сложении векторов
pV ax и aax (см. рис. 25). Значение скорости точки A определяется из выражения
VA = pVa µ V.
(3.13)
3.5. Свойства плана скоростей
На основании рассмотренных построений можно определить следующие
свойства плана скоростей:
− на плане скоростей лучи, выходящие из полюса, изображают
абсолютные скорости точек звена, а отрезки, соединяющие концы лучей, –
относительные скорости соответствующих точек;
− неподвижные точки плана механизма на плане скоростей
располагаются в полюсе;
− векторы относительных скоростей направлены на плане скоростей
к первой букве индекса. Например, VCB – скорость точки С относительно В на
плане скоростей читается: «отрезок bс, вектор направлен к точке с»;
− векторы относительных скоростей точек жесткого звена образуют на
плане скоростей фигуру, подобную этому звену, повернутую на 90° в
направлении угловой скорости звена. Этот вывод называется принципом
подобия в плане скоростей и позволяет определить скорость любой точки звена
графически, если известны скорости хотя бы двух точек этого звена;
− имея построенный план скоростей, всегда можно построить
касательную и нормаль к траектории движения точки, не строя траекторию.
Любая абсолютная скорость – касательная к траектории движения;
− имея построенный план скоростей, можно определить мгновенный центр
скоростей всех звеньев механизма.
3.6. Планы ускорений плоских механизмов
Чертеж, на котором изображены в виде отрезков векторы, равные по
модулю и направлению ускорениям различных точек звеньев механизма в
данном положении, называется планом ускорений.
Рассмотрим решение двух задач на определение ускорений точек
звеньев, образующих кинематические пары 5-го класса, аналогично решению
задач о скоростях (см. раздел 3.4).
Задача 1. Определение ускорений точек звена, входящего во вращательную
пару с другим звеном.
Дано: план скоростей механизма для данного положения (см. рис. 25);
угловая скорость звена АO – ω АО = const;
угловая скорость звена ABC – ω BА;
угловое ускорение звена ABC – ε BA;
размеры всех звеньев (рис. 26).
Определить: ускорения точек А, В и С ( a A , aB , aC ).
Рис. 26. Построение плана ускорений точек звена, входящего во вращательную
пару
Ускорение точки А звена, совершающего вращательное движение с
постоянной скоростью, определится как нормальное ускорение:
аА = аАn = ω AO2 lAO.
Вектор a A направлен к центру вращения (точке O) параллельно звену OА.
Выбираем точку pa – полюс плана ускорений. Откладываем из полюса
вектор a A в виде отрезка произвольной длины paа в направлении к центру
вращения (точке O) параллельно OА. Определяем масштабный коэффициент:
(3.14)
µ a = аА / paа.
Абсолютное ускорение точки В складывается из переносного ускорения (
aA ) и относительного ускорения ( aBA ) во вращательном движении точки В
вокруг А:
aB = aA + aBA .
(3.15)
Поскольку относительное движение – вращательное, выражение (3.15)
можно записать в виде:
aB = a A + aBAn + aBAτ ,
(3.16)
n
2
где аBА = ω AB lAB – нормальное ускорение в относительном движении,
направленное по радиусу вращения (АВ) к центру вращения (точке А);
aBAτ = ε AB lAB – касательное ускорение в относительном движении,
направленное перпендикулярно радиусу вращения.
Построим уравнение (3.16) в виде суммы векторов (см. рис. 26). Из точки а
на плане ускорений откладываем в направлении к центру вращения с учетом
масштаба вектор нормального ускорения a n BA (an BA). Величина отрезка an
определяется соотношением:
an = ω AB2 lAB / µ a.
(3.17)
От полученной точки n в направлении, перпендикулярном АВ,
откладываем отрезок nb, изображающий в масштабе касательную
составляющую относительного ускорения aBAτ :
aBAτ = ε AB lAB / µ a.
(3.18)
Направление вектора aBAτ определяется с учетом направления углового
ускорения ε AB (в данном примере – вниз).
Соединяя точку pa с точкой b, получаем результирующий вектор, который
изображает абсолютное ускорение точки В (3.16):
a B = p ab µ a.
(3.19)
Аналогично строятся векторные уравнения для точки С (см. рис. 26):
aC = aB + aCB n + aCB τ ;
(3.20)
aC = a A + aCAn + aCAτ .
(3.21)
Определим значения полных относительных ускорений:
aBA = (aBAn )2 + (aBAτ )2 .
(3.22)
С учетом известных из теоретической механики формул:
aBA = lBA ω 4 AB + ε 2 AB .
(3.23)
Аналогично:
aCA = l AC ω 4 AB + ε2 AB ;
(3.24)
aCB = lBC ω 4 AB + ε2 AB .
(3.25)
Определим тангенс угла, определяющего направление
относительного ускорения (см. рис. 26):
τ
a
BA
tgϕ =
aBA
n=
ε ABl AB
2
ω ABl AB
= εAB
ω 2 AB
.
полного
(3.26)
Из формулы (3.26) следует, что тангенс угла ϕ не зависит от того, какая
точка звена рассматривается и одинаков для всех относительных ускорений.
Из выражений (3.23)–(3.26) следует, что относительные ускорения
точек звена ABC пропорциональны длинам сторон и повернуты на один и
тот же угол.
Следовательно, △abc в плане ускорений и △ ABC (жесткое звено)
подобны и сходственно расположены.
Задача 2. Определение ускорений точек звена, входящего в
поступательную пару.
Дано: размеры всех звеньев (рис. 27);
план скоростей механизма для данного положения;
угловая скорость звена АO – ω АО ≠ const;
ε AO= ε ХХ – угловое ускорение звена ОА, т. е. направляющей х-х; угловая
скорость звена АB – ω АB.
Определить: ускорение точки A звена АВ – a A .
Рис. 27. Построение плана ускорений точек звена, входящего в поступательную
пару
Точки А, А х совпадают, но принадлежат разным звеньям: А – звену АВ, Ах
– звену ОА (направляющей х-х).
Движение звена ОА – вращательное, неравномерное, поэтому ускорение
a Ax складывается из нормальной ( aAx n ) и касательной ( aAx τ ) составляющих:
a Ax = aAx n + aAx τ ;
aAx n = ω AO2 lOA.
(3.27)
(3.28)
Построим уравнение (3.27) в виде суммы векторов (рис. 27). Из точки pа на
плане ускорений откладываем вектор нормального ускорения a Ax n в виде
отрезка произвольной длины pan в направлении к центру вращения (точке O)
параллельно ОА. Определяем масштабный коэффициент:
µ a = aAx n / pan,
тогда
aAx τ = ε AO lAO / µ a.
(3.29)
От полученной точки n в направлении,
откладываем отрезок nax, изображающий в
перпендикулярном АO,
масштабе касательную
составляющую ускорения a Ax τ , в направлении углового ускорения ε AO (в
данном примере – вниз).
Соединяя точку pa с точкой ax, получаем вектор a Ax , который изображает
абсолютное ускорение точки Ax (3.16):
a Ax = paax µ a.
(3.30)
Для определения абсолютного ускорения точки A ( a A ) запишем два
уравнения. Первое – из рассмотрения поступательного движения точки A звена
AB относительно точки Ax звена AO:
a A = a Ax + a AAx r + a AAx k ,
(3.31)
где a Ax – переносное ускорение точки Aх принадлежащей направляющей
х-х, вращающейся вокруг оси О;
a AAx r – относительное ускорение точки A в поступательном движении
вдоль направляющей х-х;
a AAx k – ускорение Кориолиса (поворотное).
Составляющая Кориолисова ускорения обусловлена приращением вектора
переносной скорости вследствие изменения длины радиуса вращения l0А,
а также поворотом вектора относительной скорости.
Согласно правилу Жуковского, для плоского движения направление
Кориолисова ускорения определяется поворотом вектора относительной
скорости на 90° в направлении переносной угловой скорости, а величина
ускорения рассчитывается по формуле:
(3.32)
a AAx k = 2ω АОVAAx = 2ω xxVAAx .
На плане ускорений строим сумму векторов (3.28). Из точки ax
откладываем отрезок axr = 2ω xxVAAx µ a в направлении, определямом
поворотом вектора VAAx на 90° в сторону ω АО. Через точку r проводим прямую,
соответствующую направлению ускорения a AAx r , параллельно ОА.
Второе уравнение для определения ускорения a A запишем, рассмотрев
движение звена АВ. Звено АВ вращается относительно неподвижной точки В.
Исходя из этого:
(3.33)
a A = a AB n + a AB τ ,
где aAB n = ω AB2 lAB и направлено параллельно АВ в сторону центра
вращения В;
a AB τ направлено перпендикулярно звену АВ.
На плане ускорений строим сумму векторов (3.33). Из точки b (pa)
откладываем отрезок bn = ω AB2 lAB µ a. Через точку n проводим прямую,
соответствующую направлению ускорения a AB τ , до пересечения с прямой,
соответствующей направлению ускорения a AAx r , в точке a.
Соединяя точку pa с точкой a, получаем вектор a A , который изображает
абсолютное ускорение точки A, вычисляемое по формулам (3.31), (3.33):
a A = p aa µ a .
(3.34)
3.7. Свойства плана ускорений
На основании рассмотренных построений можно вывести следующие
свойства плана ускорений:
− векторы абсолютных ускорений всегда выходят из полюса;
− отрезки, соединяющие концы векторов абсолютных ускорений на плане
ускорений, изображают полные относительные ускорения. Направление
относительного ускорения к той букве плана ускорений, которая стоит первая в
его обозначении;
− полные нормальные ускорения всегда выходят от полюса и направлены
к центру вращения звена;
− неподвижные точки механизма на плане ускорений находятся в полюсе;
− векторы относительных ускорений точек жесткого звена образуют на
плане ускорений фигуру, подобную этому звену и повернутую относительно его
на угол (180° – ϕ ) в направлении углового ускорения. Этим определяется
принцип подобия в плане ускорений;
− зная относительные ускорения хотя бы двух точек звена, можно
определить ускорение любой точки этого звена, пользуясь принципом подобия;
− имея построенный план ускорений можно определить мгновенный
центр ускорений (МЦУ).
3.8. Определение скоростей и ускорений структурных групп
3.8.1. Группа Ассура 1-го вида
Задача 1. Построение плана скоростей.
Дано: скорости точек VA и VC (рис. 28, а).
а)
б)
Рис. 28. Построение плана скоростей структурной группы 1-го вида
Определить: скорости точек VB , VD , VE ; угловые скорости звеньев ω AB,
ω BC.
Выразим скорость точки В в виде суммы векторов переносного и
относительного движения:
VB = VC + VBC ;
(3.35)

VB = VA + VBA . 
Скорость точки В неизвестна ни по величине, ни по направлению.
Относительные скорости VBA и VBC неизвестны по величине, но известны по
направлению:
VBA ⊥ AB ; VBC ⊥ BC .
Система векторных уравнений определима, если число уравнений равно
числу неизвестных, умноженному на 2. Наша система содержит два векторных
уравнения и четыре неизвестных.
Строим план скоростей (рис. 28, б). Откладываем произвольный
отрезок рVа в направлении вектора VA , определяем масштабный коэффициент:
µ V = VA / рVа.
С учетом масштабного коэффициента откладываем отрезок рVс в
направлении вектора VC :
pVс = Vc / µ V.
Строим сумму векторов (3.35).
Через точку а проводим прямую, перпендикулярную АВ, через точку с –
прямую, перпендикулярную ВС.
Точка b пересечения этих прямых (направлений относительных
скоростей) определяет общее решение двух уравнений (VB ):
VB = pVb µ V.
Скорость точки D определяем по принципу подобия. Для этого строим на
отрезке bс подобный и сходственный треугольник (∆ BDC ~ ∆ bdc).
Соединяем полюс с точкой d и определяем скорость точки D:
VD = pVd µ V.
Скорость точки Е определяем также по принципу подобия:
АВ / АЕ = ab / ae,
(3.36)
отсюда
ае = аb АЕ / АВ.
(3.37)
Отложив на отрезке аb плана скоростей длину отрезка ае, соединяем
точку е с полюсом и определяем скорость точки Е:
VE = рVе µ V.
Далее определяем угловые скорости звеньев:

ω BA =VBA l = ab ⋅ µV AB ⋅ µ ; 



V
cb
⋅
µ
BC
V
ω BC =
=
,
CB ⋅ µl 
lBC
AB
l
(3.38)
где ω BA – угловая скорость звена АВ;
ω BC – угловая скорость звена ВС;
АВ, ВС – отрезки на плане механизма, изображающие длины звеньев;
µ l – масштабный коэффициент длин.
Чтобы
определить
направление
угловых
скоростей,
векторы
относительных скоростей ba и bc следует мысленно перенести в точку В
плана механизма. Вектор относительной скорости ba вращает звено АВ по
часовой стрелке, вектор bc вращает звено ВС против часовой стрелки (рис. 28).
Задача 2. Построение плана ускорений.
Дано: ускорения точек a A и aC (рис. 29, а). Известны все скорости, так как
план скоростей уже построен (рис. 28, б).
а)
б)
Рис. 29. Построение плана ускорений структурной группы 1-го вида
Определить: ускорения точек aB , aD , aE ; угловые ускорения звеньев ε BA,
ε BC.
Векторные уравнения для построения плана ускорений:
aB = a A + aBAn + aBAτ ; 
(3.39)

n
τ 
aB = aC + aBC + aBC .
Векторы a A , aC известны по величине и направлению. Величину векторов
aBAn , aBC n можно определить, а направления их известны:
аВAn = ω AB2 lAB ; aBAn АВ (вектор направлен от точки В к точке А);
аВCn = ω BC2 lBC ; aBC n ВС (вектор направлен от точки В к точке С).
Касательные составляющие относительных ускорений известны только по
направлению:
aBAτ ⊥ AB ;
aBC τ ⊥ BC .
Таким образом, имеется два векторных уравнения с четырьмя
неизвестными, которые необходимо решить, чтобы определить ускорение aB .
Из полюса pa (рис. 29, б) откладываем в направлении вектора a A отрезок
произвольной длины paа.
Определяем масштабный коэффициент плана ускорений:
µ a = аA / paа.
С учетом масштаба строим все остальные векторы. Ускорение точки С –
в виде отрезка pac:
p aс = а C / µ a.
Из точек а и с откладываем в масштабе векторы aBAn и aBC n в
соответствующих направлениях:
аn = аВAn / µ a; an AB;
cn1 = аВCn / µ a; cn1 BC.
Через точки n и n1 проводим прямые, соответствующие направлениям
касательных ускорений (через точку n – перпендикуляр к звену АВ, через
точку n1 – перпендикуляр к звену ВС).
Точка пересечения этих двух прямых определяет ускорение точки В:
аВ = pab ⋅ µ a.
Ускорения точек D и Е определяются по правилу подобия. Для этого на
отрезке be, изображающем полное относительное ускорение aBC , строим
треугольник bde, подобный и сходственный с треугольником BDC. Находим
ускорение точки:
a D = p ad ⋅ µ a.
Из пропорционального деления отрезков определяют отрезок,
изображающий ускорение точки Е:
ае = ab ⋅ АЕ / АВ,
затем длину отрезка пе умножают на масштабный коэффициент:
аE = ne ⋅ µ a.
Угловые ускорения находят по касательным составляющим относительных
ускорений (рис. 29, б):
aBAτ nb ⋅ µa
εAB =
=
.
lAB
AB ⋅ µl
(3.40)
Направления угловых ускорений звеньев определяют, мысленно перенося
векторы n1b и n b с плана ускорений в точку В. Первый вектор вращает
звено ВС против часовой стрелки, второй – вращает звено АВ по часовой
стрелке.
Направления угловых ускорений показаны круговыми стрелками (рис. 29, а).
3.8.2. Группа Ассура 2-го вида
Построение планов скоростей и ускорений рассмотрим на примере
кривошипно-ползунного механизма (рис. 30).
Порядок построения, обозначения, формулы аналогичны рассмотренным
ранее, поэтому этот и последующие разделы даны в конспективной форме, без
подробных текстовых объяснений.
а)
б)
в)
Рис. 30. Пример построения плана скоростей и ускорений структурной группы
2-го вида: а) план механизма; б) план скоростей; в) план ускорений
Пример.
Дано: кинематическая схема механизма; угловая скорость кривошипа ω ОА.
Определить: скорость и ускорение точки В; угловую скорость и угловое
ускорение звена АВ.
Механизм образован присоединением к ведущему звену группы Ассура
II класса 2-го вида. Выделим эту группу и построим для нее план скоростей
(рис. 30, б). Скорость точки В определим с помощью уравнения:
VB = VA + VBA .
Известны величина и направление скорости точки A, вычисляемой по
формуле VA = ω OA ⋅ lOA ; направления скоростей VBA и VB , где VBA ⊥ AB ;
VB x-x.
Отрезок paа, изображающий скорость точки А на плане, выбираем
произвольным по величине.
Масштабный коэффициент µ V = VA / pVа.
Через точку А проводим направление относительной скорости VBA ⊥ AB ;
через полюс (неподвижную точку) проводим направление абсолютной скорости
точки В – горизонтальную прямую, параллельную x-x. Определяем скорость
точки В
VB = p V b ⋅ µ V .
Угловая скорость звена АВ
ω AB = VBA / lAB = ab ⋅ µ V / АВ ⋅ µ l.
Вектор относительной скорости вращает звено против часовой стрелки
(рис. 30).
План ускорений строим по уравнению:
aB = a A + aBA = a A + aBAn + aBAτ ,
где a n BA = ω 2 ABl AB ; a n BA AB;
aBAτ ⊥ AB, aB x − x .
На плане ускорений, построенном с учетом масштабного коэффициента
µa = a A p a , правая часть уравнения изображена соответствующими
a
векторами: pa a , an , nb .
Результирующий вектор pab изображает абсолютное ускорение точки В
aB = pab ⋅ µa .
Угловое ускорение звена АВ находим по касательной составляющей aBAτ :
εAB
τ
a
BA
=
l AB =
nb ⋅ µa
AB ⋅ µl .
Направление углового ускорения находим, перенося вектор касательной
составляющей относительного ускорения nb в точку В механизма (рис. 30, в, а).
3.8.3. Группа Ассура 3-го вида
Построение планов скоростей и ускорений рассмотрим на примере
кулисного механизма, который образован присоединением к механизму I класса
группы Ассура II класса 3-го вида (рис. 31).
а)
б)
в)
Рис. 31. Пример построения плана скоростей и ускорений структурной группы
3-го вида:
а) план механизма; б) план скоростей; в) план ускорений
Пример.
Дано: кинематическая схема механизма; угловая скорость кривошипа ω AB.
Определить: скорость и ускорение точек В' и D кулисы; угловую скорость
и угловое ускорение кулисы.
Строим план скоростей (рис. 31, б) по векторному уравнению:
VB ' = VB + VB ' B ,
где VB – скорость точки В конца кривошипа и кулисного камня, VB = ω
AB lAB; VB ⊥ AB ;
VB ' B – относительная скорость движения камня по кулисе, VB ' B DC ;
VB ' – скорость точки В', принадлежащей кулисе, VB ' ⊥ DC .
Имеем одно векторное уравнение с двумя неизвестными: величиной VB ' и
величиной VB ' B . Перпендикулярно АВ откладываем отрезок произвольной
величины, изображающий известную скорость VB . Масштабный коэффициент
плана скоростей µ V = VB / рVb.
Через точку b проводим направление относительной скорости
(параллельно кулисе DC), через полюс – направление абсолютной скорости
точки В' (перпендикулярно кулисе). Точка пересечения определяет скорость
точки В' кулисы: VB' = pVb' µ V.
Скорость точки D находим по принципу подобия: строим на плане
скоростей отрезок pVd, пропорциональный длине кулисы CD:
pVd = (pVb'CD) / CB'; VD = pVd µ V.
Угловая скорость кулисы ( ω CD) определится из соотношения:
ω СD = VD / lCD.
Направление угловой скорости находим, мысленно перенося вектор
относительной скорости с плана скоростей в соответствующую точку
механизма. Кулиса вращается по часовой стрелке (рис. 31, а, б).
План ускорений строим по векторному уравнению
aB ' = a B + a B ' B k + aB ' B r ,
n
где аВ = аВ = ω AB2 lAB – нормальное ускорение переносного движения
(ускорение точки В конца кривошипа и кулисного камня).
Вектор нормального ускорения направлен от точки В к точке А: a n B AB .
Откладываем в этом направлении отрезок произвольной величины (рис. 31, в)
n
и определяем масштабный коэффициент плана ускорений µ a = а B / pab.
Второй член уравнения – Кориолисово ускорение – вычисляем по формуле
aB ' B k = 2ωCDVB ' B ,
где VB ' B = bb '⋅ µV (рис. 31, б).
Направление Кориолисова ускорения определяем поворотом вектора
относительной скорости ( bb′ – на плане скоростей) на 90° в направлении
угловой скорости кулисы ( ω CD). Из точки b (рис. 31, в) откладываем в масштабе
величину Кориолисова ускорения bk =
aB ' B k
µa .
Через точку k проводим направление релятивного ускорения aB ' B r CD .
Величина этого ускорения неизвестна, значит, требуется составить еще одно
векторное уравнение. Кулиса вращается неравномерно, поэтому ускорение
точки В во вращательном движении вокруг точки С складывается из
нормального и касательного:
aB ' = aC + aB 'C n + aB 'C τ ,
где aC = 0, так как С – неподвижная точка и ее ускорение изображается на
плане нулевым отрезком (совпадает с полюсом);
a n B 'C = ω 2CDlB 'C ; a n B 'C B 'C ;
a τ B′C = ε B’C lB’C ; a τ B′C ⊥ B′C .
Откладываем в направлении от В' к С отрезок, изображающий
нормальную составляющую ускорения (рис. 31, в):
pa n =
a n B 'C
µa .
Через точку n проводим направление касательного ускорения
(перпендикулярно кулисе). Получаем точку пересечения b', которая определяет
ускорение точки В' кулисы:
aB ' = pab′ ⋅ µa .
Ускорение точки D находим по принципу подобия:
′
pa d = ( pa b ⋅ CD) CB ' ;
aD = pa d ⋅ µa .
Угловое ускорение кулисы определяем по касательной составляющей aB 'C τ ,
которая на плане ускорений изображается отрезком nb':
τ
εB 'C = aB 'C l
BC
= (nb '⋅ µa ) ( BC ⋅ µ ) .
l
Направление углового ускорения находим, перенося вектор nb' (рис. 31, в)
в точку В' кулисы (рис. 31, а). Угловое ускорение направлено против часовой
стрелки.
3.9. Аналоги скоростей и ускорений
Во многих случаях при проектировании машин и механизмов законы
движения звеньев в функции времени можно определить только на
последующих стадиях проектирования, как правило, после динамического
анализа с учетом приложенных сил. В таких случаях движение звеньев
определяется в два этапа: сначала устанавливаются зависимости
кинематических параметров в функции обобщенной координаты (угла поворота
ведущего звена), а затем определяется закон изменения обобщенной
координаты во времени. Для выполнения подобных расчетов вводятся понятия
аналогов скоростей и ускорений.
Аналогом скорости какой-либо точки называется первая производная
радиус-вектора этой точки по обобщенной координате. Для поступательного
движения перемещение точки можно считать равным радиус-вектору. Тогда
аналог скорости, согласно определению, следует принимать равным:
S'1 = dSi / d ϕ ,
(3.41)
где ϕ 1 – обобщенная координата (угол поворота звена 1);
Si – перемещение точки i-гo звена.
Скорость данной точки Vi = dSi / dt, поэтому:
dSi dSi dϕ1
=
⋅
.
dt dϕ1 dt
(3.42)
Учитывая формулу (3.42), получаем связь между истинной скоростью и ее
аналогом:
Vi = S 'i⋅ ω1 ,
(3.43)
где ω 1 – угловая скорость начального звена.
Физический смысл аналога скорости – это скорость той же точки при ω
-1
1=1с .
Аналогом ускорения точки называется вторая производная радиусвектора точки по обобщенной координате.
Чтобы
установить
связь
ускорения
с
аналогом
ускорения,
продифференцируем (3.43) по времени:
ai =
dω
dVi d ( S 'i ω1 )
dS dϕ
=
= ω1 i ⋅ 1 + S 'i 1 .
dt
dt
dϕ1 dt
dt
Окончательно получим:
ai = S "i ω12 + S 'i ε1 ,
(3.44)
(3.45)
где ai – ускорение точки i-го звена;
S "i – аналог ускорения той же точки;
ε 1 – угловое ускорение начального звена.
При вращательном движении звена вводятся понятия аналогов угловых
скоростей и ускорений.
Аналогом угловой скорости называется первая производная от угла
поворота по обобщенной координате механизма:
ϕ 'i = d ϕi d ϕ ,
(3.46)
1
где ϕi – угол поворота i-гo звена.
Угловая скорость звена ω1 связана с ее аналогом соотношением
ωi = ϕ 'i ω1 .
(3.47)
Аналогом углового ускорения называется вторая производная от угла
поворота звена по обобщенной координате механизма. Дифференцируя
уравнение (3.47) по времени, получим:
εi = ϕ "i ⋅ ω12 + ϕ 'i ⋅ ε1 .
(3.48)
Из формул (3.47) и (3.48) видно, что аналоги угловых скоростей и угловых
ускорений являются безразмерными величинами.
3.10. Графическое дифференцирование и интегрирование как методы
кинематического анализа
Графическое изображение изменения основных кинематических
параметров механизма за полный цикл движения называется кинематической
диаграммой.
Если одна из кинематических функций задана в форме графика или в виде
таблицы значений, то найти производную или интеграл от этой функции
непосредственно в аналитической форме невозможно.
В этом случае используют методы графического дифференцирования и
интегрирования.
Основное достоинство данного метода, как и у большинства графических
методов, – наглядность и простота; недостаток – невысокая точность. Метод
основан на геометрическом смысле производной, которая представляет собой
тангенс угла наклона касательной в данной точке кривой к оси абсцисс.
Обычно кривую заменяют ломаной линией и принимают следующее
допущение: угол наклона касательных в точках, расположенных на середине
каждого участка кривой, равен углу наклона соответствующей хорды. Это вносит некоторую погрешность, но она не суммируется, что обеспечивает
приемлемую точность метода.
На рис. 32 изображена кинематическая диаграмма перемещений точки
в масштабе.
Рис. 32. К определению кинематических параметров методом кинематических
диаграмм
Пусть за бесконечно малый промежуток времени ∆t перемещение точки
увеличилось на ∆S . Тогда скорость точки на этом участке определится из
выражения
V=
∆Sµs
.
∆tµt
(3.49)
Из чертежа (рис. 32) следует, что
∆S
= tg α , a с учетом принятого
∆t
допущения это и есть первая производная (в пределе хорда превратится в
касательную), поэтому:
µ

V =  S µ ⋅ tgα .
(3.50)

t
Проведем из точки Р, расположенной слева от оси абсцисс на
произвольном расстоянии Н, прямую, параллельную хорде аb до пересечения с
осью ординат. Эта прямая отсекает на оси ординат отрезок ОА, длина которого
определяется из треугольника АОР:
(3.51)
OA = H ⋅ tgα .
V
µS ⋅ H .
=
OA
µ
(3.52)
t
Правая часть уравнения содержит только постоянные величины,
следовательно, она является также величиной постоянной и представляет собой
масштабный коэффициент скорости:
µV = µS µ ⋅ H .
(3.53)
t
Отрезок ОА, отсекаемый лучом РА на оси ординат, изображает скорость на
бесконечно малом участке ∆t в масштабе скоростей µV .
3.11. Кинематическое исследование механизмов методом диаграмм
3.11.1.
Последовательность графического дифференцирования
Задана диаграмма перемещений точки S = f(t) (рис. 33).
Требуется построить диаграмму скоростей.
Рис. 33. Графическое дифференцирование кинематических диаграмм
Делим участок оси абсцисс на несколько равных частей, например, на
шесть. Кривую заменяем ломаной линией abcdefg (т. е. полагаем, что на
каждом участке скорость постоянна). В новой системе координат выбираем
точку Р на расстоянии Н и проводим из нее прямые, параллельные
соответствующим хордам (Ра' || аb, Рb' || bс, ..., Pf' || fg), до пересечения с
осью ординат. Значения средних скоростей спроектируем на соответствующие
участки оси абсцисс (0-1, 1-2, ..., 5-6). Получим ступенчатый график
скорости. Через середины отрезков проводим плавную кривую. Полученная
кривая позволяет определить скорость точки в любом положении механизма.
Для этого измеряем ординату в соответствующей точке и умножаем ее на
масштабный коэффициент:
Vi = yi µ V.
(3.54)
Значения масштабного коэффициента (3.53) зависят от расстояния Н, на
котором выбирается полюс Р.
3.11.2.
Последовательность графического интегрирования
Графическое интегрирование осуществляется в обратном порядке. Пусть
задана диаграмма ускорений в виде плавной кривой (рис. 34).
Рис. 34. Графическое интегрирование кинематических диаграмм
Делим участок оси абсцисс на равные отрезки и заменяем кривую
ступенчатым графиком по точкам a1, b1, ..., f1, соответствующим серединам
отрезков времени.
Проектируем точки a1, b1, ..., f1 на ось ординат и соединяем полученные
точки a', b', ..., f ' с полюсом (точкой Р), выбранным на произвольном
расстоянии Н от начала координат.
В новой системе координат принимаем точку а на оси ординат, имеющую
координату S0. Это – постоянная интегрирования, соответствующая началу
отсчета; определяется из начальных условий.
Проводим в пределах соответствующих интервалов времени (0-1,1-2, ..., 5-6)
хорды ab, be,..., fg параллельно лучам Ра', Рb', ..., Pf. Получаем график в виде
ломаной линии, которую заменяем плавной кривой.
Масштабный коэффициент полученной диаграммы в соответствии с
зависимостью (3.53) определяется по формуле
µa = µV µ ⋅ H .
(3.55)
t
Отсюда получаем
µV = H ⋅ µa µt ,
(3.56)
где µ a – масштабный коэффициент диаграммы ускорений.
3.12. Аналитические методы кинематического исследования механизмов
Аналитический метод нахождения перемещений, скоростей и ускорений
позволяет получить результаты с наиболее высокой точностью. Однако этот
метод часто приводит к громоздким математическим зависимостям, которыми
можно пользоваться только при работе с ПК.
Рассмотрим аналитический метод на примере простейшего механизма –
кривошипно-ползунного (рис. 35).
Рис. 35. К определению кинематических параметров механизма аналитическим
методом
Пример.
Дано: ω – угловая скорость кривошипа; r – длина кривошипа; l – длина
шатуна; а – дезаксиал (смещение осей).
Определить: перемещение, скорость, ускорение точки В.
Положение кривошипа определяется углом ϕ = ω t; положение шатуна –
углом β .
Ползун занимает крайнее положение В0, когда кривошип и шатун лежат на
одной прямой. Отсчет перемещений ползуна будем вести из точки В0 и
определять координатой x.
x =В0С – ВС.
(3.57)
Из треугольника △В0ОС получаем
В0С2 = ОВ02 – ОС2 = (r + l)2 – а2,
(3.58)
ВС = CD + BD = r соs ϕ + l cos β .
(3.59)
Выразим cos β через угол ϕ – обобщенную координату (из △ADB – см.
рис. 35):
AD = l sin β ;
AD = а + r sin ϕ .
Приравниваем правые части последних двух уравнений:
l sin β = a + r sin ϕ .
Отсюда
sin β =
a + r sin ϕ
.
l
Тогда
2
 a + r sin ϕ 
cos β = 1 − 
 .


