1
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«Тульский государственный университет»
Институт высокоточных систем им. В.П.Грязева
Кафедра радиоэлектроники
МИНАКОВ Евгений Иванович
профессор, доктор технических наук
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
по дисциплине
РАДИОАВТОМАТИКА
Направление подготовки: 210601 Радиоэлектронные системы и комплексы
Квалификация выпускника: специалист
Форма обучения: очная
Тула 2012 г.
2
Рассмотрено на заседании кафедры
протокол №_8_ от "_18_"_января___ 2012 г.
Зав. кафедрой________________Н.А.Зайцев
3
Содержание
Стр.
1.
ВВЕДЕНИЕ
4
2.
ЭЛЕМЕНТЫ И СИСТЕМЫ РАДИОАВТОМАТИКИ
5
3.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ НЕПРЕРЫВНЫХ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ
СИСТЕМ АВТОМАТИКИ
53
4.
ОСОБЕННОСТИ АНАЛИЗА ДИСКРЕТНЫХ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ
СИСТЕМ АВТОМАТИКИ
108
5.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
141
Библиографический список
142
4
ВВЕДЕНИЕ
Современный этап развития радиоэлектронных и телекоммуникационных систем характеризуется их глубоким насыщением различными средствами радиоэлектронной автоматики, более того, совершенно немыслимо их нормальное функционирование без автоматики.
Эта особенность обуславливается многообразием и сложностью функций, возлагаемых на
электронную аппаратуру, необходимостью учета подчас труднообозримого множества факторов, носящих стохастический, а иногда и нестационарный характер, наконец эта особенность обуславливается быстротечностью процессов, присущей электронным системам.
Примером высокоавтоматизированного комплекса может служить радар, предназначенный для автоматического определения координат подвижных объектов: такая система
осуществляет автоматический поиск, захват и сопровождение нескольких целей одновременно. Это сложная многоконтурная система радиоавтоматики включает в себя множество других регуляторов, выполняющих частные задачи и обеспечивающих высокое качество работы
всей системы в целом. Такие частные регулировки необходимы, например, для стабилизации
напряжения источников питания, поддержания постоянства температуры в отдельных отсеках, регулировки усиления, подстройки частоты, подстройки фазы и т.д.
Теоретическим фундаментом, на котором основывается исследование систем радиоавтоматики, является теория автоматического регулирования. С нею в той или иной степени
должен быть знаком любой радиоинженер.
Предметами изучения курса являются специфические элементы и устройства радиоавтоматики, а также основы теории регулирования.
5
ГЛАВА I.
ЭЛЕМЕНТЫ И СИСТЕМЫ РАДИОАВТОМАТИКИ
В современных системах радиоавтоматики наряду с многочисленными устройствами
радиоэлектронного происхождения широко используются также электромеханические, гидравлические, пневматические и другие устройства. Но прежде чем приступить к рассмотрению особенностей этих устройств и систем познакомимся с общими положениями и характерной терминологией радиоавтоматики.
1.1.ОСНОВНЫЕПОНЯТИЯИОПРЕДЕЛЕНИЯ
Всякая система радиоавтоматики предназначена для управления изменениями некоторой физической величины, которую называют регулируемой переменной и обозначают x(t), в
соответствии с изменениями другой физической величины, которую называют управляющей
переменной и обозначают g(t). Регулируемая и управляющая переменные должны находиться в определенной функциональной связи и эта связь не должна в значительной мере искажаться из-за действия мешающих факторов, которые называют возмущающими и обозначают f(t). Эти возмущения имеют самое различное происхождение (помехи в радиоканале, тепловые шумы аппаратуры, перемещение центра тяжести, изменение потенциалов источника
питания и т.д.) и могут прикладываться к самым различным точкам схемы.
Упомянутая функциональная связь между управляющей и регулируемой переменными является иногда простой пропорциональной зависимостью, при которой регулируемая
переменная должна воспроизводить обычно на более высоком уровне мощности изменения
управляющего воздействия. Однако широко распространены системы, в которых x(t) пропорционально g′(t), ∫g(t)dt или некоторой другой более сложной функции от g(t).
Для осуществления требуемой функциональной связи между переменными применяются два основных принципа: принцип разомкнутого цикла и принцип замкнутого цикла.
Принцип разомкнутого цикла состоит в том, что требуемое изменение регулируемой
переменной осуществляется непосредственно или через усилитель управляющим сигналом,
при этом результаты управления не контролируются. Желаемая функциональная связь в таких системах обеспечивается за счет использования высокостабильных прецизионных элементов, не реагирующих в значительной мере на возмущающие воздействия.
Принцип замкнутого цикла или принцип обратной связи реализуется путем построения регулятора в виде замкнутого контура. Управляющее воздействие прикладывается к
сравнивающему устройству, в котором происходит сравнение требуемого и фактического
значений регулируемой переменной. В результате сравнения вырабатывается разностный
сигнал, который после усиления и ряда других преобразований воздействует на объект
управления так, чтобы свести к минимуму или к нулю различие между управляющей и регулируемой переменными. Так в регуляторе осуществляется непрерывный контроль за результатами управления.
В случае если связь между g(t) и x(t) нарушается в результате возмущающего воздействия, то это также приводит к возрастанию сигнала ошибки и по цепи обратной связи эта
ошибка будет компенсирована. Независимо от физической природы и точек приложения возмущающих воздействий все они будут в определенной мере компенсироваться контуром
обратной связи. В такой системе требования к стабильности и точности характеристик элементов значительно снижены, т.к. эти неблагоприятные факторы по существу также являются возмущающими воздействиями и поэтому их вредное влияние также будет компенсировано действием отрицательной обратной связи.
В качестве примеров разомкнутой и замкнутой систем рассмотрим две схемы амплитудного модулятора.
6
В разомкнутой схеме амплитудной модуляции (рис.1.1) управляющей переменной
g(t)
является модулирующий сигнал, а регулируемой переменной — огибающая высокочастотного колебания x(t)=∆Um(t)=mg(t)Um.
Для того
чтобы преобразование
g(t)→x(t) протекало с заданной точностью
необходимо обеспечить линейность характеристики амплитудного модуляторы (см. рис.1.2),
её стабильность во времени, исключить паразитную модуляцию высокочастотного колебания и т.д. Удовлетворение всех этих условий
приводит к удорожанию аппаратуры.
Рассмотрим замкнутую схему амплитудной модуляции
(рис.1.3). Она выглядит сложнее предыдущей, но может оказаться дешевле её, т.к. к элементам контура не предъявляется высоких требований, а точность преобразования g(t)→x(t) достигается
путем выбора достаточно высокого коэффициента передачи по
контуру. Рассмотрим работу схемы.
В антенну
Управляющая переменная, соответствующая передаваемому сообщению, усиливается
усилителем с коэффициентом передачи K1 и поступает на сравнивающее устройство. Здесь
происходит сравнение величины K1g(t) и сигнала, снимаемого с детектора и цепи компенсации несущей. Результат сравнения — разность указанных величин ∆Um(t)-K1g(t). Если разность равна нулю, то это означает точное соответствие между регулируемой и управляющей
переменными и контур остается в покое. Если она не равна нулю, то соответствующий ей
сигнал усиливается усилителем контура и воздействует на модулятор. В результате это приводит к такому изменению огибающей, которое обеспечивает уменьшение разности между
управляющей и регулируемой переменными.
Любые возмущения, приводящие к нежелательным изменениям регулируемой переменной обнаруживаются с помощью сравнивающего устройства, а результат сравнения воздействует на контур в направлении компенсации возмущений.
В дальнейшем мы будем интересоваться только замкнутыми системами.
1.2.КЛАССИФИКАЦИЯСИСТЕМРАДИОАВТОМАТИКИ
При изучении систем радиоавтоматики удобно в методических целях классифицировать их по различным признакам. Мы проведем здесь несколько типов классификаций, используя их для ознакомления с некоторыми системами радиоавтоматики.
6
7
.
1.2.1. Классификация по характеру управляющего воздействия
В зависимости от характера управляющего воздействия g(t) систем радиоавтоматики
делятся на три класса: системы автоматической стабилизации, системы программного регулирования, следящие системы.
Системы автоматической стабилизации характеризуются тем, что управляющая переменная g(t) есть постоянная величина g(t)=g0=const. Роль такой системы сводится к тому,
чтобы стабилизировать регулируемую переменную x(t) относительно некоторого постоянного значения x0 в условиях возмущающих воздействий. В качестве примера рассмотрим систему автоматической подстройки частоты (АПЧ) рис.1.4.
Эта система обеспечивает стабилизацию промежуточной частоты fпр=fc-fг относительно некоторого значения fnpo, которое устанавливается путем настройки контуров частотного
дискриминатора. Благодаря действию контура стабилизации частоты по завершении переходного процесса достигается неравенство |fпро-fпр|<<|fco-fc|, где fco, fпрo – невозмущенные значения частот. Это позволяет:
1) не предъявлять высокие требования к стабильности частоты передатчика и удовлетвориться большим значением fc-fc0.
2) обеспечить желаемую помехоустойчивость канала
связи путем уменьшения полосы пропускания УПЧ в соответствии с малым значением разности fпр-fпр0.
Рассмотрим работу схемы. Первый случай: возмущение
отсутствует fc=fc0. При этом fг=fго, fпр=fc-fг=fco-fго=fпро, в соответствии с рис.1.4, 1.5 сигнал на исполнительный элемент не поступает, гетеродин не перестраивается, система находится в
покое. Такая ситуация характеризуется отсутствием сигнала
ошибки E(t)=0
Второй случай: в результате возмущений частота сигнала получила приращение fc=fco+∆fc. Предположим, что изменение частоты fc произошло скачкообразно. В первый момент после скачка такое же приращение получит промежуточная частота fпр=fпро+∆fc.
В соответствии с этим появляется сигнал ошибки E(t)≠0, который, будучи усиленным,
воздействует на исполнительный элемент, гетеродин начнет перестраиваться, промежуточная частота fпр=fco+∆fc-fго-∆fг=fпро+∆fc-∆fг(t) начнет приближаться к номинальному значению
за счет уменьшения разности ∆fc-∆fг(t). В этой разности величина ∆fc – результат возмущения, величина ∆fг(t) – результат действия контура автоподстройки частоты. Таким образом
действие контура регулирования сводится к компенсации возмущения.
Если исполнительным элементом в рассматриваемой системе не содержится интегрирующего звена, то после окончания переходного процесса остается некоторая ошибка ∆fc∆fг≠0, обусловленная свойством контура регулирования – работать по ошибке. Величина ∆fг
пропорциональна некоторому значению E≠0. Если предположить равенство ∆fc=∆fг, то E=0 и
∆fг=0. Но по условию ∆fc≠0. Таким образом получено противоречие, которое и доказывает
существование установившейся ошибки. Однако её можно сделать сколь угодно малой путем
выбора большого коэффициента передачи по контуру.
8
В системах программного регулирования управляющая переменная g(t) есть заданная
функция времени. Она может быть зафиксирована в виде записи на каком-либо виде носителя информации. Примерами систем программного регулирования могут служить всевозможные системы программного управления станком, цехом, межконтинентальной баллистической ракетой и т.п. В радиоавтоматике системы программного регулирования используются
слабо.
В следящих системах управляющая переменная g(t) определяется процессами, протекающими вне рассматриваемого контура регулирования и заранее не может быть определена. Во многих случаях управляющую переменную на входе следящей системы можно
рассматривать как реализацию случайного процесса. Примером следящей системы может
служить система сопровождения цели по угловой координате (рис.1.6). Пусть эта система
обеспечивает сопровождение по азимуту.
В рассматриваемой системе диаграмма направленности в виде веретена вращается
специальным двигателем вокруг оси антенны. Если цель находится на этой оси, то отраженные от цели импульсы не промодулированы по амплитуде, на выходе приемника получается
постоянное напряжение, которое не пропускается фазовым детектором. Контур остается в
покое. Если направление на цель С не совпадает с направлением оси антенны (как показано
на рисунке 1.6), отраженные от цели импульсы благодаря вращению диаграммы направленности промодулированы по амплитуде. В характере модуляции содержится информация о
величине и стороне отклонения цели от оси антенны, фазовый детектор пропускает сигнал
на выход в виде напряжения постоянного тока.
Знак напряжения определяется знаком разности αc-αa, что достигается путем сравнения в фазовом детекторе фазы амплитудно-модулированного колебания приемника с фазой
опорного напряжения. Опорное напряжение подается от генератора опорного напряжения,
который работает от двигателя вращения диаграммы направленности. Поэтому при одном
знаке разности αc-αa фазы указанных напряжений совпадают, при другом — отличается на
180°.
Величина выходного напряжения фазового детектора пропорциональна абсолютной
разности | αc-αa |.
Далее сигнал усиливается и поступает на двигатель вращения антенны. Двигатель разворачивает антенну таким образом, чтобы ось антенны совпала с направлением на цель.
В такой системе управляющая переменная есть азимут цели и он определяется траекторией полета самолета. Регулируемая переменная – азимут антенны αa.
1.2.2. Системы прямого и непрямого регулирования
В зависимости от наличия или отсутствия усилителя в контуре регулирования различают системы непрямого и прямого регулирования. В качестве примеров той и другой систем рассмотрим сельсинные системы. Эти системы используются для передачи угловых
величин и основаны на использовании сельсинной пары: сельсин-датчика и сельсин-приемника. Оба сельсина и датчик и приемник обычно одинаковы по конструкции и параметрам и
представляют собой маломощные синхронные электрические машины переменного тока.
8
9
Сельсинная пара обычно используется в одном из двух режимов: индикаторном или трансформаторном. Два разных режима работы сельсинов позволяют реализовать две разные следящие системы. Одна из них оказывается системой прямого регулирования, а другая — системой непрямого регулирования. Рассмотрим сельсинную систему в индикаторном режиме
в качестве примера системы прямого регулирования.
1.2.2.1. Сельсинная система в индикаторном режиме
Используется в тех случаях, когда объект регулирования (стрелка, шкала прибора)
обладает малым моментом сопротивления и для его поворота достаточно самого сигнала
ошибки. Рассмотрим схему такой следящей системы (рис.1.7.). В ней использованы сельсины с однофазным статором и трехфазным ротором. Ротор сельсин-датчика механически связан с задающим элементом, а ротор сельсин-приемника – с объектом регулирования. Роль
управляющей переменной α играет угловое положение ротора сельсин-датчика, роль регулируемой переменной β играет угловое положение ротора сельсин-приемника. Для удобства
пронумеруем фазы роторных обмоток. и соединим между собой одноименные фазы. Величины α и β отсчитываются между осями статорных и первых роторных обмоток. Статорные
обмотки подключены к сети переменного напряжения.
Рассмотрим процессы, протекающие в системе при равенстве угловых величин α=β.
Под действием напряжения источника питания в статорных обмотках сельсинов протекает
ток и наводится магнитный поток Фст=Фст.mcosωt. Под действием этого потока в каждой фазной обмотке роторов наводятся ЭДС E1,E2, E3 и E′ , E′ , E′ . В силу равенства α=β выполняют1
2
3
ся соотношения E1=E′1, E2=E′2, E3=E′3. Разности потенциалов между фазными обмотками отсутствуют, уравнительные токи в роторных обмотках не текут, в роторах не создаются магнитные потоки Фр=0, следящая система остается в покое.
Другой случай α≠β. Это неравенство влечет за собой неравенства E1≠E′ 1, E 2≠E′2, E 3≠E′3.
Уравнительные токи, протекая по роторным обмоткам, создают переменные магнитные потоки роторов (Фр), те, в свою очередь, взаимодействуя со статорными потоками, образуют
вращающие моменты, приложенные как к ротору сельсин-приемника, так и к ротору сельсин-датчика. Вращающий момент ротора сельсин-датчика не рассматриваем, так как его угловое положение определяется задающим элементом. Найдем вращающий момент ротора
сельсин-приемника. С этой целью определим составляющие потока ротора сельсин-приемника, порожденные потоками статоров сельсин-датчика и сельсин-приемника. Для этого, поочередно отключая от сети переменного тока статорные обмотки сельсин-датчика и сельсинприемника, проследим прохождение сигналов.
I. От сети отключен статор сельсин-приемника E′ 1=E′2=E′3=0, E1≠0, E2≠0, E3 ≠0. Под действием ЭДС роторной обмотки сельсин-датчика в обмотках роторов текут токи, создавая потоки Фр. В роторе сельсин-датчика поток Фрд направлен в противоположную сторону отно-
10
сительно потока статора Фст и составляет угол 180-α относительно оси первой роторной обмотки сельсин-датчика. Так как токи в роторных обмотках сельсин-приемника текут в противоположную сторону, то поток Фрд повернут еще на 1800 и составляет с осью статорной обмотки угол α-β (рис.1.8.).
2. От сети отличен статор сельсин-датчика: E1=E2=E3=0;
E′1≠0, E′2≠0, E′3≠0. Под действием ЭДС E′1, E′2, E′3 текут роторные
токи и образуется поток ротора сельсин-приемника Фрп. Он
направлен в противоположную сторону относительно потока
статора Фст (рис.1.8.). Складывая два вектора Фр, мы найдем результирующий поток ФΣ=Фрд+Фрп.
Вращающий момент образуется при взаимодействии
двух магнитных потоков, ориентированных под углом 90°.
Поэтому необходимо ввести в рассмотрение поперечную, относительно оси статорной обмотки, составляющую вектора ФΣ
(рис.1.9.). Продольная составляющая направлена- навстречу потоку статора и в некоторой степени размагничивает машину и
этим её роль ограничивается,
Запишем выражение для вращающего момента. Он пропорционален произведению взаимодействующих магнитных
потоков (рис.1.8, 1.9.):
M=AФст.mcosωtФр.mcos(ωt+ψ)sin(α-β),
где Фст.m, Фp.m – амплитудные значения магнитных потоков статорной и роторной обмоток, вместо поперечной составлявшей
потока ротора использовано его выражение Фp.msin(α-β), ψ –
угол, учитывающий набег фазы из-за различия в токовых цепях. Представим произведение косинусов в виде суммы
M=1/2AФст.mФр.mcosψsin(α-β)+
/2AФст.mФр.mcos(2ωt+ψ)sin(α-β).
1
Второе слагаемое есть переменная составляющая момента. Она
изменяется с удвоенной частотой источника питания и подавляется в силу фильтрующего
свойства ротора, степень фильтрации пропорциональна массе ротора. Остается только первое слагаемое – постоянная составляющая, она и определит величину вращающего момента
как функцию разности (α-β)
M=Mмаксsin(α-β), где Mмакс=0.5AФст.mФр.mcosψ.
Из этих выражений следует, что вращающий момент, приложенный к ротору сельсинприемника есть синусоидальная функция разности между управляющей α и регулируемой β
переменными. Максимальное значение вращающего момента определяется параметрами
сельсинной системы Фст.m, Фр.m, cosψ. Желательно иметь большие значения Фст.m, Фр.m и
малое значение ψ.
Рассмотрим
график
функции
M=M(α-β) (рис.1.10). Пусть изображающая
точка удовлетворяет условию 0<(α-β)<π, тогда значение вращающего момента M(α-β)>0.
Будем считать, что положительное значение вращающего момента соответствует направлению против часовой стрелки. Рассмотрим другую изображающую точку π<(α-β)<2π, для которой M(α-β)<0. Отрицательное значение момента соответствует противоположному направлению – по часовой стрелке. В силу периодичности функции синуса направление вращающего момента меняется через каждые полпериода величины рассогласования. Изменение знака
вращающего момента происходит в точках равновесия, удовлетворяющих условию
10
11
M(α-β)=0. Как видно из рисунка, две соседние точки равновесия различны: одна – точка
устойчивого равновесия ○ – стрелки сходятся, другая — неустойчивого равновесия ● –
стрелки расходятся. Стрелки символизируют направление перемещения изображающей точки, вызванное действием вращающего момента. Отметим, что производные dM/d(α-β) в точках устойчивого и неустойчивого равновесия имеют противоположные знаки.
Рассмотренная сельсинная пара обладает всеми атрибутами замкнутой системы автоматического регулирования: сравнивающее устройство – сама сельсинная пара, сигнал ошибки – поперечная составляющая магнитного потока ротора сельсин-приемника, она же – регулирующее воздействие, исполнительный элемент – сельсин-приемник.
1.2.2.2. Сельсинная система в трансформаторном режиме
Здесь она представлена как элемент системы непрямого регулирования, то есть системы, в контуре которой имеется усилитель мощности.
Сельсинная система в трансформаторном режиме используется в тех случаях, когда
объект регулирования характеризуется большим значением момента сопротивления. Обычно
в контуре такой системы помимо сельсинной пары имеется усилитель, двигатель постоянного или переменного тока, редуктор. Рассмотрим сельсинную пару, включенную по трансформаторной схеме.
Как видно из схемы (рис.1.11), к источнику переменного напряжения подключена
только статорная обмотка сельсин-датчика, а со статорной обмотки сельсин-приемника снимается выходное напряжение. 0си статорных обмоток располагаются под углом 900.
Ось ротора сельсин-датчика связана с задающим элементом, а положение ротора сельсин-приемника определяется угловым положением объекта.
Найдем выходное напряжение сельсин-приемника Uвых. Оно определяется магнитным
потоком ротора сельсин-приемника, порожденным ЭДС E1, E2, E3 ротора сельсин-датчика и
токами ротора сельсин-приемника. Вектор этого потока Фр составляет с нормалью к оси статорной обмотки сельсин-приемника угол α-β. В статорной обмотке сельсин-приемника будет
наводиться напряжение, пропорциональное производной от продольной, относительно оси
статорной обмотки сельсин-приемника, составляющей вектора Фр
Uвых=
d
AФр.m cosωt sin(α-β)=-Aω Фр.m sinωt sin(α-β)=Um sinωt sin(α-β),
dt
где Um=-AωФp.m .
Из выражения видно, что выходное напряжение сельсин-трансформатора является
функцией как времени t, так и углового рассогласования α-β (рис.1.12).
11
12
Необходимо отметить, что функция sin
(α-β) через каждые полпериода, меняет свой
знак на противоположный, это означает, что
фаза функции sinωt при этом скачком изменяется на 1800. Следовательно именно в фазе
выходного напряжения содержится информация о знаке рассогласования α-β. Информация
о величине разности α-β содержится в амплитуде выходного колебания |Umsin(α-β)|. На
рис.1.13. приведена одна из возможных схем следящей системы с сельсинами в трансформаторном режиме. Объект регулирования таков, что использование сельсинов в индикаторном
режиме невозможно, собственной мощности сельсинной системы недостаточно для приведения в движение объекта регулирования. Поэтому использована трансформаторная схема с
усилителем мощности.
Сельсинная система в этой схеме выполняет лишь роль сравнивающего устройства.
Действительно, положение ротора сельсин-датчика α определяется задающим элементом, величина β определяется положением объекта. В случае, если α-β≠0, появляется напряжение
сигнала ошибки, фаза которого соответствует знаку разности α-β, а величина – значению
|α-β|. Переменное напряжение сигнала ошибки преобразуется фазочувствительным выпрямителем (ФВ) в постоянное и усиливается усилителем мощности (УМ). Далее это напряжение
подается на исполнительный элемент (ИЭ), в качестве которого используется двигатель постоянного тока, который через редуктор (Р) воздействует на объект регулирования (0).
Обратная связь от объекта на ротор сельсин-приемника механическая. Сельсин-приемник
располагается вблизи объекта регулирования, сельсин-датчик — вблизи задающего элемента.
1.2.3. Статические и астатические системы
Разделение систем автоматического регулирования на статические и астатические
осуществляется по наличию или отсутствию интегратора в прямой ветви контура регулирования. Само название "астатический" определяется именно интегрирующим звеном. Частица
"а" в слове "астатический" имеет смысл отсутствия. Основная черта интегрирующего звена
— отсутствие установившегося состояния при отличном от нуля входном сигнале, динамичность выходного сигнала определила использование этого термина.
Другим признаком, по которому астатические системы отличают от статических, служит установившаяся ошибка при скачкообразных воздействиях:
0
для астатических систем
lim E(t)
t
для статических систем.
const 0
12
13
Примером статической системы может служить уже знакомый контур автоподстройки
частоты. При этом подчеркивалось, что полной компенсации нестабильности частоты входного сигнала ∆fc нельзя добиться рассматриваемым контуром автоподстройки, что величина
изменения частоты гетеродина ∆fг обуславливается отличным от нуля сигналом ошибки E(t),
поэтому и разность ∆fc-∆fг отлична от нуля,
В качестве примера астатической системы рассмотрим другую схему АПЧ с интегрирующим звеном (рис.1.14).
Изображенная схема АПЧ, как и ранее рассмотренная статическая схема, при отсутствии возмущения остается в состоянии покоя, т.е. если fс=fco, то fпр=f0пр=fд, E(t)=0, fг=f0г.
Предположим теперь,
что частота сигнала изменилась скачкообразно на величину ∆fc . В первый момент после скачка такое же
приращение получит промежуточная частота fпр+∆fc, появится сигнал ошибки E(t)≠0,
на двигатель постоянного тока начнет поступать сигнал
управления. Как только сигнал
управления превысит
пороговое напряжение трогания Uтр, якорь двигателя придет во вращение, перестраивая через редуктор колебательную систему гетеродина. После окончания переходного процесса частота гетеродина получит приращение ∆fг=∆fc сигнал ошибки будет равен нулю E(t)=0, а новое значение частоты гетеродина f0г+∆fc будет обеспечиваться новым угловым положением
якоря двигателя.
Таким образом, в такой схеме АПЧ отсутствует установившаяся ошибка:
при g(t)=g01(t) lim E(t) 0 .
t
В качестве других примеров астатических систем рассмотрим более подробно импульсные дальномеры с одним и двумя интеграторами.
Импульсные дальномеры с одним и двумя интеграторами представляют собой следящие система и осуществляют автоматическое сопровождение цели по дальности.
На рисунке 1.15. представлена упрощенная функциональная схема дальномера с одним интегратором. В теории оптимальных методов измерения показано, что дальномер с одним интегратором является оптимальным измерителем дальности при “неподвижной” цели,
а дальномер с двумя интеграторами является оптимальным измерителем дальности в случае
линейного закона изменения дальности цели. (См., например, Я.Д. Ширман, В.Н. Голиков
13
14
«Основы теории обнаружения радиолокационных сигналов и измерения их параметров» Изд.
«Советское Радио», 1963 г. – §8. 4, §8.5, §8.6.)
Эта схема обеспечивает на выходе
напряжение U , пропорциональное дальности
до цели r .
Работа схемы. Передатчик вырабатывает зондирующий импульс, который через
антенный переключатель поступает в антенну и излучается в пространство. Отраженный
от цели радиоимпульс спустя время tr=2r/C
принимается антенной, усиливается и детектируется в приемнике и поступает на вход
временного дискриминатора. Величина C –
скорость распространения электромагнитной
энергии. В дальномере время tr измеряется и
ему противопоставляется соответствующее
напряжение U. Эта задача решается контуром
автоматического регулирования (на рисунке
1.15 обведен пунктирной линией), который
являет собой основу автодальномера.
Одновременно с излучением зондирующего радиоимпульса от передатчика на временной модулятор поступает пусковой видеоимпульс. Временной модулятор представляет
собой электронную схему регулируемой временной задержки. В ответ на пусковой импульс он спустя некоторое время tr=KмU вырабатывает пару стробирующих импульсов,
поступающих в дальнейшем на временной
дискриминатор по различным каналам.
Стробирующие импульсы (рис. 1.l6)
во времени расположены таким образом, что
задний фронт первого импульса совпадает с
передним фронтом второго импульса.
Временной дискриминатор (рис. 1.17)
предназначен для сравнения времен задержек
tr и tc и функционирует при малых tr-tc в соответствии с соотношением iд=Kд(tr-tc).
Рассмотрим его работу. Схемы “И” –
управляют работой диодов д1 и д2. Диод д1
отпирается на время, в течение которого совпадают импульс цели и первый стробирующий импульс, диод д2 отпирается на время, в
течение которого совпадает импульс цели и
второй стробирующий импульс. В случае,
если tr=tc, то, как видно из рисунка 1.18, эти временные интервалы одинаковы и на выходе
появляется два разнополярных, но одинаковых по амплитуде и длительности импульса тока,
постоянная составляющая тока iд равна нулю.
В случае, если tr-tc≠0(рис. 1.19) разнополярные импульсы оказываются различны по
длительности, а постоянная составляющая тока не равна нулю iд≠0. При прямоугольной
форме стробирующих импульсов и импульса цели характеристика временного дискриминатора представляется в виде отрезков прямых (рис.1.20).
15
Ток временного дискриминатора поступает на интегратор. Основной интегратора является RC-цепь (рис.1.21). Напряжение и ток этой цепи связаны соотношением
д
U
t
1 t
1
.
i
(t)dt
K
д
u i д (t)dt , K u
C0
C
0
Реальные интеграторы сложнее приведенной схемы, в них предусмотрена компенсация отрицательной обратной связи, так что величина тока не зависит от напряжения на емкости.
Итак, описаны все три элемента контура регулирования. Рассмотрим его работу. В
случае, когда время задержки стробирующих импульсов и импульса цели совпадает tr=tc, ток
дискриминатора равен нулю iд=0, напряжение U на выходе интегратора не меняется, время
задержки стробирующих импульсов не меняется, контур находится в покое. Если в результате перемещения цели реализовалось неравенство tr>tc, то появится ток дискриминатора iд>0,
начнет изменяться напряжение на интеграторе со скоростью, пропорциональной току
dU/dt=Kuiд, соответственно увеличится задержка стробирующих импульсов. В результате
действия контура регулирования разность tr-tc уменьшится.
В рассмотренном контуре tr является управляющей переменной, tc – сигналом обратной связи, iд – сигналом ошибки, U – регулируемой переменной, временной модулятор – элементом обратной связи, временной дискриминатор – сравнивающим устройством, интегратор — исполнительным элементом и объектом регулирования.
В случае, когда переходные процессы в контуре регулирования завершились и в дальнейшем дальность до цели не меняется r=const, время задержки пары стробирующих импульсов будет равно задержке импульса цели tc=tr. С другой стороны, так как tc=KmU , то напряжение U в точности соответствует времени tr. Обозначим это напряжение U0. Для этой величиtr
2
ф
r , из которого видно, что напряжение U0 соны справедливо соотношение U 0
K m CK m
ответствует истинной дальности до цели. Однако в случае, когда переходные процессы не завершились или цель перемещается, в контуре регулирования наблюдается ошибка, равная
разности истинного и наблюдаемого напряжений дальности
x=U0-U=(tr-tc)/Km .
Выразим эту ошибку через величину тока дискриминатора iд=Kд(tr-tc)=KmKдx .
15
16
Скорость изменения напряжения на выходе интегратора пропорциональна току и, следовательно, ошибке x
dU/dt=Kuiд=KmKдKux .
Обозначая KmKдKu=K и используя равенство U=U0-x, перепишем полученное выражение в виде
dx/dt+Kx=dU0/dt .
Это дифференциальное уравнение используется для описания контура регулирования.
При этом допускается некоторая погрешность, обусловленная тем, что рассматриваемая система является импульсной и, строго говоря, ее следовало бы описывать разностными уравнениями с использованием решетчатых функций. Такая подмена математического аппарата
допустима, если период дискретности импульсной системы мал по сравнению с временем
переходного процесса. В указанных условиях погрешность, из-за замены математического
аппарата оказывается в допустимых, с точки зрения инженерных расчетов, пределах.
