Филонин О. В.Физика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АКАДЕМИКА С.П. КОРОЛЕВА
(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)» (СГАУ)
ФИЗИКА
Курс лекций по физике
Электронный образовательный контент
Работа выполнена по мероприятию блока 2 «Развитие и повышение
эффективности научно-инновационной деятельности» и
блока 3 «Развитие информационной научно-образовательной среды и инфраструктуры» Программы
развития СГАУ на 2009 – 2018 годы
по проекту «Разработка образовательных контентов в рамках мастер-класса по внедрению и использованию
СЭДО в реальном учебном процессе»
Соглашение № 1/27 от 03.06.2013 г.
САМАРА
2013
УДК53(075)
Ф531
Автор - составитель: Филонин Олег Васильевич
Рецензент: Скворцов Б.В., профессор, д.т.н., кафедра электротехники.
Курс лекций по физике
[Электронный ресурс] : электронный контент/ М-во образования и науки РФ, Самар. гос.
аэрокосм. ун-т им. С. П. Королева (нац. исслед. ун-т); автор-сост. О.В. Филонин Электрон. текстовые и граф. дан. (102,25 Мбайт). - Самара, 2013. - 1 эл. опт. диск (CD-ROM).
Электронный контент содержит 60 лекций по курсу физики для студентов технических
университетов аэрокосмического профиля, список вопросов, примеры экзаменационных
билетов. Данный электронный контент предназначено для студентов 5, 6 факультетов,
обучающихся по магистерской программе «Прикладная математика и информатика» по
направлению 010400.62 «Прикладная математика и информатика» и по программе
«Радиотехника», по направлению 210400.62 «Радиотехника» в 2, 3, 4 и в 1, 2, 3 семестрах
соответственно.
Разработано на кафедре Физика.
© Самарский государственный
аэрокосмический университет, 2013
Содержание
Введение
9
Л. 1 Физические основы механики
11
Л. 2 Динамика. Законы Ньютона
17
Л. 3 Закон сохранения импульса
22
Л. 4 Работа переменной силы
28
Л. 5 Движение твердых тел
34
Л. 6 Основной закон динамики вращательного движения
39
Л. 7 Момент импульса
44
Л. 8 Движение относительно неинерциальных систем отсчёта
49
Л. 9 Основы специальной теории относительности
57
Л. 10 Преобразование скоростей в СТО
66
Л. 11 Основные положения молекулярно-кинетической теории и
термодинамики
77
Л. 12 Скорости молекул газа. Опыт Штерна. Распределение
молекул по скоростям
82
Л. 13 Средняя длина свободного пробега молекул
89
Л. 14 Основные положения термодинамики
93
Л. 15 Второе начало термодинамики
99
Л. 16 Электродинамика неподвижных зарядов (Электростатика)
107
Л. 17 Примеры расчета электрических полей с помощью теоремы
Гаусса
117
Л. 18 Проводники и диэлектрики в электрическом поле
125
Л. 19 Электрический ток
133
Л. 20 Основы электронной теории проводимости металлов
141
Л. 21 Магнитное поле
146
Л. 22 Основные характеристики и свойства магнитного поля
152
Л. 23 Поток вектора магнитной индукции
159
Л. 24 Электромагнитная индукция
165
Л. 25 Энергия магнитного поля
172
Л. 26 Магнитное поле в веществе (Магнитный момент атома)
178
Л. 27 Движение заряженных частиц в электрических и магнитных
полях
186
Л. 28 Электромагнитное поле
201
Л. 29 Колебания и волны. (Механические колебания)
212
Л. 30 Элементы волновой теории. Волны в упругих средах
219
Л. 31 Электромагнитные колебания. Колебательный контур
232
Л. 32 Электромагнитные волны
240
Л. 33 ОПТИКА. Предварительные сведения
248
Л. 34 Интерференция света при отражении от тонких пленок
257
Л. 35 ДИФРАКЦИЯ СВЕТА. Предварительные сведения
263
Л. 36 Дифракция Фраунгофера на решётке
271
Л. 37 Дисперсия света
277
Л. 38 Поляризация света
287
Л. 39 Интерференция в поляризованном свете
298
Л. 40 КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ. Тепловое излучение.
Абсолютно черное тело. Закон Кирхгофа. Закон Стефана –
Больцмана. Спектр абсолютно черного тела. Квантовая гипотеза.
Формула Планка. Оптическая пирометрия
305
Л. 41 Основные свойства квантового излучения. Фотоэффект
314
Л. 42 Волновые свойства частиц
323
Л. 43 Основы квантовой механики. Волновая функция свободной
частицы
331
Л. 44 Физика атомов и молекул. Модель атома Бора
341
Л. 45 Уравнение Шредингера для атома водорода (решение
«угловой части»)
349
Л. 46 Решение уравнения для радиальной части волновой
функции
362
Л. 47 Моменты импульса и магнитные моменты электронов в
атомах
372
Л. 48 Многоэлектронные атомы. Принцип Паули.
Периодическая система элементов Д. И. Менделеева
383
Л. 49 КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА, ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА.
Элементы зонной теории проводимости металлов
389
Л. 50 Кристаллы, кристаллические решетки, виды связей,
классификация кристаллографических систем
397
Л. 51 ПРИРОДА СИЛ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ АТОМОВ В
КРИСТАЛЛАХ
409
Л. 52 КОНТАКТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
421
Л. 53 Полупроводники. Примесная проводимость
полупроводников
430
Л. 54 Определение концентрации и подвижности свободных
носителей заряда в полупроводниках
437
Л. 55 Оптические свойства полупроводников
444
Л. 56 Стимулированное излучение кристаллов и
полупроводников
453
Л. 57 Туннельный эффект. Туннельные диоды
462
Л. 58 Явление сверхпроводимости
470
Л. 59 Элементы ядерной физики
477
Л. 60 Элементарные частицы
486
Список используемых источников
495
Сведения об авторе
497
Введение
Предлагаемый читателю курс физики, написанный в виде конспекта
лекций, предназначен для студентов радиотехнического факультета и факультета
информатики СГАУ, где автор читал аналогичные курсы 35 лет. Курс написан на
основе лекционных курсов читаемых на дневном и вечернем отделении,
лабораторного и практического курса. Объем, на первый взгляд, кажется
ограниченным по сравнению с известными учебниками и учебными пособиями.
Но это сделано преднамеренно, для того, что бы студенты поняли и смогли
усвоить основные положения современной физики. Понятно, что ограничиться
только данным курсом при изучении предмета невозможно, он скорее является
путеводителем по фундаментальным учебникам.
Другой отличительной особенностью является на наш взгляд, при
сохранении целостности изложении физики как науки, является несколько
повышенное внимание, уделяемое квантовой картине мира, достаточно
подробно рассматриваются классические модели электромагнитного поля и
обсуждаются квантовые представления. Сравнительно подробно рассмотрен
раздел оптики с точки
зрения алгоритмов обработки изображений,
формирования многомерных изображений, поясняется физический смысл ряда
специальных функций и т.д.
Достаточно много внимания уделено квантовой теории твердых тел с
точки зрения развивающихся нанотехнологий в полупроводниковой
промышленности.
Достаточно
подробно
объясняются
квантовые
характеристики частиц, их поведение в ансамблях, кристаллах и т.д.
Рассмотрены явления физические особенности явлений в полупроводниковых
переходах, что обычно в специальных курсах не делается.
При работе с данным конспектом надо внимательно следить за
выводами, которые в своем большинстве поясняются иллюстрациями,
определения, формулировки законов, примечания выводы выделены
различной формой начертания шрифтов, что облегчает восприятие.
Следует упомянуть еще об одной цели, которую преследовал автор
порядок изложения и оформления конспекта должен помочь студенту
самостоятельно в таком же стиле составлять конспект на лекции, что в
последствие значительно упростит усвояемость материала.
Автор надеется, что данный курс лекций окажется полезным для
студентов и других вузов и специальностей.
Л. 1 Физические основы механики
Кинематика
Кинематика - раздел механики, изучающий движение тел без учета причин
вызывающих это движение.
Под движением в механике понимают любое изменение местоположения тела
в пространстве и времени.
Материальная точка (МТ) - это тело, размерами которого можно пренебречь
по сравнению с расстояниями которое оно проходит.
Система отсчета (СО) - это система координат, связанная с телом или
материальной точкой, снабженная часами и используемая для определения положения в
пространстве исследуемых тел и частиц а различные моменты времени.
Задачи классической механики (механики Ньютона) – состоят в описании
движения тел в эвклидовом пространстве, (то есть, в однородном, изотропном)
S(t, x, y, z)
t1
x1
y1
z1
t2
x2
y2
z2
ti
xi
yi
zi
Примечание 1: При описании движения тела или системы тел
необходимо помнить о том, что движение происходит в 4-х
мерном пространственно - временном континууме.
Примечание 2: Реальное пространство подчиняется метрике
Лобачевского-Римана, в то же время евклидова метрика,
справедлива для большинства практических задач, вплоть для
планетарных масштабов
Математическая справка
Цилиндрическая СК:
x=rxy cos; y=rxy sin; z=z
rxy  x2  y 2 ;   arctg ( y )
x
Сферическая СК:
x=r sin cos; y=r sin sin; z=r cos
Рис. 1.1
x2  y 2
y
rxy  x  y  z ;   arctg ( );   arctg (
)
x
z
2
2
2
Интервал - это разность между конечным начальным значениями параметра
S  S2  S1
x  x2  x1; y  y2  y1; z  z2  z1;
Радиус вектор - это вектор, который соединяет начало системы отсчета с телом
(материальной точкой или центром масс тела).
- здесь х - длина проекции радиус-вектора на ось ОХ, r - это
x  cos a
длинна самого радиус-вектора,  - угол между радиус-вектором
r
и осью ОХ. ; r  x  sin a
r  x  sin a
t1
r
t2
V1
Z
V
Y
r
r1
V2
0
r2
X
Рис.1.2
 x(t )

S (r , t )   y (t );
 z (t )

 x(t )

r (t )   y (t );
 z (t )

r  r2  r1;
Введем ряд понятий:
Траектория – воображаемая линия в пространстве вдоль
которой перемещается материальная точка или центр масс
данного тела.
Путь – отрезок траектории, определяемый начальной и
конечной точками движения и соответствующий интервалу
времени наблюдения.
Вектор перемещения – вектор связывающий начальную
и конечную точки движения на траектории
Среднее значение скорости: Средняя скорость
определяется отношением пути пройденного телом за
некоторый интервал времени к величине этого интервала



ds
(s  n0 )
S r

r

v
(
t
)


:
 V 

r0 
lim
dt

t
t r
r
t 0
Мгновенная скорость






r
r ( t  t )  r ( t ) 
dr
r
 lim
V ( t )  lim
v( t ) 
 lim


t
t
dt
t 0
t 0
t 0 t
Вектор мгновенной скорости определяется первой производной от вектора перемещения
по времени, а сам вектор оказывается касательным к траектории в данной точке и
направлен в сторону движения тела или точки.
Ускорение
Ускорение характеризует процесс изменения скорости тела с течением времени.
Среднее ускорение - определяется отношением
изменения вектора скорости за некоторый интервал
времени к величине этого интервала.
Мгновенное (истинное) ускорение - ускорение
тела в данный (текущий) момент времени
V (t  t )  V (t )
 a 
t
V  V2  V1; t  t2  t1
 a 
V V (t  t )  V (t ) dV d 2 x
a  lim


 2 n0
dt
dt
t
t 0 t
v v vn


;
t
t
t
v
v
v
lim
 lim t  lim n ;
t 0 t
t 0 t
t  0 t
a 

S (r , t )

an

a

a
Рис. 1.4
dv
dt
V1
t1
 

a  a но р м  a танг
a  a 2но р м  a 2танг
v2
an  n0   2 rn0
r
V1
V2  V1
t2  t1
V
V
Vn
Рис. 1.3
Нормальная составляющая ускорения - определяет
изменение вектора скорости по направлению.
Тангенциальная составляющая ускорения - определяет
изменения скорости по модулю.
t2
V2
Движение материальной точки по окружности
  n0   ;
n0  1;

  
;
t
Рис. 1.5

 (t )  lim t 0
;
t

  
t
d
 (t ) 
dt
  n0 

;
  
t

  
t
Уравнение движения должны описывать полную
траекторию, относительно данной СК, включая в себя
кинематические параметры, и зависеть толькоот координат




 dr
и времени
r  rx i  ry j  rz k
Если тело (м.т.) движется в
пространстве по любой
траектории, то для описания
его движения целесообразно
радиус – вектор.
Табл. 1
Уравнения движения.
S(t)=A0 + A1t1 + A2t2 + ...+Antn
at 2
S (t )  S 0  V 0t 
2
V (t )  V0  at
 (t )  0  t
 (t )   0   0t 
t 2
2
dx
dy
dz

;

;

;

v
v
v
v
x
y
z



dt
dt
dt
dt
 v x i  v y k  vz k

dv x
  dv


; ax 
; a y (t ), a z (t )...
 a xi  a y j  az k a 
dt
dt

v

a

v 

a 
v x2  v y2  v z2
a x2  a y2  a z2
Для механических явлений, которые рассматриваются
в данном курсе допущения об однородности,
изотропности пространства приемлемы с точки зрения
точности расчетов.
t
2


v (t )   a (t ) dt ; v x   a x dt ; v y (t ), v z (t )...
t1
t
2


r   v dt ; x(t )   v x dt ; y (t ), z (t )...
t1
Взаимосвязь между линейными и угловыми параметрами движения
1. Связь между параметрами  , v ;
Примечание: За время t точка проходит часть дуги S, при этом радиус - вектор r поворачивается
на угол ;
dS  rd ;
dS
d
r
; v  r  ; v    r ;   r  v;
dt
dt
Замечание: Векторная форма представления учитывает направления векторов:  , v ; r ; и
формально свойства векторного произведения
2. Связь между параметрами  , a;
По определению:
z


v1

y

x
0
r
v1
d d  r , v 

dt
dt
 dr 
 dv 

,
v

r v
 dt  0  r , dt  
  r  (an  a )    r , an  0   r , a ;

   r , a ;   r  a ;

Частный случай: Равномерное движение по окружности:
Рис. 1.6
v2
  0, a  0; an   r  ;
r
2
Л. 2
Динамика
Законы Ньютона
Динамика - раздел механики изучающий движение тел, с учѐтом причин вызывающих
это движение.
1-й з-н Ньютона
Материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного
прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел
или сил, не выведет еѐ из этого состояния.
ПРИМЕЧАНИЯ:
Первый закон Ньютона справедлив, если:
1. пространство можно считать однородным (изотропным).
2. действие других тел на данное (рассматриваемое) тело скомпенсировано.
3. гравитационное поле в области пространства движения тела однородно и изотропно.
4. таким образом, при выполнении п. 1, 2, 3 в таком пространстве можно ввести
систему отсчѐта, либо покоящуюся, относительно данного тела, либо движущуюся,
относительно него с постоянной скоростью, такая система отсчѐта будет
инерциальной.
В самом общем смысле все поля можно разделить на
дальнодействующие и близкодействующие.
К дальнодействующим полям относятся гравитационное и
электромагнитные поля, их напряженность убывает по закону: ~1/r, в
то время как напряженность ядерного поля пропорциональна: ~1/r6
( рис. 2.1)
Рис. 2.1
Инерциальные системы отсчета (ИСО)
Классическая механика постулирует: существуют системы отсчета, в которых
свободные тела движутся равномерно и прямолинейно, такие системы называются
инерциальными.
2-й з-н Ньютона
Первая производная от импульса тела по времени определяет силу, действующую
на тело
dp
d
dt
 F (r , t )
dt
(mv )  F (r , t )
(2.1)
3-й з-н Ньютона
Две материальные точки (тела) действуют друг на друга с силами, которые
численно равны и направлены в противоположные стороны вдоль прямой
соединяющие эти точки.
F =-F
F12   F21 (2.2)
21
Prim: Силы F12 и F21 приложены к разным материальным
телам и обычно характеризуются разной природой.
F12=mg
Рис. 2.2
ПРИМЕЧАНИЯ:
1. в инерциальных системах отсчѐта все законы природы инвариантны.
2.“инерциальность” система отсчѐта можно установить только опытным путѐм.
3. строго говоря, понятие инерциальных систем отсчѐта понятие условное, но
полезное, в силу простоты описания явлений происходящих в этих системах.
упр
Масса
Примечания:
1. В механике масса определяется как мера инертности тела (способность тела
сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения).
2. Точнее говоря в механике, масса определяется дважды: первый раз на основе законов
Ньютона и второй раз гравитационная масса определяется законом всемирного
тяготения.
3. Возникнет вопрос, есть ли между этими понятиями принципиальная или
количественная разница.
4. На сегодняшней день установлено, что эти массы совпадают до 15-го знака, таким
образом, в количественном смысле они эквивалентны.
ПРИМЕЧАНИЕ:
Количественной характеристикой движения тела (мерой
движение тела) является импульс этого тела . Заметим, что масса
является мерой энергии тела определѐнной всегда с точностью до
некоторой постоянной (хорошо, если в классических случаях эту
постоянную можно приравнять к нулю).
P  mV
m0V
p

;
m0
2
1 
m(V) 
; dp  F (r , t );
2
dt
V
V2
2
1 2
  2 ;
c
(2.3)
c
Рис.2.3
Рис. 2.4
Важное замечание: Понятие импульса тела более точно и главное
естественнее определяет меру движения тела (рис. 2.4).
Общий случай:
dp d
d
dV
dm
  p(r , t )   m(V )  V   m(V )
V
F
dt dt
dt
dt
dt
(2.4)
ВЫВОДЫ:
Второй закон Ньютона является основным законом:
1. он описывает различные виды движения (равномерное, равноускоренное,
равнозамедленное и пр.),
2. описывает движение при любых скоростях, вплоть до скоростей света,
3. определяет понятие силы, то есть причину движение либо понятие импульса.
Рис. 12 Рис. 12
Преобразования координат Галилея
Рассмотрим задачу: Две ИСО К и К1 (рис. 2.5) движутся
относительно друг друга со скоростью u – const. Возникает
вопрос: каким образом описать произвольное движение
некоторого тела (м.т.) относительно этих систем?
O
O1
u
Преобразование скоростей и
Преобразование координат
ускорений в классической
Рис. 2.5
r (t )  r '(t )  ut r '(t )  r (t )  ut
механике a  a;
x (t )  x ' ut ; x '(t )  x  ut ;
Уравнения Ньютона
dr ' dr
dr dr '
y  y ';
y '  y;
  u ; инвариантны относительно

 u;
dt dt
dt dt
z  z ';
z '  z;
преобразований Галилея.
v
'(
t
)

v
(
t
)

u
;
(
)

'(
)

;
v
t
v
t
u
t  t ';
t '  t;
R0=ut
Послесловие:
Более полувека продолжались поиски центральной точки, вокруг которой
вращаются все видимые звезды, включая наше Солнце. Оптические наблюдения этой
области Вселенной практически невозможны, так как она заслонена от нас облаками
межзвездной пыли. Теперь ее удалось определить при помощи радиоастрономических
телескопов американо-германской группе ученых, возглавляемой Карпом Ментеном и
Марком Рейдом из Смитсоновской астрофизической обсерватории в Кембридже.
Оказалось, что это чрезвычайно ярко излучающий в радиодиапазоне точечный
источник, называемый А в созвездии Стрельца. Он отличается огромной
плотностью, и, по-видимому, представляет собой черную дыру.
Местоположение А Стрельца ученые определили,
сопоставив результаты наблюдения мазерных радиоизлучений молекул
воды, с недавно установленными источниками инфракрасного
излучения, идущего от звезд в центре нашей Галактики Млечного
Пути. Теперь мы знаем, где находится "сердце" нашей Галактики с
точностью до трех сотых долей дуговой секунды, а это равняется
поперечнику мелкой монеты, разглядываемой в телескоп с расстояния
около шестидесяти четырех километров. На рис. 2.6 изображена
компьютерная реконструкция нашей галактики, отмечен ее центр,
местоположения Солнца показано белой точкой в левом верхнем углу.
Рис. 2.6
Л. 3 Закон сохранения импульса
Введѐм ряд понятий:
Система тел - совокупность материальных точек (тел)
взаимодействующих как с друг другом, так и с окружающими
телами и полями.
Внутренние силы - это силы взаимодействия между телами,
принадлежащими одной системе тел.
Внешние силы - силы, действующие на тела данной системы
со стороны других тел и полей, не принадлежащих этой
системе (рис. 3.1).
Примечание: Вектор импульса система тел приложен к центру масс
(движение системы можно описать как движение одного целого, материальный
точки).
Центр масс – точка координаты, которой (см. рис. 3.2) определяются выражением:
r m
r 
m
pp;
i
i
c
;
i
i
n
а) система замкнута
n
F
i 1
i
0
(3.3)
Динамические параметры системы тел не трудно определить
следующим образом:
(3.1)
F
dp
dp
dr
  i ; vc  c ; 
dt
dt
n dt
dp1
 f i 2  ...  f im
dt
dp2

 f 2 i  ...  f 2 n ;
dt
...............................
1
dr
  i  mi ;
 mi n dt
n
n
n
n
dpi
  Fij   Fij  0 (3.2)

i 1 dt
i 1
i 1
ВЫВОД: В замкнутой системе тел суммарный импульс системы не изменяется с течением времени.
n
n
n
dpi
  fij   f ji  0

i 1 dt
i , j 1
i , j 1
б) система незамкнута:
A
 F  0;
i
Примечания:
i=0
p  const ;
(3.4)
Pc
n
dp
i  F ; (3.5)


i
dt
i 1
i=1
n
Рис. 3.3
1. Для замкнутой системы тел центр масс находится в состоянии покоя или равномерного
прямолинейного движения.
2. Не трудно доказать что закон сохранения импульса справедлив для любой инерциальной
системы отсчѐта.
Для наблюдателя в
системе К
Для наблюдателя в
системе К '

Pi  Pi mV
i
P  P  P0 ;
dp
dt

dp
dt

r  r  Vt; x  Vt
V  V  V
 0  F;
dp
dt
(3.6)
F=
dp
dt
;
U-const
Рис. 3.4
Проведя аналогичные рассуждения для всех тел, получим множество таких выражений.
Просуммируем правую и левую части этих выражений, для наблюдателя в системе К,
после чего получим:
dp
dp

 F;
dt
dt
dp dp
Вывод: В инерциальных системах отсчѐта,

 0  F ; импульс системы тел постоянная величина
dt
dt
Рассмотрим ряд конкретных примеров
• Нецентральный удар шаров разных масс
Изображенные на рис. 3.5 вектора
импульсов шаров до и после соударения можно
спроектировать на координатные оси OX и OY.
Закон сохранения импульса выполняется и для
проекций векторов на каждую ось. В частности,
из диаграммы импульсов (рис. 3.5) следует, что
проекции векторов P1 ' P2 ' импульсов обоих
шаров после соударения на ось OY должны быть
одинаковы по модулю и иметь разные знаки,
чтобы их сумма равнялась нулю.
Рис. 3.5
Нецентральное соударение шаров разных масс: 1 –
импульсы до соударения; 2 – импульсы после
соударения; 3 – векторная диаграмма импульсов
Примечание: Закон сохранения импульса во
многих случаях позволяет находить скорости
взаимодействующих тел даже тогда, когда
значения действующих сил неизвестны.
Примером
может
служить
реактивное
движение.
• Явление отдачи артиллерийских орудий
При стрельбе из орудия возникает,
так называемая, отдача – снаряд движется
вперед, а орудие – откатывается назад. Снаряд
и орудие – два взаимодействующих тела.
Скорость, которую приобретает орудие при
отдаче, зависит только от скорости снаряда и
отношения масс (рис. 3.6).
Рис. 3.6
Явление отдачи при выстреле из орудия
Определение: Движение ствола и связанных
с ним деталей в сторону, противоположную
движению снаряда во время выстрела под
действием давления пороховых газов,
называется отдачей.
Явление отдачи наиболее наглядно проявляется в механических системах,
которые распадаются на две или более части в результате, например, взрыва. При
истечении газа из сопла реактивного двигателя также имеет место явление отдачи. В
результате отдачи различные части системы приобретают некоторый импульс. При
стрельбе из артиллерийского орудия, как снаряд, так и само орудие обладают
импульсом
Закон сохранения импульса остается справедливым не только для двух,
но и для большего числа тел. Он позволяет решить многие проблемы, не входя в
детали процесса.
Движение тел с переменой массой. Уравнение Мещерского. Формула Циолковского
Предположим, что на старте масса ракеты составляла М0. Во время работы
двигателей при наборе высоты за каждый интервал времени сгорает масса
топлива dm, то есть расход топлива  ; продукты сгорания выбрасываются через
сопла двигателей со скоростью - u, при этом скорость летательного аппарата V .

Если за интервал времени dt тело теряет массу dt , то импульс тела в
момент времени t  dt будет равен p(t  dt )  (m   dt )(v  dv),
отделившееся тело массы dm  dt обладает импульсом dtu .
dm
;
dt
vo  u  v;
dv
 F   v0 ;
*) => m
dt
Рассмотрим движение ракеты, сила тяги не зависит от свойств
окружающей среды и всегда равна: f t  u
Ц.М.
ю
U
С учетом второго закона Ньютона изменение импульса равно импульсу внешней
силы действующей на это тело dp  Fdt , или mdv  dt (v  u)  Fdt *)
Введем понятие - относительной скорости:
V
m
Рис.3.5
dv
  v0  F ;
dt
Уравнение
Мещерского
После запуска двигателей и начала движения, в любой момент
времени ее масса соответственно будет .M (t )  M 0  t
С учетом выражения *) можно записать:
Интегрируя в пределах от t0 до t получим:
1
M0
[(v(t )  v(t0 )]  ln
;
u
M (t )
1
 dt
dv

;
( M 0  t )dv  udt ;
u
M 0  t
M 0  Me
v ( t )  v ( t0 )
u
;
Формула Циолковского
Релятивистское уравнение Мещерского
Первыми работами, посвященными исследованию движения ракет с учетом
релятивистских эффектов, были работы Аккерета и Зенгера.
При выводе уравнения Мещерского, пригодного для случая скоростей,
сравнимых со скоростью света, используется выражение для релятивистского
импульса:
В результате уравнение приобретает вид:
В этом уравнении в общем случае не вводятся относительные скорости:
NB В релятивистском случае сложение скоростей производится иначе.
Только для случая частиц, отделяющихся со скоростью коллинеарной
скорости ракеты, это уравнение сводится к следующему виду:
где
скорость частиц относительно ракеты.
Л. 4
РАБОТА ПЕРЕМЕННОЙ СИЛЫ
Введѐм понятие:
Работа - величина, определяемая скалярным произведением вектора силы
на вектор перемещения.
K
Пусть некоторое тело перемещается по криволинейной
траектории под действием внешней силы F (рис. 4.1).
F  Fn  F ; F dt  dsn0  dr
Введем:
r1
 A  ( F (r )dr );
r2
Примечание:  - бесконечно малая работа, значок  - применяется
потому, что работа не является полным дифференциалом, в силу своего
определения (скалярное произведение векторов)
r
Рис. 4.1
2
A12   F (r )  dr ;
Геометрический смысл
(r2  r1 )  ri ; i  1,..., n
n
n
i 1
i 1
A12   Ai   Fi ri ;
(4.1)
r1
Ai  Fi ri ;  Fi  r
n
r2
1
r1
A12  lim n  Fi ri   F (r )  dr ;
F(r)
Fi
r1
ri
Риc.4.2
NB Несложно сделать вывод о том, что с геометрической точки зрения
определенный интеграл выражает площадь под кривой в указанных пределах.
r2
r
ЭНЕРГИЯ
Энергия – количественная мера движения материи во всех формах
этого движения.
Энергия тела или системы тел измеряется работой, которую могут
совершить тело или система тел.
В механике различают два вида энергии кинетическую и потенциальную.
КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
Определение: Кинетическая энергия – энергия движущегося тела.
Рассмотрим случай криволинейного движения тела

см. рис. 4.3. Под действием внешней силы F (r, t ) за
некоторый интервал времени скорость тела
изменилась V  V1 ,...,V2
Ek
 A  Fdr  F  dr
dV
F  m 
 dr  mV  dV ;
dt
r2 (V2 )
 A  mV  dV ;
mV22 mV12
m
ΔA12  m  VdV 

; Ek  V 2 ; A12  Ek12
2
2
2
r1 (V1 )
F
Fn
V1
V
r1
F
r2
V2
r
Рис.4.3
mV 2 p 2
Ek 

;
2
2m
(4.2)
Prim: Важно отметить, что часть работы совершаемой внешней силой обычно
расходуется на изменение скорости тела (на изменение его кинетической энергии).
NB
1. Если внешняя сила совершает работу над телом, то эта работа
считается положительной (А>0).
2. Если же некоторые потенциальные поля изменяют импульс этого
тела, то такая работа считается отрицательной (А<0).
Кинетическая энергия
n
1 n 2 P2
замкнутой системы:
P  Pi ; Ek 
; (4.3)
Pi 


2m
i 1
i 1
2m
Рис.4.4
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
Определение: Под потенциальной энергией в кл. механике понимают,
энергию взаимного расположения тел. Под потенциальной энергией можно
понимать работу, которую может совершить система тел под действием
внутренних сил, например гравитационных.
(m1 , m2 ,..., mn );  r1  r1  dr ,..., rn  rn  drn   δAi  ( fij dr )
Рис. 4.5
Вычислим потенциальную энергию тела (м.т.) в однородном поле тяготения.
n
n
n
A   δAi =  ( fij dr )
i 1
Поле тяготения планеты
i=1 j=1
M
F (r )
E (r ) 
; E (r )   2 r0 ; (4.5)
r
m
f g  E ( R)  m
E
mM
Fij   3  r ; (4.4)
r
Если под действием некоторой
внешней силы F тело было поднято
на некоторую высоту
h  r  R; E (r )
E ( R)  const
Рис. 4.6
NB В потенциальном поле тяготения планеты тела обладают некоторой величиной потенциальной энергии
Пусть под действием внешней силы F тело
перемещается с поверхности земли по некоторой
криволинейной траектории см. рис. 4.7.
dv
ds );
dt
dv
F  mg  m ;
m
dt
( Fds )   m( gds )  d ( v 2 );
2