l
(3.60)
Полученные выражения (3.58), (3.59), с учетом (3.60) подставим в
формулу (3.57):
2
 a + r sin ϕ 
x = (r + l ) − a − r cos ϕ − l 1 − 
 .


l
2
2
(3.61)
Выражение под знаком радикала в последнем члене уравнения (3.61)
можно разложить в степенной ряд:
1
2
4

 2
a
+
r
sin
ϕ
1  a + r sin ϕ  1  a + r sin ϕ 
1 −
 = 1 − 
 − 
 − ... .




l
2
l
8
l
В практических расчетах достаточно использовать первые два члена ряда.
После подстановки и преобразования формула (3.61) примет вид:
x = (r + l ) − a 2 − r cos ϕ − l +
2
a2 a ⋅ r
r2
+
sin ϕ + sin 2 ϕ .
2l
l
2l
(3.62)
Скорость ползуна определяем, дифференцируя выражение (3.62) по времени:
VB =
dx dx d ϕ dx
=
⋅
=
ω.
dt d ϕ dt dϕ
(3.63)
Дифференцируем х по обобщенной координате ( ω = const):


a
r
VB = ω r sin ϕ + cos ϕ + sin 2ϕ .


l
2l
(3.64)
Ускорение ползуна определяем, дифференцируя выражение (3.64) по времени:
dVB dVB d ϕ dVB
=
⋅
=
ω.
dt
d ϕ dt
dϕ
(3.65)
Дифференцируем VB по обобщенной координате ( ω = const):


a
r
aB = ω 2 r cos ϕ + sin ϕ + cos2ϕ .
(3.66)


l
l
Таким образом, скорость и ускорение ползуна определяются соотношениями:
(3.67)
VB = x ' ω ,
где х' – аналог скорости ползуна;
aB = ω 2 x "+ x ' ε ,
(3.68)
где х'' – аналог ускорения ползуна;
ε – угловое ускорение кривошипа.
При равномерном вращении второй член выражения (3.68) превращается в
ноль и ускорение ползуна аB = ω 2 х".
4. ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ
4.1. Задачи и методы силового анализа
Силовой анализ – это изучение влияния внешних сил на звенья механизма,
на кинематические пары и на неподвижные опоры.
Исследование действия сил необходимо для того, чтобы можно было
рассчитать звенья на прочность, на износостойкость, виброустойчивость и
определить необходимую мощность привода.
В результате силового анализа можно определить пути уменьшения
динамических нагрузок и спроектировать машину так, чтобы она имела
достаточную прочность при меньших габаритах и массе.
Если звенья в процессе работы движутся неравномерно, то кроме внешних
сил на них действуют еще и силы инерции. Величина сил инерции зависит от
ускорения, а значит, от закона движения начального звена.
Основная задача силового расчета формулируется следующим образом: по
заданным значениям внешних сил и законам движения начальных звеньев
определить реакции в кинематических парах, а также силы или пары сил,
приложенные к приводу машины.
Методы расчета реакций без учета сил инерции входят в раздел статики, а с
учетом сил инерции – в раздел кинетостатики.
Метод кинетостатики применяется в тех случаях, когда имеются большие
ускорения и силами инерции нельзя пренебречь.
Согласно известному из теоретической механики принципу Даламбера,
звено находится в равновесии, если к действующим на него внешним силам
добавить силы инерции. Поэтому, чтобы определить неизвестные реакции в
кинематических парах, к звеньям механизма следует приложить все внешние
силы, силы инерции, составить уравнения статического равновесия и решить
эти уравнения.
4.2. Характеристика сил, действующих на звенья механизма
Силы и моменты пар сил, приложенные к механизму, можно разделить на
следующие группы:
− движущие силы и моменты сил, совершающие положительную работу;
− силы и моменты сил сопротивления, совершающие отрицательную
работу;
− силы тяжести;
− силы взаимодействия между звеньями, т. е. реакции в кинематических
парах.
Движущие силы и моменты сил, совершающие положительную работу,
приложены к ведущим звеньям.
Силы и моменты сил сопротивления, совершающие отрицательную работу,
делятся на силы полезного сопротивления, которые приложены к ведомым
звеньям, и силы вредного сопротивления со стороны среды, в которой движутся
звенья (последними в силовом анализе пренебрегают).
Силы тяжести на отдельных участках движения могут совершать как
положительную, так и отрицательную работу. Однако за цикл движения
(полный оборот ведущего звена) работа этих сил равна нулю, т. к. центры масс
движутся по замкнутым траекториям.
Силы взаимодействия между звеньями, т. е. реакции в кинематических
парах, согласно третьему закону Ньютона, равны и противоположны по
направлению.
Нормальные составляющие сил реакций работы не совершают, а
касательные составляющие – это силы трения, и они совершают отрицательную
работу. При силовом анализе трением пренебрегают.
Силы и моменты пар сил первых трех групп относятся к категории
внешних сил. Силы 4-й группы являются внутренними, если рассматривать весь
механизм в целом. Если же рассматривать отдельные звенья, то реакции в
кинематических парах со стороны отброшенных звеньев считаются внешними
силами и входят в уравнения равновесия.
При силовом расчете механизмов, в зависимости от задачи и желаемой
точности решения ее, могут быть приняты во внимание те или иные
действующие силы (силы тяжести, силы трения, силы инерции и т. д.)
Так, например, в тихоходных механизмах силы инерции, возникающие в
результате движения, незначительны по сравнению с внешними силами, поэтому
ими в большинстве случаев можно пренебречь, а силы трения необходимо
учитывать.
В быстроходных механизмах силами инерции пренебречь нельзя, т. к. они
могут иметь величину того же порядка, а в некоторых случаях даже большую,
чем внешние силы.
Силовой расчет с учетом сил инерции называется кинетостатическим
методом расчета.
4.3. Кинетостатический метод
Сущность кинетостатического метода сводится к условной замене на
основании принципа Даламбера задачи динамики задачей статики.
В применении к механизмам сущность кинетостатического метода может
быть сформулированного следующим образом.
Если ко всем внешним силам, действующим на звено механизма, условно
приложить силы инерции, то под действием всех этих сил звено может
рассматриваться в равновесии.
При решении задачи кинетостатического расчета должны быть заданы:
− закон движения ведущего звена;
− размеры звеньев;
− массы звеньев механизмов;
− моменты инерции звеньев.
Задача сводится к определению реакций в кинематических парах и
значения уравновешивающего момента (силы).
Эти величины необходимы для расчета деталей на прочность, определение
мощности двигателя, износа трущихся частей и т. д.
4.4. Определение сил инерции
Как известно из теоретической механики, элементарные силы инерции
можно привести к главному вектору FИ и главному моменту M И :
FИ =−maS ; M И =−εJ S ,
(4.1)
где m – масса звена;
aS – ускорение центра масс;
ε – угловое ускорение звена;
J S – момент инерции звена относительно оси, проходящей через центр
масс перпендикулярно плоскости движения (сокращенно – осевой момент
инерции).
Знак «минус» в формулах означает, что сила инерции направлена против
ускорения (момент сил – против углового ускорения).
Следует отметить, что главный вектор и главный момент сил инерции не
имеют физического содержания, и в действительности к звену эти силы не
приложены. Они входят в уравнения кинетостатики как чисто математические
величины, посредством которых учитывается влияние ускоренного движения
звеньев, и условно относятся к разряду внешних сил.
В частных случаях плоское движение может быть вращательным или
поступательным, при этом возникает только момент сил инерции (вращение
звена с ускорением) или же только сила инерции (поступательное неравномерное движение).
С учётом сил инерции уравнения кинетостатики для каждого звена имеют вид:
(4.2)
∑ Fi + FИ = 0; ∑ M i + M И = 0 ,
где Fi , M i – внешние силы и моменты пар сил, приложенные к i-му
звену.
Изучение сил инерции, развивающихся при движении звеньев механизма,
осуществляется в зависимости от характера движения рассматриваемого звена.
Рассмотрим определение сил инерции при поступательном движении
(рис. 36).
Рис. 36. К определению сил инерции при поступательном движении
Дано: m; J S ; ε = 0.
Решение:
FИ = −maS ;
M И = −J S ⋅ ε = 0.
При определении сил инерции звена,, совершающего
Вывод:
поступательное движение, учитывается только сила инерции с модулем, равным
произведению массы на ускорение центра тяжести. Направление
аправление силы инерции
противоположно ускорению,
ускорению точка приложения – центр тяжести звена.
Рассмотрим определение сил инерции при вращательном движении.
движении
1. Вращательное движение с постоянной угловой скоростью
уравновешенного звена; центр тяжести совпадает с центром вращения
(рис. 37).
Рис. 37. К определению сил инерции при вращательном движении с постоянной
угловой скоростью
Дано: m; J S ; ε = 0; aS = 0.
Решение:
FИ = − ma S = 0;
M И = − J S ⋅ ε = 0.
Вывод: Инерционности нет.
2. Вращательное движение с переменной угловой скоростью
уравновешенного звена; центр тяжести совпадает с центром вращения (рис. 38).
Рис. 38. К определению сил инерции при вращательном движении с
переменной угловой скоростью
Дано: m; J S ; ε ; aS = 0.
Решение:
FИ = −maS = 0;
M И = −J S ⋅ ε.
Вывод: В этом случае действует только момент от сил инерции.
3. Вращательное движение с переменной угловой скоростью
неуравновешенного звена; центр тяжести не совпадает с центром вращения
(рис. 39).
Рис. 39. К определению сил инерции при вращательном движении с
переменной угловой скоростью неуравновешенного звена
Дано: m; JS = mρ2; aS ; h – плечо силы; ρ – радиус инерции.
K – центр качания физического маятника, расстояние до которого от
центра вращения A определяется по формуле:
ρ2
J
AK = AS +
= AS + s .
AS
mAS
(4.3)
Решение:
FИ =−maS ;
M И =−J S ⋅ ε.
Сумма моментов от сил инерции, действующих на звено, равна
∑ M A = FИ ⋅ h + M И ;
aSτ
maS ⋅ AS ⋅ sin α + J S ⋅ ε = maS ⋅ AS ⋅ sin α + mρ ⋅
=
AS
a sin α
ρ2
= maS ⋅ AS ⋅ sin α + mρ 2 ⋅ S
= maS ( AS +
) ⋅ sin α;
AS
AS
∑ M A = FИ ⋅ AK ⋅ sin α = FИ ⋅ H .
(4.4)
2
Вывод: Согласно формуле (4.4) инерционность звена в данном случае
учитывается только силой инерции с точкой приложения в точке K.
Положение центра качения маятника нередко имеет существенное
значение в процессе проектирования многих машин. Можно использовать
возникающую силу инерции для совершения полезной работы и тем самым
уменьшить давление на шарниры.
Рассмотрим определение сил инерции при сложном движении.
1. Метод приведения к одной силе (рис. 40а).
Рис. 40а. К методу приведения к одной силе
Дано: m; JS и план ускорений.
Решение: Звено AB совершает сложное движение, которое можно
представить как состоящее из двух элементарных движений:
− переносного поступательного движения вместе с полюсом A;
− относительного вращения звена вокруг полюса A:
a S = a A + a SA ;
−maS =−ma A − ma SA ;
n
o
FИ = FИ +FИ .
Вывод: В случае сложного движения звена инерционность звена можно
представить в виде одной силы инерции FИ , абсолютная величина которой
равна maS (произведению массы на ускорение центра тяжести) и направление
противоположно aS . Точка приложения FИ – точка Т, положение которой
определяется следующим образом:
1) через центр тяжести S проводим линию параллельно ускорению точки,
принятой за полюс (точка A) – a A ;
2) находим положение центра качания физического маятника К по
формуле (4.3);
3) через К проводим линию параллельно вектору ускорения центра
тяжести относительно полюса – aSA ;
4) пересечение этих линий определяет положение точки Т.
2. Метод приведения к силе и моменту (рис. 40б).
Рис. 40б. К методу приведения к силе и моменту
Силы инерции звена можно привести к одной силе инерции FИ ,
приложенной в центре тяжести звена и моменту инерции звена относительно
центра тяжести M И :
FИ =−mas ;
M И =−J s ⋅ ε.
4.5. Условие статической определимости кинематической цепи
Плоская кинематическая цепь может состоять из кинематических пар 5го класса (вращательных,
вращательных, поступательных) и пар 4-го
го класса (высших, у
которых звенья соприкасаются в точке).
Как известно из теоретической механики, сила взаимодействия двух
соприкасающихся тел при отсутствии трения направлена по общей нормали к
их поверхности. В поступательной паре (рис. 41, а) реакции направлены
перпендикулярно направляющей.
направляющей Неизвестных здесь две: величина силы FO1 и
точка ее приложения (расстояние
расстояние h).
а)
б)
в)
Рис. 41. К определению условия статической определимости кинематической
цепи
Во вращательной паре равнодействующая сил реакции направлена по
нормали к цилиндрической поверхности, т. е. проходит через центр шарнира
(рис. 41, б). Неизвестными являются: направление реакции (угол β ) и величина
силы. Таким образом, эта пара также вносит в уравнения кинетостатики две
неизвестных.
Следовательно, от каждой силы, действующей в любой низшей кинематической паре, в расчетных уравнениях (4.2) появляются две неизвестные величины.
В высших парах сила взаимодействия между звеньями направлена по
общей нормали и приложена в точке касания, т. е. известны и направление, и
точка приложения силы (рис. 41, в), неизвестна лишь ее величина. Поэтому в
расчетных уравнениях члены, образованные силами взаимодействия в высших
парах, содержат по одному неизвестному.
В общем случае плоская кинематическая цепь содержит p5 пар 5-го класса
(низших) и p4 пар 4-го класса (высших), поэтому общее число неизвестных
равно:
NH = 2p5 + p4.
(4.5)
Число уравнений статики для каждого звена плоского механизма равно
трем, значит, общее число уравнений для n подвижных звеньев:
NУ = 3n.
(4.6)
Чтобы система была статически определимой, число уравнений (NУ)
должно быть равно числу неизвестных (NH). Приравниваем (4.5) и (4.6), после
чего получим:
3n = 2 p5 + p4,
или
3n – 2 p5 – p4 = 0.
(4.7)
Если заменить высшие пары низшими, то 3n – 2p5 = 0.
Из этого можно сделать вывод, что группы Ассура являются статически
определимыми.
Из выражения (4.7) определяем соотношение между числом звеньев и
числом кинематических пар 5-го класса: n = 2/3p5.
На основании вышеизложенного формулируется общая методика силового
анализа: расчет следует проводить по структурным группам, начиная с
наиболее удаленной от начального звена и заканчивая начальным звеном
(механизмом I класса). Таким образом, силовой расчет проводится в порядке,
обратном кинематическому.
4.6. Силовой расчет структурных групп
4.6.1. Силовой расчет группы 1-го вида
Дано: F 2 , F 3 , M 2 , M 3 – внешние силы и моменты пар сил (в том числе
силы инерции), приложенные к звеньям 2 и 3.
Определить: F12 , F32 , F43 – реакции в кинематических парах (рис. 42).
а)
б)
Рис. 42. Силовой анализ структурной группы 1-го вида: а) расчетная схема; б)
план сил
Решение: Неизвестные реакции покажем пунктиром и разложим на две
составляющие так, чтобы момент одной из них относительно точки В был
равен нулю:
F12n – нормальная составляющая реакции; направлена по звену АВ;
F12τ – касательная составляющая; направлена перпендикулярно звену АВ.
Аналогично разложим реакцию F43 (рис. 42, а), направив F43n по
звену ВС; F43τ – перпендикулярно звену ВС.
Направления векторов принимаем произвольно.
Уравнение равновесия звена 2 относительно точки B:
(4.7)
∑ M B = M 2 + M B ( F2 ) + F12τ l AB = 0 ,
где M B ( F2 ) – момент силы F 2 относительно точки В;
l AB – длина звена АВ (плечо силы F12τ ).
Сумма моментов принимается алгебраической, т. е.
уравнений учитывается направление моментов сил.
Из уравнения (4.7) имеем
M + M B ( F2 )
F12τ =− 2
.
(4.8)
при
решении
l AB
При численных расчетах результат может оказаться и со знаком «плюс», и
со знаком «минус». Если получится знак «плюс», значит, направление вектора
силы реакции принято правильное; если знак «минус», то направление вектора
следует изменить на противоположное.
Уравнение равновесия звена 3 относительно точки B
(4.9)
∑ M B = M 3 + M B ( F3 ) + F43τ lBC = 0 ,
отсюда
M + M B ( F3 )
F43τ =− 3
.
(4.10)
lBC
Уравнение равновесия для всей группы
∑ F = F12n + F12τ + F 2 + F 3 + F43τ + F43n = 0 .
(4.11)
В векторном уравнении (4.11) неизвестны величины сил F12 n и F43n , но
заданы их направления.
Для того чтобы векторная сумма всех сил равнялась нулю, силовой
многоугольник должен быть замкнут. Следовательно, решением уравнения
(4.11) будет точка пересечения направлений сил F12 n и F43n .
Построим уравнение (4.11) путем обычного сложения векторов (рис. 42, б).
Откладываем из точки а последовательно все известные силы, начиная с F12τ в
масштабе сил µ F . В точке b, где находится конец вектора F43τ , начинается
вектор F43n . Проводим через точку b перпендикуляр (направление нормальной
составляющей реакции). В точке а должен находиться конец вектора F12 n , при
этом силовой многоугольник замкнется. Проводим через точку а перпендикуляр
к вектору F12τ . Точка пересечения проведенных двух прямых (точка с)
определяет величину реакций F43n и F12 n .
Графическое изображение векторных уравнений равновесия звеньев или
структурных групп называется планом сил.
Сравним направление полученных на плане сил реакций с произвольно
заданными на расчетной схеме (рис. 42, а). Очевидно, что реакции F12 n и F43n
предположительно были заданы неверно, в действительности векторы
направлены в противоположную сторону. В таких случаях направления реакций
на расчетной схеме следует изменить.
По плану сил определяется равнодействующая реакций F12 и F43 , а также
истинные направления этих векторов (на плане сил показаны пунктиром).
Определим реакцию в шарнире В. Для этого рассмотрим уравнение
равновесия одного из звеньев, например, звена 2. Отброшенное звено 3 заменим
его реакцией F32 на звено 2, т. е. в данном случае F32 выступает как внешняя
сила.
Уравнение равновесия звена 2
(4.12)
∑ F = F12 + F 2 + F 3 + F32 = 0 .
Первые два вектора уже построены (рис. 42, б), остается соединить
конец вектора F2 с началом вектора F12 , чтобы силовой треугольник был
замкнут. Зная масштаб построения плана сил µ F , можно определить
значение вектора F32 .
4.6.2. Силовой расчет группы 2-го вида
Дано: F2 , F3 , M 2 , M 3 – внешние нагрузки, действующие на звенья 2 и 3.
Определить: F12 , F43 , F32 , h – реакции в кинематических парах и точку
приложения реакции в поступательной паре (рис. 43).
а)
б)
в)
Рис. 43. Силовой анализ структурной группы 2-го вида: а) расчетная схема; б)
план сил; в) распределение реакций в поступательной паре
Решение: Разложим реакцию во вращательной паре (в шарнире А) на две
составляющие (рис. 43, а).
Уравнение равновесия звена 2
(4.13)
∑ M B = M 2 + M B ( F 2 ) + F12τ l AB ,
отсюда
M + M B (F 2 )
F12τ =− 2
.
(4.14)
l AB
Уравнение равновесия всей группы
(4.15)
∑ F = F12n + F12τ + F 2 + F 3 + F43 = 0 .
Векторы F12 n и F43 известны только по направлению, остальные – и по
направлению, и по величине.
Строим векторное уравнение в виде плана сил, начиная с известного
вектора F12τ (рис. 43, б), откладывая из точки а последовательно все известные
силы в масштабе µF . Чтобы замкнуть силовой многоугольник, проводим через
точку а перпендикуляр к F12τ , а через точку b – направление вектора F43
(перпендикулярно оси движения ползуна х-х). Точка пересечения этих двух
линий определяет величину векторов F43 и F12 n . Полную реакцию F12
находим как равнодействующую F12τ и F12 n (на плане обозначена пунктиром).
Определим реакцию в шарнире В. Для этого рассмотрим уравнение
равновесия одного из звеньев, например, звена 2. Отброшенное звено 3 заменим
его реакцией F32 на звено 2, т. е. в данном случае F32 выступает как внешняя
сила.
Уравнение равновесия звена 2
(4.16)
∑ F = F12 + F2 + F3 + F32 = 0 .
Замыкая силовой треугольник на плане сил, находим неизвестный вектор F32 .
Зная масштаб построения плана сил µ F, определяем значение вектора F32 .
Из уравнения равновесия звена 3 определим точку приложения реакции F43 в
поступательной паре:
(4.17)
∑ M B = M 3 + M B ( F3 ) + F43h ,
отсюда
M + M B ( F3 )
h =− 3
.
(4.18)
F43
Если плечо h получится со знаком «минус», то это значит, что точку
приложения силы F43 следует расположить по другую сторону от точки В.
Тогда момент будет иметь противоположный знак.
Очень часто при решении задач плечо h получается таким, что сила F43
оказывается далеко за пределами кинематической пары. Рассмотрим, как
воспринимается в этом случае реакция элементами кинематической пары
(рис. 43, в). Плечо силы F43 относительно центра поступательной пары
обозначим hF . Прикладывая в центре пары две равные и противоположно
направленные силы F43 , получим силу F43 , приложенную в центре, и момент
пары сил, равный F43 hF , который будет действовать в крайних точках ползуна, т.
е. на плече l.
Реакция от момента в крайних точках l:
F43M =
F43hF
,
l
(4.19)
где l – длина ползуна.
Таким образом, действие силы F43 на плече h будет в действительности
передаваться как сила F43 , приложенная в центре ползуна, и пара сил F43M ,
приложенная на плече l.
Такое расположение реакций неблагоприятно сказывается на работе
ползуна, так как вызывает значительные силы трения.
4.6.3. Силовой расчет группы 3-го вида
Дано: F2 , F3 , M 2 , M 3 – внешние силы и моменты пар сил, приложенные
к звеньям 2 и 3 (рис. 44).
Определить: F12 , F32 , F43 – реакции в кинематических парах; h – плечо
реакции в поступательной паре.
а)
б)
Рис. 44. Силовой анализ структурной группы 3-го вида: а) расчетная схема; б)
план сил
Решение: Неизвестные реакции F12
и F43
раскладываем на две
составляющие: параллельную х-х и перпендикулярную х-х (рис. 44, а).
Реакция F32 направлена перпендикулярно х-х.
Уравнение равновесия звена 2 запишем в виде суммы проекций на ось х-х
(4.20)
∑ Fx = F2 cos α + F12τ = 0 ,
отсюда: F12τ =−F2 cos α .
Уравнение равновесия звена 3 (сумма проекций на ось х-х):
(4.21)
∑ Fx = F3 cos β + F43τ = 0 ,
отсюда: F43τ =−F3 cos β .
Уравнение равновесия всей группы:
∑ F = F12 n + F12τ + F2 + F3 + F43τ + F n 43 .
(4.22)
Строим это уравнение в масштабе плана сил (рис. 44, б).
Из точки а отложим векторы F12τ , F2 , F3 , F43τ , получим точку b, из
которой проводим перпендикуляр к линии х-х (направление векторов F43n и
F12n ). Поскольку векторы параллельны между собой, то для выполнения
равенства (4.22) необходимо попасть в точку а, чтобы замкнуть силовой
многоугольник. Таким образом, отрезок ab представляет собой в масштабе
сумму векторов F12 n и F43n .
Плечо силы F43n относительно точки А обозначим через h1 (его можно
измерить на схеме и вычислить с учетом масштаба длин) и составим еще одно
уравнение.
Уравнение равновесия для всей группы (сумма моментов относительно
точки А):
τ
n
∑ M A = M A ( F2 ) + M 2 + M A ( F3 ) + M 3 + M A ( F43 ) + F43 h1 = 0 ,
отсюда
F43
n
M A ( F2 ) + M 2 + M A ( F3 ) + M 3 + M A ( F43 τ )
=−
,
h1
(4.23)
где M A ( F2 ) , M A ( F3 ) , M A ( F43τ ) – моменты сил относительно точки A.
После этого откладываем величину F43n в масштабе µ F от точки b по
линии ab, оставшийся участок – это сила F12 n (отрезок са).
Равнодействующие F12 и F43 обозначены пунктиром.
Определим реакцию в поступательной паре F32 из уравнения равновесия
звена 2:
∑ F = F12 + F2 + F32 = 0 .
(4.24)
Первые два вектора уже есть на плане. Отрезок dc изображает
замыкающий вектор – реакцию F32 .
Определим точку приложения реакции F32 из уравнения равновесия звена 2:
∑ M A = M A ( F2 ) + M 2 + F32 h = 0 ,
M (F ) + M 2
отсюда: h = − A 2
.
F32
(4.25)
Полученная величина определяет, на каком расстоянии от точки А
приложена реакция F32 .
4.6.4. Силовой расчет начального звена
Для того чтобы привести механизм в движение и выполнить полезную
работу, необходимо выбрать мощность двигателя, которая обеспечила бы
вращение начального звена с определенной скоростью. При постоянной
скорости вращения движущая сила (момент сил) должна уравновешивать все
силы, приложенные к начальному звену. Поэтому в задачу силового расчета
начального звена, кроме определения реакций, входит еще и определение
внешнего силового фактора.
фактора
Если передача энергии осуществляется через зубчатый редуктор, то
внешний силовой фактор представляет собой силу FУ , действующую по
нормали к рабочей поверхности зуба (рис. 45, а).
а)
б)
в)
Рис. 45. Силовой анализ начального звена:а) расчетная схема при передаче
энергии через редуктор; б) план сил; в) при передаче энергии через муфту
В соответствии с геометрией стандартных зубчатых колес нормаль в точке
касания зубьев образует угол α = 20о с перпендикуляром к межосевому
расстоянию.
Кроме уравновешивающей силы FУ , на начальное звено действуют
реакции со стороны отброшенного звена 2 ( F21 ), а также реакция стойки ( F01 ).
Как было упомянуто выше, F21 =−F12 . Сила F12 определена
предыдущим расчетом структурной группы. Таким образом
образом, имеется
неизвестная по величине и по направлению сила F01 и неизвестная по
величине сила FУ .
Сила FУ определяется из уравнения
(4.26)
∑ M O = M O ( F21 ) + FУ hУ = 0 ,
где M O ( F21 ) – момент силы F21 относительно точки O;
hУ – плечо силы FУ (рис.
(рис 45, а).
Реакция стойки определяется из уравнения
∑ F = FУ + F21 + F01.
(4.27)
Строим векторное уравнение в виде плана сил, замыкающая сторона
треугольника изображает реакцию F01 стойки (рис. 45, б).
В том случае, если передача энергии осуществляется через муфту, внешний
силовой фактор представляет собой момент MУ (рис. 45, в). Отброшенное
звено 2 заменяем реакцией F21 . Если на звено 1 не действуют никакие другие
силы, то реакция стойки F01 =−F21 .
Уравновешивающий момент:
MУ = M O ( F21 ) .
4.7. Определение уравновешивающей силы методом Жуковского
При определении мощности двигателя, расчете маховика на ведущем валу
и в других подобных задачах необходимо знать только уравновешивающую
силу, приложенную к начальному звену. Реакции в кинематических парах при
этом определять не требуется. В таких случаях применяется метод Жуковского.
Теорема Жуковского основана на известном из теоретической механики
принципе возможных перемещений.
Сумма элементарных работ внешних сил на их возможных перемещениях
равна нулю.
На основании принципа возможных перемещений можно записать:
∑ Ai = ∑ Fi dS i = 0 ,
где F1 , F2 , …, Fn – внешние силы и силы инерции, приложенные к
звеньям механизма;
dS1 , dS2 , …, dSn – проекции элементарных перемещений на направления
соответствующих сил.
Для определения элементарной работы силы на ее элементарном
перемещении рассмотрим звено АВ, в точке S которого приложена сила Fi под
углом ϕ к скорости точки S (рис. 46, а).
а)
б)
Рис. 46. К выводу теоремы Жуковского: а) расчетная схема; б) план скоростей
Строим план скоростей в масштабе µ V, считая, что скорости точек VA и
VB известны. Скорость точки S определяем по принципу подобия (рис. 46, б).
Силу Fi повернем на 90о в любую сторону и перенесем на план скоростей
в точку S. Плечо этой силы относительно полюса обозначим через hi .
Работа силы на элементарном перемещении
(4.28)
Ai = Fi dS i cos ϕ ,
но dSi = VS dt = ps ⋅ µV dt = Fi hi ⋅ µV dt , поэтому
Ai = Fi ps ⋅ cos ϕ ⋅ µV dt = Fi hi ⋅ µV dt .
(4.29)
Момент силы Fi , относительно полюса плана скоростей:
M P ( Fi ) = Fi hi .
(4.30)
Окончательно имеем:
Ai = M P ( Fi ) ⋅ µV dt .
(4.31)
С учетом принципа возможных перемещений
элементарные работы и приравниваем их к нулю:
n
n
i =1
i=1
∑ Fi ⋅ µV dt = ∑ M P ( Fi ) ⋅ µV dt = 0 .
(4.27)
суммируем
(4.32)
Сокращая выражение (4.32) на µV dt , получим:
n
∑ M P ( Fi ) =0 .
i=1
(4.33)
Выражение (4.33) и представляет собой теорему Жуковского, которая
формулируется следующим образом.
Сумма моментов всех внешних сил, приложенных в соответствующих
точках плана скоростей и повернутых на 90° относительно полюса плана
скоростей, равна нулю.
Поворачивать можно либо силы, либо план скоростей. Иначе говоря,
повернутый план скоростей можно представить как жесткий рычаг,
находящийся в равновесии под действием приложенных внешних сил. Поэтому
данную теорему иногда еще называют теоремой о жестком рычаге
Жуковского. Пользуясь ею, можно сразу находить уравновешивающую силу,
минуя силовой расчет структурных групп.
Предположим, что заданы силы, действующие на звенья механизма F1 ,
F2 , …, Fn . Требуется найти уравновешивающую силу – FУ . Плечи сил,
перенесенных в соответствующие точки повернутого на 90° плана
скоростей, относительно полюса ( h1 , h2 , …, hn , hУ ) находят
непосредственным измерением.
Тогда, согласно теореме Жуковского, имеем
n
∑ Fi hi + FУ hУ = 0 ,
i =1
отсюда
n
∑ Fi hi
FУ = − i=1
hУ
.
(4.34)
Если на звенья механизма действуют еще и моменты, то их раскладывают
на пары сил, приложенные в точках, скорости которых известны.
5. СИЛЫ ТРЕНИЯ В МЕХАНИЗМАХ
5.1. Виды трения
Силы трения возникают в кинематических парах при относительном
движении звеньев, они обусловлены реакциями связей и являются
составляющими этих реакций. Поэтому силы трения можно считать
внутренними по отношению ко всему механизму и внешними по отношению к
отдельным звеньям.
В большинстве случаев силы трения относятся к силам сопротивления, но
иногда движение передается благодаря силам трения, и в этом случае они
относятся к движущим силам (например, в ременной передаче движение
передастся за счет трения ремня о шкив).
В зависимости от характера относительного движения элементов
кинематических пар различают следующие виды трения:
− трение скольжения, которое возникает в низших кинематических парах;
− трение качения (или качение со скольжением), которое возникает в
высших кинематических парах.
В зависимости от состояния трущихся поверхностей различают несколько
видов трения скольжения:
− сухое
трение,
при
котором
поверхности
соприкасаются
непосредственно (рис. 47, а);
− жидкостное трение, при котором поверхности разделяются слоем
смазки (рис. 47, б).
а)
б)
Рис. 47. Виды трения: а) сухое; б) жидкостное
Кроме того, существуют промежуточные виды трения – полусухое и
полужидкостное, в зависимости от того, какой вид трения преобладает.
По своей природе силы сухого и жидкостного трения различны, поэтому
различны и методы их учета. При сухом трении сила трения представляет
собой сумму элементарных составляющих реакций в точках контакта
поверхностей ( FТР = ∑ Fi ) и величина её определяется законом Кулона
FТР = fF n ,
(5.1)
где FТР – сила трения;
трения
трения зависящий от физико-механических
механических свойств
f – коэффициент трения,
соприкасающихся поверхностей
поверхностей;
n
F n = ∑ Fi – нормальная составляющая реакции в кинематической паре.
Величина силы жидкостного трения рассчитывается по формуле:
формуле
(5.2)
FТР = β '⋅ V ,
где β ' – диссипативный коэффициент, зависящий от свойств смазки и
толщины слоя смазки.
5.2. Угол трения и коэффициент трения
Рассмотрим, какие силы действуют на тело, лежащее на плоскости
(рис. 48).
Рис. 48. Соотношение между внешними силами и силами трения
Внешнюю силу ( Q ) разложим на две составляющие: нормальную F0 и
касательную F1 . Реакцию со стороны плоскости F также разложим на две
составляющие: нормальную F n и касательную FТР . Поскольку относительное
движение в направлении нормали отсутствует, то нормальные составляющие
равны между собой ( F n = F0 ). Соотношение же касательных составляющих
может быть различным:
− если F1 < FТР , то тело находится в состояния покоя;
− если F1 > FТР , то тело движется относительно плоскости с ускорением а:
F2 − F1
,
m
где m – масса тела.
a=
Таким образом, предельное положение реакции, при котором тело находится
в равновесии, определяется углом отклонения этой реакции от нормали ( ϕ ).
Из чертежа (рис. 48) следует условие равновесия:
FТР = F n tgϕ = F0tgϕ .
(5.3)
При этом проекции сил на направление движения равны между собой.
Сопоставив выражения (5.1) и (5.3), получим:
(5.4)
tgϕ = f ,
где ϕ – угол трения.
Если угол α равен углу ϕ , то тело находится в состоянии равновесия, а
коэффициент f в этом случае называют коэффициентом статического трения
(трения покоя).
Если соприкасающиеся звенья находятся в состоянии относительного
движения, то между ними возникает трение движения, которое в отличие от
трения покоя производит определенную работу. На основании экспериментальных исследований, проведенных многими учеными (прежде всего Кулоном
и Амонтоном), было установлено, что трение движения связано с величиной
нормального давления зависимостью:
FТР = A + f C F n ,
(5.5)
где А – постоянная, зависящая от способности поверхностей к сцеплению;
f C – коэффициент трения скольжения.
Разделив левую и правую части выражения (5.5) на Fn, получим:
FТР
A
=
+ fC ,
Fn Fn
или
f=
A
+ fC .
Fn
(5.6)
Из выражения (5.6) очевидно, что трение движения (скольжения) меньше
трения покоя.
В технических расчетах предварительным сцеплением пренебрегают и
пользуются простейшей зависимостью:
FТР = f C F n .
(5.7)
Коэффициенты f и f C для наиболее часто употребляемых материалов
приводятся во всех инженерных справочниках.
Поскольку равнодействующая сил трения и нормальной реакции отклонена
от нормали в сторону, противоположную движению, то и сила трения
направлена против относительного движения (рис. 48).
5.3. Силовой анализ с учетом сил трения
5.3.1. Трение в поступательной паре
Как было отмечено ранее, трение скольжения возникает в низших
кинематических парах. В плоских механизмах это пары 5-го класса, т. е.
поступательная, вращательная и винтовая.
Рассмотрим действие сил с учетом трения на примерах типовых механизмов.
Имеется кривошипно-ползунный механизм (рис. 49), к входному звену
которого приложен момент движущих сил FД ⋅ h = FД ⋅ h .
Рис. 49. Соотношение сил в поступательной паре
К выходному звену приложена результирующая сила FС от сил полезного
сопротивления, силы тяжести, силы инерции. Необходимо определить силу
трения, которая также является силой сопротивления.
Силами тяжести и инерции шатуна пренебрегаем. Если ползун
прижимается к одной из сторон направляющих, то сила трения определяется
согласно закону Кулона:
FТР = f C F n = f sin α ,
(5.8)
где F n – нормальная реакция направляющей.
Затем можно определить реакцию F или необходимую движущую силу
уже известными методами, описанными в разделе 4.6.
5.3.2. Трение во вращательной паре
Рассмотрим вращение вала 1 во втулке 2 подшипника (рис. 50).
Рис. 50. Соотношение сил во вращательной паре
При наличии зазора вал как бы набегает на втулку (или
или вкладыш) подшипника, поэтому звенья соприкасаются в точке А. Реакция FД параллельна
силе Q , приложенной к валу.
валу В результате трения полная реакция должна быть
отклонена от нормальной составляющей на угол трения ϕ . Величина силы
трения (рис. 48):
FТР = f F n = f F cos ϕ = f Q cos ϕ .
(5.9)
Момент движущих сил M Д , приложенный к валу, уравновешивается
моментом сил сопротивления M C :
(5.10)
M C = FТР r = f Q r cosϕ
cos ,
где r – радиус цапфы вала
вала.
Учитывая, что f cos ϕ = tg ϕ cos ϕ = sin ϕ , преобразуем выражен
выражение (5.10):
MC = Qr sin ϕ = Q ρ ,
(5.11)
где ρ – радиус круга трения
трения, ρ = r sin ϕ (рис. 50).
Если описать из центра вала окружность радиусом ρ , то она будет
касательной по отношению к F .
Для малых углов sin ϕ ≅ tg ϕ , поэтому приближенно момент сил трения
вычисляют по формуле:
(5.12)
M C = Q rf ' ,
где f ' =
3
f – для неприработавшихся цапф;
2 C
4
f – для приработавшихся цапф.
3 C
Здесь f C – коэффициент трения скольжения для плоской поверхности.
поверхнос
f '=
5.3.3. Трение в винтовой паре
При рассмотрении трения в винтовой паре принимают следующие
допущения:
− сила взаимодействия винта и гайки приложена на среднем диаметре
резьбы;
− пространственную пару сводят к плоской, т. е. развертывают винтовую
линию на плоскость и рассматривают равновесие ползуна на наклонной
плоскости (рис. 51, а).
а)
б)
Рис. 51. Соотношение сил в винтовой паре
На ползун действуют силы: движущая ( FД ), осевая ( Q ), нормальная
реакция ( F n ) и сила трения ( FТР ). Уравнение равновесия имеет вид:
F n + FТР + Q + FДВ = 0 .
(5.13)
Строим план сил, из которого определяем FД (рис. 51, б)
FД = Qtg (β + ϕ) .
(5.14)
После этого можно определить момент внешних сил, приложенных к гайке
при движении ее вверх по резьбе, т. е. при завинчивании:
M = F1r1 = FДВ r = Qr tg (β + ϕ) ,
(5.15)
где F1 – сила, приложенная к гайке;
r1 – радиус вписанной окружности гайки;
r – средний радиус резьбы.
Если ползун будет двигаться по винтовой линии вниз, то сила FТР будет
направлена в противоположную сторону и реакция F отклонится от нормали
на угол ϕ . Уравнение (5.15) примет вид:
M = Qr tg (β − ϕ) .
(5.16)
При β < ϕ момент становится отрицательным, т. е. движение вниз по
резьбе невозможно. Такой винт называют самотормозящимся, широкое
применение он нашел в домкратах.
5.4. Трение качения
Трение качения возникает в высших кинематических парах, например, при
относительном движении профилей зубьев колес, ролика по кулачку и т.д. Для
определения условия перекатывания одного звена по другому рассмотрим
цилиндр, лежащий на плоскости (рис. 52).
а)
б)
в)
Рис. 52. К определению трения качения
Под действием силы Q цилиндр в зоне контакта с плоскостью будет
упруго деформироваться (рис. 52, а). Равнодействующая напряжений F = Q .
Если приложить к цилиндру пару сил, момент которой равен M Д , чтобы
цилиндр катился с постоянной скоростью, то сопротивление движению
перекатывания определяется этим моментом. При этом эпюра напряжений
смятия будет несимметричной, вследствие упругого гистерезиса, и
равнодействующая напряжений будет смещена в сторону движения на величину
k (рис. 52, б). Из условия равномерного движения
M Д = kF = kQ .
(5. 17)
Если заменить момент парой сил на плече r, то получим:
FД r = kQ ,
(5.18)
где k – коэффициент трения качения, определяющий сопротивление
перекатыванию.
Из чертежа (рис. 52, б) видно, что k – это плечо реакции F, поэтому
коэффициент трения качения имеет размерность длины.
Из выражения (5.18) определим движущую силу:
k
FД = Q .
r
(5.19)
Качение цилиндра будет происходить при условии, что FД < FТР (рис. 52, в), в
противном случае цилиндр будет скользить.
Учитывая, что трение скольжения FТР = fQ и принимая во внимание
зависимость (5.19), выразим условие отсутствия скольжения:
k
<f,
r
(5.20)
где
f – коэффициент трения скольжения; r – радиус тела качения
(цилиндра).
5.5. Коэффициент полезного действия механизмов
В процессе передачи сил от начального звена к рабочему органу машины
часть работы расходуется на преодоление полезных сопротивлений (т. е. тех,
для преодоления которых создана машина), а часть – на преодоление вредных
сопротивлений (т. е. сил трения, аэродинамических сопротивлений,
сопротивлений смазывающей жидкости и т. д.):
АД = АПС + АТ,
(5.21)
где АД – работа движущих сил;
АПС – работа сил полезного сопротивления;
АТ – работа сил вредных сопротивлений (главным образом сил трения).
Механическим коэффициентом полезного действия (КПД) называется
отношение работы сил полезного сопротивления к работе движущих сил:
η=
AПС AД − AТ
A
=
= 1− Т = 1− ψ ,
AД
AД
AД
(5.22)
где ψ – коэффициент потерь, который показывает, какая часть работы
движущих
сил
расходуется
на
преодоление
непроизводственных
сопротивлений.
Поскольку ни в одном механизме ψ не может быть равным нулю, то КПД
всегда меньше единицы:
0 ≤ η <1.
Чем выше КПД, тем совершеннее машина в энергетическом отношении,
тем большая часть энергии затрачивается на выполнение полезной работы.
6. ДИНАМИКА МЕХАНИЗМОВ И МАШИН
6.1. Основные задачи динамики
В четвёртом разделе «Динамический анализ плоских механизмов» был
рассмотрен силовой анализ механизмов, основанный на решении уравнений
статического равновесия. В шестом разделе «Динамика механизмов и машин»
исследуется движение механизма за определенный промежуток времени. При
этом силы, действующие на звенья механизма, могут быть как постоянными,
так и переменными, зависящими от положения механизма или от скоростей
звеньев. Своим действием приложенные силы сообщают механизму тот или
иной закон движения. В зависимости от назначения механизма (машины) могут
быть заданы ограничения в отношении ее динамических свойств.
На основе изучения динамических свойств механизма решаются
следующие основные задачи:
− определение закона движения начального звена;
− определение постоянных параметров, обеспечивающих закон движения
(масс, моментов инерции, размеров);
− определение мощности двигателя, необходимой для воспроизведения
заданного закона движения;
− определение
коэффициента
полезного
действия
механизма,
характеризующего, какая часть энергии расходуется на выполнение полезной
работы.
При решении этих задач условно принимается, что все звенья механизма
абсолютно жесткие.
6.2. Режимы движения механизмов, их энергетическая характеристика
Скорость ведущего звена механизма в общем случае может изменяться под
действием внешних сил, приложенных к звеньям механизма. Эти силы можно
разделить на две категории:
− движущие силы, под действием которых скорость возрастает;
− силы сопротивления, под действием которых скорость уменьшается.
Работа движущих сил положительна, работа сил сопротивления –
отрицательна.
Одна и та же сила может быть причислена к разным категориям в
зависимости от условий работы. Например, сила тяжести при движении звена
вниз является силой движущей, при движении звена вверх – силой
сопротивления.
Для определения закона движения пользуются уравнением движения,
выведенным на основании теоремы об изменении кинетической энергии:
AД – АC = Т – Т0,
(6.1)
где AД – работа движущих сил;
АC – работа сил сопротивления (без учета трения);
То, Т – соответственно кинетическая энергия в начале и в конце
рассматриваемого промежутка времени.
Для установившегося режима движения механизма, состоящего из n
подвижных звеньев, справедливо уравнение энергетического баланса,
выведенного на основании (6.1). Это уравнение называют еще уравнением
энергетического баланса, и для механизма, состоящего из n подвижных звеньев,
его записывают в виде:
n
n
i=1
i=1
∑ AiД − ∑ AiС = 0 .
(6.2)
Работа всех внешних сил, действующих на звенья механизма, за цикл
установившегося движения равна нулю.
Внутри цикла сумма работ не равна нулю, т. е. кинетическая энергия в
какие-то моменты времени может аккумулироваться в механизме, в другие
моменты эта избыточная энергия расходуется на выполнение работы:
n
n
n
i=1
i=1
i=1
∑ Ai = ∑ Ti − ∑ Ti 0 ,
(6.3)
где Аi – работа всех внешних сил, действующих на i-оe звено;
Ti, Ti0 – кинетическая энергия i-гo звена в конце и в начале промежутка
времени соответственно.
Даже при небольшом количестве звеньев в механизме уравнение
движения (6.3) получается громоздким, так как необходимо просуммировать
каждое слагаемое по n звеньям, учесть все силы, массы, скорости.
Для упрощения задачи пользуются понятиями приведенной силы и
приведенной массы, т. е. заменяют все действующие на звенья силы и все массы
звеньев эквивалентной по своему действию силой, приложенной к звену с одной
массой.
6.3. Приведение масс и сил. Одномассовая динамическая модель
Звено, на которое переносятся массы и силы, называется звеном
приведения. Чаще всего в качестве звена приведения принимают начальное
звено, для которого задан закон движения.
Расчетная схема изображена на рис. 53 и носит название одномассовой
динамической модели.
Рис. 53. Одномассовая динамическая модель
Любой механизм можно представить в виде механизма I класса, к которому
в точке А приложены сила сопротивления FС и движущая сила FД , и в этой же
точке А сосредоточена масса mп.
Для того чтобы движение реального механизма было эквивалентно движению
приведенного механизма, необходимо выполнение двух условий (уравнение (6.3)):
− кинетическая энергия звена приведения ( TП ) должна быть равна сумме
кинетических энергий всех звеньев механизма:
n
TП = ∑ (Ti − T0 ) ;
(6.4)
i=1
− работа приведенной силы ( AП ) должна быть равна сумме работ
внешних сил, приложенных к звеньям механизма:
n
AП = ∑ Ai .
(6.5)
i=1
В общем случае в состав механизма входят звенья, совершающие
вращательное, поступательное или сложное движение. Кинетическая энергия
всех звеньев:
1 n
T = ∑ (miV 2 Si + I Si ω 21 ) ,
2 i=1
(6.6)
где mi – масса i-гo звена;
VSi – скорость центра масс;
J Si – осевой момент инерции i-гo звена (т. е. момент инерции
относительно оси, проходящей через центр масс звена перпендикулярно
плоскости его вращения);
ω i – угловая скорость i-гo звена.
Кинетическая энергия звена приведения:
1
TП = mПV 2 ,
2
где TП – приведенная масса;
(6.7)
V – скорость точки приведения.
Приравнивая правые части выражений (6.6) и (6.7), получим
2
2
n 
VSi 
 ω1  

