Разбор заданий окружного этапа всероссийской олимпиады школьников по математике 11 класс 1. Найдите все такие двузначные натуральные числа n, что куб суммы цифр числа n равен числу n2. Если а и b цифры чиcла n, то по условию ? 2 3 n =(a+b) n – точный куб Ответ: 27 2. Дано два соседних натуральных числа. Может ли сумма цифр одного из них быть в 10 раз больше суммы цифр другого? n меньшее натуральное число, n+1 следующее за ним S(n) S(n+1) 1) S(n) < S(n+1), то S(n) +1= S(n+1). Если S(n+1)=10S(n), то S(n) +1= 10S(n), 9S(n)=1 2) S(n) > S(n+1) S(n+1) = S(n)-9+1, S(n)=S(n+1)+9-1 S(n+1) = S(n)-2*9+1, S(n)=S(n+1)+2*9-1 S(n+1) = S(n)-к*9+1, S(n)=S(n+1)+к*9-1 Если S(n)=10S(n+1), то 9S(n+1)= к*9-1 Ответ: нет 3. Стегозаврик Миша полагает, что рёбра любой треугольной пирамиды можно разбить на три пары так, что найдётся треугольник, длины сторон которого равны суммам длин рёбер пирамиды в каждой паре. Прав ли стегозаврик Миша? AB, BC, AC, DA, DC, DB Условие существования треугольника: a+b>c AB + AC > BC, BD + CD> BC AC + CD> AD, AB + BD > AD Складывая все неравенства и деля пополам, получаем, что AC + CD + BD + AВ > AD + BC, Сумма длин любой пары противоположных рёбер меньше суммы двух других аналогичных сумм Ответ: да 4. Рассмотрим квадратные трёхчлены вида f(x) = ax2 + bx + c, где a, b, c - различные действительные числа, отличные от нуля. Сколько существует таких трёхчленов, что f(a) = b, f(b) = c, f(c) = a? Из (3) -(2b + 1)2 + b(2b + 1) + 2b + 1 = -1, b = -1 или b = 1/2. Но b = -1 не подходит, т. к. a и b должны быть различны. Существует всего один такой квадратный трёхчлен: f(x) = -x 2 +1/2 x + 2. (Проверка показывает, что он удовлетворяет условию задачи.) Ответ: 1 5. Кучку из n ≥2 спичек произвольным образом разбили на две кучки (в каждой из которых есть хотя бы по одной спичке), посчитали количество спичек в каждой кучке и записали их произведение. Затем одну из кучек опять разбили на две, опять посчитали количество спичек в каждой из полученных двух кучек и записали их произведение. Этот процесс продолжали до тех пор, пока в каждой кучке не стало по одной спичке. После этого все полученные произведения сложили и получили число S. Найдите S. База индукции n = 2 : эту кучку можно разбить лишь на две кучки по одной спичке в каждой, тогда Предположим, что для всех чисел, меньших n, эта формула верна. Возьмём кучку из n спичек и разобьём её на кучки по a и b спичек (пусть, скажем, a ≤ b). Если a = 1, то b = n — 1 и дальше мы будем разбивать на две только кучку из b спичек и какие-то полученные из неё кучки, поэтому, с учётом предположения индукции, Если же a > 1, то, по определению нашей процедуры разбиения и с учётом предположения индукции