Рассмотрим решение дифференциального уравнения. Полагаем, что его единственный
коэффициент К есть постоянная величина. В отношении постоянства этого коэффициента
также необходима оговорка. Характеристики всех элементов контура строго говоря нелинейны (смотри, например, характеристику временного дискриминатора (рис.1.20). Однако эта
нелинейность проявляется только при больших отклонениях сигналов в контуре регулирования от их равновесных значений. Но так как контур регулирования непрерывно отрабатывает
возникающие рассогласования, не давая им накапливаться, то сигнал ошибки обычно не достигает тех значений, при которых начинает сказываться нелинейность характеристик.
Поэтому в режиме слежения при малых отклонениях система хорошо описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянным коэффициентом.
Правая часть уравнения определяется внешним воздействием (U0 – напряжение, пропорциональное истинной дальности до цели). Рассмотрим различные режимы работы.
Первый случай — радиальная дальность до цели неизменна:
U0=const , dU0/dt=0 .
Исходное уравнение становится однородным
dx/dt + Kx=0 .
Его решение известно и может быть получено на основе разделения переменных с последующим интегрированием:
dx/x + Kdt=0
∫dx/x + K∫dt =C , lnx+Kt=C .
Разрешая последнее соотношение относительно x , получаем
x(t)=eC-Kt=x0e-Kt ,
где x0=eC – начальная ошибка (ошибка в момент t=0).
Полученное решение справедливо для тех значений начального отклонения x0, для которых коэффициент K остается неизменным.
Из полученного решения следует, что рассматриваемая система устойчива при K>0 и
ошибка с течением времени стремится к нулю. На рис.1.22 приведен график функции x(t).
Рассмотрим второй случай, когда цель перемещается с постоянной скоростью, т.е.
dU0/dt=Vц=const.
При этом решение исходного уравнения имеет вид:
x(t)=Vц/K + (x0-Vц/K)e-Kt ,
а график этой функции приведен на рис.1.23.
16
17
Величина xc=Vц/K есть установившаяся неустранимая ошибка. Относительная ошибка, выраженная в единицах скорости движения цели E=xc/Vц=1/K является параметром системы. Величина, обратная E: D=1/E=K называется добротностью системы.
Проследим происхождение сигналов по контуру
регулирования для двух рассмотренных случаев. При
неизменной дальности до цели после затухания переходного процесса устанавливается равенство U0=U, ошибка
x=0, следовательно равен нулю сигнал ошибки iд=0
(рис.1.24).
Такое соотношение: входной сигнал равен нулю
iд=0, а выходной сигнал равен постоянной величине, отличной от нуля U0=const≠0, обеспечивается интегрирующим звеном благодаря его запоминающим свойствам.
При нулевом входном сигнале его выходной сигнал определяется процессами, протекавшими ранее до рассматриваемого момента времени.
В случае, когда цель перемещается с постоянной
скоростью, то по завершении переходного процесса выходное напряжение U должно изменяться по линейному
закону (рис.1.25). Но это напряжение является выходным
и для интегратора. Для его обеспечения входной сигнал
интегратора, ток iд должен быть больше нуля. Таким образом, отличен от нуля сигнал ошибки, отлична от нуля
ошибка xc=U0-U.
Ясно, что с увеличением скорости цели возрастает
установившаяся ошибка xc. Отсюда следует, что дальномер с одним интегратором в состоянии отслеживать цели,
скорость движения которых ограничена.
Отсутствие ошибок в установившемся режиме при “неподвижной” цели обуславливает свойство дальномера с одним интегратором, которое можно назвать “памятью по положению”. Оно проявляется в тех случаях, когда отраженные от цели импульсы почему либо
перестали проходить к временному дискриминатору, при этом диоды д1 и д2 не отпираются,
ток iд=0, напряжение на выходе дальномера (интегратора) сохраняется неизменным и соответствует дальности, измеренной в предшествующий момент времени. Такое состояние эквивалентно точному соответствию временного положения импульса цели и стробирующих импульсов, когда также iд=0. Однако, если цель перемещается, а импульсы цели не проходят к
временному дискриминатору длительное время, то после восстановления связи импульсы
цели могут оказаться за пределами стробирующих импульсов, наступит срыв сопровождения. Такое положение вполне возможно, так как из соображений помехоустойчивости длительность cтробирующих импульсов и соответственно ширина характеристики временного
дискриминатора невелики.
Поставим задачу
отыскания структуры
дальномера, который не
имел бы ошибки при
сопровождении линейно движущейся цели.
Помня о том, что введение
интегратора
в
контур регулирования
17
18
позволяет устранить статическую ошибку, введем второй интегратор с целью устранить установившуюся ошибку при сопровождении движущейся цели (рис.1.26)
Действительно, линейная функция на выходе второго интегратора достигается при
постоянном значении сигнала на его входе U1=const≠0 , но постоянное напряжение на выходе первого интегратора можно обеспечить при нулевом токе дискриминатора iд=0. Это означает отсутствие ошибки в установившемся режиме. Однако составим уравнение полученной
цепи и проверим на его основе сделанные предположения.
Выходное напряжение второго интегратора равно
U=KU2∫U1(t)dt ,
а скорость измерения напряжения на выходе первого интегратора определяется соотношением (смотри дальномер с одним интегратором):
dU1/dt=KU1iд=KmKдKU1x
Исключая из этих двух выражений сначала U1 , а затем U и используя обозначение
K=KMKдKU1KU2 , получим
d2x/dt2+Kx=d2U0/dt2 .
Это дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение является общим для
двух случаев: когда дальность неизменна U0=const и когда дальность изменяется линейно
dU0/dt=Vц=const.
В обоих случаях правая часть уравнения обращается в ноль
d2x/dt2+Kx=0 .
Его решение известно и равно
x(t)=Acosωt+Bsinωt=x0cos(ωt+φ) ,
B
.
A
Из полученного выражения следует, что ошибка во времени изменяется по гармоническому закону с амплитудой x0 и начальной фазой φ, определяемыми начальными условиями.
Это означает, что и выходной сигнал рассматриваемой схемы изменяется по тому же закону
и никак не определяется
параметрами движения
цели. Наш контур неустойчив, он возбудился,
он генерирует синусоидальные колебания и не
может обеспечить слежение за целью.
Выясним причину
возбуждения контура. С
этой целью вновь воспроизведем рассматриваемую цепь, разорвав её на выходе временного дискриминатора
(рис.1.27).
Пусть на вход первого интегратора приложено гармоническое воздействие iд1=ejωt с
частотой ω и единичной амплитудой. Отложим соответствующий вектор на диаграмме. Сиг
K U1 jt K U1
jt
e
i д1 .
нал на выходе первого интегратора равен U1 K U1 e dt
j
j
Откладываем второй вектор длиной KU1/ω под углом -900 к исходному. Второй интегратор поворачивает фазу сигнала еще на угол — 900
где K ,
x 0 A 2 B 2 ,
arctg
18
19
U K U 2 U1dt
K U1K U 2 jt
K U1K U 2 jt
K U1K U 2
e
dt
e
i д1 .
j
2
2
Откладываем третий вектор. Временной модулятор передает сигнал на временной
дискриминатор без фазовых искажений, изменяя его величину в соответствии с коэффициентом передачи KM . Далее стоит временной дискриминатор, в котором осуществляется поворот фазы сигнала на угол 180° (четвертый вектор iд2=(K/ω2)iд1). Таким образом, сигнал на выходе рассмотренной цепи iд2 получил приращение фазы величиной 2π и изменил свою амплитуду в KU1KU2KmKд/ω2=K/ω2 раз. На частоте ω= K сигналы iд1 и iд2 совпадают по амплитуде и фазе. Налицо выполнение условий генерации. Замкнутая система с двумя интеграторами ведет себя как колебательный контур без затухания.
Колебательный RLC контур, в котом затухание отлично от нуля также описывается
дифференциальным уравнением второго порядка, причем коэффициент при производной
первого порядка отличен от нуля и как раз определяет величину затухания. В нашей системе
указанный коэффициент равен нулю, то есть дифференциальное уравнение оказалось усеченным.
Откорректируем систему таким образом, чтобы коэффициент при производной первого порядка был отличен от нуля. Для этого достаточно в качестве выходного сигнала
рассматривать сумму напряжений двух интеграторов (рис.1.28). Составим уравнение откорректированной схемы.
Скорость изменения напряжения на выходе
первого интегратора (смотри дальномер с одним
интегратором) равна dU1/dt=K′x , где K′=KmKдKU1 .
Напряжение
на
выходе
сумматора
U=U1+KU2∫U1dt .
Запишем выражения для первой и второй производной от выходного напряжения с
учетом предыдущего соотношения
dU
K ' x K U2 U 1 ,
dt
d2 U
dx
K'
Kx ,
2
dt
dt
где K=KU2K′ .
Исключая регулируемую переменную в соответствии с условием U=U0-x, находим
d2x
dx
d 2U0
K'
Kx
.
2
2
dt
dt
dt
Таким образом, простая коррекция контура регулирования привела к желаемой цели.
Решение этого дифференциального уравнения при нулевой правой части (дальность неизменна, либо меняется линейно) равно
x(t)=x0e-δtcos(ω0t+φ0) ,
где δ=K′/2 , ω0= K
K'
.
20
2
2
Полученное выражение показывает, что развитие процесса во времени зависит от значений коэффициентов K и K′. Рассмотрим влияние этих коэффициентов на переходной процесс подробнее. С этой целью упростим выражение для x(t), полагая x0=1 а φ0=0:
x(t)=e-δtcosω0t .
В случае, если выполняются неравенства K′>0 и K>(K′/2)2, то мы получаем затухающий колебательный переходный процесс. Если же второе условие оказывается противоположным K<(K′/2)2, то переходный процесс не будет носить колебательный характер, т.к. ве2
личина ω0 становится мнимой ω0=jα , где α= ' K
21
2
В этом случае решение дифференциального уравнения представляется иначе
x(t)=e-δtchαt
и процесс протекает монотонно. Действительно, раскрыв формулу для гиперболического косинуса, получим
x(t)=1/2[e(-δ+α)t+ e(-δ-α)t]
сумму двух экспонент. Ошибка x(t) будет с течением времени стремиться к нулю, если обе
экспоненты затухают. Вторая экспонента затухает при любых положительных значениях α и
δ, но первая экспонента затухает только при выполнении неравенства δ>α. Из этого неравенства на основе подстановки значений α и δ следует другое, а именно K>0 . Таким образом
пара неравенств
K′>0, K>0
определяет область устойчивого состояния системы на плоскости коэффициентов K′, K
(рис.1.29). Эта область 1-ый квадрант плоскости.
Внутри этой области возможно два вида переходного процесса – монотонный и колебательный. Граница, разделяющая эти участки находится из условия ω0=0: K=(K′/2)2. Если
изображающая точка попадает на координатные оси, то в одном случае имеем незатухающий
колебательный процесс K′=0, во втором – бесконечный по длительности монотонный процесс K=0, стало быть область устойчивости открыта.
Рассмотрим случай перемещения цели с постоянным ускорением d2U0/dt2=A=const.
При этом решение дифференциального уравнения имеет вид:
x(t)=A/K+(x0-A/K)e-δtcos(ω0t-φ0).
Величина x c=A/K есть установившаяся неустранимая ошибка.
Рассмотрим прохождение сигналов в дальномере с двумя
интеграторами для трех случаев (рис.1.30):
- дальность не меняется;
- дальность меняется линейно;
- дальность меняется с постоянным ускорением.
Для первого случая U0=U=const, U1=0, iд=0, x=0.
Для второго случая U0=U, U1=const≠0, iд=0, x=0.
Для третьего случая d2U0/dt2=A=const. U1(t) – линейная
функция, iд≠0, x≠0, U≠U0.
Действительно, в системе с двумя интеграторами в случае
квадратичного закона изменения управляющей переменной установившаяся ошибка неустранима. Из этих примеров мы видим, что
величина установившейся ошибки определяется:
- коэффициентом передачи по контуру,
- порядком астатизма системы,
- характером изменения управляющей переменной.
Дальномер с двумя интеграторами обладает "памятью по скорости", Она обусловлена
наличием двух интеграторов контура регулирования и сводится к тому, что после завершения переходного процесса при линейно-изменяющейся дальности до цели напряжение на
выходе второго интегратора изменяется по тому же линейному закону. При этом сигнал
22
ошибки равен нулю. Если в этих условиях часть импульсов, отраженных от цели, не
дойдет до временного дискриминатора, то это не окажет влияния на работу контура. Контур
"запо- мнил" скорость движения цели и продолжает на этой основе выдавать информацию о
теку- щей дальности, хотя сам извне информацию не получает.
В случае если цель перемещается с постоянной скоростью, то по завершении переходного процесса выходное напряжение первого интегратора пропорционально
скорости цели. Действительно, поскольку
U=U1+KU2∫U1dt ,
то dU/dt=K′x+KU2U1.
В установившемся режиме dU/dt=dU0/dt=Vц, а x=0, поэтому U1=(1/KU2)Vц.
Это означает, что с дальномера можно снимать два напряжения: напряжение U, пропорциональное дальности r и напряжение U1, пропорциональное производной dr/dt (рис1.31).
1.2.4. Классификация по характеру сигнала, циркулирующего в
контуре регулирования
По этому признаку системы делятся на 3 класса: непрерывные, импульсные и цифровые. В системах первого класса выходные и входные сигналы каждого элемента контура связали непрерывной функциональной связью. В системах второго класса можно указать по
меньшей мере один элемент, выходная величина которого есть последовательность импульсов, один из параметров которой (амплитуда, длительность и т.д.) пропорционален входной
величине. Таким образом, в импульсных системах осуществляется квантование сигнала по
времени.
В цифровых системах сигналы квантуются не только по времени, но и по уровню.
Сигналы в таких системах представлены в виде кода; часто такие системы работают в совокупности с цифровыми вычислительными машинами. Специального примера для иллюстрации непрерывных систем приводить не будем, а сошлемся на уже известные сельсинные следящие системы. Импульсные системы проиллюстрируем системой импульсной фазовой автоматической подстройки частоты (ИФАПЧ) (рис.1.32).
В качестве управляющей переменной в этой схеме используется фаза φg последовательности импульсов. Регулируемая переменная представлена в виде частоты синусоидального колебания fx. Работа системы сводится к тому, чтобы обеспечить равенство частот импульсной последовательности и синусоидального колебания. Роль сравнивающего устройства выполняет ключ, в котором происходит сравнение фазы следования импульсной последовательности и синусоидального колебания. Замыкается ключ импульсом входной последовательности на время, соответствующее его длительности. Обычно длительность импульса
21
23
невелика по сравнению с периодом повторения.
В момент замыкания ключа сигнал обратной
связи фиксируется в запоминающем устройство
и далее, проходя через фильтр, воздействует на
реактивный элемент колебательной системы генератора в течение всего периода.
Если частоты и фазы сигналов на входе
и выходе системы равны (рис.1.33), то ключ
отпирается в момент прохождения сигнала
обратной связи через ноль, этот ноль фиксируется в запоминающем устройстве, генератор не
перестраивается, контур находится в покое.
Предположим теперь, что частоты не совпадают (рис.1.34). Пусть для определенности
Tg>Tx. Начало отсчета на рисунке выбрано таким образом, что в нулевой момент времени
фазы входного и выходного колебания совпадают Uз=0.
К моменту поступления следующего импульса в силу неравенства Tg>Tx сигнал обратной связи достиг значения Uз>0 , которое и фиксируется в запоминающем устройстве. С этого момента начинается
перестройка генератора, по окончании которой достигается равенство
частот fg=fx. Новое значение частоты
генератора fx достигается благодаря
остаточной разности фаз φg-φx≠0.
Это фазовое рассогласование при
малых начальных расстройках по частоте пропорционально величине расстройки. При увеличении начальной расстройки по частоте указанная пропорциональность утрачивается, что в дальнейшем при достаточно
больших значениях начальной разности частот приводит к невозможности осуществления
процесса регулирования. В контуре устанавливается режим биений: управляемый генератор
генерирует частотно-модулированные колебания, Все это обуславливается периодичностью
(синусоидальностью) характеристики сравнивающего устройства – фазового детектора. Его
характеристика совпадает с сигналом обратной связи – синусоидой.
Прежде чем перейти к рассмотрению цифровых систем, в которых сигнал квантуется
по времени и уровню, рассмотрим системы, в которых сигнал квантуется лишь по уровню. В
эту группу входят релейные системы, в контуре
которых имеется релейный элемент. Простейший
релейный элемент квантует сигнал по двум уровням
(рис.1.35), отличающимся
только знаком. В более
сложном случае (рис.1.36)
появляется третий уровень
— зона нечувствительности. Существуют релейные
элементы
и
с
большим числом уровней
квантования.
22
24
В качестве примера релейной системы рассмотрим систему автоматической стабилизации полетом ракеты по тангажу (рис.1.37). Она входит в состав автопилота и использует
релейный элемент с характеристикой, изображенной на рис.1.36. Схема представляет собой
электрический мост, в измерительной диагонали которого включена катушка реле. При горизонтальном полете мост уравновешен, в измерительной диагонали ток не течет.
Предположим, что в результате возмущающего воздействия (например, в результате
расхода топлива сместился центр тяжести) ракета стала лететь с набором высоты, т.е. наклонилась вверх. Вместе с ней наклоняется вверх и корпус потенциометра R1, в то время как его
движок, стабилизированный гироскопом (Г), останется на месте. Потенциал в точке a возрастет, потечет измерительный ток и, если величина тока превзойдет пороговое значение,
подвижные контакты реле подключат к рулевой машине (Р.М.) источник питания. Рулевая
машина будет перемещать вниз вместе с рулями высоты (Р.В.) движок потенциометра R2. В
результате этого, во-первых, под действием рулей ракета будет возвращаться к горизонтальному полету и потенциал в точке a будет уменьшаться, во-вторых, благодаря перемещению
движка потенциометра R2 – вниз потенциал в точке б будет возрастать. В итоге разность потенциалов Uаб уменьшается в результате действия двух причин, обусловленных действием
двух контуров отрицательной обратной связи: один контур замыкается через корпус ракеты,
другой – через потенциометр R2.
После завершения переходного процесса ракета возвращается к горизонтальному полету, разность потенциалов Uаб оказывается меньше порогового значения, а рули высоты занимают новое положение, обеспечивая горизонтальный полет в изменившейся обстановке.
В качество примера цифровой системы автоматического управления рассмотрим автоматический дальномер, используемый в современной навигационной аппаратуре.
Как и многие радиотехнические системы автоматического управления рассматриваемый дальномер характеризуется двумя режимами работы: режимом поиска и режимом сопровождения. В режиме поиска осуществляется обнаружение цели и захват ее. После этого
система переключается на режим слежения за выбранной целью. Рассмотрим работу дальномера в режиме слежения (рис.1.38). В
момент запроса передатчик запросных
сигналов отпирает ключ, через который с измерительного генератора
(изм. ген.) на измерительный счетчик
поступает последовательность импульсов. Период следования указанной последовательности определяет
дискретность измерения дальности. В
схеме запуска строба осуществляется
сравнение ранее записанного в регистре значения дальности с текущим
показанием счетчика. При совпадении
этих величин отпирается стробирующее устройство (строб. уст-во). Импульс, оказавшийся первым в пределах строба, возвращает ключ в исходное состояние, а в регистре блока запуска стробов записывается новая величина, соответствующая моменту поступления первого импульса. Этим же импульсом запирается и стробирующее устройство, так что длительность строба в различных актах приема различна.
В случае, если наблюдался пропуск, система приводится в исходное состояние блоком
контроля (контр.), причем в регистре блока запуска стробов сохраняется прежнее значение.
Длительность строба максимальна.
Таким образом, в рассматриваемой системе осуществляется процедура слежения, по
которой центр формируемого строба определяется положением первого импульса из числа
поступивших на предыдущем акте приема. В случае, если на предыдущем акте приема отме23
25
чен пропуск, то положение строба определяется положением первого импульса из числа принятых за два периода раньше и т.д. Решение о срыве слежения принимается при отсутствии
импульсов в стробе в течение m+1 запросных посылок (m – продолжительность памяти).
1.2.5. Экстремум-регуляторы
Используются для стабилизации регулируемой переменной относительно максимума
или минимума экстремальной характеристики некоторого устройства. Такими экстремальными характеристиками обладают, например, однотактные магнитные усилители, резонансные системы и т.д.
В качестве примера рассмотрим систему стабилизации частоты гетеродина (рис.1.39).
В рассматриваемой схеме осуществляется стабилизация частоты клистронного гетеродина относительно резонансной частоты
объемного резонатора fp.
Частота клистронного гетеродина определяется напряжением на отражательном электроде. Из схемы видно, что это напряжение
складывается из постоянной и переменной составляющих. Это приводит а тому, что гетеродин генерирует частотно-модулированные колебания, причем постоянное напряжение, снимаемое с резистора R определяет частоту несущей (среднюю частоту), а амплитуда переменной составляющей – глубину модуляции. Предположим, что в исходном состоянии выполняется условие f p f г , где f г – средняя частота
клистрона.
В таком случае частотно-модулированное с частотой ω колебание на входе объемного
резонатора преобразуется в амплитудно-модулированное колебание (рис.1.40).
Причем первая гармоника огибающей
соответствует удвоенной частоте поисковых
колебаний, В дальнейшем с помощью детектора выделяется огибающая амплитудно-модулированного колебания. Поскольку последующий
24
26
избирательный узкополосный усилитель настроен на частоту ω, сигнал с удвоенной частотой
не пропускается. Благодаря этому последующие элементы контура регулирования сохраняют
свое прежнее состояние, и гетеродин продолжает генерировать сигнал с прежней средней частотой.
Предположим теперь, что выполняется условие f г f p (рис.1.41). При этом частотномодулированное колебание преобразуется в амплитудно-модулированное колебание с помощью правой ветви характеристики |W0p(jω)| .
Поскольку правая ветвь характеристики имеет отрицательный наклон, происходит поворот фазы огибающей на 180°. Частота модуляции сохраняется равной частоте поисковых
движений. Сигнал с выхода детектора усиливается и поступает на фазочувствительный детектор. На фазочувствительном детектор в результате сравнения фаз опорного и входного
колебаний вырабатывается постоянное напряжение, знак которого определяется соотношением фаз колебаний. В данном случае фазы противоположны, напряжение отрицательное.
Это напряжение усиливается и поступает на токорегулирующий элемент, ток уменьшается,
уменьшается падение напряжения на резисторе R , уменьшается средняя частота клистрона.
При выполнении неравенства f г f p используется левая ветвь характеристики
|W0p(jω)| с положительным наклоном, фаза колебаний на входе фазового детектора совпадает
с фазой опорного, процесс протекает в противоположном направлении.
Здесь уместно отметить, что один из элементов контура регулирования, а именно
объемный резонатор, характеризуется существенно нелинейной характеристикой, поэтому и
вся система нелинейна.
1.3.ФУНКЦИОНАЛЬНАЯСХЕМАСАР
Функциональная схема обобщенной замкнутой системы автоматического регулирования включает в себя следующие функциональные звенья (рис.1.42):
- сравнивающие устройства, в которых на основе сравнения управлявшей переменной
и сигнала главной обратной связи вырабатывается сигнал ошибки;
- усилители, предназначенные для усиления сигнала ошибки до уровня, соответствующего мощности входного сигнала исполнительного элемента;
- преобразователи, которые по мере необходимости преобразуют сигналы одного вида
в сигналы другого вида;
- корректирующие элементы, необходимость которых выявляется на заключительной
стадии конструирования регулятора и которые предназначены для придания регулятору требуемых динамических свойств, а именно, желаемого запаса устойчивости и желаемых показателей качества переходного процесса;
- исполнительные элементы;
- объект регулирования.
Рассмотрим более подробно функциональные элементы наиболее распространенных
радиотехнических САР.
25
27
1.3.1. Сравнивающие устройства
На функциональной схеме обозначается в виде окружности (рис.1.42) с двумя входами и одним выходом. Зачерненный сектор означает, что сигнал, поступающий к нему, вычитается из другого сигнала. В литературе устройства сравнения известны также под названиями: датчики рассогласования, чувствительные элементы, компараторы и т.д. Выбор названия
определяется традициями, сложившимися в соответствующей области техники. Рассмотрим
сравнивающие устройства некоторых радиотехнических САР.
1.3.1.1. Датчик углового рассогласования моноимпульсной
радиолокационной станции
В моноимпульсной РЛС осуществляется автоматическое сопровождение цели по
дальности, углу места и азимуту. Для этого в структуре станции предусмотрено три контура
автоматического сопровождения. Два из них: по углу места и
азимуту — идентичны. Рассмотрим один из них — канал сопровождения цели по азимуту.
Антенна имеет два излучателя, смещенные относительно её оси. Вследствие этого характеристики диаграмм
направленности этих излучателей также смещены, перекрываясь несколько друг с другом. Антенна с парой излучателей
и высокочастотным фазирующим кольцом (рис.1.44) формирует две разные диаграммы: суммарную и разностную. На
рис.1.43 приведены в декартовых координатах характеристики направленности:
f1, f2 – первого и второго излучателей по отдельности;
fΣ – суммарная;
fp – разностная.
Формирование суммарной и разностной диаграмм
осуществляется путем соответствующего фазирования излучателей по отношению к выходу
передатчика и по входам двух приемников. При передаче излучатели запитываются в фазе,
чем достигается суммарная диаграмма направленности. Прием ведется двумя приемниками:
приемником разностного канала и приемником суммарного канала. Для приемника суммарного канала характеристика направленности суммарная, для приемника разностного канала
— разностная.
Фаза сигнала, принятого разностным приемником, определяет сторону отклонения
цели от оптической оси антенны, а величина степень отклонения, Фаза сигнала суммарного
канала не зависит от знака углового рассогласования и используется для определения знака
рассогласования: совпадение фаз означает, что разность αц-αa>0, а различие фаз в 180° означает, что разность αц-αa<0 (рис. 1.43). Рассмотрим схему и работу датчика углового рассогласования по азимуту в одноимпульсной РЛС (рис.1.44).
При работе передатчика энергия радиоимпульса поступает в высокочастотное фазирующее кольцо (ВФК) — кольцевой волновод длиной 3/2λ с четырьмя отводами, расположенными друг от друга на расстоянии λ/4 в левой его половине — через отвод 3.
Распространяясь по кольцу в оба направления, импульс возбуждает отводы 2 и 4 и соответственно излучатели 1 и 2 в фазе. Это обуславливается равенством расстояний между отводами 3 и 2, 3 и 4. Отвод 1 волноводного кольца не возбуждается, так как расстояние между
отводами 3 и 1 слева равно λ/2 , а справа равно λ. Благодаря разности пути в полволны импульсы, распространявшиеся по левому и правому путям, встречаются в отводе 1 в противофазе. Имея одинаковую амплитуду, они компенсируют друг друга. В результате энергия зондирующего импульса действительно не поступает на вход приемника разностного канала, а
целиком уходит на возбуждение излучателей 1 и 2 и формирование суммарной диаграммы
направленности. Как видно из рисунка 1.43 ее уровень остается неизменным даже при до26
28
вольно значительных отклонениях цели от оси антенны. Это означает, что амплитуда
облу- чающих цель импульсов не зависит от углового положения цели.
Приемник суммарного канала защищен в режиме передачи антенным переключателем.
В режиме приёма энергия с первого излучателя поступает в отвод 2 и делится пополам между отводами 1 и 3; в отвод 4 энергия не поступает. Энергия со второго излучателя
поступает в отвод 4 и делится поровну между отводами 3 и 1; в отвод 2 энергия не поступает.
В отводе 1 сигналы с первого и второго излучателя встречаются в противофазе, поэтому величина и фаза сигнала в разностном канале зависит от углового положения цели. С точки
зрения «наблюдателя», размещенного во входных цепях разностного канала характеристика
направленности антенны имеет разностный характер. В отводе 3 сигналы с первого и второго излучателей встречаются в фазе – суммируются. С точки зрения “наблюдателя”, размещенного во входных цепях суммарного канала, характеристика направленности антенны
имеет суммарный характер.
Так как вся информация о величине и знаке углового рассогласования содержится в
разностном сигнале, то в дальнейшем его и будем рассматривать.
Обозначим f1(α), f2(α) – характеристики направленности первого и второго излучателей. Тогда амплитуда сигнала на входе разностного канала может быть определена как
Uвхр=Uвхm[f2(αц)-f1(αц)]= Uвхm[f2(αa+∆α)-f1(αa+∆α)] ,
где ∆α=αц-αa ,
Uвхm — амплитуда входного сигнала в случае, когда цель находится в направлении
максимума первого или второго излучателя.
Разложим функции f1(α) и f2(α) в степенной ряд относительно точки α=αa:
f2(αa+∆α)=f2(αa)+f′2(αa)∆α+1/2f′′2(αa)∆α2+…
f1(αa+∆α)=f1(αa)+f′1(αa)∆α+1/2f′′1(αa)∆α2+…
Так как следящая система работает при малых углах рассогласования ∆α , то функции
f1, f2 используются лишь на небольших участках, соответствующих величине ∆α , поэтому
эти участки можно представить первыми двумя членами разложения – линейным приближением.
Кроме того, в силу симметрии имеем следующие два равенства:
f1(αa)=f2(αa), f′1(αa)=-f′2(αa) .
27
29
Всё это позволяет переписать выражение для Uвхр в виде:
Uвхр=2 Uвхmf′2(αa)∆α .
Далее сигнал преобразуется по частоте, усиливается и поступает на вход фазочувствительного детектора (ФЧД). На другой его вход поступает напряжение от суммарного канала.
На ФЧД происходит сравнение фаз двух колебаний: если фазы совпадают, что соответствует расположению цели правее оси антенны, то выходное напряжение ФЧД больше нуля, в противоположном случае — напряжение отрицательно. Величина выходного
напряжения ФЧД пропорциональна величине отклонения цели от
оси антенны. Для сохранения информации о фазовых соотношениях двух колебаний при преобразовании частоты используется общий гетеродин.
Учитывая передаточные свойства приемника и ФЧД, запишем выражение для выходного напряжения датчика углового рассогласования в виде:
Uвых=Kпрэ(αц-αa) , где Kпрэ=2UвхmKпрf′(αa)Kфчд, Kпр – коэффициент передачи приемника,
Kфчд – коэффициент передачи фазочувствительного детектора.
В силу уменьшения Uвхm с ростом дальности схема временной автоматической регулировки усиления стабилизирует произведение UвхmKпр.
На функциональной и структурной схемах
датчик изображается аналогично рис.1.45.
1.3.1.2. Датчики рассогласования времен
задержек
В системах автоматического сопровождения цели по дальности для сравнения времен задержек импульсов цели и стробирующих импульсов используются временные дискриминаторы – датчики рассогласования времен задержек.
Принцип действия большинства схем временных дискриминаторов основан на заряде конденсатора в течение времени совпадения импульса цели и селекторного импульса. При этом конденсатор на время действия селекторного импульса подключается к источнику тока ключевой
схемой.
Временной дискриминатор выполняется
либо по принципу различения площадей отселектированных участков огибающей сигнала, либо
по принципу амплитудного различения.