S
S
m 2 m 2
v2  v1 ;
2
2
F
F
V2
dS
( Fds )   m( gds )  m(
( Fds )    m( gds ) 
E-const
Y
h
V1
dy=dh
mg
X
Рис. 4.7
(4.6)
Анализ:
1. Полученное выражение определяет работу внешней силы F при движении тела в
однородном поле тяготения по криволинейной траектории с начальной скоростью v1.
2. Интеграл
 m( gds )
S
против силы тяжести.
определят работу вертикальной составляющей внешней силы
 m( gds )  mg (h
2
 h1 )  mgh;
(4.7)
S
3. Полная работа, совершаемая внешней силой, таким образом, расходуется на
изменение кинетической и потенциальной энергии тела.
4. Система Земля и рассматриваемое тело обладает некоторым запасом потенциальной
энергии, , которую можно определить: U ( R  h)  mgh  const;
Работа в поле тяготения (потенциальном поле)
Работа в поле тяготения не зависит от формы пути, а определяется лишь параметрами
начальной и конечной точек. Работа по замкнутому контуру равна нулю.
A1,2   ( Fdr )   F dr
r
r
F (r )
E (r ) 
;
m
A12  m  ( Edr )
r
m  0;
 ( Edr )  0
(4.8)
l
Введем ряд понятий:
Консервативные (потенциальные силы) - это силы которые переводят один вид
механической энергии в другую (силы тяготения, упругости, кулоновские силы).
Диссипативные силы (переводится как исчезновение) - переводят механические формы
элегии в другие виды (например, сила трения - тепловая форма).
ПОЛНАЯ ЭНЕРГИЯ ТЕЛА
В механике под полной энергией понимают сумму потенциальной и кинетической
энергий, в общем случае полная энергия является общей мерой разных форм движения
материи.
- т.е. работа внешних сил расходуется на
d (mV )
 A  ( Fdr ) 
dr  Ek  E p ; изменение суммарной кинетической и
dt
потенциальной энергий
Полная энергия в широком смысле - это сумма всех энергий системы (сумма различных
форм энергии системы), это механическая, внутренняя, тепловая, электромагнитная,
ядерная.
Закон сохранения энергии
В замкнутой системе тел, в которой действуют только консервативные силы,
полная энергия не изменяется с течением времени. Приращение полной энергии в
системе возможно лишь за счѐт совершения работы внешних сил, то есть в том
случае, когда система становиться незамкнутой.
Взаимосвязь массы и энергии
Задача: Предположим что относительно некоторой инерциальной системы отсчѐта движется
тело с субсветовой скоростью, для того чтобы изменить энергию этого тела на dE необходимо
совершить работу А, за счѐт внешней силы F ;
d
d  m ( v )v 
 A  dE  ( Fds )  E  FVdt  ( p(V ))Vdt  
Vdt E   d (mc 2 )  mc2  const; (4.9)

dt
dt  1   2 
E  mc 
2
m0c 2
1  2
Для изолированной
системы тел
;
 1

Ek  E  E0  mc 
 1 ;
2
 1  

2
n
1 n
E   Eki   E pij  const
2 i 1
i 1
n
E 1 n
M  2  2  Eki   m0i  const ;
c
c i 1
i 1
Ek  mc 2 
(4.10)
m0 2
V ; V c
2
Закон сохранения массы
E0  m0c 2 ;
E   Eki   E 0
i
Вывод: Масса замкнутой системы - величина постоянная,
что является отражением закона сохранения энергии.
Л. 5
Движение твердых тел
Вращательное движение твѐрдого тела
F
n
Абсолютно твѐрдое тело (АТТ) - это совокупность материальных точек
жѐстко связанных друг с другом. При любом движении такого тела
расстояние между любыми парами точек не изменяется с течением времени.
Fi
Поступательное движение твѐрдого тела, это движение, при котором
F1
прямая соединяющая две точки этого тела взятых произвольно в АТТ
перемещается параллельно самой себе.
Вращательное движение можно рассматривать относительно точки и относительно оси.
- относительно оси – движение, при котором, любая точка, принадлежащая телу движется
по окружности, плоскость которой перпендикулярна этой оси и центр совпадает с центром
окружности вращения.
- относительно точки – движение, при котором в, общем случае, любая точка тела
перемещается по сфере, центром которой является эта точка вращения.
Примечания:
1. При вращении твердого тела, например, вокруг неподвижной оси,
линейные скорости точек составляющих это тело различны, в то время,
как угловые параметры оказываются идентичным
2. Перечисленные способы описания движения удобно использовать для
описания движения тел в НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ системах отсчѐта
Рис.5.1
iп  3;
Степени свободы - (число степеней свободы) - это число возможных, свободных
перемещений в пространстве для материальной точки (системы материальных
точек).
Система из произвольного числа точек (их
должно быть как минимум 4) и составлять
пространственную трехмерную конфигурацию
связанных между собой упругими силами
Максимальное число степеней свободы
очевидно равно 9 и складывается из:
Рис.5.3
Рис.5.2
i  in  ibp  ik  6;
i  in  ibp  5;
Момент силы
3-х вращательных и
3-х колебательных, то есть:
i  in  ibp  ik  9;
(5.1)
Момент силы это векторное произведение:
вектора, соединяющего ось вращения (точку
вращения) (см. рис. 5.4) с точкой приложения
внешней силы, на величину вектора внешней силы.
Mmg
MF
3-х поступательных,
r2
r1
F
mg
Рис.5.4
M  r  F;
M  r  F  sin  ;
Вектор момента силы ортогонален плоскости образованной
векторами r и F .
(5.2)
Вектор момента силы можно
M  Mx  M y  Mz;
разложить на составляющие:
Наиболее оптимальным
оказывается разложение
вектора М в виде:
NB Это не самый удачный способ
разложения вектора, так как каждая
из составляющих «описывает»
процессы деформации тела его
вращения и т.д.
F  Fxy  Fz ;  Fxy  Fn  F ;
=>
M  rx  ( Fz  Fn  F );
Рис.5.5
M  r  Fz  r  Fn  r  F ;
3D
r  Fz  rFz ;
r  Fn  0;
(5.3)
r  F  rF ;
Y
Анализ:
F
X
0
Fxy
rx
Fn
Рис.5.6
2D
M z  rFz ; - оказывает давление на подшипники вращения
M  rF ; - образует момент силы, который заставляет
вращаться тело, определяя его угловую скорость
и ускорение.
 
r  Fn  0 - в процессе вращения не участвует
Примеры вращательного движения тел
Любое движение твердого тела можно
представить как сумму двух движений:
• поступательного движения со скоростью центра масс
тела,
• вращения относительно оси, проходящей через центр
масс.
Примером может служить колесо, которое
катится без проскальзывания по горизонтальной
поверхности (рис. 5.7). При качении колеса все его точки
движутся в плоскостях, параллельных плоскости
рисунка. Такое движение называется плоским.
Рис. 5.7 Качение колеса как сумма поступательного движения
со скоростью  c и вращения с угловой скоростью  c  R
относительно оси O, проходящей через центр масc
При плоском движении кинетическая
энергия движущегося твердого тела равна сумме
кинетической энергии поступательного движения и
кинетической энергии вращения относительно оси,
проходящей через центр масс тела и перпендикулярной
плоскостям, в которых движутся все точки тела:
IC – момент инерции тела относительно оси, проходящей
через центр масс.
Рис. 5.8 Движение твердого тела под действием силы тяжести.
NB Центр масс тела движется по параболической
траектории как материальная точка, в то время как
все другие точки движутся по более сложным
траекториям (см. Рис. 5.8).
Теорема о движении центра масс: под действием
внешних сил центр масс любого тела или системы
взаимодействующих тел движется как материальная
точка, в которой сосредоточена вся масса системы.
Сферическое движение
Определение: Сферическое движение (движение твѐрдого тела вокруг неподвижной точки) —
движение абсолютно твѐрдого тела, при котором оно имеет одну неподвижную точку.
При движении вокруг неподвижной точки О каждая из точек твѐрдого тела
описывает в пространстве сферическую поверхность, центром которой является точка О.
При описании законов сферического движения принято пользоваться координатами,
получившими название углов Эйлера:
  f1  t  ,
 - угол собственного вращения;
  f2 t  ,
 - угол прецессии;
  f3  t 
 - угол нутации.
Примером сферического движения является движение прецессирующего волчка
или любого тела закрученного вокруг оси, не совпадающей с осью наименьшего или
наибольшего момента инерции. Другим примером является движение точек на зубьях
конического катка в зубчатой конической планетарной передаче.
Примечания:
• При выборе некоторых осей вращения, можно получить сложное вращательное
движение, например, сферическое движение, когда точки тела движутся по сферам.
• При вращении вокруг неподвижной оси, не проходящей через центр тела или
вращающуюся материальную точку, вращательное движение называется круговым.
Л. 6 Основной закон динамики вращательного движения
Рассмотрим приложение второго закона Ньютона к вращательному движению:

F
M
Напомним, что во вращении тела участвует лишь F
F  ma ; a    r ;
F
V
m
Fxy
r
Fn
Рис.6.1
(6.1)
F  m(  r ); M  r  F ; M  (rFz )  (rFn )  (rF )
(rFz )  rFz ; (rFn )  0; (rF )  rF ;
M  m(r  (  r ));
(6.2)
Если угол между векторами
углового ускорения и радиусвектором равен 900, тогда:
M  mr 2 ; (6.3)
Примечание: Если речь идёт о материальной точке, то необходимо ввести понятие момент инерции материальной точки:
J  mr 2 ; (6.4)
Определение: Момент инерции материальной точки определяется произведением массы материальной точки
на квадрат расстояния от оси вращения до рассматриваемой точки.
Момент силы, согласно можно записать в виде:
M    J;
(6.5)
Примечание: это выражение является вторым законом Ньютона для вращательного движения. Оно
справедливо:
а) если под моментом М понимают часть момента внешней силы, под действием которой происходит вращение
тела вокруг оси - это тангенциальная составляющая,
б) нормальная составляющая момента силы не участвует во вращательном движении, так как Mn старается
«сместить» точку с траектории.
Рассмотрим тело произвольной формы, совершающее вращательное движение относительно закрепленной
оси под действием внешней силы (см. рис. 6.2).
Разобьем это тело на достаточно тонкие диски, плоскости которых
ортогональны оси вращения. Каждый из этих дисков, в свою очередь
разобьем на элементарные объемы, так чтобы массы этих объемов можно
было рассматривать как материальные точки (см. рис. 6.3).
F
Для любого элементарного объема как для
материальной точки можно записать:


F i ri  mi ri 2 ;
ri
Fi

......................
 F r
mi
i i
 ( mi ri )
i
Рис. 6.3
mi ri  I i ;
dJ  dmr ; dM  dJ   ; (6.6)
dm    dV ;
m( x , y , z ) 
Рис. 6.2
IT   I i ;
Основной закон динамики для
вращательного движения
i
2
Более точные выражения можно
получить:
2
2
i
M     dJ ;
(6.7)
M   IT ;
  ( x, y, z )dV ;
IT   r 2 dm; (6.9)
m
V
Вывод: Момент инерции тела характеризует распределение
массы относительно оси вращения, и отражает инерциальные
свойства тела в данном вращении.
(6.8)
IT   r 2 dm   r 2  dV ;
m
V
Моменты инерции однородных тел правильной формы
Моменты инерции однородных тел правильной формы относительно оси проходящей через их
центр масс рассчитываются достаточно просто исходя из формул объемов тел, и определения
плотности в виде: dm    dV ;
Пример: Момент инерции элементарного слоя цилиндра относительно «главной» оси:
dJ  dmr 2  2 hr 3dr;
1
J  mR 2 ;
2
m   r 2h;
(6.10)
Аналогично рассуждая, можно получить формулы для расчета моментов инерций и для других тел вращения
правильной формы, для случая, когда ось вращения проходит через центр масс рассматриваемого тела.
Тонкий обруч
Стержень
(закрепленный посередине)
l
l
J  mr 2
Диск
Стержень
(закрепленный см. рис.)
J 
1
ml 2
12
Однородный цилиндр
J 
1
ml
3
Шар
r
r
1
J  mr 2
4
J
1 2
mr
2
J
2 2
mr
3
2
Теорема ШТЕЙНЕРА
Примечание: Момент инерции данного тела относительно, какой либо данной оси зависит
не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к
этой оси.

l
0
J0
m
Теорема Гюйгенса – Штейнера:
Момент инерции тела J относительно произвольной оси (рис. 6.4)
равен сумме:
1) момента инерции этого тела J0, относительно оси, проходящий
через центр масс этого тела, и параллельной рассматриваемой оси,
2) произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.
Рис. 6.4
J z  J 0  ml 2 ;
(6.11)
В качестве упражнения предлагается вычислить момент инерции для однородного
цилиндра для ситуации показанной на рис.6.4 при условии l=0, то есть доказать:
J 
3
mR 2 ;
2
- здесь R – радиус цилиндра
Заключительные замечания
1.
2.
3.
Математически закон сохранения момента импульса следует из
изотропии пространства, то есть из инвариантности пространства по
отношению к повороту на произвольный угол.
Так как момент импульса определяется векторным произведением, он
является псевдовектором, перпендикулярным обоим векторам r и p.
Однако, в случаях вращения вокруг неизменной оси, бывает удобно
рассматривать не момент импульса как псевдовектор, а его проекцию
на ось вращения как скаляр, знак которого зависит от направления
вращения.
Симметрия в физике
Преобразования
Рис.6.5 Связь между
импульсом P и моментом L
Инвариантность
Закон
сохранения
↕ трансляции времени
Консервативность
…энергии
↔ изотропия времени
Изотропия времени
…энтропии
↔
трансляции
пространства
Однородность
…импульса
○ Вращения
Изотропность
пространства
…момента
импульса
× Группа Лоренца
Относительность
Лоренц-инвариантность
…интервала
Л. 7
Момент импульса
Введем понятие:
Момент импульса материальной точки (при движении
ее по окружности) равен векторному произведению радиусвектора точки на ее импульс
L  r  P;
Анализ (7.1)
P  mV ;  
L

r
P
(7.1)
Рис.7.1
d
; V  r  ; V  r  ; (( p,  )   / 2);
dt
L  r  r    m  J ; L  J  ;
dL
d
J  r m;
J
;
dt
dt
2
dL
 J  ;
dt
(7.2)
Формула (7.2) представляет собой второй закон
Ньютона для вращательного движения.
Каким образом можно определить момент импульса для
вращающегося тела под действием нескольких сил (см. рис. 7.2)?
LT  (  r 2 dm); LT  JT  ;
dLT
 JT   ;
dt
(7.3)
Закон сохранения момента импульса
2. Вращение твѐрдого тела
вокруг неподвижной оси
1. Вращение твѐрдого тела
относительно точки:
M T  J T   ; M T   ri  Fi ;
n
dLT
 MT ;
dt
M T  0;  LT  const ,   const;
Li  mi (ri  Vi );
L   Li   mi (ri  Vi );
L  ( mi ri ) (t )  J  (t );
2
Закон сохранения момента импульса:
Момент импульса замкнутой системы тел или тела
(то есть в том случае, когда на данную систему не
действуют внешние силы) относительно любой
неподвижной точки или неподвижной оси не
изменяется с течением времени.
n
dL
d (t )
J
 M  J ;
dt
dt
М.С.
dLT
 0;
dt
LT  const ;  (t )  const ;
M T  0;
(7.4)
 a bc    b (ac )  c (ab );
  
L  mr  v  mr  r  ;
Можно формально упростить процесс описания, если воспользоваться понятием тензора
Физическая интерпретация понятия тензора
Тензор это упорядоченная совокупность девяти чисел
(эти числа являются физическими параметрами), которые
называются компонентами тензора и зависят от
выбранной системы координат. Они преобразуются при
изменении системы координат, как произведения
координат.
Рассмотрим понятие тензора
подробнее, на физической модели,
на примере момента импульса:
L  mr 2  mr (r );
(7.5)
Вектор момента импульса определен через комбинированные скалярные произведения, каждое из
которых является вектором, а именно направление вектора L определяется векторами  и r.
Формально, последнее соотношение (7.5), можно рассматривать как
векторную разность или сумму:


J

r

mr 
2
L  a  br ;

 
 mr (r )
Рис.7.3
С точки зрения геометрии движения
материальной точки или элементарной
массы ориентация векторов L, r, p
определятся согласно (рис. 7.3).
С учетом (7.5) =>
Представим вектор через его
декартовы составляющие:
L  Lx  Ly  Lz ;
J x  mr 2x  mx( xx  y y  zz );
Совокупность сомножителей при проекциях вектора  представляет собой тензор момента инерции
J  ;
 m( r 2  x 2 )
mxy
mxz 
 LT   mi ri 2 
2
2
J y  myx x  m(r 2  y 2 ) y  myz z ;    myx
m( r  x )
myz  ;
i
2
2 
2
2

mzy
m(r  z )   mi ri ( ri );
J z  mzx x  mzy y  m(r  z ) z ;
 mzx
J x  m(r 2  x 2 )x  mxy y  mxz z );
i
Гироскопический эффект. Гироскопы
Свободный гироскоп – гироскоп, у которого ось вращения может
иметь любой угол в пространстве при неподвижной точке
вращения расположенной в центре масс.
Пример модели свободного гироскопа представлен на рис. 7.4.
При вращении гироскопа с постоянной угловой скоростью, его момент
импульса равен:
L  J ; L  const; (7.6)
Суммарный момент импульса,
действующий на гироскоп равен:
L  Lz  (  Mdt )n0 ;
t
(7.7)
Рис.7.4

L

Lz
z
Проанализируем движение оси гироскопа
при воздействии внешних сил. Рассмотрим
гироскоп и приложенные к нему внешние
силы как это показано на рис. 7.6

F

M

M dt
y
x

F
Рис.7.5
Внешняя сила F действует в течение
достаточно малого интервала времени t
dLx  M x dt;
L  Lz  dLx ;
(7.8)
Ось гироскопа будет участвовать в двух
движениях определяемых векторами LZ ; dLx
d 
Mx
;
Lz

d
Mx

; (7.9)
dt
Lz
Угловая скорость
прецессии оси гироскопа
Кинетическая энергия вращающегося тела
Рассмотрим твердое тело произвольной формы, вращающееся вокруг
оси (рис. 7.7). Попробуем вычислить его кинетическую энергию:

ri

vi
mi
vi2 1
1
Eki  mi  mi ri 2 2  J i 2 ; (7.10)
2 2
2
Полная кинетическая энергия вращающегося тела очевидно может найдена
суммированием:
2
Ek 
Рис.7.7
2

2
J ;
i
(7.11)
d
n
r
2
J 2
Ek 
limn  J i 
dJ 
;

2
2
2
n
Работа при вращательном движении
Вращающий момент создает тангенциальная составляющая силы,
если последняя приложена произвольным образом (см. рис.7.8)
 A  F ds; ds  rd ;
 A  F rd  Md ;
F
dS
A
Рис. 7.8
 F rd   Md;


(7.12)
Примечание: Работа внешней силы по «раскручиванию» тела определяется моментом этой
силы вдоль оси вращения и углом поворота.
Л. 8
Движение относительно неинерциальных систем
отсчѐта
Определение - если две системы отсчета двигаются друг относительно друга по
криволинейной траектории (то есть с ускорением), то эти системы - неинерциальны
R  R0  r ; dR  dR0  dr ; dR0  U  U ;
abs
per
dt
R0
U per - переносная
dt
U otn - относительная
Выводы:
dt



U abs  U otn  U per aabs  aotn  a per

U abs - абсолютная
Рис. 8.1
dt
2-й з-н Динамики
maotn  maabs  ma per ; (8.1)
maotn  F  ma per ;
maabs  F - сила, которую действительно измеряет
наблюдатель в системе К.
1. Сила – maper получила название силы инерции, в действительности это некая
квазисила, возникающая за счѐт ускоренного движения системы К1 относительно К.
2. F - сила инвариантная относительно системы К и К1, значение этой силы не изменяется,
если система К1 начнет двигаться с постоянным ускорением относительно системы К.
Произвольное движение систем отсчета друг относительно друга
K’
j
Задача состоит в том, что бы описать движение
точки в К и К1, и записать второй закон динамики.
•
скорость поступательного движения системы К1
k
относительно К, как функция времени, это даст
i
возможность учесть соответствующее линейное
K
ускорение,
•
скорость вращательного движения, с
соответствующим учетом углового ускорения К1
Рис.8.2
относительно К, вектор r в системе К1 может быть
определен следующим образом:
Вращательное движение К1 относительно К определим из
r  ir  jy  kz;
свойств векторного произведения:
di
  , i  ;
dt 
dj
  , j  ;
dt
dk
  , k  ;
dt
dr  dx
dy
dz   di
dj
dk 
 i 
j  k x  y  z
;
dt  dt
dt
dt   dt
dt
dt 
Выражение в первых скобках обозначим через U0, оно определяет
скорость поступательного движения системы К1 относительно К
dr
 U 0    r ;
dt
U abs  U otn  U 0   , r ;
Сравнивая с полученным выше: U abs  U otn  U per ;
(8.2) - описывает преобразование скоростей произвольного
движения точки относительно произвольно
движущихся систем К и К1.
Найдем выражение для ускорения, для этого продифференцируем выражение (8.2)
aabs
 dU 0  d


 aotn    U otn   

, dr     , r   ;

 dt  dt

Определим выражение:
 ,U otn   aKor


aabs  aotn  a per  aKor ; (8.3)
Выражение в фигурных скобках
назовем переносным ускорением:
dU 0  d


, dr     , r   a per ;
dt
 dt

Второй закон динамики для неинерциальных систем отсчета
maotn  F  ma per  maKor
Если тело движется по окружности относительно
произвольно движущийся системы К1, то в системе К
очевидно будет выполнятся следующее соотношение:
Fper  Fc  m 2r ;
Выводы:
1 - Кориолисова сила возникает при движении тела в системе координат движущейся по
произвольной криволинейной траектории.
2 - Если точка М движется по окружности относительно системы К1, то направление вектора
кориолисовой силы возникающей при движении К1 по произвольной траектории определяется по
правилу векторного произведения:F=[U.
3 - Переносная сила инерции возникает в неинерциальных системах.
Гравитационное поле, и его характеристики
Гравитационное поле - материальная среда, через которую
осуществляется взаимодействие материальных масс
St
Законы Кеплера
1. каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов
которого находится Солнце.
St
Рис.8.3
F12
3. квадраты периодов обращения планет относятся как кубы
больших полуосей эллиптических орбит, по которым они
движутся вокруг солнца.
2
2
2
3
3
3
F21
r12
m1
2. радиус-вектор планеты в равные промежутки времени
описывает равные площади.
m2 r
T1 / T2 / T3 /...  r1 / r2 / r3 ...;
Рис. 8.4
Закон всемирного тяготения
mi
mi

ri
К
mm r
F12   1 2 2 12 ;
r12 r12

rij
М2
М1
m j

rj
Рис.8.5
n
F12
k
 
i 1 j 1
mi  m j
rij3
Fij  
rij ;
mi  m j
rij3
mi  Vi ;
rij ;
Vi  dxdydz;
F12   lim  lim 
n 
i
k 
j
mi  m j
rij3
rij ;
=6,673210-11 (Н м2/кг2)
Примечание: Вычисления предельных соотношений целесообразно
выполнять с помощью методов численного анализа.
Характеристики гравитационного поля
По характеру взаимодействия поля можно классифицировать на:
1 – Дальнодействующие 2 – Близкодействующие.
E(r)
Для гравитационного поля целесообразно ввести следующие
характеристики:
F (r )
1 - напряжѐнность (силовая характеристика),
E
;
2 - потенциал (энергетическая характеристика).
m
Расчѐт напряженности поля точечной массы
mm
F (r )   3 0 r ;
r
Рис. 8.6
E
Ei
r1
E1
m1
En
mi
K
ri
rn mn
Рис.8.7
Принцип суперпозиции
m
E (r )   3 r ;
E  E1  E2  ....  En ;
r
Выводы: 1) Напряженность гравитационного
поля создаваемая некоторым телом зависит
только от массы этого тела и расстояния до
него. (На иллюстрации справа приведена
компьютерная реконструкция изображения
черной дыры в соседей галактике).
2) Для гравитационных полей справедлив
принцип суперпозиции (то есть принцип
независимого векторного сложения
напряженностей полей).
E   Ei ;
n
Потенциал гравитационного поля
Fвнеш
r
н
mo
Fграв
Под потенциалом поля в данной точке понимают работу по
перемещению единичной массы из данной точки в бесконечность
(либо наоборот, только в первом случае работа совершается
внешней силой, во втором – гравитационным полем).
Рис.8.8
 (r )  Ar , ; m0  1;
m
r1
Fn
F
Рис.8.9
A12   ( Fdr )
r1
A121 



m
M
r2
Рассчитаем потенциальные поля шаров или материальных точек, с
точки зрения возможности совершать работу.
1
dr
dr
M
 (r ) 
F
(
r
)
dr


M
r


M
;
0
2




(
r
)


;
m0 r
r
r
r
r
r
F
r2
0
NB Понятие потенциала значительно упрощает процесс вычисления
работы при перемещении тела в гравитационном поле по траектории любой
формы, действительно:
Работа при перемещении тела под действием
r2
внешней силы в гравитационном поле не
dr
  mM
 m(1  2 ); зависит от формы пути, а определяется
2
r
r1
лишь потенциалами начальной и конечной
точек.

 E (r )  mdr m  E (r )dr  0;
 Edl
 0;
NB Этот интеграл определяет понятие циркуляции вектора напряженности гравитационного поля
Взаимосвязь между напряжѐнностью и потенциалом
Эквипотенциальная поверхность – геометрическое место точек имеющих
одинаковый потенциал.
1) Рассмотрим случай радиально - симметричного поля (рис. 8.10):
E2 
M
r22
r0 ; E (r ) 
M
r12
r0  E1;
 A12  md ;  A12  Fdr  Emdr ;
Edr  d ;
2) Поле произвольной конфигурации
Рис. 8.10
d
E
r0 ;
dr
Функции пространственного распределения - Е,φ необходимо задать в какой либо
системе координат, например в декартовой:
E ( x, y, z ), ( x, y, z )
 d
d
d 
E   i
 j
k
;

dy
dz 
 dx
Под оператором понимают совокупность
математических действий, которые надо
произвести над стоящей справа от него функцией.
 d
d
d 
  i
j
k
 ; - оператор градиента (Гамильтона)
dx
dy
dz


В заключение отметим некоторые общие свойства полей:
1 - Поле и вещество взаимосвязаны друг с другом.
2 - Поля характеризуются пространственно временной протяженностью.
3 - Поля обладают энергией, потенциальные поля (гравитационное, кулоновское) способны совершать работу.
4 - Поля имеют конечную скорость распространения в пространстве, т.е. обладают инерциальными
свойствами
5 - Для полей характерна аддитивность - векторы напряженностей подчиняются принципу суперпозиции
Масса инертная и масса гравитационная
На тело находящееся вблизи поверхности Земли действует сила
f
M mg
a  g 

 const ;
mi
R mi
f 
mg M
r
2
;
Несложный анализ последнего выражения показывает
mg
mi  mg ;   1 1028
 const ;
mi
NB Все эксперименты позволяют утверждать, что с точки зрения физической природы различия
между инертной гравитационной массами нет.
E( r )
E1
r
Некоторые вопросы, связанные с движением планет
mv 2
Mm
Определим условия финитности в движении планеты
E

;
2
r
L  J   mr 2;
v  v  v ; v  v  r ;
n
E2
E( r )
Рис.8.11
2
Mm
;
r

mv 2
v
m 2 2 m 2
L2
m
 r   v 
;
2
2
2
2
2mr 2
E (r ) 
m 2
L
Mm
v 


;
2
2
2mr
r
1 -При E<0 орбита планеты - замкнутая
кривая эллипс (окружность), при этом планета
говорят находится в потенциальной яме –
заштрихованная область на рис. 8.11 .
2 -При E=0 траектория планеты гипербола.
- энергия, обусловленная притяжением
3 -При E>0 траектория оказывается
планеты к звезде за счет
параболой.
L
- энергия, обусловленная вращением
E1 
;
2
планеты вокруг звезды
2mr
E2  

гравитационного взаимодействия.
Л. 9 Основы специальной теории относительности
Эйнштейн обобщил постулаты Ньютона в следующем виде:
Все законы природы протекают одинаковым образом, то есть они инвариантны
относительно любой инерциальной системы отсчета.
Модель черной дыры
В основе принципа относительности лежат следующее постулаты:
1) скорость света является предельной в вакууме, и одинакова во всех системах
отсчета, не зависимо от характера их движения.
2) пространство и время неразрывно связаны друг с другом, то есть в отличии от
классической физике, где их можно рассматривать независимо друг от друга, в инерциальных
системах отсчета находящихся в 4-х мерном континууме законы природы инвариантны.
Преобразования Лоренца
Зеркало неподвижно соединено с системой К1 x  Ut ;
U- скорость системы К1 относительно системы К (рис. 9.1)
Задача сводится к тому, чтобы установить взаимосвязь
между координатами точки А в системе К и системе К1, а также
определить соотношение скоростей.
Рис.9.1
Важные примечания: А) системы К и К1 абсолютно равнозначны между собой, то есть если
наблюдатель находится в системе К то он регистрирует движение К1 со скоростью U, если же его
переместить в систему К1, то он бы зарегистрировал движение К1 относительно К со скоростью U.
Б) преобразование координат очевидно должно быть линейным, то есть они не должны
изменятся при изменение местоположения точек О и О1 (начало отсчета систем) - это следует из
однородности пространства, и евклидовой материи.
1. Пусть в начальный момент времени системы координат К и К1 были совмещены, то есть
О=О1. Предположим что время в системе К и К1 течет разным образом, но в начальный момент
времени: t=0, t`=0
2. Система К1 стала двигаться со скоростью U относительно К: x = Ut или x - Ut=0
x   ( x  Ut );
Т.к. это координаты одной и той же точки: x   ( x  Ut ); (9.1)
Для определения  перепишем (9.1) в виде: ct    (ct  Ut )   t (c  U );
ct   (ct   Ut )   t (c  U ); c 2   2 (c 2  U 2 );
(9.4) => (9.1)
x 
x  Ut
1 
2
;
(9.5) x 
x  Ut 
1 
2
;
Определим преобразования для моментов времени
t 
tx
U
c 2 ; (9.7)
1  2
t
t   x
U
c2 ;
1 
(9.8)
2