(6.8)
mП = ∑  mi   + J Si    .
 V  
 V 
i=1 


Приведенной массой механизма называется условная масса,
сосредоточенная в точке приведения, кинетическая энергия которой равна
сумме кинетических энергий всех звеньев механизма.
Если звено приведения вращается вокруг неподвижной оси (кривошип), то
его кинетическая энергия определяется по формуле:
1
TП = J П ω 2 ,
2
(6.9)
где J П – приведенный момент инерции;
ω – угловая скорость звена приведения.
Приравнивая правые части выражений (6.8) и (6.9), получим приведенный
момент инерции звена приведения:
2
2
n 
VSi 
 ω1  

(6.10)
J П = ∑  mi   + J Si    .



ω

ω



i=1 


Приведенным моментом инерции называется условный момент инерции
звена приведения, кинетическая энергия которого равна сумме кинетических
энергий всех звеньев механизма.
Мощность всех сил, приложенных к звеньям механизма, совершающим
поступательное, вращательное и сложное движение, равна:
n
dA
P=
= ( FV
i i cos α + M i ω1 ) ,
dt ∑
i=1
(6.11)
где Fi, Mi – внешние силы, моменты пар сил, действующие на i-е звено;
Vi – скорость точки приложения силы Fi;
ω i – угловая скорость i-гo звена;
αi – угол между направлением силы и направлением скорости точки
приложения данной силы.
Мощность приведенной силы, приложенной в точке приведения:
dAП
= FПV ,
dt
где FП – приведенная сила;
PП =
(6.12)
V – скорость точки приведения.
Угол между силой и скоростью принимается равным 0° или 180° (рис. 53).
В соответствии с условием равенства работ (а, следовательно, и равенства
мощностей за то же время), приравниваем правые части выражений (6.11) и (6.12),
откуда определяем FП
n 
V cos αi
ω
+ Mi i  .
FП = ∑  Fi i
(6.13)

ω
V 
i=1 
Приведенной силой называется условная сила, приложенная в точке
приведения, мощность которой равна сумме мощностей всех внешних сил и
моментов пар сил, приложенных к звеньям механизма.
Если звено приведения вращается вокруг неподвижной оси, то мощность
определяется выражением:
PП =
dAП
= MПω ,
dt
(6.14)
где МП – приведенный момент сил.
Приравнивая правые части выражений (6.11) и (6.14), определяем МП:
n 
V cos αi
ω
M П = ∑  Fi i
+ Mi i  .
(6.15)


ω
V
i=1 

Приведенным моментом сил называется условно приложенный к звену
приведения момент пары сил, мощность которого равна сумме мощностей всех
внешних сил и моментов пар сил, приложенных к звеньям механизма.
6.4. Графоаналитическое решение основного уравнения движения
Рассмотрим движение механизма за цикл движения, т. е. за один оборот
кривошипа. При этом угол поворота кривошипа ϕ = 2π . Момент движущих
сил, действующий на начальное звено (МД), является постоянной величиной,
определяемой характеристикой двигателя. Приведенный к начальному звену
момент внешних сил (МС) меняется в зависимости от положения механизма,
т. е. от угла ϕ .Уравнение энергетического баланса при этом запишется в виде:
2π
M Д ⋅ 2π − ∫ M C d ϕ = 0 .
(6.16)
0
Построим это уравнение методом графического интегрирования. Согласно
геометрическому смыслу интеграла, площадь, ограниченная графиком и осью
абсцисс, должна быть равна площади прямоугольника со сторонами МД и 2π ,
что обеспечит равенство работ движущих сил и сил сопротивления (6.16).
Значения приведенных моментов пар сил вычисляются по формуле (6.15),
после чего строится диаграмма M C = f (ϕ) , показанная на рис. 54, а.
Рис. 54. Графоаналитическое решение основного уравнения движения: а)
диаграммы приведенных моментов сил сопротивления (МС) и моментов
движущих сил (МД); б) диаграммы работы сил сопротивления (АС) и работы
движущих сил (АД); в) диаграмма изменения кинетической энергии; г) диаграмма
приведенного момента инерции; д) диаграмма энергомасс (кривая
Виттенбауэра)
Методом графического интегрирования строится диаграмма работ сил
сопротивления АС (рис. 54, б) и определяется масштабный коэффициент µ A .
Значение момента движущих сил МД определяется углом наклона диаграммы
работ движущих сил АД, которая по модулю равна работе сил сопротивления в
начале и в конце цикла. Разность работ определяет изменение кинетической
энергии внутри цикла движения (рис. 54, в) в зависимости от угла поворота
кривошипа ∆T = AД − AC .
Далее строится диаграмма изменения приведенного момента инерции в
функции угла поворота кривошипа. Момент инерции вычисляется по
формуле (6.12), а диаграмма строится в повернутой системе координат для
удобства дальнейших построений (рис. 54, г).
Исключая параметр ϕ , получаем зависимость изменения кинетической
энергии от величины приведенного момента инерции. Диаграмма ∆T = f ( J П )
строится следующим образом: для угла поворота ϕ = ϕ 1 отмечаем
значение J П 1 и из этой точки проводим вертикальную прямую; для этого же
угла отмечаем значение ∆T1 и из этой точки проводим горизонтальную
прямую. В пересечении прямых получаем точку 1 (рис. 54, д). Затем повторяем
то же для углов ϕ = ϕ 2, ϕ = ϕ 3, … .
Полученные точки 1, 2, 3, ... соединяем плавной кривой, которая в
установившемся режиме должна быть замкнутой. Полученная диаграмма
называется кривой Виттенбауэра.
6.5. Определение закона движения начального звена
Полученная в предыдущем разделе кривая Виттенбауэра позволяет
определить закон движения начального звена, т. е. решить первую задачу
динамики. В установившемся режиме каждому циклу движения механизма
соответствует полный ход точки по замкнутой кривой. При этом кинетическая
энергия приведенного механизма, так же как и скорость, не равна нулю. В момент
пуска или остановки машины, т. е. при ω = 0, кинетическая энергия будет также
равна нулю. Таким образом, действительное начало координат находится в
точке ОТ, которая смещена от начала координат диаграммы Виттенбауэра на
величину То (рис. 55).
Если соединить начало координат ОТ с любой точкой на диаграмме
(например, K), то получим угол ψ , образованный этой секущей и осью абсцисс.
Этот угол позволяет определить угловую скорость кривошипа (звена
приведения) в любом положении.
Из △ОТKМ следует
T µJ
YK
=
,
X K µT J П
где YK , X K – координаты точки K.
tg ψ =
(6.17)
Рис. 55. Схема к определению скорости начального звена
С учетом того, что T =
1
J П ω 2 , получим
2


(6.18)

T
Преобразуя формулу (6.18), можно найти угловую скорость в любом
положении:
tg ψ = µJ 2µ  ω 2 .
ω=
2µT
tg ψ .
µJ
(6.19)
Если последовательно соединять точки 1, 2, ... кривой Виттенбауэра с
началом координат ОT, то можно определить скорость начального звена в
любом положении механизма.
Наибольшее и наименьшее значение угол ψ принимает в том случае, когда
секущая превращается в касательную (рис. 55). При этом определяются
минимальное и максимальное значения скорости:
ωmin =
2µT
tg ψmin ;
µJ
ωmax =
2µT
tg ψmax .
µJ
(6.20)
Истинная скорость начального звена будет изменяться в этих пределах.
Отклонения скорости от среднего значения оцениваются коэффициентом
неравномерности движения δ :
δ=
ωmax − ωmin
,
ωср
(6.21)
где ωср – средняя скорость вращения начального звена.
В связи с трудностями определения средней скорости в технических
расчетах эта величина приближенно определяется как среднее арифметическое
ωср =
ωmax + ωmin
.
2
(6.22)
Колебания
скорости
обусловливают
в
кинематических
парах
дополнительные динамические нагрузки, понижающие общий коэффициент
полезного действия машины и надежность ее работы. Кроме того, колебания
скорости могут ухудшить тот рабочий технологический процесс, который
выполняется данным механизмом.
В зависимости от назначения механизма допускаемый коэффициент
неравномерности имеет значения от десятых до сотых долей единицы.
Значения максимальной и минимальной скорости (6.20) могут быть
выражены через коэффициент неравномерности (6.21):
ωmax = ωср (1 + δ 2);
ωmin = ωср (1 − δ 2) .
(6.23)
6.6. Определение параметров маховика по допускаемому коэффициенту
неравномерности движения
Если коэффициент неравномерности движения δ для механизма с
определенными параметрами оказался больше допустимого, то его можно
уменьшить путем изменения максимальной и минимальной скорости (изменив
соответствующие углы ψmax и ψmin ).
Ранее было показано, что тангенс угла наклона секущей, проведенной через
любую точку кривой Виттенбауэра, пропорционален квадрату скорости (6.18).
Отсюда можно определить величину максимального и минимального углов:



T


.



tg ψmax = µJ 2µ  ω 2 max 
µ
 2
tg ψmin =  J
ω
 2µT  min
С учетом (6.22) получим:



δ2 
tg ψmax = µJ 2µ  ω 2ср 1 + δ +  .

T
4 

(6.24)
(6.25)
Последним слагаемым в скобке пренебрегаем, так как его величина
составляет от сотых до десятитысячных долей единицы, и окончательно имеем:


(6.26)
tg ψmax = µJ 2µ  ω 2ср (1 + δ ) .