Рис.1.46а иллюстрирует работу временного дискриминатора, работающего по принципу
различения площадей. Характеристика дискриминатора соответствует прямоугольной форме
селекторных импульсов и импульса цели при
одинаковой их длительности. На рисунке 1.46б
иллюстрируется амплитудный метод. Импульс
цели имеет форму равнобочной трапеции, а селекторные импульсы кратковременны и разделены интервалом, равным полусумме верхнего и
28
30
нижнего оснований трапеции. С помощью селекторных импульсов фиксируются потенциалы
соответствующих участков импульса цели на емкостях, включенных по дифференциальной
схеме. В результате формируется приведенная характеристика.
Рассмотрим еще один способ построения временного дискриминатора, используемого
в навигационных системах (рис.1.47). Сигнал с выхода детектора дифференцируется и затем
поступает на селекторный каскад, на котором с помощью кратковременного импульса выделяется значение производной в момент селекции. Затем это значение фиксируется в запоминающем устройстве на время паузы между двумя селекторными импульсами.
Так как длительность селекторного импульса значительно меньше длительности импульса цели, то характеристика дискриминатора повторяет форму продифференцированного
сигнала.
1.3.1.3. Реверсивный сдвиговый регистр
Реверсивный сдвиговый регистр (РСР) может быть использован в качестве датчика
рассогласования по фазе в системе фазовой автоподстройки частоты (рис.1.48).
Последовательность импульсов задающего и подстраиваемого генераторов поступают
на входы РСР. В результате сравнения фазовых соотношений на выходе РСР вырабатывается
соответствующий сигнал в виде кода. Этот сигнал поступает на исполнительный элемент,
который может быть представлен в виде цифроаналогового преобразователя. Аналоговый
сигнал с исполнительного элемента поступает на времязадающие цепи подстраиваемого генератора, изменяя частоту и фазу следования выходной последовательности. Рассмотрим работу одной из возможных схем ЦФАПЧ (рис.1.49).
Периодические импульсы с задающего (ЗГ) и подстраиваемого (ПГ) генераторов поступают на входы РСР, который состоит из нескольких одинаковых ячеек. Каждая ячейка, в
свою очередь, состоит из триггера (Т), схемы "ИЛИ" и двух схем "И", Одно из состояний
триггера соответствует единице соответствующего разряда, другое – нулю.
29
31
Положим, что в исходном состоянии триггер ячейки 3 находится в состоянии "единица", а все остальные в состоянии "ноль".
Очередной импульс с ПГ переводит триггер третьей ячейки из состояния "I" в состояние "О". От этого триггера на правую схему "И" соседней слева ячейки поступает импульс.
На эту же схему "И" поступает импульс самого ПГ. В результате "I" переписывается в соседнюю слева ячейку. При поступлении импульса от задающего генератора единица переписывается в соседнюю справа ячейку Это происходит благодаря тому, что импульс опрокинутого
триггера совпадает с импульсом ЗГ и они возбуждают левую схему "И" соседней справа
ячейки. Импульс схемы "ИЛИ" переводит триггер в состояние "I".
Итак, каждый импульс ЗГ сдвигает единицу вправо, а каждый импульс ПГ сдвигает
единицу влево.
Если в положении "I" оказался триггер крайней правой ячейки и на вход регистра поступает импульс от ЗГ, стремящийся переполнить регистр, то этот триггер останется в том
же состоянии, т.к. на оба входа правого элемента "И" этой ячейки одновременно поступают
импульсы, которые вновь запускают триггер.
В случае, когда импульсы ЗГ и ПГ совпадают во времени, единичка переписывается
сразу в обе соседние ячейки — справа и слева. Чтобы этого не происходило специальная схема, здесь не показанная, не позволяет переписывать "I" в соседние ячейки, сохраняя её в исходном положении.
1.3.2. Усилители и преобразователи систем автоматического регулирования
Для согласования малой мощности выходного сигнала сравнивающего устройства с
значительной потребляемой мощностью исполнительного элемента в схемах радиоавтоматики используются усилительные устройства. В ряде случаев усилители одновременно являются и преобразователями, преобразуя сигналы одной физической природы в сигналы другой физической природы.
Рассмотрим ряд усилителей радиотехнических САР, уделяя особое внимание их динамическим свойствам, так как именно динамические свойства являются определяющими при
изучении, описании и конструировании систем радиоавтоматики.
1.3.2.1. Усилитель постоянного тока
с низкочастотным фильтром
Усилитель постоянного тока (УПТ) используется для усиления постоянных и медленно изменяющихся токов. Обычно на выходе УПТ включается низкочастотный фильтр (рис.
1.50).
При анализе контура регулирования УПТ и фильтр рассматриваются как единое целое. В соответствии с этим установим зависимость между входными и выходными сигналами рассматриваемой схемы. Учитывая, что УПТ является безынерционным усилителем с коэффициентом передачи К, в соответствии с законом Кирхгофа
можно записать
UвхK=Ri+Uвых ,
где Ri – падение напряжения на резисторе RCфильтра,
Uвых – падение напряжения на емкости С. Так как ток i заряда емкости определяется из условия
30
32
iC
dU вых
dt
,
находим:
dU
вых U вых KUвх ,
dt
где τ=RC – постоянная времени фильтра.
Полученное выражение является линейным дифференциальным уравнением первого
порядка. Оно определяется двумя постоянными коэффициентами К и τ.
В автоматике звенья, описываемые такими уравнениями, называются апериодическими или инерционными и встречаются очень часто.
Для решения дифференциальных уравнений удобен операторный метод, основанный
на использовании преобразования Лапласа:
F (p ) f (t)e p t dt .
0
При этом непрерывная функция времени f(t), называемая оригиналом, преобразуется в
функцию комплексной переменной F(p), называемой изображением.
Найдем операторную форму записи дифференциального уравнения апериодического
звена, для этого каждый член выражения необходимо умножить на e-pt и проинтегрировать
по t от нуля до бесконечности:
dU
вых e pt dt U вых e pt dt K U вх e pt dt .
dt
0
0
0
Второй
и
третий
интегралы
представляют
0
0
собой
изображения
выходного
U вых (p) U вых e pt dt и входного U вх (p) U вх e pt dt сигналов соответственно, а первый интеграл есть изображение производной от выходного сигнала. Вычислим его по частям.
dU вых
Обозначая
dt dV , e p t U в соответствии с формулой ∫UdV=UV-∫VdU находим
dt
dU вых (t) pt
pt
pt
0 dt e dt e U вых (t) 0 p0 e U вых (t)dt .
Если рассматривать процессы при нулевых начальных условиях, то первое слагаемое
равно нулю (Uвых(0)=0, e-p∞=0), а второе представляет собой произведение p на изображение
выходного сигнала. Таким образом получаем:
0
0
0
p U вых (t)e pt dt U вых (t)e pt dt K U вх (t)e p t dt ,
или выражая через изображения:
τpUвых(p)+ Uвых(p)=KUвх(p).
Разрешая операторное уравнение относительно Uвых(p), получим еще одну его форму
K
U вых (p)
U вх (p) .
p 1
Оператор K/(τp+1) называется передаточной функцией апериодического звена. И вообще отношение изображения выходного сигнала к изображению входного сигнала W(p)
=Uвых(p)/Uвх(p) по определению называется передаточной функцией. Для апериодического
31
33
звена W(p)= K/(τp+1) определяется как исходное дифференциальное уравнение двумя постоянными коэффициентами K и τ.
Понятие передаточной функции как отношение изображения выходного сигнала к
изображению входного сигнала является в автоматике фундаментальным. На его основе построена значительная часть теории автоматического регулирования,
1.3.2.1.1.Временныехарактеристикиапериодическогозвена
При исследовании и сравнении динамических свойств звеньев контура регулирования
часто используются временные характеристики. Наиболее употребительной временной характеристикой является переходная характеристика. Она определяет реакцию звена или системы на ступенчатое изменение входного сигнала. Функция, описывающая переходную характеристику, называется переходной функцией. Найдем переходную функцию апериодического звена.
Пусть входной сигнал удовлетворяет условию
Uвх(t)=U0вх1(t) ,
1, t 0
– единичная ступенчатая функция. Изображение такого сигнала равно
где 1(t)
0 , t 0
1
1
U вх (p) U 0вх e pt dt U 0вх (e pt ) U0вх
p
0
p
0
Изображение переходной функции равно
K 1 0
U вх .
U вых (p) W(p)U вх (p)
p 1 p
Для отыскания оригинала функции Uвых(p) представим её в виде дроби
Uвых(p)=U(p)/V(p) ,
где U(p)=KU0вх, V(p)=p(τp+1) .
Соответствующий ей оригинал находится по формуле разложения*
n
U(p i ) p i t
e ,
'
i 1 V (p i )
U вых (t)
где pi – некратные корни уравнения V(p)=0,
V′(p)=dV(p)/dp – производная функции V(p), n – число корней уравнения V(p)=0.
Для апериодического звена имеем два корня уравнения V(p)=p(τp+1)=0, а именно
p1=0, p2=-1/τ; производная V′(p)=2τp+1.
Подставляя найденные значения в формулу разложения, получаем:
t
t
KUвх0 0 t KU вх0
U вых (t)
e
e KU 0вх (1 e ) .
1
1
В автоматике переходную функцию часто обозначают символом h(t). Таким образом,
переходная характеристика апериодического звена описывается экспонентой, характеризуемой двумя параметрами K и τ (рис.1.51). Значение переходной функции в точке t=τ равно
h(τ)=KU0вх(1-1/e)=0.632KU0вх .
Величину τ называют постоянной времени апериодического звена. Величина τ – это
такое время, по истечении которого переходная характеристика h(t) достигла бы установившегося значения h(∞), если бы скорость её нарастания сохранялась равной первоначальной
Суть которой сводится к тому, что дробь U(p)/V(p) разлагается на сумму простейших, оригиналы которых известны.
*
32
34
(рис.1.51 см. касательную). Сформулированное свойство справедливо для любого первоначального значения t, удовлетворяющего условию 0≤t<∞.
Другой часто используемой временной характеристикой является импульсная переходная характеристика. Она представляет собой реакций системы или
звена на воздействие в виде кратковременного импульса, в пределе – дельта-импульса. Рассматривая
дельта-импульс как производную от ступенчатой
функции δ(t)=1′(t), находим, что импульсная переходная функция K(t) равна производной от переходной
функции h(t)
K(t)=h′(t)
Для апериодического звена
K(t)
d
KU 0вх t
h(t)
e ,
dt
K() 0.368
KU 0вх
.
Наконец, рассмотрим реакцию звена на линейно-изменяющуюся функцию
U 0 t , t 0
U вх (t) вх
.
0
,
t
0
Такое воздействие можно рассматривать как интегрально преобразованную ступенчатую функцию
t 0
U вх (t) U вх 1(t)dt U 0вх t .
0
В соответствии с этим реакцию на такое воздействие можно определить как интеграл
от переходной функции
t
t
t
t
0
0
U (t) h (t)dt KU (1 e )dt KU [t (1 e )] .
вых
вх
вх
0
0
1.3.2.1.2.Частотныехарактеристикиапериодическогозвена
Для изучения установившейся реакции звена на гармонический входной сигнал, который действует так долго, что переходные процессы затухли, рассмотрим его частотные характеристики. Обозначим входной сигнал
Uвх(t)=Uвхsin(ωt+φвх).
Комплексная амплитуда этого воздействия выражается следующим образом:
U вх U вх e jвх ,
где j 1 – оператор Штейнмеца.
Реакция звена на гармоническое воздействие также будет гармонической
Uвых(t)=Uвыхsin(ωt+φвых).
с комплексной амплитудой
U вых U вых e jвых
Комплексные амплитуды входного и выходного сигналов связаны с помощью
комплексного коэффициента передачи W(jω):
35
U вых W( j) U вх .
В автоматике комплексный коэффициент передачи W(jω) называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой. Она получается на основе передаточной функции W(p)
путем замены p=jω и описывает, как уже отмечалось, установившийся процесс при синусоидальном входном сигнале.
Поскольку функция W(jω) является комплексной, её можно представить в показательной форме
W(jω)=|W(jω)|ejargW(jω) .
Модуль |W(jω)| и аргумент argW(jω) определяют соотношения между амплитудами и
фазами колебаний.
Uвых=|W(jω)|Uвх ,
φвых=φвх+argW(jω) .
Значение W(jω) при конкретной величине ω можно представить в виде вектора на
комплексной плоскости, причем положительным значениям argW(jω) соответствует направление против часовой стрелки. С изменением ω будет изменяться как модуль |W(jω)| , так и
аргумент argW(jω) вектора W(jω). Годограф, описываемый вектором W(jω) при изменении
частоты ω от 0 до ∞ называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой.
Определим частотные характеристики апериодического звена. Проведя подстановку
p=jω из передаточной функции, получаем амплитудно-фазовую частотную характеристику
W(jω)=K/(1+jωτ).
Модуль |W(jω)| называется амплитудно-частотной характеристикой и равен
|W(jω)|=K/ 1 () 2 ,
а аргумент argW(jω) – фазочастотной характеристикой
φ(ω)=-arctgωτ .
Амплитудно-частотную характеристику можно выразить через фазо-частотную следующим образом:
|W(jω)|=K/ 1 tg 2 =Kcosφ(ω) .
На рис.1.52 приведены графики амплитудной, фазовой и амплитудно-фазовой частотных характеристик.
Представляя функцию W(jω) в алгебраической форме
W(jω)=ReW(jω)+jImW(jω) ,
приходим к вещественной ReW(jω) и мнимой ImW(jω) амплитудно-частотным характеристикам. Для апериодического звена они получаются путём умножения числителя и знаменателя
W(jω) на функцию, комплексно-сопряженную знаменателю
34
36
W(jω)=
K (1 j)
K
K
j
.
2 2
2 2
1
1
1 2 2
Таким образом
ReW(jω)=
K
,
1 2 2
ImW(jω)=-
K
.
1 2 2
На рис.1.53 приведены графики этих функций.
Все приведенные частотные характеристики, кроме φ(ω), содержат исчерпывающую
информацию о динамических свойствах звена и определяются двумя параметрами — коэффициентом усиления K и постоянной времени τ.
Фазочастотная характеристика φ(ω)=-arctgωτ определяется только постоянной времени τ.
1.3.2.2. Резонансный LC-усилитель
Резонансный LC-усилитель используется в схемах радиоавтоматики в тех случаях,
когда сигнал в контуре регулирования высокочастотный.
KTP
Его передаточная функция описывается оператором W(p) 2 2
, где
T P 2TP 1
K=R0eS/Q ;
S – крутизна характеристики элемента, на котором построен резонансный усилитель;
1 L
Q=
– добротность колебательного контура;
R C
R0e=L/RC=RQ2 – сопротивление контура на резонансной частоте ω0;
T=1/ω0= LC .
Однако, если усиливаемый сигнал представляет собой амплитудно-модулированное
колебание, то модель резонансного усилителя можно свести к апериодическому звену. С
этой целью рассмотрим его частотные характеристики (рис.1.54)
KT
2T
arctg
,
φ(ω)=
|W(jω)|=
(1 T 2 2 ) 2 (2T) 2
2
1 T2 2
и сравним их с соответствующими характеристиками апериодического звена.
35
37
Видно, что по характеру они похожи, но смещены на частоту ω0, при этом полезно
продолжить частотные характеристики апериодического звена в область отрицательных частот. Для определения параметров аппроксимирующего апериодического звена представим
амплитудно-частотную характеристику резонансного усилителя в виде:
KT
2T
|W(jω)|=
2 .
1 T 2 2
1
2T
Обычно резонансный усилитель используется для усиления сигналов на частотах,
близких к частоте ω0. При этом выполняется условие |ω-ω0|<<ω0, из которого следует приближенное равенство
1 T 2 2 (
)(0 )
0
0
,
20
0
0
2T
где ∆ω=ω-ω0.
Выражение для амплитудно-частотной характеристики теперь можно представить в
виде
K / 2
,
|W(jω)|
2
1
0
откуда следует, что резонансный усилитель на частотах, близких к резонансной, ведет себя
аналогично усилителю постоянного тока с RC-фильтром, т.е. является апериодическим звеном на переменном токе. Его передаточная функция имеет вид
W(p)=Ka/(Tap+1), где Ka=K/2ξ , Ta=T/ξ=1/ω0ξ .
В отличие от усилителя постоянного тока его частотные характеристики смещены на
величину ω0 и выражаются относительно частоты ∆ω=ω-ω0.
В приведенной передаточной функции:
p=σ+j∆ω
Рассмотрим прохождение амплитудно-модулированного (АМ) колебания через резонансный усилитель.
36
38
Пусть на вход резонансного усилителя поступает АМ колебание
Uвх(t)=U0(1+mcosΩt)cosω0t ,
которое естественным образом содержит несущую и две боковые частоты
Uвх(t)=U0cosω0t+
mU 0
2
cos(ω0+Ω)t+
mU 0
2
cos(ω0-Ω)t .
Найдем соответствующие компоненты выходного колебания апериодического звена с
амплитудно-фазовой частотной характеристикой:
W(j∆ω)=Ka/(1+jTa∆ω) , ∆ω=ω-ω0
Uвых(t)=W(j0)U0cosω0t+
mU 0
2
{W(jΩ)cos(ω0+Ω)t+W(-jΩ)cos(ω0-Ω)t} .
В полученном выражении имеем
|W(jΩ)|=Kacosφ(Ω), |W(-jΩ)|=Kacosφ(-Ω)=|W(jΩ)| ,
φ(Ω)=-arctgTaΩ , φ(-Ω)=arctgTaΩ ,
поэтому
Uвых(t)=KaU0cosω0t+
mU 0
2
|W(jΩ)|{cos[ω0t(Ωt+φ(Ω))]+cos[ω0t-(Ωt+φ(Ω))]}=
=U0[Ka+m|W(jΩ)|cos(Ωt+φ(Ω))]cosω0t , φ(Ω)=-arctgTaΩ .
Из последнего соотношения видно, что амплитуда огибающей передается с коэффициентом передачи |W(jΩ)|=Kacosφ(Ω), а фаза отстает на величину φ(Ω)=-arctgTaΩ.
Если входным сигналом считать огибающую Eвх=mU0cosΩt, то выходная величина
равна
Eвых=m|W(jΩ)|U0cos[Ωt+φ(Ω)] .
Таким образом, апериодическим свойством резонансный усилитель обладает именно
по отношению к огибающей модулированного колебания. Уравнение резонансного усилителя в терминах огибающей имеет вид:
E (t)
E вых (t) K a E вх (t) .
Ta вых
dt
На рисунке 1.55 приведены: переходная характеристика резонансного усилителя и соотношения между его входными и выходными амплитудами и фазами на частоте Ω.
37
39
1.3.2.3. Избирательные RC-усилители
Для усиления сигналов переменного тока низкой частоты в схемах радиоавтоматики
обычно используются резонансные RC-усилители. Резонансные явления в них обеспечиваются наличием двух реактивных элементов емкостного типа. Рассмотрим две конкретные
схемы.
1.3.2.3.1.РезонансныйRC-усилительсположительнойобратнойсвязью
Схема содержит два операционных усилителя с апериодическим и дифференцирующим фильтрами с одинаковыми R и C (рис.1.56).
Передаточная функция разомкнутой системы равна
Wp(p)=K
TP
,
(TP 1) 2
где K – коэффициент передачи двух последовательно соединенных усилителей, T=RC .
Передаточная функция замкнутой системы, то есть резонансного RC-усилителя
равна
W(p)=
KTP
.
T P (2 K )TP 1
2
2
Сравнивая полученный оператор с передаточной функцией резонансного LC-усилителя, находим их эквивалентными, причем коэффициент затухания и добротность резонансного RC-усилителя определяются лишь коэффициентом передачи:
Q=1/(2-K) , ξ=1-K/2 .
Недостатком усилителя является ограниченность коэффициента передачи K<2. Нарушение этого неравенства приводит к самовозбуждению усилителя.
1.3.2.3.2РезонансныйRC-усилительсотрицательнойобратнойсвязью
Вторая схема содержит два дифференцирующих фильтра (рис.1.57)
Передаточная функция разомкнутой системы:
Wp(p)=
KT 2 P 2
2 .
(1 TP)
Передаточная функция замкнутой системы:
W(p)=
KT2 P 2
.
(K 1)T 2 P 2 2TP 1
Как видно, угроза возбуждения при
больших K устранена, но от него теперь зависят не только добротность Q= K 1 /2 , но и резонансная частота ω0=1/T K 1 .
1.3.2.4 Магнитные усилители
Магнитные усилители используются в маломощных следящих системах для усиления
сигналов низкой частоты.
В настоящее время известно очень большое число разнообразных схем магнитных
усилителей, перекрывающих низкочастотный диапазон вплоть до верхней границы звуковых
38
40
частот. Широкое распространение магнитных усилителей определяется рядом достоинств, а
именно: высокий коэффициент усиления вплоть до 106, простота, надежность, возможность
использования в экстремальных условиях, стабильность характеристик, долговечность.
Для уяснения принципа работы магнитного усилителя рассмотрим
простейший дроссельный магнитный усилитель (рис.1.59), эквивалентная
схема которого приведена на рисунке 1.58.
Ток нагрузки iн в рассматриваемой цепи определяется из условия
U~
iн=
R (L) 2
2
н
,
где ω – частота питающего напряжения. Изменяя индуктивность L цепи,
изменяем ток нагрузки iн и выходное напряжение Uн. Если мощность, снимаемая в нагрузку,
больше мощности, расходуемой на изменение индуктивности L, то тем самым достигается
эффект усиления.
Изменение индуктивности цепи нагрузки осуществляется усиливаемым сигналом с
помощью обмотки управления (рис1.59), которая имеет большое число витков.
Ток управления подмагничивает сердечник в соответствии с характеристикой намагничивания и из-за
нелинейности указанной зависимости изменяет магнитную проницаемость μ. Особенно это ярко выражено на интервале H1 H2 (участок нелинейности). Так
как индуктивность L катушки, намотанной на сердечник с магнитной проницаемостью μ, находится в прямой зависимости от величины μ
0.4W~2 S 8
L
10 гн ,
l
где S — площадь поперечного сечения сердечника, l –
длина сердечника, W~ – число витков обмотки переменного тока, то с изменением входного сигнала изменяется индуктивность L обмоток W~ и в конечном итоге ток нагрузки (рис1.60). Величина iнmin – ток холостого хода соответствует максимальным значениям μ и L ,
величина iнmax определяется насыщением сердечника.
Отметим недостаток рассмотренной схемы. Из-за
большого числа витков в обмотке управления в ней наводится от обмотки переменного тока большая ЭДС.
Это отрицательно сказывается на работе предшествующего каскада и кроме того требует повышения качества изоляции входных цепей магнитного усилителя.
Можно было бы защитить предыдущий каскад от
вредного действия высокого напряжения с помощью
дросселя, но это приведет к дальнейшему увеличению
и без того значительной инерционности усилителя.
Использование трехстержневых сердечников снимает
эту проблему (рис.1.61). В этой схеме обмотки переменного тока W~ намотаны одинаково, а включены
встречно (н-к, к-н), поэтому в центральный стержень
переменный магнитный поток Ф~ (пунктир) не пойдет,
вместе с тем постоянные магнитные потоки Фу, Фсм,
порожденные в центральном стержне, замыкаются че39
41
рез крайние стержни (сплошные линии), обеспечивая тем самым работу магнитного усилителя.
Часто требуется производить смещение
характеристики усилителя вправо или влево
(рис.1.62). Это достигается путем использования
обмотки смещения (рис.1.61), укладываемой рядом с обмоткой управления. Обмотка смещения
питается от источника постоянного тока и создает поток смещения Фсм. В экстремальных
точках ампервитки управления и смещения равны по величине и противоположны по
направлению, сердечник не подмагничен, величины μ и L максимальны, ток нагрузки минимален.
Для достижения желаемого значения коэффициента усиления в магнитных усилителях используется обратная связь. Способы введения обратной связи многообразны, рассмотрим некоторые, а именно, магнитный усилитель с внешней обратной связью и магнитный
усилитель с внутренней обратной связью. На рис. 1.63. представлена схема магнитного усилителя с внешней обратной связью, которая вводится с помощью специальной обмотки Wос.
Через эту обмотку протекает выпрямленный ток, обеспечивающий при одном направлении
ампер-витков управления положительную обратную связь, при противоположном – отрицательную. Это обусловлено неизменностью направления ампер-витков обратной связи.
40
42
Магнитный усилитель с внутренней обратной связью (рис.1.64). не имеет специальной обмотки обратной связи. Её роль играет нагрузочная обмотка, через которую протекает
выпрямленный однополупериодный ток. Постоянная составляющая этого тока обеспечивает
поток обратной связи. Нагрузочная характеристика аналогична предыдущей схеме.
Рассмотрим схему еще одного магнитного усилителя, собранного по трансформаторной схеме (рис.1.65). В трансформаторном магнитном усилителе в отличие от ранее рассмотренных дроссельных нагрузка подключена к специальной нагрузочной обмотке Wн . Такой
магнитный усилитель представляет собой трансформатор, коэффициент трансформации которого регулируется с помощью входного сигнала iу. При изменении (iw)у меняется магнитная проницаемость μ, вследствие чего меняется коэффициент связи между обмотками W~ и
Wн. На рисунке 1.65 приведена нагрузочная характеристика трансформаторного магнитного
усилителя.
Рассмотренные схемы магнитных усилителей однотактны. Однако в схемах радиоавтоматики в большинстве случаев используются двухтактные или реверсивные магнитные
усилители, В таких магнитных усилителях усиленный сигнал изменяет свой знак или фазу на
противоположные при изменении знака входного сигнала. Двухтактные магнитные усилители осуществляются путем соответствующего включения двух однотактных магнитных усилителей.
Рассмотрим две конкретные схемы двухтактных усилителей, собранных из двух однотактных: дифференциальную схему и мостовую.
На рис. 1.66 приведена дифференциальная схема двухтактного магнитного усилителя
с выходом на переменном токе. Такой магнитный усилитель часто используется для управления двигателем переменного тока. Как следует из схемы два усилителя питаются от одного
трансформатора, вторичная обмотка которого имеет средний вывод, Обмотки управления и
смещения включены таким образом, что в одном магнитном усилителе соответствующие потоки совпадают, а в другом — противоположны . В результате этого характеристика одного
магнитного усилителя смещена влево, а другого вправо, Так как через нагрузку протекает
разностный ток двух магнитных усилителей, то и характеристика двухтактного магнитного
усилителя представляет собой разность характеристик двух однотактных усилителей. При
изменении знака входного сигнала изменяется фаза разностного тока нагрузки на 180°.
На рис. 1.67 приведена мостовая схема двухтактного усилителя. Обмотки переменного тока двух магнитных усилителей соединены по мостовой схеме, причем обмотки каждого
усилителя включены в противоположные плечи моста. Обмотки смещения и управления
скоммутированы таким образом, что в одном магнитном усилителе соответствующие потоки
совпадают по направлению, а в другом — противоположны. Поэтому индуктивности обмо41
43
ток переменного тока будут в зависимости от ампервитков управления меняться в соответствии с графиками на рис.1.67.
Индуктивности достигают максимального значения при равенстве величин ампервитков управления и смешения (iw)у=(iw)см и противоположности их знаков. При условии
(iw)у=0 индуктивности всех 4-х обмоток одинаковы, мост уравновешен, ток нагрузки равен
нулю. Если (iw)у≠0, то одна пара индуктивностей становится больше другой, мост разбалансируется и через нагрузку течет ток. Фаза тока зависит от того, в каком соотношении находятся индуктивности обмоток магнитного усилителя. При изменении направления тока
управления изменяется фаза тока нагрузки на 180°.
Рассмотрим уравнение магнитного усилителя. Так как наибольшее число витков имеет обмотка управления, то по сравнению с ее инерционностью инерционностью прочих обмоток можно пренебречь. При таком представлении эквивалентная схема магнитного усилителя изображена на рис.1.68. По второму закону Кирхгофа имеем
di у
1
di у
U у , где Tу= Lу/ Rу.
T
iу
или
R
i
U
у
Lу
у у
у
dt
Rу
dt
Рассматриваемое уравнение является нелинейным, т.к. коэффициент Tу является функцией входного сигнала iу. Однако, предполагая, что
усилитель работает в контуре системы автоматического регулирования,
который обычно работает при малых сигналах (ошибка постоянно отрабатывается и не достигает больших значений) можно полагать величину Lу и
Tу постоянными, а соответствующее уравнение – линейным.
Полагая, что выходное напряжение пропорционально току управления Uн=K1iу, имеем:
dU н
U н KU у , где K=K1/Rу.
Tу
dt
44
Из полученного уравнения следует, что магнитный усилитель представим в виде апериодического звена с передаточной функцией
W(p)=K/(Tуp+1) .
1.3.3. Исполнительные элементы
В схемах радиоавтоматики используются самые разнообразные исполнительные элементы; электрические двигатели постоянного и переменного тока, электронные интеграторы,
электронные лампы, транзисторы, управляемые емкости и индуктивности, гидравлические и
пневматические исполнительные элементы, порошковые муфты и т.д. Рассмотрим некоторые из них.
1.3.3.1. Двигатель постоянного тока
Двигатель постоянного тока (рис.1.69) используется в мощных следящих системах.
Под действием напряжения eα протекает ток iя, который создает магнитный поток фя.
Поток фя, взаимодействуя с потоком возбуждения фв, создает
вращающий момент, приложенный к якорю двигателя. При
вращении якоря двигателя в нем наводится противоЭДС,
пропорциональная скорости вращения ω.
Составим уравнение цепи пренебрегая величиной Lя,
так как основным источником инерционности, значительно
превышающим величину Lя/Rя, является инерционность механической нагрузки. По закону Кирхгофа имеем:
eα= Rя iя+Ceω ,
где Ce – коэффициент противоЭДС.
Разрешаем уравнение относительно тока якоря
iя=(eα-Ceω)/ Rя .
При постоянном значении потока возбуждения, удовлетворяющем условию фв>>фя
вращающий момент двигателя пропорционален величине потока якоря фя и тем самым току
якоря iя
e C e
Mдв=Cмiя=Cм ф
.
Rя
Этот момент, затрачивается на преодоление момента нагрузки Mн и момента инерции J
Mдв= Mн+ J
или J
d
dt
d
e C e
+ M н= Cм
.
dt
Rя
Соберем члены, содержащие ω в одной части уравнения
J
e
d Cм Cе
C м М н .
+
Rя
Rя
dt
Умножив обе части уравнения на величину
Rя
, получим:
Cм Cе
d
dt
45
T
где T=J
d
+ω=K(eα-eтр) ,
dt
46
, K=1/Ce
47
, eтр
48
=
R
ф я
Mн
Cм
– напряжение трогания.Cм Cе
Таким образом, в случае, когда в качестве выходной величины рассматривается скорость вращения ω, двигатель постоянного тока представляется в виде последовательного соединения сравнивающего устройства и апериодического звена. Сравнивающее звено обусловлено следующим представлением: если eα>eтр – ротор двигателя вращается, если eα≤eтр –
ротор двигателя не вращается. В рассматриваемом случае происходит сравнение напряжения
управления с напряжением трогания. Результат сравнения представляется состоянием якоря
двигателя.