1
1 
2
; 
(9.2)
(9.3)
U
c
(9.4)
(9.6)
x 1  
2
x  Ut
1 
2
 Ut ; t  
Ut  x 2
U 1 
Нетрудно показать, что преобразования
(9.5, 9.6, 9.7, 9.8) при U<<c переходят в
преобразование координат Галилея
Следствия из преобразований Лоренца
Предположим, что в системе К1 находится стержень, собственная
длина которого в К1 равна L0
x  Ut
x  Ut
x2  x1  2
 1
;
2
2
L0  x2  x;
1 
1 
2
( x2  x1) 1   2  x2  x1; x2  x1  L0 ; x2  x1  L; L  L0 1   ;
Рис.9.2
2
;
Определение интервалов времени
Предположим, что в точке А1 неподвижно относительно К1 происходит некоторое
событие, которое длится:
t   t2  t1;
Относительно К1 начало события происходят в точке
событие происходит в разных точках x1(t1) и x2 (t 2 )
Используя преобразования Лоренца:
t  t2  t1;
x1 ( t 1 );
t 
x2 ( t 2 ) ; в системе К это
t 
1 
2
Примечание: собственное время всегда меньше времени отсчитанного по часам движущейся
системы.
Выводы:
1. Пространство и время взаимосвязаны,
2. Время в инерциальных системах отсчета движущихся с субсветовой скоростью по
отношению к другим инерциальным системам течет по разному,
3. Различными оказываются и размеры тел, причем это различие зависит от направление
вектора скорости самой системы и вектора скорости самого тела,
4. Скорость тела никогда не может превысить скорость света в рамках специальной и общей
теории относительности.
5. В результате объединения пространства и времени в одну четырехмерную реальность, все
четыре измерения которого в принципе эквивалентны, получается стройная система
записи величин, инвариантных относительно преобразований Лоренца.
Согласование единиц измерения
Чтобы измерения, выполненные в различных ИСО, можно было между
собой сравнивать, необходимо провести согласование единиц измерения между
системами отсчѐта. Так, единицы длины могут быть согласованы при помощи
сравнения эталонов длины в перпендикулярном направлении к относительному
движению инерциальных систем отсчѐта.
Например, это может быть кратчайшее расстояние между траекториями
двух частиц, движущихся параллельно осям x и x' и имеющих различные, но
постоянные координаты (y, z) и (y',z'). Для согласования единиц измерения времени
можно использовать идентично устроенные часы, например, атомные.
Заключительные замечания:
• В первую очередь в СТО, как и в классической механике, предполагается, что
пространство и время однородны, а пространство также изотропно. Если
быть более точным (современный подход) инерциальные системы отсчета
собственно и определяются как такие системы отсчета, в которых
пространство однородно и изотропно, а время однородно. По сути
существование таких систем отсчета постулируется.
• Учитывая второй закон Ньютона (или уравнения Эйлера-Лагранжа в
лагранжевой механике), можно утверждать, что если скорость некоторого тела
в данной ИСО постоянна (ускорение равно нулю), то она должна быть
постоянна и во всех остальных ИСО. Иногда это и принимают за определение
ИСО.
• Формально, Эйнштейн, классический принцип относительности (Галилея),
распространил с механических на все физические явления. Однако, если учесть,
что во времена Галилея физика заключалась собственно в механике, то и
классический принцип тоже можно считать распространяющимся на все
физические явления. В том числе он должен распространятся и на
электромагнитные явления, описываемые уравнениями Максвелла.
• Однако, согласно последним (и это можно считать эмпирически установленным,
так как уравнения выведены из эмпирически выявленных закономерностей),
скорость распространения света является определѐнной величиной, не зависящей
от скорости источника (по крайней мере в одной системе отсчѐта).
• Необходимо отметить, что световые сигналы, вообще говоря, не требуются при
обосновании СТО. Хотя неинвариантность уравнений Максвелла относительно
преобразований Галилея привела к построению СТО, последняя имеет более
общий характер и применима ко всем видам взаимодействий и физических
процессов.
• После построения Эйнштейном СТО на основе вышеуказанных постулатов,
многие исследователи пытались отказаться от второго постулата вообще. Спустя
5 лет после известной статьи Эйнштейна 1905 года, благодаря работам
Игнатовского, Ф.Франка и Г.Роте стал известен способ получения общего вида (с
точностью до неопределенной константы) преобразований Лоренца без
использования второго постулата.
• Фундаментальная константа c, возникающая в преобразованиях Лоренца, имеет
смысл предельной скорости движения материальных тел. Численно она
совпадает со скоростью света, однако этот факт, согласно современной
квантовой теории поля (уравнения которой изначально строятся как
релятивистски инвариантные) связан с безмассовостью электромагнитных
полей. Даже если бы фотон имел отличную от нуля массу, преобразования
Лоренца от этого бы не изменились.
• Поэтому имеет смысл различать фундаментальную скорость c и скорость света
cem. Первая константа отражает общие свойства пространства и времени, тогда
как вторая связана со свойствами конкретного взаимодействия.
• В связи с этим второй постулат следует формулировать как существование
предельной (максимальной) скорости движения. По своей сути она должна быть
одинаковой во всех ИСО, хотя бы потому, что в противном случае различные
ИСО не будут равноправны, что противоречит принципу относительности.
• Более того, исходя из принципа "минимальности" аксиом, можно
сформулировать второй постулат просто как существование некоторой
скорости, одинаковой во всех ИСО, а после вывода соответствующих
преобразований - показать, что это предельная скорость (потому, что
подстановка в эти формулы скоростей больше этой скорости приводит к
мнимости координат).
Дополнения
Геометрический подход
По своей форме интервал (особенно в первоначальной записи) напоминает
расстояние
в
евклидовом
пространственных
и
пространстве,
временных
однако
составляющих
он
имеет
события.
различный
Следуя
знак
у
рассуждениям
Минковского и более ранней работе Пуанкаре, можно постулировать существование
единого метрического четырёхмерного пространства-времени с 4-координатами (ct,
x, y, z).
В простейшем случае плоского пространства метрика, определяющая
Световой конус
расстояние между двумя бесконечно близкими точками, может быть евклидовой или
псевдоевклидовой.
Последний
случай
соответствует
специальной
теории
относительности. Говорят, что интервал задаѐт расстояние в псевдоевклидовом
четырѐхмерном пространстве-времени. Его также называют пространством-временем
Минковского.
Наиболее "простой" способ понимания и вывода преобразований Лоренца при таком подходе
может быть получен, если записать интервал (с обратным знаком) используя "мнимую" временную
координату
Тогда интервал выглядит как обычное евклидово расстояние между точками в четырехмерном
пространстве. Как было показано, интервал должен сохранятся при переходе между ИСО, следовательно
это могут быть либо параллельные переносы и инверсии (что не интересно), либо повороты в этом
пространстве. Преобразования Лоренца играют роль поворотов в таком пространстве.
Важные примечания:
•
Вращения
базиса
в
4-мерном
пространстве-времени,
смешивающие
временную
и
пространственные координаты 4-векторов, выглядят как переход в движущуюся СО и похожи на
вращения в обычном трѐхмерном пространстве.
•
При этом естественно изменяются проекции четырѐхмерных интервалов между определѐнными
событиями на временную и пространственные оси системы отсчѐта, что и порождает
релятивистские эффекты изменения временных и пространственных интервалов. Именно
инвариантная структура этого пространства, задаваемая постулатами СТО, не меняется при
переходе от одной инерциальной системы отсчѐта к другой.
•
Используя только две пространственные координаты (x, y), четырѐхмерное пространство можно
изобразить в координатах (t, x, y). События, связанные с событием начала координат (t=0,x=y=0)
световым сигналом (светоподобный интервал), лежат на так называемом световом конусе (см.
рис. справа на пред. слайде).
•
В первоначальной версии Минковского (с мнимым временем) формулы преобразований Лоренца
выводятся просто - они следуют из известных формул поворотов в евклидовом пространстве.
Современный
подход
заключается
во
введении
4-мерного
пространства-времени
(с
вещественной временной осью ct) и с псевдометрикой. Тогда формулы поворотов имеют
аналогичный
вид,
гиперболические.
но
вместо
тригонометрических
функций
нужно
использовать
В таком пространстве
. Закон сложения скоростей можно записать в виде:
Сократив скорость света, получим искомый закон сложения скоростей.
Повороты в этом пространстве в плоскости (x,ct) описываются следующим образом
Учитывая, что :
Несложно получить искомые преобразования Лоренца.
Вывод: Геометрическая интерпретация пространства-времени позволяет формулировать СТО в
ковариантной форме на основе тензорного анализа. Именно геометрическая интерпретация
является основой для обобщения теории относительности (общая теория относительности).
Л. 10 Основы специальной теории относительности
Преобразование скоростей
Преобразование Галилея "не работают" в релятивистом случае, следовательно, необходимо
получить выражение для преобразования скоростей удовлетворяющих преобразованию Лоренца.
dx x
 ; U  const ; (10.1)
dt  t 
Считаем, что система К1 движется в том же направлении, в
каком направлен вектор скорости U по отношению к системе К
dx x
W
 ; W  const ; (10.2)
dt
t
Пусть в исходный момент времени t  t   0 (то есть
Предположим, что в системе К1 скорость движения точки:
когда системы были совмещены) рассматриваемая
материальная точка находится в координате x  x  0;
W
x x  Ut 
;

U
t t   x (10.3)
c2
U  c; V  c;
W
U
Анализ:
1. Классический случай:
x V U

; (10.4) U  c; V  c; UV  1; W  U  V ;
t 1  VU
2
c
c2
В этом случае, на первый взгляд скорость точки относительно системы К должна
быть порядка двух световых скоростей…?
V U
c(c 2  VU )  c 2 (U  V )
c(c  U )(c  V )
c W  c 
 ...... 
 ... 
;
2
VU
...
c  UV
1 2
c
c W 
U  c; V  c; (c  W )  0;
c(c  U )(c  V )
Анализ
0
;
(10.5)
2
U

c
;
V

c
;
(
c

W
)

;
(10.5) =>
c  UV
2c
NB Полученный результат может быть истолкован единственным образом: материальная точка и
система отсчета не могут двигаться одновременно со скоростями близкими к скорости света,
с другой стороны это физическая неопределенность показывает, что относительно системы К, в
рассматриваемой кинематики движения, скорость материальной точки не может быть выше
скорости света, не смотря на то что материальная точка и система имеют субсветовые скорости.
Эйнштейн сформулировал постулат о предельном значении скорости света W < c (10.5), то есть
материальная точка обладающая массой покоя не может ни при каких условиях двигаться
со скоростью света.
Элементы релятивисткой динамики
Основные положения и выводы релятивисткой механики:
1. Масса движущегося тела (установлено экспериментально) является функцией скорости,
удовлетворяющей преобразованиям Лоренца.
m
m(V ) 
0
1 
2
;
2. Электромагнитные волны, фотоны в вакууме движутся с постоянной скоростью (со
скоростью света), (это постулат Эйнштейна), при этом масса, как мера энергии фотона,
очевидно также может определяться, как масса движения и масса покоя.
m0  m(V ) 1   2  m(V )  0  m (V )  0  0; m0  0
Рассмотрим физическую суть увеличения массы в зависимости от скорости:
1
2 2
1    (1   ) ;   1; m(V )  m0
2
m(V )  m0 
m(V )  m0 / 1   2 ;
1
2 2
1 2
m0V 2
1    (1   )  ...m0 (1    ...)  ...  m0 
;
2
2
2
Ek
NB Из выражения (10.6) следует, что масса частицы с
2
2
mc

m
c

E
;
(10.6)
;
0
k
точностью до постоянной определяет ее полную энергию
c2
Рассмотрим замкнутую систему взаимодействующих друг с другом частиц. Эта система
обладает потенциальное и кинетической энергией. Полная энергия может быть определена:
n
n
n
E   Eki   E pij ;
i 1
i 1 j 1
n
Ek M кл   m0i  const 2
M   m0i  2 ;
c M rel  ( m0i )c 2 
c
i 1
i 1
E  E0  Ek ;
n

n
E
i 1
ki
Prim: В релятивистом случае закон сохранения массы по сути дела является обобщенном
законом сохранения энергии.
m
Получим выражение для релятивистского импульса:
d  m
dV
dm
m0 dV
0
F  m(V )
V

V  
dt
dt
 dt  1   2
1   2 dt
p  m(V )V 

 ;


0
1 
2
V;
dV
d  m
dt
0
F
V  
 dt  1   2
1  2
m0

 ;


Эквивалентность массы и энергии
Выражение для энергии частицы - совершенную над ней работу за время dt в релятивистом
случае:
 mV 
d  m0V 
d  m0V 
0
Adt  ( F  V )  dt  
Vdt ; dE  
Vdt  d 


 dV ; (10.7)
2
2
2






dt  1   
dt  1   
 1  
Наиболее простой случай: VdV  VdV ; (V ) 2  V 2 ;
V
dV
 m c2 
c2
0
d
 ; (10.8)
3
2 

 (1   ) 
(1   2 ) 2
m0c 2

V
 
m
V
dV
0  2
 
 m V
c

  ;
0
dE  
V
3
 1   2

2 2
(1

)





Окончательное интегрирование (10.8): E 
m0c 2
1  2
 const ; (10.9) E  m(V )c 2  const; (10.10)
Сложный вопрос в (10.10) вычисление const
1. Эйнштейн показал, что для инерциальных систем отсчета const в (10.10) можно взять
равную нулю.
Анализ (10.10)
2
2. Энергия покоя равна E  m 0c , включает в себя все энергии системы не связанные с
движением. Кинетическая энергия тела:


Релятивистский импульс
1
E  m0c 2 
 1 ;
 1  2




1. Вектор силы параллелен вектору скорости => F  d

m0V 
Vdt ;
dt  (1   ) 
2. Вектор силы перпендикулярен вектору
скорости =>

d  m0V
F
3
dt 
2
 (1   )

Vdt ;


Выводы:
1. Преобразования координат и скоростей (Лоренца) при движении инерциальных систем
друг относительно друга принципиально отличается от классического варианта
(преобразования Галилея).
2. Время в различных системах отсчета течет по-разному.
3. Масса есть мера энергии тела.
Дополнения
Релятивистский лагранжиан
В классической механике законы движения можно вывести из вида лагранжиана
механической системы на основе принципа наименьшего действия. Действие должно быть
инвариантом относительно преобразований ИСО. Таким свойством обладает - интервал.
Следовательно, общий вид действия в релятивистской механике
Соответственно, лагранжиан должен быть равен:
Параметр  необходимо определить из соображений совпадения (с точностью до
константы) с лагранжианом свободной частицы классической механикой при малых скоростях
(который равен просто кинетической энергии). Исходя из этого можно показать лагранжиан
свободной релятивистской частицы имеет вид:
На основе этого лагранжиана можно вывести динамику релятивистской частицы
исходя из классический определений понятий через лагранжиан и уравнений ЭйлераЛагранжа.
Уравнения движения
Действующая на тело сила F изменяет его импульс. Поэтому 2-й закон Ньютона в форме:
остаѐтся справедливым также и в теории относительности. Однако производная по времени
берѐтся от релятивистского импульса, а не от классического. Это приводит к тому, что связь
силы и ускорения существенно отличается от классической:
NB
• Первое слагаемое содержит «релятивистскую массу», равную отношению силы к
ускорению, если сила действует перпендикулярно скорости. В ранних работах по теории
относительности еѐ называли «поперечной массой». Именно еѐ «рост» наблюдается в
экспериментах по отклонению электронов магнитным полем.
• Второе слагаемое содержит «продольную массу», равную отношению силы к ускорению,
если сила действует параллельно скорости:
•
эти понятия являются устаревшими и связаны с попыткой сохранить классическое
уравнение движения Ньютона F=ma
•
Скорость изменения энергии равна скалярному произведению силы на скорость тела:
•
Это приводит к тому, что, как и в классической механике, составляющая силы,
перпендикулярная к скорости частицы, не изменяет еѐ энергию (например, магнитная
составляющая в силе Лоренца).
Метрический тензор
Расстояние между двумя бесконечно близкими событиями можно записать при
помощи метрического тензора g  в тензорном виде:
где
, а по повторяющимся индексам подразумевается суммирование
от 0 до 3. В инерциальных системах отсчѐта с декартовыми координатами метрический тензор
имеет следующий вид:
Кратко эта диагональная матрица обозначается таким образом:
Примечания:
• Выбор недекартовой системы координат (например, переход к сферическим координатам)
или рассмотрение неинерциальных систем отсчѐта приводит к изменению значений
компонент метрического тензора, однако его сигнатура (1,-1,-1,-1) остаѐтся неизменной. В
рамках специальной теории относительности всегда существует глобальное преобразование
координат и времени, которое делает метрический тензор диагональным с компонентами
.
• Эта физическая ситуация соответствует переходу в инерциальную систему отсчѐта с
декартовыми координатами.
4-вектор
Соотношения СТО могут быть записаны в тензорном виде при помощи введения
вектора с четырьмя компонентами
(цифра или индекс вверху компоненты
является еѐ номером, а не степенью!), которые при переходе от одной инерциальной системы к
другой преобразуются аналогично преобразованиям Лоренца. Нулевую компоненту 4-вектора
называют временно́й, а компоненты с индексами 1,2,3 — пространственными. Они
соответствуют компонентам обычного трѐхмерного вектора, поэтому 4-вектор обозначается также
следующим образом:
Компоненты 4-вектора, измеренные относительно двух инерциальных систем отсчѐта,
движущихся с относительной скоростью v, связаны друг с другом следующим образом:
Примерами 4-векторов являются:
4-координаты - точка в псевдоевклидовом пространстве-времени:
4-скорость:
4-импульс (энергия-импульс):
Аналогичным образом можно определить 4-ускорение:
.
и 4-силу:
.
При помощи метрического тензора можно ввести т.н. ковекторы, которые обозначаются
той же буквой, но с нижним индексом:
Экспериментальные обоснования СТО
Теория относительности является логически непротиворечивой теорией. Это означает,
что из еѐ исходных положений нельзя логически вывести некоторое утверждение одновременно
с его отрицанием. Поэтому множество так называемых парадоксов (подобных парадоксу
близнецов) являются кажущимися. Они возникают в результате некорректного применения
теории к тем или иным задачам, а не в силу логической противоречивости СТО.
Справедливость теории относительности, как и любой другой физической теории, в
конечном счѐте, проверяется эмпирически. Специальная теория относительности лежит в основе
всей современной физики. Поэтому какого-либо отдельного эксперимента, «доказывающего»
СТО, нет. Вся совокупность экспериментальных данных в физике высоких энергий, ядерной
физике, спектроскопии, астрофизике, электродинамике и других областях физики согласуется с
теорией относительности в пределах точности эксперимента. Например, в квантовой
электродинамике (объединение СТО, квантовой теории и уравнений Максвелла) значение
аномального магнитного момента электрона совпадает с теоретическим предсказанием с
относительной точностью 10-9.
Фактически СТО является инженерной наукой. Еѐ формулы используются при расчѐте
ускорителей элементарных частиц. Обработка огромных массивов данных по столкновению
частиц, двигающихся с релятивистскими скоростями в электромагнитных полях, основана на
законах релятивистской динамики, отклонения от которых обнаружено не было. Поправки,
следующие из СТО и ОТО, используются в системах спутниковой навигации (GPS). СТО лежит
в основе ядерной энергетики и т. д
Всѐ это не означает, что СТО не имеет пределов применимости. Напротив, как и в
любой другой теории, они существуют, и их выявление является важной задачей
экспериментальной физики. Например, в теории гравитации Эйнштейна (ОТО)
рассматривается обобщение псевдоевклидового пространства СТО на случай пространствавремени, обладающего кривизной, что позволяет объяснить большую часть астрофизических
и космологических наблюдаемых данных.
Существуют попытки обнаружить анизотропию пространства и другие эффекты,
которые могут изменить соотношения СТО. Однако необходимо понимать, что если они будут
обнаружены, то приведут к более общим теориям, предельным случаем которых снова будет
СТО. Точно так же при малых скоростях верной остаѐтся классическая механика, являющаяся
частным случаем теории относительности.
Вообще, в силу принципа соответствия, теория, получившая многочисленные
экспериментальные подтверждения, не может оказаться неверной, хотя, конечно, область еѐ
применимости может быть ограничена.
Рассмотрим некоторые эксперименты, иллюстрирующие справедливость СТО и еѐ
отдельных положений.
•
То, что время движущихся объектов течѐт медленнее, получает постоянное
подтверждение в экспериментах, проводимых в физике высоких энергий. Например,
время жизни мюонов в кольцевом ускорителе в CERN с точностью 210-3 увеличивается
в соответствии с релятивистской формулой. В данном эксперименте скорость мюонов
была равна 0.9994 от скорости света, в результате чего время их жизни увеличилось в 29
раз.
•
Измерение величины замедления времени проводилось также с макроскопическими
объектами. Например, в эксперименте Хафеле — Китинга проводилось сравнение показаний
неподвижных атомных часов, и атомных часов, летавших на самолѐте.
•
Независимость скорости света от скорости источника регистрируется и в наземных
экспериментах. Например, проводилось измерение скорости пары фотонов, возникающих
при аннигиляции электрона и позитрона, центр масс которых двигался со скоростью,
равной половине скорости света. С экспериментальной точностью 10 % сложение скорости
света и скорости источника обнаружено не было
Важные замечания:
1. Для описания гравитации разработано особое расширение теории относительности, в
котором допускается кривизна пространства-времени. Тем не менее, динамика даже в
рамках СТО может включать гравитационное взаимодействие, пока потенциал
гравитационного поля много меньше с2.
2. Специальная теория относительности перестает работать в масштабах всей Вселенной,
требуя замены на ОТО.
3. Теория относительности входит в существенное противоречие с некоторыми аспектами
классической механики. Например, парадокс Эренфеста показывает несовместимость
СТО с понятием абсолютно твѐрдого тела. Надо отметить, что даже в классической
физике предполагается, что механическое воздействие на твѐрдое тело распространяется
со скоростью звука, а отнюдь не с бесконечной (как должно быть в воображаемой
абсолютно твѐрдой среде).
4. Специальная теория относительности (в отличие от общей) полностью совместима с
квантовой механикой. Их синтезом является релятивистская квантовая теория поля.
Л. 11 Основные положения молекулярно-кинетической
теории и термодинамики
Замечания: 1. Термодинамика исторически сложилась, как аксиоматическая наука, содержит
выводы и основные положения, базирующиеся на общих принципах, называемых началами.
2. МКТ - (молекулярно кинетическая теория) исходит из представлений об атомномолекулярном строении вещества, призвана, исходя из этих позиций, количественно объяснить
основные положения термодинамики.
Уравнение состояния идеального газа
Идеальный газ - совокупность материальных точек движущихся хаотически, друг
относительно друга в произвольных направлениях, взаимодействуя друг с другом только
упругим образом.
Примечания:
•
В простейшей модели идеального газа, энергия потенциального взаимодействия между
молекулами пренебрежимо мала и полагается равной нулю.
•
Размерами молекул также пренебрегают.
•
Энергия одноатомного, идеального газа определяется кинетической энергией
хаотического
движения или как ее называют тепловой энергией
Газовые законы (для идеального газа) PV
T
PV 
m

RT ;
 const;
(11.2)
Уравнение Менделеева - Клайперона
PV
0 0
 R;
T0
(11.1)
PV  RT ;
R = 8,31·10 3 Дж/град
Изопроцессы
а) изобарический процесс:
б) изохорный процесс:
V
 const; P  const ;
T
V (t 0 )  V0 (1   t 0 );
P
 const ; V  const ,
T
P(t 0 )  P0 (1   t 0 );
в) изотермический процесс: PV  const ; T  const ;
г) изоэнтропийный процесс –
адиабатический процесс:
PV   const ; VT

cp
cv
1
 1
T (t 0 )  T0 (1   t 0 );
 const ; TV  1  const ;
;  1a  1,17;  2 a  1, 4;
Основные положения МКТ
Примечания:
1. Свойства отдельных молекул, нельзя свести к свойствам системы молекул.
2. Для того, что бы оперировать понятием газа в рассматриваемом объеме, необходимо что бы в нем
было достаточно много молекул.
3. Равномерное распределение молекул газа по объему реализуются не потому, что это единственно
возможное состояние, а потому что оно наиболее вероятно.
4. Для количественного описания состояния отдельных молекул вводится ряд понятий:
1 n
 V   Vi ;
N i 1
1 n 2
 V   Vi
N i 1
2
(  V 2  )  V ;
5. Основное уравнение МКТ устанавливает взаимосвязь между давлением и температурой:
1
p  n  m0  V 2 ;
3
2
p  n  Ek ;
3
Ek 
(11.3)
m
 V 2 ;
2
6. Взаимосвязь между давлением и температурой:
2
pV  N  Ek ;
3
N
n ;
V
k
R
NA
pV 
m

RT ;
2
 Ek  KT ;
3
N
m

n
Ek   Eki 
 N A;
p  nKT ;
i 1
2m
RT ;
3
(11.4)
Вывод: сравнивая выражения (11.3) и (11.4) с точки зрения МКТ температура - это суть среднее
значение кинетической энергии хаотического движения молекул
1/6N
Взаимосвязь между давлением и кинетической энергией газа
(Уравнение Клаузиуса)
Упрощения:
1.
2.
3.
4.
Газ считаем идеальным
Полная энергия газа определяется суммарной кинетической энергией
молекул.
Считаем, что молекулы движутся по трем взаимно перпендикулярным
направлениям.
Всем молекулам приписываем одинаковые скорости.
F  p S ; - F t  - S t;
vt
1/6N
1/6N
1/6N
S
Рис. 11.1
1
-2mV N  - nmv 2 S t ; (11.5)
3
(11.6)
1
2
Из сравнения (11.5), (11.6) => p  nmv ;
3
1/6N
1/6N
v2 
1
vi2  v 2 ;

n i
1
2
p  nm v 2  n  k ;
3
3
Закон Дальтона
Парциальное давление газа находящегося в смеси газов определяется:
Pi 
M i RT
RT
; P   Pi 
V
i V
n
Mi

n
;
i
Вывод рассмотреть
самостоятельно.
В заключении приведем ряд полезных соотношений для проведения
практических расчетов:
n
N N A pN A
p



;
V V  RT kT
Mi
Молярная концентрация:
xi 
i

n
Парциальный объем:
Vi 
Mi
;
i
M i RT

;
i p
Закон Амаго
V  Vi 
n
RT
M
 i ;
p
i
n
Выводы:
В основе МКТ лежат три основных положения:
1. Все вещества состоят из мельчайших частиц: молекул, атомов или ионов.
2. Эти частицы находятся в непрерывном хаотическом движении, скорость которого
определяет температуру вещества.
3. Между частицами существуют силы притяжения и отталкивания, характер которых
зависит от расстояния между ними.
Основные положения МКТ подтверждаются многими опытными фактами.
Существование молекул, атомов и ионов доказано экспериментально, молекулы достаточно
изучены и даже сфотографированы с помощью электронных микроскопов.
Способность газов неограниченно расширяться и занимать весь предоставленный им объем
объясняется непрерывным хаотическим движением молекул.
Упругость газов, твердых и жидких тел, способность жидкостей смачивать некоторые твердые
тела, процессы окрашивания, склеивания, сохранения формы твердыми телами и многое другое говорят о
существовании сил притяжения и отталкивания между молекулами.
Явление диффузии — способность молекул одного вещества проникать в промежутки между
молекулами другого — тоже подтверждает основные положения МКТ. Явлением диффузии объясняется,
например, распространение запахов, смешивание разнородных жидкостей, процесс растворения твердых
тел в жидкостях, сварка металлов путем их расплавления или путем давления.
Подтверждением непрерывного хаотического движения молекул является также и броуновское
движение — непрерывное хаотическое движение микроскопических частиц, нерастворимых в жидкости.
Л. 12 Скорости молекул газа. Опыт Штерна. Распределение
молекул по скоростям
Попробуем ответить на следующие вопросы:
1. Каковы скорости молекул и от чего они зависят?
2. На сколько скорости отдельных молекул отличаются друг от друга?
3. Каким образом, аналитически описать разброс по скоростям у молекул?
4. Как учесть внешние факторы, например, гравитационное поле на поведение молекул?
Для идеального газа:
2
m
 k  kT   V 2 ;
3
2
Опыт Штерна
Выводы:
1.
2.
Рис.12.1
f (v ) 
dN (v)
...  ?
dv
 V 2 
3kT
;
m0
3kT 3RT

 N A;
m0

 V 2  (480  520) (m / s);
В результате опытов Штерна было показано, что
молекулы обладают скоростями в диапазоне от О до
Vmax, (более правильно утверждать, что молекулы
обладают скоростями Vmin  Vmax ). Последнее
утверждение более согласуется со статистическим
смыслом (молекула обладающая нулевой скоростью
не долетит до внешнего цилиндра).
Кривая полученная из эксперимента
несимметрична. Максимум кривой соответствует
относительному большинству молекул: скорость
соответствующая большинству молекул называется
наиболее вероятной скоростью.
dN (v )
dv
vb
Рис. 12.2
v
Распределение Максвелла
Максвелл (1860 г.) получил аналитическое выражение для функции распределения молекул по
скоростям, исходя из следующих соображений:
•
•
•
•
•
газ одноатомный, идеальный,
внешние силовые поля отсутствуют, (любая потенциальная энергия не учитывается),
газ находится в условиях термодинамического равновесия с окружающей средой,
все направления движения молекул идеального газа в пространстве равновероятны (теорема
Ирншоу выполняется),
возможно единственный способ взаимодействия между молекулами газа это упругие
столкновения (процесс излучения и поглощения с окружающей средой происходит именно в
момент упругих столкновений),
3
2
 m0  v 2   2
 m0 
f (v)  4 
v ;
  exp  
2kT 
 2 kT 

(12.1)
Скорость, соответствующая максимуму кривой распределения
скоростей называется наиболее вероятной скоростью.
v
3
2
b
Рис. 12.3
3
2
 m0V 2  
df (V )
m0V 2 
 m0 
 4 
 V  2 
  0;
  exp  
2kT 
V
 2 kT 
 2kT  
2
2


m
V


m
m
V
0
 0 
0
2

4 
  0; Vb 
  V  0; 
  exp  
2kT 
 2 kT 
 2kT 
2kT

m0
2 RT

;
(12.2)
Получим ряд количественных соотношений из функции распределения Максвелла:
1. Среднее значение скорости молекул


1
dN  Nf (V )dV ;  Vi   VNf (V )dV ;  V  ( N  Vf (V )dV );
N
0
0
 V 
2. Средне-квадратичная скорость
8kT
;
 m0
(12.3)
1
2
V 2  
3kT (12.4)
;
m0
Барометрическая формула
p  ( p  dp )   gdh;
dp    gdh;
m
p
PV  RT ;   
;

RT
p
dp
g
dp  
gdh;

dh;
RT
p
RT
Рис. 12.4
Рис. 12.5
Барометрическая формула
определяет зависимость
изменения давления воздуха от
высоты подъема. Надо
помнить, что приведенное
ниже выражение носит весьма
приблизительный характер,
так как получено из
элементарного
дифференциального уравнения
не учитывающего множество
реальных факторов.
  gh 
P(h)  P0 exp  
;
 RT 
Распределение Больцмана
Больцман, получил выражение для распределения концентрации газа, находящемся
в потенциальном поле
  gh 
P(h)  P0 exp  
;
 RT 

m
 0;
R
K
p  nkT ;
 mgh 
n(h)  n0 exp  
;
 kT 
Примечания:
1) с уменьшением температуры, концентрация убывает, т.к. - с одной стороны на молекулы
действует внешнее потенциальные поля (сила тяжести), с другой стороны на молекулы действует
тепловое поле, старающееся "разбросать" молекулы по объему.
2) молекулы атмосферы в зависимости от высоты имеют разную потенциальную энергию, в
некотором приближении можно показать, что:
 E 
n(h)  n0  exp   n  ; (12.5)
 kT 
n1
  E  En 2 
 exp  n1
;
n2
kT


Если в распределении Максвелла учесть функцию распределения Больцмана и
объединить их, то получим распределение вида:
3
 Ek 

2
   kT 
3
2
  Ek  e
0

Ek
kT
dEk 
3
kT ;
2
 E p  Ek
 m0  2
exp
dn  4 
n
 0

kT
 2 kT 

 2
V dV ;

(12.6)
Примечание: концентрация или давление газа экспоненциально уменьшается и зависит от
кинетической энергии теплового движения и потенциальной энергии в поле тяготения Земли.
Дополнительные сведения
Распределение Максвелла по вектору импульса
В случае идеального газа, состоящего из невзаимодействующих атомов в основном
состоянии, вся энергия находится в форме кинетической энергии. Кинетическая энергия
соотносится с импульсом частицы следующим образом:
Напомним, что распределение энергии Максвелла может быть выражено как дискретное
распределение энергии:
где Ni - число молекул имеющих энергию Ei, при температуре системы T, N - общее числом
молекул в системе
Следовательно мы можем поэтому переписать уравнение (1) как
(2)
здесь Z - статистическая сумма, соответствующая знаменателю в уравнении (1), m молекулярная масса газа, T - термодинамическая температура, и k - постоянная Больцмана.
Это распределение Ni/N пропорционально функции плотности вероятности fp
нахождения молекулы в состоянии с этими значениями компонентов импульса.
Таким образом:
(3)
Примечание: Постоянная нормировки C, определяется из условия, в соответствии с которым
вероятность того, что молекулы имеют какой-либо вообще импульс, должна быть равна
единице. Поэтому интеграл уравнения (3) по всем значениям px, py и pz должен быть равен
единице.
Можно показать, что:
(4)
Таким образом, чтобы интеграл в уравнении (4) имел значение 1 необходимо, чтобы:
(5)
Подставляя выражение (5) в уравнение (3) и используя тот факт, что
, получим:
(6)
Границы применимости
Условия применимости распределения Максвелла:
1. Равновесное состояние системы, состоящей из большого числа частиц.
2. Изотропная система.
3. Классическая система. Это значит, что система должна быть не релятивистской и не
квантовой (взаимодействие частиц допускается, но только зависящее от относительного
положения частиц).
Условия классического рассмотрения
Рассматриваем объем xyz в газе, на который в среднем приходится 1 частица. Чтобы
неопределенности в координате и импульсе не играли роли и применялась бы классическая, а не
квантовая механика, должны выполняться соотношения:
объем, приходящийся на частицу - это полный
(единичный) объем, поделенный на количество частиц.
температура вырождения.
NB Когда газ становится вырожденным, то распределение Максвелла к нему применять нельзя.
Л. 13 Средняя длина свободного пробега молекул
NB Тепловая скорость молекул достаточно высока, порядка (500 ÷ 600)
мс-1, в то же время процессы диффузии, например скорость
распространения запаха на два три порядка меньше, эта разница еще в
большей степени проявляется в жидкостях.
Клаузиус ввел понятия:
1. Длина свободного пробега - расстояние пробегаемое молекулой
между двумя последовательными столкновениями.
2. Средняя длина свободного пробега
1 n
 ; (13.1)
  
n

i 1
i
V12
V2

V1
Рис. 13.1
Ведем понятие:
Относительная скорость - скорость одной молекулы по отношению к другой (см. рис.13.1)
2
v12  v1  v2 ;  v12
 v12  v22  2v1v2 cos(v1; v2 );
(13.2)
 cos(v1; v2 )  0;
Попробуем получить выражение для <λ> через ТД параметры…
Допущения:
1
1
 v 2 1,2  2  2  v 2  2 ; 1. Предположим, что все молекулы, кроме одной неподвижны,
последняя имеет скорость:
 v  2  v ;
1,2
2. Если принять диаметры всех молекул одинаковыми - d, то движущаяся молекула перемещается в
цилиндре диаметром 2d и длиной L=<v1,2>1. Объем рассматриваемого цилиндра, очевидно, будет
равен:
   d 2  v ; Количество столкновений
1,2
n
N
,  z  n d 2  v1,2 ;
V
Число столкновений на единицу объема:
Prim: множитель 1/2, так как в
столкновении участвуют две молекулы
3. Цилиндр считаем прямым
  