T
Аналогично:


tg ψmin = µJ 2µ  ω 2ср (1 − δ ) ,

T
где ωср – средняя скорость вращения кривошипа.
Таким образом, получили значения углов при заданных ωср и δ .
Построим схему к определению момента инерции маховика (рис. 56).
Рис. 56. Схема к определению момента инерции маховика
Возьмем диаграмму Виттенбауэра (рис. 54, д), на которой построена
зависимость, связывающая кинетическую энергию с приведенным моментом
инерции без учета момента инерции (массы) маховика.
Если провести из начала координат (точки ОT) касательную к кривой, то
углы могут оказаться такими, что коэффициент неравномерности δ выйдет за
пределы допустимого (рис. 56).
Значит, нужно провести касательные под углами, рассчитанными для
заданного δ , т. е. уменьшить ψmax и увеличить ψmin :
ψmax < ψmax 0; ψmin > ψmin 0,
где ψmax 0 и ψmin 0 – первоначальные значения углов.
Под углами ψmax и ψmin проводят касательные к диаграмме (рис. 56).
Пересечение касательных определит новое положение начала координат О1
графика ∆T = f ( J ) , при котором коэффициент неравномерности имеет
заданное значение.
Расстояние от точки О1 до прежней оси координат ∆T определит искомое
значение приведенного момента инерции маховика (JМ).
Если точка О1 выходит за пределы чертежа, то для определения момента
инерции маховика пользуются отрезком АВ, отсекаемым касательными на оси
ординат ( ∆T ). Поскольку отрезок изображает в масштабе µT максимальное
изменение кинетической энергии за цикл движения, то с учетом коэффициента
неравномерности момент инерции маховика определяется по формуле:
(6.27)
J M = O1C ⋅ µJ .
Чаще всего отрезок O1C находится за пределами чертежа, поэтому
пользуются отрезком АВ, поступая следующим образом. Из треугольника
O1 AC – АС = O1ctg ψmax ; из треугольника О1ВС – ВС = О1С tg ψmin ; тогда
АВ = АС – ВС = О1С (tg ψmax – tg ψmin ),
отсюда
O1C =
AB
.
tg ψmax − tg ψmin
(6.28)
Из уравнения (6.26) определяем:
tg ψmax − tg ψmin =
µJ 2
ω δ.
µT ср
(6.29)
Подставив выражение (6.28) в формулу (6.27) с учетом формулы (6.29),
получим
JM =
AB ⋅ µT
.
µJ ω 2ср δ
(6.30)
Последняя формула определяет момент инерции маховика, необходимый
для обеспечения заданного коэффициента неравномерности. Если маховик
располагается на одной оси с кривошипом, то момент инерции находят по
известной формуле:
GD 2
JM =
,
4g
(6.31)
где GD2 – маховый момент;
G / g – масса маховика;
D – диаметр окружности, на которой условно сосредоточена масса
маховика.
Преобразуя выражение (6.31) с учетом формулы (6.30), получим
GD 2 = 4 gJ M =
4 gAB ⋅ µT 4 gAB ⋅ µT 3600 AB ⋅ µT
,
=
=
ω 2ср δ
π 2 n2
δ n2
δ
900
где n – частота вращения кривошипа.
Массу маховика считаем распределенной по ободу (рис. 57).
(6.32)
Рис. 57. Эскиз маховика
Поэтому силу тяжести рассчитываем по формуле:
(6.33)
G = a ⋅ b ⋅ π Dγ ,
где
γ – удельный вес материала маховика (для
для стали, чугуна
Н
γ = 78 000 3 );
м
a, b – ширина и высота площади сечения обода (определяется
конструктивно в зависимости от диаметра D): а = k1D; b = k2D (коэффициенты
k1 и k2 принимают в пределах от 0,1 до 0,2).
С учетом (6.33) формула (6.32) примет вид:
GD 2 = π k1k2 D5 γ ,
(6.34)
откуда находим диаметр маховика:
GD 2
D= 5
.
πk1k2 γ
(6.35)
Эффект действия маховика заключается в том, что он позволяет обеспечить
движение механизма с заданным коэффициентом неравномерности
неравномерности.
6.7. Регулирование непериодических колебаний скорости машин
Колебания частоты вращения возникают при пуске, торможении и
реверсировании хода машины вследствие внезапных скачков и сброса нагрузки,
изменения количества подводимой энергии. Характер и длительность этих
переходных процессов зависят от типа технологического
ого процесса и
особенностей конструкции машины. Для поддержания постоянства частоты
вращения механизма или машины при заданном режиме работы применяют
различного рода регулирующие устройства, которые должны обеспечить
устойчивость процесса, т. е. машина или механизм после возмущения должны
вновь перейти в состояние равновесия
равновесия.
Регулятором называют устройство, которое обеспечивает устойчивость
заданного установившегося процесса путем изменения отклонения
регулируемого параметра и выработки воздействия на объект
ъект регулирования,
величина которого зависит от измеренного отклонения.
Во многих случаях для этих целей используют центробежные регуляторы
частоты вращения.
На рис. 58 представлена
едставлена блок-схема регулирования и показано ее реальное
воплощение в системе регулирования
регу
двигателя внутреннего сгорания.
сгорания
Рис. 58. Блок-схема регулирования
6.8. Уравновешивание механизмов
6.8.1. Уравновешивание вращающихся масс
Механизм является уравновешенным,
уравновешенным если, работая на установившемся
режиме, он действует на основание с некоторыми постоянными по величине и
направлению силами и моментами
моментами.
В действительности звенья механизмов движутся с переменными
скоростями, а траектории их точек непрямолинейны. Кроме того
того, неизбежные
погрешности изготовления и сборки, неоднородность материала и деформации
звеньев вызывают смещение центра масс системы относительно оси вращения.
Указанные обстоятельства вызывают динамические нагрузки в
кинематических парах, звеньях,
звеньях вибрации механизма и нарушение плавности
движения.
Массы звеньев, силы инерции которых вызывают дополнительные
нагрузки на опоры, называют неуравновешенными массами
массами. Устранение или
уменьшение дополнительных динамических нагрузок на опоры механизма
называют уравновешиванием масс.
Задача уравновешивания состоит в определении опорных реакций и
применении специальных средств, устраняющих или, по крайней мере,
сводящих к допустимому минимуму вибрации в системе механизма и машины.
Рассмотрим тело (рис. 59), центр масс которого находится в точке S.
Рис. 59. Схема сил при уравновешивании системы
Свяжем с этим телом систему координат так, чтобы плоскость хОу
проходила через центр масс, а ось Oz совпадала с осью вращения тела.
Тогда каждой элементарной массе m, расположенной, например, в
плоскости i на расстоянии ri от оси z, соответствует направленная по радиусу
сила инерции:
FИ i = m i ri ω 2 ,
где ω – угловая скорость вращающегося тела (ротора).
Сила FИi , разложенная на две составляющие, создаст относительно осей у и х
моменты:
M yi = FИi li cos ϕ;
M xi = FИi li sin ϕ.
Результирующая сила инерции всего тела, или главный вектор дисбалансов:
n
FИ = ω 2 ∑ mi ri = ω 2 mrS ,
i=1
где m – масса всего тела;
rS – расстояние центра масс S от оси вращения;
mrS – статический момент.
Результирующий момент всех сил инерции (главный момент) относительно
плоскости, проходящей через центр масс S, равен
n
M И = ω 2 ∑ mi ri li = ω 2 J rl ,
i=1
где J rl – центробежный момент инерции относительно оси вращения и
плоскости, перпендикулярной оси вращения и проходящей через центр масс
тела.
Силы инерции масс, расположенных в параллельных плоскостях, подлежат
динамическому уравновешиванию.
Условием полного уравновешивания является равенство нулю главного
вектора сил инерции ∑ FИ и главного момента сил инерции ∑ M И или:
n
mrS = ∑ mi ri = 0;
(6.36)
J rl = ∑ mi ri li = 0.
(6.37)
i=1
n
i=1
Условие (6.36) будет выполнено только при rS = 0, т. е. когда центр S масс
тела лежит на оси вращения, а условие (6.37) выполняется только в том случае,
когда ось вращения совпадает с одной из главных осей инерции тела.
Тело считается уравновешенным статически, если выполняется только
условие (6.36). В этом случае центр S масс тела лежит на оси вращения и
результирующая сила инерции Fи равна нулю. Однако ось вращения тела не
совпадает с одной из главных осей инерции, и поэтому момент инерции J rl и
результирующий момент сил инерции Ми не равны нулю.
Тело считается уравновешенным динамически, если выполняется только
условие (6.37). В этом случае тело вращается вокруг одной из главных осей
инерции и результирующий момент сил инерции равен нулю. Однако эта ось не
является главной центральной осью инерции и поэтому не проходит через
центр масс тела S, а результирующая сила инерции Fи динамически
уравновешенного тела не равна нулю.
Мерой статической неуравновешенности, или статического дисбаланса
вращающегося тела, служит величина mrs.
Мерой динамической неуравновешенности, или динамического дисбаланса
вращающегося тела, служит величина Jrl.
Моментная неуравновешенность возникает тогда, когда центр масс S тела
находится на оси вращения, а главная центральная ось инерции тела наклонена
к оси вращения тела под некоторым углом γ. В этом случае
rS = 0; J yz ≠ 0; J xz ≠ 0 .
Следовательно, моментная неуравновешенность выражается лишь главным
моментом дисбалансов тела:
J Д = J yz 2 + J xz 2 .
Устранение этого момента
корректирующими массами.
производится
не
менее
чем
двумя
Если вращающееся тело само по себе не уравновешено, т. е. не соблюдены
условия (6.36) и (6.37), то его можно уравновесить с помощью специальных
масс, прикрепленных к телу. Эти массы называются противовесами.
Определение величины и положения противовесов учитывается при
проектировании. Все вращающиеся детали, имеющие по конструктивной форме
неуравновешенные массы (колено вала и др.), могут и должны быть
уравновешены с помощью противовесов. Уравновешивание производится
путем постановки противовесов. Как минимум, должны быть поставлены два
противовеса. При этом из конструктивных соображений задаются координатами
положения противовеса на оси вращения, т. е. положениями плоскостей, где
должны быть расположены противовесы.
На рис. 60 показано расположение неуравновешенных масс в
пространстве и положение тех плоскостей, в которых предполагается
расположить противовесы.
Рис. 60. Схема к расчету противовесов
Введем следующие обозначения:
ai, bi – расстояние i-й массы от плоскостей I и II соответственно;
Ri – расстояние центра неуравновешенной i-й массы от оси вращения;
mпΙ , mпΙΙ – массы противовесов, расположенные в плоскостях I и II;
ρпΙ , ρпΙΙ – расстояние от оси вращения центров масс противовесов, расположенных в плоскостях I и II (рис. 60).
Каждая масса дает при вращении центробежную силу инерции Fиi = −mi Ri ω 2 .
Эту силу можно уравновесить двумя силами Fi Ι и Fi ΙΙ , расположенными
в плоскостях I и II:
bi
ai
Fi Ι = Fиi
;
Fi ΙΙ = Fиi
.
ai + bi
ai + bi
Суммируем реакции элементарных сил в плоскостях I и II:
n
∑F
Ι
иi =
Ι
иΣ ;
F
i=1
n
∑ FиiΙΙ = FиΙΙΣ ,
i=1
тогда
FпΙ = M пΙ ρпΙ ω 2 = FиΙΣ ;
Откуда
M пΙ ρпΙ =
FиΙΣ
M пΙΙ ρпΙΙ =
ω2
;
FпΙΙ = M пΙΙ ρпΙΙ ω 2 = FиΙΙΣ .
(6.38)
FиΙΙΣ
(6.39)
.
ω2
По формулам (6.38) и (6.39) с учётом значений ρПΙ и ρПΙΙ определяют массы
противовесов.
Балансировка вращающихся деталей подразделяется на статическую и
динамическую.
Известно, что конструктивная форма вращающихся деталей должна
обеспечивать их полное уравновешивание. Причинами являющегося
дисбаланса могут быть: погрешности при изготовлении, неоднородность
материала, неточность монтажа и т. п. Практически любая деталь имеет
некоторую неуравновешенность, которая при быстром вращении приводит к
недопустимым вибрациям, а иногда и поломкам. Обнаружить и выявить такую
неуравновешенность можно только с помощью балансировочных машин или
станков.
Статическая балансировка проводится на простейших устройствах.
Статическая неуравновешенность состоит в том, что центр масс S смещен
относительно оси вращения (рис. 61).
Рис. 61. Схема к статической балансировке
Если центр масс S не лежит на оси вращения, то при отсутствии вращения
дисбаланс будет стремиться повернуть звено в такое положение, при котором
центр масс окажется под осью вращения.
При статической балансировке деталь (в форме тела вращения)
располагают на опорах качения так, чтобы она могла свободно проворачиваться
вокруг своей оси.
Если проворачивать деталь около положения устойчивого равновесия,
то после прекращения движения ее центр масс S окажется под осью
вращения, и балансирный грузик устанавливают на линии OS0 выше оси
вращения (рис. 61). В результате ряда попыток можно установить, какую массу
должен иметь балансир, для того чтобы деталь оказалась в безразличном
равновесии. Далее балансирный груз взвешивают и с помощью простейших
расчетов определяют место его крепления. Также балансировку можно
осуществить, удаляя металл (методом резания) вблизи центра масс.
Точность статической балансировки зависит от трения в опорах. На
практике для статической балансировки используют приборы, позволяющие
сразу определить массу необходимого балансирного груза и место его
установки.
Статической балансировке подвергают вращающиеся детали дисковой
формы, у которых диаметр больше толщины. В противном случае вместо
уравновешенной силы можно получить неуравновешенный момент, поскольку
плоскость расположения неуравновешенной массы неизвестна.
Динамическая балансировка производится на станках различной
конструкции. На них же можно выявить и статическую неуравновешенность
тела. На рис. 62 приведена схема станка люлечного типа.
Рис. 62. Схема динамической балансировки
Балансируемая деталь 1 устанавливается в подшипниках на люльку 2,
шарнирно прикрепленную к стойке 3. Люлька притягивается к стойке с
помощью пружин 4.
Уравновешивание производится в двух плоскостях I–I и II–II, которые
выбираются из конструктивных соображений. В начале балансировки одна из
плоскостей (I–I) должна обязательно лежать на оси, проходящей через центр
шарнира люльки. При этом балансировка будет происходить в другой плоскости
(II–II).
При равномерном вращении балансированного тела неуравновешенные
массы m1 и m2 вызовут появление сил инерции, которые создадут момент
относительно шарнира, и люлька вместе с балансируемой деталью начнет
колебаться. Эти колебания будут гармоническими, и амплитуда их будет
пропорциональна неуравновешенной массе m2.
Обычно колебания люльки фиксируют электрическими датчиками. Токи,
возникающие в них, усиливаются и поступают в специальные электрические
счетные устройства. Результаты вычислений передаются на специальные
приборы, по показаниям которых определяют значение и положение
неуравновешенной массы m2.
Для определения величины и положения другой неуравновешенной
массы m1 балансируемую деталь 1 переставляют на люльке 2 так, чтобы
плоскость II–II проходила через шарнир, на котором колеблется люлька. В
таком случае колебания люльки будут вызываться только силой инерции
массы m1, и по амплитуде колебаний можно произвести уравновешивание.
Балансировочные станки могут работать также на резонансных оборотах,
когда частота вращения балансируемой детали будет совпадать с частотой собственных колебаний системы балансируемая деталь – люлька – пружины.
Автоматическая балансировка осуществляется на специальных станках,
не требующих перестановки ротора в опорах.
Измерительное устройство такого станка состоит из генераторов опорных
сигналов, цепи разделения плоскостей коррекции и индикаторов дисбаланса.
Последний дает сведения о необходимой массе и месте установки противовеса.
6.8.2. Уравновешивание масс, движущихся поступательно
Уравновешивание масс, движущихся поступательно, поясним на примере
кривошипно-шатунного механизма одноцилиндрового поршневого двигателя
(рис. 63).
Сила инерции возвратно-поступательно движущихся масс определяется из
приближенной зависимости:
Fи = −mRω 2 (cos ϕ + λ cos 2ϕ) ,
где m – масса поршневой группы и части массы шатуна, редуцированной
на ось поршневого пальца;
R – радиус кривошипа;
λ = R/L (L – длина шатуна).
Эта сила может быть условно представлена в виде суммы слагаемых:
Fи = FиΙ + FиΙΙ ,
где FиΙ = −mRω 2 cos ϕ – сила инерции первого порядка;
FиΙΙ = −mRω 2λ cos 2ϕ – сила инерции второго порядка.
Каждая из этих сил уравновешивается порознь.
Для уравновешивания силы инерции FиΙ в плоскости, проходящей через
ось цилиндра перпендикулярно оси вала, приводят во вращение в
противоположных направлениях две одинаковые массы m', значение каждой из
которых должно удовлетворять уравнению m'ρ′ = 0,5mR. Обе массы m' должны
быть расположены так, чтобы при угле ϕ = 0 угол γ = ϕ = 0.
При вращении кривошипа каждая из масс m' будет вращаться с угловой
скоростью ω и вызывать центробежную силу m′ρ′ ω 2 = 0,5mR ω 2.
б)
в)
Рис. 63. Схемы уравновешивания возвратно-поступательно движущихся масс
а)
Раскладывая векторы центробежных сил на вертикальные и
горизонтальные составляющие, замечаем, что горизонтальные составляющие
центробежных сил при любых углах ϕ взаимно уравновешиваются, а
вертикальные
составляющие
дают
равнодействующую
2
2
Ι
Fи1 = m′ρ ′ω cos ϕ = mRω cos ϕ , которая равна силе Fи и направлена в
противоположную
сторону.
Следовательно,
сила Fи1
полностью
Ι
уравновешивает силу Fи .
Сила инерции второго порядка FиΙΙ уравновешивается так же, как и сила
первого порядка (рис. 63, в). Только массы, применяемые для уравновешивания
λ
силы FиΙΙ , должны удовлетворять уравнению m ′′ρ ′′ = mR и вращаться в
8
противоположные стороны с угловой скоростью 2 ω .
При угле ϕ = 0 угол γ = 2 ϕ = 0.
В практике такой способ уравновешивания встречается весьма редко.
6.9. Колебания в механизмах и машинах
6.9.1. Основные определения
Основой механических колебаний является знакопеременное движение
динамических систем. Под динамической системой подразумевают
совокупность тел, обладающих массой и способных совершать относительное
движение.
Большая часть повреждений в машинах и их деталях происходит в
результате возникновения в них колебаний. Конструктор должен предусмотреть
возможность регулирования колебательных процессов как в деталях, так и в
механизмах. Колебания возбуждаются периодическими или внезапно
приложенными силами, действующими как самостоятельно, так и в сочетании с
термическими, статическими и другими факторами.
Под воздействием периодически изменяющихся сил или моментов детали
и механизмы совершают вынужденные упругие колебания, которые становятся
особенно сильными в зоне резонансов, когда частоты возмущающих сил или
моментов совпадают с частотами собственных колебаний системы.
Вероятность возникновения резонансных режимов возрастает с увеличением
быстроходности машин.
Улучшение показателей машин приводит к увеличению их
быстроходности, повышению энергонапряженности, усложнению рабочих
процессов и конструктивных схем. Вследствие этого в современных машинах
усложняется характер колебаний и увеличиваются нагрузки от них на детали.
Анализ знакопеременного движения динамических систем и сил,
связанных с этим движением, важен для определения их влияния на
характеристики и надежность рассматриваемых систем. Известными методами
расчета могут быть решены практические задачи, связанные с колебаниями
основных деталей механизмов и машин. Сочетание теоретических методов
расчета с экспериментальными исследованиями позволяют установить
наиболее удачные конструктивные формы деталей, обеспечивающих работу
механизмов и машин в условиях отсутствия резонансных режимов.
Задача исследования колебательных процессов в машинах и механизмах
заключается в следующем:
− в теоретическом и экспериментальном определении частот и форм
собственных колебаний;
− в анализе вынужденных колебаний и их устойчивости;
− в установлении возможности уменьшения амплитуд при резонансах;
− в выборе эффективных методов борьбы с ними в рабочем диапазоне
частоты вращения машины;
− в анализе возможных методов оценки степени опасности колебаний.
Колебания упругой системы могут быть вызваны мгновенным импульсом
или внезапным приложением и последующим устранением внешних сил или
моментов.
Колебания, которые поддерживаются только силой упругости детали (или
машины на подвеске), к которой приложен внешний импульс (сила или
момент), называются свободными, или собственными. Эти колебания
описываются однородными дифференциальными уравнениями. Если колебания
системы будут не демпфируемые, то система называется консервативной. При
демпфировании система называется неконсервативной.
Вынужденными колебаниями называются такие колебания упругой
системы, которые происходят под воздействием переменных во времени
внешних сил или моментов. Дифференциальные уравнения вынужденных
колебаний являются неоднородными, причем член в правой части является
функцией времени.
Простейшей формой колебательного движения является гармоническое
колебание, изменяющееся по закону синуса или косинуса. Всякое
гармоническое движение есть движение периодическое, но не всякое
периодическое движение является движением гармоническим. Если
колеблющаяся деталь находится под воздействием двух гармонических
движений, частоты которых ( ω 1 и ω 2) близки между собой (различие частот на
1–2 %), то может возникнуть биение с частотой f =
ω1 − ω2
и большой
2π
амплитудой.
Основным отличительным признаком колебаний системы является число
степеней свободы.
Если конфигурация колеблющейся системы определяется только одной
координатой, то такая система называется с одной степенью свободы, двумя – с
двумя степенями свободы и т. д. Простейшее уравнение гармонического
колебания имеет вид:
x = x0 sin ωt,
где х0 – амплитуда колебаний;
ω
– угловая, круговая или циклическая частота собственных
колебаний, рад/с;
t – время, с;
ω t – фаза колебаний.
Полный цикл колебаний завершается при изменении ω t за 2π. В этом
случае промежуток времени t равен периоду колебаний T = 2π / ω .
1
ω
f= =
Обратная периоду величина
называется частотой
T 2π
колебаний.
Например, для одномассовой крутильной системы, состоящей из
закрепленного одним концом вала с насаженным на свободный конец диском с
моментом инерции J, дифференциальное уравнение собственных колебаний
имеет вид:
J ϕ ''+ Cϕ = 0 или ϕ ''+ ωC2 ϕ = 0 ,
где ωC = C
J
.
Величину ω С называют круговой частотой собственных колебаний
(частота собственных колебаний f C = f
ωС
).
2π
Через С обозначают крутильную жесткость, т. е. крутящий момент,
потребный для закрутки вала на угол в один радиан.
Если колебания одномассовой системы протекает с затуханием, то
дифференциальное уравнение колебаний принимает вид:
ϕ ''+ ξϕ '+ ω С2 ϕ = 0 ,
где ξ – коэффициент демпфирования.
При этом амплитуда колебаний уменьшается до нуля.
В случае вынужденных колебаний на колеблющийся диск одномассовой
системы действует возмущающий момент M0 sin ω t и дифференциальное
уравнение движения принимает вид:
М0
sin ωt ;
J
М
− с затуханием ϕ ''+ ξϕ '+ ωС2 ϕ = 0 sin ωt .
J
− без затухания ϕ ''+ ωС2 ϕ ' =
При рассмотрении вынужденных колебаний учет собственных колебаний
особенно важен в том случае, когда числовые значения ω и ω С близки друг к
другу, т. е. когда могут возникать биения. При затухании колебаний биения
постепенно исчезают, и в системе остаются установившиеся вынужденные
колебания.
6.9.2. Эквивалентная система
Любая трансмиссия имеет сложную конструктивную форму. Как правило,
в нее входят силовые агрегаты, редукторы, муфты и другие детали. Расчеты
таких систем на крутильные или изгибные колебания очень трудоемки, а иногда
даже невыполнимы без упрощения системы. Упрощенная система должна быть
эквивалентна действительной, т. е. частоты и формы ее колебаний должны
совпадать с частотами и формами колебаний в действительной системе. Оба эти
условия выполняются лишь приблизительно, но с достаточной для
практических расчетов точностью.
Эквивалентная система должна состоять из отрезков вала, обладающих
жесткостью, но лишенных массы, и сосредоточенных масс. Диаметр
эквивалентного вала выбирается постоянным, а масса участков действительного
вала сосредоточивается в местах концентрации масс.
При вычислении собственных частот колеблющихся систем можно
использовать закон сохранения энергии (при условии, что демпфирование
пренебрежительно мало).
Для каждой частоты собственных крутильных колебаний ω С значения
относительных амплитуд колебаний графически изображается по длине
эквивалентного вала в виде ординат. Соединяя концы ординат между массами
прямыми, получим ломаную линию, называемую формой колебаний.
Пересечение формы колебаний с осью эквивалентного вала называют узлами
колебаний. Узловые точки при колебаниях системы остаются неподвижными.
В n-массовой системе число форм колебаний на единицу меньше числа
масс. Формы колебаний именуются по числу узлов.
Собственные частоты форм колебаний располагаются в возрастающем
порядке:
ω С 1 < ω С 2 < ... < ω С n-1,
где n – число масс.
Из общего числа форм собственных колебаний практический интерес
представляют только те, которые совпадают с частотами возмущающих
моментов и вызывают резонанс в рабочем диапазоне оборотов системы. При
резонансе форма вынужденных колебаний практически совпадает с формой
собственных колебаний. При этом в валопроводе трансмиссионной системы
возникают большие напряжения, опасные для его прочности.
Рассчитывают изгибные колебания валов для определения частоты
собственных колебаний. Полученные значения сопоставляют с частотами
возбуждающих колебания сил. Это позволяет оценить степень возможности
возникновения резонансов в пределах рабочих частот вращения.
Силы, вызывающие изгибные колебания, являются следствием как рабочих
процессов, происходящих в машинах, так и различного вида нарушений, к
которым относятся:
− конструктивные, связанные с конструктивным уравновешиванием
вращающихся деталей;
− технологические, зависящие от шлаковых включений, раковин,
пористости и изменения в кристаллической структуре металла;
− производственные, вызванные отклонением размеров от чертежа при
изготовлении
деталей,
неточностями
динамической
балансировки,
некачественной сборкой и т. д.;
− эксплуатационные, связанные с износом деталей, возникновением
температурных и других деформаций.
Отличительным
признаком колебательной системы является вид
дифференциальных уравнений ее движения: линейные и нелинейные
колебания. Реальные колебательные системы всегда нелинейные, однако, их
часто можно описать линейными дифференциальными уравнениями.
По характеру возмущения, действующего на колебательную систему,
колебания делятся на:
− собственные;
− самовозбуждающиеся (автоколебания);
− параметрические;
− вынужденные;
− связанные.
Выше даны определения собственных и вынужденных колебаний.
Автоколебания – это такие колебания, когда система имеет источник
энергии, не обладающий колебательными свойствами и отдающий системе за
период ровно столько энергии, сколько затрачивается. Автоколебания
описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Примером
автоколебательных систем является маятник часов.
В системах с параметрическим возбуждением внешнее воздействие
проявляется в периодических изменениях одного или нескольких параметров.
Коэффициенты в дифференциальных уравнениях зависят от времени (как
правило, периодически).
Связанные колебания возникают в тех случаях, когда две или несколько
колеблющихся систем оказывают влияние друг на друга, либо система имеет
несколько степеней свободы.
6.10. Способы устранения колебаний
Крутильные колебания. В процессе проектирования механизмов и машин,
когда установлены размеры их деталей, проводят расчет частот крутильных
колебаний. При неблагоприятном расположении резонансов принимают меры
по улучшению крутильной характеристики системы, т. е. изменяют крутильную
систему или работу возбуждающих моментов, а также устанавливают в систему
специальное устройство для гашения колебаний (демпфер).
Изменение собственных частот системы является основным видом борьбы
с колебаниями. Этого изменения можно достичь путем изменения моментов
инерции вращающихся масс и жесткостей. Как правило, утяжеление масс
системы недопустимо. Поэтому конструктор имеет большие возможности в
отношении жесткостей тех участков системы, которые располагаются в
доступных для изменения местах. Такие конструктивные доработки системы,
вносимые для устранения резонанса какой-либо формы, изменяют частоты всех
форм. Так как диапазон частот системы с поршневым двигателем внутреннего
сгорания весьма широк, то исключить все резонансы невозможно. Поэтому
стремятся освободить от резонансов важнейшие рабочие зоны оборотов.
Слабые резонансы, при которых напряжения не превышают допустимого
уровня, могут оставаться близкими к основным рабочим режимам. Интервал
между сильным резонансом, расположенным выше предельно допустимых
частот вращения, и частотой вращения должен составлять не менее 10 %.
Применение демпферов (основные конструктивные схемы простейших из
них будут приведены в разделе 6.11) является наиболее эффективным средством
борьбы с крутильными колебаниями.
Вопрос о выборе крепления демпфера тесно связан с теми формами
собственных колебаний, на которые он должен эффективно воздействовать. При
настройке демпфера на определенную форму колебаний необходимо выбрать
такое его место в крутильной системе, в котором подбор настройки демпфера
будет наиболее эффективным для данной формы собственных колебаний
(амплитуда колебаний по данной форме должна быть максимальной).
Расчет демпфера сводится к установлению таких его параметров, при
которых наибольшие колебания в системе не будут превышать допустимого
значения.
6.11. Изгибные колебания
Для предотвращения вынужденных изгибных колебаний обычно
используют демпферы (динамические, с жидкостным и сухим трением).
Возможность их установки должна быть предусмотрена в процессе
проектирования машины. Среди динамических демпферов наибольшее
распространение нашли маятниковые демпферы. Маятники, подвешенные в
осевой плоскости, оказывают воздействие на поперечные (или продольные)
колебания. С валом можно связать ролики, шарики, кольца и другие тела,
заставляя их двигаться по особым направляющим и совершать относительные
колебания. Маятник с системой не имеет упругой связи. Роль последней
выполняет сила инерции вращения. Это приводит к уменьшению
вынужденных колебаний. Присоединение новой массы к вращающейся
системе может быть осуществлено как без увеличения, так и с увеличением
числа степеней свободы. Так, например, присоединение маятникового демпфера
увеличивает число степеней свободы на единицу, а сферического маятника – на
две единицы и т. д. Теория присоединенных маятников хорошо разработана и
широко освещена в специальной литературе.
В последнее время широкое распространение получили различные
конструктивные модификации демпферов, уменьшающие амплитуды
внутренних силовых воздействий в местах установки вала или ротора на
опорные стойки. К их числу относятся упругодемпферные опоры. Такие опоры
приводят к значительному сдвигу резонансных режимов и способствуют
значительной разгрузке подшипников качения. Упругие опоры значительно
снижают амплитуды колебаний при проходе через резонанс и тем самым
значительно уменьшают передачу вибраций от опор машины к ее корпусу.