В большинстве случаев выходной величиной двигателя служит не скорость вращения
t
якоря ω, а его угловое положение α. Эти величины связаны соотношением α= (t)dt . Учи0
тывая эту связь, перепишем дифференциальное уравнение в терминах угла поворота якоря
двигателя
d d
T
K (e eтр ) .
dt dt
Соответствующая передаточная функция имеет
вид
W(p)=K/(Tp+1)p ,
ей соответствует структурная схема, приведенная на
рис.1.70.
Таким образом, двигатель постоянного тока, описанный в терминах угловых величин,
представляет собой последовательное соединение сравнивающего устройства, апериодического и интегрирующего звеньев.
Рассмотрим частотные и временные характеристики двигателя постоянного тока.
Амплитудно-фазовая частотная характеристика
равна:
W(jω)=K/jω(1+jωT)
Представим её в алгебраической форме
W(jω)=
терные точки
KT
K
j
и найдем харак2
2
(1 2 T 2 )
1 T
49
ω=0 : ReW(jω)=-KT , ImW(jω)=-∞ ,
ω=1/T : ReW(jω)=-KT/2 , ImW(jω)=-KT/2 ,
ω=∞ : ReW(jω)=-0 , ImW(jω)=-0 .
На рис. 1.71 изображен годограф вектора W(jω).
Рассмотрим переходную характеристику. В силу
апериодичности двигателя постоянного тока мы имеем
основание записать:
h(t)=K(e0α-eтр)(1-e-t/T)=ω(t).
Соответственно для угла поворота α(t):
t
α(t)= (t)dt =K(e0α-eтр)[t-T(1-e-t/T)] .
0
Из графика, функции h(t) (рис.1.72) видно, что двигатель
постоянного тока выполняет операцию интегрирования
при t>>T. В приведенных выражениях не учитывалась
постоянная интегрирования С. Её учет перемещает всю картину по оси ординат на величину
С.
1.3.3.2. Двухфазный асинхронный двигатель
Используется в маломощных следящих системах на переменном токе. Ротор двигателя полый короткозамкнутый в виде либо "беличьего колеса", либо в виде тонкостенного стакана. Материал ротора немагнитный — медь, алюминий. Статор двигателя (рис.1.73) имеет
две обмотки, ориентированные в пространстве под углом 90°. Одна из этих
обмоток, обмотка возбуждения Wв , питается от сети переменного тока,
вторая обмотка Wу получает питание от управляющего усилителя.
Амплитуда и фаза управляющего напряжения зависят от величины
и знака сигнала рассогласования следящей системы.
В одном случае фаза управляющего напряжения совпадает с фазой
напряжения возбуждения Uв, в другом – отличается на 180°. Благодаря наличию емкости С ток и поток возбуждения сдвинуты по фазе относительно
потока управления на ±900. Это приводит к тому, что совокупный результирующий поток статора фс вращается. Если порождающие его потоки
фв и фу одинаковы по амплитуде то величина результирующего потока постоянна и соответствующий вектор описывает окружность. При неравенстве указанных потоков величина результирующего потока меняется, а соответствующий вектор описывает эллипс. Направление вращения потока определяется соотношением фаз порождающих потоков: при φв-φу=π/2 – по часовой, при φв-φу=-π/2 против часовой стрелки, в свою очередь знак
разности определяется соотношением фаз напряжений управления и возбуждения; при их равенстве "+", при их противофазности "-".
Вращающийся поток статора наводит в роторе токи, которые порождают поток ротора. В результате взаимодействия потоков статора и ротора создается вращающий момент.
Необходимо отметить, что скорость вращения ротора Ω не может превосходить скорости
вращения потока статора Ω0, так как именно благодаря разности этих скоростей появляется
вращающий момент. Величина S=(Ω0-Ω)/Ω0 называется скольжением и характеризует относительную разность указанных скоростей.
При малых величинах сигнала управления вращающий момент пропорционален потоку управления Фу и величине скольжения S. Проследим прохождение сигналов. Увеличение Uу приводит к следующей цепочке
Uу↑Фу↑Фс↑Мдв↑Ω↑S↓Мдв↓Ω↓ ,
50
в которой величины Ω и Мдв повторяются дважды: в одном случае они возрастают в
другом – убывают. Эта ситуация соответствует переходному процессу, когда величины М, S
и Ω меняются, В установившемся режиме эти величины соответствуют входному сигналу Uу,
причем Ω и Uу находятся в линейной зависимости:
Ω=K(Uу- Uтр) ,
где Uтр – напряжение трогания. При больших значениях Uу (Фу≥Фв) указанная зависимость перестает
быть линейной.
На рис.1.74 приведены графики скоростных
характеристик двигателя. Угол наклона характеристик определяется коэффициентом передачи
φ=arctgK, напряжение трогания определяется на1
грузкой Uтр=
Mн.
CM
51
Используя уравнение статических скоростных характеристик составим дифференциальное уравнение. В установившемся режиме
Мн=Мдв , поэтому
Мдв=См(Uу-Ω/K)
В переходном режиме вращающий момент уравновешивается моментом нагрузки и
моментом инерции
d
Мдв=Мн+J
;
dt
в результате имеем:
J
d
+ Мн =Cм (Uу -Ω/K).
dt
Приводя уравнение к стандартному виду, получим
τ
K
1
d
+Ω=K(U у-Uтр) , где τ=J
, U тр=
Мн .
Cм
Cм
dt
Учитывая равенство α=∫Ω(t)dt, переходим к дифференциальному уравнению относительно угла поворота
d d
(τ
+α)=K(Uу-Uтр ).
dt dt
Переходя к операторным уравнениям, получим
Ω(p)=
K
[U (p)-Uтр(p)] ,
p 1 у
α(p)=
K
(p)
=
[U (p)-Uтр(p)] .
p(p 1) у
p
52
Таким образом, двухфазный асинхронный двигатель имеет такие же характеристики
как двигатель постоянного тока и представим в виде последовательного соединения сравнивающего устройства (Uу(p)-Uтр(p)), апериодического K/(τp+1) и интегрирующего 1/p звеньев.
53
ГЛАВА II.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ НЕПРЕРЫВНЫХ
РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ АВТОМАТИКИ
Первый вопрос, возникающий при изучении теории регулирования – это составление
математической модели системы. Для непрерывных систем адекватной моделью является
дифференциальное уравнение или передаточная функция, для дискретных систем – разностное уравнение и дискретная передаточная функция. Изучение начнем с аналоговых систем.
2.1.СТРУКТУРНАЯСХЕМАИТИПОВЫЕЗВЕНЬЯ
При составлении дифференциального уравнения или передаточной функции системы
большую роль играет структурная схема. Она представляет собой совокупность типовых звеньев, связанных между собой имеющимися в системе связями. По внешнему облику она напоминает функциональную схему, но может отличаться от нее значительным образом по
числу звеньев. Если в функциональной схеме отдельные звенья различаются по функциональному назначению, то структурная схема разбивается на типовые звенья в соответствии с
дифференциальными уравнениями, которыми описываются отдельные участки контура регулирования. Существуют различные подходы к разбиению структурной схемы на типовые
звенья. Мы будем опираться на базовое звено второго порядка с передаточной функцией:
b0 p 2 b1 p b 2
W(p)
.
2
a 0p a 1p a 2
Приравнивая к нулю некоторые коэффициенты b0, b1, b2, a0, a1, a2, получаем различные
типовые звенья, число которых ограничено.
Вводя в рассмотрение кроме этого различные типовые нелинейные звенья, дискретные элементы, звенья, задержки и т.п., можно описать любую систему автоматического регулирования.
Функциональные устройства, входящие в состав контура регулирования часто (но не
всегда!) обладают свойством направленного действия, благодаря которому передаточная
функция последовательного соединения таких устройств может быть получена как результат
перемножения передаточных функций каждого из устройств. Например, передаточная функK
1
, но передаточная функция двух
ция двигателя постоянного тока есть произведение
Tp 1 p
54
последовательно соединенных RC-фильтров не
есть
произведение
передаточных
функций двух апериодиче- ских звеньев (рис.2.1 без
эмиттерного повторителя (ЭП))
W(p)=1/[(C1R1C2R2)p2+( C1R1+C1R2+C2R2)p+1] .
Для наглядности положим оба фильтра одинаковыми R1=R2=R, C1=C2=C, тогда, обозначая CR=T, имеем:
W(p)=1/(T2p2+3Tp+1) .
Но передаточная функция двух последовательно соединенных через эмиттерный повторитель фильтров с одинаковыми параметрами (рис.2.1) равна
W(p)=
K
K
2 2
,
2
(Tp 1)
T p 2Tp 1
где K – коэффициент передачи эмиттерного повторителя.
Рассмотрим некоторые типовые звенья.
1. Безинерционное звено. Его передаточная функция от частоты не зависит:
W(p)=b2/a2=K ,
амплитудно-частотная характеристика:
|W(jω)|=K ,
фазочастотная характеристика:
φ(ω)=argW(jω)=0.
Вещественная амплитудно-частотная характеристика
ReW(jω)=K .
Мнимая амплитудно-частотная характеристика
ImW(jω)=0 .
Переходная характеристика
h(t)=g01(t) .
Примерами безинерционного звена могут служить широкополосный усилитель,
редуктор, рычаг и т.п., в автоматике безинерционными, являются таковыми, только для определенных сигналов, с ограниченными спектральными характеристиками.
2. Апериодическое звено.
W(p)=K/(Tp+1), K=b2/a2, T=a1/a2.
Достаточно подробно изучено в первой части курса.
3. Интегрирующее звено
W(p)=K/p, K=b2/a1.
Амплитудно-фазовая частотная характеристика W(jω)=-jK/ω совпадает с отрицательной частью мнимой оси (рис.2.2). Вещественная часть
равна нулю, поэтому амплитудно-частотная |W(jω)| и мнимая амплитудно-частотная ImW(jω) характеристики совпадают с точностью до знака:
|W(jω)|=K/ω, ImW(jω)=-K/ω .
Переходная характеристика (рис.2.3)
K 1
55
h(t)=L-1
=Kt .
p p
56
Примеры: электрические двигатели, электронные интеграторы.
4. Идеальное дифференцирующее звено
W(p)=Kp, K=b1/a2 .
Амплитудно-фазовая частотная характеристика (рис.2.4)
W(jω)=jKω
совпадает с положительной частью мнимой оси. Здесь также совпадает амплитудно-частотная и мнимая амплитудно-частотная характеристики
|W(jω)|=JmW(jω)=Kω .
Переходная характеристика (рис.2.5) представлена дельта-функцией. Пример: RCцепь (рис. 2.6).
Составим передаточную функцию цепи, которая обычно называется дифференцирующей
U (p )R
Kp
U (p) ,
U2(p)=i(p)R= 1
R 1/ Cp Tp 1 1
где T=K=RC .
Рассматривая отношение U2(p)/U1(p), приходим к передаточной функции
1
W(p)= U2(p)/U1(p)=Kp
.
Tp 1
Таким образом, рассмотренная цепь есть последовательное
соединение идеального дифференцирующего и апериодического
звеньев.
Это связано с тем, что в операторе W(p)=Kp нарушено условие физической реализуемости, так что сопутствующее апериодическое звено – это плата за реализуемость.
5. Колебательное звено
W(p)=K/(T2p2+ξTp+1), K=b2/a2, T=
a1
a
.
, ξ=
a2
2 a 0a 2
ф0
Амплитудно-фазовая частотная характеристика:
W(jω)=K/(1-T2ω2+j2ξTω)
Амплитудно-частотная характеристика:
|W(jω)|=K/ (1 - T 2 2 2 (2T 2 .
Фазочастотная характеристика:
2T
φ(ω)=-arctg
.
1 T 2 2
Графики этих двух функций существенным образом зависят от параметра ξ – коэффициента затухания. При условии 0<ξ<1 имеем собственно устойчивое колебательное звено,
при ξ=1 колебательное звено вырождается в два последовательно соединенных одинаковых
апериодических звена, при ξ>1 получаем два разных апериодических звена, при ξ<0 приходим к неустойчивому звену, при ξ=0 получаем консервативное звено – колебательное звено
без затухания:
57
ξ=0 W(p)=K/(T2p2+1) ,
ξ=1 W(p)=K/(T2p2+2Tp+1)=K/(Tp+1)2 ,
ξ>1 W(p)=K/[(T1p+1)(T2p+1)] ,
ξ<0 W(p)=K/(T2p2-2ξTp+1) .
В последнем выражении в знаменателе появилось чередование знаков – признак неустойчивости звена. На рис.2.7 приведены графики амплитудно-частотной и фазочастотной
характеристик, а также годограф амплитудно-фазовой частотной характеристики для различных значений ξ.
49
58
Вещественную и мнимую амплитудно-частотные характеристики
K2 T
K(1 T 2 2 )
ReW(jω)=
ImW(jω)=
2 2 2
2 ,
(1 T 2 2 ) 2 (2 T) 2
(1 T ) (2T)
можно рассматривать как проекции амплитудно-фазовой частотной характеристики на вещественную и мнимую оси соответственно (рис.2.8).
Переходная характеристика колебательного звена (рис 2.9)
t
T
1 2
1 2
e
.
h(t)=1t arctg
sin
2
T
1
50
59
Примером колебательного звена является колебательный контур. Найдем его передаточную функцию (рис.2.9).
U1 (p)
i(p)=
R Lp
U1
1
Cp
1
=
.
ф1 , U2(p)=i(p)
1
Cp
R Lp
Cp
Cp
По определению:
W(p)=
U 2 (p)
U 1 (p)
1
R C
, где обозначено T= LC , ξ=
.
T p 2Tp 1
2 L
2
2
Рассмотрим еще несколько специальных звеньев, используемых при коррекции систем регулирования.
6. Дифференцирующее звено первого порядка
W(p)=K(1+Tp) , K=b2/a2 , T=b1/a2 .
Амплитудно-фазовая частотная характеристика
W(jω)=K(1+jωT) .
Амплитудно-частотная характеристика
|W(jω)|=K 1 2 T 2 .
Фазочастотная характеристика
φ(ω)=arctgωT .
На рис.2.10 приведены некоторые графики
1
]=K[1(t)+Tδ(t)] подставляет собой сумму
p
ступенчатой функции и дельта-функции (рис.2.11).
Это звено нереализуемо и рассмотрено в интересах дальнейшего изложения.
Переходная характеристика h(t)=L-1[(Tp+1)
7. Звено с опережением по фазе
W(p)=K
T1p 1
b1
a1
b2
, K=
, T1= , T2= , T1>T2 .
T2 p 1
b2
a2
a2
51
60
Оно представляет собой последовательное соединение дифференцирующего звена
первого порядка и апериодического звена и используется для коррекции систем автоматического регулирования. Рассмотрим схему (рис. 2.12), реализующую заданное звано, и найдем
ее передаточную функцию
i(p)=
U1 (p)
1 ,
pC
R 2
1
R 1
pC
R1
U2(p)=i(p)R2=U1(p)
α=
R 2 (R1 Cp 1)
Tp 1
U1(p)α
,
R 1 R 2 Cp R1 R 2
Tp 1
R2
, T=R1C .
R1 R 2
Таким образом, передаточная функция равна:
W(p)=
U 2 (p)
Tp 1
.
U1 (p)
Tp 1
Рассмотрим фазочастотную характеристику звена
φ(ω)=argW(jω)=φ1-φ2 ,
φ1=arctgωT ,
φ2=arctgαωT .
Она предоставляет собой разность двух арктангенсоид
(рис.2.13а)
и обеспечивает желаемое опережение по фазе в зависимости от выбора параметра α
(рис.2.13б). Из уравнения dφ/dω=0 находим частоту, соответствующую максимальному
опережению по фазе ωm=1/T . Подставляя это значение частоты в выражение для φ, находим:
φ(ω)max=arcsin
1
.
1
Этим звеном следует пользоваться при обеспечении небольших значений опережения
по фазе, т.к. по мере приближения к предельному значению опережения по фазе π/2 возрастает затухание, вносимое звеном в контур регулирования.
52
61
8. Звено с отставанием по фазе имеет такую же передаточную функцию, что и предшествующее звено, но теперь T1<T2.
Рассмотрим цепь (рнс.2.14), реализующую такую передаточную функцию. Проводя
выкладки, аналогичные предыдущему, находим
W(p)=
R2
1 Tp
, α=
, T=C(R1+R2) .
R1 R 2
1 Tp
Фазовая характеристика этого звена равна φ(ω)=φ1-φ2, (рис.215) φ1=arctgαTω,
φ2=arctgωT.
9. Звено задержки описывается уравнением x(t)=g(t-τ). При подаче на вход воздействия в виде дельта/импульса δ(t) выходной сигнал совпадает с импульсной переходной
функцией x(t)=K(t)=δ(t-τ). Преобразование Лапласа от нее (L[K(t)]) есть передаточная функция
pt
pt
W(p)= (t )e dt e , последняя известна как оператор задержки.
0
Амплитудно-фазовая частотная характеристика W(jω)=e-jωτ представляет собой окружность единичного радиуса с бесчисленным множеством витков (катушка). Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики равны соответственно:
|W(jω)|=1
φ(jω)=-ωτ .
Вещественная и мнимая амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) периодичны:
ReW(jω)=cosωτ,
ImW(jω)=-sinωτ.
53
62
Любопытной и вместе с тем практически важной
является совокупность звена задержки и интегратора
(например, в цифровых системах): W(jω)=e-pτ/p . Построим
sin j cos
годограф вектора W(jω)=
(рис.2.17).
Низкочастотная ветвь прижимается к асимптоте:
ω→0,
sin
ReW(jω)=
=-τ, ImW(jω)=-∞ ,
с ростом же частоты начинают чередоваться корни мнимой и вещественной частей, формируя спираль, радиус
кривизны которой уменьшается по гиперболическому закону. Такой вид годографа существенным образом влияет
на устойчивость контура.
Рассмотренные типовые звенья, как указывалось
выше, являются элементами структурной схемы. Возможны три способа соединения звеньев в схеме: последовательное, параллельное и соединение
обратной связью. При последовательном соединении звеньев передаточная функция совокупности представляет собой произведение передаточных функций элементов
n
W(p)= Wi (p ) ,
i 1
где n – число звеньев, Wi(p), i 1, n – передаточные функции отдельных звеньев. Это свойство следует из определения передаточной функции, как отношения изображения выходного
сигнала к изображению входного.
При параллельном соединении звеньев передаточная функция совокупности представляет собой сумму передаточных функций элементов с учетом знаков выходных сигналов элементов
n
W(p)= Wi (p ) .
i 1
При соединении обратной связью (рис.2.18) имеем следующие соотношения:
X1(p)=G(p)±X2(p) ,
где знак определяется видом обратной связи,
X(p)=W1(p)X1(p) , X2(p)=W2(p)X(p) .
Объединяя все три выражения, находим
X(p)=W1(p)[G(p)±W2(p)X(p)] .
Разрешая уравнение относительно X(p):
X(p)=
W1 (p)G(p )
1 W1 (p)W2 (p)
и строя отношение X(p)/G(p)=W(p), получаем выражение для передаточной функции:
W(p)=
W1 (p)
,
1 W1 (p)W2 (p)
где знак "-" соответствует положительной обратной связи, "+" – отрицательной обратной
связи.
54
63
Учитывая эти три возможных способа соединения звеньев и зная передаточные функции элементов, мы можем получить передаточную функцию всей системы. Она будет выглядеть в виде дробно-рациональной функции:
b 0 p m b1p m 1 ... b m 1p b m K(p)
,
D(p )
a 0 p n a 1p n 1 ... a n 1p a n
если передаточные функции элементов описываются в общем случае в виде:
b p 2 b1 p b 2
Wi(p)= 0 2
.
a 0 p a 1p a 2
Необходимо заметить, что в реализуемой системе должно выполняться условие физической реализуемости n≥m.
2.2.УРАВНЕНИЯИПЕРЕДАТОЧНЫЕФУНКЦИИСАР
Рассмотрим систему автоматического регулирования (рис.2.19) с жёсткой обратной
связью. Термин "жёсткая" означает, что сигнал обратной связи совпадает с точностью до коэффициента пропорциональности с регулируемой переменной. Сравните жесткую обратную
связь со скоростной обратной связью, когда сигнал обратной связи пропорционален производной от регулируемой переменной. Более сложные зависимости определяют как "гибкая"
обратная связь.
Регулятор, представленный в виде единственного блока, может быть как угодно сложным и даже многоконтурным, но нам уже известна его результирующая передаточная функция, во всякое случае мы её можем определить по передаточным функциям отдельных звеньев с учетом способа их сочленения. Обозначим её W(p).
Сигнал ошибки E(t) есть разность между управляющей g(t) и регулируемой x(t) переменными:
E(t)=g(t)-x(t) .
Мы изучаем исключительно замкнутые системы, но и в этом случае полезным является также и понятие разомкнутой системы. Разомкнем нашу систему в цепи обратной связи
перед сравнивающим устройством. (Разрыв помечен на рисунке 2.19 двумя пунктирными линиями.) При этом сигал ошибки будет совпадать с управляющей переменной E(t)=g(t). Полагая, что функция W(p) описывает также и динамические свойства объекта, имеем возможность записать
X(p)=G(p)W(p) .
Это операторное дифференциальное уравнение разомкнутой системы, а W(p) – передаточная функция разомкнутой системы. Если все элементы регулятора и объекта регулирования описываются функциями вида
b p 2 b1p b 2
Wi (p) 0 2
,
a 0 p a 1p a 2
64
55
65
то, как указывалось раньше, функция W(p) есть дробно-рациональная функция, числитель и
знаменатель которой представляются многочленами по степеням p:
W(p)=Kp(p)/Dp(p),
m
n
i 0
i0
mi
n i
Kp(p)= b i p , Dp(p)= ai p .
Значок p напоминает нам, что изучается разомкнутая система.
Перепишем операторное уравнение разомкнутой системы в виде:
X(p)Dp(p)=G(p)Kp(p) .
Ему соответствует классическая запись относительно оригиналов-функций вещественной переменной t:
a0
d nx
dx
dm g
dg
d n1 x
d m 1 g
a
...
a
a
b
... b m 1
bmg
x
b
n1
n
1
0
1
n
n 1
m
m 1
dt
dt
dt
dt
dt
dt
Это дифференциальное уравнение разомкнутой системы, характеристическим многочленом которой является
Dp(p)=a0pn+a1pn-1+…+an .
Перейдем к замкнутой системе:
X(p)=W(p)E(p)=W(p)[G(p)-X(p)] .
Разрешая полученное уравнение относительно X(p), получаем:
W(p)
X(p)=G(p)
1 W(p)
.
Функция Ф=W(p)/(1+W(p)) называется передаточной функцией замкнутой системы.
Выразим её через многочлены разомкнутой системы Dp(p) и Kp(p):
Ф(p)=K(p)/D(p) , K(p)=Kp(p) , D(p)= Kp(p)+ Dp(p) .
Таким образом, числитель передаточной функции замкнутой системы равен числителю передаточной функции разомкнутой системы K(p)=Kp(p), а знаменатель передаточной
функции замкнутой системы равен сумме числителя и знаменателя передаточной функции
разомкнутой системы D(p)= Kp(p)+ Dp(p). Функция D(p) является характеристическим оператором замкнутой системы.
Часто контур регулирования требуется оценивать не только с точки зрения реакции на
управляющее воздействие, но и по реакции на возмущающие воздействия f(t), в этом случае
уравнение разомкнутой системы дополняется еще одним членом
X(p)=W(p)G(p)+V(p)F(p) ,
где V(p) – передаточная функция разомкнутой системы по отношению к возмущающему воздействию. Представленное соотношение справедливо для линейных систем и основано на
принципе суперпозиции. В рассматриваемом случае возмущение приложено к объекту регулирования (рис.2.19), но, вообще говоря, оно может быть приложено к любой точке схемы, в
том числе и ко входу системы. Число возмущающих воздействий может быть произвольным,
число слагаемых в приведенном выражении соответствует числу учитываемых возмущений.
Для замкнутой системы уравнение с учетом возмущения имеет вид:
X(p)=G(p)
W(p)
V(p)
F(p) .
1 W(p) 1 W(p)
66
56
67
Функция Y(p)=V(p)/(1+W(p)) есть передаточная функция замкнутой системы относительно возмущающего воздействия V(p)=X(p)/F(p).
При анализе точности интересуются сигналом ошибки E(t). Запишем операторное
уравнение относительно ошибки
E(p)=G(p)-X(p)=[1-Ф(p)]G(p)-Y(p)F(p) .
Функция ФE(p)=1-Ф(p)=1/(1+W(p))=Dp(p)/D(p) называется передаточной функцией
ошибки относительно управлявшего воздействия. Возмущающее воздействие одинаково сказывается и на регулируемую величину и на ошибку.
2.3.ПЕРЕДАТОЧНЫЕФУНКЦИИСТАТИЧЕСКИХ
ИАСТАТИЧЕСКИХСИСТЕМ
Как отмечалось ранее, статические и астатические системы подразделяются по признаку отсутствия или наличия в контуре интегрирующих звеньев. Так как порядок астатизма
определяется числом нулевых корней характеристического многочлена разомкнутой системы Dp(p)=pDp0(p), то передаточная функция замкнутой астатической системы представима в
виде:
ФE(p)=E(p)/G(p)=Dp(p)/D(p)=pФE0(p) ,
статическая же система характеризуется величиной =0.
Порядок астатизма , характер управляющего воздействия и установившаяся ошибка
находятся в определенной взаимосвязи. Действительно, пусть управляющее воздействие
представимо в виде многочлена
n
g(t)= a i t i 1(t) .
i0
Лапласово изображение такой функции равно
n
G(p)= a i
i 0
i!
,
pi1
а изображение ошибки астатической системы –
n
E(p)=p ФE0(p) a i
i 0
i!
p i1
.
По теореме «о конечном» преобразования Лапласа находим установившуюся ошибку:
0
, n
a
i!
lim E(t) lim pE(t) lim p 1Ф E 0 (p) ii1 const 0 , n .
t
p0
p0
i 0 p
, n
n
Здесь мы видим три возможности: отсутствие установившейся ошибки, некоторое постоянное её значение, и наконец, бесконечно большая ошибка. Причем все три ситуации могут иметь место в астатической системе.
Все определяется соотношением порядка астатизма и показателем динамичности
управляющего воздействия n. Если n=0 (входное воздействие не возрастает неограниченно),
то соответствующее воздействие может быть отработано с заданной точностью статической
системой (вторая строка) и безошибочно астатической системой любого порядка (первая
строка). При n=1 управляющая переменная изменяется с постоянной скоростью продолжительное время, вследствие чего её значения могут достигать сколь угодно большой величи-
68
57
69
ны. Статическая система =0 в таких условиях неработоспособна – ошибка достигает сколь
угодно большого значения (третья строка). Реально такая ситуация приводит к тому, что в
контуре регулирования наблюдается срыв сопровождения, вызванный тем, что изображающая точка выходит за пределы раскрыва характеристики сравнивающего устройства.
Аналогичная ситуация складывается и при n=2, только в этом случае неработоспособными становятся статическая система =0 и астатическая с астатизмом первого порядка =1.
На практике обычно величина n не принимает больших значений, поэтому астатические системы имеют одно, два, редко три интегратора.
Рассмотрим пример на составление передаточной функции конкретной системы радиоавтоматики. Пусть это будет канал сопровождения цели по азимуту в станции с коническим сканированием диаграммы направленности. Её упрощенная функциональная схема
представлена на рис. 2.20.
Составим по этой функциональной схеме структурную (рис.2.21): антенна с приемником представляются сравнивающим устройством с коэффициентом передачи K1, избирательный усилитель апериодическим звеном с передаточной функцией K2/(T1p+1), усилитель мощности апериодическим звеном с передаточной функцией K3/(T2p+1), двигатель постоянного
тока звеньями с передаточной функцией K4/(T3p+1) и 1/p.
Передаточная функция разомкнутой системы
W(p)=
K
, K=K1K2K3K4 .
(T1p 1)(T2 p 1)(T3 p 1)p
Многочлены числителя и знаменателя передаточной функции W(p):
3
Kp(p)=K, Dp(p)= p (Ti p 1) .
i 1
В контуре имеется одно интегрирующее звено, поэтому система астатическая с астатизмом первого порядка =1
W(p)=W0(p)/p; W0(p)= 3
K
(T p 1)
.
i
i1
Передаточная функция замкнутой системы
Ф(p)=
K
3
K p (Ti p 1)
.
i1
58
70
Передаточная функция ошибки
3
p (Ti p 1)
ФE(p)=
i1
3
K p (Ti p 1)
.
i 1
Характеристический оператор замкнутой системы
D(p)=a0p4+a1p3+a2p2+a3p+a4 , a0=T1T2T3 ,
a1=T1T2 +T1T3+T2T3, a2=T1+T2+T3 , a3=1 , a4=K .
Операторное уравнение системы
αa(p)D(p)=αц(p)K(p) ,
соответствующее дифференциальное уравнение:
d 3 a
d 2 a
d
d 4 a
a
a
a 3 a a 4 a K ц .
a0
1
2
3
2
4
dt
dt
dt
dt
В установившемся режиме при αц=const≠0 все производные от регулируемой переменной обращаются в ноль, и дифференциальное уравнение сводится к следующему равенству:
a4αa=Kαц .
Но так как a4=K, то αa=αц или ошибка E=αa-αц=0. Это соответствует представлениям об
астатической системе.
2.4.УСТОЙЧИВОСТЬЛИНЕЙНЫХАВТОМАТИЧЕСКИХСИСТЕМ
Понятие устойчивости в автоматике является фундаментальным. Автоматический регулятор способен функционировать лишь при условии его устойчивости. Введем определение устойчивости. Линейная автоматическая система устойчива, если ее реакция на любое
ограниченное воздействие также ограничена, и неустойчива, если реакция на ограниченное
воздействие неограничена.
Свойство возможной неустойчивости часто затрудняет создание высококачественных
автоматических регуляторов. Поэтому очень важно выявить условия устойчивости, познать
их внутреннюю сущность, установить связь между условиями устойчивости и показателями
качества функционирования автоматических регуляторов.
Запишем операторное уравнение замкнутой системы
X(p)=G(p)Ф(p) ,
которому в области оригиналов соответствует свертка
t
x(t)= k()g(t )d .
0
Функции Ф(p) и k(τ) связаны парой преобразований Лапласа:
pt
Ф(p)= k ()e dt .
0
Предположим, что управляющее воздействие ограничено: |g(t)|≤G0<∞ при любом t>0,
значит |g(t-τ)|≤G0 при любом t≥τ. Оценим абсолютное значение регулируемой переменной
59
71
x(t). Поскольку абсолютная величина интеграла не превосходит интеграла от абсолютной величины, то справедливо неравенство:
t
|x(t)|≤ k() g(t ) d .
0
Увеличивая верхний предел интегрирования до бесконечности и вводя замену
|g(t-τ)|→G0,
мы не нарушаем неравенства, поэтому
|x(t)|≤G0 k() d .
0
Регулируемая переменная x(t) будет ограничена, если ограничен интеграл
k () d <∞ .
0
Вывод: для того, чтобы регулируемая переменная x(t) была ограниченной, достаточно,
чтобы импульсная переходная функция была абсолютно интегрируемой.
Покажем, что это условие является и необходимым. С этой целью допустим, что
k () d =∞ .
0
Выберем при фиксированном t=t0 ограниченное воздействие вида
1
g(t0-τ)=sign k(τ)= 0
1
при
k() 0
при
k() 0
при
k () 0
и подставим его в исходную свертку:
t0
t0
0
0
x(t0)= k()signk ()d k() d .