Z
1
1
zn   d 2  v1,2  n 2 ;
2
2
v
;   
z
1

2
2 d n
kT
; (13.3)
2
2 d p
Вывод: Средняя длина свободного пробега не зависит от температуры, так как с ростом
температуры возрастают скорости молекул, число столкновений и давление.
Явления переноса
Определение: Явление переноса, это такие процессы как диффузия, теплопроводность,
электропроводность (классическая модель), внутренние трение, вязкость.
Диффузия
Предположим, что в некотором газе присутствует примесь,
концентрация которой изменяется по закону (смотри рис. 13.2):
d
d
d Так как мы рассматриваем одномерный процесс
  i  j  k ; протекающий в направлении совпадающем с осью
dx
dy
dz ОХ, то:
d

i;
dx
Рис.13.2
Примечание: единичный вектор i можно опустить так как направление рассматриваемого
процесса совпадает с его направлением.
dn
n(x) отражает процесс
n 
; Функция
проникновения атомов примеси в
dx
рассматриваемый газ.
NB В произвольной точке с координатой х расположена площадка ∆S,
при движении молекулы примеси пронизывает площадку как слева, так
и справа, то же самое можно сказать и о молекулах «основного» газа.
Примечания:
1. Строго говоря, N+ и N- это число молекул пронизывающих
площадку слева и справа, но если ∆S =1 и время наблюдения так
же равно единице, то N+,- является потоком.
2. Формализуем движение молекул следующим образом: так как в
общем случае движение одноатомной молекулы определяется
тремя степенями свободы, то считаем, что молекулы двигаются в
трех взаимно - перпендикулярных направлениях.
1
N   n1  V  S t ;
6
Диффузионный поток: J  dN ;
dSdt
N 
1
n2  V  S t ;
6
(13.4)
N
J 
;
S t
Введем понятие коэффициента диффузии:
(13.3)
Рис.13.3
N  N _  N  ;
1
1
j  (n2  n1 )  V  L;
3
2L
D  1/ 3  V  L; (13.5)
Градиент концентрации в рассматриваемом случае можно определить:
n 
n1  n2
;
2L
J   D  n
(13.6)
n
 n( x);
2L
- уравнение Фика
Вывод: диффузионный поток через некоторую площадку прямо пропорционален градиенту
концентрации с обратным знаком.
v(x)
Вязкость
Вязкость - явление возникновения сил трения между слоями
газа или жидкости перемещающиеся друг относительно друга с
некоторыми скоростями.
Fr
S
v1
Рассмотрим объем газа, внутри которого перпендикулярно оси ОХ
перемещается пластина S, скорость, которой V0<< VТ (см. рис. 13.4).
Среднее значение импульса получаемое пластиной от отдельной
молекулы, очевидно, будет равно:
x
v2
x
x-L
x+L
Рис. 13.4
VТ - скорость теплового движения
За единицу времени через поверхность пластины слева и справа проходит N+ и N- молекул, эти молекулы
передают соответствующие импульсы:
1
 Pm  mV  m  VT ;
P1  P2  Fr t;
V 
V
2L
P
Fr 
S t
P1  N   mV1; P2  N   mV2 ;
1
 V2  V1 
Fr  nm  VT 
L
3
2L
  nm  VT  L;
3
f r  V ; (13.7)
Вывод: Силы внутреннего трения между слоями газа или жидкости пропорциональны градиенту
скорости.
T
Теплопроводность
N  N   N  ;
T  lim x0
T T
Q

; q
;
x x
S t
3
3
kT1N   kT2 N  
2
2
1
3
T  T1
   vt  nS t kL 2
;
3
2
2L
Q 
1
3
  n  vt  k ;
3
2
q   T ;
(13.8)
T1
T2
Tb
Ta
x
x-L
x
x+L
Рис. 13.5
Вывод: поток тепла, проходящий через единицу площади в единицу времени пропорционален
градиенту температуры
Л. 14 Основные положения термодинамики
Термодинамика - это аксиоматическая наука, устанавливающая взаимосвязь между
термодинамическими параметрами.
Термодинамические параметры - это такие физические величины как давление, объем,
температура, энтропия, энтальпия.
Примечание: термодинамика имеет дело с реальными газами (за очень редким исключением).
Реальный газ отличается тем, что размерами молекул пренебречь нельзя, необходимо
учитывать потенциальную энергию взаимодействия между молекулами.
Внутренняя энергия реального газа это кинетическая энергия (теплового) хаотического
движения, и энергия потенциального взаимодействия между молекулами.
Количество теплоты - это та энергия электромагнитного поля теплового диапазона, которая
передается от одного тела к другому при их контакте.
Термодинамическое равновесие системы в общем случае можно определить как процесс
обмена тепловой энергией с внешней средой, таким образом, выполняется закон сохранения
энергии.
Введем сокращение: ТДС - термодинамическая система.
Работа, совершенная газом или над газом в конечном итоге всегда определяется мерой
переданной (отобранной) энергией.
Примечания:
1. Работа всегда связана с упорядоченным движением в системе.
2. Понятие работы применимо лишь по отношению к внешним силам, действующим на
рассматриваемую ТДС.
3. В отличие от понятия тепла, теплоемкости, передача тепловой энергии ТДС при работе
всегда связано с изменением объема рабочего тела.
Теплоемкость газа
В общем случае теплоемкость определяется как количественная
мера тепла переданного определенной массе газа необходимого для его
нагрева на один градус
Замечание: Процесс передачи тепла приводящий к повышению температуры ТДС
оказывается разным в зависимости от вида процесса.
Задача - рассмотрим процесс передачи тепла при изохорическом и
изобарном процессе (рис. 14. 1, 14.2):
Q2
Q1
 Cv ; C p  Cv  R;
 C p 
 C p ;  Cv 
T
T
Уравнение
Майера
Рис. 14.1
Важное замечание: Фундаментальные законы физики такие как: закон
сохранения импульса, энергии в термодинамики получили название начал
Рассмотрим в качестве примера газ под поршнем (рис. 14.3). При подводе тепла
из вне газ расширяясь совершает работу против внешней, в данном случае,
гравитационной силы.
F
Закон сохранения энергии для
рассматриваемого процесса:
A  F h; P 

S
; A  PV ;
Q  A  U ;  Q   A  dU ;
Рис.14.3
Рис. 14.2
(14.1)
Вывод: Количество тепловой энергии передаваемой ТДС, расходуется
на изменение внутренней энергии этой системы, и на совершение
работы против внешних сил - 1 НТ.
Работа при расширении газа
Предположим, что газ расширяется за счет внешнего тепла (см. рис 14.4).
Определение: Прямой процесс - процесс, сопровождаемый увеличением
общего объема газа (работа совершается ТДС за счет подвода тепла из вне)
и идущий в направлении по часовой стрелке.
 A  PdV ;
V2
A   P(V )dV ;
(14.2)
V1
Примечания:
1. На диаграмме PV работа в соответствие с (рис. 14.4) определяется
площадью под кривой.
2. Если A12>0 то принято считать, что газ совершил работу.
Рис. 14.4
Определение: Обратный процесс, то есть процесс идущий против часовой
стрелки (рис. 14.5), и сопровождаемый выделением тепла в окружающую среду.
Он характеризуется тем, что над рабочим телом внешние силы совершают работу
Применение первого начала
термодинамики к изопроцессам
Изохорический процесс
 Q  dU ;
Рис. 14.6
Cv 
 A  0;
dU  Q

; V  const ;
dt
dt
Рис. 14.5
Вывод: При изохорическом
процессе все тепло, подводимое к
рабочему телу, идет на изменение
его внутренней энергии.
Изобарический процесс
Q  U  PV ;
A12  PV ;
Cp
Cv 
C p  Cv  R;
dU PdV
U PV
Q

; Cv 

; Cp 
;
T
dT dT
T
T
dQ
;
dT
PV
PV
 const ; V  1; T  1;
 R;
T
T
Рис. 14.7
Вывод: При изобарном процессе все тепло, подводимое к рабочему
телу, идет на изменение его внутренней энергии и совершении
работы против внешних сил
Изотермический процесс
T  const;  U  0;  Q  A12 ;
V2
A12   P(V )dV ; PV  PV
1 1 ; P (V ) 
V1
V2
A12  PV
1 1
V1
dV
V2
 PV
;
1 1 ln
V
V1
1
PV
1 1;
V
CT  ;
Рис. 14.8
Вывод: Все подводимое тепло расходуется на
работу, а температура газа не изменяется.
Адиабатический процесс
P
Определение: Адиабатическим процессом (см. рис.14.9),
называют процесс, идущий без теплообмена с внешней средой.
 A  dU ; Q  0;
Q 0
CQ 
  0;
T T
PV-const
2
Задача: получим уравнение адиабаты в координатах P,V .
Для одного киломоля (моля) уравнение Менделеева - Клайперона PV=RT,
работа, которая совершается в этом случае:  A  PdV ;
Предположим, что газ нужно перевести из состояния 1 в состояние 2 (см.
рис. 14.9) PdV  CVdT  0; - 1НТ - является дифференциальным
уравнением адиабатического процесса.
Его решение:
1
P1
dV CP dP


 0;
V
CV P

Cp
Cv
;   1;
PV-const
P2
V1
V2
Рис. 14.9
PV   const;
log a
 log a  log b ; TV  1  const ;
log b
NB Работа при адиабатическом процессе определяется изменением внутренней энергии газа
 A  dU  Cv (T1  T2 );
m
A 
Cv T ;
M
C
A12  v ( PV
1 1  R2V2 );
R
V
PV
1 1  RT1  T1 ; T1  f1 ( P1 ,V1 );
PV
2 2  RT2  T2 ; T2  f 2 ( P2 ,V2 );
Вывод: Работа при адиабатическом
процессе совершается за счет
внутренней энергии газа
Внутренняя энергия газа, теплоемкость газа
Prim: Теплоемкость произвольной массы газа, как известно, определяется количеством тепла подводимого к газу
для нагрева его на один градус СV - теплоемкость произвольного объема газа.
Удельная теплоемкость:

cv 
Cv
; U (T )   Cv dT  U 0 ;
M
0
Определение: для идеального газа его
внутренняя энергия определяется
температурой, то есть кинетической
энергией хаотического движения.
Примечание: U0 - внутренняя энергия идеального газа при температуре равной нулю Кельвина. Внутренняя
энергия равна нулю, Т=0 лишь для одноатомного газа, для двухатомных и многоатомных молекул, которые
описываются колебательными и вращательными движениями, внутренняя энергия не равна нулю, так как на
каждую степень свободы движения приходится Ei=1/2(KT) энергии не зависимо от ее природы.
NB В некоторых задачах в рамках модели одноатомных газов в диапазоне температур от 0 до 400 Кельвин
можно считать, что теплоемкость газа не является функцией температуры, тогда выражение для U(T)
перейдет из интегральной в алгебраическую форму. U  CvT  U 0
Ряд полезных соотношений и формул удобных для решения задач:
T

U  Mu
u   cv dT  u0  M   cv dT  u0  ;
0
0
 g  Mi ;
i
T
V2
Тепловой эффект
процесса
E  u1  u2   p (V )dV ;
V1
M
n
i
1
C 
T
CV 
T2
 CdT ; CV 
T1
R
;
    1
Cp 
R M
 ;
 1 
R M
 ;
 1 
 1
 1


1
M RT1   p 2    p1V1   V2   C 
1    
 p1V1  p 2V2  
A  u  CV T1  T2  
1   

p


 1
  1
p


1
V


  1 
  1  
R
;
    1
Л. 15
Второе начало термодинамики
Введем ряд понятий:
1. Круговой процесс – цикл: процесс, при котором система после ряда
превращений возвращается в исходное состояние.
2. Прямой процесс, процесс «идущий на диаграмме PV» по часовой
Р
стрелке, характеризуется тем что, затраченное тепло больше чем отданное
P1
термодинамической системой.
3. Обратный процесс, процесс «направление которого» оказывается против
движения часовой стрелки, при этом тепло отдаваемое системой больше чем
тепло подведенное.
4. В термодинамики различают обратные и обратимые процессы.
P2
Определение: обратимый процесс - это процесс, при котором
термодинамическая система возвращается в исходное состояние через ту
же совокупность состояний, что и при прямом процессе, но в обратной
последовательности.
Тепловая машина
P
Q1
A1
Q4
A2
Q2
Q3
V2
V1
V
Рис. 15.1
Определение: Тепловая машина - это любая периодически действующая
ТДС, совершающая работу за счет подвода тепла из вне.
1
A
2
V1
V2
Рис.15.2
V
Рассмотрим в качестве примера цикл представленный на рис 15.1.
Тепло подведенное к системе
Qподв=Q1+Q4
Тепло отданное системой
Qотд=Q2+Q3
Работа совершенная системой
Aсоверш=A1
Работа внешних сил над системой Aзатр=A3
Полезная работа
Aп=A1-A3
Затраченное тепло
Qзат=Q1+Q4-(Q2+Q3)
Тогда коэффициент полезного действия ТДС


Aп
;
Qз
Q1  Q2
;
Q1
Цикл Карно
Определение: Цикл Карно - представляет собой идеальный цикл для
работающей тепловой машины
Так как задача любой тепловой машины получить максимальный КПД, то ясно,
что выгоднее всего в этом смысле построить цикл из двух изотерм и двух
адиабат (рис.15.3).
n
A 

i  0; j  0
Aij ; (15.1)
Q3  Q12  Q34 ;
A
  ; A  A12  A23  A34  A34 ; Q1  Q12 ;
Q1
A
m
m

RT1 ln

RT2 ln

m

V2 m
 cv (T2  T1 ) 
V1 
V4 m
 cV (T1  T2 ) 
V3 
RT1 ln
V2 m
V
 RT2 ln 4 ;
V1 
V3
(15.2)
Рис.15.3
 1
TV
1 1
TV
1 2
 1
 T2V4 1 ;
 1
 T2V3
V2 V3
 ;
V1 V4
;
- условие «замкнутости»

T1  T2
; (15.3)
T1
Примечание: даже в идеальном случае КПД
меньше 1, не смотря на то, что КПД не
зависит от характера протекающего процесса,
и не зависит от природы рабочего тела.
Важное примечание: Т2 - это температура "холодильника", то есть системы которая забирает
тепло ТДС, тогда как Т1 - это температура нагревателя, следовательно тепловую машину нельзя
построить как без холодильника, так и без рабочего тела.
Второе начало термодинамики. Формулировки.
Анализ цикла Карно позволяет сделать следующие выводы:
1. Невозможно осуществить такой круговой процесс, при котором все подведенное тепло превратится в
работу.
2. Невозможно тепло полностью обратить в работу.
3. Приведенное количество тепла (см. ниже) в прямом процессе всегда меньше нуля.
4. При любом реальном процессе в результате, которого получается некоторая полезная работа, энтропия
этого процесса может только возрастать.
Приведенное тепло. Неравенство Клаузиуса
Заметим, что КПД для реального процесса меньше чем для идеального процесса:
реального  идеального
реал
Q2 T2 Q2 T1 T2 T1
 ;

;
Q1 T1 Q1 T2 T1 T2
Q  Q3
 1
Q1
идеал 
T1  T2
T1
1
Q2
T
 1 2 ;
Q1
T1
Q2 Q1

 0;
T2
T1
Q2 Q1

;
T2
T1
(15.4)
Определение: Приведенным количеством тепла считается то количества тепла сообщенное ТДС,
которое она получила при данной температуре.
Если ТДС совершает замкнутый цикл, то суммарное количество приведенной теплоты, очевидно, определится
алгебраической суммой:
n

i 1
 Qi
Ti
 0;
Выполнив предельный
переход при n→

Q
T
 0;
(15.5)
- неравенство Клаузиуса
в интегральном виде
Энтропия (способность к превращению)
Предварительно введем ряд понятий.
Определения:
1. Равновесный процесс это процесс, при котором в любом элементарном
объеме газа одинаковые давление и температуры.
2. Квазистатический процесс - это процесс "текущий" бесконечно медленно
и представляющих собой ряд последовательных равновесных состояний
V
2V
V
Рис.15.4
Примечания:
- квазистатические процессы обратимы (так как отсутствует разность температур),
реальные процессы всегда необратимы, поэтому не являются квазистатичными, так как они
сопровождается рассеиванием тепла во внешнюю среду,
- сравнивая первые два свойства, заметим, что существуют некоторые закономерности, которые
указывают "направленность" таких процессов (см. рис.15.4),
- система в исходное состояние вернуться, очевидно, не может, потому что состояние 2 является
наиболее вероятным, а не по тому что оно является единственно возможным
n
W  Wi ;
i 1
ln W   ln Wi ;
S  K ln W ;
S  S1  S2  S3  ...  Sn ;
(15.6)
Примечание: энтропия в любой упорядоченной системе равна единице, а в не упорядоченной - энтропия
больше нуля, но меньше единицы, то есть 0<S<1
Свойства энтропии:
- газ расширяется в пустоту S > 0
- расширение газа при обратимом процессе, такое расширение происходит за счет сообщения ТДС тепла Qобр
Q обрат
V
 RT ln 1
V2
V1  V2
S 
Q об рат
T
S  R ln
V1 - адиабатическое расширение газа Q
= 0; (Q/T)→0, S > 0
V2
Выражение основных величин через термодинамические потенциалы
Все термодинамические потенциалы имеют свои канонические наборы переменных и
используются для анализа процессов при соответствующих условиях.
•
Для изотермических изохорических процессов (T, V=const) удобно использовать F(N,T,V),
•
для изотермических изобарических (T, P=const) - G(N,T,P),
•
для изолированных систем (U, V=const) — S(N,U,V).
Термодинамический потенциал S(N,U,V) (энтропия)
- независимые переменные
Термодинамический потенциал F(N,T,V) (свободная энергия Гельмгольца)
— независимые переменные;
Термодинамический потенциал G(N,T,P) (энергия Гиббса)
— независимые переменные;
Фундаментальное уравнение Гиббса
Определение: Выражение для полного дифференциала внутренней энергии называется
фундаментальным уравнением Гиббса или просто уравнением Гиббса:
Примечания:
•
Значимость этого уравнения (и его более общих вариантов) состоит в том, что оно
представляет собой тот фундамент, на котором базируется весь математический аппарат
современной феноменологической термодинамики, как равновесной, так и неравновесной.
•
По большому счѐту, рассмотренные выше законы (начала) термодинамики нужны были
именно для обоснования этого соотношения.
•
Всю аксиоматику равновесной термодинамики можно свести к постулированию самого этого
уравнения и свойств входящих в него термодинамических переменных.
С использованием других термодинамических потенциалов уравнение Гиббса
можно переписать в следующих эквивалентных формах:
Примечание: Среди термодинамических величин выделяют экстенсивные (внутренняя
энергия, энтропия, объѐм и др.) и интенсивные (давление, температура и др.) величины.
Определение: Величина называется экстенсивной, если ее значение для системы, сложенной из
нескольких частей, равно сумме значений этой величины для каждой части.
Предположением об экстенсивности термодинамических величин, однако, можно
пользоваться, если рассматриваемые системы достаточно большие и можно пренебречь
различными краевыми эффектами при соединении нескольких систем, например, энергией
поверхностного натяжения.
Пусть U (экстенсивная величина) является однородной функцией первого порядка от
своих экстенсивных аргументов (математическое выражение аксиомы экстенсивности): для
любого >0:
Для любой дифференцируемой однородной функции первого порядка Ф(x1,...,xn) выполняется
теорема Эйлера:
Для энергии U(N,S,V) теорема Эйлера имеет вид:
Отсюда легко следует уравнение Гиббса - Дюгема:
Вывод: Это уравнение показывает, что между интенсивными переменными существует одна связь,
являющаяся следствием предположения об аддитивности свойств системы.
Л. 16
Электродинамика неподвижных зарядов
(Электростатика)
Экспериментально установлено, что элементарным зарядом обладает элементарная частица электрон m ~1·10-31 кг, q~1.6·10-19 Кл
Примечания:
- характерной особенностью электрона является то обстоятельство, что он обладает массой покоя, то есть, может "двигаться"
с любой скоростью относительно данной СО,
неотъемлемым свойством электрона является его способность создавать в окружающем пространстве
электромагнитное поле,
в классической электродинамике принято рассматривать покоящееся заряженное тело относительно данной СО, только
когда в этой системе можно зарегистрировать кулоновское поле
Закон Кулона
1
qq r
F
 1 2  12 ; (15.1)
2 r
4
0 r12 12
1
q1
-q2
r
F12
r12
F21
r
q1
r12
Fij  k
q2
qi q j rij
2
ij
r
Рис.16.1
rij
Vi
Fij
Vj
rij
K
ri
;
rj
2
Fji
Рис.16.2
n
m
F12   Fij  k 
i, j
i 1 j 1
qi q j rij
r
2
ij
rij
;
dq
 ( x, y , z ) 
;
dV
(15.2)
q

;
V
С учетом:
q  V ;
n
m
F12   Fij  k 
i 1 j 1
i, j
dq1  1dV ;  1 ( x, y, z );
dq2   2 dV ;   2 ( x, y, z );
dF  k
i  j
r
2
Vi  j
ij
12 dVdV
2
12
r
;
rij
rij
;
(15.3)
k 
1
4 0
; (15.4)
2
dV
r
drd d ;

Процедура интегрирования зависит от выбора системы координат:
dS  rd d ;
r2
dF  k 2  1 (r , , )   2 (r , , )drd d ;
Примечания: Возникает вопрос, всегда ли справедлив
r12
F12  
2
r
 (r )dr   ( )d   ( )d ;
2
r12


Электрическое поле
закон Кулона?
- Предполагается, что при расстояниях r~10-16 м закон
Кулона нарушается.
- Для астрономических расстояний превышающих
размер солнечной системы, мы не располагаем
экспериментальными данными.
Электромагнитное поле - это материальная среда, через которую осуществляется
взаимодействие зарядов.
Одним из свойств электромагнитного поля является возможность регистрации его в двух
видах:
- в виде кулоновского поля, в простейшем случае это радиально-симметричное поле
неподвижного относительно данной инерциальной системы отсчета точечного заряда.
- вихревое (роторное) поле, поле движущегося заряда, поле электромагнитной волны.
Напряженность поля - это сила действующая на единичный, положительный заряд (пробный
заряд) помещенный в данную точку поля.


n
E(r)
 

q r
F
E (r )  k 2
E
E  Ei ;
(15.5)
(15.6)
q
r
r
r
i 1

q0=1
q
r
Рис.16.3
Рассмотрим возможности вычисления напряженности поля зарядов
произвольной формы:
2
q(r , , ); dV  r drd d;
E ( A)  E (rA )  k 
r 2  (r )dr
 r1 
r
 r1 
2
  ( )d    ( )d;

Электрический диполь
Электрическим диполем - называется совокупность
двух равных по величине и противоположных по знаку
заряда, соединенных между собой некоторой
диэлектрической связью (см. рис.16.5)
P=ql
-q
l
+q
Электрический момент диполя - это
вектор, который определяемый
произведением величины заряда q на
вектор связи l
qi
q1
E
qn
2 pe
E


r0 ;
P  q  l ; (15.7)
4 0 r 3
1
r
Ei
r
0
Рис.16.4
Напряженность поля диполя:
Рис.16.5
1

p
E
 3e ;
4 0 r

E

pe
 3 ( 3 cos 2   1)
4 0 r
1
Диполь в электрических полях
E
E
P
P
Рис. 16.6
Во внешнем, однородном электрическом
поле (рис. 16.6) возникает пара
кулоновских сил, стремящихся
развернуть диполь так, чтобы векторы р
и Е совпали по направлению
M  L  F  q  L  E;
M  p  E;
В неоднородном поле диполь либо
втягивается, либо выталкивается, при
этом поворачивается (см. рис.16.7).
Результирующая сила в таком случае
будет определяться скалярным
произведением вектора диполя на вектор
градиента и вектора напряженности
электрического поля
F  qdE;
F1
E(r)
V(t)
p
p
F2
Рис. 16.7
dE  i
E
E
E
j
k
 E ;
x
y
z
E
E
E
F  px
 py
 pz
;
x
y
z
F   p E; (15.8)
Электростатическая теорема Гаусса
Введем понятие – вектор элементарной площадки
Е( r)
n0
dS
E
dS
Рис.16.8
dS  r0  dS ;
Определение: Поток вектора напряженности определяется скалярным
произведением вектора напряженности на вектор площадки.
dN  E  dS ;
dN  EdS cos ; En  E cos  ; dN  En dS ;
Примечание: проекция вектора Е на направление dS является нормальной составляющей
напряженности электромагнитного поля в данной точке.
Поток вектора напряженности электростатического поля точечного заряда можно определить
через телесный угол (см. рис.16.19).
E
dS
d
r
Рис.16.9
N   EdS  k
dS
q
d 
; Ek 2;
r
r
N  q  d ;

Вычислим поток вектора напряженности
электрического поля от точечного заряда через
замкнутую поверхность в виде сферы, (заряд находится
в центре сферы).
Модуль напряженности поля в любой точке сферы
один и тот же, при чем сам вектор напряженности
всегда перпендикулярен поверхности
q
dS ;
r 2 S
S  4 R ;
2
dS
N k
Очевидно, полный поток от системы зарядов
находящихся внутри замкнутой поверхности
произвольной конфигурации будет равен:
Рис. 16.10
q
2
4

r
 kq 4 ; (15.9)
2
r
 ( EdS )  N ;
 ( EdS )  4 k  q ;
i
n
Рис. 16.11
(15.10)
Следствие из теоремы Гаусса:
Если совокупность зарядов находится вне замкнутой поверхности, то
поток вектора напряженности через такую поверхность тождественно
равен нулю.
Дополнительные сведения
Теорема Гаусса для магнитной индукции
Поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю:
или в дифференциальной форме
Примечание: Это эквивалентно тому, что в природе не существует «магнитных зарядов»
(монополей), которые создавали бы магнитное поле, как электрические заряды создают
электрическое поле. Иными словами, теорема Гаусса для магнитной индукции показывает, что
магнитное поле является (полностью) вихревым.
Теорема Гаусса для ньютоновской гравитации
Для напряжѐнности поля ньютоновской гравитации (ускорения свободного падения)
теорема Гаусса практически совпадает с таковой в электростатике, за исключением только
констант (зависящих от произвольного выбора системы единиц) и, главное, знака:
здесь g — напряжѐнность гравитационного поля, M — гравитационный заряд (то есть масса)
внутри поверхности S, ρ — плотность массы, G — ньютоновская константа.
Теорема Гаусса как определение заряда
Теорема Гаусса может рассматриваться как определение (величины) заряда.
Так, для точечного заряда очевидно, что поток напряжѐнности поля через любую
поверхность равен потоку через маленькую (бесконечно маленькую) сферу, окружающую этот
заряд. Тогда последний (с точностью, быть может, до постоянного коэффициента, в
зависимости от нашего произвольного выбора единиц измерения) может быть выбран в
качестве определения величины этого заряда.
Вблизи заряда (бесконечно близко к нему) его собственное поле, очевидно, дает
подавляющий вклад в поток через бесконечно маленькую сферу (поскольку поле безгранично
растет с уменьшением расстояния). Значит, остальными полями (порождаемыми другими
зарядами) можно пренебречь. Тогда можно увидеть, что данное определение согласуется с
обычным (через закон Кулона).
В современной физике обычно принято считать, что определение через закон Гаусса
более фундаментально (как и сам закон Гаусса по сравнению с законом Кулона — см. ниже),
хотя с определенной точки зрения они просто эквивалентны.
Теорема Гаусса и закон Кулона
Теорема Гаусса и закон Кулона тесно связаны, как формально, так и по физическому содержанию.
В некотором смысле можно утверждать, что теорема Гаусса является интегральной формулировкой
закона Кулона или наоборот, что закон Кулона является следствием теоремы (закона) Гаусса.
Что из них считать постулатом, а что следствием — зависит от того, какую аксиоматизацию для
электродинамики (или электростатики, если ограничиваться ею) мы выбираем; формально тот или другой
выбор практически равноправны, а в случае электростатики это полностью так. Следовательно, выбор того
или другого в качестве основания построения теории — вопрос нашего произвольного выбора.
Впрочем, аксиоматизация через закон Гаусса имеет то преимущество, что в законе Гаусса не
содержится никаких произвольных параметров (таких, как степень расстояния - r2 в законе Кулона), степень
расстояния в законе Кулона возникает при этом автоматически из размерности пространства.
Однако, следует сделать оговорку. Если наивно считать, что закон Кулона и теорема Гаусса
эквивалентны, то можно рассуждать так: из теоремы Гаусса следует закон Кулона, из закона Кулона следуют
уравнения Максвелла для случая электростатики, т.о. второе уравнение Максвелла (о равенстве нулю ротора
электрического поля) следует из теоремы Гаусса и является излишним. На самом деле, при выводе закона
Кулона из теоремы Гаусса (см. ниже) мы дополнительно используем сферическую симметрию поля точечного
заряда, а также нам необходимо ввести принцип суперпозиции, в то время как уравнения Максвелла являются
самодостаточными.
Исторически первым был эмпирически открыт закон Кулона. В этом (историческом) смысле
теорема Гаусса является его следствием. Именно в связи с этим она называется теоремой, так как
первоначально появилась как теорема.
Непосредственно ниже показано, как закон Кулона и закон Гаусса могут быть получены в рамках
электростатики друг из друга.
Закон Кулона как следствие закона Гаусса
Исходим из теоремы Гаусса, записав ее в единицах системы СИ
Для вывода Закона Кулона, будем рассматривать единственный точечный заряд в пределах
замкнутой поверхности S, таким образом Q здесь будет величиной этого заряда.
Рассчитаем тот же поток прямым интегрированием по поверхности. Замечаем, что задача имеет
сферическую симметрию относительно положения заряда. Из этого делаем вывод, что электрическое поле
будет направлено прямо от заряда, а его величина будет одинакова для любых точек, расположенных на
одинаковом расстоянии от заряда. Из этого следует, что суммарный поток будет проще всего сосчитать, если в
качестве поверхности S выбрать сферу с центром в заряде. Действительно, напряжѐнность поля E тогда будет
всюду ортогональна dS, а абсолютная величина вектора E (будем обозначать ее E) будет одинакова везде на
этой сфере, и ее можно будет вынести за знак интеграла. Итак:
Имеем:
Окончательно получаем:
Отсюда:
Осталось подставить сюда для площади
сферы S = 4 r2 и разрешить уравнение
относительно E.
то есть — закон Кулона.
Применение теоремы Гаусса
•
Являясь (вкупе с уравнением о нулевой циркуляции электрического поля) основным
полевым уравнением электростатики (вместе эти два уравнения в дифференциальной форме
эквивалентны уравнению Пуассона — основному и единственному дифференциальному
уравнению классической теории для электростатического потенциала).
•
В электродинамике теорема Гаусса (закон Гаусса) также остается (полностью в том же виде)
одним из главных уравнений — одним из четырех уравнений Максвелла.
•
В некоторых ситуациях теорема Гаусса может быть использована для прямого и легкого
вычисления электростатического поля непосредственно. Это ситуации, когда симметрия
задачи позволяет наложить на напряжѐнность электрического поля такие дополнительные
условия, что вместе с теоремой Гаусса этого хватает для прямого элементарного
вычисления (без применения двух обычных общих способов — решения уравнения в
частных производных или лобового интегрирования кулоновских полей для элементарных
точечных зарядов).
Следствия из теоремы Гаусса
•
•
Следствием теоремы Гаусса является теорема Ирншоу.
Электростатическое поле, создаваемое внешними зарядами внутри эквипотенциальной
поверхности (например, внутри хорошо проводящей поверхности) равно нулю. Это
свойство служит обоснованием экранирования высокочувствительных приборов от
электрических помех заключением их в замкнутую проводящую оболочку. Хотя для
доказательства аналогичного утверждения в общем случае переменных полей теоремы
Гаусса недостаточно.
Л. 17 Примеры расчета электрических полей с помощью теоремы Гаусса
2
dV
r
sin  drd d;

dq
Ведем ряд понятий:
Элемент
 (r ) 
;
объема
dV
dq   (r )r 2 sin  drd d;
Теорему Гаусса в интегральной форме с учетом функции (r) можно записать в виде:
r 2 2
 ( EdS )  4 k 
S