Наибольший эффект эти опоры достигают при применении высокооборотных
гибких валов. С помощью таких опор можно вывести резонансные обороты за
пределы рабочего диапазона.
Примером упругодемпферных опор может служить демпфер Аллисона.
Настройка колебаний на допустимые резонансные частоты и частотное
демпфирование осуществляются в нем с помощью упругих колец, на которых
покоятся подшипники вала.
Демпфер состоит из гладких и упругих колец с двухсторонними
выступами, расположенных между наружной обоймой подшипника и опорой.
Гладкие кольца предназначены для защиты упругих колец и наружной обоймы
подшипника от износа при возможном проворачивании. Их изготовляют из
стали и подвергают термообработке по наружному диаметру и борту.
Упругие кольца фиксируют от проворачивания с помощью специальных
крышек. При установке в демпфере нескольких упругих колец выступы на них
располагают в шахматном порядке. Между упругими кольцами размещают
гладкие кольца. При сборке демпфер заполняют консистентной смазкой. При
этом демпфирование колебаний происходит за счет гидравлического трения,
возникающего при всасывании и вытеснении смазки из зазоров между
упругими участками колец, а также за счет потерь на трение опорных выступов
упругих колец о контактные поверхности гладких.
При прокачке смазки через зазоры между выступами силы,
передаваемые от вала подшипника, не изменяются вследствие относительно
больших зазоров. Следовательно, энергия, поглощенная при колебаниях,
состоит в основном из энергии деформации кольца и трения выступов о
поверхности наружного и внутреннего колец при прогибе кольца между
выступами.
Упругие кольца с равномерно расположенными выступами создают
нелинейность с переменной неустановившейся жесткостью по окружности
опоры. Частоты собственных колебаний такой системы непостоянны и зависят
от величины деформации опоры, вследствие чего колебания системы могут
иметь слабо выраженный характер с небольшими коэффициентами усиления.
Эффективность снижения уровня колебаний зависит от того, где
установлена упруго-демпферная опора. При ее установке в узле колебаний
снижений уровня колебаний не будет.
Демпфер Аллисона весьма компактен и может быть применен в
системах трансмиссий машин и механизмов без больших конструктивных
доработок. В качестве упругих элементов также могут быть использованы
пластины, втулки и пр.
Число колец и толщину пластин выбирают в зависимости от массы
вращающейся детали и степени возбуждаемости колебаний. Такие демпферы
могут работать как с маслом, так и без него. При работе с маслом
эффективность демпфера увеличивается более чем в 2 раза.
Демпфер желательно устанавливать под роликовые подшипники. При
установке его под шарикоподшипники следует разгрузить последние от осевых
сил, что усложняет конструкцию.
Демпферные опоры разгружают от статических сил, что позволяет
повысить эффективность демпфера в 2–3 раза. Для этого между наружной
обоймой подшипника и корпусом вводят упругий элемент, воспринимающий
большую часть статической нагрузки. Упругий элемент устанавливается
параллельно демпферу, при этом уменьшается ширина демпферной опоры.
6.12. Виброзащита машин
6.12.1.
Основные методы виброзащиты
Механические колебания часто мешают нормальной работе машин, могут
вызвать повреждения машин или конструкций и нанести вред здоровью людей.
Примерами таких колебаний могут быть: дрожание токарного резца, ведущее
к ухудшению качества поверхности; колебания клапанных пружин, нарушающие
моменты распределения в двигателе; дрожание пола и дребезжание оконных
стекол вследствие работы двигателя неподалеку от здания и т. п. Нередко эти
колебания становятся разрушительными: от крутильных колебаний ломаются
коленчатые валы, сильные колебания разрушают клапанные пружины, в стенах
зданий от распространяющихся через грунт сотрясений образуются трещины.
Основы теории колебаний механических систем рассматриваются в курсе
теоретической механики или в специальных курсах. В данном разделе
рассмотрены только особенности вибрационной защиты колебаний.
Вибрационная защита – это совокупность средств и методов уменьшения
вибрации, воспринимаемой защищаемыми объектами. Защищаемыми
объектами могут быть:
− люди, управляющие машинами;
− обслуживающий персонал, находящийся в зоне действия вибрации;
− здания или иные сооружения;
− машины, аппараты, приборы, находящиеся в зоне действия вибрации;
− детали, узлы, механизмы и устройства, входящие в состав машины,
работа которой порождает вибрацию.
В соответствии с этим методы вибрационной защиты включают как
расчетно-теоретические, так и конструкторско-экспериментальные решения,
причем оба вида решений, как правило, взаимосвязаны.
Методы вибрационной защиты весьма многоплановы, поэтому
последовательная классификация их затруднительна.
К основным методам виброзащиты относятся следующие:
− снижение интенсивности источников вибрации. К источникам
вибрации относятся трансмиссии, двигатели, подшипники, зазоры в
сочленениях деталей. Эти факторы усиливаются с увеличением износа деталей.
Способы снижения интенсивности вибрации специфичны для каждого частного
случая. При проектировании конструкции движущиеся массы машины или
механизма должны быть уравновешены;
− снижение частоты периодического движения механизма, в том числе за
предел диапазона частот нормируемой вибрации, связанное с изменением
конструкции объекта;
− динамическое гашение колебаний, достигаемое с помощью
специального динамического виброгасителя, устанавливаемого в систему
объекта;
− виброизоляция, которая сводится к ослаблению связей между
источником и объектом. Демпфирующие элементы и устройства,
устанавливаемые между вибрирующей деталью и защищенным объектом,
называют виброизоляторами. Определяющим параметром виброизолятора
является его жесткость. Виброизоляторы в известной мере обладают и
демпфирующими свойствами. Для повышения этих свойств в систему
виброизоляции вводят специальные демпферы – гасители колебаний.
6.12.2.
Демпферы – гасители колебаний
По принципу действия демпферы делятся на три группы:
− собственно демпферы, т. е. устройства, поглощающие энергию
колебаний и уменьшающие амплитуду колебаний; к ним относятся демпферы
сухого трения, гидравлические и ударные;
− устройства, уравновешивающие возбуждающий момент или изменяющие
частоту системы без рассеяния энергии; к ним относятся добавочные массы на
пружине (динамический демпфер), нелинейные муфты и маятниковые демпферы;
− смешанные устройства, действие которых основано на изменении
системы или уравновешивании возбуждающего момента и частично на
рассеянии энергии. К этому типу относятся демпферы резиновые,
динамические с рессорными пружинами и др.
На рис. 64 приведен пример действия простейшего динамического
демпфера с рессорой или пружиной в двухмассовой системе (рис. 64, а),
имеющей резонанс с частотой ω C в рабочем диапазоне оборотов (рис. 64, б).
Действие динамического демпфера эквивалентно добавлению к системе через
соединение с жесткостью c12 третьей массы с моментом инерции J1 (рис. 64, в).
Новая трехмассовая система имеет две собственные частоты ω C 1 < ω C и ω C 2 >
ω C (рис. 64, г).
Если частоты ω C 1 и ω C 2 не совпадают на рабочих режимах с частотами
сильно возбуждающих гармоник, то новые резонансы не существенны, и задачу
можно считать решенной.
Маятниковые демпферы нашли широкое применение для борьбы с
крутильными и изгибными колебаниями.
Если для гашения крутильных колебаний маятник подвешивается в
плоскости вращения вала (качающийся противовес на двух пальцах –
бифилярный подвес к щеке вала), то для гашения изгибных колебаний
маятники подвешиваются в осевой плоскости вала.
а)
б)
в)
г)
Рис. 64. Колебание системы с динамическим демпфером: а) двухмассовая
крутильная система и форма собственных ее колебаний; б) резонансная кривая
колебаний второй массы двухмассовой системы без демпфера; в) двухмассовая
крутильная система с динамическим демпфером и возможными формами ее
собственных колебаний и формой вынужденных колебаний; г) резонансная
кривая колебаний второй массы двухмассовой системы с динамическим
демпфером
Маятниковые демпферы настраивают на определенные гармонические
составляющие возбуждающих моментов. Настройка таких демпферов не
меняется, и они не чувствительны к изменению собственной частоты системы.
Чтобы присоединенная масса давала эффект при любой частоте вращения,
собственная частота колебаний этой массы должна меняться пропорционально
изменению частоты вращения с коэффициентом пропорциональности, равным
порядку возбуждающей гармоники.
Во избежание нелинейности колебания маятниковых масс должны
проходить с малой амплитудой. Только в случае, когда профиль, по которому
перемещается палец c подвешенной маятниковой массой, представляет кривую,
эквивалентную эпициклоиде, амплитуды колебаний могут возрастать до
требуемой величины без появления нелинейности. Трение при работе демпфера
мало.
Правильная конструкция маятникового демпфера может быть установлена
расчетом без экспериментальной проверки, которая бывает необходима для
подбора настройки демпферов других типов.
Демпфер трения по принципу действия основан на рассеянии энергии
колебаний. При этом используется сухое или жидкостное трение. Демпферы
ставят на тот участок вала системы, который имеет максимальную крутильную
деформацию. На рис. 65 приведены простейшие конструкции демпферов сухого
(рис. 65, а) и жидкостного (рис. 65, б, в) трения.
а)
б)
в)
Рис. 65. Демпферы трения: а) сухое трение; б) и в) жидкостное трение
В демпфере с сухим трением (рис. 65, а) ступица 1, жестко соединенная
с валом 2, вовлекает во вращение через фрикционные диски 3 маховик 4,
свободно посаженный на вал. С помощью пружины 5 регулируется сила сухого
трения. При колебаниях вала происходит относительное проскальзывание
маховика и ступицы, приводящее к рассеянию энергии вследствие трения на
фрикционных поверхностях. В схеме, изображенной на рис. 65, б, демпфирующий
эффект создается при колебаниях жестко насаженной на вал 3 ступицы 1 с
лопатками, прокручивающейся относительно маховика 2; внутренние камеры
заполнены вязкой жидкостью. В демпфере, изображенном на рис. 65, в,
демпфирующая сила возникает при перетекании масла через малые отверстия при
колебаниях диафрагмы 1 относительно заполненного масла и свободно
насаженного кожуха 2.
Нелинейность характеристик виброизолятора обусловлена нелинейными
свойствами упругого элемента, внутренним трением в упругом элементе и т. д.
На рис. 66 изображены различные виброизоляторы и их силовые
характеристики (по оси абсцисс – перемещения, по оси ординат – реакции).
Рис. 66. Виброизоляторы и их силовые характеристики: а)
резинометаллический; б) сетчатый; в) с упругими ограничителями хода; г)
демпферный; д) с конической пружиной
Вибрация и шум машин взаимосвязаны. Колебания валов, роторов,
корпусных деталей машин и другое вызывают шум. Имеется много источников,
одновременно порождающих как вибрацию, так и шум. Шум, в свою очередь,
может возбуждать вибрацию элементов машины. Если в спектре шума имеются
частоты, близкие к собственным частотам конструктивных элементов,
происходит значительное усиление первоначального шума. Поэтому снижение
уровня амплитуд колебаний деталей и узлов машин может одновременно
уменьшать шум.
7. СИНТЕЗ ПЕРЕДАТОЧНЫХ МЕХАНИЗМОВ. ПРОСТЫЕ ЗУБЧАТЫЕ
МЕХАНИЗМЫ
7.1. Основные понятия
Высшие кинематические пары обеспечивают большую степень
относительной подвижности звеньев, чем низшие. Поэтому механизмы,
содержащие высшие кинематические пары, позволяют более экономично
решать такие задачи, как:
− изменение скорости и закона движения;
− изменение характера движения (например, вращательного на
возвратно-поступательное, качательное и т. п.);
− распределение движения от одного двигателя на несколько рабочих
органов;
− суммирование движений;
− передача движения между осями, произвольно расположенными в
пространстве;
− бесступенчатое изменение скоростей звеньев во время работы
механизма;
− предохранение от перегрузок;
− выполнение математических операций и т. п.
Механизмы, позволяющие передавать вращение от двигателя к рабочему
органу и изменяющие при этом скорость вращения, называют передаточными
механизмами. Характеристикой передаточного механизма является его
передаточное отношение (число) i1k, под которым понимают отношение
скорости ведущего звена 1 к скорости ведомого звена k.
В качестве передаточных часто используют такие механизмы, содержащие
высшие кинематические пары, как:
− зубчатые механизмы (простые и сложные);
− кулачковые механизмы;
− фрикционные механизмы;
− механизмы с гибкими звеньями;
− храповые механизмы и др.
Простой зубчатый механизм состоит из пары зацепляющихся колес, т. е.
колес с последовательно чередующимися впадинами и выступами
определенной формы – зубьями.
Зубчатые механизмы имеют следующие достоинства:
− компактность и малые размеры;
− высокий КПД;
− большую долговечность и надежность;
− простоту эксплуатации;
− практически любое передаточное отношение.
Основные недостатки в процессе эксплуатации:
невозможность бесступенчатого изменения передаточного отношения в
процессе работы;
− высокая точность изготовления
изготовления, требующая специальных станков;
− шум при больших окружных скоростях.
7.2. Классификация зубчатых
убчатых механизмов
Зубчатые механизмы классифицируются:
классифицируются
а) по виду расположения осей – различают зубчатые механизмы
механизмы:
− цилиндрические – при передаче вращения между параллельными
осями (рис. 67);
а)
б))
в)
г)
Рис.. 67. Цилиндрические зубчатые механизмы
− конические – при передаче вращения между пересекающимися осями
(рис. 68);
Рис. 68. Конические зубчатые механизмы
− винтовые – при передаче вращения между скрещивающимися осями
(рис. 69).
Рис. 69. Винтовой зубчатый механизм
б) по виду зацепления – зубчатый механизм может быть с зацеплением
зубьев:
− внешним (рис. 67, а);
− внутренним (рис.
рис. 67, г);
− реечным (рис. 67, в).
в) по расположению зубьев колес относительно образующей обода –
различают зубчатые передачи:
− прямозубые (рис. 67, а);
− косозубые (рис. 67, б).
7.3. Основная теорема зацепления
Свойства зубчатого механизма во многом определяются выбором типа
кривых, по которым очерчиваются боковые поверхности зубьев и которые
определяют профиль зубьев зубчатых колес. Выбор же кривых для любых
зубчатых колес должен, прежде всего, удовлетворять основной теореме
зацепления и ее следствиям.
Основная теорема зацепления.
Общая нормаль к соприкасающимся профилям зубьев в данный момент
зацепления делит линию центров колес на части, обратно пропорциональные
угловым скоростям.
Для доказательства основной теоремы рассмотрим зацепление двух зубьев
в некоторый момент времени (рис. 70) в точке М (М1 и М2) со скоростями этих
точек VM1 = R1 ω1 и VM2 = – R2 ω2 соответственно.
Рис. 70. К доказательству основной теоремы зацепления
Пусть NN – общая нормаль в данный момент в точке М. Очевидно, что
условием непрерывности зацепления при вращении колес будет равенство
n
n
проекций скоростей VM1 и VM2 на общую нормаль, т. е. V M 1 = V M 2 . В
противном случае (при V M 1 ≠ V M 2 ) получим либо отставание одного зуба от
n
n
другого (V M 1 < V M 2 ), либо «внедрение» (V M 1 > V M 2 ) – что недопустимо.
n
n
n
n
Обозначая углы векторов с нормалью через β1 и β 2 , имеем:
R1ω1 cos β1 = R2 ω2 cos β2 .
Из подобия △O2 Pb0 и △O1 Pa0 :
ω1 R2 cos β2 O2b0 O2 P
=
=
=
,
ω2 R1 cos β1 O1a0 O1 P
что и требовалось доказать.
Следствие 1. Проекции скоростей на общую касательную τ − τ не равны
между собой. Поэтому зацепление зубьев происходит со скольжением
профилей, от которого возникает износ и потери на трение, зависящие от
скорости скольжения Vск = V τ M 1 −V τ M 2 .
Скольжения не будет только тогда, когда β1 = β2 , т. е. в момент зацепления
зубьев на линии центров.
Следствие 2. Для постоянства передаточного отношения необходимо,
чтобы общая нормаль NN в любой момент зацепления проходила через одну и
ту же точку на линии центров, называемую полюсом зацепления Р.
Окружности, проходящие через полюс зацепления, называют начальными
(rω1 и rω2). Они являются центроидами относительного движения колес.
Расстояние по дуге начальной окружности между двумя соседними зубьями
называется шагом по начальной окружности (Pω1 и Pω2). Так как начальные
окружности – центроиды, то Pω1 = Pω2 = Pω.
Числа зубьев колес обычно обозначаются через z (z1 и z2). Тогда
следующие равенства очевидны: 2πr1 = Pω z1 и 2πr2 = Pω z2 .
Из основной теоремы зацепления для круглых колес имеем:
i12 =
ω1 O2 P rω 2
2πr
z
=
=
= − ω2 = − 2 ,
ω2 O1P rω1
2πrω1
z1
(7.1)
т. е. передаточное отношение пары зубчатых колес с неподвижными осями
обратно пропорционально числу зубьев, взятому с соответствующим знаком.
Для внешнего зацепления – знак «минус», для внутреннего – «плюс».
Из выражения (7.1) следует:
z
rω1 = rω 2 2 .
z1
(7.2)
Условиям основной теоремы зацепления и ее следствиям соответствует
большое число кривых. Можно даже взять произвольный профиль одного зуба
и получить, пользуясь основной теоремой, профиль зуба сопряженного с ним
колеса. Однако такой профиль не будет соответствовать нижеперечисленным
требованиям, предъявляемым к зубчатым колесам:
− профили должны быть взаимно просты и технологичны в
производстве;
− зубчатые колеса должны быть взаимозаменяемы;
− профили зубьев должны иметь минимальный износ поверхностей и
достаточную прочность и долговечность;
− профили должны давать постоянное давление на опоры для
обеспечения долговечности подшипников.
В настоящее время в машиностроении и приборостроении основной
кривой для профилей зубьев является эвольвента круга, предложенная
Л. Эйлером в 1754 г. Более чем двухсотлетнее применение эвольвентных
зубчатых колес свидетельствует об удачном выборе кривой, особенно в связи с
изобретением прогрессивного метода обработки (метода обкатки).
7.4. Эвольвента и её свойства
Эвольвента представляет собой развертку круга (рис. 71, а).
Рис. 71. Образование эвольвенты
Развертываемую окружность (эволюту) принято в теории зубчатых колес
называть основной окружностью радиуса rb. Из способа образования
эвольвенты следует, что всегда АВ = AM, т. е.:
Rb (Θ x + α x ) = rb ⋅ tg α x .
Отсюда: Θ x = tgα x − α x , а из △OMA :
Rx =
rb
.
cos αx
(7.3)
Это уравнение является параметрическим уравнением эвольвенты в
полярных координатах. Полярная ось при этом проходит через начало
эвольвенты (точка В). Угол Θ x – центральный угол между полярной осью и
радиус-вектором в точку М. Разность ( tgαx − α x ) часто встречается в теории
зубчатых колес и для упрощения расчетов представлена в справочных таблицах
под названием «Инволюта угла α x »:
tg α x − α x = Θ x = invα x − α x .
Следующие свойства эвольвенты, используемые в зубчатых колесах,
очевидны:
− нормаль к эвольвенте является касательной к основной окружности;
− радиус кривизны эвольвенты в любой ее точке равен расстоянию от
эвольвенты до точки касания нормали с основной окружностью, т. е. РM=AM;
− две эвольвенты одной окружности эквидистантны, т. е. равно отстоят
друг от друга (M1N1 = M2N2) (рис. 71, б).
Определение эвольвенты и ее аналитическое уравнение используются
также для графического построения эвольвенты.
7.5. Эвольвентное зацепление
Процесс образования двух зубчатых колес с эвольвентными профилями
зубьев показан на рис. 72.
На линии центров О1О2 берется точка Р в отношении i12 =
O2 P
, и через
O1 P
нее проводится некоторая прямая NN под углом αω к перпендикуляру РМ.
Из центров О1 и О2 на прямую опускаются перпендикуляры О1а0 и О2b0,
длины этих перпендикуляров принимаются за радиусы основных окружностей
rb1 и rb2. На прямой NN берется любая точка в пределах отрезка а0b0
(например, точка Р). Если теперь прямую NN обкатывать без скольжения по
основной окружности радиуса rb1, то точка Р опишет в неподвижной плоскости
эвольвенту круга радиуса rb1. При качении прямой NN по окружности rb2
получится эвольвента B2Э2. Две эвольвенты сопряжены между собой и
принимаются за кривые для боковых профилей, так как при вращении колес
точка контакта эвольвент будет перемещаться по линии NN, а общая нормаль в
любой момент будет совпадать с этой линией (первое свойство эвольвенты).
Рис. 72. Эвольвентное зацепление
Следовательно, эвольвентные профили удовлетворяют основной теореме
зацепления и для круглых колес дают постоянное передаточное отношение.
Линия NN получила название линии зацепления, а угол αω – угла зацепления
(он же угол давления δ ).
Правильное зацепление эвольвент будет наблюдаться только в пределах
участка а0b0 , называемого теоретическим участком линии зацепления. В
действительности, сопряженные эвольвенты как боковые профили заключены
между двумя окружностями: окружностью выступов (ra1 и ra2) и
окружностью впадин (rf1 и rf2), причем с окружностью впадин эвольвента
сопрягается некоторой переходной кривой (галтелью) для уменьшения
концентрации напряжений у основания зуба.
Окружности выступов обоих колес образуют на линии зацепления
активный (действительный) участок линии зацепления a1b1, который и
является геометрическим местом точек контакта рабочих участков профилей
зубьев.
Между окружностью впадин одного колеса и окружностью выступов
второго колеса оставляют радиальный зазор (с) для несоприкосновения с
галтелью и снятия гидравлического удара, так как между зубьями во многих
случаях находится смазка.
Полный профиль зуба строится по правилам симметрии при определенной
толщине зуба.
7.6. Свойства эвольвентного зацепления
Отметим следующие свойства эвольвентного зацепления:
− линия зацепления – прямая, следовательно, зацепление создает
постоянные давления на оси и подшипники;
− сумма радиусов кривизны сопряженных точек есть величина
постоянная и равна теоретическому участку линии зацепления а0b0;
− эвольвентное колесо может работать в паре с любым другим
эвольвентным колесом, так как эвольвента зуба определяется только радиусом
основной окружности; это свойство используется для создания коробок
перемены передач;
− правильность зацепления не нарушается при небольшом изменении
межосевого расстояния О1О2 (изменяется только угол зацепления αW );
− возможно нарезание одним инструментом на высокопроизводительных
станках колес с разными числами зубьев (методом обкатки);
− относительно большой износ и недостаточная поверхностная
прочность выпуклых эвольвентных профилей зубьев, что заставляет ученых
искать другие виды кривых для профилей зубьев.
7.7. Методы изготовления зубьев
Существует два принципиально отличных метода изготовления зубьев:
− метод копирования;
− метод обкатки.
К методу копирования относятся литье, штамповка, протягивание,
строгание, фрезерование или шлифование специальными инструментами, у
которых форма режущих кромок отвечает форме впадины между зубьями, например, дисковые или пальцевые фрезы (рис. 73).
Рис. 73. Нарезание зубьев методом копирования
В настоящее время метод копирования применяется редко (в одиночном
производстве или при ремонте) из-за зависимости его от формы впадины между
зубьями.
7.8. Изготовление зубчатых колес методом обкатки
7.8.1. Основные понятия
Основным методом изготовления зубьев является метод обкатки. Этот
метод применяется при изготовлении зубьев: фрезерованием червячной фрезой
(рис. 74); обработкой долбяком (рис. 75), нарезанием зубчатой рейкой (рис. 76);
накаткой зубьев – шлифованием или шевингованием.
Рис. 74. Нарезание зубьев червячной фрезой
Рис. 75. Нарезание зубьев долбяком
Рис. 76. Нарезание зубьев зубчатой
рейкой
Методом обкатки получают зубчатые колеса, имеющие высокую точность
профиля и шага, а сам метод является наиболее производительным
производительным.
Самым простым и универсальным инструментом для метода обкатки
является инструментальна
инструментальная рейка. Боковые участки зубьев рейки,
рейки образующие
эвольвентный профиль на нарезаемом колесе, выполнены прямолинейными
(рис. 77), так как прямые ab ef можно рассматривать как частные случаи
эвольвент при rb → ∞ .
Рис. 77. К определению делительной окружности
Эвольвента зуба cd образуется при обкатке некоторой прямой (центроиды)
рейки mm без скольжения по окружности (центроиде) заготовки r.
Окружность радиуса r, по которой катится без скольжения прямая mm
рейки в процессе изготовления зубчатого колеса, называется делительной
(производственной) окружностью. Она отличается от начальных
окружностей, появляющихся в процессе зацепления двух зубчатых колес.
Каждое зубчатое колесо, имея только одну делительную окружность, может
образовывать несколько начальных окружностей разного диаметра при зацеплении с различными колесами.
Очевидно, что шаг по дуге делительной окружности р = Pp. Так как
pz = 2π r = π d , то:
P
P
z = P z = mz .
(7.4)
π
π
P P
Здесь m = = P называется модулем зацепления.
π
π
d=
Модуль зацепления является одним из основных параметров зубчатого
колеса и выражается в миллиметрах. С целью сокращения количества
инструмента значение модулей m стандартизовано. Размеры инструментальной
рейки – так называемый исходный контур инструментальной рейки – также
стандартизованы в долях модуля зацепления (рис. 78).
Рис. 78. Инструментальная рейка
Прямолинейный участок профиля рейки выполнен в пределах 2h'am;
закругление для формирования галтели зуба – на участке с'т.
Здесь: h'a – коэффициент высоты зуба;
с' – коэффициент радиального зазора;
α – угол профиля рейки.
Для основного контура h'a = 1, с' = 0,25 и α =20°. ГОСТ предусматривает
при необходимости применение укороченного контура (h'a = 0,8; с' = 0,3; α =
20°).
На средней линии толщина зуба равна половине шага рейки, т. е.
SP =
PP πm
=
.
2
2
7.8.2. Способы обработки зубьев при методе обкатки
При
обработке
резанием
форма
режущего
инструмента
(инструментального колеса (долбяка, шевера) или инструментальной рейки)
методом обкатки сходна с формой зубчатого колеса или зубчатой рейки, зубьям
которых приданы режущие свойства.
Процесс резания (шлифования, шевингования) происходит при возвратном
движении инструментального колеса или рейки вдоль оси зуба или при
вращении червячной фрезы. Относительные движения в окружном
направлении заготовки будущего колеса и режущего инструмента такие же, как
и при зацеплении уже нарезанного колеса с другим зубчатым колесом или
зубчатой рейкой (сходными с инструментальными).
Так как эвольвентное колесо может работать в паре с любым зубчатым
колесом, то и инструмент по методу обкатки пригоден для изготовления любого
зубчатого колеса (при одинаковой высоте зуба, точнее, при одинаковом модуле).
При образовании зубьев методом накатки (рис. 79) заготовка зубчатого
колеса z диаметром примерно – (da+df)/2, часто предварительно нагретая
токами высокой частоты, прокатывается между валками.
Валки сходны с эвольвентными зубчатыми колесами (рис. 79, а, б) или с
зубчатыми рейками (рис. 79, в), получающими вместе с заготовкой
принудительный обкат с постоянным передаточным отношением таким же, как
и в готовом зубчатом зацеплении.
а)
б)
в)
Рис. 79. Схемы изготовления зубчатых колес
методом накатки: а) накатка с радиальной
подачей; б) пакетная накатка с протягиванием;
накатка двумя рейками
Деформируя заготовку, валки образуют на ней зубья за счет пластического
течения металла, вытесняемого из впадин зубчатого колеса. Волокна металла
при этом не перерезаются, а поверхность зубьев упрочняется, что способствует
повышению прочности зубчатого колеса.
Недостатком этого вида обработки является пока невысокая точность
получаемого зубчатого колеса по сравнению с другими видами зубонарезания
методом обкатки.
7.8.3. Установка рейки при нарезании и виды зубчатых колес
При нарезании зубчатого колеса возможны три случая установки
инструментальной рейки:
1) средняя линия рейки касается и обкатывается без скольжения по
делительной окружности нарезаемого колеса (заготовки) – ξ = 0 (рис. 80, а);
а)
б)
в)
Рис. 80. Положение зубчатой рейки: а) без смещения; б) с положительным
смещением; в) с отрицательным смещением
2) по делительной окружности обкатывается без скольжения некоторая
прямая mm, расположенная ближе к вершинам зубьев рейки и смещенная от
средней линии рейки на величину b = ξ m > 0 , где ξ > 0 – коэффициент
смещения. В этом случае говорят, что рейка отодвинута от центра колеса на
величину b = ξ m (рис. 80, б);
3) по делительной окружности обкатывается прямая mm, смещенная к
основаниям зубьев рейки на величину b = ξ m < 0 , где ξ < 0 (рис. 80, в).
В первом случае образуется после нарезания нулевое колесо ( ξ = 0 ), во
втором – положительное ( ξ > 0 ) и в третьем – отрицательное ( ξ < 0 ) колесо.
Большее из зацепляющихся зубчатых колес обычно называют колесом,
меньшее – шестерней.
7.9. Определение размеров зубчатых колес
7.9.1. Определение толщины зуба по дуге делительной окружности
Толщина зуба S, измеренная по дуге делительной окружности, равна
ширине впадины Pd между зубьями рейки, измеренной по обкаточной
прямой mm (рис. 80, б):
S = Pd = S '+ 2 BP ⋅tg α =
Оттуда же:
πm
+ 2ξ m ⋅ tg α .
2
(7.5)



mz
m
rf =
+ ξ m − (h 'a + c ') m = ( z − 2h 'a − 2c '+ 2ξ ),

2
2
rf = OD = OP + PB ⋅ BD;
rb = r ⋅ cos α =
mz
cos α .
2
(7.6)
(7.7)
Полученные зависимости справедливы для всех видов колес.
7.9.2. Определение толщины зуба на любом радиусе
Для определения толщины зуба Sx на любом радиусе rх считаем известной
толщину зуба по дуге делительной окружности (рис. 81):
πm
+ 2cm ⋅ tg α ,
2
S x = 2γ x rx ,
S=
где γ x = γ + Θ − Θ x ;
γ=
S
π 2ξ
= + tg α .
2r 2 z
z
Рис. 81. К определению толщины зуба на любом радиусе
Углы Θ и Θ x представляют собой инволюты углов точек Р и М на
эвольвенте.
Таким образом, толщина зуба на любом радиусе rx:
π

2ξ
S x = 2rx  + tg α + invα − invαx  .
(7.8)
 2 z

z
В частности, для основной окружности Θ x = 0 и α x = 0 .
Следовательно, толщина зуба по основной окружности:
π

2ξ
+ tg α + invα .
 2 z

z
Sb = 2rb 
(7.9)
Уравнение для Sx используется в аналитической геометрии зубчатого
зацепления и при построении профиля зуба.
7.9.3. Определение угла зацепления
Нарезанные с любыми коэффициентами смещения два зубчатые колеса
образуют эвольвентное зацепление с каким-то углом зацепления αω и
начальными окружностями rω1 и rω2, проходящими через полюс зацепления Р
(рис. 82).
При этом делительные окружности колес могут располагаться по-разному
относительно начальных окружностей в зависимости от величин
коэффициентов смещения.
Рис. 82. К определению угла зацепления
Из условия обкатки:
Sω1 + Sω2 = Pω.
(7.10)
Толщину зубьев по начальным окружностям ( Sω1 и S ω 2) можно получить
из формулы (7.8) для Sx:
 π

2ξ
Sω1 = 2rω1 
+ 1 tgα + invα − invαω  ,

 2 z
z
1
1
 π

2ξ2
tgα + invα − invαω  .