Это равенство справедливо при любом t0, в том числе и при большом. Но с ростом t0,
как следует из исходной предпосылки, реакция системы будет неограниченно возрастать
lim x(t 0 ) k () d =∞ ,
t
0
0
т. е. невыполнение условия k () d <∞ с необходимостью означает неустойчивость систе0
мы.
Таким образом, для устойчивости линейной автоматической системы необходима и
достаточна абсолютная интегрируемость импульсной переходной функции k(t).
Рассмотрим с этих позиций траекторию свободного процесса xc(t):
xc(t)= k()g(t )d .
t
При ограниченном воздействии |g(t)|≤G0<∞ имеем:
60
72
|xc(t)|≤G0 k () d .
t
Для устойчивой системы импульсная переходная функция абсолютно интегрируема,
поэтому
lim k() d =0 ,
t
t
и, следовательно, в устойчивой системе свободный процесс с течением времени стремится к
нулю:
lim x c (t) 0 .
t
Поскольку регулируемая переменная есть сумма вынужденного и свободного процессов x(t)=xc(t)+xв(t), то в устойчивой системе в силу затухания xc(t) имеем x(t)→xв(t), т.е. устанавливается вынужденный процесс.
Абсолютная интегрируемость k(t) накладывает определенные требования на передаточную функцию Ф(p). Из равенства
Ф(p)= k ()e
p
d
0
следует очевидное условие:
|Ф(p)|≤ k() e
p
d .
0
В правой части комплексной плоскости p, включая мнимую ось Re p≥0, имеет место
неравенство |e-pτ|≤1. В результате имеем:
|Ф(p)|≤ k () d <∞ , Re p≥0 .
0
Это неравенство может быть выполнено только в том случае, когда функция Ф(p) не
имеет полюсов ни в правой полуплоскости, ни на мнимой оси. Таким образом, система автоматики устойчива, если все полюсы функции Ф(p) лежат в левой части плоскости p. Это
условие является необходимым и достаточным.
Полюсы передаточной функции Ф(p)=K(p)/D(p) являются одновременно корнями характеристического уравнения D(p)=Dp(p)+Kp(p)=0. На языке характеристических уравнений
условие устойчивости формулируется следующим образом. Для устойчивости системы автоматики необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения
D(p)=a0pn+a1pn-1+…+an-1p+an=0
лежали в левой полуплоскости p.
Как известно алгебраическое уравнение может иметь действительные и комплексные
корни. Поэтому для того, чтобы система была устойчива необходимо, чтобы все вещественные корни были отрицательными, а все комплексные корни имели отрицательную действительную часть. Другими словами: для устойчивости
системы все созвездие корней уравнения D(p)=0 должно находиться в
левой половине плоскости p (рис.2.22), и границей, отделяющей область
устойчивого состояния от области неустойчивого состояния, является
мнимая ось jω. Напомним, что комплексные корни располагаются на
плоскости p парами симметрично относительно действительной оси.
61
73
Таким образом, основным критерием устойчивости линейной системы автоматического регулирования является левостороннее расположение всех корней характеристического
уравнения.
Обратим внимание на то, что характеристическое уравнение, корни которого определяют условия устойчивости, получается путем приравнивания к нулю знаменателя передаточной функции – характеристического оператора D(p). Следовательно, именно знаменатель
передаточной функции определяет собственное невынужденное движение системы. Числитель передаточной функции K(p) связан с управляющим воздействием и определяет совместно со знаменателем вынужденную часть траектории системы.
Положение корней зависит от коэффициентов ai, i=0,1,2,…,n, которые определяются
параметрами элементов системы Ti,K,ξi,…, т.е., в свою очередь, зависят от механических и
электрических параметров (масса, сопротивление R , емкость C, ...). Изменяя параметры системы, мы приведем в движение все созвездие корней. Задача устойчивости при этом сводится к отысканию такой совокупности значений параметров системы (если она существует),
при которой все корни находятся в левой полуплоскости.
Главная трудность, возникающая при анализе устойчивости, заключается в том, что
обычно системы автоматического регулирования описываются уравнениями высокого порядка. Вместе с тем отыскание корней характеристического уравнения просто лишь для систем
первого и второго порядка. для систем третьего и четвертого порядка корни находятся сравнительно просто только для некоторых частных случаев. Для систем более высокого порядка
аналитическими методами корни определить нельзя, т.к. они не выражаются с помощью элементарных функций через коэффициенты характеристического уравнения.
В связи с этим большое значение приобретают разнообразные методы исследования
устойчивости, позволяющие проводить анализ устойчивости, минуя вычисление корней –
критерии устойчивости. С помощью этих критериев можно выяснить, устойчива ли система,
и установить влияние отдельных параметров на устойчивость. С математической точки зрения все критерии эквивалентны – устанавливают факт расположения корней в левой полуплоскости. Конкретное значение корней при этом не определяется, с точки зрения устойчивости в этом нет необходимости.
Прежде чем перейти к рассмотрению критериев устойчивости сформулируем необходимое, но недостаточное условие устойчивости. Оно получено Стодолой ((Stodola) Аурель
1859-1942, словацкий теплотехник) и поэтому иногда называется условием Стодолы: «Для
обеспечения устойчивости системы необходима одинаковость знаков всех коэффициентов
характеристического уравнения». Докажем это условие.
Предположим, что все корни характеристического уравнения известны, тогда его
можно записать в виде
n
D(p)=a0 (p p i ) .
i 1
Предположим далее, что система устойчива и все корни находятся в левой полуплоскости. При этом вещественные корни имеют вид pi=-α , а комплексные PK,K+1=-δ±jβ .
Подставив эти корни в соответствующее скобки, получим сомножители вида (p+α) и
[(p+δ)2+β2]. Подставив остальные корни, мы получим аналогичные сомножители. Их произведение дает многочлен, все коэффициенты которого больше нуля (α0 всегда считаем больше
нуля, в противном случае мы могли бы помножить уравнение на — 1),
Условие Стодолы является достаточным только для трех случаев:
1) когда n=1 – единственный корень p=α1/a0 будет отрицательным при одинаковости
знаков обоих коэффициентов;
2) когда n=2 – пара корней квадратного уравнения
a 1 a 12 4a 0 a 2
p 1, 2
2a 0
62
74
будут находиться в левой полуплоскости при одинаковости знаков всех трех коэффициентов;
3) когда n – произвольно, но известно что все корни вещественны; действительно ни
одно положительное вещественное значение p не удовлетворяет уравнению
n
a p
i
n 1
0 при ai>0 .
i 0
Отметим здесь, что первый случай является частным случаем третьего. Таким образом, условие Стодолы является недостаточным по отношению к комплексным корням при условии
n>2. Заметим, что комплексные корни характеризуют колебательные системы.
2.4.1. Критерий устойчивости Гурвица
Задача отыскания критерия устойчивости для систем, описываемых дифференциальным уравнением произвольного порядка, была сформулирована Максвелом ((Maxweel)
Джеймс Клерк (1831-1879) английский физик) в 1868 г. Эта задача была решена в алгебраической форме Раусом ((Routh) E.J. английский математик) в 1873 г. для уравнений четвертой
и пятой степени, а в 1877 году полностью. Критерий Рауса дан в форме алгоритма, определяющего последовательность операций, необходимых для решения задачи, поэтому он неудобен. Более удобным для решения практических задач устойчивости оказался критерий Гурвица, сформулированный в 1895 г. А. Гурвицем (швейцарский математик) по просьбе проф.
Стодолы, занимавшегося исследованием процесса регулирования турбин.
Строгий вывод критерия в общей форме для системы произвольного порядка сложен:
он требует привлечения специальных функций Ляпунова и теорем высшей алгебры. Мы поставим более скромную задачу: вывод критерия для системы третьего порядка, в которой
возможны все разновидности корней и в которой поэтому наметятся все особенности вопроса.
Частично критерий Гурвица уже представлен условием Стодолы – условием левостороннего расположения вещественных корней. Осталось сформулировать условие левостороннего расположения комплексных корней.
С этой целью рассмотрим заведомо устойчивую систему, в которой имеются
комплексные корни. Будем изменять параметры системы таким образом, чтобы пара
комплексных корней перемещалась в направлении мнимой оси, а вещественный корень оставался в левой полуплоскости (рис. 2.23).
При пересечении мнимой оси комплексные корни превращаются
в мнимые. Подставляя их в характеристическое уравнение, получаем
D(jω)=0.
Функция D(jω) – комплексная D(jω)=U(ω)+jV(ω), она будет
удовлетворять уравнению на той же частоте ω, на которой удовлетворяют уравнения для вещественной и мнимой частей U(ω)=0, V(ω)=0.
Для системы третьего порядка имеем:
D(p)=a0p3+a1p2+a2p+a3=0 ,
D(jω)=-ja0ω3-a1ω2+ja2ω+a3=0 ,
U(ω)=-a1ω2+a3=0 ,
V(ω)=-a0ω3+a2ω=0 .
Корни этих уравнений должны быть одинаковыми, поэтому следуют соотношения:
a
a
2U 3 V2 2 .
a1
a0
63
75
Нулевой корень второго уравнения не рассматриваем, так как он соответствует прохождению через начало координат вещественного корня, а мы изучаем участок границы для
комплексных корней. Этот участок содержит всю мнимую ось за исключением точки начала
координат.
На основе полученных равенств имеем, что a1a2-a0a3=0 .
Такая запись соответствует определителю второго порядка
a
2 1
a3
a0
a2
0 .
Полученное уравнение описывает участок границы устойчивости в пространстве коэффициентов для комплексных корней, другой участок границы для вещественных корней
определяется равенством an=0. Это равенство следует из характеристического уравнения
D(p)=0 при подстановке p=0. Точка p=0 соответствует началу координат на плоскости корней, через эту точечную границу только и могут пройти вещественные корни. Условие an>0
соответствует области устойчивости для вещественных корней, а условие an<0 (нарушение
условия Стодолы) соответствует правостороннему расположению вещественного корня.
Возвращаемся к границе для комплексных корней. Одно из неравенств ∆2>0, ∆2<0 соответствует области устойчивого состояния системы, т.к. граница области устойчивости
определяется равенством ∆2=0. Для определения интересующего нас знака неравенства
рассмотрим примеры заведомо устойчивой и заведомо неустойчивой систем.
1. Устойчивая система, определенная тремя своими корнями pi=-1, p2,3=-1±j. Её характеристическое уравнение равно
D(p)=(p+1)(p+1-j)(p+1+j)=p3+3p2+4p+2=0 .
Коэффициенты характеристического уравнения выражаются соотношениями
a0=1, a1=3, a2=4, a3=2.
Составляем и вычисляем определитель
3 1
2
10 0 .
2 4
2. Неустойчивая система p1=-1, p2,3=1±j .
Ей соответствует характеристическое уравнение D(p)=(p+1)(p-1-j)(p-1+j)=p3-p2+2=0 с
коэффициентами a0=1, a1=-1, a2=0, a3=2. Уже по чередованию знаков у коэффициентов a0 и a1
видно, что система неустойчива, но вычислим определитель
1 1
2
2 0 .
2 0
Таким образом область устойчивости в пространстве коэффициентов характеристического уравнения определяется следующей системой неравенств:
a0>0, a1>0, a2>0, a3>0, ∆2>0.
Граница области устойчивости определяется соотношениями:
a3=0 для вещественных корней,
∆2=0 для комплексных корней.
Объединяя эти два равенства, приходим к соотношению ∆3=∆2a3=0. Последнее равенство является уравнением всей границы, отделяющей область устойчивого состояния системы третьего порядка от области неустойчивого состояния в пространство коэффициентов характеристического уравнения.
Критерий устойчивости можно переписать в иной форме: система третьего порядка
устойчива, если выполняются следующие неравенства:
64
76
a0>0, ∆1=a1>0, 2
a1
a3
a1 a 0
0 , 3 a 3 a2
a2
0 0
a0
0
a1 0 .
a3
Последнюю форму критерия обобщаем на систему произвольного порядка. С этой целью строим матрицу коэффициентов n×n по правилу, уже определившемуся при составлении
матрицы системы третьего порядка. Главная диагональ комплектуется коэффициентами начиная с коэффициента a1 с последующим возрастанием индексов. Индексы элементов первой
строки слева – направо убывают на единицу, отсутствующие элементы замещаются нулями.
Каждая последующая строка строится на основе предыдущей путем её смещения на два элемента вправо
a 1 a 0 0 0 0
a
a
a
0
a
3
2
1
0
.
0
0
0
0
a
n
На основе этой матрицы возможна следущая формулировка критерия Гурвица. Система автоматического регулирования произвольного порядка n устойчива, если коэффициент a0
и все определители Гурвица, полученные путем выделения i столбцов и i строк из приведенной матрицы больше нуля, т.е.
a0>0, ∆i>0 , i=1, n .
Последний определитель ∆n находится из условия ∆n=∆n-1an. Приравнивая его нулю,
получаем границу области устойчивости в пространстве коэффициентов характеристического уравнения.
В качестве примера исследуем на устойчивость систему из трех одинаковых апериодических звеньев и одного интегратора:
D(p)=a0p4+a1p3+a2p2+a3p+a4 , где a0=T3, a1=3T2, a2=3T, a3=1, a4=K .
С этой целью составим матрицу Гурвица и проверим неравенства:
a1 a 0
a3 a2
0 a
4
0 0
0
a1
a3
0
0
a0
,
a 2
a 4
a 0 T 3 0,
i 0, i 1,4
2
1 a1 3T 0,
2 a1a 2 a 0a 3 9T 3 T 3 8T 3 0,
3 2 a 3 a 4 a 12 8T 3 K9T 4 0,
K 8 / 9T,
∆4=∆3a4>0, a4=K>0 .
Таким образом, область устойчивости является открытой и ограничена двумя неравенствами (рис.2.24), причем левая граница помечена одинарной штриховкой, ее нарушение сопровождается переходом через начало координат плоскости p одного вещественного корня;
правая граница помечена двойной штриховкой,
ее нарушение сопровождается переходом через
мнимую ось пары комплексных корней. Внутри
области устойчивости существует еще одна граница, разделяющая области монотонных и колебательных переходных процессов (волнистая линия).
65
77
2.4.2. Критерий устойчивости Михайлова
Предложен А. В. Михайловым в 1938 г.
Если известны корни характеристического уравнения, то многочлен D(p) можно представить в виде
n
D(p)=a0 (p p i ) .
i 1
Любое комплексное число представимо вектором на комплексной
плоскости. Каждый сомножитель p-pi характеристического оператора тоже вектор, а
весь многочлен D(p) произведение таких векторов. В соответствии со свойствами векторов
комплексной плоскости имеем
n
n
i 1
i 1
|D(p)|=a0 p p i , argD(p)= arg(p p i ) .
В дальнейшем будем интересоваться только аргументом.
Положим в выражении для аргументов p=jω и будем изменять частоту ω в пределах от
-∞ до ∞, следя за изменением аргумента функции D(jω). При таком изменении частоты каждый вектор-сомножитель повернется на угол π. Направление этого поворота будет зависеть
от того, где находится корень pi: справа или слева от мнимой оси. За положительное направление принимаем, как обычно, направление поворота против часовой стрелки.
Пусть при такой процедуре n-m, корней находится слева, а m корней справа от мнимой оси. Тогда изменение аргумента при обходе всей мнимой оси составит величину
arg D(jω)=(n-m)π-mπ=(n-2m)π .
∆
Если система устойчива, справа корней нет m=0, то ∆ arg D(jω)=nπ .
В силу симметрии годографа вектора D(jω) относительно действительной оси
D(-jω)=D*(jω) можно рассматривать половину интервала частот от 0 до ∞, сократив приращение аргумента вдвое
arg D(jω)=n
∆ 0
.
2
Последняя формула есть один из рабочих вариантов критерия Михайлова: система
устойчива, если при изменении частоты ω от 0 до ∞ характеристическая кривая D(jω) (кривая
Михайлова) обходит последовательно n квадрантов, начиная с положительной действительной оси против часовой стрелки.
Рассмотрим годографы D(jω) нескольких устойчивых и неустойчивых систем
(рис.2.25). Разные виды апериодических систем n=1:
66
78
Система а) устойчива и все положения критерия Михайлова выполняются, для двух
других систем положения критерия Михайлова нарушены: для систем б) приращение аргумента отрицательное (по часовой стрелке), для системы в) нарушено два положения: кривая
начинается с отрицательной действительной оси и идет по часовой стрелке.
Рассмотрим другие системы (рис.2.26а). Здесь приведены годографы устойчивых систем 2, 3 и 4-го порядков. На рис.2.26б приведен годограф неустойчивой системы четвертого
порядка. Приращение аргумента, как видно из рисунка 2.26в равно нулю. Это возможно,
если в правой полуплоскости имеется такое же количество корней, что и в левой:
∆ arg D(jω)=(n-2m)π/2=0, (n=4, m=2) .
0
Критерий Михайлова можно использовать в иной формулировке на языке вещественной и мнимой частей D(jω). Представим D(jω) в виде D(jω)=U(ω)+jV(ω) и сформулируем
критерий:
Система автоматического регулирования устойчива, если выполняются следующие
условия:
1) U(ω)>0 , V′(ω)>0, при ω→0 ,
2) уравнения U(ω)=0, V(ω)=0 имеют вещественные чередующиеся корни.
Для проверки правильности сформулированных положений достаточно сравнить их с
кривыми Михайлова D(jω) устойчивых и неустойчивых систем имея ввиду, что графики
функций U(ω) и V(ω) можно рассматривать как проекции годографа D(jω) на вещественную
и мнимую оси соответственно.
На рис.2.27 приведены графики функций U(ω) и V(ω) для устойчивой и неустойчивой
систем четвертого порядка. Кружочками помечены корни уравнения U(ω)=0, крестиками помечены корни уравнения V(ω)=0.
Рисунок 2.28 иллюстрирует граничный случай, когда система характеризуется парой
мнимых корней. Годограф D(jω) на частоте 0<ω<∞ проходит через начало координат – кривые U(ω), V(ω) пересекают ось абсцисс на одной частоте.
79
67
80
Пример: три одинаковых апериодических звена и один интегратор
D(p)=a0p4+a1p3+a2p2+a3p+a4 .
Полагаем p=jω и переходим к функции Михайлова
D(jω)= a0ω4-j a1ω3-a2ω2+j a3ω+a4 .
Будем пользоваться критерием в формулировке относительно U(ω) и V(ω), с этой целью отделим вещественную часть от мнимой:
U(ω)= a0ω4- a2ω2+a4 , V(ω)= a3ω- a1ω3 .
Проверяем положения критерия
1) U(0)=a4=K>0 , V′(0)=a3=1>0 .
Положения первого пункта удовлетворяются (напомним, что коэффициенты и параметры системы связаны соотношениями: a0=T3, a1=3T2, a2=3T, a3=1, a4=K).
2) Корни уравнений U(ω)=0 и V(ω)=0 должны быть вещественными и чередоваться
V(ω)= a3ω- a1ω3=0:
ω1=0, ω2= a 3 / a1 = 1 / a1 (берём только неотрицательные корни, т.к. приращение аргумента рассматривается на интервале частот от 0 до ∞).
U(ω)= a0ω4- a2ω2+a4=0 – это биквадратное уравнение, берем только положительные
корни:
a 2 a 22 4a 0 a 4
.
3, 4
2a
0
Меньший корень
2
a a 2 4a 0 a 4
23 2
2a 0
больший корень
2
4
должен лежать в интервале 0<ω32<1/a1 ,
a 2 a 22 4a 0 a 4
должен удовлетворять неравенству ω42>1/a1 .
2a 0
Достаточно проверить лишь условие:
ω32<1/a1 :
a 2 a 22 4a 0 a 4
2a 0
1
.
a1
Проведя ряд элементарных преобразований, получим знакомое 0<K<8/9T .
68
81
2.4.3. Критерий устойчивости Найквиста
Позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой частотной характеристике разомкнутой системы. Это удобно, т.к. частотная характеристика
разомкнутой системы может быть получена не только расчетным, но и экспериментальным
путем.
Рассмотрим передаточную функцию ошибки замкнутой системы
1
D(p ) Dp (p) K p (p)
1 W(p) ,
D p (p)
Ф E (p) D p (p )
которая представляет собой отношение характеристических операторов разомкнутой и замкнутой систем и очень просто связана с передаточной функцией разомкнутой системы.
Справедливы следующие соотношения, полученные при выводе критерия Михайлова:
arg D(jω)=(n-2m)
∆ 0
2
arg Dp(jω)=(n-2mp)
∆ 0
для замкнутой системы,
2
для разомкнутой системы.
Порядок характеристического уравнения n для обоих случаев одинаков, т.к.
D(p)=Dp(p)+Kp(p), а порядок Dp(p) всегда не меньше порядка Kp(p); величины m, mp – характеризуют число корней с положительной действительной частью для замкнутой и разомкнутой систем соответственно.
Найдем приращение аргумента для функции 1+W(jω):
arg [1+W(jω)]= ∆ arg D(jω)- ∆ arg Dp(jω)=
∆ 0
0
0
=(n-2m)
m m
- (n-2mp) = p
2 .
2
2
2
Если система устойчива в разомкнутом (mp=0) и в замкнутом
(m=0) состояниях, то приращение аргумента функции 1+W(jω)
при изменении частоты от 0 до ∞ равно нулю. Геометрически
(рис. 2.29а) это означает, что кривая 1+W(jω) не охватывает начала координат. Если система устойчива в разомкнутом состоянии mp=0, но неустойчива в замкнутом состоянии, то
arg [1+W(jω)]=
∆ 0
m
2 .
2
Это иллюстрируется рисунком 2.29б для m=2.
От кривой 1+W(jω) можно
перейти к кривой W(jω), но тогда
критической точкой будет не начало координат, а точка [-1,j0]
(рис.2.30).
Пример: три одинаковых
апериодических звена и интегратор.
4
3
2
W(p)=K/(a0p +a1p +a2p +a3p) – передаточная функция разомкнутой системы. Полагая
p=jω, переходим к амплитудно-фазовой частотной характеристике
W(jω)=K/[a0ω4+a2ω2+jω(1-a1ω2)] .
69
82
Умножим числитель и знаменатель на множитель, комплексно-сопряженный знаменателю:
K (a 0 4 a2 2 ) Kj(1 a1 2 )
W( j)
4
2 2
2
2 2 .
(a 0 a 2 ) (1 a 1 )
Для исследования устойчивости важно знать поведение годографа W(jω) в окрестности отрицательной действительной оси, остальные участки можно строить приближенно.
Начало: ω→0 Re W(jω)=-Ka2=-3KT , Im W(jω)=-K/ω=-∞ .
Конец: ω→∞ Re W(jω)=+∞ ,
Im W(jω)=+∞ .
Пересечение действительной оси происходит на частоте, определенной из условия ImW(jω)=0. Из двух корней
этого уравнения ω1,2=±1/ a1 отбрасываем отрицательный.
Находим точку пересечения годографа с действительной осью (рис.2.31):
1 Ka12
9KT
W j
.
8
a1 a 0 a 1a 2
Так как разомкнутая система устойчива, то для ее
устойчивости в замкнутом состоянии необходимо, чтобы годограф W(jω) не охватывал точку [-1,j0], то есть –1<-9KT/8 ,
откуда следует K<8/9T .
2.5.АНАЛИЗКАЧЕСТВАПРОЦЕССАРЕГУЛИРОВАНИЯ
Исследование устойчивости это очень важный и необходимый этап при конструировании систем автоматического регулирования. Решение этого вопроса – это решение о работоспособности системы. Но после того как получен положительный результат, т.е. выявлены
и обеспечены условия устойчивости, встает следующий вопрос – вопрос о качестве процесса
регулирования, т.е. о том, чтобы система радиоавтоматики функционировала должным образом.
Качество процесса регулирования определяется с помощью количественных характеристик – показателей качества. Для детерминированных систем их удобно рассматривать на
основе переходной характеристики (рис.2.32). Под первым показателем качества понимается
величина максимального перерегулирования
σm=
h m h ()
100% .
h()
Обычно стремятся к тому, чтобы величина σm не превосходила 30%. Вторым показателем качества, характеризующим быстродействие системы, является время регулирования Тр. Оно отсчитывается с момента
приложение воздействия до момента, когда
переходная характеристика войдет в полосу
шириной 2∆. Часто величина ∆ задается равной 0,05. Третий показатель качества (для колебательных систем) число перерегулирования æ за время Tp.
70
83
К числу показателей качества относят также порядок астатизма , максимальное
ускорение Wm=d2x/dt2, которое может развить исполнительный элемент, вид переходного
процесса – монотонный или колебательный, и некоторые другие величины и понятия.
Для стохастических систем перечисленные показатели качества утрачивают смысл,
т.к. в условиях случайных воздействий они непрерывно находятся в переходном процессе. В
подобных случаях наиболее употребительным показателем качества является дисперсия
ошибки 2E E 2 .
В настоящее время наиболее эффективным и универсальным методом анализа качества является метод моделирования. Его основой служат быстроразвивающиеся программные комплексы, такие как MATLAB, LABVIEW и др. Этот метод в значительной мере потеснил такие традиционные и широко распространенные во второй половине XX века методы,
как частотный, интегральный, метод корневого годографа и другие. Поэтому остановимся
подробнее лишь на оценке быстродействия, основанной на исследовании устойчивости, т.к.
его рассмотрение позволяет лучше уяснить закономерности развития процессов в динамических системах.
2.5.1. Структурно неустойчивые системы
Рассмотрим некоторые динамические системы (их нельзя назвать САР, т.к. они ничего не регулируют), структура которых ни при какой вариации параметров не позволяет добиться устойчивого состояния. Их рассмотрение полезно для оценки быстродействия системы.
Пусть передаточная функция разомкнутой системы представима в виде:
W(p)=
K
,
p Dp 0 (p )
т.е. она обладает астатизмом -го порядка. Характеристическое уравнение замкнутой системы равно:
D(p)= p D p 0 (p) K a 0 p n a1 p
n1
... a n p K 0 , где ai>0, i= 0, n , K>0 .
При ≥2 часть коэффициентов характеристического уравнения замкнутой системы, а
именно an-1, an-2, … , a n1 обращаются в ноль, и следовательно не будет выполняться необходимое условие устойчивости – строгая положительность всех коэффициентов.
Действительно, системы, имеющие более одного интегратора, структурно неустойчивы. Простейший пример дальномера с двумя интеграторами (см. рис.2.33) убеждает нас в
этом:
W(p)=K/p2,
Ф(p)=K/(p2+K),
D(p)=p2+K,
a0=1, a1=0, a2=K .
Полагая D(p)=0, получаем пару чисто мнимых корней p1,2=±j K . Именно на частоте
ω= K возбуждается рассматриваемый контур. Изменение единственного параметра K приводит лишь к изменению частоты колебаний.
Область устойчивости на плоскости корней – левая полуплоскость, граница – мнимая
ось ей не принадлежит, следовательно, корни p1 и p2 лежат в правой полуплоскости.
71
84
Для стабилизации таких систем нужно изменить их структуру с тем, чтобы уменьшить
степень передаточной функции (n-m), где n, m – степени многочленов знаменателя и числителя соответственно. Этому условию удовлетворяет оператор
W(p)=
K p (p )
p D p 0 (p )
,
где порядок многочлена Kp(p) определяется неравенством m≥ -1.
Действительно, пусть для граничного случая m= -1:
b p 1 b1p 2 ... b 1
W(p) 0 n
,
a 0 p a 1 p n 1 ... a n p
1
тогда D(p)=a0pn+a1pn-1+…+ a n p b 0 p ... b 1 , то есть все коэффициенты налицо и необходимое условие устойчивости выполняется. На практике такой эффект достигается обеспечением дополнительных связей на выход от каждого интегратора, что равносильно введению
в выходной сигнал производных от него.
К структурно неустойчивым системам относятся также системы, которые в разомкнутом состоянии характеризуются наличием не менее двух корней в правой полуплоскости. В
дальнейшем будут подразумеваться вещественные корни. Для случая двух правых корней имеем:
K
W(p)
,
(T1 p 1)(T2 p 1)Dp 0 (p)
где Dp0(p)=0 характеризуется левыми корнями, а T1>T2.
Характеристический многочлен замкнутой системы имеет вид D(p)=(T1p-1)(T2p-1)Dp0(p)+K , его график вдоль вещественной оси p=σ носит немонотонный характер
(рис.2.34) и по меньшей мере один из его коэффициентов отрицателен.
Пример структурно неустойчивой системы третьего порядка:
K
W(p)
, т.е. Dp0(p)=(T3 p+1) .
(T1 p 1)(T2 p 1)(T3 p 1)
Тогда D(p)=(T1p-1)(T2p-1)(T3p+1)+K=a0p3+a1p2+ a2p+ a3 ,
где a0=T1T2T3, a1=T1T2-T1T3-T2T3, a2=T3-T2-T1, a3=K+1 .
Для ее устойчивости необходима положительность всех этих коэффициентов. Из
условия a1>0 имеем:
T1T2>T3(T1+T2) →
1 1
1
T1 T2
T T2 1
T3 → 1
→
;
T T
T1 T2
T3
T1 T2 T3
1
2
из условия a2>0 имеем T1+T2<T3, получаем противоречие, из которого следует невозможность
стабилизации такой системы в рамках фиксированной структуры.
Стабилизация такой системы возможна путем понижения степени передаточной
функции. В рассмотренном примере мы должны иметь
W(p)=
K p (p )
,
(T1 p 1)(T 2 p 1)(T 3 p 1)
где Kp(p)=p(b0p+b1) , b0>a1,
b1>a2 .
Рассмотрим другой пример.
85
72
86
W(p)=
K
, D(p)=(T1p-1)(T2p+1)+K=a0p2+a1p+a2 ,
(T1p 1)(T 2 p 1)
где a0=T1T2, a1=T1-T2, a2=K-1 .
Устойчивость системы обеспечивается при T1>T2, K>1.
Еще один пример:
W(p)=
K
, D(p)=a0p 3+a1p2+a2p+a3 ,
p(T1 p 1)(T 2 p 1)
где a0=T1T2, a1=T1-T2, a2=-1, a3=K.
Система неустойчива, т.к. a2<0.
2.5.2 Оценка быстродействия
Изучая устойчивость автоматических систем, мы по существу изучаем свободные процессы. Факт устойчивости автоматической системы означает, что свободные процессы в системе затухают, и что в ней устанавливается вынужденный процесс.
Выражение для импульсной переходной функции монотонной системы представимо в
виде:
n
K(t)= Ci e
i 1
pi t
, C i
K (p i )
,
D' (p i )
где K(p) и D(p) связаны соотношением Ф(p)=K(p)/D(p), а pi – корни уравнения D(p)=0; D′(p) –
производная по p; n – порядок многочлена D(p).
Представим выражение для импульсной переходной функции в виде
n
K(t)=e-ηt Ci e i
( p ) t
, где η – вещественно.
i 1
Выберем максимальное значение η таким, чтобы всегда выполнялись неравенства
Re(pi+η)<0 , i=1, n .
Очевидно, оно равно по абсолютной величине ближайшему к мнимой оси корню.
Так как
n
|K(t)|≤ e-ηt Ci e i
( p ) t
,
i 1
и замечая, что для всех левых корней
e ( p i ) t ≤1 ,
получаем
n
-ηt
|K(t)|≤Me ,
где M= C i .
i 1
Экспонента Me мажорирует над траекторией свободного процесса, а величина
η=min Re pi, i=1, n , называемая степенью устойчивости системы, количественно определяет
ее быстродействие.