0 0
 (r )r 2 sin  drd d
(17.1)
0
Примечание: Если p(r) обладает сферической симметрией, то тройной интеграл выражении (17.1)
можно представить в виде произведения трех интегралов, так как для некоторых практических
задач удается разделить переменные в функции p(r).
1.
2.
Выражение (17.1) является одним из уравнения Максвелла в интегральной форме.
Формула (17.1) связывает поверхностные параметры произвольной поверхности внутри которой
находится совокупность зарядов или распределенный в объеме заряд, с объемом, который ограничивается
этой поверхностью. Это обстоятельство оказывается весьма удобным для решения практических задач
Поле сферически симметричного распределенного заряда
Функция распределения заряда представлена на рис. 17.1 Вследствие сферической симметрии
модуль вектора напряженности поля в любой точке охватывающей сферы будет один и тот же.
Направление вектора напряженности совпадает с радиусом и вектором площадки в любой точке
сферы радиуса R
4 r E  4 kq;
2
R
q ( r )   q ( r ) dr ;
0
r
R
q( r )
Выразив из первого уравнения напряженность поля, и
воспользовавшись выражением для заряда окончательно получим:
Ek
1
r02

R
0
q (r )dr ; (17.2)
r
Рис. 17.1
Поле сферически заряженной поверхности (см. рис.17.2)
Внутри сферы в любой точке заряды отсутствуют, следовательно, на
основании теоремы Гаусса Е=0. Снаружи сферы поле убывает по закону:
R
Ek
q
r;
2 0
r
1
Ek 2
r0

R
0
1
q (r )dr  k 2 q ;
r
E=0
(17.3)
Примечание: в силу сферической симметрии функция E ( r ) при r > R
совпадает с аналогичной функцией точечного заряда. Рассмотренное
свойство используют для электростатической экранировки РЭС.
Поле бесконечной равномерно заряженной нити
В принципе эта задача подобна предыдущей, при условии что r>>R.
Действительно введем понятие линейной плотности заряда - 
q(l)
E
h
r
R
Рис.17.2

dq
;
dl
Запишем для этого случая теорему Гаусса в предположении, что нить
коаксиально окружена цилиндрической поверхностью произвольного,
но фиксированного радиуса (рис. 17.3).
2 RhE  4 kq  4 k h;
R
E  4k
Рис.17.3
E

2R
; (17.4)
Поле бесконечно заряженной плоскости
Рассмотрим бесконечную плоскость, заряженную
положительным зарядом (рис. 17.4)
Введем понятие поверхностной плотности заряда:
S
E
E
A
A`
R
h
h
Рис.17.4
2SE  4 kq1;
 
dq
;
dS
В точках А и А1 векторы напряженности поля имеют
одинаковые модули, но противоположно направлены.
Расположим цилиндрическую поверхность с площадью
основания 2R и высотой 2h, как показано на рис. 17.4
E
1
4 k ;
2
(17.5)
Выводы:
1. Внутри замкнутой поверхности или бесконечно протяженной цилиндрической поверхности
напряженность поля равна нулю.
2. Напряженность поля образованного сферически симметричным распределением заряда
убывает обратно пропорционально квадрату расстояния.
3. Поле равномерно заряженного шара или сферы можно рассчитывать, полагая, что заряд
сосредоточен в центре.
4. Напряженность равномерно заряженного бесконечного цилиндра или нити убывает с
расстоянием в обратной пропорции.
Работа при перемещении заряда в электрическом поле
Вычислим работу по перемещению заряда q из положения 1 в положение 2 по
произвольной траектории (рис.17.5). Выберем некоторую точку траектории
определяемую радиус-вектором r вычислим элементарную работу А в
окрестности выбранной точки вдоль этой траектории.
 A  Fdl ;  A  qEdr ;  A  qEdl cos ;
Полная работа вдоль конечного участка траектории:
F  qE;
A12 
Рис.17.5
r2
r2
r1
r1
 ( Edl )  q  E (r ) cos  dl;
Примечание: в последнем выражении напряженность поля Е(r) и параметр cos зависят от
радиус-вектора, поэтому зависимые переменные необходимо выразить через радиус-вектор.
Частный случай:
Работа по перемещению заряда в поле точечного заряда
(рис. 17.6):
так как вектор напряженности Е(r) параллелен радиусувектору, то косинус угла между ними равен нулю.
r1
r2
Рис.17.6
r2
A12  kq1q2 
r1
dr
1 1

kq
q
(
 );
1 2
2
r
r2 r1
E (r )  k
(17.6)
q
;
2
r
Потенциала электрического поля
Определение: Потенциалом в данной точке поля называется работа по перемещению
единичного, положительного, точечного заряда из бесконечности в данную точку.
 (r )  A ,r
q
k ;
r
A12  q(2  1 );
A12  q1 ;
(17.7)
Примечание: работа не зависит от формы пути, при перемещении заряда в поле, а
определяется лишь потенциалами начальной и конечной точек
Циркуляция вектора напряженности
Вычислим работу по замкнутому контуру при перемещении заряда в поле
произвольной конфигурации (см. рис. 17.7):
A121  A12  A21; A121  q(2  1  1  2 )  0;
q  Edr  0; q  0; 
Рис. 17.7
 Edr  0;
 Edr  0;
(17.8)
Интеграл такого вида называют циркуляцией вектора
напряженности, в данном случае электростатического поля
Примечание: рассмотренное выше поле является потенциальным, так как оно способно
совершать работу. Таким образом, выражение
Edr  0; характеризует потенциальность
поля – способность совершать работу.

Эквипотенциальные поверхности
Определение: Эквипотенциальные поверхности - это поверхности обладающие равным
потенциалом.
Свойства эквипотенциальных поверхностей:
1. Работа при перемещении заряда по такой поверхности при любой траектории всегда равна нулю.
2. Вектор напряженности перпендикулярен эквипотенциальной поверхности. Это несложно показать
следующим образом:
A  0  q  Edr cos  ; q  0 
 Edr  0;
E  0; r  0;  cos   0;    / 2
Работа по перемещению с одной эквипотенциальной поверхности на другую.
Связь между напряженностью и потенциалом поля
Вычислим работу по перемещению заряда с одной эквипотенциальную поверхности
на другую
 A  qd ;  A  Fdr  Eqdr;
E
Рис. 17.8
d
dr
d
- надо рассматривать как оператор
; градиента
 
dr
d
d
; DecSK  i
 j
dr
dx

1
SphSK 
er 
r
r sin 

E (r )   (r ) (17.9)
d
d
k
 ;
dy
dz

1 
e 
e ;

r 
Prim: Напряженность
потенциального поля всегда
равна градиенту потенциала,
взятым с обратным знаком.
Неоднозначность определения потенциала
Поскольку потенциал (как и потенциальная энергия) может быть определѐн с
точностью до произвольной постоянной (и все величины, которые можно измерить, а именно
напряженности поля, силы, работы — не изменятся, если мы выберем эту постоянную так или
по-другому), непосредственный физический смысл (по крайней мере, пока речь не идет о
квантовых эффектах) имеет не сам потенциал, а разность потенциалов, которая определяется
как:
q*12
где: 1 — потенциал в точке 1, 2 — потенциал в точке 2, Af
— работа, совершаемая полем
при переносе пробного заряда q* из точки 1 в точку 2.
Примечания:
1. При этом считается, что все остальные заряды при такой операции «заморожены» — то есть
неподвижны во время этого перемещения (имеется в виду вообще говоря скорее
воображаемое, а не реальное перемещение, хотя в случае, если остальные заряды
действительно закреплены — или пробный заряд исчезающе мал по величине — чтобы не
вносить заметного возмущения в положнения других — и переносится достаточно быстро,
чтобы остальные заряды не успели заметно переместиться за это время, формула
оказывается верной и для вполне реальной работы при реальном перемещении).
2. Иногда для снятия неоднозначности используют какие-нибудь «естественные» условия.
Например, часто потенциал определяют таким образом, чтобы он был равен нулю на
бесконечности для любого точечного заряда — и тогда для любой конечной системы
зарядов выполнится на бесконечности это же условие, а над произволом выбора константы
можно не задумываться (конечно, можно было бы выбрать вместо нуля любое другое число,
но ноль — «проще»).
Кулоновский потенциал
Иногда термин кулоновский потенциал используется просто для обозначения электростатического
потенциала, как полный синоним. Однако можно сказать, что в целом эти термины несколько различаются по
оттенку и преимущественной области применения.
Чаще всего под кулоновским потенциалом имеют в виду электростатический потенциал
одного точечного заряда (или нескольких точечных зарядов, полученный сложением кулоновского потенциала
каждого из них). Зачастую даже в случае, когда имеется в виду потенциал, созданный непрерывно
распределенными зарядами, если его называют кулоновским, это может подразумевать, что он выражен (или
может быть выражен) всѐ же в виде суммы (интеграла) пусть и бесконечного числа элементов, на которые
разбит заряженный объем, но всѐ же потенциал каждого рассчитан как потенциал точечного заряда. Однако,
поскольку электростатический потенциал в принципе может быть выражен таким образом практически всегда,
то разграничение терминов всѐ же достаточно размывается.
Также под кулоновским могут понимать потенциал любой природы (то есть не обязательно
электрический), который при точечном или сферически симметричном источнике имеет зависимость от
расстояния 1/r (например, гравитационный потенциал в теории тяготения Ньютона, хотя последний чаще всѐ
же называют ньютоновским, так как он был изучен в целом раньше), особенно если надо как-то обозначить
весь этот класс потенциалов в отличие от потенциалов с другими зависимостями от расстояния.
Формула электростатического потенциала (кулоновского потенциала) точечного заряда:
•
•
Можно показать, что эта формула верна не только для точечных зарядов, но и для любого сферически
симметричного заряда конечного размера, например, равномерно заряженного шара, правда, только в
свободном от заряда пространстве — то есть например над поверхностью шара, а не внутри его.
Кулоновский потенциал в виде приведенной выше формулы используется в формуле кулоновской
потенциальной энергии (потенциальной энергии взаимодействия системы электростатически
взаимодействующих зарядов):
Л.18 Проводники и диэлектрики в электрическом поле
Вектор электростатической индукции
Вектор электрического смещения: D     0  E
D,E
D( r )
(18.1)
0= 8,8610-12 Кл2/мН
E( r )
Диэлектрическая проницаемость:
r
Рис.18.1

F0
F
(18.2)
Примечание: Вектор электрического смещения (электростатической
индукции) вводится для «устранения» скачка функции напряженности
на границе раздела двух сред, имеющих значения диэлектрической
проницаемости ε1, ε2.
Проводники в электрическом поле
Определение: Проводниками называют материалы, имеющие так называемые
свободные заряды, которые могут перемещаться в объеме проводника, под действием
сколь угодно малого внешнего электрического поля
Примерами проводников являются металлы, атомы которых, при формировании
кристалла решетки, отдают в «коллективное использование» (1 ÷ 3) электронов с внешних
оболочек.
При помещении проводников во внешнее электрическое
поле, плотность электрического заряда свободных электронов
перераспределяется таким образом, что внутри объема
проводника индуцируется электрическое поле направленное
против внешнего (рис. 18.2). В результате суперпозиции
суммарная напряженность оказывается равной нулю (рис. 18.3)
Рис.18.2
Еинд
Евн
Свойства заряженного проводника
во внешнем электрическом поле
1. Электрический потенциал в любой точке объема,
равен потенциалу в любой точке поверхности проводника
Е=0
9
Рис. 18.3
Eпров  0
прoв  const
Евн
2. Линии электрического поля перпендикулярны
поверхности проводника.
3. Эквипотенциальные поверхности огибают проводник,
помещенный во внешнее электрическое поле, а одна из них,
потенциал которой равен потенциалу проводника, пересекает его
Диэлектрики в электрическом поле
Определение: Диэлектрики - вещества, у которых электроны
внешних оболочек атомов, не могут свободно перемещаться по
объему диэлектрика, под действием сколь угодно малого внешнего
поля.
Принято различать:
•Неполярные диэлектрики (парафин, бензол)
•Полярные диэлектрики
P( E0 ,T )
•Ионные (NaCl, KCl…)
Рис.18.4
l
l
Рис.18.5
Примечание: При помещении ионного диэлектрика
во внешнее электрическое поле, в отличии от
полярных диэлектриков, в полярных диэлектриках
будет наблюдаться смещение положительных
зарядов по полю, а отрицательных зарядов против
поля
P=ql
n
n
Pпл   Pi
i 1
Введем понятие:
вектор поляризации
P
Pi

i 1
Pпл

V
S d
(18.3)
Примечания:
•
•
•
•
Электрическое поле Е связанных зарядов, возникающее при поляризации полярных и
неполярных диэлектриков, изменяется по модулю прямо пропорционально модулю
внешнего поля Е. В очень сильных электрических полях эта закономерность может
нарушаться, и тогда проявляются различные нелинейные эффекты. В случае полярных
диэлектриков в сильных полях может наблюдаться эффект насыщения, когда все
молекулярные диполи выстраиваются вдоль силовых линий.
В случае неполярных диэлектриков сильное внешнее поле, сравнимое по модулю с
внутриатомным полем, может существенно деформировать атомы или молекулы вещества и
изменить их электрические свойства. Однако, эти явления практически никогда не
наблюдаются, так как для этого нужны поля с напряженностью порядка 1010–1012 В/м.
Между тем, гораздо раньше наступает электрический пробой диэлектрика.
У многих неполярных молекул при поляризации деформируются электронные оболочки,
поэтому этот механизм получил название электронной поляризации. Этот механизм
является универсальным, поскольку деформация электронных оболочек под действием
внешнего поля происходит в атомах, молекулах и ионах любого диэлектрика.
В случае твердых кристаллических диэлектриков наблюдается так называемая ионная
поляризация, при которой ионы разных знаков, составляющие кристаллическую решетку,
при наложении внешнего поля смещаются в противоположных направлениях, вследствие
чего на гранях кристалла появляются связанные (нескомпенсированные) заряды. Примером
такого механизма может служить поляризация кристалла NaCl, в котором ионы Na+ и Cl–
составляют две подрешетки, вложенные друг в друга. В отсутствие внешнего поля каждая
элементарная ячейка кристалла NaCl электронейтральна и не обладает дипольным
моментом. Во внешнем электрическом поле обе подрешетки смещаются в
противоположных направлениях, т. е. кристалл поляризуется.
Примечание: Вектор поляризации параллелен и совпадает по
направлению
с
вектором
напряженности
внешнего
электрического поля
E  E0 
P   0 E (18.5)
E1
E0
E
1  4 k 0 
(18.4)
 1 4 k 0
(18.6)
 - диэлектрическая
восприимчивость
Рис. 18.6
Электрическая емкость проводников
q
q
+
Примечание: В точке пространства, не принадлежащей
области, содержащей заряды, напряженность поля
созданная этими зарядами и суммарным потенциалом
n
Рис.18.7
n
qi
r0
r
i1 i
E   Ei  k 
i1
(18.7)
Если заряд в некоторой области пространства увеличили в К раз, тогда,
очевидно, выражение для потенциала примет вид:
n
qi
i 1 ri
A  k 
Аналогичную зависимость можно наблюдать и для
проводников:
q  c
n
qi
i1
di
 A   ki
c  q

(18.9)
(18.10)
Физический смысл коэффициента с заключается в следующем:
Емкость:
(18.8)
q  q  c(   )
(18.11)
Вывод: электроемкость проводника численно равна величине заряда, который ему
необходимо сообщить, чтобы увеличить его потенциал на единицу
Приведем емкости часто встречающихся тел и конденсаторов.
Напомним, что конденсатор это система как минимум двух проводников разделенных
диэлектриком.
Емкость сферы радиуса R C  4 0 R (18.12)
Емкость сферического конденсатора имеющего
C  4 0 rR (18.13)
Rr
внутреннюю сферу радиуса r а внешнюю R
Емкость плоского конденсатора
C   0S / d (18.14)
Электрическая ѐмкость некоторых систем
Вид
Плоский конденсатор
Коаксиальный кабель
Две параллельные проволоки
Проволока параллельна стене
Две параллельные
копланарные полосы
Два концентрических шара
Тонкая прямая проволока,
(ограниченная длина)
Емкость
Заключительные замечания:
•
Напомним, что потенциал уединенного проводника прямо пропорционален его заряду и
отношение заряда q к потенциалу  для данного проводника есть величина постоянная.
Это отношение называется электрической емкостью, или электроемкостью, проводника:
•
Электрическая емкость уединенного проводника зависит от его формы и размеров, а
также от величины относительной диэлектрической проницаемости среды, в которой он
находится.
•
Электроемкость не зависит от материала проводника, его агрегатного состояния, от
формы и размеров возможных полостей внутри проводника.
•
Электроемкость не зависит также ни от заряда проводника, ни от его потенциала.
•
Потенциалы одинаково заряженных и геометрически подобных проводников должны
быть обратно пропорциональны их линейным размерам, а их электрические емкости
прямо пропорциональны этим размерам.
Л.19
М.С.
Электрический ток
Определение: Дивергенцией вектора в некоторой
точке, называется предел отношения потока этого
вектора через некоторую поверхность к величине
объема ограниченному этой замкнутой поверхностью,
если последний стремиться к нулю
N  E  dS
V  V
lim
V 0
 E  dS  divE  E
V
Рис.19.1
N   E  dS
(19.1)
S
Если некоторый вектор задан в своих проекциях на декартовые оси, то справедливо соотношение
E y Ez

E
x
divE 


x
y
z
div( A  B)  divA  divB
div(aA)  a  divA
i   j  k  
x
y
z
divE  E 
  grad
(19.2)
Дивергенция
вектора — скаляр
(19.3)
Градиент скалярной функции, свойства градиента
Под градиентом некоторой функции понимают вектор, направленный по нормали к
«поверхности» этой функции в сторону ее возрастания, и по модулю равный первой
производной от этой функции по координате
grad[ f ( x)]  i df ( x)
(19.4)
dx
(19.5)
(a )  a


( )   
(19.6)
(1  2) 1 2
(19.7)
Определение: Под электрическим током понимают процесс передачи энергии в
проводнике за счет упорядоченного движения зарядов, обычно во внешних электрических
полях.
Виды тока:
1. проводимости ток , это ток, обусловленный свободными (коллективизированными) зарядами в металлах,
примесных полупроводниках, возникающий при наложении внешних электрических полей,
2. конвекционный ток — направленное движение макро зарядов в жидкостях газах и т. д.,
3. ток в вакууме — основные носители создаются, например, с помощью термоэлектронной эмиссии, т.е.
выполняется условие наличия свободных зарядов, другим условием является наличие внешнего
электрического поля именно эти два условия являются необходимыми и достаточными условиями
существования тока в вакууме.
Udt
Классическая теория
электропроводности
Рассмотрим клас-ю модель (см. рис. 19.2)
Через dS за время dt пройдет заряд dq
E
dq  n  e Udt  dS
j  dq
dS  dt
(19.8)
S

j
Рис.19.2
j  neU
j  dq  U
dS  dt U
Закон сохранения электрического заряда

dS
Если внутри поверхности (рис. 19.2) существуют движущиеся
заряды, то часть из них в любой момент времени пронизывает
поверхность S :
d    jdS   jn dS , jn  j  cos 
S
q
t
V
Рис. 19.2
(19.9)


jn dS
d
 j  0
dt

 dV

t
V
S


S

jn dS   jdV
V
- уравнение непрерывности или закон сохранения
заряда в макро электродинамике.
(19.10)
Примечания:
•
Теория Друде — классическое описание движения электронов в металлах. Эта теория была
предложена немецким физиком Паулем Друде через 3 года после открытия электрона как
частицы — в 1900 году. Она отличается простотой и наглядностью, хорошо поясняет эффект
Холла, удельную проводимость в постоянном и переменном токе и теплопроводность в
металлах и поэтому до сегодняшнего дня актуальна.
•
Несмотря на то, что плотность газа электронов проводимости примерно в 1000 раз больше
плотности классического газа при нормальных температуре и давлении, и несмотря на
присутствие сильного электрон-электронного и электрон-ионного взаимодействия в модели
Друде для рассмотрения электронного газа в металлах почти без изменений применяются
методы кинетической теории нейтральных разреженных газов.
Основные предположения теории Друде.
•
•
•
В интервале между столкновениями не учитывается взаимодействие электрона с другими электронами и
ионами. Иными словами, принимается, что в отсутствие внешних электромагнитных полей каждый
электрон движется с постоянной скоростью по прямой линии. Далее, считают, что в присутствии
внешних полей электрон движется в соответствии с законами Ньютона; при этом учитывают влияние
только этих полей, пренебрегая сложными дополнительными полями, порождаемыми другими
электронами и ионами.
Приближение, в котором пренебрегают электрон-электронным взаимодействием в промежутках между
столкновениями, известно под названием приближения независимых электронов. Соответственно
приближение, в котором пренебрегают электрон-ионным взаимодействием, называется приближением
свободных электронов.
В модели Друде, как и в кинетической теории, столкновения — это мгновенные события, внезапно
меняющие скорость электрона. Друде связывал их с тем, что электроны отскакивают от непроницаемых
сердцевин ионов (а не считал их электрон-электронными столкновениями по аналогии с доминирующим
механизмом столкновений в обычном газе).
•
Предполагается, что за единицу времени электрон испытывает столкновение (т. е. внезапное
изменение скорости) с вероятностью, равной 1/. Имеется в виду, что для электрона вероятность
испытать столкновение в течение бесконечно малого промежутка времени dt равна просто dt/ . Время
 называют временем релаксации, или временем свободного пробега; оно играет фундаментальную
роль в теории проводимости металлов.
•
Из этого предположения следует, что электрон, выбранный наугад в настоящий момент времени, будет
двигаться в среднем в течение времени  до его следующего столкновения и уже двигался в среднем в
течение времени  с момента предыдущего столкновения. В простейших приложениях модели Друде
считают, что время релаксации  не зависит от пространственного положения электрона и его
скорости.
•
Предполагается, что электроны приходят в состояние теплового равновесия со своим окружением
исключительно благодаря столкновениям.
•
Считается, что столкновения поддерживают локальное термодинамическое равновесие чрезвычайно
простым способом: скорость электрона сразу же после столкновения не связана с его скоростью до
столкновения, а направлена случайным образом, причем ее величина соответствует той температуре,
которая превалирует в области, где происходило столкновение. Поэтому чем более горячей является
область, где происходит столкновение, тем большей скоростью обладает электрон после столкновения.
Закон Ома
Условия возникновения и протекания тока в проводнике:
1. Наличие свободных зарядов, способных перемещаться под действием внешних сколь угодно
малых полей.
2. Наличие источника тока, то есть источника внешнего электрического или магнитного поля.
j  E
Закон Ома в
дифференциальной
форме
(19.11)
dq

0
dv
j  ( E )  0;
Выполним
несложные
преобразования:
  const ;
E  0;
(19.12)
 ( EdS )   EdV  0    dV
S
V
V
Примечание: Выражение  весьма важно, так как оно говорит о том, что в случае
стационарных токов электрические заряды могут находиться только на поверхности проводника,
или стремятся к этому, кроме того, это выражение «не запрещает» находиться зарядам в местах
неоднородностей проводящей среды.
Выводы:
1. Для стационарных токов, плотности зарядов в каждой «точке» пространства не изменяются с
течением времени (на место уходящих зарядов непрерывно поступают другие).
2. В случае стационарных токов носители тока создают такое же кулоновское поле, что и
неподвижные заряды, причем, это поле является потенциальным и существует внутри проводника.
Формула Ома в интегральной форме
E  
q



t S
r
dq
j
n0
dSdt
(19.13)
q
dq
I 
; I
;
t
dt
Введя обозначение:
j
E
1
(19.14)
r
Рис.19.3
Можно получить:
I
1
S
здесь:

 12
r

U
r

2
1
1
12
r
r2
 Edr;
i 
1 r
R 
j
   Edr       ;
;
     ;
2
1
I
U
12
R
S
(19.15)
l
Рис.19.4
Закон Джоуля - Ленца
Работа при переносе заряда dq от сечения 1 до сечения 2 (рис. 19.4)
Q  IU  I R  I
2
Тепло выделяющееся в
единице объема
QV 
V
2

I R
Sl

Edr
w 
I l
S l
2
 j 
2
1

2
E   E
2
2
QV t   E
1
 E ;
2
0
2
1
2

A12  dq (1   2 )  IUdt
2
Qdt  IUdt
Q
2
r1
 S
2
2
(19.16) QV , t 
2

0
w;
Сторонняя электродвижущая сила
Важные свойства источников тока:
1. Силы, разделяющие заряды в источнике тока являются силами
неэлектрического характера, и по существу сторонними к
рассматриваемой совокупности подвижных зарядов – носителей
тока.
2. Направление сторонних сил действующих на основные
носители тока всегда направлены против электрического поля в
проводнике.
j   ( E  E ) (19.18)
Виды источников тока:
•Механические
•Гальванические
•Индукционные
•Фотоэлектрические
•Термоэлектрические
•Ядерные
ст

ст

Fст
(19.17)
q
R
 dSd 
Формула Ома для замкнутой цепи
I
 cm
R12  r
;
dr
 R12  r
(19.19)
 cm 
Короткое замыкание R12=0
cm
I kz 
U kz
(19.20)
E
dr
 cm
r
0
I xx  0;
Холостой ход
R12=
U xx   cm
;
Л. 20 Основы электронной теории проводимости металлов
Модель:
1. Металл - кристаллическая решетка, погруженная в электронный газ коллективизированных
электронов.
2. Свободные электроны могут свободно перемещаться по объему металла подобно молекулам
идеального газа, (v0, скорость теплового движения порядка 500 м/с).
3. Распределение электронов проводимости по скоростям в потенциальном поле решетки
подчиняется распределению Больцмана.
Опыт Мандельштама (Толмена) (1913 ÷ 1916)
Катушку с проводом с большим числом витков (см. рис. 20.1) медленно
раскручивают. Электроны проводимости металла приобретают при этом скорость
направленного движения . Если катушку резко остановить, то в силу инерции электроны
будут продолжать двигаться по проводнику, то есть в проводнике возникает ток.
Примечание: В результате проведения этих опытов было установлено, что носителями
тока в металлах являются свободные электроны, экспериментально определены заряд и
масса электрона, точнее величина e/m
Пусть в ед. объема находятся n свободных электронов. Т.к. их движение хаотично в
рамках модели ид. газа то их <v>=0, т.е. этот «газ» покоится относительно решетки.
Плотность тока через ∆S (см. рис. 20.2)
j  enU
(20.1)
Сила со стороны внешнего поля приводящая электроны в упорядоченное движение:
F  eE  1 mv
t
(20.2)
Среднее значение скорости упорядоченного движения:
 v 
v0  v
;
2
Учитывая, что:  - интервал времени между  и +1 столкновениями, l – длина свободного пробега
v
С другой стороны:

eE

v
  l
v
(20.3)
(20.4)
Примечание: Скорость теплового движения много больше скорости упорядоченного движения, поэтому
при численных расчетах приращением скорости , за счет упорядоченного движения пренебрегают.
Скорость таким образом можно определить из известного соотношения:
 v 
1 eE

2 m
1
 v  (vi  vi1)
2
2
e
j  nl E;
2mv
m
3
 v  2  kT ;
2
2
(20.5)
Примечания:
1.
2.
Основным противоречием классической теории электропроводности
является не совпадение расчетных и экспериментальных данных, например
длина свободного пробега, полученная расчетным путем, составляет порядка
510-7 м, в то время как расстояние между атомами 110-10 м.
Кроме того, не совпадает с экспериментальными данными отношение
коэффициента теплопроводности и коэффициента электропроводности
Коэффициент
электропроводности в
рамках данной модели:
2
  e nl ;
2mv
2
  e nl ;
2 3kTm
(20.6)
Закон Джоуля – Ленца
С точки зрения классической теории электропроводности выделение тепла в проводнике при
прохождении тока, объясняется столкновением электронов участвующих в проводимости с узлами
кристаллической решетки, таким образом происходит преобразование энергии внешнего электрического
поля в тепловое излучение.
Энергия отданная одним электроном
при одном столкновении:
Энергия отданная одним
электроном за ед. времени:
Энергия отданная одним
электроном в ед. объема:
Вводя обозначение:
Закон Джоуля – Ленца в
дифференциальной форме:
1
2
 e  mv2 ;
(20.7)
v m 2 v m e2 E 2 l 2 e2 E 2l
Wt 1 
v 

:
l 2 
l 2 m2 v 2
2mv
n0e2l 2
WV 1  n0Wt 
E
2mv
n0e2l

2mv
W  E2
(20.10)
(20.11)
(20.9)
(20.8)
Закон Видемана - Франца
Отношение коэффициентов теплопроводности и электропроводности для
всех металлов одинаково и линейно зависит от абсолютной температуры
Коэффициент теплопроводности, с т.з. классической МКТ:
1
3
3
2
  l  v  nce ; ce  kn;
(20.12)
Коэффициент электропроводности:
n2el

;
2m  v 
Вычислим их отношение:
Классическое выражение для
закона Видемана – Франца:
(20.13)
 2 m  v 2

ce
 3
e2
  3( k )2 T

e
Учитывая:
3
  k  kT ; ce  kn;
2
(20.14)
Трудности классической электронной теории проводимости:
1. Зависимость проводимости от температуры не согласовывается с экспериментальными данными.
Согласно теории коэффициент электропроводности оказывается обратно пропорционален корню
квадратному из абсолютной температуры, то есть:  или , в то же время экспериментальные
данные дают зависимость: .
2. В рамках классических представлений невозможно объяснить явление сверхпроводимости.
Молярная теплоемкость т.т. согласно кл. теории С=9 кал/моль град. Она складывается из теплоемкости
электронного газа С=3 кал/моль град и теплоемкости кр-ой решетки С=6 кал/моль град. В то же, время
реальная теплоемкость, полученная из эксперимента, С=6 кал/моль град.
3. Выражение для з-на Видемана-Франца не совпадает с экспериментальными данными:

k
( )teor  3( )2T ;

e

k
( )exr  3,2( )2T

e
Зависимость сопротивления от температуры
Опыт показывает, что при не слишком высоких и не слишком низких температурах зависимости
удельного сопротивления от температуры выражается линейной функцией:
  0 (1    t )
где Δt = t - t0, t0 = 0 °C, ρ0, ρ — удельные сопротивления вещества проводника соответственно при 0 °С и t
°C, α — температурный коэффициент сопротивления, измеряемый в СИ в Кельвинах в минус первой степени
(К-1) (или °C-1).
Определение: Температурный коэффициент сопротивления вещества — это величина, численно равная
относительному изменению удельного сопротивления проводника при его нагревании на 1 К:

1  
  T
Для всех металлических проводников α > 0 и
слабо изменяется с изменением температуры. Для
большинства металлов в интервале температур от 0 ° до
100 °С коэффициент α изменяется от 3,3⋅10–3 до 6,2⋅10–3
К–1 (табл. 1). У химически чистых металлов α = 1/273 К-1.
Существуют
специальные
сплавы,
сопротивление которых практически не изменяется при
нагревании, например, манганин и константан. Их
температурные коэффициенты сопротивления очень
малы и равны соответственно 1⋅10–5 К–1 и 5⋅10–5 К–1.
Если пренебречь изменением размеров
металлического проводника при нагревании, то такую же
линейную зависимость от температуры будет иметь и его
сопротивление
Rt  R0  (1    t ).
Таблица 1
Температурный коэффициент сопротивления
Вещество α, 10–3 °К–1
Вещество α,10–3 °К–1
Алюминий 4,2
Нихром
0,1
Вольфрам 4,8
Олово
4,4
Железо
6,0
Платина
3,9
Золото
4,0
Ртуть
1,0
Латунь
0,1
Свинец
3,7
Магний
3,9
Серебро
4,1
Медь
4,3
Сталь
4,0
Никель
6,5
Цинк
4,2
Л. 21
Магнитное поле
Взаимодействие между проводниками с токами осуществляется посредством
магнитных полей, причем эти поля по характеру своего действия
отличаются от электрических полей.
2. Магнитные поля действуют на движущиеся электрические заряды.
3. Движущиеся заряды создают в окружающем пространстве магнитные поля.
Элемент тока - вектор, направленный по касательной к проводнику, в направлении
тока, численно равный произведению тока на элемент длины проводника.
1.
Закон Ампера:
На проводник, с током помещенный во внешнее магнитное, поле действует сила,
определяемая векторным произведением элемента тока на вектор индукции внешнего поля.
F  idl  B  sin 
A
FA  idl  B
F  i B; sin  