 2 z2
z2
2πrω1 2πrω 2
Шаг по начальной окружности Pω =
=
.
z1
z2
Делая подстановку в формулу (7.10) значения rω1 (7.2), получим после
Sω 2 = 2rω 2 
+
преобразований:
2(ξ1 + ξ2 )
tg α + invα .
(7.11)
z1 + z 2
Зная угол зацепления αω , можно определить радиусы начальных
invαω =
окружностей:
r0
r cos α mz ⋅ cos α
r=
=
=
cos αω
cos αω
2cos αω
и межцентровое расстояние aω= O1 O2
aω = rω1 + rω 2 =
m( z1 + z2 ) ⋅ cos α
.
2cos αω
(7.12)
(7.13)
7.9.4. Определение радиуса окружности выступов
Радиусы окружностей выступов (см. рис. 82) определяются из условия
сохранения определенной величины радиального зазора (с = c ′ m) при плотном
зацеплении теоретических зубьев, имеющих толщину зубьев, вычисленную по
формуле (7.8):
ra1 = aω − r f 2 − c =
m( z1 + z2 ) ⋅ cos α m
= ( z2 − 2ha′ − 2c ′ − 2ξ2 ) − c ′m .
2cos αω
2
где c ′ равен 0,25 или 0,3 для укороченных зубьев (ГОСТ 13755-81).
Для получения стандартного радиального зазора в зацеплении вводят
коэффициент укорочения зуба ∆h :
( z + z2 ) cos α 
∆h = 1
+ (ξ1 + ξ2 ) .
1 −
2  cos α 
ω
Тогда
m
( z1 − 2ha′ + 2c ′ − 2∆h) ;
2
m
ra 2 = ( z2 − 2ha′ + 2c ′ − 2∆h) .
2
ra1 =
(7.14)
(7.15)
7.10. Виды зацеплений двух зубчатых колес
В зависимости от того, какие зубчатые колеса (нулевые, положительные
или отрицательные) введены в зацепление, образуются три вида зацепления,
качественно различающиеся между собой:
1. Нулевое зацепление:
ξ1 = ξ2 = 0 ;
a = aω ;
r = rω ;
r1 = rω1 , r2 = rω 2 ;
m
ra = ( z + 2ξ ) ;
2
m
rf = ( z − 2ha′ − 2c ′ ) ;
2
πm
S=
.
2
В таком зацеплении делительные окружности совпадают с начальными, и
толщина зуба по начальной окружности равна ширине впадины.
2. Смещенно-нулевое зацепление:
ξ1 + ξ2 = 0 , т. е. ξ1 = −ξ2 ;
a = aω ;
aω = aω0 ;
r = rω .
Толщина зубьев по начальным (делительным) окружностям сопряженных
колес не равны между собой.
3. Смещенное зацепление:
ξ1 + ξ2 ≠ 0 .
В таком зацеплении угол зацепления отличается от угла профиля рейки, а
делительные окружности не совпадают с начальными, толщина зубьев по
делительным окружностям неодинакова.
7.11. Основные факторы зацепления
7.11.1.
Основные понятия
Можно выделить три фактора, характеризующих качество зацепления
зубчатых колес:
− коэффициент перекрытия;
− коэффициент скольжения;
− коэффициент удельного давления.
За время зацепления одной пары зубьев (из положения I в положение II на
рис. 83) точка контакта проходит путь a1b1, равный дуге B1 B1′ , по основной
окружности.
Рис. 83. К определению коэффициентов скольжения и удельного давления
Дугу B1 B1′ называют дугой зацепления. Очевидно, для непрерывности
(перекрытия) зацепления необходимо, чтобы дуга зацепления была больше
шага Pb по основной окружности, т. е. расстояния по дуге между двумя
зубьями.
Шаг по основной окружности равен Pb =
2π rb
= π m ⋅ cos α , a дуга зацепления
z
B1 B1′ = a1b1 = a1 P + Pb1 = ( a1b0 − Pb0 ) + (b1a0 − Pa0 ) =
= ( r 2 a 2 − r 2 b 2 − rω 2 sin αω ) + ( r 2 a1 − r 2 b1 − rω1 sin αω ) =
= r 2 a1 − r 2 b1 + r 2 a 2 − r 2 b 2 − aω sin αω .
7.11.2.
Коэффициент перекрытия
Коэффициент перекрытия ε является отношением дуги зацепления к
своему шагу и характеризует степень плавности зацепления.
Следовательно, дня внешнего зацепления
r 2 a1 − r 2 b1 + r 2 a 2 − r 2 b 2 − aω sin αω
ε=
.
π m ⋅ cos α
(7.16)
Можно сказать, что коэффициент перекрытия:
− не зависит от модуля зацепления;
− с увеличением угла зацепления уменьшается;
− с увеличением чисел зубьев увеличивается.
Например, коэффициент перекрытия какого-либо зацепления равен 1,4. Это
означает, что 40 % времени в зацеплении находятся две пары зубьев и 60 % – одна
пара.
Для внешнего прямозубого зацепления всегда ε < 2 .
7.11.3.
Коэффициент скольжения
Коэффициент скольжения характеризует степень стирания поверхности
зубьев и является отношением скорости скольжения к тангенциальной
составляющей скорости рассматриваемой точки (см. рис. 70), т. е.:
Vск
V τ M1 −V τ M 2
V τM 2
V τ M 2 sin β2
η1 = τ =
=1− τ = 1− τ
=
V M1
V τM1
V M1
V M 1 sin β1
=1+
bM ω
bM z
R2 ω2 sin β2
=1 + 0 2 2 = 1− 0 2 1 .
R1ω1 sin β1
a0 M1ω1
a0 M 1 z2
Для эвольвентных колес:
a0 M 1 = ρ1 и b0 M 2 = ρ2 ,
следовательно, получаем
η1 = 1 −
ρ2 z1
.
ρ1 z2
(7.17)
Аналогично имеем:
ρz
η2 = 1 − 1 2 .
ρ2 z1
На рис. 83 показаны эти зависимости графически вдоль всего
теоретического участка линии зацепления a0b0 (с учетом, что ρ1 + ρ2 = a0 b0 ).
Действительные значения коэффициента скольжения заключены в
промежутке a1b1 (активный участок линии зацепления) и указывают на то, что
самое интенсивное стирание происходит у основания зуба (в момент выхода а1).
Применяя смещение инструмента при нарезании, изменяем значение
радиусов (ra, rf) и смещаем положение точек а1 и b1 (например, в зону
наименьших скольжений).
7.11.4.
Коэффициент удельного давления
Как известно, контактные напряжения определяются по формуле ГерцаБеляева:
σк = 0.418
QE
.
Lρ
Для зубчатых колес можно написать, что
σк = 0.418
QE m
⋅
.
Lm ρ
Первый радикал не зависит от формы зубьев, второй целиком является
функцией формы и кривой профиля, оказывающей влияние на величину
контактных напряжений.
Выражение
m
= ϑ называется коэффициентом удельного давления.
ρ
Следовательно, для эвольвентных колес:
1
a0 b0
ρ + ρ2
m
1
ϑ = = m  +  = m 1
=m
.
 ρ
ρ
ρ 
ρρ
ρ (a b − ρ )
1
2
1 2
0 0
(7.18)
1
Зависимость ϑ = f (ρ ) показана на рис. 83 и указывает также на
полезность применения смещенных колес и зацеплений, из-за изменения rа и rf
смещаются точки а1 и b1.
7.12. Корригирование зубчатых колес
7.12.1.
Цели корригирования
При малом числе зубьев колеса (рис. 84, а) в процессе изготовления может
происходить подрезание ножки (основания) зуба.
Рис. 84. Устранение подрезания зубьев
Это наблюдается, когда конечная точка b прямолинейного участка рейки
пересекает линию зацепления NN в точке С, отстоящей от полюса дальше, чем
точка а'о (конец теоретического участка линии зацепления при нарезании).
На участке а'0С происходит неправильное зацепление (нет общей нормали
с эвольвентой), а в силу режущих свойств инструмента рейка срезает часть
эвольвенты и утончает ножку зуба. Зуб оказывается подрезанным и непрочным.
Корригирование, или исправление зубчатых колес, происходит в результате
смещения инструмента при нарезании зубьев.
При этом достигается:
− повышение контактной прочности и долговечности зубчатого
механизма за счет снижения величины коэффициента удельного давления;
− повышение износостойкости за счет уменьшения коэффициентов
скольжения;
− повышение изгибной прочности, так как при положительных
смещениях толщина зуба у основания увеличивается;
− уменьшение габаритов зубчатого механизма при заданной прочности
и долговечности;
− требуемое конструкцией межцентровое расстояние aω.
7.12.2.
Устранение подрезания зубьев
Для устранения подрезания необходимо сместить рейку от центра так,
чтобы PC < Р а'0. В случае PC = Р а'0 смещение рейки ξmin m минимально
(рис. 84, б).
При этом имеем из △Pa0′O :
Pa0′ = PO ⋅ Pa0′ ⋅ sin α = r ⋅ sin α .
(7.19)
Из △PDC:
PC =
PD
FD − FP ha′ m − ξmin m
=
=
.
sin α
sin α
sin α
(7.20)
Приравнивая выражения (7.19) и (7.20), получим:
2ha′ − z ⋅ sin 2 α
.
ξmin =
2
(7.21)
Если нарезается нулевое колесо, то минимально возможное число зубьев zmin
без подреза определится при ξmin = 0 из выражения (7.21):
zmin =
2ha′
.
sin 2 α
(7.22)
Для основного стандарта ( ha′ = 1 ; α = 20° )
– zmin ≈ 17.
Для укороченных зубьев ( ha′ = 0.8 ; α = 20° )
– zmin ≈ 14.
Применение смещения в последнем случае позволяет нарезать зубчатое
колесо с меньшим числом зубьев и уменьшить габариты не силовых зубчатых
механизмов.
Выбор коэффициентов смещения для достижения указанных целей
представляет собой сложную и трудоемкую инженерную задачу. Решение
осложняется тем, что при больших смещениях режущего инструмента (как в
процессе нарезания, так и при зацеплении зубчатых колес) возникает ряд
отрицательных явлений:
− заострение зуба;
− срезание вершины зуба;
− заклинивание зацепления;
− малый коэффициент перекрытия (даже ε < 1 ) и т. п.
В настоящее время под руководством И.Л. Болотовского разработаны так
называемые блокирующие контуры, дающие в системе координат ( ξ1 , ξ2 ) зону
возможных коэффициентов смещения без отрицательных явлений и с указанием
необходимых качеств зацепления (рис. 85).
Рис. 85. Блокирующие контуры
7.13. Особенности внутреннего зацепления
Внутреннее эвольвентное зацепление также удовлетворяет основной
теореме зацепления, имеет для круглых колес постоянное, но положительное
передаточное отношение:
i12 =
ω1 O2 P z1
=
= > 0.
ω2 O1 P z2
(7.23)
Полюс зацепления Р (рис. 86) находится вне межосевого расстояния
aω = O1O2 , начальные окружности rω1 и rω2 касаются друг друга внутренним
образом.
Рис. 86. Внутреннее зацепление
Рис
Линия зацепления NN под углом зацепления αω касается основных
окружностей rb1 и rb2, образуя открытый теоретический участок a0PN. Точка М
прямой NN при качении последней по основным окружностям образует две
эвольвенты Э1 и Э2, касающиеся внутренним образом. Зубья шестерни ничем
не отличаются от зубьев шестерни внешнего зацепления. Профиль зубьев
колеса z2 (венца) вогнут, а окружность выступов находится внутри окружности
впадин (ra2 < rf2). Действительный участок линии зацепления а1Рb1 находится
вне отрезка a0b0.
Изготовляется венец колеса z2 чаще всего долбяком на зубодолбежных
станках (реечным инструментом изготовить его нельзя). По техническим
причинам часто и зубья шестерни z1 нарезают долбяком.
7.14. Свойства внутреннего зацепления
Можно отметить следующие свойства внутреннего зацепления:
− коэффициент перекрытия при внутреннем зацеплении больше, чем при
внешнем, и определяется по формуле:
r 2 a1 − r 2b1 − r 2 a 2 − r 2b 2 + aω sin αω
ε=
;
πm ⋅ cos α
(7.24)
− коэффициент скольжения при внутреннем зацеплении, а следовательно,
и износ профилей меньше, чем во внешнем (график зависимости ϑ = (ρ )
приведен на рис. 86);
− коэффициент удельного давления также меньше (рис. 86); передача
выдерживает более высокие нагрузки, так как происходит касание выпуклого
профиля с вогнутым и радиусы кривизны обоих профилей направлены в одну
сторону;
− внутреннее зацепление более компактно, имеет меньшие габариты;
− внутреннее зацепление трудно осуществить для передаточного
отношения, близкого к единице;
− внутреннее зацепление очень чувствительно к различного рода
интерференциям (заклиниванию в зацеплении и срезам (подрезам) при
нарезании);
− внутреннее зацепление всегда требует тщательного геометрического
расчета, при этом стандартные размеры зубьев в данных передачах возможны
только при смещенном зацеплении;
− нулевое внутреннее зацепление ( ξ1 = ξ2 = 0 ), изготовленное
стандартным инструментом (долбяком), вообще невозможно, так как всегда дает
заклинивание от упора вершин зубьев венца z2 в галтель зуба z1. Для ликвидации
этого явления и возможности нулевого зацепления приходится вершины зубьев
z2 срезать на некоторую величину △ m, зависящую от числа зубьев колес и
долбяка.
Тогда
ra 2 =

m
( z2 + 2ha′ + 2∆),

2
(7.25)


m
rf 2 = ( z2 + 2ha′ + 2c ′ ).

2
Если шестерня z1 нарезана реечным инструментом, то величину дельта ( ∆ )
можно определить из табл. 1.
Таблица 1. Величина дельта ( ∆ ) в зависимости от числа зубьев колеса
z2
35
40
50
60
70
80
100
120
150
∆
0,226
0,2
0,15
0,13
0,11
0,1
0,075
0,065
0,05
7.15. Особенности конического зацепления
Зубья конического колеса расположены на боковой поверхности
усеченного конуса, образование которых можно представить себе так, как
показано на рис. 87, а.
Рис. 87. Коническое зацепление
Если к основному конусу (rb) провести касательную плоскость Q и на ней
взять некоторую прямую MN, то при наматывании плоскости на боковую
поверхность конуса все точки прямой MN будут описывать кривые,
называемые сферическими эвольвентами (так как SM=const, SN=const и т. д.).
Совокупность таких эвольвент, ограниченных конусами выступов и впадин,
образует боковой профиль зуба конического колеса.
Если прямая MN проходит через вершину конуса S, то получается
прямозубое коническое колесо, в остальных случаях – косозубое. Роль
делительной окружности в процессе нарезания конического колеса играет
делительный конус (рис. 87, б), имеющий у основания окружность радиусом
m z
rД = max .
2
Так как высота зуба и модуль переменны по длине образующей L, то за
стандартный принимают наибольший модуль mmax.
Высота зуба h в наибольшем сечении (рис. 87, б), мала по сравнению с
длиной образующей делительного конуса L (конусным расстоянием), поэтому
можно считать, что сферическая эвольвента профиля зуба приближенно
располагается на боковой поверхности дополнительного конуса, образующие
которого перпендикулярны образующим делительного конуса.
Если развернуть поверхность дополнительного конуса на плоскость, то
получим сектор с отпечатками зубьев конического колеса (рис. 87, в). Число
зубьев на секторе равно числу зубьев конического колеса. Из такого сектора
можно образовать полное цилиндрическое зубчатое колесо с числом зубьев zЭ,
эквивалентное по профилю зубьев и качественным характеристикам
коническому (с тем же модулем mmax). Если обозначить угол между
образующей делительного конуса и осью через ϕ , то rЭ =
rД
и,
cos ϕ
следовательно,
zЭ =
z
.
cos ϕ
(7.26)
Конические колеса применяются для передачи движения между осями,
пересекающимися под любым углом δ = ϕ1 + ϕ2 (рис. 88).
Рис. 88. К определению передаточного отношения конического зацепления
Передаточное отношение такого зацепления
i12 =
r
z
L sin ϕ2 sin ϕ2 sin (δ − ϕ1 )
ω1
= 2= 2=
=
=
,
ω2
r1 z1 L sin ϕ1 sin ϕ1
sin ϕ1
(7.27)
что позволяет по заданным δ и i12 определить углы ϕ1 и ϕ2 :
i + cos δ
ctgϕ1 = 12
;
sin δ
(7.28)
ϕ2 = δ − ϕ1 .
7.16. Свойства конического зацепления
Можно отметить следующие свойства конического зацепления:
− коническое зацепление имеет больший коэффициент перекрытия, чем
цилиндрическое внешнее зацепление, так как соответствует цилиндрическому
(эквивалентному) зацеплению с большим числом зубьев;
− коническое колесо можно нарезать без подреза с меньшим числом
зубьев (меньше 17);
− коническое зацепление может быть нулевым и смещенным, но чаще
всего применяют нулевое зацепление. Геометрический расчет ведется по
эквивалентным колесам;
− профиль зубьев конических колес – переменный по длине, поэтому
коническое зацепление чувствительно к точности монтажа и правильности
установки;
− при одинаковых числах зубьев коническое зацепление менее
нагрузоспособное и износостойкое, чем цилиндрическое;
− качественные характеристики конического зацепления такие же, как
у зацепления эквивалентных цилиндрических колес, которые при этом имеют
большее передаточное отношение.
π
, то
2
π