По определению Ф(p)=L[K(t)] и в силу теоремы смещения
-ηt
L[K(t)eηt]=Ф(p-η) .
73
87
Из последнего соотношения следует, что быстродействие замкнутой системы определяется таким максимальным смещением оператора Ф(p-η), при котором эта система еще
сохраняет устойчивость.
Рассмотрим три примера оценки быстродействия η.
Пусть объект (рис.2.35) представим совокупностью апериодических звеньев
K
W0(p)= N
(T p 1)
, T1>T2>…>TN ,
i
i 1
а управитель работает в соответствии с
1) либо интегральным законом управления Wy(p)=K1/p ,
2) либо пропорциональным законом управления Wy(p)=K0 ,
3) либо пропорционально-интегральным законом управления Wy(p)=K0+K1/p .
Рассмотрим передаточную функцию разомкнутой системы для различных управителей.
Для И-управления:
W(p)=
KK1
.
p(T1 p 1)(T2 p 1)...(TN p 1)
Смещенная передаточная функция имеет вид:
W(p-η)=
KK1
.
(p )(T1p 1 T1 )...(TN p 1 TN )
Система с такой передаточной функцией будет структурно-неустойчивой, если число
полюсов в правой полуплоскости и на мнимой оси больше единицы. Поэтому условием ее
устойчивости является неравенство 1-T1η>0. Отсюда находим, что быстродействие системы с
И-управлением не может превосходить быстродействия самого тихоходного апериодического звена из модели объекта, т.е. η=1/T1.
Для П-управления W(p)=
KK 0
.
(T1p 1)(T 2p 1)...(TN p 1)
Переходим к передаточной функции смещенной системы:
W(p-η)=
KK0
(T1 p 1 T1)(T2 p 1 T2 )...(T N p 1 TN )
.
Замкнутую смещенную систему можно стабилизировать, если в правой полуплоскости
не более одного полюса передаточной функции разомкнутой смещенной системы, т.е. если
выполнены неравенства 1-T1η<0, 1-T2η>0.
Так как T1>T2, то находим, что η=1/T2.
Это означает, что астатическая система уступает по быстродействию статической системе.
Для ПИ-управления W(p)=
K(K 0 p K1 )
,
p(T1p 1)(T2 p 1)...(TN p 1)
а передаточная функция смещенной замкнутой системы равна
Ф(p-η)=
K(K 0 p K1 K 0 )
.
(p )(T1p 1 T1)...(TN p 1 TN ) K(K 0 p K1 K 0 )
74
88
Видим, что в такой системе возможна стабилизация даже в том случае, когда в правой
полуплоскости и на мнимой оси расположены два полюса функции W(p-η) (это было показано ранее): отсюда для обеспечения устойчивости следует условие 1-T2η>0 или η=1/T2.
Таким образом, система с ПИ-управителем сочетает достоинства астатической и статической систем, т.е. устраняет установившуюся ошибку и обладает высоким быстродействием.
2.6МЕТОДЫОПТИМИЗАЦИИ
Вплотную к вопросу о качестве процесса регулирования примыкает задача стохастической оптимизации, то есть задача отыскания такой структуры и совокупности параметров
контура, которая обеспечивала бы его наилучшее функционирование в стохастической среде,
когда и сигнал и мешающие колебания случайны. Критерием оптимизации в этих условиях
обычно избирается среднеквадратическая ошибка или функции, с ней связанные. Различают
два подхода:
первый, связанный с именем Н. Винера (сороковые годы XX века) и опирающийся на гипотезу о стационарности окружающей среды, приводит к структуре, которая обеспечивает минимум среднеквадратической ошибки функционирования в установившемся режиме;
второй, связанный с именами Р. Калмана и Р. Бьюси (начало 60-х годов XX
века) приводит к структуре, которая обеспечивает минимум среднеквадратической ошибки функционирования не только в установившемся, но и в переходном режиме и не нуждается в гипотезе о стационарности сигнально-помеховой
обстановки.
2.6.1 Оптимизация в установившемся режиме
Прежде чем приступить к рассмотрению фильтра Винера, рассмотрим сначала его детерминированный суррогат, который позволит форсировать процесс рассмотрения задачи.
2.6.1.1 Оптимальные характеристики детерминированной системы
Рассмотрим контур (рис.2.35), в котором выделены изменяемая часть – управитель с
передаточной функцией Wy(p) и неизменяемая часть – объект W0(p).
Будем искать характеристики управителя Wy(p), при которых достигается минимальное значение следующего функционала:
I= E (t) U (t) dt ,
2
2
2
0
где установившиеся значения ошибки E и регулирующего воздействия U равны нулю, λ – весовой коэффициент.
Такая постановка задачи удобна для понимания существа дела: ищется такой оператор
Wy(p) и такая совокупность его коэффициентов, которые минимизируют ошибку E(t) и регулирующее воздействие U(t). Однако для того, чтобы достичь решения, необходимо разноязыкие термины W(p) и E(t), U(t) привести к единообразию. С этой целью, используя формулу
Парсеваля, переведем критерий в частотную область.
2
Обозначим I1= E (t)dt , в соответствии с обратным преобразование Фурье
0
E(t)=
1
E( j)e j t d .
2
75
89
Умножим обе части последнего выражения на E(t) и проинтегрируем по t от 0 до ∞:
1
1
jt
I1= E (t)dt E( j) E(t)e dtd E( j) d .
2
2
0
0
2
В соответствии с этим записываем частотную форму критерия оптимальности:
1
2
2
E( j) 2 U( j) d .
I
2
Из рис.2.35 следует:
поэтому
G( j)
,
W0 ( j)
2
1
2
2 G( j)
2
2
I=
1
d .
2
W
(
j)
Ф( j ) G( j )
Ф( j )
E(jω)=[1-Ф(jω)]G(jω), а U(jω)=Ф(jω)
0
2
G( j) – энергетические спектры управляющего
Обозначим Sg(ω)=|G(jω)|2, Su(ω)=λ2 ф
W0 ( j)
и регулирующего воздействий соответственно, и подставим введенные обозначения в крите
2
2
1
1 Ф( j) S g () Ф( j) S () dω .
рий: I=
u
2
Выразим амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ) через вещественную и мнимую компоненты и проведем ряд преобразований
I=
1
()
1
Re
Ф(
j)
jJmФ(
j)
S
()
ReФ(
j)
jJmФ
(
j)
S
dω=
2
2
2
u
g
1
[(1 Re Ф( j)) 2 (JmФ( j)) 2 ]S g () [(Re Ф( j)) 2 (JmФ ( j)) 2 ]S u () dω=
=
2
1
2
= [1 2 Re Ф( j)]S g () [(Re Ф( j)) 2 (JmФ( j)) ]S()dω ,
2
где S(ω)=Sg(ω)+Su(ω).
Умножим и поделим подынтегральное выражение на S(ω):
1 (Re Ф( j)) S () 2 Re Ф( j)S g ()S() S g () (JmФ( j)) S ()
2
I=
2
1 Sg ()S u ()
+
2
2
S g () S u ()
2
2
2
d +
S()
d .
Числитель первого слагаемого можно представить в свернутой форме:
1 Sg ()S u ()
d , где Λ(ω)=|Ф(jω)S(ω)–Sg(ω)|2 .
I=
d + 2
S g () Su ()
2 S()
1 ()
Полученное представление удобно тем, что искомая функция Ф(jω) входит только в
первое слагаемое, а поскольку компоненты подынтегрального выражения неотрицательны,
90
то минимум критерия соответствует минимуму функции Λ(ω). Приравнивая нулю Λ(ω)=0,
получаем выражение для соответствующей АФЧХ:
76
91
Sg ()
Sg ()S u ()
1
d .
Ф(jω)=
, при этом min I=
Sg () S u ()
2 S g () S u ()
Однако энергетические спектры S(ω) и Sg(ω), в терминах которой определена искомая
Ф(jω), являются четными функциями частоты ω, а значит особые точки оператора Ф(jω) будут расположены не только в верхней, но и в нижней полуплоскостях. Это приводит к тому,
что найденная якобы оптимальная Ф(jω) соответствует неустойчивой системе. Но доведем
расчеты до конца:
G( j)
Ф(jω)=
2
G( j)
G( j)
W0 ( j)
2
2
2
W( j)
2
W0 ( j) 2
2
;
видим, что Ф(jω) определена лишь объектом и весовым коэффициентом λ критерия оптимизации, а минимальное значение критерия –
2
1 G( j)
min I=
W ( j) 2 2 d .
2
0
2
При λ=0 получаем Ф(jω)=1 (бесконечно большая полоса пропускания), Imin=0. Такой
результат получен в связи с тем, что помехи из рассмотрения были исключены.
Пример: W0(jω)=1/(1+jωT).
1
1
1
2
2
1
1 2
Ф(jω)= 1 T
.
1
2
1 j
T 1 j
T
1 2T 2
1 2
1 2
2
Следовательно, полученный оператор Ф(jω) соответствует последовательному соединению устойчивого и неустойчивого апериодических звеньев с постоянной времени
T.
1 2
Возвращаясь к соотношению Λ(ω)=|Ф(jω)S(ω)-Sg(ω)|2, факторизуем S(ω)
S(ω)=|ψ(-jω)|2 =ψ(jω)ψ(-jω), где ψ(jω) характеризуется верхними особыми точками, а
ψ(-jω) – нижними, тогда становится возможным следующее:
Λ(ω)=|ψ(-jω)|2|Ф(jω)ψ(jω)-(Sg(ω)/ψ(-jω))|2.
ряда
Разлагая далее дробь Sg(ω)/ψ(-jω) на простейшие и проведя расщепление полученного
S () Sg ()
g
,
( j) ( j) ( j)
S g ()
где ряд {●}+ содержит только слагаемые с верхними особыми точками, а {●}- – с нижними,
получим:
S g () S g () 2
2
Λ(ω)=|ψ(-jω)| |Ф(jω)ψ(jω)-
|.
( j) ( j)
Для определения ЧХ устойчивойоптимальной системы приравняем нулю алгебраическую сумму первых двух слагаемых. На этом основании получим:
77
92
Sg ()
Sg ()
1
p
Ф opt ( j)
S() , а минимальное значе
. При этом Λ(ω)=
(
j)
( j) ( j)
2
ние критерия возрастет до величины
2
()
S
S
1 g
g ()S u ()
p
I min
d .
2 ( j)
S()
Раскроем содержимое ψ(jω):
G( j)
|ψ(jω)| =S(ω)=Sg(ω)+ Su(ω)=
W0 ( j)
2
ψ(±jω)=
2
W ( j) , поэтому
2
2
0
G( j)
2
W0 ( j) 2 , следовательно
W0 ( j)
G( j)W ( j)
ф
0ф
Ф popt ( j) ф
.
2
2
2
G( j)[ W0 ( j) ] [ W0 ( j) 2 ]
W0ф( j)
И наконец, используя соотношение Ф(p)=W(p)/(1+W(p)), находим:
Wy опт ( j)
1
Фоpпт ( j)
.
W0 ( j) 1 Фоpпт ( j)
Пример: W0(jω)=1/(1+jωT), G(jω)=1/(1+jω), то есть объект представлен апериодическим звеном с постоянной времени T, а входной сигнал g(t) также удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка.
Для отыскания Фpopt(jω) составим выражение:
W ( j)
2
2
0
2
2
1 jT 1 (1 jT1 )
T,
, где T1
1 2
1 jT
1 jT
1 j
1 jT
и получим: Ф popt ( j)
.
2
2
(1 jT) 1 (1 jT1 ) (1 j)(1 jT) 1 (1 jT1 )
Используя процедуру расщепления, определяем {●}+
1
1
1
A
B
, A=
, {●}+=
(1 j)(1 jT1) 1 j 1 jT1
1 T1
(1 T1 )(1 j)
и находим в итоге
K
1
Ф ( j)
, где K
.
1 jT1
(1 2 )(1 T1 )
p
opt
Вывод: АФЧХ оптимальной системы согласована со спектральной характеристикой
управляющей переменной. При λ=0, когда снимаются ограничения с регулирующего воздействия, Фpopt(jω)=1. Этот результат обусловлен не только снятием ограничений на регулирующее воздействие, но и отсутствием помех: идеальная ситуация – идеальная система.
Для полного представления условий физической реализуемости регулятора с оптимальной ЧХ рассмотрим соотношение:
93
78
94
U( j) Ф( j)
.
G( j) W0 ( j)
Если W0(jω) обладает индексом неминимально-фазовости*, отличным от нуля и (или)
содержит элементы запаздывания
W0 ( j)
K p ( j)
D p1 ( j)
e
j
,
то
j
U ( j) Ф( j)D p 1 ( j)e
,
G( j)
K p ( j)
и значит ЧХ соответствует неустойчивой системе и (или) сдержит упреждающее звено (у
упреждающего звена выходной сигнал появляется раньше входного). В силу обеих причин
такая система нереализуема. Для преодоления этого препятствия необходимо, чтобы искомая
передаточная функция содержала в качестве сомножителя передаточную функцию объекта.
2.6.1.2. Характеристики стохастической системы, оптимальной
в установившемся режиме. Фильтр Винера
Рассмотрим динамическую систему, на вход которой помимо стационарного случайного сигнала g(t) поступает помеха ξ(t) в виде центрированного стационарного случайного процесса. Положим, что сигнал и помеха некоррелированы: M{g(t)•ξ(t)}=0. Назначение
системы состоит в воспроизведении или надлежащем преобразовании управляющей переменной g(t). Обозначим (рис. 2.36) x0 – желаемое значение выходного сигнала динамической
системы с оператором Ф0 при условии отсутствия мешающих колебаний, E(t)=x0(t)-x(t) – отклонение выходной величины динамической системы с искомым оператором Ф в условиях воздействия помех.
Качество работы системы Ф оценим дисперсией отклонения:
I=M{E2(t)}=
1
S E ()d ,
2
чем меньше это число, тем выше качество функционирования динамической системы Ф.
Для определения спектральной плотности случайного процесса E(t) обратимся к
рис.2.37. Так как при вычитании случайных процессов их спектральные плотности складываются, то SE(ω)=|Ф0(jω)-Ф(jω)|2Sg(ω)+|Ф(jω)|2Sξ(ω).
Таким образом, дисперсия отклонения σ2E равна
1
2
2
{ Ф 0 ( j) Ф( j) S g () Ф( j) S ()}d
I=
2
2
1
N E ( j)
d .
и представима в виде I=
2 M E ( j)
Для вычисления подобных интегралов разработаны
стандартные приемы и имеются таблицы, позволяющие
для конкретных NE(jω), ME(jω), представленных в виде многочленов, выразить I через коэффициенты этих многочленов. С другой стороны, I есть функция параметра Ci контура и
поэтому можно провести параметрическую оптимизацию, приравнивая нулю gradI(c )=0,
c ={c1,c2,…}.
*
Система с передаточной функцией W(p)=Kp(p)/Dp(p) называется минимально-фазовой, если не только
нули Dp(p)=0, но и нули Kp(p)=0 строго левые, индекс неминимально-фазовости есть число правых нулей
Kp(p)=0.
79
95
Отметим, что в вычислительных процедурах нет принципиального различия между
детерминированной задачей минимизации интегральной квадратичной ошибки и стохастической задачей минимизации среднеквадратичного отклонения.
Проведем эту оптимизацию. Задача сводится к отысканию таких значений параметров
системы, которые приводят к минимуму выражения
2
2
1
2
Ф( j)
Ф( j)
Sg ()
S () d .
{
Ф
(
j)
I=
1
0
(
j)
(
j)
2
Ф
Ф
0
0
Сравнивая его с выражением для интегральной квадратичной ошибки детерминированной системы, убеждаемся в их идентичности, причем множитель Ф0(j)2 не влияет на
условия оптимальности. Внешнее сходство этих выражений позволяет сразу получить искомый оптимальный оператор
1 Ф( j)S g ()
2
Ф ( j)
, где ψ(j) =Sg()+S()=ψ(j)ψ(-j).
( j) ( j)
p
opt
Пример. Пусть случайный полезный сигнал g(t) характеризуется спектральной плотностью Sg()=S0/(1+2T2), S0=2DT, D – дисперсия сигнала, помеха (t) представима белым
шумом с S()=N, а Ф0(j)=1.
Найдем ψ(j)2=Sg()+S()=S0/(1+2T2)+N=(S0+N+NT22)/(1+T22)
и ψ(j)=
Тогда
S0 N j N T
1 jT
S g ()
( j )
.
S 0 (1 jT)
S0
(1 jT)(1 jT)( N S0 j N T)
(1 jT )( N S0 j NT )
.
Разлагаем полученную дробь на сумму простейших:
S g ()
( j)
A N S 0 B jTB jA N T
A
B
.
1 jT
(1 jT)( N S 0 j N T)
N S 0 j NT
Приравнивая в числителях двух последних дробей коэффициенты при одинаковых
степенях j
A S0 N B S 0
, находим A
B A N 0
S0
S0 N N
.
S g ()
1
S0
.
Таким образом
S0 N N 1 jT
( j)
1 S g ()
K
Следовательно, искомая Ф ( j)
,
( j) ( j) 1 j
p
opt
где K
S0
S0 N N 1
S0
N
,
N
T.
S0 N
96
80
97
При S0>>N: K 1 ,
1
T
N
T ; при S0=N: K
,
.
S0
2 2
2
2.6.2 Оптимизация в переходном режиме
Потребность создания высококачественных многоконтурных систем радиоавтоматики, функционирующих в нестационарной стохастической среде, привело к необходимости
нового подхода к их описанию, основанного на фундаментальном понятии пространства состояний.
2.6.2.1 Уравнение состояний
В ряде случаев состояние объекта управления характеризуется не одной, а несколькими взаимосвязанными коэффициентами xi(t), i=1, m (рис.2.38).
Управление таким объектом осуществляется многомерной системой управления с m
управляющими переменными gi(t), i=1, m . Процессы, протекающие в ней, описываются совокупностью также взаимосвязанных дифференциальных уравнений. Примером может служить система «летательный аппарат – автопилот». Напомним: при изменении направления
полета летательный аппарат наклоняется в соответствующую сторону. Поэтому подобную
многоконтурную систему нельзя свести к нескольким одноконтурным, а следует рассматривать все контура одновременно.
Для удобства изучения многомерных, а также высококачественных одномерных систем управления их дифференциальные уравнения высокого порядка путем последовательной замены переменных сводят к совокупности дифференциальных уравнений первого порядка, которые записывают в матрично-векторной форме:
dY
AY BU ,
dt
где Y=[y1,y2,…,yn] – вектор состояния, компонентами которого являются переменные состояния, в том числе выходные координаты и их производные; U=[u1,u2,…,ur] – вектор управления, элементами которого являются управляющие переменные и их производные; A=[aik],
i,k=1, n – квадратная матрица, B=[bik], i=1, r , k=1, n – прямоугольная матрица управления.
Множество значений компонент вектора состояния образует пространство состояний,
отсюда название. Понятие состояния лежит в основе современного подхода к описанию динамических систем и введено Тьюрингом в 1936 году ((Turing)Алан Матисон (1912-1954) английский математик).
Процедура замены переменных с целью получения уравнения состояния неоднозначна, выбор переменных состояния – дело вкуса и зависит от особенностей рассматриваемой
системы. Продемонстрируем эту процедуру на примере одноконтурной системы с тремя одинаковыми апериодическими звеньями и одним интегратором.
Передаточная функция исходной системы:
81
98
Ф(p)=X(p)/G(p)=K/(a0p4+a1p3+a2p2+a3p+a4), где a0=T3, a1=3T2, a2=3T, a3=1, a4=K .
Перепишем введенное соотношение в форме операторного уравнения:
X(p)( a0p4+a1p3+a2p2+a3p+a4)=KG(p) .
Назначим первой компонентой вектора состояния выходную координату рассматриваемого контура y1=x, а остальные три пусть будут представлять производную от предыдущей
координаты: y 2 y 1 , y 3 y 2 , y 4 y 3 .
Производную от последней, четвертой координаты выразим с помощью исходного
уравнения. Тогда пачка из дифференциальных уравнений первого порядка будет выглядеть
следующим образом:
y 1 =0y1+1y2+0y3+0y4+0u1,
y 2 =0y1+0y2+1y3+0y4+0u1,
y 3 =0y1+0y2+0y3+1y4+0u1,
K
1
3
3
K
y 3 y2 2 y3 y4+ 3 u1,
3 1
T
T
T
T
T
где вектор управления U стянулся в скалярную величину u1 и соответствует управляющей
переменной: U=u1=g(t).
Это определено тем, что рассматриваемая система – одноконтурная, а числитель передаточной функции Ф(p) не имеет операторов дифференцирования.
Матрично-векторная запись этих уравнений очень компактна:
y 4 =
=AY+BU , где Y
=( y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) , Y=( y1,y2,y3,y4) ,
Y
0
0
A= 0
K
3
T
1
0
0
1
0
1
3
T
0
3
2
T
0
0
'
K
, B= 0,0,0, , U=g(t) .
1
T3
3
T
В рассматриваемом примере матрицы A и B не зависят от времени, в общем случае
нестационарной системы они будут функциями времени A(t), B(t).
Общее решение уравнения состояний, описывающее траекторию движения системы в
пространстве состояний, представляет собой сумму общего решения однородного уравнения
=AY и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнеY
ния имеет вид y(t)=Q(t)Y(0), где Q(t) – фундаментальная матрица, удовлетворяющая условию
(t) =AQ(t) и Q(0)=I, а Y(0) – вектор начального состояния. Формально Q(t) можно представQ
лять в виде матричной экспоненты Q(t)=eAt. Действительно, dY/dt=AY, разделяя переменные
и интегрируя, получаем:
dY
Y Adt , ln y(t)=At+C, y(t)=eAt Y(0) ,
таким образом, Q(t)=eAt. Для конкретных расчетов необходимо представить матрицу Q(t) в
виде:
Q1 1 (t) ... Q1n (t)
Q(t) ...
... .
...
Q (t) ... Q (t)
nn
n1
82
99
Существует несколько вычислительных процедур для получения Qij(t), i,j=1, n .
Рассмотрим лишь одну для предельно простого случая, когда размерность Q(t) равна 2x2.
Пусть исходная одноконтурная система описывается уравнением:
2
dx (t)
d x(t)
a2 x (t) Kg(t) .
a1
2
dt
dt
Вводя замену переменных, получаем:
1
, B=(0,K), U=g(t).
a1
0
=AY+BU, где Y=(y1,y2), A=
Y
a2
Обозначим Y(0)=Y0 и преобразуем по Лапласу однородное уравнение:
pY(p)-Y(0)=AY(p).
Далее pY(p)-AY(p)=Y0, (pI-A)Y(p)=Y0, и наконец Y(p)=(pI-A)-1Y0.
Сравнивая полученные соотношения, видим, что матрицы Q(t) и (pI-A)-1 связаны парой преобразования Лапласа:
Q(t)=eAt=L-1{(pI-A)-1}.
Проведем расчет элементов матрицы Q(t).
Q (t) Q12 (t)
Q(t) 11
.
Q21 (t) Q 22 (t)
p 0 0
(PI-A)=
0 p a 2
1 p
a1 a 2
1
.
p a1
Проведем обращение этой матрицы:
1
Q (p) Q12 (p)
Q(p) 11
.
p
Q 21 (p) Q 22 (p)
p a1
1
(PI-A)-1=
p(p a1 ) a 2 a 2
Положим, что матрица A имеет вещественные различные собственные значения
a 1 a 12 4a 2 ,
ф
p 1, 2
2
что имеет место при a12>4a2, тогда элементы Q(t)=L-1[Q(p)] равны:
2 1
1
e p1t e p 2 t
pi t
e
Q12(t)=L-1[Q12(p)]= L-1 2
,
a12 4a 2
p a 1p a 2 i 1 2pi a1
Q21(t)= a 2
e p 2 t e p1 t
(получено из Q12(t) заменой 1 на –a2);
a 12 4a 2
2
p
Q22(t)=L [Q22(p)]= 2p a e
-1
pi t
i
i1
i
1
p e p1t p e p 2 t
;
1
2
a 12 4a 2
100
83
101
2p a e
2
Q11(t)=L-1[Q11(p)]=
p i a1
i1
i
1
pi t
p a
p a
1 1 e p1t 2 1 e p 2 t .
a12 4a 2
a12 4a 2
Изобразим, наконец, эту фундаментальную матрицу:
(p1 a1 )e p1t (p2 a1 )e p 2 t
Q(t)= 2
a 2 (e p 2 t e p1t )
a1 4a 2
1
.
p1e p1t p2 ep 2t
e p1t e p 2 t
Если собственные значения матрицы A комплексны, что имеет место при выполнении
неравенства a12<4a2:
a1
p 1, 2 j0 , 0 4a 2 a12 ,
2
то фундаментальная матрица приобретает вид:
a
1 sin 0 t
a1 t cos 0 t
20
Q(t)= e 2
a
ф 2 sin 0 t
0
sin 0 t
0
.
a
cos 0 t ф 1 sin 0 t
20
Видно, что в обоих вариантах матрица Q(t) сходится при t→0 к единичной
1 0
0 0
Q(0)=I=
,
а
при
t→∞
–
к
нулевой
Q(∞)=0=
0 0 .
0 1
Последнее равенство соответствует условию устойчивости. Действительно, т.к.
y1 (t) Q11 (t) Q 1 2 (t) y1 (0)
y (t) 0
i, j 1,2 .
, то lim 1 при lim Q ij (t) 0 ,
t
t y (t)
0
y
(t)
Q
(t)
Q
(t)
y
(0)
2 2 1
22
2
2
102
Это справедливо и для систем более высокой размерности. Заметим, что однородное
=AY описывает систему, изолированную от внешней среды, и точка равновесия
уравнение Y
соответствует нулевому вектору состояния.
Частное решение неоднородного уравнения можно представить в виде матричной
свертки:
t
t
y(t)=Q(t) Q ()BU()d K(t ) U()d ,
1
0
0
где K(t)=eAtB – матрица импульсных коэффициентов передачи. В соответствии со свойствами
преобразования Лапласа, изображение свертки оригиналов представляется произведением
изображений Y(p)=Ф(p)U(p), где Y(p)=L[y(t)], U(p)=L[u(t)], Ф(p)=L[K(t)] – матрица передаточных функций.
2.6.2.2 Устойчивость в пространстве состояний
Устойчивость динамической системы, заданной уравнением состояний, определяется
=AY, то есть свойствами матрицы A. Остасходимостью решения однородного уравнения Y
ется лишь уточнить, что это за свойства. В предыдущем разделе было рассмотрено решение
этого уравнения y(t)=Q(t)y(0)=L-1[(PI-A)-1]y(0), из которого вытекает, что устойчивость определяется не просто матрицей A, а разностью (PI-A). Не входя в подробности, следуя Р. Беллману (Введение в теорию матриц), укажем, что динамическая система будет устойчива, если
все корни характеристического уравнения PI-A=0 будут иметь отрицательные вещественные части, где PI-A – определитель матрицы (PI-A). Эти корни в теории матриц называются собственными числами матрицы A, а уравнение PI-A=0 называется собственной функцией матрицы A. Итак, система устойчива, если все собственные числа матрицы A имеют отрицательные действительные части.
Проверим этот критерий на знакомом примере – системе с тремя одинаковыми апериодическими звеньями и интегратором.
0
0
Матрица A= 0
K
3
T
1
0
0
1
3
T
p 0
0 p
разность (PI-A)=
0 0
0 0
p
0
= 0
K
T3
1
0
p
0
1
T3
1
p
3
T2
0
1
0
3
2
T
0
0
0
0 0
p 0 0
K
0 p T 3
0
0
0
1 ,
3
T
1
0
0
1
0
1
3
T
0
3
2
T
0
0
1 .
3
p
T
Определитель последней матрицы:
•=
K
1
3
3
(1) 3 3 (1) 2 p 2 (1)p 2 p p 3 .
3
T
T
T
T
0
0
1
3
T
103
Таким образом,
•=D(p)=
3
K
1
3
3 p 2 p2 p3 p4 .
3
T
T T
T
Приравнивая нулю D(p)=0 и умножая на T3, получаем знакомое уравнение:
D(p)=T3p4+3T2p3+3Tp2+p+K=0 .
Вновь следуя Беллману, отметим, что задача проверки матрицы A на устойчивость является довольно трудной и до сих пор не получено сколько-нибудь простого ее решения.
Если характеристический многочлен матрицы A получен, то существует множество критериев, по которым можно судить, имеют ли собственные числа матрицы A отрицательные действительные части. Наиболее полезным из них является знакомый критерий Гурвица. Однако еще раз подтвердим, что не существует сколько-нибудь простого его доказательства.
2.6.2.3 Фильтр Калмана
В тех случаях, когда необходимо минимизировать ошибку слежения в переходном
процессе, а также при работе системы в нестационарной среде, адекватным методом является метод Калмана-Бьюси. Этот метод заключается в сведении задачи нахождения оптимальной оценки случайного входного сигнала g(t) к решению некоторого дифференциального
уравнения. В отличие от фильтра Винера, случайные полезный и мешающий сигналы задаются не спектральными плотностями, а уравнениями состояний. Рассмотрим упрощенный
стационарный вариант задачи.
85
104
Пусть мешающие колебания представимы моделью белого шума с неизменной спектральной плотностью в полосе частот синтезируемой системы. Составим уравнение состояний лишь для полезного сигнала со спектральной плотностью
Sg()=
2n
1
2 ( n1)
S0
.
... n1 2 n
Факторизуя Sg(), находим АЧХ формирующего фильтра ψg(j), который преобразует
процесс типа белого шума u(t) в случайный полезный сигнал g(t) с заданными свойствами:
ψg(j)=
b0
.
(j) a1 ( j) ... a n1 j a n
n 1
n
На основании переходов j→p→d/dt, получаем:
d n g(t )
dg(t)
d n 1g(t)
a1
... a n1
a n g(t) b 0 u(t) .
n
n 1
dt
dt
dt
Расчленяя это уравнение на n уравнений первого порядка, получаем уравнение состоя
ний Y =AY+BU,
0
0
...
где A=
0
an
1
0
...
0
0
1
...
0
a n1
a n 2
0
0
... ,
1
... a1
...
...
...
...
n n , B=(0,0,…,0,b0), n 1 .
Чтобы из совокупности n переменных состояния выделить полезный сигнал, необходимо уравнение состояний дополнить уравнением g(t)=CY, где C=(1,0,0,…,0), 1 n .
Сформулируем задачу синтеза фильтра Калмана. Полезный сигнал задан n-мерным
=A(t)Y+B(t)U, где
нестационарным процессом, удовлетворяющим уравнению состояний Y
U(t) – случайный r-мерный процесс типа белого шума, порождающий случайный r-мерный
процесс Y(t).
Корреляционная матрица порождающего белого шума U(t) имеет вид:
Kuu(t,)=M[U(t),U()]=Q(t)δ(t-),
где Q(t) – квадратная матрица размерности r r , образованная из авто-qii и взаимно-qij (i≠j)
корреляционных функций компонент U(t).