2
(21.1)
; i  1;   1; F  11 B
Наряду с понятием индукции, также используется понятие напряженности
магнитного поля
B  0 H ;  
Напомним:
E
B0
; 0  const; 0  4 107 , ( SI )
B
F
; D   0 E
q0
(21.2)
Для магнитного поля в плане терминологии существуют аналогичные
характеристики, и только в силу исторических причин термины несколько
отличаются в плане физических определений.
B  11 F ; B  0 H
Закон Био - Савара - Лапласа
Элемент тока создает в некоторой точке пространства, связанной с этим элементом тока
вектором, магнитное поле, индукция которого, пропорциональна элементу тока,
синусу угла между вектором элемента тока и вектором, соединяющим элемент тока с
данной точкой и обратно пропорциональной квадрату расстояния от элемента тока до
данной точки и определяется выражением:


0 id  r 
0 id
A  XOY ; dB 
;
dB


 2  sin  ;
3
4
4

r
r
(21.3)
Принцип суперпозиции:
Индукция в точке от нескольких источников магнитных полей
определяется векторной суммой от всех этих источников 
B   Bi
(21.4)
n
Магнитное поле прямого тока
Задача: Необходимо вычислить В создаваемую бесконечным прямолинейным током на
расстоянии R от проводника
Prim: удобнее задать углы определяющие ориентацию вектора r с помощью углов 1 и
2, последний отсчитывается от вектора idl к вектору R
Элемент тока
создает поле
1 idl sin
dH 
4 r 2
Приведение к одной переменной:
H
1
2
4 R 1
Окончательно:
cos d 
H
i
Весь
проводник:
1
H
4
dl sin dl cos dS


 d ;
r
r
r
 cos1  cos2 ;
4 R
1


dl sin 
 r 2 ;
r
R
cos
h  ; H 

(cos1  cos2 ) 1  ;  2  
2
2
4 R
1
2 R
H
i
2R
Магнитное поле параллельных проводников с током
Рассмотрим два параллельных проводника, в которых токи имеют одинаковое
направление. Определим индукцию поля создаваемую каждым проводником:
B1 
0 i1
 i
 ; B2  0  2
2 R
2 R
F2  i2   B1  i2
0 i1
  F1; F1  F2
2 R
Определение единицы тока: Ампер - величина такого тока, который, протекая по двум
параллельным проводникам, бесконечной длины, находящихся в вакууме на расстоянии
1 метр друг от друга, вызывают силу взаимодействия между ними 2·--7 Н на каждый
метр длинны.
Магнитное поле на оси кругового тока
Задача: Рассчитаем магнитное поле на оси кругового тока, которая ортогональна
плоскости витка с током
dH 
1 id
 dH  1  id  R
 2 ;
//
4 r 2 r
4 r
2
можно проинтегрировать «в скалярной
форме», не смотря на то, что две переменные
связанны между собой, так как /r0/ - const. В
этом смысле остается лишь одна переменная
dH//
dl, по которой и производится интегрирование
Если плоскость витка образует произвольный угол с током: то есть здесь r0
- образует произвольный угол с плоскостью витка с током то:

1 i R 2 R
H (r0 ) 
d ;
4 r r 0
r  R 2  r02 ;
i R2
H (r0 ) 
2 ;
2 r
i
R2
H (r0 ) 
R (r02  R 2 )3/ 2
Выводы: 1. Магнитное поле тока пропорционально величине тока в проводнике, обратно пропорционально
квадрату расстояния от проводника. 2. Линии индукции магнитного поля представляют собой замкнутые кривые.
3. Магнитное поле в отличие от гравитационного или электростатического не потенциально, то есть не способно
совершать работу
Важные примечания:
•
Закон Био́—Савара—Лапла́са — физический закон для определения вектора индукции
магнитного поля, порождаемого постоянным электрическим током. Был установлен
экспериментально в 1820 году Био и Саваром и сформулирован в общем виде Лапласом.
Лаплас показал также, что с помощью этого закона можно вычислить магнитное поле
движущегося точечного заряда (считая движение одной заряженной частицы током).
•
Закон Био—Савара—Лапласа играет в магнитостатике ту же роль, что и закон Кулона в
электростатике.
Закон
Био—Савара—Лапласа
можно
считать
главным
законом
магнитостатики, получая из него остальные ее результаты.
•
В современной формулировке закон Био—Савара—Лапласа чаще рассматривают как
следствие двух уравнений Максвелла для магнитного поля при условии постоянства
электрического поля, т.е. в современной формулировке уравнения Максвелла выступают
как более фундаментальные (прежде всего хотя бы потому, что формулу Био—Савара—
Лапласа нельзя просто обобщить на общий случай полей, зависящих от времени).
Случай распределенных токов
В том случае когда источником магнитного поля являются распределенные токи,
характеризуемые полем вектора плотности тока j, формула закона Био — Савара принимает
вид (в системе СИ)
где j = j(r), dV - элемент объема, а интегрирование производится по всему пространству
(или по всем его областям, где j≠0), r - соответствует текущей точке при интегрировании
(положению элемента dV).
Векторный потенциал:
NB Хотя в современном подходе, как правило, сам закон Био-Савара выступает следствием уравнений
Максвелла, однако исторически его открытие предшествовало уравнениям Максвелла, поэтому уравнения
Максвелла для случая магнитостатики можно рассматривать как следствия закона Био-Савара. С чисто
формальной точки зрения в случае магнитостатики оба подхода можно считать равноправными, т.е. в этом
смысле то, что из них считать исходными положениями, а что следствиями, зависит от выбора аксиоматизации,
который в случае магнитостатики может быть тем или другим с равным формальным правом и практически
равным удобством.
Важные следствия из закона Био-Савара-Лапласа
Основными следствиями закона Био-Савара являются (в указанном выше смысле)
уравнения Максвелла для случая магнитостатики, в интегральной форме имеющие вид:
-вариант теоремы Гаусса для магнитного поля (это уравнение остается в электродинамике
неизменным и для общего случая) и
- уравнение для циркуляции магнитного поля в магнитостатике (здесь дано для случая вакуума,
в системе СИ). Эта формула (и вывод ее из закона Био-Савара) есть содержание теоремы Ампера
о циркуляции магнитного поля.
Дифференциальная форма этих уравнений:
где j — плотность тока (запись в системе СИ, в гауссовой системе единиц константа вместо 
принимает вид 4с).
Л. 22
Основные характеристики и свойства магнитного поля
Магнитный момент тока
Введем ряд понятие: Магнитный момент кольцевого тока
Виток с током
(аналог эл. диполя)
H 
1
2

(22.1) S   R
pm  i  S
i
R
3
r0  R
Если
R ;
2
1 iS
r0  r ; H 
2
2 r0
3
Магнитное напряжение
Физическая суть понятия
циркуляции вектора напряженности
магнитного поля:
 2 r  
Рис. 22.2
2 r
0
Um 
d
12

r2
Hd
r1
Рис.22.1
Um 

r2
r1
Hd  cos 
Частные случаи:
1. Контур обхода совпадает с линией напряженности
H cos  
i
2 r
Um 
i

2 r
2 r
0
d 
i
2 r
 L; (22.2)
L
r
 ; U m 
i
2
  (22.3)
2. Контур обхода плоский, но произвольной формы (рис. 22.4)
Предположим, что по касательной в направлении обхода расположен
единичный вектор r0, тогда dl представим в виде: rd  d (рис. 22.3)
Для элемента тока:
dU m 
i
2
cos a  d
H
i
2 r
(22.4)
Рис. 22.3
Если длина контура обхода L
dU m 
i
2
cos adl ;    2  1
(22.5)
  L / r
Следовательно:
Um 
i
2

(22.6)
Рис. 22.4
3. Контур обхода 3D - замкнутая кривая, произвольной формы
Проведя простейшие разложения в проекции на оси (рис. 22.5),
можно показать:
Um 
Рис. 22.5
12
i
2

(22.7)
Теорема о циркуляция вектора напряженности магнитного поля. (Закон
полного тока)
=2
Теорема: Циркуляция вектора напряженности магнитного
поля - равна сумме токов охватываемых контуром обхода
 Hd
 U m12
  2 ;
 Hd  i
L
1
2
i
H
n
 Hd   im
Hn
(22.8)
i1
m 1
in
Следствия:
1. Если контур обхода не обхватывается током, то циркуляция вектора
напряженности = 0.
2. Циркуляция вектора напряженности = 0, если алгебраическая сумма
токов = 0.
Рис. 22.6
Вихревой характер магнитного поля
Определение: Вихревым (роторным) называются поле, для которого циркуляция вектора
напряженности не равна нулю.
Свойства роторных полей:
1. Вихревые поля не потенциальны (не способны совершать работу).
2. Линии индукции (напряженности) для таких полей замкнуты
H1
Примеры расчета напряженности полей
H
1. Напряженность поля внутри тороидального соленоида
r2
Напряженность поля одинакова во всех точках окружности радиуса r
(см. рис. 22.7)
 Hdl   i
k
n
H  Hl ;

r
r1
Выбирая контур обхода, совпадающий
с окружностью радиуса r, получим:
H l dl  H  dl  H 2 r  in
n0 
n
2 r
Рис.22.7
Количество витков
на единицу длины
Напряженность поля внутри тороидального соленоида
неодинакова, она убывает с уменьшением радиуса
H1 
ni
2 r1
; H2 
ni
2 r2
;
H1  H 2
2. Напряженность поля внутри прямого соленоида
H1

r2  r1
r1
r2  r1
(22.9)
r1
0
H  in0
(22.10)
Примечание: Магнитное поле внутри прямого бесконечного соленоида будет стремиться к
однородному. Получение высокооднородного поля в соленоиде конечной длины – сложная
техническая задача
Дифференциальная форма
теоремы о циркуляции
Введем понятие - оператор ротора:
 (H y 
z
H y
4
 H z dz
dz

(H z 
2
H z
dy )dz
y
dy
H y dy
y
L
x
Рис. 22.8
12
 H y ( x, y, z )dy
34  H y ( x, y, z  dz )dy
суммарный вклад двух участков
12 и 34
H
y

H l dl  U12  U 23  U 34  U 41  j x ds
dz )dy
3
1
а) рассмотрим произвольно ориентированный в
пространстве относительно в декартовой системе
координат бесконечно малый контур обхода ,
например в виде четырех угольника.
б) получим его проекции на плоскости.
Y0X, Y0Z, ZOX.
в) рассмотрим одну из проекций (Z0Y) в виде
четырех угольника 1,2,3,4.
г) направление контура обхода в проекции должно
очевидно совпадать с направление самого контура.
Заметим, что площадь охватываемая проекцией
контура обхода , для остальных проекций эта
площадь соответственно .
Запишем теорему с циркуляции вектора
напряженности магнитного поля для проекции :
z
( x, y , z )  H y ( x, y , z  dz ) dy 
 Hy
z
dzdy  
 Hy
z
dS (*)
Аналогично для участков 23 и
41
H z ( x, y  dy, z )  H z ( x, y, z ) dz 
 Hz
dS (**)
y
Суммируя прав. и лев. части выражений (*) и (**), заметим , что сумма левых частей есть:
  Hz  Hy 
 H d    y   z  dS  jx dS ;
Проведя аналогичное рассуждение, для плоскостей
запишем:
Помножим, правые и левые части
  Hx  Hx 
  Hx  Hx 
  x   y   jz ;   z   x   j y записанных выражений на


соответствующие единичные орты:


Hd
Сумма правых частей будет иметь вид:
  Hz  Hy 
  y   z   jx ex ;


  Hx  Hz 


  j y ey ;
x 
 x
  Hy  Hx 
  x   y   jz ez ;


rotH    H  ;
ex
ey
ez
rotH    x   y   z  H  ;
Hx
Hy
(22.11)
Hz
NB Запись оператора ротора в виде
rotH
в
настоящее время мало употребительна…
  ex   x  ey   y  ez   z
(22.12)
(22.13)
Теорема Стокса
Циркуляция вектора напряженности вектора по замкнутому контуру L равна потоку
его ротора, через произвольную поверхность S, расположенную в поле вектора
напряженности и ограниченна контуром
Prim: Теорема Стокса связывает
линейные параметры некоторого
замкнутого контура с параметрами
произвольной поверхности
«натянутой» на этот контур, что
значительно упрощает
математические операции,
связанные с расчетом магнитных
полей.
L.
 ( Hd
L
)
  , H  dS ;
(22.14)
S
Математическая справка:
  A  B     A    B 
Выводы: 1. Ротор служит для характеристики степени «завихренности», например
вектора магнитного поля H .
2. Вектора ротора оказывается ортогональным к той плоскости, в которой
сам вектор, например H, обладает наибольшей циркуляцией по контуру L.
Л. 23 Поток вектора магнитной индукции
H
Рассмотрим некоторую произвольную поверхность S, которая
находится во внешнем магнитном поле произвольной конфигурации
(рис. 23.1)
dSn
Введем понятие:
Рис. 23.1
Элементарный поток вектора магнитной индукции через эту
поверхность равен скалярному произведению вектора магнитной
dФ  BdS ;
индукции на вектор площадки.
Примечания:
1. Поток через некоторую
площадку формируют
ортогональные составляющие
вектора, например магнитной
индукции, напряженности поля
и т. д..
2. Поток, по определению,
скалярная величина.


B cos  dS 
S

Bn dS
Ф
S1
    BdS1 
S1

B
S 2
2
(23.1)
S
BdS 2 ;
 BdS
H
S
S
    BdS1 
 BdS
dS
S2
S1
0
S 2
Рис. 23.2
Вывод: поток вектора, например, индукции магнитного поля через замкнутую
поверхность равен нулю:
 BdS  0
(23.2)
или
B  0
(23.3)
Одно из уравнений
Максвелла
Магнитное поле Земли
Магнитное поле Земли или геомагнитное поле —
магнитное поле, генерируемое внутриземными источниками.
Это поле является предметом изучения геомагнетизма.
На небольшом удалении от поверхности Земли,
порядка трѐх еѐ радиусов, магнитные силовые линии имеют
диполеподобное расположение. Эта область называется
плазмосферой Земли.
Обтекание магнитосферы Земли
солнечным ветром
По мере удаления от поверхности Земли усиливается воздействие солнечного ветра:
со стороны Солнца геомагнитное поле сжимается, а с противоположной, ночной стороны, оно
вытягивается в длинный «хвост».
Заметное влияние на магнитное поле на поверхности Земли оказывают токи в
ионосфере. Это область верхней атмосферы, простирающаяся от высот порядка 100 км и выше.
Содержит большое количество ионов. Плазма удерживается магнитным полем Земли, но еѐ
состояние определяется взаимодействием магнитного поля Земли с солнечным ветром, чем и
объясняется связь магнитных бурь на Земле с солнечными вспышками.
Точки Земли, в которых напряжѐнность магнитного поля имеет вертикальное
направление, называют магнитными полюсами. Таких точек на Земле две: северный
магнитный полюс и южный магнитный полюс.
Прямая, проходящая через магнитные полюсы, называется магнитной осью Земли.
Окружность большого круга в плоскости, которая перпендикулярна к магнитной оси, называется
магнитным экватором. Вектор магнитного поля в точках магнитного экватора имеет
приблизительно горизонтальное направление.
Средняя напряжѐнность поля на поверхности Земли составляет около 0,5 Э (40 А/м) и
сильно зависит от географического положения.[1] Напряжѐнность магнитного поля на
магнитном экваторе около 0,34 Э (Эрстед), у магнитных полюсов около 0,66 Э. В некоторых
районах (в так называемых районах магнитных аномалий) напряжѐнность резко возрастает. В
районе Курской магнитной аномалии она достигает 2 Э.
Дипольный магнитный момент Земли на 1995 год составлял 7,812·1025 Гс·см³ (или
7,812·1022 А·м²), уменьшаясь в среднем за последние десятилетия на 0,004·1025 Гс·см³ или на
1/4000 в год.
Распространена аппроксимация магнитного поля Земли в виде ряда по гармоникам —
ряд Гаусса.
Для магнитного поля Земли характерны возмущения, называемые геомагнитными
пульсациями вследствие возбуждения гидромагнитных волн в магнитосфере Земли; частотный
диапазон пульсаций простирается от миллигерц до одного килогерца
NB В последнее время получила развитие гипотеза, связывающая возникновение магнитного поля Земли с
протеканием токов в жидком металлическом ядре. Подсчитано, что зона, в которой действует механизм
«магнитное динамо», находится на расстоянии (0,25 - 0,3) радиуса Земли. Аналогичный механизм генерации
поля может иметь место и на других планетах, в частности, в ядрах Юпитера и Сатурна (по некоторым
предположениям, состоящих из жидкого металлического водорода).
В
Работа в магнитном поле
Поставим задачу: рассмотрим перемещение проводника с током
во внешнем магнитном поле под действие внешней силы .
Возможны следующие варианты:
1) если рассматриваемый проводник единичной длины, то
"пересекая" площадь dS (см. рис. 23.3) можно определить работу
как произведение скалярных величин, то есть:
 A  Fdx  i Bdx
2) если вектор не ортогонален элементу тока idl, то в общем
случае, вектор необходимо разложить на три составляющие:
B  Bz  Bn  B
3). Вращательные
движения проводника во
внешнем магнитном поле
S  dx;
dS

S
Вывод: Работа при перемещении
проводника с током во внешнем магнитном
поле пропорциональна току в проводнике и
величине магнитного потока, который
пересекает проводник.
i
(23.5)
A  id   i  BdS
 A  id B  id  id ;
 id 

F
dl
 A  id 
A 
(23.4)
 A  id 
 A  Bn dSi;
 A  id ;
Рис. 23.3
l
Рис. 23.4
(23.6)
dS  d d
dF  id B
Контур с током в магнитном поле
B
i
Определим силы, действующие на контур, с током помещенный во
внешнее магнитное поле (рис. 23.5).
Fa
Если рассматривать этот контур как виток с током, который
охватывает некоторую поверхность, то можно ввести понятие магнитного
момента следующим образом:
P  iS
Работа со стороны внешнего магнитного поля:
Поток, который пронизывает контур в исходном
состоянии, в общем случае будет очевидно равен:
При повороте контура на угол d, изменение потока:
 A  Md  iBS sin  d
Угловая скорость:

d
dt
Fb
Fb
b
Fa
a

B
Fa
 A  Md
n
Рис.23.5
  BS cos 
d   BS cos  d
M  iBS sin 
(23.7)
d  dt  M  iBS sin(dt )

  const ;   


dt
t
da
Момент сил действующий на контур:
M  BS sin(t )
M 
m
B
(23.8)
Малый виток в неоднородном магнитном поле
На элемент тока в точках А и В (выбранные точки
приложения сил рис. 23.7) очевидно действуют силы:
(разложим dF на 2 составляющих),
dF  dF  dFn - совпадает с направлением АВ, тогда - dFn
должна совпадать с вектором в точке В. Аналогично для
точки А, и для любого другого элемента тока.
Составляющая dF старается растянуть виток с

током, увеличив его радиус, а за счет составляющей dFn
dFt
dF
dFn
B(x,y,z)
F
pm
i
dFn
dF
dFt
Рис.23.7
 A  dF  dx;
n
виток втягивается в область большего градиента В. Таким
dFn dx;
образом работа по перемещению витка полем определяется  A 
2 R
составляющей dF .
n
При перемещении витка с током, например в направлении
 Bn
S
dx;
dx, изменение магнитного потока dФ и работа будут равны:
x

Bn  Bnx  Bny  Bnz ;
Вывод: В неоднородном магнитном поле, в
общем случае, действует момент сил и сила
нормальной составляющей общей силы,
которая заставляет втягиваться виток в область
mz
наибольшего градиента поля. Сила
вызывающая поступательное движение витка
(23.9) пропорциональна его магнитному моменту и
градиенту внешнего поля.
 A  Fdx  iB
Pm  Pmx  Pmy  P
F  ( Pm (B))
F  Pm
 Bn
x
 Bn
x
dx;
Л. 24 Электромагнитная индукция
Опыты Фарадея
Фарадей в 1831 году установил, что переменные магнитные
поля в замкнутых проводниках, индуцируют электрические токи.
Схемы опытов представлены на рис. 24.1.
Закон Фарадея – Максвелла
ЭДС электромагнитной индукции возникающей в замкнутом
контуре, пропорциональна скорости изменения магнитного
потока, пронизывающего данный контур.
Рис.24.1
Ii
I(t)
I(t)
di>0
dI<0
Рис. 24.2
Ii
Правило Ленца: Индукционный
ток, возникающий в контуре при
изменении потока пронизывающего
этот контур, создает магнитное поле
такого направления, чтобы оно
препятствовало изменению
внешнего магнитного потока. (см.
рис. 24.2)
i  
d
dt
(24.1)
Электронный механизм возникновения ЭДС индукции
При перемещении проводника, во внешнем магнитном поле
вместе с ним перемещается и «электронный газ», следовательно, на
каждый электрон действует сила Лоренца. Это приводит к
перераспределению заряда в подвижном проводнике (рис. 24.3) - в
нем индуцируется электрическое поле Ei, следовательно,
подвижный проводник можно рассматривать как источник тока.
Пересекаемая проводником площадь:
В объеме
проводника на
свободные заряды
действуют силы
удовлетворяющие
условию:
f L   f el
E
l
FL
Ei
v
dS  dxl
v
i
l
dx
f L  evB; f el  eE ;

B
Рис.24.3
;    i ;
i
;
l
1
dx
d
;
 i  l B   BdS  
dt
dt
dt
evB  eE ; vB  
(24.2)
i  
ii  
d
;
dt
1 d
(24.3)
r dt
Вывод выражения ЭДС индукции из закона сохранения энергии слушателям предоставляется
сделать самостоятельно
Потенциальная форма
При выражении магнитного поля через векторный потенциал закон Фарадея принимает вид:
Заметим, что это справедливо только в случае отсутствия безвихревого поля, то
есть тогда, когда электрическое поле порождается полностью только изменением магнитного,
то есть электромагнитной индукцией.
В общем случае, при учѐте и безвихревого (например, электростатического) поля
имеем:
Историческая справка
•
•
В 1820 г. Ганс Христиан Эрстед показал, что протекающий по цепи электрический ток вызывает
отклонение магнитной стрелки.
Установка, на которой Фарадей сделал своѐ открытие (29 августа 1831 г.), заключалась в том, что
Фарадей изготовил кольцо из мягкого железа примерно 2 см шириной и 15 см диаметром и намотал
много витков медной проволоки на каждой половине кольца. Цепь одной обмотки замыкала
проволока, в еѐ витках находилась магнитная стрелка, удаленная настолько, чтобы не сказывалось
действие магнетизма, созданного в кольце. Через вторую обмотку пропускался ток от батареи
гальванических элементов. Когда ток прерывался М. Фарадей установил, что «превращать магнетизм
в электричество» можно и с помощью обыкновенного магнита.
Примечания:
•
Если, магнитное поле постоянно, а магнитный поток изменяется вследствие движения границ контура
(например, при увеличении его площади), то возникающая ЭДС порождается силами, удерживающими
заряды на контуре (в проводнике) и силой Лоренца, порождаемой прямым действием магнитного поля на
движущиеся (с контуром) заряды. При этом равенство
левой части теперь не сводится к
продолжает соблюдаться, но ЭДС в
(которое в данном частном примере вообще равно нулю). В
общем случае (когда и магнитное поле меняется со временем, и контур движется или меняет форму)
последняя формула верна так же, но ЭДС в левой части в таком случае есть сумма обоих слагаемых,
упомянутых выше (то есть порождается частично вихревым электрическим полем, а частично силой
Лоренца и силой реакции движущегося проводника).
•
Некоторые авторы, например, М. Лившиц отрицают корректность применения термина закон Фарадея
или закон электромагнитной индукции и т.п. к формуле
в случае подвижного контура
(оставляя для обозначения этого случая или его объединения со случаем изменения магнитного поля,
например, термин правило потока). В таком понимании закон Фарадея — это закон, касающийся лишь
циркуляции электрического поля (но не ЭДС, создаваемой с участием силы Лоренца), и в этом понимании
понятие закон Фарадея в точности совпадает с содержанием соответствующего уравнения Максвелла.
•
Однако возможность (пусть с некоторыми оговорками, уточняющими область применимости)
совпадающей формулировки «правила потока» с законом электромагнитной индукции нельзя назвать чисто
случайной. Дело в том, что, по крайней мере для определенных ситуаций, это совпадение оказывается
очевидным проявлением принципа относительности
Максвелловская трактовка явления электромагнитной индукции
Экспериментально известные сведения:
1. При движении проводника в постоянном магнитном поле индукционный ток возникает
за счет перераспределения зарядов, что обусловлено силой Лоренца.
2. Если замкнутый, неподвижный проводник находится в переменном магнитном поле,
то в нем также возбуждается индукционный ток (рис. 24.4). Возникает вопрос каков
механизм этого процесса.
Максвелл сформулировал закон электромагнитной индукции следующим образом:
Всякое изменение магнитного поля во времени возбуждает в окружающем пространстве
переменное электрическое поле. Циркуляция вектора напряженности этого поля по любому
неподвижному замкнутому контуру равна ЭДС индукции, то есть определяется выражением:
ii
E(t)
L
l
 i  E l   Edl ;
l
2
1
B(t)
Рис. 24.4
i  

t
;

Edl  

t
(24.4)
Примечание: Так как описывается
одно и тоже явление, в одном и том
же проводнике, находящемся в
одном и том же поле, следовательно,
речь идет об одной и той же ЭДС
Различия между взглядами Максвелла и Фарадея
Фарадей считал, что явление электромагнитной индукции в заключается в
возбуждении электрического тока, для ее наблюдения необходим замкнутый проводник и
внешнее магнитное поле.
По Максвеллу – сущность электромагнитной индукции заключается в
возбуждении (индуцировании) электрического замкнутого поля, а не тока. То есть
явление электромагнитной индукции можно наблюдать и в отсутствии проводников,
действительно принципиально мало что изменится, если в эксперименте (см. рис.24.3)
исключить проводник. Вихревое магнитное поле также будет индуцировать вихревое
электрическое поле, причем, если в эту область попадут свободные заряды, мы будем
наблюдать соответствующее движение зарядов.
Получим дифференциальную форму закона
электромагнитной индукции. По определению: 
 Edl


B
BdS   
dS ;

t
t
S
S

 BdS
S
С учетом
теоремы Стокса:
B
E   
t
Важные замечания:
1. Электростатическое поле обладает фундаментальным свойством:
2. Электрическое поле, возбужденное переменным вихревым
магнитным полем является вихревым:
3.Результирующая сила Лоренца может быть представлена:
 Edl
 Edl
(24.5)
0
0
FL  e( E  v  B )
Явление самоиндукции. Индуктивность
B(t)
Определение: Явление возникновения ЭДС индукции в
контуре при изменении тока в нем называется самоиндукцией.
S
Заметим, магнитный поток, пронизывающий контур зависит от
формы контура (его размеров, геометрии, рис. 24.5) и величины тока в
нем. Экспериментально установлено, что простейшая зависимость
имеет вид:
(24.6)
i(t)
Рис.24.5
  Li
Вывод: ЭДС самоиндукции
пропорциональна скорости
изменения тока в контуре.
 si  

t
 L
i
(24.7)
t
Индуктивность соленоида
H  ni  i
n0
l
1   0 iS
Если площадь соленоида постоянна и равна S,
то магнитный поток через один виток 
  n0 1   0 iS
n
2
l
0
L  0 S
n20
l
Магнитная проницаемость вещества
B  0 H
(24.8)
Индуктивность контура
зависит от свойств среды

L
L0
(24.9)
n0
l
Л. 25 Энергия магнитного поля
L
Постараемся ответить на вопрос: где сосредоточена энергия
электрического тока?
R
Рассмотрим схему представленную на рис. 25.1. При разомкнутом
ключе К в цепи наблюдается установившийся режим :

За время dt на резисторе R выделится Джоулево тепло:
dAt - работа
i
dQ0  Ri 2 dt   idt  dAt

R
источника
тока
Так как dAt =dQ0 - то для поддержания магнитного поля
постоянным, энергия источника тока не затрачивается
Если предположить что в силу, каких либо причин ток в цепи
увеличивается пропорционально di/dt, то это естественно приведет к
появлению индукционного тока - ii.
Предположим,
Полный ток в цепи:
i   ii  i1
что :
За время dt , в цепи, выделится тепла Джоуля:
 ii  i
 ii 
K
Рис.25.1
 si
R

L di
R dt
dQ ~  (i ') 2 Rdt  R(i   ii ) 2 dt
Разность теплот выделяющихся, в проводнике на резисторе R, в случае постоянного
и переменного токов:
dQ  dQo  dQ ~  Ri 2 dt  r (i   ii ) 2 dt  2 Ri ii dt
С учетом выражения для индукционного тока:
dQ  2 Ri
В то же самое время источник тока совершает
~
работу за то самое время dt:
dA   (i   ii )dt
L di
r dt
dt  2iLdi
Разность работ источника тока для режимов постоянного и переменного токов,
~
очевидно, будет равна:
dA  dA0  dA   idt   (i   ii )dt  Lidi
Разность
dQ  dA  Lidi
Полная работа, требуемая
для установления
некоторого текущего
значения тока в проводнике:
Несложно сделать следующий вывод: для того чтобы
увеличить ток в цепи i  i  di , необходимо источнику
тока совершить работу:
i
W  L  idi 
0
dW  Lidi
L
2
Собственная энергия тока:
i2
L
2
W

i
Примечание: при выключении источника тока, эта энергия
2
(25.1)
выделяется в цепи, либо в виде теплового излучения, либо в
виде излучения индуктивности, где она запасалась в процессе
возрастания тока в цепи.
Вычислим энергию заключенную в единице объема магнитного поля, например,
соленоида:
L   o
N2
l
Si W 
2
1
2
0 H V0 w 
2
W
V0

1
2
0 H W 
2
1
2
0   H 2 dV
V
Явление взаимной индукции
Рассмотрим два контура с током, электрически не связанных
друг с другом. Экспериментально, установлены несложные
закономерности :
d
d
d  21  Mdi1
(25.2)
ЭДС взаимной индукции
складывается из двух
слагаемых:
( dM / dt )i1 -определяет ЭДС
 di  

dM
dt
21
dt
i1 

di1
dt
при изменении тока в контуре,
это свойство используется в
трансформаторах
dt
1
( Mi1 ) 
2