cos − ϕ2 
 2

z
z cos ϕ1
sin ϕ2
i12 Э = 2 Э = 2 Э
= i12
= i12
= i 212 .
π

z1Э z1Э cos ϕ2
sin ϕ1
cos  − ϕ1 
 2

π
В частности, при δ =
коническое зацепление с i12 = 3 имеет
2
Например, если δ = ϕ1 + ϕ2 =
характеристики цилиндрического зацепления с i12Э = 9. Поэтому для конических
зацеплений принимают меньшие передаточные отношения.
8. ЗУБЧАТЫЕ МЕХАНИЗМЫ
8.1. Основные понятия
Простые зубчатые механизмы (из одной пары зубчатых колес) допускают
сравнительно небольшие передаточные отношения. При больших передаточных
отношениях простой зубчатый механизм будет иметь низкий КПД, большие
габариты, низкую долговечность и большой износ поверхностей зубьев.
Поэтому рекомендуется применять следующие передаточные отношения:
− для внешнего цилиндрического зацепления: i < 7;
− для внутреннего зацепления: i < 9;
− для конического
зацепления: i < 5.
Иногда в приборостроении эти пределы расширяются почти вдвое.
На практике часто требуются значительно большие передаточные
отношения, доходящие до 107. В таких случаях применяются сложные зубчатые
механизмы, состоящие из нескольких пар зубчатых колес.
Сложные зубчатые механизмы подразделяются на два вида:
− с неподвижными осями;
− с подвижными осями в пространстве.
8.2. Сложные зубчатые механизмы с неподвижными осями
Одна из схем сложного механизма приведена на рис. 89.
Рис. 89. Сложный зубчатый механизм с неподвижными осями
Определим передаточное отношение i18 этого механизма. Известно, что:
i12 =
ω
ω
z
ω
z
ω1
z
z
= − 2 ; i34 = 3 = − 4 ; i56 = 5 = − 6 ; i78 = 7 = − 8
ω2
z1
ω4
z3
ω6
z5
ω8
z7
Перемножив почленно полученные равенства, получим:
i12 ⋅ i34 ⋅ i56 ⋅ i78 =
ω1 ω 3 ω 5 ω 7 ω1
⋅
⋅
⋅
=
=i .
ω 2 ω 4 ω 6 ω 8 ω 8 18
Следовательно,
общее
передаточное
отношение
механизма
с
неподвижными осями равно произведению передаточных отношений простых
зубчатых механизмов. Отсюда:
 z  z  z  z
z ⋅z ⋅z ⋅z
i18 = i12 ⋅ i34 ⋅ i56 ⋅ i78 = − 2 ⋅ − 4 ⋅ − 6 ⋅ 8 = − 2 4 6 8 .
 z   z   z  z
z1 ⋅ z3 ⋅ z5 ⋅ z7
1
3
5
7
(8.1)
Числа зубьев таких механизмов назначаются, как правило, подбором.
Условия для подбора чисел зубьев:
− заданное передаточное отношение i;
− минимальное число зубьев zmin;
− предел передаточного отношения для простого зацепления;
− равенство чисел зубьев для нескольких колес;
− получение наименьших габаритов;
− наименьшая ошибка передаточного отношения;
− соосность и т. п.
Обычно число зубьев шестерни zш зависит от числа оборотов nш (табл. 2).
Таблица 2. Минимальное число зубьев шестерни
nш., об./мин
z
> 1 000
24...26
500...1 000
22...24
100...500
18...22
< 100
16...18
Число зубьев колеса определяют по передаточному отношению. Для
силовых зубчатых механизмов с целью обеспечения малых габаритов
передаточные отношения первых ступеней выбирают больше последних
ступеней. Для приборных точных механизмов, наоборот, минимальная ошибка
положения обеспечивается при наибольшем передаточном отношении на
последней ступени. Из условия компактности передачи ведущий и ведомый
валы часто выполняют соосными. Так, на рис. 90 показан механизм из двух пар
зубчатых колес.
Рис. 90. Сложный зубчатый механизм с неподвижными соосными осями
Ведущий вал z1 находится на одной оси с ведомым z4. Передаточное
отношение механизма равно
z z
i14 = i12 ⋅ i34 = 2 ⋅ 4 .
z1 z3
При подборе чисел зубьев данной передачи необходимо, кроме
передаточного отношения, выдержать условие соосности, т. е. равенство
межцентровых расстояний зацеплений aω I = aω II или r1 + r2 = r4 − r3 . Отсюда:
mI ( z1 + z2 )⋅ cos α mII ( z4 − z3 )⋅ cos α
=
.
2cos αω1
2cos αω II
(8.2)
Для нулевых, смещенно-нулевых и смещенных зацеплений при aω I = aω II
имеем:
mI ( z1 + z2 ) = mII ( z4 − z3 ) .
(8.3)
Часто принимают mI = mII . Тогда условие соосности приобретает вид:
(8.4)
z1 + z2 = z4 − z3 .
8.3. Сложные зубчатые механизмы с подвижными осями
Если в соосном механизме (рис. 90) блок зубчатых колес z2–z3 закрепить
так, чтобы он имел возможность вращаться вокруг оси колес z1–z4, то получим
механизм (рис. 91, а), у которого ось колес z2–z3 будет подвижна в
пространстве.
а)
б)
Рис. 91. Механизмы с подвижной осью: а) W = 2; б) W = 1
Этот так называемый дифференциальный механизм качественно
отличается от механизма с неподвижными осями. Он позволяет суммировать
или раздваивать движения, так как имеет две степени свободы:
W = 3n – 2 p5 – p4;
W = 3×4 – 2×4 – 2 = 2.
Если закрепить неподвижно колесо z4 (рис. 91, б), получим механизм
с подвижными осями, имеющий степень свободы W = l – простой
планетарный механизм:
W = 3n – 2 p5 – p4;
W = 3×3 – 2×3 – 2 = 1.
Подвижный блок в таких механизмах называют сателлитом, держатель
сателлитов Н – водилом, а соосные колеса z1 и z4 – центральными. Если одно
из центральных колес неподвижно (z4 на рис. 91, б), то его называют
солнечным.
Для планетарных механизмов передаточное отношение не является
отношением чисел зубьев, как это было для механизмов с неподвижными
осями. Связь между угловыми скоростями и числами зубьев колес звеньев
таких механизмов можно установить методом обращения движения.
Пример. Пусть для рассматриваемого механизма (рис. 91) известны
ω1 , ω2 , ω3 , ω 4 и z1 , z2 , z3 , z4 . Сообщим всей системе угловую скорость,
обратную и численно равную угловой скорости водила (– ω H ). Получим
эквивалентный в относительном движении исходному механизму новый
(обращенный) механизм, у которого водило неподвижно, а угловые скорости
звеньев равны:
ω1H = ω1 − ω H ; ω2 H = ω2 − ω H ;
ω3 H = ω3 − ωH ; ω4 H = ω4 − ω H .
Верхний индекс Н указывает на систему отсчета, т. е. неподвижность звена –
в данном случае неподвижно водило.
Такой механизм является соосным механизмом с неподвижными осями
в пространстве (рис. 90) с передаточным отношением:
i H 14 =
ω1 − ω H
z z
=− 2 ⋅ 4 .
ω4 − ω H
z1 z3
(8.5)
В общем виде при числе зубчатых колес n получим:
ω1 − ωH
= i H 1n .
ωn − ω H
(8.6)
Метод обращения движения иначе называют методом Виллиса, а
последняя зависимость (8.6) получила название формулы Виллиса.
Механизмы
с
подвижными
осями
(планетарные
механизмы)
подразделяются на следующее:
− дифференциальные (при W > 1);
− простые планетарные (W = 1);
− замкнутые планетарные (получаемые из дифференциальных
механизмов наложением замыкающей связи между двумя центральными
валами).
Планетарные механизмы имеют следующие возможности:
− позволяют получить очень большие передаточные отношения при
малом числе сателлитов;
− позволяют выполнить раздачу движения и мощности от одного
двигателя нескольким потребителям при W > 1 (дифференциал заднего моста
автомобиля и т. п.);
− позволяют складывать движения (суммирующие механизмы);
− позволяют получать различные сложные траектории точек сателлитов.
Для уменьшения габаритов и веса (вес может быть в 2 – 6 раз меньше, чем
у механизма с неподвижными осями), разгрузки центральных валов от изгиба,
для уравновешивания центробежных сил сателлитов применяют несколько
сателлитов (несколько пар саттелитов), как правило, равномерно
расположенных по окружности (в силовых передачах число k таких сателлитов
достигает 20). Многосателлитные планетарные механизмы имеют разветвление
силовых потоков, что позволяет снизить вес и повышает надежность работы за
счет параллельного резервирования.
Планетарные механизмы имеют статическую неопределимость при k > 1
и более высокий уровень конструктивной сложности.
Наибольшее распространение получили простые планетарные механизмы
различных кинематических схем. Самые простые и самые распространенные из
них показаны на рис. 92.
а)
б)
в)
г)
Рис. 92. Простые планетарные механизмы: а) AJ -механизм; б) АJ-механизм; в)
AA-механизм; г) JJ-механизм
Примечание. В условные обозначения планетарных механизмов входят
обозначения видов зацеплений – внешнее (А) и внутреннее (J).
8.4. Определение передаточных отношений простых планетарных
механизмов
Передаточное отношение можно определить:
− графическим способом по чертежу;
− аналитическим способом, используя формулу Виллиса.
8.4.1. Планетарный однорядный AJ -механизм
AJ -механизм – планетарный механизм со смешанным зацеплением
(одним внешним и одним внутренним зацеплением и одинарным сателлитом).
Диапазон возможных передаточных отношений i 31H = 2,5 ÷ 8 ; КПД – 0,99.
Графический способ определения передаточного отношения (рис. 93)
Рис. 93. Графический способ определения передаточного отношения AJ механизма
Для данного механизма ведущее звено – звено 1 (солнечное колесо),
ведомым является водило Н, звено 2 – сателлит, звено 3 – неподвижное.
Передаточное отношение механизма определяется по формуле:
i31H =
ω1
.
ωH
Оси колес 1 и 3 и водила (точки О1 и О2) расположены на одном уровне.
Выберем на водиле Н точку F, которая расположена на том же расстоянии
от оси О2, что и точка А.
Построим план линейных скоростей. На вертикальной линии мгновенных
центров скоростей (МЦС) отметим точки центров колес B, О1, О2 и точек
контакта колес А и C.
Отложим отрезок AA′ , изображающий в некотором масштабе линейную
скорость колеса 1 в точке А. Так как колесо 1 вращается вокруг О1, то закон
распределения линейной скорости по первому звену изображается прямой
линией O1 A′ . Сателлит 2 в точке А имеет такую же линейную скорость, что и
колесо 1. В точке С – МЦС: сателлит 2 контактирует в этой точке с
неподвижным колесом 3.
Закон распределения линейной скорости по второму колесу изображается
прямой линией CA′ . В точке В сателлит имеет линейную скорость, которая
изображается отрезком BB′ , однако, точка В является также и осью водила Н,
вращающегося вокруг О2.
Следовательно, закон распределения линейной скорости по водилу
изобразиться прямой линией O2 B′ . Для точки F водила Н линейная скорость
изображается отрезком FF′ .
От вертикали до линии распределения скоростей по водилу Н измеряем
угол ψH , а от вертикали до линии распределения скоростей по колесу 1
измеряем угол ψ1 . Так как углы ψ1 и ψH отложены от вертикали в одном
направлении, то это показывает, что ведущее звено 1 и ведомое звено Н
вращаются в одном направлении:
ω1 =
VA
V
; ωH = F ;
O1 A
O2 F
AA′
VA
ω
O1 A
O1 A
tg ψ1
AA′
;
i 41H = 1 =
=
=
=
FF ′
ω H VF
tg ψH
FF ′
O2 F
O2 F
VA
ω
i 31H = 1 =
V
ωH
F
O1 A
O2 F
AA′
=
FF ′
O1 A
O2 F
=
tg ψ1
AA′
.
=
tg ψH
FF ′
Аналитический способ определения передаточного отношения
Используем метод обращения движения (метод Виллиса), превратив
искусственно планетарный механизм в непланетарный.
Тогда
z
z z
i H 13 = i H 12 ⋅ i H 23 = − 2 ⋅ 3 = − 3 .
z1 z2
z1
(8.7)
С другой стороны,
i H 13 = i H 12 ⋅ i H 23 =
ω1 − ωH ω2 − ωH ω1 − ωH ω1 − ωH
ω
⋅
=
=
= 1 + 1 = 1 − i31H
ω2 − ωH ω3 − ωH ω3 − ωH
−ωH
−ωH
Отсюда
i 31H = 1 − i H 13 .
(8.8)
Подставив выражение (8.7)
 z 
z
i 31H = 1 − − 3  = 1 + 3 .
 z1 
z1
в формулу (8.8), получим:
(8.9)
8.4.2. Планетарный двухрядный АJ-механизм
АJ-механизм – планетарный механизм со смешанным зацеплением (с
одним внешним и одним внутренним зацеплением и блоком сателлитов).
Диапазон возможных передаточных отношений i 41H = 10 ÷ 24 ; КПД – 0,99.
Графический способ определения передаточного отношения (рис. 94)
Рис. 94. Графический способ определения передаточного отношения АJмеханизма
Для данного механизма ведущее звено – звено 1 (солнечное колесо),
ведомым является водило Н, звено 2-3 – блок сателлитов
теллитов, звено 4 –
неподвижное.
Оси колес 1 и 4 и водила (точки О1 и О2) расположены на одном уровне.
Выберем на водиле Н точку F, которая расположена на том же расстоянии
от оси О2, что и точка А.
Построим план линейных скоростей. На вертикальной линии мгновенных
центров скоростей (МЦС) отметим точки центров колес B, О1, О2 и точек
контакта колес А и C.
Отложим отрезок AA′
AA , изображающий в некотором масштабе линейную
скорость колеса 1 в точке А. Далее строим план линейных скоростей
аналогично предыдущему:
V
V
ω1 = A ; ω H = F ;
O1 A
O2 F
VA
ω
i 41H = 1 =
V
ωH
F
O1 A
AA′
=
FF ′
O1 A
=
tg ψ1
AA′
.
=
tg ψH
FF ′
O2 F
O2 F
Аналитический способ определения передаточного отношения
Применим метод обращения движения (метод Виллиса),
планетарный механизм в непланетарный.
Тогда
z z
i H 14 = i H 12 ⋅ i H 34 = − 2 ⋅ 4 .
z1 z3
обратив
(8.10)
По аналогии с формулой (8.7) имеем:
i H 14 =
ω1 − ω H ω2−3 − ω H ω1 − ω H ω1 − ω H
ω
⋅
=
=
= 1 + 1 = 1 − i 41H .
ω2−3 − ω H ω4 − ω H
ω4 − ω H
−ω H
−ωH
Отсюда
i 41H = 1 − i H 14 .
(8.11)
в формулу (8.11), получим:
Подставив выражение (8.10)
 z z 
z z
4
i 1H = 1 − − 2 ⋅ 4  = 1 + 2 ⋅ 4 .
z1 z3
 z1 z3 
(8.12)
8.4.3. Планетарный двухрядный JJ-механизм
Планетарный JJ-механизм – механизм с двумя внутренними
зацеплениями.
Диапазон возможных передаточных
передаточн отношений i 41H = 20 ÷ 50 ; КПД – 0,99.
Графический способ определения передаточного отношения (рис. 95)
Рис. 95. Графический способ определения передаточного отношения JJмеханизма
Для данного механизма ведущее звено – водило Н, ведомым является
звено 1 (солнечное колесо), звено 2-3 – блок сателлитов, звено 4 –
неподвижное.
Оси колес 1 и 4 и водила (точки О1 и О2) расположены на одном уровне.
Выберем на ведомом звене точку F так, чтобы O1F = O2B.
Построим план линейных скоростей. На вертикальной линии мгновенных
центров скоростей (МЦС) отметим точки центров колес B, О1, О2 и точек
контакта колес А и C.
Отложим отрезок BB′ , изображающий в некотором масштабе линейную
скорость водила Н в точке B. Далее строим план линейных скоростей
аналогично предыдущему. Отсюда:
ωH =
VB
V
; ω1 = A ;
O2 B
O1 F
BB ′
VB
ω
O2 B
O2 B tg ψH
BB ′
.
i4H1 = H =
=
=
=
FF ′
tg ψ1
FF ′
ω1 VF
O1 F
O1 F
Углы ψ1 и ψH направлены в разные стороны от вертикали. Следовательно,
водило и колесо 1 вращаются в разные стороны.
Аналитический способ определения передаточного отношения
Применим метод обращения движения (метод Виллиса), обратив
планетарный механизм в непланетарный.
Получаем:
z z
i H 41 = i H 43 ⋅ i H 21 = 3 ⋅ 1 ;
z4 z2
(8.13)
i H 41 = i H 43 ⋅ i H 21 ;
ω − ωH ω2−3 − ω H ω4 − ω H
−ω H
1
1
i H 41 = 4
⋅
=
=
=
=
.
ω1 − ω H
1
ω2−3 − ω H ω1 − ω H
ω1 − ω H ω1 − ωH
−1
i4H1
−ω H
Отсюда
i4H1 =
1
1
i H 41
=
−1
1
z4 ⋅ z2
−1
z3 ⋅ z1
.
(8.14)
8.4.4. Планетарный AA-механизм
Планетарный AA-механизм – механизм с двумя внешними зацеплениями.
Диапазон возможных передаточных отношений до 10 000, но низкий КПД.
Графический способ определения передаточного отношения (рис. 96)
Рис. 96. Графический способ определения передаточного отношения AAмеханизма
Для данного механизма ведущее – звено 1, ведомым является водило Н,
звено 2-3 – блок сателлитов, звено 4 – неподвижное.
Оси колес 1 и 4 и водила (точки О1 и О2) расположены на одном уровне.
Выберем на водиле точку F так, чтобы О2F = О1A.
Построим план линейных скоростей. На вертикальной линии мгновенных
центров скоростей (МЦС) отметим точки центров колес B, О1, О2 и точек
контакта колес А и C.
Отложим отрезок AA′
AA , изображающий в некотором масштабе линейную
скорость звена 1 в точке А. Далее строим план линейных скоростей аналогично
предыдущему.
Тогда
ω1 =
VA
V
; ωH = F ;
O1 A
O2 F
VA
ω
i 41H = 1 =
V
ωH
F
O1 A
AA′
=
FF ′
O1 A
=
tg ψ1
AA′
.
=
tg ψH
FF ′
O2 F
O2 F
Углы ψ1 и ψH направлены в разные стороны от вертикали. Следовательно,
водило и колесо 1 вращаются в разные стороны.
Аналитический способ определения передаточного отношения
Применим метод обращения движения (метод Виллиса), обратив
планетарный механизм в непланетарный.
При этом
z
z
i H 14 = i H 12 ⋅ i H 34 = − 2 ⋅− 4 ;
z1
z3
(8.15)
i H 14 = i H 12 ⋅ i H 34 ;
ω − ω H ω2−3 − ω H ω1 − ω H ω1 − ω H
ω
i H 14 = 1
⋅
=
=
= 1 + 1 = 1 − i 41H .
ω2−3 − ω H ω4 − ω H
ω4 − ω H
−ω H
−ωH
Отсюда
i 41H = 1 − i H 14 .
Подставив выражение (8.15)
z z
i 41H = 1 − 2 ⋅ 4 .
z1 z3
(8.16)
в формулу (8.16), получим:
(8.17)
8.5. Подбор чисел зубьев простых планетарных механизмов
При подборе чисел зубьев должно быть выполнено много условий.
К числу обязательных условий относятся:
− уравнение передаточного отношения;
− уравнение соосности;
− условие соседства (для простых схем при k > 3);
− условие сборки (при k > 2).
В качестве дополнительных условий или условий оптимизации могут быть
приняты в зависимости от предъявляемых требований следующие условия:
− обеспечение
высокого
коэффициента
полезного
действия
проектируемого механизма;
− обеспечение прочности зубчатых зацеплений и равнопрочности всех
ступеней;
− достижение минимальной массы и габаритов;
− обеспечение максимальной точности работы механизма;
− обеспечение равного модуля по ступеням;
− обеспечение наибольшей работоспособности подшипников сателлитов
и другие условия.
Даже выполнение части перечисленных условий оптимизации
представляет сложную задачу многокритериального синтеза, решаемую с
применением современных ПК.
Рассмотрим основные условия для подбора чисел зубьев колес
планетарных механизмов.
Уравнение передаточного отношения для планетарных механизмов
составляется с обязательным использованием формулы Виллиса (8.6) при
ωH = 0 :
i n1H =
ω1
= 1 − i H 1n ,
ωH
(8.18)
где n = 3; 4.
Например, для AA-механизма: i 41H = 1 − i H 14 = 1 −
z2 z4
⋅ .
z1 z3
Передаточное отношение от водила к первому колесу:
z1 z3
1
i4H1 = 4 =
.
i 1H z1 z3 − z2 z4
Выбрав разность ( z1 z3 − z2 z4 ) достаточно малой, можно получить очень
большое передаточное отношение i 4 H 1 при двух зацеплениях.
Уравнение соосности записывается аналогично уравнениям (8.2), (8.3), (8.4)
для соосного механизма (см. рис. 90).
При постановке нескольких сателлитов, равномерно расположенных по
окружности, должно выполняться условие размещения их вокруг центрального
колеса, или условие соседства.
Например, для AJ-механизма (рис. 97) необходимо, чтобы BC ≥ ra 2 .
Рис. 97. К определению условия соседства
Здесь:
BC = OB ⋅ sin β =
ra 2 =
mI ( z1 + z2 )⋅ cos α
π
⋅ sin ;
2cos αω1
k
m
( z + 2ha′ + 2ξ2 − 2∆h) .
2 2
Для нулевых колес получим:
( z1 + z2 ) ⋅ sin
π
≥ ( z2 + 2ha′ ) .
k
(8.19)
Кроме этого, все сателлиты можно одновременно ввести в зацепление с
центральными колесами только при определенном соотношении чисел зубьев
колес.
Условие зацепляемости, или условие сборки, рассмотрим на примере AJмеханизма (рис. 98).
Примем для определенности решения, что сателлит z2 имеет четное число
зубьев. Пусть сателлит I собран с центральными колесами z1 и z3 в положении,
когда по линии центров располагаются оси симметрии зубьев центральных
колес. Если числа z1 и z3 не кратны числу сателлитов k, то по линии центров
ОВ второго сателлита расположатся не оси симметрии зубьев. Ось симметрии
⌢
⌢
ближайшего зуба 1 отстоит от линии центров на дугу a , а зуба 3 – на дугу b .
Очевидно, что центральные дуги между двумя сателлитами можно
⌢
⌢
z p
zp
представить как 1 = N1 p + a и 3 = N 3 p − b , где N1, N3 – целые числа
k
k
шагов р на рассматриваемых дугах.
Рис. 98. К определению условия сборки
Если удалось ввести в зацепление сателлит II, то его общая ось впадин
⌢ ⌢
отклонится от линии центров на угол γ (в этом случае a = b ). Из предыдущих
равенств имеем
z p
z1 p
− N1 p = 3 + N3 p .
k
k
Отсюда:
z1 + z3
= N1 + N3 = N ,
k
(8.20)
где N – любое целое число.
Таким образом, сборка AJ-механизма выполнима, если сумма зубьев
центральных колес кратна числу сателлитов.
Для каждого вида планетарных механизмов условие сборки имеет свой
вид.
В силу того, что условие соседства представляет собой неравенство, а
условие сборки даст новые неизвестные целые числа, перечисленных четырех
условий недостаточно для нахождения чисел зубьев. Поэтому задача по
определению чисел зубьев решается подбором.
8.6. Планы линейных и угловых скоростей планетарных механизмов
Планы линейных и угловых скоростей планетарных механизмов дают
наглядное представление о распределении скоростей по звеньям. Они
позволяют легко определить скорости в относительном и абсолютном
движении, необходимые для прочностного и динамического расчетов (учет
динамики зацепления, КПД и т. п.).
Построение плана линейных скоростей основано на теореме о
распределении скоростей по твердому телу и свойствах начальных окружностей
(качении без скольжения).
Рассмотрим построение на примере AJ-механизма (рис. 99).
Рис. 99. Построение планов скоростей и ускорений планетарного механизма
Выбирается прямая I–I, представляющая собой линию центров второй
проекции схемы механизма. При известной угловой скорости ω1 звена z1 можно
определить скорость на начальной окружности r1 как VP12 = r1 ω1 = P12 a kv.
Точка О на оси имеет нулевую скорость. Знание скоростей двух точек позволяет
построить прямую Оа, представляющую собой закон распределения скоростей
по z1. Для сателлита z2-z3 известны скорость в точке Р12 и скорость в полюсе
Р34 (равная нулю, так как z4 неподвижно). Распределение скоростей по
сателлиту выражается прямой Р34а.
На оси сателлита V01 = O1C kv и, следовательно, прямая ОС выражает
распределение скоростей по водилу.
Так как угловая скорость ω =
V
, т. е. на графике пропорциональна
r
тангенсу угла наклона прямой распределения скоростей, то, проведя из
произвольной точки S прямые, параллельные линиям распределения линейных
скоростей, получим на прямой II–II от точки О отрезки, дающие абсолютные
угловые скорости в масштабе:
kω =
kV
.
OS ⋅ kl
(8.21)
9. ВИНТОВЫЕ ЗУБЧАТЫЕ МЕХАНИЗМЫ
При помощи винтовых зубчатых механизмов легко осуществляется
передача вращения между скрещивающимися осями. Известно, что аксоидами
(начальными поверхностями) относительного движения в этом случае являются
однополосные гиперболоиды, имеющие линейный контакт по прямой Т–Т (рис.
100).
а)
б)
Рис. 100. Винтовой зубчатый механизм
Если на таких поверхностях нарезать зубья (z1 и z2) с одинаковым шагом
(модулем) в направлении общей нормали MN ⊥ TT , то получим
гиперболоидное зацепление с постоянным передаточным отношением.
Существенными недостатками такого зацепления являются большое
скольжение, низкий КПД, сложность изготовления.
Из-за сложности изготовления зубьев практически используется лишь
узкая горловая часть начальных гиперболоидов, которая, в свою очередь,
заменяется вписанными в горловины гиперболоидов цилиндрами. В результате
замены получаем касание начальных цилиндров в точке, а не по линии.
Образование таких винтовых зубьев можно представить себе следующим
образом. Если в плоскости Q, касательной к основному цилиндру rb (рис.
101, а), взять прямую АВ под некоторым углом βb и обкатывать (наматывать)
плоскость вокруг неподвижного цилиндра, то все точки прямой АВ будут
описывать эвольвенты в плоскостях, перпендикулярных оси цилиндра –
торцевых сечениях.
а)
б)
Рис. 101. Образование винтовых зубьев
В целом образуется линейчатая винтовая поверхность зуба, легко
получаемая в производстве методом обкатки, подобно производству
прямозубых цилиндрических колес. В любом торцевом сечении имеем
обычный эвольвентный зуб с обычными геометрическими зависимостями.
Начала всех эвольвент образуют на поверхности основного цилиндра винтовую
линию с углом наклона βb . При пересечении поверхности зуба цилиндром
некоторого радиуса r образуется также винтовая поверхность с углом наклона
β . Соотношение между ходом винтовой линии и углом наклона
устанавливается из принципа образования винтовой линии (рис. 101, б):
2πr
. В частности,
S ВЛ
2π rb
.
tg β =
S ВЛ
tg β =
(9.1)
Отсюда
tg βb rb r ⋅ cos α
= =
= cos α .
tg β
r
r
(9.2)
В сечении винтового зубчатого колеса делительным цилиндром r принято
различать три шага и соответственно им – три модуля (рис. 102): нормальный
Pn = π mn ; осевой Pa = π ma ; торцевой Pt = π mt ,
Pn = Pt ⋅ cos β = Pn ⋅ sin β ,
т. е.
mn = mt cos β = ma sin β .
(9.3)
Рис. 102.
102 К определению зависимости (9.3)
Условием сопряженности двух винтовых эвольвентных колес является
равенство их нормальных модулей mn, которые чаще всего являются модулями
зуборезных инструментов..
Углы наклона зубьев по начальным цилиндрам могут быть любыми
(следовательно, торцевые и осевые модули разными). На рис. 103,
103 104 показано
зацепление двух винтовых зубчатых колес с углами наклона зубьев β 1 и β 2.
Рис. 103. Зацепление двух винтовых зубчатых колес при
ри одинаковом
направлении наклона зубьев
Угол скрещивания осей δ = β2 ± β1 . Знак «плюс» берется при одинаковом
направлении наклона зубьев,
зубьев а «минус» – при разном.
Обычно принимают одинаковое направление винтовой линии (рис. 103)
и только при малых углах δ возможно применение разного направления
наклона зубьев (рис. 104).
Рис. 104. Зацепление двух винтовых зубчатых колес при разном направлении
наклона зубьев
В полюсе зацепления проекции скоростей на общую нормаль NN должны
быть равны, т. е.:
V1 ⋅ cos β1 = V2 ⋅ cos β2 или r1ω1 ⋅ cos β1 = r2 ω2 ⋅ cos β2 .
Отсюда
i12 =
ω1
r ⋅ cos β2 ma 2 z2 ⋅ cos β2 mn z2 z2
= 2
=
=
= .
ω2
r1 ⋅ cos β1
ma1 z1 ⋅ cos β1
mn z1 z1
(9.4)
Последнее уравнение показывает
показывает, что даже при равных радиусах (r1 и r2)
можно получить передаточное отношение i12 ≠ 1 за счет разных углов β 1 и β 2.
Для обеспечения коэффициента перекрытия ε > 1 принимают ширину
зубчатых колес равной:
b = 3π mn ⋅ sin β1 .
Скорость скольжения:
 cos β

sin δ
1
VСК = V2 ⋅ sin β2 ± V1 ⋅ sin β1 = V1 ⋅ 
sin β2 ± sin β1  = V1
. (9.5)