На вход фильтра поступает m-мерная (m≤n) совокупность наблюдаемых величин, связанная с вектором состояний уравнением r(t)=C(t)Y+V, m 1 , где C(t) – матрица наблюдений (не все компоненты вектора состояний наблюдаемы), V(t) – случайный вектор шумов измерения, обычно типа белого шума, с корреляционной матрицей
KVV(t,)=M[V(t),V()]=R(t)δ(t-),
где R(t) – квадратная матрица размерности m m , образованная из авто-rii и взаимно-rij (i≠j)
корреляционных функций шумов измерения V(t); предполагается, что для R(t) существует
обратная матрица R-1.
Оптимальный фильтр, располагая вектором наблюдения r(t)=CY+V, m 1 , то есть
усеченной (m<n), искаженной (шумы измерения V(t)) информацией о векторе состояния Y(t),
n 1 , должен выработать такую его оценку x(t), n 1 , которая соответствует min M[(xi-yi)2],
i=1, n . Формально эту оценку можно представить как условное математическое ожидание
x(t)=M[y(t)/r(t)] .
86
105
Отправляясь от этого выражения, путем довольно громоздких выкладок, было получено уравнение, которому должен удовлетворять искомый фильтр:
dx
A(t)x (t) K(t)[r(t) C(t)x(t)] ,
dt
где K(t)=P(t)C(t)R-1(t) – матрица коэффициентов передачи фильтра,
P(t)=M[(y(t)-x(t)) (y(t)-x(t))] – дисперсионная матрица ошибок фильтра, ее элементы образуются в соответствии с выражением Dij=M[(yi(t)-xi(t))((yj(t)-xj(t))], i,j=1, k ; при i=j образуются
элементы главной диагонали – дисперсии ошибок фильтра Dii= M[(yi(t)-xi(t))2], i=1, n , которые и дают критерий оптимальности.
Дисперсионная матрица, в свою очередь, определяется на основе решения дисперсионного уравнения
dx
=AP+PA-PCR-1CP+BQB .
dt
Это – нелинейное дифференциальное уравнение Риккати((Ricatti) Якопо Франческо
(1676-1754) итальянский математик). Для его решения необходимо начальное значение дисперсионной матрицы. Так как в момент t=0 выходной сигнал фильтра равен нулю (x(0)=0),
то P(0)=M[y(0)y(0)]. Значения элементов этой матрицы обычно известны.
Структурная схема калмановского фильтра в соответствии с его дифференциальным
уравнением представлена на рис.2.39.
Для примера рассмотрим одномерный фильтр Калмана. Пусть управляющая переменная g(t) является реализацией стационарного случайного процесса с дисперсией D и спектральной плотностью Sg()=S0/(1+T22), S0=2D/0, T=1/0.
На вход фильтра поступает сумма полезного и мешающего колебаний r(t)=g(t)+V(t),
где V(t) – реализация процесса типа белый шум со спектральной плотностью SV()=N=const
и корреляционной функцией KVV()=N() (R=N). Отнеся величину S0 к порождающему белому шуму u(t) и факторизуя оставшуюся часть спектральной плотности сигнала, получим
передаточную функцию формирующего фильтра:
ψg(p)=
1
1 Tp
.
Таким образом, уравнение состояний становится одномерным, причем A=-1/T, B=1/T,
y=g(t), R(t)=N, C=1, Q(t)=S0, то есть все матрицы и вектора стянулись в скалярные величины.
Это объясняется одномерностью рассматриваемого случая. Мерилом оптимальности является дисперсия ошибки minM[(g(t)-x(t))2] .
dx
1
x K (t )[r(t) x(t)] ,
Переходим к уравнению Калмана:
dt
T
P(t)
где K(t)=
, а P(t) определяется из решения дисперсионного уравнения
N
dp
2
1
S
AP PA1 PC1R 1CP BQB P P 2 02 .
dt
T
N
T
87
106
Это нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами. Периодически повторяющееся решение дисперсионного уравнения дает обновленные значения P(t) и следовательно K(t). Таким образом, калмановский фильтр является
нестационарным устройством, коэффициент передачи которого приводится в соответствие с
текущей ошибкой фильтрации. Структурная схема этого фильтра представлена на рис.2.40.
Найдем характеристики установившегося режима фильтра в предположении стационарности окружающей среды.
При этом lim P(t) D const , а дисперсионное уравнение становится алгебраическим:
t
S
1 2 2
D D 02 0 .
N
T
T
Так как дисперсия – величина неотрицательная, берем лишь одно значение корня
S
N
D= 1 0 1 .
T
N
При благоприятном соотношении сигнал-помеха S0>>N обеими единицами можно
пренебречь:
D
S0 N
T
.
Обозначим коэффициент передачи фильтра в установившемся режиме K(∞)=D/N=k,
тогда:
dx
1
dx
x k (r x) или x Kr , где =T/(kt+1), K=kT/(kT+1),
dt
T
dt
то есть в стационарной среде по завершении переходного процесса фильтр Калмана сходится к фильтру Винера (см. пример винеровской фильтрации).
88
107
ГЛАВА III.
ОСОБЕННОСТИ АНАЛИЗА ДИСКРЕТНЫХ
РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ АВТОМАТИКИ
Дискретные системы объединяют две группы систем, в которых квантуется временная
координата: первая – импульсные, вторая – цифровые; во второй группе квантуется и другая
информативная координата. Между этими системами много общего и это позволило для их
изучения использовать общий математический аппарат разностных уравнений и дискретного
преобразования Лапласа.
3.1ИМПУЛЬСНЫЕСИСТЕМЫ
Очевидным признаком импульсной системы является наличие в контуре по меньшей
мере одного импульсного элемента. В дальнейшем будем размещать его сразу после сравнивающего устройства. Из всех видов импульсной модуляции будем иметь в виду амплитудноимпульсную. Главной чертой импульсной системы является прерывистость обновления сигнала ошибки, его значение часто сохраняется неизменным до следующего импульса. Обычно
полагают, что длительность импульса гораздо меньше периода следования, а сам период –
неизменен.
3.1.1 Импульсный элемент
На рис.3.1 представлена блок-схема импульсной системы, где выделены импульсный
элемент (ИЭ) и непрерывная часть (НЧ). Если непрерывная часть линейна, ее можно описать
с помощью импульсной переходной функции KH(t) или передаточной функции WH(p):
t
x(t)= K H ()y(t )d , x(p)=WH(p)Y(p) .
0
Описание сравнивающего устройства также
традиционно E(t)=g(t)-x(t), однако, учитывая последующее квантование времени в импульсном элементе t=mT, непрерывные функции следует заменить на решетчатые E(mT)=g(mT)-x(mT).
Для удобства дальнейшего рассмотрения импульсный элемент целесообразно расчленить на простейший импульсный элемент, вырабатывающий кратковременные дельта-импульсы с периодом T, и формирующую часть, определяющую лишь форму импульса
(рис.3.2).
Часто импульсный элемент вырабатывает прямоугольные импульсы длительностью T,
такое устройство получило название экстраполятора нулевого порядка.
Для описания прямоугольной формы используют разность двух ступенчатых функций
S(t)=1(t)-1(t-T). Передаточная функция формирующей части при этом равна:
89
108
1 e pT
S(p)=L[S(t)]=
.
p
Представим выходной сигнал невынужденного простейшего импульсного элемента (рис.3.3) в виде немодулированной последовательности
0 jk0 t
*
*
-импульсов T (t) (t mT ) или в виде ряда Фурье T (t)
e , где 0=2/T – ча2 k
m
стота квантования.
Модуляция состоит в операции умножения E*(t)=E(t) *T (t) (рис.3.2, 3.3). Найдем
лапласово изображение этой величины с учетом двух форм представления *T (t) :
pt
mpT
D{E(mT)} ;
1) E (p)=L[E(t) (t mT) ]= E(t)e (t mT)dt E(mT)e
*
m
2) E*(p)=L[E(t)
m 0
m
0 jk 0T
0
2
( p jk ) t
E(t)e
dt
e
]=
E (p jk0 ) Д{E(p)} ,
0 k
2 k 0
2 k
0
pt
где E(p)= E(t)e dt .
0
Получены две формулы дискретного преобразования Лапласа, в первой операндом
служит решетчатая функция, во второй – непрерывное изображение Лапласа от аналоговой
функции (рис.3.4).
В качестве примеров рассмотрим непрерывную и решетчатую экспоненты
e t 0, t 0,
1) x(t)=
t0
0
ее изображение: x(p)= e
1
e dt
;
p
t pt
0
e
по мере убывания α постоянная времени экспоненты 1/ возрастает и lim
0
ствующее изображение 1/p;
e mt 0, m 0,1,2,...
2) x(mt)=
m 1,2,...
0
-mT
ее изображение: x (p)=D{e
*
}=
m 0
e
mT
e
p mT
1 e
m 0 e ( p ) mT
t
1(t) , соответ-
e pT
1
( p) T
pT
T
,
e e
при →0 приходим к решетчатой ступенчатой функции с изображением epT/( epT-1).
В отличие от непрерывного изображения Лапласа, его дискретный вариант является
функцией оператора epT, периодичного вдоль мнимой оси j с периодом 2/T, поэтому и все
графические представления изображений x*(p) над плоскостью p=σ+j периодичны вдоль
109
90
110
мнимой оси, что приводит к периодичности и частотных характеристик. Частотные характеристики дискретных систем полностью определены в интервале (00), где 0=2/T.
3.1.2 Передаточные функции импульсных систем
Представим импульсную систему в виде совокупности простейшего импульсного элемента и приведенной непрерывной части с передаточной функцией W(p)=S(p)WH(p)
(рис.3.5).
Составим уравнение контура: участок схемы справа от простейшего импульсного элемента X(p)=W(p)E*(p), участок схемы слева от простейшего импульсного элемента
E(p)=G(p)-X(p). Исключая X(p) из этих соотношений, получаем:
E(p)=G(p)-W(p)E*(p).
Это уравнение не охватывает простейший импульсный элемент, и поэтому оно получилось разноязыким (E(p), E*(p)). Чтобы учесть его, воспользуемся второй формулой дискретного преобразования Лапласа Д:
Д[E(p)]=Д[G(p)]-Д[W(p)E*(p)] .
Так как оператор Д переводит непериодическое изображение в периодическое, то ДД
эквивалентно Д, и поэтому E*(p)=G*(p)-W*(p)E*(p) и далее:
E*(p)=
1
G * (p ) .
*
1 W (p)
Подобным образом находим
W * (p)
X* (p)
G * (p) .
1 W * (p)
По определению X*(p)/G*(p)=W*(p)/(1+W*(p)) – передаточная функция замкнутой импульсной системы, E*(p)/G*(p)=1/(1+W*(p))=Ф*E (p) – передаточная функция ошибки замкнутой импульсной системы, X*(p)/E*(p)=W*(p) – передаточная функция разомкнутой импульсной системы.
Пример 1 импульсной системы первого порядка, состоящей из экстраполятора нулевого порядка и апериодического звена (рис.3.6). Передаточная функция формирующего
устройства S(p)=(1-e-Tp)/p, передаточная функция непрерывной части WH(p)=K1/(T1p+1), передаточная функция приведенной непрерывной части:
91
111
1 e T p
K1
W(p)=S(p)WH(p)=
.
p
T1p 1
Получим передаточную функцию разомкнутой импульсной системы:
1
1 e Tp K1
Tp
*
W (p)=Д
K 1 (1 e )Д
.
T1 p 1
p
p(T1 p 1)
Так как 1/(p(T1p+1))=1/p-1/(p+1/T1), то
1
e pT
e pT
1
1
Д
.
Д Д
pT
T
p
p (T1 p 1)
p 1 e 1 e p T e T1
T1
Таким образом,
T
pT
T1
e Tp
e
1
e
K1
W*(p)=K1(1-e-pT) pT
.
T
T T
e 1 pT
pT
T1
1
e e
e e
Передаточные функции замкнутой импульсной системы:
T
K 1 (1 e T1 )
W * (p)
Ф*(p)=
,
1 W * (p) e pT K (1 e T T1 ) e T T1
1
1
Ф*E(p)=
e pT e
T
T1
T
*
1 W (p)
e p T K1 (1 e
.
T
T1
) e
T1
Пример 2 импульсной системы второго порядка: импульсный элемент вырабатывает импульсы малой длительности, поэтому форма импульса не
имеет значения, моделью такого импульсного элемента может служить простейший импульсный элемент, непрерывная часть – интегратор и апериодическое звено (рис.3.7). Передаточные функции непрерывной части и приведенной непрерывной части совпадают: W(p)=WH(p)=K1/p(T1p+1).
Передаточная функция разомкнутой импульсной системы:
T
pT
pT
T1
e pT
K
e
)
K
e
(1
e
1
1
W*(p)=Д
.
K 1 pT
T
T
pT
pT
T
pT
e
T
p(T
p
1)
1
1
1
1
e e
)(e 1)
(e e
Передаточные функции замкнутой импульсной системы:
Ф (p)=
K1 (1 e
*
e2 pT [K1 (1 e
T T1
Ф (p)=
2 pT
e
[K1 (1 e
T1
)e p T
) 1 e T1 ]e p T e
T
e 2 p T (1 e
*
E
T
T T
1
T
T1
)e p T e
T
T
T
,
T1
T1
) 1 e T1 ]e pT e
T
.
T1
112
92
113
Заметим в заключение, что передаточные функции импульсных систем образованы
многочленами по степеням epT; условие физической реализуемости как и в непрерывных системах: степень многочлена числителя не должна превосходить степени многочлена знаменателя.
3.1.3 Устойчивость импульсных систем
Условия устойчивости импульсных систем и в определениях, и в требованиях к характеристикам похожи на условия устойчивости непрерывных систем. Более того, и способы доказательства условий устойчивости также подобны ранее рассмотренным. Поэтому, не повторяясь, сразу сформулируем эти условия.
Исходное определение устойчивости: импульсная система устойчива, если в ответ на
ограниченное воздействие наблюдается ограниченная реакция.
Условие устойчивости в терминах импульсной переходной функции: абсолютная сходимость сумы дискрет импульсной переходной функции
K(nT) .
n 0
Требование к передаточной функции устойчивой системы: отсутствие полюсов Ф*(p)
в правой полуполосе Ф*(p)<∞, Re p≥0, -0/2≤Im p≤0/2. Требование к корням характеристического уравнения D*(p)=0: левополосное расположение всех корней, то есть Re pi<0,
-0/2≤Im pi≤0/2, где pi, i=1, n – корни уравнения
D*(p)=a0enpT+ a1e(n-1)pT+…+ an-1epT+ an=0.
Однако, как и прежде, ни одно из сформулированных положений не может служить
рабочим инструментом для решения задачи устойчивости для больших n, причем по тем же
самым соображениям, что и в непрерывных системах. Поэтому были разработаны критерии
устойчивости. Хронологически теория импульсных систем развивалась позднее теории непрерывных систем, поэтому она унаследовала и
приемы, и терминологию критериев устойчивости непрерывных систем.
3.1.3.1 Алгебраический критерий
Сравним характеристические многочлены
и области устойчивости непрерывных и импульсных систем (рис.3.8).
Для того, чтобы применить алгебраический критерий, необходимо: 1) перейти от трансцендентного многочлена к алгебраическому и 2)
совместить области устойчивости. Этот переход выполняется путем замены переменной
epT=V, p=(1/T)lnV,
1
D* ( ln V) D*1 (V) a0Vn+a1 Vn-1+…+ an-1 V+ an ,
T
и теперь характеристический многочлен D1* (V) задается над новой комплексной плоскостью
V. Причем прежняя область устойчивости – левая полуполоса – преобразуется в круг единичного радиуса с центром в начале координат, а граница – отрезок мнимой оси от -j0/2 до 0/2
в окружность (рис.3.9).
93
114
Рассмотрение соотношения V=epT показывает, что вещественные корни из плоскости
p умещаются на правом радиусе окружности из плоскости V (e-σT(1,0) при -∞>σ≥0), а корни,
лежащие на границах полос -j0/2 – на левом (e-Tj(-1,0)). Во втором случае будет развиваться затухающий колебательный процесс с частотой 0/2. Такая ситуация возможна даже
для системы первого порядка D*(p)=a0epT+a1, когда коэффициенты a0, a1 имеют одинаковые
знаки.
На плоскости V возможна новая формулировка условий устойчивости: импульсная система устойчива, если все корни D*1(V)=0 удовлетворяют неравенству Vi<1, i=1, n . Этот
критерий применим только для систем порядка n≤4.
Совмещение областей устойчивости непрерывных и импульсных систем возможно
путем перехода к новой комплексной плоскости U, связанной с плоскостью V билинейным
преобразованием V=(U+1)/(U-1), билинейным, потому что U=(V+1)/(V-1). Действительно,
окружность из плоскости V разворачивается
во всю мнимую ось плоскости U, а круг единичного радиуса размазывается по всей левой
полуплоскости U, правая же половина плоскости U образуется из всей остальной части
плоскости V.
Рис.3.10 служит доказательством этого утверждения: при Re U=0, V=1 – центральная часть, Re U<0, V<1 – левая часть,
Re U>0, V>1 – правая часть.
Проведем замену переменной, умножив одновременно D*1(V) на (U-1)n:
U 1
(U 1) n D1*
D 2* (U)
U 1
a 0 (U 1) n a1 (U 1) n1 (U 1) ... a n1 (U 1)(U 1) n 1 a n (U 1) n .
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим новую форму характеристического многочлена:
n
n
D *2 (U) A 0 U n A1 U n1 ... A n 1 U A n , где A0 a i , A n (1) i a i ,
i 0
i0
n
n
i
i n i
i!
(1) j , K 1, n 1,
A K a i
– биномиальные коэффициенj
k
j!(i
j)!
j
j
i 1
j0
ты, и возможность непосредственного использования критерия Гурвица: импульсная система
устойчива, если A0>0 и все определители Гурвица
Δ1=A1>0, Δ2=
A1
A3
A0
>0,…, Δn=AnΔn-1>0 .
A2
115
94
116
Рассмотрим примеры.
1. n=1: D*(p)=a0epT+a1, D* 1(U)=a 0(U+1)+a1(U-1)=(a0+a1)U+(a0-a1) .
Для систем первого и второго порядка условие Стодолы является достаточным:
A0=a0+a1>0 ,
A1=a0-a1>0 .
2. n=2: D*(p)=a0e2pT+a1epT+a2, D*1(U)=a0(U+1)2+a1(U2-1)+a2 (U-1)2=
=(a0+a1+a2)U2+2(a0-a2)U+(a0-a1+a2) .
Неравенства Стодолы:
A0=a0+a1+a2>0 , A1=a0-a2>0 , A2=a0-a1+a2>0 .
3.1.3.2 Частотный критерий
Рассмотрим соотношение
1
D * (p)
*
1
W
(p
)
,
*
*
Ф E (p)
D p (p)
где Ф*E (p) – передаточная функция ошибки замкнутой системы, W*(p) – передаточная функция разомкнутой системы, D*p (p), D*(p) – характеристические многочлены разомкнутой и замкнутой систем. Произведя замену переменной V=epT, p=(1/T)lnV, получим:
D* (V)
1
1 W * ln V 1 W1* (V) *1
.
D 1p (V)
T
Замкнутая импульсная система устойчива, если все корни D*1(V) принадлежат единичному кругу V<1. Этот факт можно установить следующим образом.
Представим дробь в виде
n
D1* (V) i
1n
*
D1p
(V)
(V Vi )
Н
(V V )
, где Vi Н, VjП – ее нули и полюсы соответственно.
П
j
j 1
Положим, что на самой окружности ни нулей, ни полюсов нет, они все распределены
внутри и снаружи окружности. Тогда приращение аргумента комплексной дроби при изменении переменной V вдоль окружности против часовой стрелки один раз равно:
arg [1 W1* (V)] 2(N Н N П )
,
V 1
пр.час .стрелки
где NН, NП – число внутренних полюсов и нулей соответственно. Действительно, внешние
полюсы и нули приращение аргумента не дают, а внутренние, образующие разностные векторы (V-ViН) и (V-VjП ) дают приращение +2 и -2 соответственно (рис.3.11). Отсюда следует, что замкнутая система будет устойчива (NН=n), если
0,
arg [1 W1* (V)]
V 1
SП 2,
пр.час .стрелки
N П n,
NП n SП ,
117
95
118
где SП – число внешних полюсов разомкнутой, стало быть
неустойчивой, системы.
Возвращаясь к плоскости [1+W*(j)], перепишем последнее соотношение в виде:
0,
arg [1 W1* ( j)]
S П 2 ,
0 0
2
2
N П n,
N П n SП ,
где SП – число правополосных корней характеристического
уравнения разомкнутой системы.
При переходе к плоскости W*(j) понятие приращение
аргумента, связанное с охватом или не охватом начала координат, утрачивает смысл, критическая точка смещается на
единицу влево и формулировка условий устойчивости выглядит следующим образом.
Система, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет
устойчива в замкнутом, если годограф W*(j) в интервале частот (00/2) не охватывает критической точки [-1,j0]
(рис.3.12); или система, неустойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива в замкнутом, если годограф W*(j) в
интервале частот (00/2) охватывает SП/2 раз критическую
точку [-1,j0] против часовой стрелки.
3.1.3.3 Сравнение динамических свойств непрерывных и импульсных систем
Сравнение коснется двух сторон явления: устойчивости и вида переходных процессов. Сначала рассмотрение проведем в пространстве коэффициентов характеристического
многочлена, а затем в пространстве параметров контура.
а) В пространстве коэффициентов
n=1
НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ
ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
D(p)=a0p+a1.
D*(p)=a0epT+a1.
Условие устойчивости Стодолы a0>0,
Область устойчивости определяется неa1>0 является необходимым и достаточным. равенствами a0+a1>0, a0-a1>0. Границы обНа плоскости a0,a1 областью устойчиво- ласти устойчивости: a1=a0, a1=-a0 (рис.3.15).
сти является первый квадрант (рис.3.13).
Возможны монотонные и колебательные процессы, соответствующие области разделены осью абсцисс (a1=0).
Для нормированного характеристического многочлена
D*(p)=epT+a1/a0
Для нормированного характеристическоусловие устойго многочлена D(p)=p+a1/a0 область устойчивости
чивости a1/a0>0 (рис.3.14). Переходный процесс монотонный. Мера области устойчивоa1/a0<1.
сти ∞.
Мера области устойчивости равна 2
(рис.3.16).
На границе a1=0 рассматриваемая система вырождается в звено задержки.
96
119
n=2
Сразу обращаемся к нормированным характеристическим многочленам.
НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ
D(p)=p2+a1p/a0+a2/a0.
ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
D*(p)= epT+ a1epT/a0+a2/a0.
Условие Стодолы выделяет в качестве
Область устойчивости, определенная необласти устойчивости первый квадрант равенствами 1+a1/a0+a2/a0>0, 1-a2/a0>0, 1плоскости: a1/a0>0, a2/a0>0 (рис.3.17).
a1/a0+a2/a0>0 (рис.3.18) представляет собой
Возможны как монотонные, так и колеба- симплекс (в переводе с латинского – протельные процессы; граница, разделяющая стой). Но этот термин характеризует лишь
эти области – квадратичная парабола
простоту очертаний области устойчивости.
Внутри нее – богатое разнообразие моно2
тонных и колебательных процессов, опреa 2 1 a 1
деленное соотношениями a1/a0, a2/a0.
a 0 2 a 0
Одинарная штриховка соответствует границе для одного вещественного корня,
двойная – границе для пары комплексных
Областью монотонных процессов явкорней.
ляется
лишь сегмент, ограниченный левой
Мера области устойчивости ∞.
ветвью параболы, осью абсцисс и левой
границей симплекса. В этом можно убедиться, сравнивая выражение
2
a a
a
V1, 2 1 1 2 с рис. 3.18.
2a 0
2a 0 a 0
120
97
121
б) В пространстве параметров.
В системах невысокого порядка легко установить связь между коэффициентами характеристического многочлена и параметрами звеньев. Поэтому в качестве исходного материала используем структурные схемы.
n=1
НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ
ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
Передаточная функция разомкнутой системы W * (p)
K1 (1 e
T
T1
)
T
e p T e T1
(рис.3.21), характеристический многочлен
*
D (p)=epT+K1(1-e-T/T1)-e-T/T1.
Условия устойчивости:
a0+a1=1+K1(1-e-T/T1)-e-T/T1>0, поделив неравенство на неотрицательную величину
(1- e-T/T1),
получаем K1>-1; a0-a1=1-K1(1- eT/T1)+ eT/T1>0.
Условие устойчивости следует из хаT
рактеристического многочлена
1 e T1
T
Так как
, то второе нера cth
D(p)=T1p+1+K1 (рис.3.19),
a0=T1>0,
T
2T
T1
1
1 e
a1=K1+1>0.
венство
имеет
вид K1<cth(T/2T1). Таким обОбласть устойчивости – первый квадрант плоскости K1, T1 плюс единичная по- разом, область устойчивости ограничена нералоса (рис.3.20). При K1→0 длительность венствами -1<K1<cth(T/2T1) (рис.3.22).
переходного процесса возрастает, а
точность работы контура убывает. При
K1=-1 контур становится интегратором.
Возможны лишь монотонные процессы.
В импульсных системах даже первого порядка возможны колебательные переходные
процессы с единственной частотой 0/2. Условие колебательности – одинаковые знаки a0 и
a1. Так как a0=1, то границей между монотонными и колебательными процессами является
равенство a1=0, откуда следует
e
K1
T
e
98
2T1
T
2 T1
e
T
(рис.3.22).
2 T1
122
n=2
НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ
Характеристический
(рис.3.23):
D(p)=T1p2+p+K1.
ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
многочлен
Передаточная функция разомкнутой системы (рис.3.25):
W (p)
*
K1 (1 e
T
T1
)e pT
(e p T 1)(e p T e
Условия устойчивости: T1>0, K1>0.
T
,
T1
)
характеристический многочлен:
D*(p)=a0e2pT+a1epT+a2 , где a0=1,
a1=K1(1-e-T/T1)-1-e-T/T1, a2=e-T/T1 .
Условия устойчивости:
a0+a1+a2=1+K1(1-e-T/T1)-1-e-T/T1+e-T/T1>0 ,
это приводит к неравенству K1>0.
a0-a2=1-e-T/T1>0 неинформативно,
a0-a1+a2=1-K1(1-e-T/T1)+1+e-T/T1+e-T/T1>0.
Область устойчивости: весь первый квадЭто приводит к неравенству K1<2cth(T/2T1)
рант плоскости K1,T1 (рис.3.24). Граница
между монотонными и колебательными
Таким образом, область устойчивости
процессами
определяется
гиперболой
ограничена неравенствами
K1=1/4T1.
0<K1<2cth(T/2T1) (рис.3.26).
Граница между областями монотонных
и колебательных переходных процессов
определяется из условия a1=0, откуда следует K1=cth(T/2T1) (рис.3.26).
99
123
3.1.3.4 Амплитудно-фазовые частотные характеристики
импульсных систем
Для исследования устойчивости по критерию Найквиста следует использовать АФЧХ.
В общих чертах они строятся также, как характеристики непрерывных систем, но в отличие
от последних, надо учитывать их периодичность.
Рассмотрим систему первого порядка с передаточной функцией
T
W (p)
*
K1 (1 e
e pT e
T
T1
)
.
T1
Подставляя p=j, получим W ( j)
*
K1 (1 e
e
T
T1
T
e
j T
)
и сразу находим
T1
T
T1
)
T
0
K
1 (1 e
начальную W (j0)=K1 и конечную W ( j )
точки годографа.
K 1th
T
2T1
2
1 e T1
*
*
Они лежат на действительной оси. Для того чтобы связать эти точки, воспользуемся формулой Эйлера:
K1 (1 e
W ( j)
*
e
T
T
T1
)
K 1 (1 e
cos T jsin T
T1
T
(e
T1
T
T
)(e
T1
T1
cosT jsin T)
.
cos T) sin T
2
2
Видим, что повсюду на частотах 0<<0/2
мнимая часть выражения отрицательна и монотонна
(рис.3.27). Устойчивость определяется положением
абсциссы годографа на частоте 0/2 относительно
точки [-1,j0]. Система, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива и в замкнутом, если выполняется
неравенство
–1<-K1th(T/2T1)
или
K1<cth(T/2T1).
Отметим следующие факты.
1) С ростом K1 и T ухудшаются условия устойчивости.
2) При T→0 высокочастотный конец годографа приближается к началу координат. В
пределе при T=0 импульсная система переходит в непрерывную с годографом в
виде полуокружности (рис.3.27). При этом система становится устойчивой при
сколь угодно больших значениях K1.
3) При K1≥th(T/2T1) происходит охват точки [-1,j0] и система возбуждается именно
на частоте 0/2.
Рассмотрим систему второго порядка (рис.3.25) с передаточной функцией
K1 (1 e
W (p )
T
T1
*
(e
pT
)e p T
1)(e e
pT
T
.
T1
)
Ее можно представить в виде произведения двух операторов W*(p)=W*1(p)W*2(p), где
W (p)
*
1
K 1 (1 e
T
T
e pT e
T1
T1
)
,
e pT
.
W2* (p) pT
e 1
Оператор W*1(p) изучен (рис.3.27), поэтому рассмотрим лишь W*2(p). Подставляя
p=j, получим W*2(p)=ejT/(ejT-1). Высокочастотный конец годографа находится сразу:
100
124
W2* ( j
0
2
)
1
.
2
Для определения начальной точки годографа, да и всей кривой, воспользуемся вновь
формулой Эйлера
cos T jsin T
W2* ( j)
.
cos T 1 jsin T
Умножая числитель и знаменатель на множитель, комплексно-сопряженный знаменателю, получим:
(cos T jsin T )(cos T 1 j sin T) 1
T
W2* ( j)
(1 jctg
).
2
2
(cos T 1) sin T)
2
2
Таким образом W*2(j0)=0.5-j∞, а весь годограф – полубесконечная прямая, параллельная отрицательной мнимой оси (рис.3.28). Теперь нетрудно изобразить годограф
W*(j)=W*1(j)W*2(j), помня о том, что при перемножении комплексных выражений модули
перемножаются, а аргументы складываются (рис.3.28). Из критерия Найквиста и рис.3.28
следует, что для устойчивости рассматриваемой системы необходимо, чтобы
–1<-0.5K1cth(T/2T1), откуда следует известное условие K1<2cth(T/2T1).
3.1.4 Расчет переходных процессов в импульсных системах
При анализе качества процесса регулирования непрерывных систем радиоавтоматики
мы не останавливались на конкретных приемах расчета переходных процессов, отсылая к
методам моделирования, получившим широкое распространение в практике отладки структурных схем. При изучении же импульсных систем найдено целесообразным рассмотреть
эти приемы, т.к. в процессе расчетов рельефно выделяются особенности переходных процессов, присущие лишь дискретным системам, да и сами процедуры расчетов поучительны.
В импульсных системах, подобно тому, как это делается в непрерывных, анализ качества основан на изучении переходных процессов, вызванных типовыми воздействиями. Набор их тот же, что и в непрерывных системах: ступенчатая решетчатая функция, единичное
импульсное воздействие и т.п. Чаще всего используется единичная решетчатая ступенчатая
функция g(mT)=1(mT). Ее изображение равно G*(p)=epT/(epT-1). Это воздействие порождает
переходный процесс, изображение которого равно H*(p)=Ф*(p)epT/(epT-1). Остается найти
лишь оригинал h(nT)=D-1(H*(p)). Эту процедуру можно осуществить несколькими путями:
101
125
простейший способ – воспользоваться таблицей оригиналов и изображений;
если в таблице отсутствуют необходимые соотношения, то можно воспользоваться
формулами обращения, о которых ниже;
- третий путь – использование формул разложения, которые были использованы
при рассмотрении примеров передаточных функций импульсных систем.