G
di
0
dt
M
Рис.25.2
Вычислим коэффициент взаимной индукции (в качестве
примера – рис. 25.3) для двух коаксиальных соленоидов.
при изменении М то есть
геометрии контуров, это
свойство используется в
генераторах тока.
(di1 / dt ) M -определяет ЭДС
i2
i1
H1  i1
l
i1
  o H1S  oi1
1
12
12  N 2 
1
12
 0
di1
0
dt
N1
N1
l
N1 N 2
l
S
i2
Рис.25.3
M 12  0
Si1
N1 N 2
l
M 12  M 21
S
Рассмотрим простой пример вычисления коэффициента взаимной индукции
для тороидальных однослойных катушек, имеющий важное практическое
применение.
В данном случае понятно, что линии индукции создаваемые одной катушкой,
проходят внутри объема другой. Напряженность поля например первой катушки:
H1  N1
i1
W2
(25.3)
l
Это поле соответственно создает магнитный поток через
один виток соленоида 2 равный:
o N1i1S
 o H1 S 
l
Рис.25.4
12 
Полный поток через все витки второго соленоида:
Коэффициент взаимной индукции равен:
W1
L12 
0 N1 N 2 S
0 N1 N 2 S
i1 ;
l
(25.4)
l
Примечание: Если внутри катушки имеется сердечник из вещества с магнитной
проницаемостью , то магнитный поток увеличится в  - раз, и коэффициент взаимной
индукции также будет в  раз больше.
Трансформатор
Трансформа́тор (от лат. transformo — преобразовывать) — это
статическое электромагнитное устройство, имеющее две или более индуктивно
связанных обмоток на каком-либо магнитопроводе и предназначенное для
преобразования посредством электромагнитной индукции одной или
нескольких систем (напряжений) переменного тока в одну или несколько других
систем (напряжений), без изменения частоты.
Трансформатор
осуществляет
преобразование
напряжения
переменного тока и/или гальваническую развязку в самых различных областях
применения — электроэнергетике, электронике и радиотехнике.
Трансформатор силовой ОСМ 0,16
Конструктивно трансформатор может состоять из одной
(автотрансформатор) или нескольких изолированных проволочных, либо
ленточных обмоток (катушек), охватываемых общим магнитным потоком,
намотанных, как правило, на магнитопровод (сердечник) из ферромагнитного
магнито-мягкого материала.
Тороидальный трансформатор
Для создания трансформаторов необходимо было изучение свойств материалов: неметаллических, металлических и
магнитных, создания их теории.
• Столетов Александр Григорьевич (профессор Московского университета) сделал первые шаги в этом направлении — обнаружил
петлю гистерезиса и доменную структуру ферромагнетика (1880-е).
• В 1831 году английским физиком Майклом Фарадеем было открыто явление электромагнитной индукции, лежащее в основе
действия электрического трансформатора, при проведении им основополагающих исследований в области электричества.
Базовые принципы действия трансформатора
Работа трансформатора основана на двух базовых принципах:
•
•
Изменяющийся во времени электрический ток создаѐт
изменяющееся во времени магнитное поле (электромагнетизм)
Изменение магнитного потока, проходящего через обмотку,
создаѐт ЭДС в этой обмотке (электромагнитная индукция)
Схематическое устройство
трансформатора.
1 — первичная обмотка, 2 —
вторичная
На одну из обмоток, называемую первичной обмоткой, подаѐтся напряжение от
внешнего источника. Протекающий по первичной обмотке переменный ток создаѐт
переменный магнитный поток в магнитопроводе. В результате электромагнитной индукции,
переменный магнитный поток в магнитопроводе создаѐт во всех обмотках, в том числе и в
первичной, ЭДС индукции, пропорциональную первой производной магнитного потока, при
синусоидальном токе сдвинутой на 90° в обратную сторону по отношению к магнитному
потоку.
В некоторых трансформаторах, работающих на высоких или сверхвысоких частотах,
магнитопровод может отсутствовать.
Идеальный трансформатор — трансформатор, у которого отсутствуют потери энергии на
гистерезис и вихревые токи и потоки рассеяния обмоток. В идеальном трансформаторе все силовые линии
проходят через все витки обеих обмоток, и поскольку изменяющееся магнитное поле порождает одну и ту же
ЭДС в каждом витке, суммарная ЭДС, индуцируемая в обмотке, пропорциональна полному числу еѐ витков.
Такой трансформатор всю поступающую энергию из первичной цепи трансформирует в магнитное поле и,
затем, в энергию вторичной цепи.
Л. 26 Магнитное поле в веществе
(Магнитный момент атома)
Lm
С т.з. магнитных свойств, то есть по поведению веществ во внешних
магнитных полях их можно условно разделить на два вида:
слабомагнитные и сильномагнитные.
i
ik
e
t
k
ev
2 r
e
Pm  iSn0  Pm  k r 
2
2
V
Рис. 26.1
v
Lm ( кл )  mvr
r
(26.1)
S
e
Pm
Рассмотрим простейшую классич. кольцевую модель атома водорода
(рис.26.1).
Lm  J  ; J  mr 2 ;  
P
Pm
Lm
k
e
2m0
(26.2)
Заметим, что полученное отношение определяется постоянными величинами Pm/Lm,
следовательно, это const для любого радиуса, или как говорят для любой орбитали.
В соответствии с постулатом Бора механический момент равен:
Определим Pm через Lm с
помощью полученных
выражений:
Pm  k
e
m0
n
(26.4)
Lm  n ;
(26.3)
Вывод: полученное полуклассическое выражение говорит
о том, что моменты (механический и магнитный) атома
оказываются квантовыми величинами.
Pm ~
n
e
m
(1; 2; 3;....)  n  1, 2, 3,....
Выводы:
1. При движении заряженных частиц в стационарных магнитных полях, модуль вектора
скорости остается неизменным, а направление вектора скорости непрерывно
изменяется.
2. Стационарное магнитное поле не совершает работы для перемещения заряженной
частицы, так как модуль скорости ее не изменяется, следовательно, кинетическая
энергия частицы также не изменяется.
Примеры движения заряженных частиц в стационарных
магнитных полях
v-const
Определим траектории движения заряженных частиц в стационарных
магнитных полях разной конфигурации,
Однородное стационарное магнитное поле.
1. Вектор скорости частицы и вектор индукции магнитного поля
параллельны. В том случае магнитное поле не оказывает никакого
влияния на характер движения частицы,
v ,  B; v  const ; f L  0
(см. рис. 27.3)
2. Вектор скорости заряженной частицы ортогонален вектору индукции
магнитного поля, то есть:
v  B; v  const ;
f L  qvB
B
v-const
Рис.27.3
В этом случае сила Лоренца является и центростремительной силой, следовательно,
траектория движения частицы представляет собой окружность (см. рис. 23.4)

2
fL
mv
3. Если векторы скорости частицы и внешнего,
V
qvB

;
однородного магнитного поля ориентированы
R
произвольно, но модуль скорости является
mv
постоянной величиной, то траектория частицы
R
R
;
представляет собой пространственную
eB
(цилиндрическую) спираль (рис.27.5). частица движется по окружности,
V
Vn
B
v  vn  v
радиус которой равен:
h  v T ; T
fL
V
Рис.27.5
R
mv
eB
sin  ;
2 R
v
Рис. 27.4
;
h  2 Rctg ;
h  2
mv
eB
cos  ;
Рис.27.6
4. При движении заряженных частиц в неоднородных стационарных полях,
в зависимости от конфигурации поля радиус спирали изменяется, уменьшаясь
в сторону большего градиента поля, в этом же направлении уменьшается и шаг спирали
m
dv
dt
 eE  ev  B :
- векторное уравнение можно представить в виде трех
скалярных, каждое из которых, описывает движение частицы,
вдоль какой либо координаты
Рассмотрим движение заряженных частиц в однородном электрическом поле
Уравнения движения принимают вид:
Y
dvx
Угол отклонения 
нетрудно получить:
vx 
dx
dt
 v0  const ; v y 
C  0; v y 
dy
dt

e
m
E
l
v0
 0,
dt
e
m
Et  C ; t 
; tg  
dy
dx

dv y
dt

e
m
E

V0
e
l
; t  0; v y  0;
v0
e lE
2
0
mv
X
l
Рис. 27.7
;
Примечание: угол отклонения существенно зависит от удельного заряда частицы e/m
U
Катод
Электромагнит
Ускор.
электроды
Пример применения магнитных полей для определения
масс ионов в масс – спектрографах (см. рис. 27.8)
1
2
Экран
Рис.27.8
mv  qU ;
2
mv 2
r
 qnB; m 
2qU
v
2
;r 
m v
q B
Примечание: Характерные особенности поведения
заряженных частиц в электромагнитных полях
используют в различных ускорителях элементарных
частиц: циклотронах, бетатронах, микротронах и т. д
;
Эффект Холла
Эффект Холла заключается в том, что при
прохождении тока, например через плоский
проводник помещенный во внешнее
магнитное поле таким образом, что линии
a
индукции оказываются ортогональны
плоскости тока, в направлении
перпендикулярном току, возникает
холловская разность потенциалов (см.
рис.27.9).
f   f E ; ev  B 
В установившемся режиме: L
+
fL
nei
;
 H  iRH
B
;
a
 H  RH jBb;

Рис. 27.9
eE ;
Введем обозначения:
RH 
b
c
E  v  B; E  vB
1

v
B
Выводы:
1. ЭДС Холла прямо
пропорциональна току в
проводнике и индукции внешнего
магнитного поля.
2. Направление разности
потенциалов определяется знаком
основных носителей тока, что
важно для полупроводниковых
датчиков Холла.
Определим скорость
упорядоченного движения
носителей тока
E   ;   Eb  vBb;
j
i
 nev; v 
ab
 
i
neab
i
neab
Bb;
;
Примечания:
1. В металлах скорость упорядоченного движения носителей тока , следовательно,
сила Лоренца действующая на них мала, поэтому при i=1A, B=1Tl ЭДС Холла .
2. В полупроводниках Сила Лоренца значительно больше, так как подвижность
носителей тока в них на несколько порядков выше. Но с другой стороны в
полупроводниках происходят непрерывные рекомбинации электронов и дырок, что
снижает величину ЭДС Холла. Поэтому для датчиков Холла выбирают
полупроводники с большой разницей в подвижности электронов и дырок ( обычно из
третьей и пятой групп таблицы Менделеева ). Стандартные датчики Холла при токе в
0,1А, В=1Тл, способны создать разность потенциалов .
3. Датчики Холла применяются для: определения характера проводимости
полупроводника, для исследования магнитных полей, в вычислительной технике для
перемножения сигналов, как датчики оборотов механических устройств, для развязки
электрических цепей.
Магнитное поле создаваемое зарядом, движущимся с постоянной скоростью
Рассчитаем поле заряда двигающегося с постоянной скоростью
B
v<<c. Рассмотрим цилиндрический объем, в котором двигаются
y
заряды в направлении параллельном его оси (см. рис. 27.10)
z
q<0
dl
idl
v
x
r


v  idl
Рис. 27.10
0 idl  r
dB 
;
3
4
r
В соответствии с принципом суперпозиции:
B  n0 B0
Исходя из известных соотношений:
n  n0 dV  n0 Sdl ; i  j S  qnvS ; idl  qnv Sdl ;
0 v  r
0 v
B0 
q 3 ; B0 
q 2 sin(v ^ r );
4
r
4 r
Подставляя выражение idl в
закон Био – Саварро - Лапласа
Вывод: Магнитное поле созданное движущимся с постоянной скоростью зарядом в
данной точке пространства прямо пропорционально величине этого заряда, его скорости
и синусу угла между вектором скорости и радиусом вектором данной точки (или
вектором, соединяющим заряд с данной точкой) и обратно пропорционально квадрату
расстояния от точки нахождения заряда до данной точки пространства.
K’
Полагая, что заряд начинает движение из состояние покоя:
q>0
E
r
v
K
B
Рис.27.11
R0
Ek
qr
r
3
; k
1
4 0
Анализ последнего
выражения показывает,
что векторы B, v, Eвзаимно ортогональны
;
B0   0 0 v  E
- выражение справедливо для
начального момента движение
электрического поля связанного
с зарядом в вакууме
Выводы:
1. Магнитное поле возникает в результате движения электрического поля, или
другими словами можно сказать: Если электрическое поле в силу, каких либо причин
начинает изменяться во времени, в этой же области пространства возбуждается
магнитное поле, также изменяющееся во времени.
2. Тот факт, что от проводника с постоянным током, в некоторой точке
пространства регистрируется постоянное магнитное поле, объясняется суперпозицией
полей от большого количества зарядов в проводнике, движущихся якобы
упорядоченно, с классической точки зрения.
Л. 27 Движение заряженных частиц в электрических
и магнитных полях
Вычислим силу, действующую на точечный
заряд, движущийся в стационарном магнитном поле.
Предположим, что в пространстве имеется некоторая
совокупность зарядов движущихся в определенном
направлении с постоянными скоростями. Для простоты
полагаем, что рассматриваемые заряды распределены в
цилиндрическом объеме достаточно малого радиуса (см.
рис. 27.1).
Рис. 27.1
Тогда такую систему зарядов можно рассматривать как элемент тока
Предположим, что в рассматриваемой модели величина суммарного
заряда q, концентрация зарядов n0, средняя скорость упорядоченного движения
зарядов <V> , тогда величину тока протекающего в этом цилиндре можно
определить следующим образом:
i  jS  n0  V  qS
(27.1)
Для элемента тока, соответственно:
idl  n0 q  V  Sdl ;
N  n0 dV ;
idl  q  V  N
(27.2)
Проанализируем выражение (27.2), векторы dl и
следующие варианты:
q V 
коллиниарны, но возможны
q  0; dl  V 
q  0; dl  V 
Примечание: Так как векторы q  V  dl при любом знаке заряда q, следовательно,
вектор элемента тока может быть определен в виде:
(27.3)
Создадим в области пространства, где находится наша
модель элемента тока стационарное магнитное поле (см. рис.27.2).
Запишем закон Ампера в виде: dFA  idl  B  Nq   V  B  ;
Следовательно, на один заряд будет действовать сила,
 
называемая силой Лоренца: f L  q(v  B)
(27.4)

В скалярном виде: f L  qvBsin(v B)
(27.5)
С учетом того, что для вакуума


B  0 H
выражение (27.4) можно переписать в виде:
 
f L  0q(v  H )
(27.6)
Примечание: Заметим, что направление вектора силы Лоренца определяется и
знаком заряда частицы.
Анализ выражения (27.4)
v  0, f L  0,
v  B; f L  0,
v  B; f L  qvB
Вывод: Если точечный заряд движется в магнитном поле с постоянной скоростью,
то в общем случае на него действует сила равная произведению заряда на
векторное произведение вектора скорости его движения на вектор индукции
магнитного поля, называемая силой Лоренца для магнитного поля.
Примечание: Если точечный заряд движется одновременно в стационарных
электростатическом и магнитном полях то на него действует сила Лоренца,
определяемая суммарным воздействием со стороны электростатического и

  
магнитного полей, то есть:
(27.7)
f L  q ( E  v  B)
Вычислим ускорение, приобретаемое частицей под действием силы
Лоренца, если масса частицы m, то с учетом второго закона Ньютона можно записать:

 fL q  
a
 v  B;
m m
(27.8)
Примечание: Последнее выражение показывает, что если частица движется только в
магнитном поле, то вектор ускорения ортогонален вектору скорости, следовательно,
ускорение приобретаемое частицей под действием силы Лоренца является
нормальным ускорением, тангенциальная составляющая ускорения в этом случае
отсутствует.
Таким образом, для стационарного магнитного поля выражение (27.8)
целесообразно переписать в виде:

q  
an  v  B;
(27.9)
m
Выводы:
1. При движении заряженных частиц в стационарных магнитных полях, модуль
вектора скорости остается неизменным, а направление вектора скорости непрерывно
изменяется.
2. Стационарное магнитное поле не совершает работы для перемещения заряженной
частицы, так как модуль скорости ее не изменяется, следовательно, кинетическая
энергия частицы также не изменяется.
Примеры движения заряженных частиц в стационарных магнитных полях
Определим траектории движения заряженных частиц в
стационарных магнитных полях разной конфигурации, при
различных ориентациях вектора скорости частиц и вектора
индукции магнитного поля.
• Однородное стационарное магнитное поле.
1. Вектор скорости частицы и вектор индукции магнитного
поля параллельны. В том случае согласно формуле
(27.5) магнитное поле не оказывает никакого влияния на
характер движения частицы, действительно:


v ,  B; v  const; f L  0
2. Вектор скорости заряженной частицы ортогонален
вектору индукции магнитного поля, то есть:
 
v B; v  const;
f L  qvB
В этом случае сила Лоренца является и центростремительной силой (см.
(27.9)), следовательно, траектория движения частицы представляет собой окружность
(см. рис. 23.4). Это свойство используют в ускорителях элементарных частиц,
например, в циклотронах.
Для этого вида траектории нетрудно вычислить радиус окружности из простого
соотношения:
mv 2
qvB 
;
R
mv
R
;
eB
(27.10)
рис.27.5
Если векторы скорости частицы и внешнего, однородного магнитного поля
ориентированы произвольно, но модуль скорости является постоянной величиной, то
траектория частицы представляет собой пространственную (цилиндрическую)
спираль (рис.27.5).
Как и в предыдущем случае несложно вычислить параметры траектории.
Разложим вектор скорости, с которой частица влетела в поле на две составляющие
 

нормальную к вектору индукции и тангенциальную то есть: v  vn  v


Если обозначить угол между векторами:   v  v 
то
vn  v sin 
Таким образом за счет составляющей vn  v sin  , частица движется по окружности,
радиус которой равен:
R
mv
sin  ;
eB
(27.11)
Под действием тангенциальной составляющей частица продолжает
двигаться в направлении поля, шаг спирали h нетрудно получить из следующих
элементарных расчетов:
2R
;
h  v T ; T
v
(27.12)
h  2Rctg  ;
h  2
mv
cos  ;
eB
Неоднородное стационарное поле
При движении заряженных частиц в неоднородных стационарных полях, в
зависимости от конфигурации поля радиус спирали изменяется, уменьшаясь в
сторону большего градиента поля, в этом же направлении уменьшается и шаг спирали
(рис.27.6). Это свойство применяют в устройствах магнитной фокусировки
электронных пучков в ускорителях заряженных частиц, электроннолучевых трубках,
кинескопах.
Вывод: Если заряженная частица, движется одновременно в электрическом и
магнитном полях, то ее движение с точки зрения второго закона Ньютона можно
описать в виде:

  
dv
m
 eE  ev  B :
dt
(27.13)
Примечание: Данное векторное уравнение можно представить в виде трех скалярных,
каждое из которых, описывает движение частицы, вдоль какой либо координаты.
Движение заряженных частиц в однородном электрическом поле
Предположим, что в плоскости ХОУ действует
только однородное электрическое поле (см. рис.27.7). В
рассматриваемой геометрии уравнения движения принимают
вид:
dv y e
dvx
 0,
 E
dt
dt
m
(27.14)
Так как движение происходит под действием постоянной силы, в
однородном поле, то траектория будет параболой (см. камень брошенный под углом к
горизонту). Угол отклонения  нетрудно получить, выполнив следующие операции:
dx
 v0  const ;
dt
e
l
v y  Et  C ; t  :
m
v0
vx 
t  0; v y  0; C  0 :
vy 
dy e
l
 E ;
dt m v0
tg  
dy e lE

;
dx m v02
(27.15)
Примечание: угол отклонения существенно зависит от удельного заряда частицы
.
e
m
Рассмотрим пример применения магнитных
полей для определения масс ионов в масс –
спектрографах (см. рис. 27.8) Получим некоторые
соотношения, например, вычислим массы ионов,
радиус кривизны, проходящих через масс –
спектрограф. Воспользуемся для этого законом
сохранения энергии и вторым законом Ньютона, то
есть:
1 2
mv 2
mv  qU ;
 qnB;
2
r
2qU
mv
m 2 ; r
;
v
q B
(27.16)
Примечание: Характерные особенности поведения заряженных частиц в
электромагнитных полях используют в различных ускорителях элементарных частиц:
циклотронах, бетатронах, микротронах и т.д., а также в мощных генераторных лампах
типа магнетронов, в приемных и передающих телевизионных трубках и пр.
Эффект Холла
Эффект Холла заключается в том,
что при прохождении тока, например через
плоский
проводник
помещенный
во
внешнее магнитное поле таким образом, что
линии
индукции
оказываются
ортогональны
плоскости
тока,
в
направлении
перпендикулярном
току,
возникает холловская разность потенциалов
(см. рис.27.9).
Предположим, что в прямоугольной металлической пластине протекает ток i , сама
пластина помещена в магнитное поле, так как показано на рис.27.9. В дальнейших рассуждениях
будем исходить из классических представлений электродинамики. Со стороны магнитного поля
на носители тока в пластине – электроны действует сила Лоренца. В результате этого,
происходит перераспределение заряда в объеме пластины, таким образом, что ближайшая к
наблюдателю грань, приобретает отрицательный заряд, а противоположная грань положительный. Это приводит к созданию внутри пластины индуцированного электрического
поля, вектор напряженности которого ортогонален вектору индукции внешнего магнитного поля.
В установившемся режиме, на носители тока действуют равные по величине, но противоположно
направленные силы: сила Лоренца и сила, действующая со стороны индуцированного
электрического поля то есть:

  

f L   f E ; ev  B  eE;

(27.17)
 
E  v  B; E  vB
Воспользовавшись взаимосвязью между потенциалом и напряженностью поля а также
определением плотности тока определим скорость упорядоченного движения носителей тока:

E   ;   Eb  vBb;
i
i
;
j
 nev; v 
ab
neab
i
 
Bb;
neab
(27.18)
Введем обозначения:
RH 
1
;
nei
B
 H  iR H ;  H  RH jBb ;
a
(27.19)
Выводы:
• ЭДС Холла прямо пропорциональна току в проводнике и индукции внешнего
магнитного поля.
• Направление разности потенциалов определяется знаком основных носителей
тока, что весьма существенно для полупроводниковых датчиков Холла.
Примечания:
• В металлах скорость упорядоченного движения носителей тока , следовательно,
сила Лоренца действующая на них мала, поэтому при i=1A, ЭДС Холла
6
. H  110 B
• В полупроводниках Сила Лоренца значительно больше, так как подвижность
носителей тока в них на несколько порядков выше. Но с другой стороны в
полупроводниках происходят непрерывные рекомбинации электронов и дырок,
что снижает величину ЭДС Холла. Поэтому для датчиков Холла выбирают
полупроводники с большой разницей в подвижности электронов и дырок ( обычно
из третьей и пятой групп таблицы Менделеева АIIIВV). Стандартные датчики
Холла при токе в 0,1А, В=1Тл, способны создать разность потенциалов  H  0,1B .
• Датчики Холла применяются для: определения характера проводимости
полупроводника, для исследования магнитных полей, в вычислительной технике
для перемножения сигналов, как датчики оборотов механических устройств, для
развязки электрических цепей.
Магнитное поле создаваемое зарядом, движущимся с постоянной скоростью
Ранее было показано, что магнитное поле создается элементом тока в
соответствии с законом Био-Савара-Лапласа, другими словами совокупностью
зарядов двигающихся в не-котором направлении с упорядоченной скоростью
Рассчитаем поле электрического заряда двигающегося с
постоянной скоростью v  c . Для этого рассмотрим цилиндрический
объем dV  Sdl
, в котором двигаются заряды в направлении
параллельном его оси (см. рис. 27.10). Если этот объем
рассматривать как элемент тока, то можно очевидно записать закон
Био-Савара-Лапласа:
 
  0 idl  r
dB 
;
3
4 r
(27.20)
Если принять, что концентрация носителей тока в рассматриваемом объеме


равна n0 , в соответствии с принципом суперпозиции можно записать B  n0 B0 , где - B0
индукция магнитного поля создаваемая одним зарядом. Запишем ряд известных
соотношений:
n  n0 dV  n0 Sdl ;
i  jS  qnvS ;


id l  qnv Sdl ;
Подставляя (27.21) в (27.20) получим:
(27.21)
 

0 v  r
B0 
q 3 ;
4
r

 
v
B0  0 q 2 sin(v ^ r );
4 r
(27.22)
Вывод: Магнитное поле созданное движущимся с постоянной скоростью зарядом в
данной точке пространства прямо пропорционально величине этого заряда, его
скорости и синусу угла между вектором скорости и радиусом вектором данной
и обратно
точки (или вектором, соединяющим заряд с данной точкой)
пропорционально квадрату расстояния от точки нахождения заряда до данной точки
пространства.
Преобразуем полученное выражение, для
В0, в предположении, что
заряд только начинает двигаться в вакууме. Заметим, что неподвижный заряд
создает в окружающем пространстве электростатическое кулоновское поле:


qr
1
E  k 3 ;k 
;
4 0
r
(22.23)
Перепишем (22.22) с учетом (22.23)

 
B0   0  0 v  E
(22.24)
Примечание: Заметим, что последнее выражение справедливо для начального
момента движение электрического поля связанного с зарядом в вакууме.
Несложный анализ последнего выражения показывает, что векторы - взаимно


ортогональны B0 vE .
NB Отметим еще одну важную мысль: Если в системе отсчета
связанной с движущимся с постоянной скоростью зарядом
фиксируется только электростатическое поле. То в системе
отчета, относительно которой определяется скорость заряда, а
она условно неподвижна,
наблюдается движущееся
электрическое поле и магнитное поле, связанное с зарядом
(рис.27.11). Заметим, что даже, при постоянной скорости
движения заряда, конфигурация электрического поля заряда,
относительно
условно
неподвижной
системы
отсчета,
изменяется.
По сравнению с радиально симметричной
конфигурацией - кулоновской, когда заряд неподвижен
Выводы:
• Магнитное поле возникает в результате движения электрического поля, или
другими словами можно сказать: Если электрическое поле в силу, каких либо
причин начинает изменяться во времени, в этой же области пространства
возбуждается магнитное поле, также изменяющееся во времени.
• Тот факт, что от проводника с постоянным током, в некоторой точке
пространства регистрируется постоянное магнитное поле, объясняется
суперпозицией полей от большого количества зарядов в проводнике, движущихся
якобы упорядоченно, с классической точки зрения.
Л. 28 Электромагнитное поле
Математическая справка:
Операторы электродинамики и действия над ними.
Основными операторами в электродинамике являются операторы: градиент,
дивергенция, ротор.
Если оператором градиента



воздействовать на скалярную
Градиент
i
 j
k
;
функцию, то результат такого
x
y
z
воздействия является вектором:
Дивергенция
  i
Если оператором градиента (его
называют оператором
Гамильтона) подействовать на
векторную функцию то результат
оказывается скалярной величиной
a  i
a x
x
 j
a y
y
k
a z
z
 x
x
 j
 y
y
k
 z
z
Ротор
;
 , a  
i
j
k



x
y
z
ax
ay
az
;
Некоторые свойства операторов
1. Градиент произведения скалярных функций:
( )    
2. Градиент скалярной функции, помноженной на векторную функцию
( a   )  a  a
3. Действие «двойного» оператора градиента на скалярную функцию,
порядок вычисления справа на лево, то есть сначала на функцию действует
ближайший к ней оператор:
( )  ()  
4. Ротор градиента
[,  ]  [, ]  0
5. Дивергенция ротора
6. Ротор ротора
[a ]  0
I(t)
[[a ]]  (a )  a
B(t)
Ток смещения
Рассмотрим опыт заряд, разряд конденсатора или
прохождение переменного тока через конденсатор (см.
рис.28.1). Максвелл предположил, что между обкладками
конденсатора возбуждается такое же магнитное поле, как и
вокруг подводящих проводов, следовательно, между
обкладками существует некий фиктивный ток, названный
им током смещения
U(t)
E(t)
G
Рис.28.1
Закон сохранения заряда во всей цепи и в зоне между обкладками
конденсатора должен выполнятся:
ρ-плотность заряда, функция в общем

q случае меняющаяся во времени ив
 j  0;  ( r , t ) 
t
V
пространстве, j- плотность тока.
1. «Движение» электрического заряда является током.
2. Самопроизвольно такой заряд не исчезает и не появляется.
3. Изменение заряда, или его плотности во времени и пространстве определяется
уравнением неразрывности
Магнитное поле для стационарных токов определяется выражением:
Рассмотрим случай нестационарного тока



j  
; j  0
[H ]  j
 H  0
Несложно получить:
t
Анализ записанных соотношений позволяет утверждать, что получен
противоречивый результат: С одной стороны дивергенция плотности тока рана
нулю с другой нет.
В действительности противоречия нет, т.к. формула [H ]  j
в состоянии
описать только стационарные токи.
Максвелл высказал следующие предположения:
1. При заряде конденсатора в любой момент времени изменяющееся электрическое
поле между обкладками, создает такое магнитное поле, как если бы между ними
существовал ток проводимости равный току проводимости в подводящих проводах.
2. Этот фиктивный ток получил название тока смещения.
Выразим параметры тока смещения через характеристики электрического поля.
 DdS  4 q;
D   0 E
S
DS   S ;
q  SD i (t ) 
 D
Вывод: Изменение электрического поля конденсатора, порождает
такое же магнитное поле, как и ток, плотность которого равна:
dq
dt
js 
 S
D
t
dD
dt
;
Важное примечание: суммарное магнитное поле вокруг проводника с переменным
током определяется суперпозицией магнитных полей порожденных током
проводимости и тока смещения.
j  j 
D
t
;
Свойства полного тока через проводник зависят от электропроводности среды, частоты
переменного тока проводимости. Вклад каждой компоненты оказывается различным.
Например, для металлов ток проводимости значительно превышает ток смещения, для
полупроводников и диэлектриков ток смещения может превышать ток проводимости.
Снимает ли введенное
D
D
 0;
H  j 
;  H  j  
понятие тока смещения
t
t
противоречие?


D
t

D  

t
(D );


t
 j  0;


Это уравнение соответствует
исходному, следовательно, введение
понятия тока смещения устраняет
указанное противоречие
Уравнения Максвелла
(Для электродинамики покоящихся сред)
Для нестационарного магнитного поля порождаемого нестационарным током
справедливо выражение
уравнений Максвелла.
H  
j 
D
t
; , которое является одним из

Так как дивергенция полного тока, согласно  H
  j  
D
t
 0;
равна нулю, то этот ток является соленоидальным, таким же будет и магнитное поле
порождаемое им.
Основные положения теории
электромагнитного поля Максвелла:
1. Всякое переменное магнитное поле порождает
вихревое электрическое воле.
2. Всякое переменное электрическое поле
порождает вихревое магнитное поле.
Электромагнитное поле может существовать
самостоятельно, в вакууме, без носителей заряда,
другими словами оно проявляется в этом случае
как электромагнитная волна.
а) Среда вакуум, источники
зарядов и токов отсутствуют:
[ E ]  
[ H ] 
B
t
D
t
; D  0;
; B  0;
B
Если мы имеем дело со средой, в которой
присутствуют заряды и токи, то уравнения
будут иметь вид:
[ E ]  
Prim. Уравнения описывают
электромагнитное поле, связанное с зарядами.
[ H ]  j 
; D   ;
t
D
t
; B  0
Интегральная форма уравнений Максвелла

Edl  
t
1. Теория Максвелла позволила полностью
BdS
закончить КТЭД, развиваемую
l
s
Эрстедом, Фарадеем, Максвеллом.
2. Уравнения Максвелла содержат в себе

Hdl 
jdS 
BdS
все основные законы электрического и
 t S
магнитного полей и являются общими
L
S
уравнениями электромагнитного поля в
BdS  0
покоящихся средах.
S
3. Теория Максвелла объяснила не только
известные экспериментальные факты,
DdS 
p (V ) dV
V
но и позволила предсказать новые
S
важные явления: ток смещения,
существование электромагнитных волн,
D   0 E ; B  0 H ; j   E
способность их распространяться с
конечной скоростью.