 cos β2
cos β2
С увеличением окружных скоростей и угла скрещивания осей скорость
скольжения растет, вызывая усиленный износ поверхностей зубьев и потери на
трение.
Без учета потерь на трение сила Рн, действующая по общей нормали
винтовых зубчатых колес, лежит в нормальной плоскости NN и может быть
представлена в виде трех составляющих
составляющих: окружной Р, радиальной Рr и осевой
Ра (рис. 105).
Рис. 105. К определению силы РH
При этом:
T
T1
1
P = 1 ; PH = P
=
;
r1
cos β1 cos αH r1 ⋅ cos β1 cos αH
Pr = PH ⋅ sin αH =
T1
ctg αH ;
r1 ⋅ cos β1
(9.6)
T
Pa = P ⋅ tg β1 = 1 ⋅ tg β1 .
r1
Винтовые, а точнее, гиперболоидные зубчатые колеса можно
рассматривать как общий случай зацепления при произвольном
расположении осей в пространстве. Другие зацепления являются его частными
случаями.
Если при одинаковом направлении зубьев (рис. 100, а) уменьшить угол δ
до нуля, то образуется прямозубое цилиндрическое зацепление ( β1 = β2 = 0 ).
Если углы наклона зубьев двух винтовых колес равны ( β1 = β2 ), а
направления винтовых линий разные, образуется винтовое зацепление при
параллельных осях δ = 0 (рис. 100, б), называемое обычно косозубым зубчатым
зацеплением. В таком зацеплении контакт линейный, а расчет проводится для
эквивалентных им прямозубых цилиндрических колес, у которых
zЭ =
z1
.
cos3 β
(9.7)
При большом угле наклона зубьев на одном из винтовых зубчатых колес
образуется червячное зацепление.
10. ЧЕРВЯЧНЫЕ МЕХАНИЗМЫ
Увеличивая угол наклона β (рис. 101, б), можно получить винтовую
шестерню с малым числом зубьев (вплоть до одного зуба).
Если S ВЛ = Pa (рис. 106, а), то образуется винтовое зубчатое колесо,
имеющее в торцевом сечении только один зуб и отличающееся от обычного
болта только формой профиля.
)
б)
Рис. 106. Червяк: а)
однозаходный;
б) двухзаходный
Если S ВЛ = Pa (рис. 106, а), то образуется винтовое зубчатое колесо,
имеющее в торцевом сечении только один зуб и отличающееся от обычного
болта только формой профиля. Если SBJl = 2Ра (рис. 106, б), то образуется
винтовое зубчатое колесо с число зубьев z1 = 2. Очевидно, в общем виде
SBЛ=z1Pa, т. е. число зубьев такого зубчатого колеса есть не что иное, как число
заходов винтовой линии на поверхности цилиндра колеса. Такое малозубое
винтовое колесо получило название червяка. Обычно число заходов червяка zЧ
= z1 = 1 – 4.
Из условия образования винтовой линии следует:
tgλ =
S ВЛ
z P
z πm
= Ч a= Ч a,
2π r
2π r
2π r
(10.1)
где λ – угол подъема винтовой линии червяка.
Отсюда
z m
mq
r = rЧ = Ч a = a ,
2tgλ
2
(10.2)
где
q=
zЧ
– число модулей в диаметре делительной окружности
tgλ
червяка.
Червяк входит в зацепление с винтовым колесом в большинстве случаев
при прямом угле скрещивания осей ( δ =
π
), образуя червячный механизм
2
(рис. 107).
а)
б)
Рис. 107. Червячный механизм
Угол наклона зубьев β К на колесе при δ =
линии на червяке λ .
Для червяка:
π
равен углу подъема винтовой
2
mnЧ = maЧ ⋅ sin βЧ = maЧ ⋅ cos λ .
Для червячного колеса:
mn К = mt К ⋅ sin β К = mt К ⋅ cos λ .
Торцевой модуль червячного колеса принимается стандартным.
Передаточное отношение червячного механизма находим из выражения (9.4):
mtК zК
r ⋅ cos βК rК ⋅ cos λ
r
z
ω
2
iЧК = Ч = К
=
= К =
= К . (10.3)
ωК
rЧ ⋅ cos βЧ
rЧ ⋅ sin λ rЧ ⋅ tgλ maЧ zЧ tgλ zЧ
2tgλ
Чтобы избежать точечного контакта и, следовательно, повысить
нагрузочную способность, червячное колесо часто выполняется с зубьями,
охватывающими червяк на некотором угле 2 γ = 60÷110° (рис. 107). Нарезаются
такие зубья при помощи червячной фрезы, копирующей по основным размерам
червяк. Поэтому величина q с целью уменьшения типоразмеров червячных
фрез стандартизована (ГОСТ 9672-74).
Достоинства червячных механизмов:
− возможность осуществления большого передаточного числа в одном
зацеплении (в приборных механизмах iЧK достигает 1000);
− компактность и малые габариты;
− плавность и бесшумность в работе;
− возможность самоторможения при λ > ϕ , где ϕ – угол трения (
tgϕ = f );
− малые величины мертвого хода.
Недостатки червячных механизмов:
− большие потери на трение и, следовательно, малый коэффициент
полезного действия, чтобы уменьшить потери на трение, приходится применять
дорогую высококачественную бронзу для зубьев червячного колеса;
− высокие требования к точности изготовления и сборки для обеспечения
контакта по линии (рис. 107);
− высокая стоимость инструмента для нарезания червячного колеса.
11. ВОЛНОВАЯ ПЕРЕДАЧА
Волновые зубчатые передачи (ВЗП) применяются в приводах лучших
зарубежных и отечественных
отечественны роботов и имеют следующие достоинства:
постоянное передаточное отношение
отношение, небольшие габариты и малую массу при
высокой нагрузочной способности.
способности
Принципиальное отличие этих передач от других зубчатых передач
заключается в том, что в их состав входят гибкие звенья. Благодаря деформации
звеньев появляется возможность передавать движение через герметичную стенку.
Это определяет области применения волновых передач, среди которых,
например,
электронная,
химическая
промышленность
промышленность,
космические
исследования и т. п.
Кинематическая схема ВЗП изображена на рис. 108.
Рис. 108. Волновая зубчатая передача
Генератор колебаний 3 оснащен двумя роликами (т.
т. е. за один оборот
генерирует две волны зацеплений).
зацеплений
Гибкое колесо 1 представляет собой тонкостенную цилиндрическую
оболочку, с одной стороны которой имеется зубчатый венец, а другая сторона
герметично закреплена на неподвижной стенке. Под действием генератора
волн гибкое колесо в торцевом сечении зубчатого венца становится
становитс некруглым,
и в местах расположения роликов зубчатый венец гибкого колеса входит в
зацепление с зубьями жесткого колеса 2. Контур деформированного колеса
получает две волны деформации
деформации.
Чаще всего применяют двухволновые генераторы, у которых числа зубьев
гибкого и жесткого колес связаны соотношением:
z2 – z1 = 2.
(11.1)
При вращении двухволнового генератора каждая волна деформации
перемещается по периметру гибкого колеса. В результате каждый зуб гибкого
колеса за один оборот генератора волн дважды входит в зацепление с жестким
колесом.
Передаточное отношение определяют следующим образом.
Если остановить гибкое колесо, то при повороте генератора волн на угол
ϕb = 2π жесткое колесо повернется в том же направлении, что и генератор
волн, на угол ϕ2 :
2π ( z2 − z1 )
,
z2
2π
где
– угловой шаг жесткого колеса;
z2
( z2 − z1 ) – число волн деформации.
ϕ2 =
Тогда передаточное отношение от генератора волн к жесткому колесу
i (1)b 2 =
ωb
2π
z2
=
=
.
ω2 2π ( z − z ) z2 − z1
z2 2 1
(11.2)
Если остановить жесткое колесо, то за один оборот генератора волн
ϕb = 2π вал гибкого колеса повернется в противоположном направлении на
угол ϕ1 :
−2π ( z2 − z1 )
,
z1
2π
где
– угловой шаг гибкого колеса;
z1
( z2 − z1 ) – число волн деформации.
ϕ1 =
(11.3)
Следовательно, передаточное отношение от генератора волн к гибкому колесу
i (2) b1 =
ωb
2π
z
=
=− 1 .
ω1 2π ( z − z )
z2 − z1
1
2
z1
(11.4)
12. КУЛАЧКОВЫЕ МЕХАНИЗМЫ
12.1. Кинематический анализ кулачковых механизмов
Кулачковым механизмом называют механизм, состоящий из трех звеньев:
стойки и кулачка с толкателем. Кулачок с толкателем образуют высшую
кинематическую пару.
Толкатель является ведомым звеном, закон движения которого
определяется профилем кулачка.
Кулачки и толкатели могут совершать вращательное и поступательное
движения. Поступательно движущиеся кулачки и толкатели называют
ползунами. Вращающиеся кулачки выполняют в виде дисковых,
цилиндрических и коноидных конструкций. Толкатели, соверщающие
колебательное движение, называют коромыслами. Независимо от вида
движения толкатели могут иметь острые, сферические или плоские
наконечники, контактирующие с профилем кулачка. В целях уменьшения
износа поверхностей часто на наконечниках толкателей устанавливают
ролик, заменяя трение скольжения трением качения.
Кулачковые механизмы предназначены для получения движений
звеньев практически по любому заранее заданному закону. Их широко
применяют в приборах, машинах, автоматических устройствах, роботах и
манипуляторах.
Кулачковые механизмы, все точки звеньев которых совершают движение
в одной плоскости или в параллельных плоскостях, называют плоскими.
Если точки звеньев перемещаются по пространственным траекториям, то
кулачковые механизмы являются пространственными.
Изготовление коноидов для пространственных механизмов сложно и
дорого, поэтому более широкое применение имеют плоские механизмы.
Комбинируя различные типы кулачков и толкателей, можно создать схемы
механизмов, преобразующих движение:
− поступательное – в поступательное (рис. 109, а, б);
− поступательное – в колебательное (рис. 109, в, г);
− вращательное – в возвратно-поступательное (рис. 109, д, е, ж, м);
− вращательное – в колебательное (рис. 109, и, к, л, н);
− сложное движение двух независимых перменных в движение ведомого
звена (поступательное или колебательное) (рис. 109, п, р).
Для прижатия толкателя к профилю кулачка используют силовое
замыкание (с помощью пружин) или геометрическое замыкание (установка
наконечника толкателя в пазах кулачка (рис. 109, л)).
Рис. 109. Кулачковые механизмы
Если направление перемещения толкателя-ползуна проходит через центр
вращения дискового кулачка, то механизм называют центральным.
Если направление перемещения толкателя расположено на некотором
расстоянии от центра вращения кулачка, механизм является смещенным (или
внеосным). Расстояние между линией движения толкателя и центром вращения
кулачка называют эксцентриситетом.
Достоинства кулачковых механизмов:
− возможность воспроизведения практически любого закона движения
выходного звена;
− малое количество деталей (кулачок и толкатель), что обеспечивает
простоту сборки и обслуживания.
Недостатки:
− сложность изготовления;
− быстрый износ профиля кулачка, вызывающий изменение закона
движения ведомого звена и снижение точности механизма.
При кинематическом исследовании считаются известными все размеры
кулачкового механизма (длина коромысла, координаты точек, радиус ролика,
координаты профиля и т. п.). Координаты профиля могут быть заданы в
аналитическом (для простых профилей) или в графическом виде (чертеж или
таблица точек). В результате кинематического исследования определится закон
движения ведомого звена. Задача может быть решена как аналитически, так и
графически. Аналитическое решение, как правило, используется в случаях,
когда уравнение профиля кулачка задано в аналитическом виде (специальные
кулачки).
Пример 1. В механизме с плоским толкателем (рис. 109, ж) кулачок
выполнен в виде эксцентрика, то есть кругового цилиндра, вращающегося
вокруг центра, смещенного на величину эксцентриситета e (рис. 110).
Рис. 110. Схема к примеру 1
Из уравнения замкнутости x = e + r + s получим закон перемещения
толкателя в виде: x = e ⋅ cos α + r .
Пример 2. Кулачок в механизме (рис. 109, д) выполнен по участкам
архимедовой спирали согласно уравнению r = r0 + r0α (рис. 111), где r0 –
наименьший радиус-вектор его тела.
Рис. 111. Схема к примеру 2
В этом случае при повороте кулачка на угол α = ϕ толкатель переместится
на величину S = r − r0 = r0α . Передаточное отношение такого механизма на
участке подъема i12 =
ωk d α 1
=
= = const , т. е. толкатель движется с
VT dS r0
постоянной скоростью.
При графическом решении задачи кинематического анализа после
вычерчивания кулачкового механизма применяется метод обращения движения
(инверсии): всему механизму сообщается дополнительное вращение с угловой
скоростью ωk .
В такой системе отсчета кулачок неподвижен, а ведомое звено механизма
совершает движение вокруг кулачка. Замеряя в нескольких положениях
перемещения ведомого звена, можно построить график S (t ) или β (t ) .
Используя методы графического дифференцирования, можно получить
графики V (t ) , a (t ) или ω (t ) , ε(t ) .
Пример 3. Дан кулачковый механизм (рис. 109, л) с коромыслом. Известны:
профиль кулачка, наименьший его радиус r0, радиус ролика rр, длина коромысла
l, координаты точки О1. Определить закон движения коромысла.
Вычерчиваем механизм в положении, когда (рис. 112) ролик касается
наименьшего радиуса r0 (OAk1 = r0 + rр).
Размечаем окружность радиуса ОО1 на несколько частей (обычно 12, 24 и
более). Строим траекторию движения центра ролика А вокруг кулачка как
кривую, соединяющую засечки радиуса rр из точек профиля кулачка (рис. 112).
Такая траектория иначе называется теоретическим профилем кулачка.
i
Засечками из точек O1 радиусами О1А получаем положения коромысла ( β1 ,
β2 , β3 ) через равные промежутки времени.
Рис. 112. Построение теоретического профиля кулачка
При этом между линией центров ОО1 и коромыслом О1А образуется
некоторый начальный угол β0 . После сообщения системе угловой скорости –
ωk коромысло начнет вращаться вокруг неподвижного кулачка.
Разности: ( β1 − β0 ), ( β2 − β0 ), ( β3 − β0 ), … – дают угловые перемещения
коромысла относительно его ближнего положения. По этим разностям строится
график β (t ) или β (α ) .
dβ
d β ωP
или
=
строится
dt
d α ωk
графическим дифференцированием графика β (t ) или β (α ) . Известно, что
График угловой скорости коромысла ωk =
производная с геометрической точки зрения является тангенсом угла наклона
касательной в рассматриваемой точке. Так как проводить касательные к кривой
весьма сложно, воспользуемся средними скоростями на участке между
делениями.
Например, на участке 1–2: ωср1−2 =
∆y ⋅ kβ
.
∆x ⋅ kt
Из выбранной точки Р (рис. 113, б) проведем луч Рт, параллельный
хорде 1'2', до пересечения с осью ординат. Тогда
tg δ =
0m
;
a
ωP1−2 = 0m ⋅
kβ
.
a ⋅ kt
Если принять kω =
kβ
, то отрезок 0m выражает в масштабе kω
a ⋅ kt
скорость ωср1−2 , которую принято откладывать на середине участка 1–2
диаграммы. Проведя хорды на всех участках, а затем лучи из точки Р, им
параллельные, получим в одном масштабе скорости средних точек участков и в
dβ
.
dt
dβ
Для диаграммы
имеем:
dα
целом диаграмму ωP =
kd β
=
dα
kβ
.
a ⋅ kα
Повторным
дифференцированием
получим
диаграмму
εP (t ) или
εP
d 2β
=
.
d α 2 ω 2k
k
При этом: kε = ω ;
a1 ⋅ kt
k d 2β =
dt 2
kd β
dα
a1 ⋅ kα
.
В общем виде ведомое звено (рис. 114) может иметь остановки при
наибольшем удалении от центра кулачка (дальнее стояние α ДС ) и при
наименьшем удалении (ближнее стояние α БС ). Между расстояниями ведомое
звено движется, то удаляясь ( αУ ), то приближаясь ( α П ) к центру кулачка.
Обычно αУ + α ДС + αП + αБС = 2π .
Рис. 113. Построение графиков перемещения, угловой скорости и углового
ускорения коромысла
Рис. 114. График движения ведомого звена
12.2. Законы движения ведомого звена
Законы, приводящие к жестким ударам ведомого звена
По характеру воздействия на работоспособность и долговечность
механизма различают три типа законов движения ведомого звена.
Одним из них является закон, дающий постоянную скорость ведомого
звена (рис. 115).
Рис. 115. Закон движения ведомого звена, приводящий к жесткому удару
В этом случае в точках начала движения, остановки или перемены
движения возникают бесконечные ускорения, следовательно, и силы инерции.
Последние и вызывают жесткий удар ведомого звена о кулачок. Из-за наличия
упругих деформаций и зазоров в кинематических парах ускорения и,
следовательно, силы инерции имеют большую, но конечную величину, что
приводит к быстрому износу поверхностей в этих местах. Это показано
пунктиром на рис. 115. Закон постоянной скорости применяется при малых
скоростях движения ведомого звена и часто используется в механизмах
приборов. Теоретически (без учета трения) такой закон дает постоянный
момент (М) на ведущем звене при постоянной силе сопротивления Р, так как
M ωk = PV . Для кулачкового механизма с центральным толкателем скорость
толкателя будет постоянной, если кулачок очерчен по архимедовой спирали
(рис. 112).
Законы, вызывающие явление мягкого удара ведомого звена
Наиболее распространен в этом случае закон с постоянным ускорением
(рис. 116, а) и косинусоидальный закон с остановками (рис. 116, б).
а)
б)
Рис. 116. Законы движения ведомого звена, приводящий к мягкому удару
В соответствии с этими законами ускорение в некоторых точках мгновенно
изменяется на конечную величину, вызывая резкое изменение силы инерции,
что ведет к появлению мягкого удара. Эти точки на профиле кулачка
соответствуют точкам сопряжения дуг с различными радиусами кривизны.
Безударные законы
При действии безударных законов кривая ускорений не имеет точек
разрыва ни первого, ни второго рода. Например, если принять α ДС = αБС = 0
(рис. 116, б), то получим безударный косинусоидальный закон движения
ведомого звена. Такие законы способствуют наибольшей работоспособности и
долговечности кулачкового механизма, и их наиболее целесообразно применять.
12.3. Определение действительного угла передачи
Сила, действующая по нормали к кулачку на ведомое звено-толкатель,
a
r
может быть представлена в виде активной (N ) и реактивной (N ) составляющих
(рис. 117, а).
а)
б)
Рис. 117. Схема к определению угла давления
При этом активная составляющая должна преодолевать силу
производственного сопротивления PПС, силу веса толкателя GT, силу пружины
PПР и силы трения R1f и R2f (f – коэффициент трения), возникающие от
r
реактивной составляющей N . Чем больше угол передачи γ , тем меньше силы
трения и выше КПД механизма. Малые углы γ могут вызывать явление
заклинивания, когда Na < R1f + R2f. Угол передачи γ , а следовательно, и угол
давления δ является основной динамической характеристикой кулачкового
механизма и при вращении кулачка меняется в некоторых пределах.
С целью определения угла давления построим план скоростей для
движения точки А на толкателе в данный момент V AT = V A + V AT A
k
k
(рис. 117, б). Из плана скоростей:
dS A
VAT VAT
1 dS
tg δ =
=
= dt = ⋅ A .
VAk r ωk r ⋅ d α r d α
dt
(12.1)
Таким образом, угол давления зависит от закона движения ведомого звена
и размеров кулачка.
mα
Например, если кулачок выполнен по логарифмической спирали r = r0 e ,
то в случае центрального толкателя S A = r0 ⋅ (e mα − 1) (рис. 117, а):
r0 memα
tg δ =
= m = const .
r0 emα
У архимедовой спирали r = r0 (1 + α ) . В этом случае tg δ =
r0
, т.е.
r0 (1 + α )
угол давления уменьшается по мере удаления от начала кривой.
Для плоского толкателя δ = 0.
В случае кулачка произвольного профиля угол давления δ и угол
передачи γ можно определить следующим образом.
Из точки А проведем перпендикуляр к оси толкателя и построим на нем
треугольник, подобный треугольнику плана скоростей (рис. 117).
Тогда из подобия:
AТ B VAТ
=
.
OAk VA
k
Отсюда
AТ B = OAk
VAТ
r ωk
= OAk
dS A
dt
dα
OAk kl
dt
=
1 dS A
⋅
.
kl d α
(12.2)
Другими словами, отложив по перпендикуляру к оси толкателя из графика
 dS A

dS A

 величину
,
α
в масштабе чертежа и соединив точку В с центром
 dα

dα


вращения, получим ∠ABO = γ . Повторяя эту операцию для всех положений,
можно построить график [ γ , α ] и определить γ min ≥ γ .
Обычно γ ≈ 60° для механизмов с толкателем и
механизмов с коромыслом.
γ ≈ 50° для
12.4. Динамический синтез кулачкового механизма
При проектировании определенной схемы кулачкового механизма обычно
известны закон движения ведомого звена, минимально допустимый угол
передачи [ γ ] и все размеры, не относящиеся к профилю кулачка. Прежде всего,
определяется радиус кулачка r0 и затем строится профиль кулачка.
Рассмотрим решение на примере механизма с толкателем, снабженным
роликом (рис. 118).
а)
б)
Рис. 118. Построение профиля кулачка
По заданной диаграмме [SA, t] производится в масштабе kl разметка
траектории точки А – центра ролика rр. На восстановленных перпендикулярах
1  dS A 
 (рис. 118, а): при подъеме – в сторону
откладываются отрезки Ai Bi = ⋅ 
k  dα 
l
вращения кулачка, при опускании – в противоположную сторону.
Из полученных точек Bi проводятся лучи под углом [ γ ].
В данном случае можно точки Вi соединить плавной кривой и провести к
ней касательные под углом [ γ ] к лучам Ai Bi . Все касательные образуют зону
(на чертеже заштрихованную), внутри которой любая точка дает угол γ >[ γ ].
Для центрального кулачкового механизма центр кулачка должен
находиться на прямой А4А0, а точка О даст наименьшие размеры кулачка, так
как OA0 ⋅ kl = r0 + rр .
Зная радиус r0 и применяя метод обращения движения (метод инверсии),
можно построить теоретический и действительный профили кулачка в порядке,
обратном кинематическому анализу (рис. 118, б).
13. СИНТЕЗ ПЛОСКИХ РЫЧАЖНЫХ МЕХАНИЗМОВ
13.1. Условие существования кривошипа в четырехзвенных механизмах
Рассмотренные ранее механизмы с высшими парами (зубчатые,
кулачковые, волновые) являются более универсальными, так как многообразие
элементов соприкасания в высших парах позволяет воспроизвести множество
законов движения.
В то же время механизмы с низшими парами обладают своими
преимуществами. Так, например: поскольку элементами соприкасания низших
пар являются поверхности (плоскость, цилиндр), то в них возникают меньшие
удельные давления, меньший износ. Кроме того, значительно проще их
изготовление. Поэтому область применения механизмов с низшими парами
достаточно широка (машины-автоматы, строгальные, долбежные станки, в
которых необходимо получить разницу в скоростях движения рабочего и
холостого хода).
Выходные звенья механизмов должны иметь определенные траектории
движения, скорости и ускорения. Все эти параметры определяются размерами
звеньев, их взаимным расположением и законом движения начального звена.
Таким образом, под синтезом механизмов с низшими парами понимается
совокупность задач на определение параметров кинематической схемы по
заданным условиям движения звеньев.
Выделяют две основные задачи синтеза:
− воспроизведение заданного закона движения;
− воспроизведение заданной траектории выходного звена, т. е. задача о
положениях.
При синтезе четырехзвенных механизмов ведущее звено совершает
вращение на полный оборот, т. е. является кривошипом.
Рассмотрим четырехзвенник в крайних положениях (рис. 119).
Рис. 119. Схема к определению условия существования кривошипа в
четырехзвенных механизмах
Примем следующее соотношение длин звеньев:
а < b < с < d.
Если механизм может занимать крайние положения А1 и А2, то кривошип
делает полный оборот.
Из △OB1C:
а + с < b + d.
(13.1)
Из △OB2C:
ОС < ОВ2 + В2С или ОВ2 > ОС – В2С;
c – a >d – b.
(13.2)
Первое неравенство всегда удовлетворяется, поскольку а < b и с < d.
Следовательно, условие существования кривошипа определяется вторым
неравенством. Преобразуем его и получим:
a + d < b + c.
Это условие называют также теоремой Грасгофа:
В четырехзвенном механизме имеется кривошип, если сумма длин
наименьшего и наибольшего звеньев меньше суммы длин двух других звеньев.
13.2. Синтез шарнирного четырехзвенника по коэффициенту изменения
средней скорости коромысла
При вращении кривошипа АВ (рис. 120) коромысло CD вращается на
неполный оборот, занимая крайние положения – точки С и С1. Угол поворота
коромысла из одного крайнего положения в другое один и тот же и равен ψ .
Рис. 120. Схема к определению коэффициента изменения средней скорости
коромысла
Углы поворота кривошипа при этом различны и соответствуют:
ϕР – рабочему ходу;
ϕ Х – холостому ходу.
Поэтому при постоянной скорости вращения кривошипа время перехода
коромысла из одного крайнего положения в другое будет различным:
t Р ϕР
=
.
t Х ϕХ
(13.3)
Таким образом, поворот коромысла на один и тот же угол происходит
в течение разных промежутков времени:
на рабочем ходу – за время t Р ;
на холостом – за время t Х .
В соответствии с формулой (13.3) отношение скоростей будет равно:
VР ϕР
=
= KV ,
VХ ϕ Х
(13.4)
где VХ – средняя скорость коромысла на холостом ходу;
VР – средняя скорость коромысла на рабочем ходу;
KV – коэффициент изменения средней скорости коромысла.
Обозначим угол между положениями шатуна θ и, преобразуя предыдущую
формулу, получим:
180° + θ
= KV ,
180° − θ
(13.5)
отсюда
θ=
KV − 1
⋅ 180° .
KV + 1
(13.6)
Отношение средних скоростей выходного звена за время его движения
в прямом и обратном направлениях называется коэффициентом изменения
средней скорости.
Рассмотрим решение задачи синтеза четырехзвенного механизма по
коэффициенту изменения скорости (рис. 121).
Дано: два крайних положения коромысла и коэффициент изменения
средней скорости коромысла kV.
Требуется спроектировать кривошипно-коромысловый механизм.
Рис. 121. Схема к определению геометрических параметров кривошипнокоромыслового механизма по коэффициенту изменения скорости
Решение задачи:
Находим угол θ по формуле (13.6).
Соединяем хордой точки В1 и В2.
Строим угол 90° при вершине В2 и угол 90° – θ – при точке В1. В
пересечении получим точку О.
Описываем окружность вокруг треугольника ОВ2В1.
Угол с вершиной в точке О – вписанный, опирающийся на дугу В2В1;
величина его равна θ (из треугольника ОВ2В1).
Все вписанные углы, опирающиеся на дугу В2В1, равны θ , следовательно,
точку О, центр вращения кривошипа, можно выбирать произвольно на этой
окружности.
В произвольной точке О1 строим угол θ . Получим два крайних положения
кривошипа.
Из чертежа следует:
О1В1 = r + l ;
О1В2 = l – r,
(13.7)
где l – длина шатуна;
r – длина кривошипа.
Отсюда:
r=
O1 B1 − O1 B2
.
2
(13.8)
Таким образом, существует множество решений этой задачи. Далее
делается проверка по условию проворачиваемости кривошипа.
13.3. Синтез кулисно-ползунного механизма по заданному перемещению
выходного звена
Одной из основных задач синтеза является определение основных
размеров структурной схемы кулисно-ползунного механизма (рис. 122).
Рис. 122. Схема к определению геометрических параметров кулисноползунного механизма по коэффициенту изменения скорости
Дано: Н – перемещение выходного звена;
kV – коэффициент изменения скорости.
Исходные данные содержат достаточную информацию для определения
размеров звеньев кулисного механизма, если предварительно определить угол
перекрытия θ по заданному коэффициенту kV. Угол перекрытия применительно
к рычажному механизму – это разность между углами поворота ведущего звена
(кривошипа) на рабочем и холостом ходу.
Для кулисно-ползунного механизма угол перекрытия равен углу качания
кулисы (θ = β ) :
k −1
⋅ 180° .
θ= V
kV + 1
(13.9)
Тогда длина кулисы:
l3 =
0,5H
;
sin 0,5θ
(13.10)
длина кривошипа:
(13.11)
l1 = a ⋅ sin 0,5θ ,
где а – межосевое расстояние:
(13.12)
a = λ ⋅ l1 .
Здесь λ – относительный размер стойки:
λ=
a
1
1
=
=
.
l1 sin 0,5β sin 0,5θ
(13.13)
Смещение оси определяем по формуле:
e = 0,5l3 (cos 0,5θ + 1) − a .
(13.14)
В результате расчетов получили основные размеры схемы: длину
кривошипа l1, длину кулисы l3, межосевое расстояние а, смещение оси ползуна
е.
14. ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ И ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
14.1. Уравнения связи, переменные проектирования и ограничения
В настоящем пособии показано, что задачи проектирования не имеют
строгой математической формулировки и основываются лишь на общих
требованиях к механизмам и их деталям с точки зрения работоспособности,
надежности, энергоемкости, технологичности, экономичности и др.
В упрощенном подходе к проектированию математическая модель
элемента или конструкции, т. е. совокупность уравнений и условий,
описывающих работу элемента (конструкции), строят на базе лишь одного,
самого главного требования, например, надежности. Но и в таком случае
подобные инженерные задачи (проектирование резьбовых соединений для
машин различного назначения и т. п.) имеют много вариантов решений из-за
разнообразия условий работы, технологических и других ограничений.
Общие требования к механизмам и их деталям в совокупности
противоречивы. Стремление наиболее полно удовлетворить одному из них
может быть реализовано за счет другого требования. Комплексный учет всех
требований представляет собой главную трудность и особенность
проектирования конструкций, так как влечет за собой существенное
расширение круга возможных решений и усложняет выбор оптимального
варианта.
Оптимизация конструктивного решения (проекта) является столь же
важной задачей инженера, как и проектирование детали или конструкции для
выполнения заданных функций.
Для общего представления дана постановка задачи и приведен пример
оптимального проектирования зубчатого механизма.
Условия работы детали в конструкции описываются некоторой
системой из m уравнений связи (уравнений равновесия, прочности и т. п.),
которые выражают условия взаимодействия между элементами конструкции
и закономерности рабочих процессов. При проектировании эти уравнения
представляют собой систему, содержащую n неизвестных (х1 , ..., ха , ..., хn) –
переменных проектирования, варьированием которых получают различные
варианты узла.
Например, в расчете двухступенчатого зубчатого редуктора приходится
решать задачу разбивки между ступенями общего передаточного числа
i = i1 · i2. При этом передаточные числа i1 и i2 в ступенях являются
переменными проектирования, причем в одно уравнение связи входят две
независимые переменные.
Число n переменных проектирования в задаче может быть различным. С
увеличением числа n сложность и многовариантность задачи возрастают,
поэтому на практике для упрощения проектирования часто уменьшают число
переменных. Если число уравнений связи равно числу неизвестных (m = n), то
задача имеет единственное решение. В практике проектирования
распространены задачи, в которых обычно m < n. Каждая из таких задач имеет
несколько решений и является объектом оптимизации.
Обычно изменение переменных проектирования допускается в некоторых
пределах, определяемых назначением детали, технологией изготовления,
требованиями стандартов и др. В соответствии с этими причинами,
ограничения, накладываемые на параметры проектируемой детали для
выполнения
заданных
ей
функций,
называют
функциональными,
параметрическими, дискретизирующими и др.
Функциональные ограничения на параметры оптимизации имеют вид:
ψs ( x ) ≡ ψs ( x1 , x2 , ..., xn ) ≤ 0, s = 1, p;

ψr ( x) ≡ ψr ( x1 , x2 , ..., xn ) = 0, r = 1, q;
(14.1)
и выражают собой уравнения связи значений переменных проектирования.
Используя ограничения типа ψr ( x) = 0 , можно уменьшить число варьируемых
параметров, выражая одни переменные проектирования через другие.
Параметрические ограничения имеют вид:
(14.2)
X i ∈ [ ai , bi ]
и устанавливают минимально и максимально допустимые значения i-го
параметра оптимизации (i = l, 2, ..., n), равные соответственно аi и bi.
Дискретизирующие ограничения имеют вид:
X i ∈ { X i1 , X i 2 , ..., X im } ,
(14.3)
где Xi – i-й параметр оптимизации конструкций;
Xik – допустимое дискретное значение i-го параметра (k – номер значения, k
= 1, 2, ..., m).
Ограничения этого вида накладывают назначения параметров оптимизации
в связи с физической сущностью (например, число зубьев шестерни),
требованиями стандартов и др.
Кроме того, некоторые или все переменные могут иметь ограничения по
знаку.
Назначение ограничений является важным этапом постановки и решения
задач оптимального проектирования. Избыточные ограничения сужают область
проектирования и усложняют расчет конструкции, а неучет каких-либо
ограничений может привести к преждевременной потере элементом и
конструкцией работоспособности
в целом и другим нежелательным
последствиям.
14.2. Цель оптимизации, критерий оптимальности и целевая функция
Понятие оптимального решения подразумевает выбор такого варианта
конструкции, который бы обладал возможно большими достоинствами при
сведенных к минимуму недостатках.
Например, при проектировании зубчатого механизма стремятся, чтобы он
имел, по возможности, высокую надежность, малую массу и высокий КПД и
др. Таким образом, речь идет о выборе (из множества возможных) лучшего
варианта, удовлетворяющего определенной цели (целям).
Выбор предполагает наличие критерия сравнения g, позволяющего указать
оптимальный
из выбранных вариантов. Критерий сравнения вариантов
называют критерием оптимальности (качества). Каждой цели оптимального
проектирования соответствует определенный критерий качества.
Например: если целью оптимизации элемента конструкции является
обеспечение минимальной массы (или максимального КПД), то критерием
оптимальности будет его масса (или КПД).
Для выбора оптимального варианта конструкции следует выразить
критерий оптимальности через переменные проектирования (параметры
оптимизации):
g = ϕ (x) ≡ (x1, x2, ..., хn).
(14.4)
Зависимости типа (14.4) называют целевыми функциями.
Так, если требуется определить значения передаточных чисел i1 и i2 для
двухступенчатого редуктора минимальной массы, то целевая функция должна
выражать собой зависимость массы редуктора от передаточных чисел ступеней,
т. е. gm = ϕm (i1, i2).
В простейшем случае, например, при одном варьируемом параметре
путем перебора нескольких просчитанных вручную вариантов конструкции
и оценкой по какому-либо критерию качества (массе, габариту и т. п.)
конструктор может выбрать наиболее приемлемый вариант. Однако уже при
двух варьируемых параметрах бывает трудно уловить влияние каждого из
них на главные характеристики, так как полный анализ всех возможных
вариантов проектных параметров часто произвести не удается. В этом случае
эффективным оказывается использование математических методов
оптимизации, позволяющих выбрать кратчайшие пути оптимизации и
сократить время расчета. Оптимизация на базе компьютерного обеспечения
позволяет получить более высокое качество решений за счет использования
более сложных моделей изделий.
Сравнение вариантов конструкции при проектировании может
осуществляться по нескольким критериям одновременно (например, массе,
КПД – двухкритериальная задача). В этом случае в задаче должно быть
соответствующее число целевых функций, которые могут зависеть от одной или
нескольких переменных проектирования.
14.3. Постановка задач оптимизации
Для
оптимизации
конструкции
следует
определить
цель
и
соответствующий ей критерий оптимальности, а затем перевести задачу на
математический язык и построить математическую модель.
Математическая модель – это формализованное описание критерия
оптимальности, условий функционирования узла и требований, которые
предъявляются к его отдельным параметрам.
Предположим, что известен ряд переменных проектирования х1, х2, ..., хn,
значения которых определяют проектируемую конструкцию, и их выбор
предоставлен конструктору. Определены ограничения (14.1), (14.2), (14.3),
связывающие эти переменные с условиями функционирования и производства
конструкции, т. е. принята математическая модель. Критерий оптимальности g
выражен через целевую функцию (14.4).
В таком случае задача оптимального проектирования состоит в
определении значений x1′, x2′ , ..., xn′ переменных проектирования, при которых
удовлетворяются ограничения (14.1), (14.2), (14.3) и функционал (14.4)
принимает экстремальное (минимальное или максимальное) значение:
ϕ (x)→ extremum.
Определенные в результате решения задачи значения x1′, x2′ , ..., xn′
параметров называют оптимальным решением.
Если на переменные не накладывается никаких ограничений, то решается
задача по определению безусловного экстремума целевой функции.
Методы решения задач оптимального проектирования рассмотрены в
специальной литературе.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Основой изложенного в учебном пособии курса теории механизмов и
машин является многолетний опыт преподавания дисциплины с учетом
современных требований.
Приведенные авторами в материалах примеры определения параметров
механизмов на основе графических и аналитических методов окажут студентам
помощь в усвоении курса.
Методика изложения учебного содержания рассчитана на вариативное
использование его в курсах подготовки как бакалавров и магистров, так и
инженеров.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Артоболевский, И.И. Теория механизмов и машин [Текст] / И.И.
Артоболевский. – М.: Наука, 1988. – 638 с.
2. Белоконев, И.М. Теория механизмов и машин. Конспект лекций [Текст]:
учеб. пособие для вузов / И.М. Белоконев, С.А. Балан, К.И. Белоконев. – 2е изд., перераб. и доп. – М.: Дрофа, 2004. – 172 с.
3. Заблонский, К.И. Теория механизмов и машин [Текст] / К.И.
Заблонский, И.М. Белоконев, Б.М. Щекин. – Киев: Вица школа, 1989. – 375 с.
4. Кожевников, С.Н. Теория механизмов и машин [Текст] / С.Н.
Кожевников. – М.: Наука, 1973. – 784 с.
5. Левитская, О.Н. Курс теории механизмов и машин [Текст] / О.Н.
Левитская, Н.И. Левитский. – Высш. шк., 1985. – 279 с.
6. Марченко, С.И. Теория механизмов и машин [Текст] / С.И. Марченко,
Е.П. Марченко и др. – Ростов н/Д.: Феникс, 2003. – 256 с.
7. Фролов, К.В. Теория механизмов и механика машин [Текст]: учебник
для втузов / под ред. Фролова К.В. – 4-е изд., перераб. – М.: Высш. шк.,
2003. – 496 с.