Рассмотрим подробнее второй путь, т.е. формулы обращения.
В качестве исходного соотношения возьмем первую формулу дискретного преобразования Лапласа Д:
-
H* (p) h(nT)e n pT .
n 0
Умножим обе части равенства на empT и проинтегрируем вдоль прямой (C-j0/2,
C+j0/2), где C выбрано настолько большим, чтобы все полюсы H*(p) оказались левее.
Cj
0
C j
2
0
*
mpT
H (p)e dp
Cj 0
2
2
e
n pT
h(nT)e mpT dp .
n 0
C j 0
2
Меняя порядок суммирования и интегрирования в правой части равенства, находим:
Cj
0
2
e
Cj
pT ( n m )
0
при n m (в силу периодичности e pT ( nm ) )
0
dp
j0
при n m .
2
Таким образом,
Cj
h(mT )
1
j0
0
2
H (p)e
*
Cj
mpT
dp .
0
2
В устойчивых системах полюсы оператора H*(p) имеют отрицательные вещественные
части, поэтому интегрировать можно вдоль мнимой оси, полагая C=0:
j
1
h(mT )
0
2
H (p )e
*
j0
j
mp T
dp .
0
2
Это первая формула обращения. Вторая получается при замене q=pT
h(m)
j
1
H (q)e dq , третья при V=e =e :
j2
*
qm
pT
q
j
h(m)
1
H * (V)V m1dV , где Vm-1 потому, что q=lnV, dq=dV/V.
j2 V 1
Вычисление таких контурных интегралов удобно проводить на основе теории вычетов
по формуле
l
h(mT ) Re sH * (p)e pT( m 1) epT e p iT , где epiT – полюсы H*(p), i 1, l .
i1
Вычет в простом полюсе вычисляется по формуле
126
102
127
Re sH * (p)e pT ( m 1) lim (e pT e p i T )H * (p)e pT ( m1) ,
pp i
в кратном кратности r:
ResH * (p)e pT( m 1 )
d r 1
1
pT
lim p T( r 1) (e pT e i ) r H * (p)e pT( m 1) .
(r 1)! p p i de
3.1.4.1 Дискретная модель импульсного дальномера
с одним интегратором
Вновь возвращаемся к ранее изученной с использованием аналоговой модели системы
радиоавтоматики. Тогда были установлены следующие ее свойства: отсутствие ошибки в
установившемся режиме, абсолютная устойчивость при любых коэффициентах передачи, монотонность переходных процессов. Подвергнем ревизии перечисленные положения на основе дискретной модели.
Для ее получения воспользуемся
структурной схемой (рис.3.29). В ее состав
входят импульсный элемент в виде экстраполятора нулевого порядка WЭ(p)=(1-e-pT)/p
и интегратора WН(p)=K/p. Совместно они
образуют приведенную непрерывную часть
W(p)=WЭ(p)WH(p). Задача заключается в
определении W*(p). Для ее решения представим W(p) в виде
W (p)
W(p) (1 e Tp ) H
.
p
В области оригиналов левая часть равенства есть импульсная переходная функция
приведенной непрерывной части K(t)=L-1[W(p)], правая – разность переходных функций непрерывной части hH(t)-hH(t-T) (hH(t)=L-1[WH(p)/p]). Обозначая их дискретные изображения
W*(p) и H*H(p) соответственно, получим:
W * (p) (1 e Tp )H *H (p) .
В нашем случае hH(t)=Kt1(t) – переходная функция интегратора. По таблице ПЗ находим соответствующее дискретное изображение: H*H(p)=KTepT/(epT-1)2 (Г.Ф.Коновалов, Радиоавтоматика, М.,В.Ш.,1990, стр.323, вторая строка).
В результате
W * (p) (1 e Tp )
KTe pT
KT
pT
.
pT
2
(e 1)
e 1
Рассмотрим частотные характеристики, при p=j: W*(j)=KT/(ejT-1). Используя стандартный прием с формулой Эйлера, получаем:
KT
T
АФЧХ: W * ( j) 1 jctg
,
2
2
АЧХ:
W * ( j)
T
KT
1 jctg 2
2
2
KT
,
T
2 sin
2
103
128
ФЧХ:
* () arctgctg
T
T
.
2 2
2
На рис.3.30 приведены годографы векторов W*(j)=KT/(ejT-1) и W(j)=-K/j (интегратор). Если интегратор с обратной связью устойчив при любых коэффициентах
передачи, то интегратор с импульсным
элементом ограничен по коэффициенту
передачи неравенством K<2/T, в противном случае произойдет охват критической точки [-1,j0]. Заметим, что при T→0
дискретная модель сходится к аналоговой; напротив, рост T (уменьшение частоты квантования) сдвигает годограф
влево, создавая угрозу устойчивости.
Проверим соображения об устойчивости системы алгебраическим критерием:
D*(p)=epT-1+KT. В этом соотношении a0=1, a1=KT-1. Из неравенств критерия a0+a1>0, a0-a1>0
следует, что область устойчивости принадлежит интервалу 0<K<2/T, что соответствует предыдущему.
Рассчитаем переходную характеристику:
e pT
KT
.
Ф * (p) , Ф* (p)
H* (p) pT
e 1
KT 1 e pT
Так как область устойчивости определена интервалом
0<KT<2, выберем для начала равноудаленную от границ точку KT=1. Тогда Ф*(p)=e-pT превращается в оператор задержки
на один такт и монотонный переходный процесс завершается
именно за один такт h(nT)=1[(n-1)T] (рис.3.31) – предельно
возможное быстродействие.
Ранее отмечалось, что в системе первого порядка возможен не только монотонный, но и колебательный переходный процесс и даже указывалось условие колебательности –
разные знаки коэффициентов a0 и a1. В рассматриваемом случае a0=1, a1=KT-1. Таким образом, выбор KT=1 попал на границу монотонных и колебательных переходных процессов
(рис.3.32).
Просчитаем переходные процессы по обеим сторонам
границы.
e p T 0.5
1) KT=0.5 , H (p) p T
.
e 1 e pT 0.5
*
Оператор H*(p) имеет два полюса: e p1T 1,
1n 0.5 n
(e 1)e
(e 0.5)e
h(nT) 0.5 lim p T
lim
0.5
1 0.5n .
pT
pT
pT
p p1 (e 1)(e 0.5) p p 2 (e 1)(e 0.5)
0.5 0.5
pT
e p 2 T 0.5 ;
npT
pT
npT
Сведя расчеты в таблицу, убеждаемся в значительной, сравнительно с предыдущим,
длительности монотонного переходного процесса:
n
h(n)
0
0
1
0.5
2
0.75
104
3
0.875
4
0.9375
129
2) KT=1.5 ,
e pT 1.5
.
(e p T 1)(e pT 0.5)
H (p)
*
На этот раз полюса имеют значения e p1T 1,
ка равна:
e p 2T 0.5 , а переходная характеристи-
1n (0.5) n
(e pT 1)e n pT
(e pT 0.5)e n pT
h(nT) 1.5 lim pT
lim
1.5
1 (0.5) n .
pT
pp 1 (e
p p 2 (e pT 1)(e p T 0.5)
1)(e
0.5)
1.5
1.5
n
h(n)
0
0
1
1.5
2
0.75
3
1.125
4
0.9375
Таблица и график (рис.3.33) убеждают в значительной
продолжительности колебательного переходного процесса. Заметим, что одно колебание занимает два такта, то есть имеет частоту 0/2.
Читателю рекомендуется самому просчитать переходные
характеристики для KT=2, KT=2.5, KT=-1.
3.1.4.2 Дискретная модель импульсного дальномера
с двумя интеграторами
Рассмотрим простейшую структуру (рис.3.34), в которой
интеграторы соединены последовательно, коэффициент передачи сосредоточен во втором интеграторе (K=KU1KU2KдKm), временной дискриминатор – линейное дискретное звено, на выходе
которого имеет место последовательность прямоугольных импульсов с длительностью, равной периоду следования T и амплитудой, определенной сигналом ошибки в начале импульса.
Такая модель импульсного элемента часта в импульсных системах и единственна в цифровых.
Передаточная функция приведенной непрерывной части имеет вид (рис.3.34):
1 e Tp K
2 .
W(p) S(p)WH (p)
p
p
Следуя приему, изложенному при рассмотрении дальномера с одним интегратором,
получим дискретную передаточную функцию
*
1 KT 2 (e pT 1) K p (p)
*
T p
*
W (p ) Д[W(p)] K(1 e )Д 3
.
Dp (p )
2(e p T 1) 2
p
Характеристический многочлен замкнутой системы
105
130
D * (p) D *p (p) K *p (p) a 0 e 2 pT a 1e pT a 2 , где a0 =2, a1=KT2-4, a2=2+KT2 .
Проверим устойчивость по алгебраическому критерию:
1) a0+a1+a2=2-4+KT2+2+KT2=2KT2>0 ,
2) a0-a2=2-2-KT2 =-KT2>0 ,
3) a0-a1+a2=2+4-KT2+2+KT2=8>0 .
Третье неравенство неинформативно, первые два – противоречивы, что свидетельствует о структурной неустойчивости контура. Этого следовало ожидать – подобная структура в непрерывных системах была также неработоспособна.
Для стабилизации контура следует, как это делалось в непрерывных системах, комбинировать выходной сигнал в виде суммы сигналов первого и второго интеграторов
(рис.3.35).
В соответствии со структурной схемой (рис.3.35) передаточная функция приведенной
непрерывной части равна
1K K
K
W(p) (1 e Tp ) 1 U2 2 1 ,
p p
p
где K1=KU1KдKm .
С помощью приема, изложенного в разделе (3.1.4.1), находим W*(p):
2 Tp
Tp
Tp
K
K
K
K
K
T
e
(e
1)
K
Te
W * (p) (1 e Tp ) Д 1 3 U 2 Д 21 (1 e Tp ) 1 U 2 Tp
Tp1
3
2
p
p
2(e
1)
(e
1)
*
2
Tp
K1 K
1) 2K 1T(e Tp 1) K p (p)
U 2 T (e
*
D p (p)
2(e Tp 1) 2
Характеристический многочлен замкнутой системы:
D * (p) D *p (p) K p* (p) a 0 e 2 pT a1 e pT a 2 , где
a0=2 ,
a1=K1KU2T2+2K1T-4 ,
a2=2+K1KU2T2-2K1T .
Выявим условия устойчивости с помощью алгебраического критерия.
1) a0+a1+a2=2-4+2K1T+K1KU2T2+2+K1KU2T2-2K1T>0 , откуда следует K1>0, KU2>0 ;
2) a0-a1+a2=2+4-2K1T-K1KU2T2+2+K1KU2T2-2K1T>0 , после удаления излишних элементов получаем знакомое неравенство K1<2/T ;
3) a0-a2=2-2-K1KU2T2+2K1T>0 , что также дает KU2<2/T.
Объединяя неравенства, получаем 0<K1<2/T, 0<KU2<2/T, 0<K<4/T2, где K=K1KU2 – коэффициенты передачи нижнего контура – дальномера (рис.3.35) с двумя интеграторами. Вид
переходного процесса определяется знаками sign a1, sign(a12-8a2), в частности, монотонность
неравенствами a1>0, a2<a12/8 (см.3.1.3.3).
106
131
3.2ЦИФРОВЫЕСИСТЕМЫ
Общеизвестно, что внедрение цифровой техники в любые области человеческой деятельности обеспечивает высокое качество, недостижимое аналоговыми средствами. Это в
полной мере относится и к радиоавтоматике и подтверждается быстрым развитием цифровых автоматических систем. С точки зрения радиоавтоматики преимущества цифровых систем обуславливаются следующими факторами:
- возможностью реализации сложных, недостижимых иными средствами алгоритмов управления и обработки сигналов, именно оптимальные алгоритмы часто характеризуются сложностью;
- упомянутым высоким качеством функционирования;
- большим объемом перерабатываемой информации, что позволяет учитывать множество привходящих факторов;
- высокой стабильностью работы, присущей цифровой технике;
- простотой изменения структуры и настройки параметров, столь необходимой для
многих систем радиоавтоматики.
В радиотехнических устройствах и телекоммуникационных системах цифровые системы радиоавтоматики применяются для стабилизации частоты или программированного ее
изменения, для формирования команд управления различными объектами, для дистанционного измерения физических величин и т.п.
Очевидным признаком цифровой системы является наличие в ее структуре ЦВМ или
специализированных цифровых устройств. Если управляющая и регулируемая перемененные
– аналоговые, то в структуру контура по необходимости входят аналого-цифровой и цифроаналоговый преобразователи (рис.3.36).
Элементы АЦП, ЦАП, ЭВМ носят дискретный характер, поэтому такую систему следует изучать методами дискретного анализа. При этом часто период дискретности в пределах
контура является постоянной величиной, а ступени квантования по уровню достаточно малы.
В результате моделью цифровых систем радиоавтоматики может служить линейная импульсная система. Возможны также полностью цифровые системы радиоавтоматики, в которых
управляющая и регулируемая переменные также представлены в цифровой форме, тогда
необходимость в преобразованиях отпадает.
При анализе динамических свойств цифровых систем нет необходимости учитывать
индивидуальные особенности работы цифровых устройств, достаточно считать основной характеристикой ЦВМ алгоритм, в соответствии с которым входной сигнал преобразуется в
выходной. Поэтому цифровую часть можно представить в виде цифрового фильтра, последовательно соединенного со звеном запаздывания (рис.3.37). Величина задержки зависит от
сложности алгоритма и производительности процессора.
107
132
3.2.1 Цифровые устройства радиоавтоматики
Рассмотрим некоторые цифровые устройства, встречающиеся в схемах радиоавтоматики (рис.3.36, 3.37).
3.2.1.1 Цифровые фильтры
Возможна двоякая реализация цифровых фильтров: программная и аппаратная. Передаточная функция линейного цифрового фильтра не зависит от способа реализации и имеет
стандартный вид:
x2 * (p) b0 e mp T b1e ( m 1) p T ... bm 1 e pT b m
W (p) *
.
np T
( n1) p T
pT
x 1 (p)
a 0 e a1 e
... a n 1 e a n
*
цф
Для удобства дальнейшего изложения положим a0=1 и поделим числитель и знаменатель на enpT, последнее – для замены операторов опережения eipT на оператор запаздывания
e-ipT, что в свою очередь необходимо для обеспечения физической реализуемости фильтра:
*
Wцф
(p)
b 0 e ( n m ) p T b1e ( n m 1) pT ... b m 1 e ( n1) pT b m e n pT x *2 (p)
*
.
n pT
x1 (p)
1 a 1e pT a 2 e 2 pT ... a n1 e ( n 1) p T a n e
Перепишем это соотношение относительно выходной координаты фильтра x*2(p):
m
n
x 2* (p) x1* (p ) b i e ( nm i ) pT x 2* (p ) a j e jp T .
i 0
j1
По теореме запаздывания дискретного преобразования Лапласа получаем
m
n
i 0
j1
x 2 (lT) b i x1 [(l m n i)T] a j x 2 [(l-j)T] .
Часто m=n, тогда
n
n
i0
j 1
x 2 (lT ) b i x1 [(l i)T] a j x 2 [(l-j)T] .
По этой формуле можно реализовать фильтр как программно, так и аппаратно. В дальнейшем рассмотрим одну из возможных аппаратных реализаций (рис.3.38).
Как видно из рис.3.38 и соответствующего выражения, цифровой фильтр получил реализацию на основе комбинации операций задержки и сложения.
108
133
3.2.1.2 Аналого-цифровые преобразователи
Часто функции АЦП совмещают сравнивающие устройства, такие как фазовый детектор, частотный дискриминатор, временной дискриминатор. Рассмотрим конкретные схемы.
Цифровойфазовыйдетектор(рис.3.39)
Преобразует значение разности фаз двух
колебаний – управляющего g(t) и опорного Uоп –
в код. Преобразователь П преобразует аналоговые колебания g(t)=Ugsin(gt+φg) в двухуровневую меандровую последовательность A той же
частоты и фазы, но со значениями 1. Опорное
колебание принимает значения 0 и 1. Последовательность А подается на схему &1, а последовательность A – на схему &2. На вторые входы
этих схем поступают пачки счетных импульсов,
вырезанных из исходной счетной последовательности Uсч схемой &3, которая сама управляется опорной последовательностью Uоп. Число
импульсов U1 и U2 определяется интервалом совпадения опорного колебания с одним из уровней
меандровой последовательности. Сигнал z(k) на
выходе реверсивного счетчика (РС) представляется в счетно-импульсном коде и равен разности числа импульсов
на выходах схем &1 и
&2. Таким образом осуществляется
преобразование
разности
фаз двух колебаний в
зависимость z=f(φ), где
φ=φg-φx.
Форма этой зависимости определяется соотношением частот счетной fсч и опорной fx последовательностей (рис.3.40).
С ростом отношения fсч/fx растет число
уровней квантования характеристики f(φ), при
равенстве частот fсч=fx характеристика обретает релейный вид. При этом отпадает необходимость в генераторе счетных импульсов и
схеме &3.
Цифровойчастотныйдискриминатор(рис.3.41)
Работа цифрового частотного дискриминатора основана на подсчете числа пересечений входным сигналом Uвх нулевого уровня за фиксированное время наблюдения Tн. Формирующее устройство (ФУ) преобразует входное синусоидальное колебание с частотой fg в последовательность импульсов, возникающих при переходе синусоиды через нулевой уровень.
109
134
Импульсы начала Н и конца К наблюдения вырабатываются высокостабильным генератором; временной интервал между ними Tн=tн-tк, время измерения неизменно. При поступлении
импульса Н, триггер Т переводит схему & в проводящее состояние и начинается счет, с приходом импульса К триггер прекращает счет. Прошедшие импульсы суммируются счетчиком,
в котором перед началом счета установлено в дополнительном коде число N0=f0Tн, где f0 –
переходная частота дискриминатора. Количество импульсов, поступивших на счетчик, равно
N=fgTн, в конце интервала наблюдения получается разность ΔN=N-N0=(fg-f0)Tн. Число ΔN
считывается устройством считывания (УС) с некоторым запаздыванием, после чего в счетчике снова восстанавливается значение N 0 .
Цифровойвременнойдискриминатор(рис.3.42)
Схема цифрового временного дискриминатора подобна схеме частотного дискриминатора с той лишь разницей, что частота следования подсчитываемых импульсов fсч неизменна, а изменяется измеряемый интервал (n) между зондирующим и ответным импульсами.
Очередной n-ый зондирующий импульс (ЗИ) открывает ключ &, через который на счетчик
Сч поступает от генератора счетных импульсов (ГСИ) последовательность счетных импульсов. Отраженный от цели импульс (ОИ)
прекращает счет. Число импульсов, прошедших в счетчик, равно N(n)=(n)fсч, где (n) –
время задержки отраженного импульса.
Перед началом счета в счетчик в дополнительном коде заносится числоN(n-1)=
(n-1)fсч, соответствующее задержке ответного импульса (n-1) на предыдущем акте
запрос-ответа. После прихода ответного импульса в счетчике остается число ΔN(n)=N
(n)-N(n-1)=[(n)-(n-1)]fсч, которое является выходным. Устройство считывания по задержанному на некоторое дополнительное время ответному импульсу обеспечивает считывание.
Положительные числа выдаются в прямом коде, отрицательные – в дополнительном.
3.2.1.3 Цифро-аналоговые преобразователи
В соответствии со своим положением в контуре системы радиоавтоматики цифро-аналоговые преобразователи (ЦАП) являются иногда еще и объектами регулирования или исполнительными элементами. Рассмотрим обе возможности.
Цифровойсинтезаторчастот(рис.3.43)
Предназначен для формирования колебаний с частотами fг=f0+NΔf, где f0 – центральная частота, Δf – дискретность отсчета частоты, N – управляющее число. Для получения этой
линейной зависимости с помощью нелинейной операции деления fг=fэ/Ny необходимо
устройство пересчета (УП), работающее из условия fэ/Ny=f0+NΔf. Таким образом, управляющее чисо, обеспечивающее линейную связь, будет равно Ny=fэ/(f0+NΔf).
Работа. В счетчик-делитель (СД) с помощью устройства ввода (УВ) заведено в дополнительном коде управляющее число N y ,
а от эталонного генератора начинают
поступать импульсы с частотой следования fэ. При накоплении Ny импульсов, на
выходе СД появится импульс переполнения, который стимулирует запись нового значения N y . Последовательность
110
135
импульсов переполнения с помощью фильтра (Ф) преобразуется в синусоидальное колебание с частотой fэ/Ny.
Цифровойфазовращатель(рис.3.44)
Состоит из устройства добавления-исключения (УДИ) и счетчика-делителя (СД) и
применяется в схемах цифровой фазовой автоподстройки частоты.
Работа. Схема & отпирается высоким потенциалом триггера Т и эталонная последовательность Uэ доходит до счетчика-делителя. Если в момент t1 поступит импульс добавления
U+, то он добавится к эталонной последовательности. Если в момент t2 появится импульс исключения U-, то триггер опрокинется, схема & запрется, и последующий импульс эталонной
последовательности не пройдет.
Через интервал Δ триггер переводится в исходное состояние и проводимость схемы
& восстанавливается. Добавление-исключение одного импульса соответствует сдвигу фазы
на 3600. На выходе СД изменение фазы составит величину 360/nд, где nд – коэффициент деления.
3.2.2 Цифровая фазовая автоподстройка частоты
В состав контура (рис.3.45) входят уже изученные цифровые устройства: цифровой
фазовый детектор (ЦФД) – сравнивающее устройство, цифровой фильтр низкой частоты
(ЦФНЧ) – корректирующее устройство, цифровой фазовращатель – цифровой подстраиваемы генератор (ЦПГ).
Работа. На входы ЦФД поступают: управляющая последовательность импульсов от
задающего генератора с частотой fg и фазой следования φg, две опорные меандровые последовательности U+ и U- с частотой и фазой подстраиваемого генератора fx и φx, и сдвинутые
111
136
друг относительно друга на 1800, последовательность счетных импульсов Uсч с частотой следования fсч.
Сигнал на выходе ЦФД представляет собой последовательность счетных импульсов,
начало которой совпадает с очередным импульсом задающего генератора, а конец – с задним
фронтом импульса опорной последовательности. Число счетных импульсов зависит от текущей разности фаз φg-φx. Сигнал с ЦФД подается на ЦФНЧ, а затем на ЦПГ, состоящий из УДИ, СД и опорного
генератора (ОГ). На УДИ поступают от ОГ импульсы опорной последовательности с частотой f0, а
также импульсы коррекции с
ЦФНЧ; при поступлении импульса UK+ он просто добавляется к
опорной последовательности, при поступлении импульса UK- исключается ближайший импульс опорной последовательности и это приводит с учетом действия СД к изменению фазы
теперь уже откорректированной последовательности на 3600/nд, где nд – коэффициент деления СД.
Рисунок 3.46 иллюстрирует работу упрощенного контура в отсутствие счетных импульсов и ЦФНЧ. Первые два импульса от задающего генератора совпадают с импульсами
последовательности U+, в результате на положительном выходе ЦФД (фильтр исключен) появятся импульсы коррекции UK+, которые войдут в состав опорной последовательности. Третий, четвертый и пятый импульсы задающего генератора совпадают с
импульсами U-, в результате появляются импульсы на отрицательном выходе фазового
детектора, под действием которых УДИ исключает соответствующие импульсы из
опорной последовательности. По завершении переходного процесса средняя частота fx
будет равна fg.
Рассмотрим динамические свойства
контура, с этой целью составим его передаточную функцию. Начнем с цифрового
подстраиваемого генератора.
В результате добавления (исключения) импульсов коррекции в опорную последовательность среднее значение частоты
подстраиваемого генератора за один такт работы СД станет равно fx(n)=1/(T0[ng+r(n)]), где
T0=1/f0, r(n) – число импульсов коррекции за n-ый такт работы СД. Приращение частоты равно:
Δfx(n)=
1
1
r(n)
.
T0 n g T0 (n g r(n)) T0 n g (n g r(n))
Часто справедливо неравенство ng>>r, тогда, обозначая T=T0(ng+r), получим:
r(n)
f x (nT)
.
Tn g
112
137
Приращение фазы выходного колебания за счет приращения частоты за время Т равно: Δφx(nT)=2Δf(nT)T=2r(nT)/ng.
За n тактов работы СД фаза выходного сигнала достигнет значения
2 n 1
φx(nT)=
r(mT).
n g m 0
Дискретное изображение суммы равно
φ*x(p)=
2 1
R * (p) , где R*(p)=D[r(n)].
pT
n g e 1
Таким образом, передаточная функция цифрового подстраиваемого генератора равна:
W * (p )
ЦПГ
* (p)
x
*
R (p)
K ЦП Г
pT
, K
e 1
ЦПГ
2
ng
.
Обратимся к цифровому фазовому детектору. Если используются счетные импульсы и
их частота следования гораздо выше частоты входного сигнала, то число уровней квантования велико и дискриминационная характеристика представима линейной моделью. При отсутствии счетных импульсов характеристика ЦФД становится релейной (рис.3.40). Однако,
при наличии значительных помех, эту нелинейную характеристику можно заменить линейной, а параметры линейной модели определить методом статистической линеаризации. Так
или иначе, но будем считать, что W* (p)=К . Остается фильтр. Выберем для него часто исg
g
пользуемый оператор
K
W ф* (p ) 1 pT 1 .
e 1
Поясним его смысл, но сначала приведем его к форме, удобной для реализации:
Wф* (p)
e pT 1 K1 1 (K1 1)e pT
.
e pT 1
1 e pT
x * (p)
*
Так как Wф (p) 2*
,
x 1 (p)
то x*2 (p) x 1* (p) 1 (K 1 1)e pT x 2* (p)e pT .
Этому выражению соответствует оригинал x2(lT)=
x1(lT)+(K1-1)x1[(l-1)T]+x2[(l-1)T] . Аппаратная
реализация фильтра представлена на
рис.3.47 и ясно выражает его смысл: текущее значение выходного сигнала складывается из взвешенной суммы предыдущих
значений входного и выходного сигналов
плюс текущее значение входного сигнала.
На рис.3.48 представлена упрощенная структурная схема контура, из которой
следует, что передаточная функция разомкнутой системы равна:
*
e pT 1 K1 K p (p)
*
*
*
*
W (p) K g Wф (p)WЦПГ (p) K g K ЦПГ
.
D p (p)
(e pT 1) 2
Для исследования устойчивости запишем характеристический многочлен:
138
113
139
D * (p) D *p (p) K *p (p) a 0 e 2 pT a1e pT a 2 ,
где a0=1, a1=KgKЦПГ-2, a2=1-KgKЦПГ+K1KgKЦПГ .
Контур будет устойчив при выполнении следующих неравенств:
A0=a0+a1+a2>0, A1=a0-a2>0, A2=a0-a1+a2>0.
Из первого неравенства следует:
A0=1+KgKЦПГ-2+1-KgKЦПГ+K1KgKЦПГ=K1KgKЦПГ>0 ,
из второго:
A1=1-1+KgKЦПГ-K1KgKЦПГ=KgKЦПГ(1-K1)>0 , K1<1, KgKЦПГ>0 ,
из третьего:
A2=1+2-KgKЦПГ+1-KgKЦПГ+K1KgKЦПГ=4-KgKЦПГ(2-K1)>0 , K1>2-4/KgKЦПГ .
Таким образом, контур будет устойчив, если при положительности коэффициентов
Kg>0, KЦПГ>0 коэффициент K1 удовлетворяет неравенствам 1>K1>2-4/(KgKЦПГ), но, как видно
из последнего неравенства, KgKЦПГ ограничено: KgKЦПГ<4. При нарушении этого условия область устойчивости по K1 исчезает.
Поэтому окончательная сводка неравенств, ограничивающих область устойчивости,
выглядит следующим образом:
0<KgKЦПГ<4 ,
2
4
K1 1 ,
K g K ЦПГ
K1>0 .
Условие монотонности переходного процесса:
a1 0 :
K g K ЦПГ 2 ,
a 12 4a 2 :
K1
K g K ЦПГ
4
.
Просчитаем переходной процесс для граничного случая KgKЦПГ=2, K1=0.5.
Передаточные функции разомкнутой и замкнутой систем:
W * (p) K g K ЦПГ
Ф* (p) 2
e pT 1 K1
e pT 0.5
2
,
(e pT 1) 2
(e pT 1) 2
e p T 0.5
2e pT e 2 pT .
pT
2
pT
(e 1) 2 e 1
pT
e
Так как H (p) pT Ф* (p) , то с учетом конкретноe 1
го вида Ф*(p), представляющего разности двух операторов
задержки, получаем h(nT)=2·1[(n-1)T]-1[(n-2)T]. Соответствующий график представлен на рис.3.49. Переходной
процесс завершается за два такта работы счетчика-делителя.
*
114
140
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Последние десятилетия, характеризующиеся взрывным характером развития вычислительной техники, как в аппаратной области, так и в программном обеспечении, не могли не
отразиться на рассматриваемой дсциплине. Приемы и методы автоматики, популярные в
прошедшем веке и подчас весьма изощренные, постепенно уступают набирающим все
больший вес методам моделирования. Особенно продуктивным в задачах радиоавтоматики
является использование программного коплекса MATLAB с его расширением Simulink. Ориентация вычислительного ядра комплекса на матричные операции (MATLAB – матричная
лаборатория) как нельзя лучше согласуется с методом пространства состояний, а его расширение Simulink предельно упрощает программирование задач автоматики. Simulink обеспечивает диалоговое взаимодействие пользователя со средствами программного комплекса и
предназначен для математического моделирования любых мыслимых динамических систем:
линейных и нелинейных, аналоговых и дискретных, детерминированных и стохастических.
Средства визуализации результатов моделирования очень наглядны. Simulink позволяет легко менять математическую модель исследуемой системы и служит прекрасным средством отладки конкретных схем.
Кроме расширения Simulink MATLAB располагает другими, очень полезными для радиоавтоматики расширениями, такими как Control System Toolbox, Nonlinear Control Design
(NCD) Blockset и др. Владение ими и вообще свободная работа в среде MATLAB – признак
сегодняшнего радиоинженера, специализирующегося в области радиоавтоматики.
115
141
ЛИТЕРАТУРА
1. Коновалов Г. Ф. Радиоавтоматика: Учеб. Для вузов по специальности
«Радиотехника».-М.:Высш. шк.,1990.-335с.,ил.
2. Бесекерский В. А., Елисеев А. А., Небылов А. В. и др. Радиоавтоматика: Учеб. Пособие для студ. Вузов спец. «Радиотехника» под ред. Бесекерского В. А.-М.: Высш.
шк.,1985.-271с.,ил.
3. Беллман Р. Введение в теорию матриц. Изд-во «Наука», М., 1969,368с.,ил.
4. Цыпкин Я. З. Основы теории автоматических систем. Изд-во «Наука»,
М.,1977,560с.,ил.
5. Дьяконов В. П. MATLAB 6/6.1/6.5 + SIMULINK 4/5 в математике и моделировании.
М.,Солон-Пресс,2003,565с.,ил.