Исторические сведения
•
•
•
•
•
•
•
•
Уравнения, сформулированные Джеймсом Клерком Максвеллом, возникли на основе ряда важных
экспериментальных открытий, которые были сделаны в начале XIX века.
В 1820 году Ганс Христиан Эрстед обнаружил, что пропускаемый через провод гальванический ток
заставляет отклоняться магнитную стрелку компаса.
В том же 1820 году Био и Савар экспериментально нашли выражение для порождаемой током магнитной
индукции (закон Био — Савара), и Андре Мари Ампер обнаружил, что взаимодействие на расстоянии
возникает также между двумя проводниками, по которым пропускается ток. Ампер ввѐл термин
«электродинамический» и выдвинул гипотезу, что природный магнетизм связан с существованием в
магните круговых токов.
После длительных экспериментов, в 1831 году, Фарадей открыл, что перемещающийся возле проводника
магнит порождает в проводнике электрический ток. Это явление было названо электромагнитной
индукцией. Фарадей ввѐл понятие «поля сил» — некоторой среды, находящейся между зарядами и
токами. Его рассуждения носили качественный характер, однако они оказали огромное влияние на
исследования Максвелла.
Анализируя известные эксперименты, Максвелл получил систему уравнений для электрического и
магнитного полей. В 1855 году в своей самой первой статье «О фарадеевых силовых линиях» («On
Faraday’s Lines of Force») он впервые записал в дифференциальной форме систему уравнений
электродинамики, но не вводя ещѐ ток смещения.
Впервые ток смещения был введѐн Максвеллом в работе «О физических силовых линиях» («On Physical
Lines of Force»), состоящей из четырѐх частей и опубликованной в 1861—1862 годах.
Часть физиков выступила против теории Максвелла (особенно много возражений вызвала концепция тока
смещения). Гельмгольц предложил свою теорию, компромиссную по отношению к моделям Вебера и
Максвелла, и поручил своему ученику Генриху Герцу провести еѐ экспериментальную проверку. Однако
опыты Герца однозначно подтвердили правоту Максвелла.
Современная форма уравнений Максвелла появилась около 1884 года после работ Хевисайда, Герца и
Гиббса. Современная физика поддерживает Максвелла, но не разделяет негативное отношение его ранних
последователей к потенциалам. Электромагнитный потенциал играет важную роль в квантовой физике и
проявляется как физически измеряемая величина в некоторых экспериментах, например, в эффекте
Ааронова — Бома
Важные замечания:
•
•
•
•
•
•
•
Запись большинства уравнений в физике не зависит от выбора системы единиц. Однако в
электродинамике это не так.
В зависимости от выбора системы единиц в уравнениях Максвелла возникают различные
коэффициенты (константы).
Международная система единиц (СИ) является стандартом в технике и преподавании,
однако споры среди физиков о еѐ достоинствах и недостатках по сравнению с
конкурирующей симметричной гауссовой системой единиц (СГС) не утихают.
Преимущество системы СГС в электродинамике состоит в том, что все поля в ней имеют
одну размерность, а уравнения, по мнению многих учѐных, записываются проще и
естественней. Поэтому СГС продолжает применяться в научных публикациях по
электродинамике и в преподавании теоретической физики.
Однако для практических применений вводимые в СГС единицы измерений, многие из
которых неименованы и неоднозначны, а часто неудобны.
Система СИ стандартизована и лучше самосогласованна, на этой системе построена вся
современная метрология. Кроме того, система СИ обычно используется в курсах общей
физики.
Иногда (например, в «Фейнмановских лекциях по физике», а также в современной
квантовой теории поля) применяется система единиц, в которой скорость света,
электрическая и магнитная постоянная принимаются за единицу (c = 0 =  = 1). В такой
системе уравнения Максвелла записываются вообще без коэффициентов, все поля имеют
единую размерность, а все потенциалы — свою единую. Такая система особенно удобна в
ковариантной четырѐхмерной формулировке законов электродинамики через 4-потенциал
и 4-тензор электромагнитного поля.
Дифференциальная форма
Название
СГС
СИ
Примерное словесное
выражение
Закон Гаусса
Электрический заряд
является источником
электрической индукции.
Закон Гаусса для
магнитного поля
Не существует
магнитных зарядов.
Закон индукции Фарадея
Изменение магнитной
индукции порождает
вихревое электрическое
поле]
Теорема о циркуляции
магнитного поля
Электрический ток и
изменение электрической
индукции порождают
вихревое магнитное поле
Интегральная форма
Название
Закон Гаусса
Закон Гаусса для
магнитного поля
СГС
СИ
Примерное словесное выражение
Поток электрической индукции через
замкнутую поверхность S пропорционален
величине свободного заряда, находящегося
в объѐме V, который окружает поверхность
S.
Поток магнитной индукции через
замкнутую поверхность равен нулю
(магнитные заряды не существуют).
Закон индукции
Фарадея
Изменение потока магнитной индукции,
проходящего через незамкнутую
поверхность S, взятое с обратным знаком,
пропорционально циркуляции
электрического поля на замкнутом контуре
l, который является границей поверхности
S.
Теорема о
циркуляции
магнитного поля
Полный электрический ток свободных
зарядов и изменение потока электрической
индукции через незамкнутую поверхность
S, пропорциональны циркуляции
магнитного поля на замкнутом контуре l,
который является границей поверхности S.
Важные замечания:
• При интегрировании по замкнутой поверхности вектор элемента площади ds
направлен из объѐма наружу. Ориентация ds при интегрировании по незамкнутой
поверхности определяется направлением правого винта, «вкручивающегося» при
повороте в направлении обхода контурного интеграла по dl.
• Словесное описание законов Максвелла, например, закона Фарадея, несѐт
отпечаток традиции, поскольку вначале при контролируемом изменении
магнитного потока регистрировалось возникновение электрического поля
(точнее электродвижущей силы). В общем случае в уравнениях Максвелла (как в
дифференциальной, так и в интегральной форме) векторные функции E,B,D,H
являются равноправными неизвестными величинами, определяемыми в
результате решения уравнений.
• При решении уравнений Максвелла распределения зарядов , и токов j часто
считаются заданными. С учѐтом граничных условий и материальных уравнений
это позволяет определить напряжѐнность электрического поля E и магнитную
индукцию B, которые, в свою очередь, определяют силу, действующую на
пробный заряд q, двигающийся со скоростью u. Эта сила называется силой
Лоренца:
• В более сложных ситуациях в классической и квантовой физике в случае, когда
под действием электромагнитных полей свободные заряды перемещаются и
изменяют значения полей, необходимо решение самосогласованной системы из
уравнений Максвелла и уравнений движения, включающих силы Лоренца.
Л. 29 Колебания и волны
Механические колебания
Введем несколько понятий:
1. Колебательным движением называются движения, обладающие той или иной
степенью повторяемости во времени.
2. Колебательные движения называются периодическими, если значения физических
величин, изменяющихся в колебательном процессе, повторяются через равные
промежутки времени.
3. Периодом колебаний Т называется наименьший промежуток времени, по
истечению которого повторяются значения всех физических величин.
4. Частотой периодических колебаний - , называется число полных колебаний,
совершаемых системой в единицу времени.
5. Простейшим видом колебательных процессов являются гармонические
колебательные процессы, то есть процессы в которых какой либо параметр
системы изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса. В этом
случае:
f (t )  A sin(t   ) , здесь: A0 ,  ,  0 - постоянные величины,  – начальная
0
фаза, определяет момент отсчета.
0
0
Prim. Аргумент периодической функции (t0)=(t) называется фазой
колебания.
Пружинный маятник
Под пружинным маятником - понимают материальную точку, закрепленную
на одном из концов абсолютно упругой пружины и совершающей малые колебания в
вертикальном направлении в однородном поле тяготения.
В исходном положении:
d 2x
mg   Fу 0
dt 2
ma  kx(t )
 
x
X0
Fу0
X(t)
0
Решение: =>
2
0
 02 x  0;
(29.1)
k
m
;
x(t )  x0 cos(0t   )
(29.2)
Fу
-X0
mg
dx
dt
Рис. 29.1
2
 0 x0 sin(0t   )  v (t );
d x
dt 2
(29.3)
 02 x0 cos(0t   )  a (t );
02 x0 cos(0t   )  02 x0 cos(0t   )  0
Примечания:
1. Колебательная система, какой либо параметр которой, изменяется по
гармоническому закону, называется гармоническим осциллятором.
2. Частота, с которой происходят колебания в гармоническом осцилляторе,
называется собственной частотой системы.
3. Полная энергия гармонического осциллятора не изменяется с течением
времени. Полная энергия в нашем примере, очевидно, складывается из
кинетической и потенциальной энергий. Заметим, что и кинетическая и полная
энергии являются функциями времени.
E
t
T 
0  0.001 20
U
sin( t )
2
sin( t ) 4
T
2
cos( t ) 4
U 
t
4
x(t)
t
m
2
k
2
v (t ) 
2
x 2 (t ) 
x
A  k  xdx 
0
k
2
x
2
k
2
02 x02 sin 2 (0t   );
x02 cos 2 (0t   );
E  U  T;  
2
0
Рис. 29.2
Упругие силы Гука совершают работу:
m
E
2
(29.4)
m
2
 x 
2
0
2
0
k
2
k
m
x02  const ;
Математический маятник
Математический маятник – материальная точка, подвешенная на тонкой
нерастяжимой нити и совершающая малые отклонения от положения равновесия.
При малых углах отклонения   sin   tg , сила
возвращающая маятник в положение равновесия определится как:

F   mg sin    mg
x
k 
l
l
Используя II закон Ньютона:
T  2
2
d x
dt
2
 0 x  0
2
mg
; 0 
2
g
;
l
g
(29.5)
x1 (t )  a1 cos(0 t   01 );
y
0
x2 (t )  a2 cos(0 t   02 );
Re
x
0
a1 sin  01  a2 sin  02
tg 0 
a1 cos  01  a2 cos  02
x(t)=rcos(0t+0)
Рис. 29.4
a
FG
x
x(t )  x0 cos(0t   )
Графическое изображение гармонических колебательных
процессов
Im
FG ’
l
a1  a2  2a1a2 cos(02  01 )
2
2
mg
Рис. 29.3
Частные случаи:
1) 02   01  0;
a  a1  a2
2) 02   01   ;
a  a1  a2
Представления функций описывающих колебательные процессы с
помощью комплексных функций.
(t) изменяется во времени по закону:   t  
i
e  cos   i sin  ;
Тогда координатам х и у действительной и мнимой
осей можно сопоставить гармонические колебания:
i
z  x  iy  re ;
x  r cos  ; y  r sin  ;
x  y ; tg 
r 
2
2
y
x (t )  r cos(t   ); y (t )  r sin(t   )
в комплексной форме:
z (t )  re
i ( t  )
i
 re e
x
Представим себе пружинный маятник, находящийся в
газовой среде. f   v (t )
II закон Ньютона
r
d x
dt
2
 
 2

2m
dx
dt
 0 x  0;
; 0 
Решение:
2
k
Fу0
m
;
x (t )  x0 e
 t
0  
2
2
A(t )  x0 e
2
X(t)
0
Fу
Здесь  - коэффициент затухания

(29.6)
X0
ma  kx   v(t )
2
€ it ;
 re
x
Затухающие колебания
2
it
-X0
mg
 t
Рис. 29.6
2
cos(t  0 ) T     2   2 ;
(29.7)
fr
Графическая зависимость
показана на рис. 29.7
x(t)
3.32
 0.03  t
Ведем ряд понятий:
e
1. Логарифмический декремент – определяется
натуральным логарифмом отношения амплитуд
e
в моменты времени
  ln
t
и
A(t )
A(t  T )
 cos( t )
 0.03  t
t+T
 T
(29.8)
 2.821
 40
Рис. 29.7
t
40
Рис. 29.7
2. Время релаксации - время в течении которого, амплитуда уменьшается в «е» раз:  
Примечание: Полная исходная механическая энергия системы в данном случае
рассеивается в среде с течением времени:
W (t ) 
1
2
2
mA0 e
 t
(0   cos(2t  2 0 )   sin(2t  2 0 ))
2
2
1

(29.9)
Экстремальная точка потерь энергии с течением времени:
dW
dx
m dx 2 Функция Ф является
  m( )  2;  
( )
диссипативной функцией
dt
dt
2 dt
2
По характеру взаимодействия с окружающей средой колебательные процессы
принято подразделять:
•
Вынужденные — колебания, протекающие в системе под влиянием внешнего
периодического воздействия. Примеры: листья на деревьях, поднятие и опускание руки.
При вынужденных колебаниях может возникнуть явление резонанса: резкое возрастание
амплитуды колебаний при совпадении собственной частоты осциллятора и частоты
внешнего воздействия.
•
Свободные (или собственные) — это колебания в системе под действием внутренних сил
после того, как система выведена из состояния равновесия (в реальных условиях свободные
колебания всегда затухающие). Простейшими примерами свободных колебаний являются
колебания груза, прикреплѐнного к пружине, или груза, подвешенного на нити.
•
Автоколебания — колебания, при которых система имеет запас потенциальной энергии,
расходующейся на совершение колебаний (пример такой системы — механические часы).
Характерным отличием автоколебаний от вынужденных колебаний является то, что их
амплитуда определяется свойствами самой системы, а не начальными условиями.
•
Параметрические — колебания, возникающие при изменении какого-либо параметра
колебательной системы в результате внешнего воздействия.
•
Случайные — колебания, при которых внешняя или параметрическая нагрузка является
случайным процессом.
Л. 30 Элементы волновой теории
Волны в упругих средах
Введем ряд понятий:
1. Волна – процесс распространения колебаний в пространстве.
2. Продольная волна – волна, в которой частицы среды колеблются в направлениях
совпадающих с направлением распространения волны.
3. Поперечная волна – волна, в которой частицы среды колеблются в направлениях
перпендикулярных направлению распространению волны.
4. Длина волны – расстояние между ближайшими частицами колеблющимися в
одинаковой фазе.
5. Фронт волны – геометрическое место точек, до которых дошли колебания в
данный момент времени.
6. Волновая поверхность – геометрическое место точек колеблющихся в одинаковой
фазе.
Уравнение плоской волны
Плоская волна – волна, обладающая плоским
волновым фронтом.
Уравнение волны – функциональная зависимость  ( x, y , z , t ) , определяющая любую колеблющуюся
точку в любой момент времени.
Пусть в плоскости Z0Y расположена жесткая плоскость
(бесконечная), совершающая гармонические колебания
вдоль оси 0X по закону:  ( x, t )  a cos(t )
Уравнение колебательного процесса для всех точек волнового фронта, координата
которого x=Vt, очевидно будет иметь вид:
x 

 ( x, t )  a cos  (t   )   a cos  (t  ) ;

v 

(30.1)
Это уравнение называют уравнением плоской волны, распространяющейся в упругой
среде, вдоль оси ОХ, так как описывает состояние любой точки волнового фронта
x
 (t )   (t  );
x
- фаза волны
v
Вывод: В данном случае скорость
идеальной плоской волны равна
фазовой скорости. Само понятие
фазовой скорости определяет скорость
перемещения фазы волны в
пространстве.
 (t )  const ;  (t  )  const ;
v
d
 0; dt 
dt
1
dx  0; v 
v
dx
 v ;
dt
Введем понятие - волновое число:
k 
2

k
2 
 


v
;v 

k
;
Перепишем уравнение волны с учетом
волнового числа:
 ( x, t )  a cos(t  kx);
(30.2)
Рассмотрим более сложный случай распространение плоской волны в
произвольном направлении (см. рис. 30.2).
Z
Уравнение колебаний плоскости, проходящей через начало
координат:
r(t)
n0
 0 ( r , t )  a cos(t   );
Уравнение волновой поверхности на расстоянии l(t) от
начала координат:
r0
 (r , t )  a cos(t  kl   );
0
l(t)
Выразим l(t) через r(t), для этого введем единичный
нормальный к волновой поверхности – вектор
n0
( r , n0 )  r cos   l ; k  n0 k ;
 ( r , t )  a cos(t  kr   );
При потерях энергии волны в среде:
Представление уравнения волны в
комплексной форме:
a  a0 e
i
Рис.30.2
(30.3)
 ( r , t )  a0 e
  nr
cos(t  kr   );
 (r , t )  Re a(t )ei (t kr  )
 ( r , t )  aei (t kr )
(30.5)
X
(30.4)
Уравнение сферической волны
Сферическая волна – волна порождаемая точечным
источником, обладающая сферическим волновым фронтом.
Примечания:
1. Скорость распространения сферической волны в
однородной, изотропной среде во всех направлениях
одинакова.
2. Амплитуда волны убывает обратно пропорционально
расстоянию от источника. Уравнение сферической волны в
простейшем виде:
 (r , t ) 
a
r
e
i ( t  kr )
(30.6)
3. Плоскую волну можно рассматривать как частный
случай сферической, при r   .
В реальных ситуациях исходя, из физических
Волновое уравнение
представлений составляется обычно
Задача состоит в том, что бы получить
дифференциальное уравнение процесса.
волновое уравнение в общем виде.
 ( x, y , z , t )  a cos(t  k x x  k y y  k z z   )
(30.7)
Продифференцируем последнее выражение дважды по каждой переменной:

kr  k x x  k y y  k z z;
2
t
2

   ( x, y , z , t );
2
x
2


2
2
  k x  ( x , y , z , t );
2
x
2

2

y
2

1
v
y
2

2
2
z
2
  k z  ( x , y , z , t );

2

2

z
2
 k 
2
Сопоставляя
 2
t 2
  2 ( x, y , z , t );
2

2
x
Оператор
Даламбера
1 
2
D
v t
2
2
(30.9)
,
2
2
  k y  ( x , y , z , t );
2
k
2

2

y
2

1 
2

z
2
2

v
1  2
  2
v t 2
D  0
2
t
2
(30.10)
(30.11)
(30.8)
Звуковые волны
x
Z
Звуковые волны – упругие волны в
Y
V
газовых средах в диапазоне частот от
20 Гц до 20000 Гц.
Примечание: Звуковая волна
x(t)
представляет собой
X
последовательность сжатых и
0
разряженных областей пространства,
S
причем эти сжатия и разряжения
распространяются со скоростью
dx
зависящей от свойств газовой среды
Скорость звуковой волны – с,
Рис.30.4
определяется выражением:
Задача: необходимо установить взаимосвязь между
звуковым давлением и скоростью частиц в звуковой волне
P
c 

;
  x0 sin(t );
  x0 sin( (t 
x
c
));
(30.12)
Относительное изменение толщины слоя между двумя бесконечно близкими плоскостями:

x 

  x0 cos  (t  ) ;

x
c
c 


1
(30.13)
Относительное сжатие следует определить как:

V
x 




 cos  (t  ) ;

V
x
c
c 

x0
(30.14)
Скорость частиц в волне:
w
d
dt
x 

) ;

c 


w  c
 x0 cos  (t 
Из сравнения двух последних выражений:
(30.15)
Примечание: Относительное сжатие очевидно численно равно относительному
увеличению плотности.
V 
Процесс адиабатический


;

V
dP
d

c 
2
dP0
d 0
P

=>
P  
P0
0
   P0
P   wc
PV   const
P0   P 

Pw
c
Примечание: Для громких звуков величина
P/P=0,001, следовательно, скорость частиц
в звуковой волне w=10 м/с
 P
Введем понятие: модуль сжатия -
c


; P   ; P 

w
(30.16)
c
Энергия звуковой волны
Примечание: Звуковая волна несет с собой потенциальную энергию упругой
деформации газа и кинетическую энергию движущихся частиц газа.
Сила действующая на стенку площадью S
Определим потенциальную
энергию в элементе объема газа
S P  
Если относительное сжатие изменяется на
на dx  xd , следовательно, работа:
d , то площадка S
перемещается
 A  Fdr  S x  d
Полная энергия упругой деформации:


U  S x   d  S x
Плотность энергии:
Wp 
1
2

0
2
(30.19)
Кинетическая энергия этого объема:
T  S x
1
(30.17)
2
 ; (30.18)
2
v
2
2
;
(30.20)
Объемная плотность кинетической энергии: W
T

1
2
v2 c 
 / ;
W W
↓
P
T
Выводы:
1. Плотности кинетической и потенциальной энергии в каждой точке звуковой
волны одинаковы.
2
(30.21)
2. Полная энергия определяется соотношением: W  WP  WT   ;
3.Энергия которую переносит с собой упругая волна распространяется вместе
с волной в том же направлении, что и сама волна.
4. Энергия в различных сечениях различна, так как различны сжатия,
разряжения и скорости частиц.
Эффект Доплера
Эффект Доплера заключается в
зависимости частоты волны (длины волны)
принимаемой приемником от скоростей
перемещения источника волн, (приемника)
по отношению к среде в которой
распространяется волновой процесс
Предположим, что источник плоских
волн определен в системе К1 движущейся
со скоростью v1 относительно среды.
Приемник сигналов связан с системой координат К2, которая движется
относительно среды со скоростью v2.
Волновой вектор К образует угол 1 с вектором v1 и угол 2 с вектором v2.
Если наблюдатель расположен в системе К2 то его приемник зарегистрирует
частоту излучения определяемую соотношением:
1
  0
1
v2
c
v1
c
cos 2
(30.22)
cos 1
где с – скорость волны относительно неподвижной среды, 0 – частота
колебаний источника. Последнее выражение можно записать в более
простой форме, если учесть, что
v
v1
c
то есть:
v  v0 (1 
u
c
 1
cos  );
2
c
 1
(30.23)
Здесь u  u1  u 2 - относительная скорость источника и приемника,  - угол
между волновым вектором К и вектором относительной скорости u.
Ультразвук
Ультразвук — упругие звуковые колебания высокой частоты. Человеческое ухо
воспринимает распространяющиеся в среде упругие волны частотой приблизительно до 16 Гц20 кГц; колебания с более высокой частотой представляют собой ультразвук (за пределом
слышимости).
Распространение ультразвука — это процесс перемещения в пространстве и во
времени возмущений, имеющих место в звуковой волне.
Звуковая волна распространяется в веществе, находящемся в газообразном, жидком
или твѐрдом состоянии, в том же направлении, в котором происходит смещение частиц этого
вещества, то есть она вызывает деформацию среды. Деформация заключается в том, что
происходит последовательное разряжение и сжатие определѐнных объѐмов среды, причѐм
расстояние между двумя соседними областями соответствует длине ультразвуковой волны. Чем
больше удельное акустическое сопротивление среды, тем больше степень сжатия и разряжения
среды при данной амплитуде колебаний.
Частицы среды, участвующие в передаче энергии волны, колеблются около
положения своего равновесия. Скорость, с которой частицы колеблются около среднего
положения равновесия называется колебательной скоростью. Колебательная скорость частиц
изменяется согласно уравнению:
где V — величина колебательной скорости; U — амплитуда колебательной скорости; f —
частота ультразвука; t — время; G — разность фаз между колебательной скоростью частиц и
переменным акустическим давлением.
Примечания:
•
При распространении ультразвуковых волн возможны явления дифракции, интерференции и
отражения.
• Дифракция (огибание волнами препятствий) имеет место тогда, когда длина
ультразвуковой волны сравнима (или больше) с размерами находящегося на пути
препятствия. Если препятствие по сравнению с длиной акустической волны велико, то
явления дифракции нет.
•
При одновременном движении в среде нескольких ультразвуковых волн в каждой
определѐнной точке среды происходит суперпозиция (наложение) этих волн. Наложение
волн одинаковой частоты друг на друга называется интерференцией.
•
Если среда, в которой происходит распространение ультразвука, обладает вязкостью и
теплопроводностью или в ней имеются другие процессы внутреннего трения, то при
распространении волны происходит поглощение звука, то есть по мере удаления от
источника амплитуда ультразвуковых колебаний становится меньше, так же как и энергия,
которую они несут.
•
Под глубиной проникновения ультразвука понимают глубину, при которой интенсивность
уменьшается на половину. Эта величина обратно пропорциональна поглощению: чем
сильнее среда поглощает ультразвук, тем меньше расстояние, на котором интенсивность
ультразвука ослабляется наполовину.
Если при распространении ультразвуковых волн в среде не происходит их отражения, то
образуются бегущие волны. Для возникновения стоячих волн расстояние от поверхности
излучателя до отражающей поверхности должно быть кратным половине длины волны.
•
Инфразвук
Инфразву́к (от лат. infra — ниже, под) — упругие волны, аналогичные звуковым, но
имеющие частоту ниже воспринимаемой человеческим ухом. За верхнюю границу частотного
диапазона инфразвука обычно принимают (16—25) Гц. Нижняя же граница инфразвукового
диапазона условно определена как 0.001 Гц. Практический интерес могут представлять
колебания от десятых и даже сотых долей герц, то есть с периодами в десяток секунд.
Природа возникновения инфразвуковых колебаний такая же, как и у слышимого
звука, поэтому инфразвук подчиняется тем же закономерностям, и для его описания
используется такой же математический аппарат, как и для обычного слышимого звука (кроме
понятий, связанных с уровнем звука). Инфразвук слабо поглощается средой, поэтому может
распространяться на значительные расстояния от источника. Из-за очень большой длины
волны ярко выражена дифракция.
Инфразвук, образующийся в море, называют одной из возможных причин
нахождения судов, покинутых экипажем[
Труба Рубенса (англ. Rubens' tube, другие названия: труба
стоячей волны, огненная труба) — физический эксперимент
по демонстрации стоячей волны, основанный на связи
между звуковыми волнами и давлением воздуха (или газа).
Труба заполнена горючим газом, так что просачивающийся
через отверстия газ горит. Если используется постоянная
частота, то в пределах трубы может сформироваться стоячая
волна.
Установка трубы Рубенса
Л. 31 Электромагнитные колебания
Колебательный контур
Введем понятие: Квазистационарный ток – ток, амплитуда которого, незначительно
изменяется с течением времени передачи этого тока по цепи. Для таких токов
справедливы з-н Ома, правила Кирхгофа, (з-н Джоуля - Ленца выполняется не всегда).
Свободные колебания в электрическом контуре
1. LC- контур t  0;    U    
C
По
определению:
i
dq
dt
Для произвольного
момента времени t
Учитывая:
Uc  L
L
di
dt

c
/ c    T
i ( t ) R  U c ( t )  U L (t )
q (t )
C
; U L  L
С
L
Uc
;
d q
dt
 0
2
Рис. 31.1
Решение:
qc (t )  q0 cos(0t  0 ); (31.2)
U c (t ) 
 0 q  0;
0 
2
1
WH  Li 2
2
q2
WE 
2C
2
dt
q (t )
1
Т.к. длина цепи l
невелика, то:
R  0; U c  
di
2
i(t)
2
(31.1)
1
LC
; T  2
LC

q0
c
qc ( t )

c
cos(0 t   0 ) 
 U 0 cos(0 t   0 )
Ток в цепи (в произвольный момент времени):
i (t ) 
Prim: Сравнивая выражения для
напряжения на емкости и тока в цепи,
заметим, что ток в контуре опережает
напряжение на конденсаторе на угол 
Не трудно получить:
2. RLC - контур
Из  правила
Кирхгофа
di

dt
1
2
Решение:
C
i0
dt
 0 q0 sin(0t   0 ) 
 i0 cos(0t   0 
(31.4)

(31.3)
);
2
С
Рассмотрим RLC – в котором они
соединены последовательно см. рис. 31.2
UL
L
UC
UR
i ( t ) R  U c ( t )  U L (t )
q (t ) 
2
dt
U0 
LC
d q
L
dq
 2
R
i (t )  0;
L
dq
dt
q (t )  q0 e
 0 q (t )  0;
R
Рис.31.2
NB - условие: коэффициент затухания:
(31.5)

2
 t
cos(t  0 );  
0  
2
R
2L
 0
(31.6)
Справедливо =>
2
(31.7)
 2   2 0
Получим выражение для
тока в цепи:
 t
i (t )  q0 e (   cos(t   )   sin(t   ))
0



  0 q0 e
Рис.31.3
 t
0
 
2

2
(31.8)
 


cos(t   ) 
sin(t   ) 

 
  

2
2
2
2
Процессы, происходящие в RLC – контуре удобно анализировать с помощью векторных
диаграмм (рис.31.3). для этого параметрам  , 0 ,  «присвоим» понятия векторов,
действительно в соответствии с теоремой Пифагора, для этого случая имеем:
Введем понятие:
декремент колебаний

0   ; cos 
sin  
2
2

 
2
i ( t )  q 0 0 e
 t

 
2
;
2
 cos(t     ) 
 
;
2
(31.9)
A( t )
A( t  T )
;
   T   R
C
;
L
Q


Q – добротность контура
(31.10)
3. Вынужденные электрические колебания в контуре
Рассмотрим последовательный RLC - контур, в цепь
которого включен генератор тока (напряжения) см. рис. 31.4:
d q
dt
С
G
UL
2
i (t ) 
~
2
 2 
dq
dt
 0 q  U m cos(t );
2
UC
UR
Искомое решение представим в виде:
q (t )  q m e
qm 
 t

R
cos(t   0 )  qm ;
Um / L
2
0

tg 
t   e t  0
наблюдается
установившийся режим:
q (t )  qm cos(t   );
2
  4
2 
0  
2
2
2

;
2
dq
dt
Рис.31.4
ω0 - собственная частота в
системе.
ω - частота вынужденных
колебаний
Выражения для заряда q (t ), q m
справедливы, в том случае, если
затухание в контуре не велико т. е.
;
Фазовые соотношения
i (t ) 
L
  0
2
  qm sin(t   ) 
 im cos(t   

2
  

2
);
i (t )  im cos(t   )
2
Проиллюстрируем фазовые соотношения с помощью векторной диаграммы.
Согласно второму правилу Кирхгофа => U  U  U  U cos(t )
R
UL
C
L
m
U R  Rim cos(t   );
UGenr
UC 
q
C
Ось токов
UR
UL  L

UC
 U Cm cos(t   );
di
dt
  Lim sin(t   ) 
 U Lm cos(t   
Рис.31.5

);
2
Резонанс в электрическом контуре
1. Резонанс напряжения
dqm
d

Um
L
Условия возникновения резонанса для напряжения на
емкости и заряда
2 
 (0   )  4  
2
2
2
2


3
2
(  0  2 
2
2
2
)
Приравняем производную нулю, (нулю может быть равно выражение только в круглых
2
2
2
скобках), то есть:
  0  2   0
Резонансная частота определятся:
Напряжение на конденсаторе
как функция частоты очевидно
определится:
U C ( ) 
r 
LC (0   )  4  
2
2
1
r 
Um
2
0  2  ;
2
LC
2
R

2
2
;
2L
;
2
Выводы: 1) Резонансная частота для реального контура меньше собственной частоты.
2) Максимум резонансной кривой для напряжения на конденсаторе возрастает
с уменьшением R и увеличением L.
2. Резонанс тока
Помножив знаменатель на единицу в виде
ωω , и подставив значения величины  и
Выражение, для амплитуды тока:
 получим:
im   qm 
Um
L (0   )  4  
2
2
2
L 
1
C
0
im 
;
2
Максимальное значение тока наблюдается при
выполнении условия:
Um
R  ( L 
2
r 
1
LC
;  r  0 ;
;
1
C
)
2
Случай слабого затухания колебаний в контуре:  2  02
 r  0 ;
Резонанс наступает при условии:
U Cmr
Um

1
0 RC

1
L
R
C
Q
Вывод: Добротность контура показывает во сколько раз напряжение на
конденсаторе, превышает напряжение генератора (или может превысить).
В заключение напомним определения полезных характеристик и величин:
 Полное (эффективное) сопротивление цепи:
Z

R(
1
C
 L ) ;
2
Среднее значение мощности, выделяемой за период:
 N T 
1
2
U m I m cos  где  сдвиг по фазе между током и э.д.с.
•Эффективное (действующее) значение тока или напряжения:
ief 
im
2
; uef 
Um
2
Комплексное сопротивление (импеданс) колебательного контура
Колебательный контур может быть рассмотрен как
двухполюсник,
представляющий
собой
параллельное
включение конденсатора и катушки индуктивности.
Комплексное сопротивление такого двухполюсника
можно записать как
Для такого двухполюсника может быть определена т.
н. характеристическая частота (или резонансная частота), когда
импеданс колебательного контура стремится к бесконечности
(знаменатель дроби стремится к нулю).
Осциллограмма LC контура во
время замыкания заряженного
конденсатора на катушку
индуктивности.
С - 240нФ(заряженный)
L - 360нГн
F0 ≈ 542кГц
Эта частота равна
т.е. она совпадает по значению с собственной частотой колебательного контура.
Из этого уравнения следует, что на одной и той же частоте может работать
множество контуров с разными величинами L и C, но с одинаковым произведением LC.
Л. 32 Электромагнитные волны
1. Электромагнитная волна - процесс распространения электромагнитных колебаний в
пространстве.
2. Волновой фронт - геометрическое место точек, до которых дошел колебательный
процесс в данный момент времени.
3. Волновая поверхность - геометрическое место точек имеющих одинаковую фазу
колебаний.
Примечание: Волновых поверхностей бесконечно много, а волновой фронт у данной
волны, один.
По форме волнового фронта электромагнитные волны, в простейшем случае,
условно разделяются на: плоские, цилиндрические и сферические.
Волновое уравнение для электромагнитного поля
Уравнения Максвелла не «запрещают» существование электромагнитного поля в среде,
где отсутствуют заряды, токи.
 0 , 0  const 
1
  0 0  2 ;
c
  2 E
E  2
;
2
c t
j  0;   0; D   0 E ; B   0 H ; (1)
D
H    0
; (2) E  0; (3)


t
 E     0  H  ; (4)


 
t 
E   0
 
E 
;  5


t
Последнее выражение - дифференциальное уравнение, описывающее состояние
волнового фронта, в данный момент времени, т. е. это типичное волновое уравнение.
Полностью волну описывает волновые уравнения для E, B, но принято записывать лишь
уравнение для E.
Вектор E называется световым вектором. Вектор E по амплитуде в несколько раз сотен
превосходит вектор H
Более подробно о распространении
электромагнитных волн в веществе
Можно показать: V  c
ф
( Лекция - Дисперсия света)

Плоская электромагнитная волна
B
D




E
;
H
;





Рассмотрим простейший случай электромагнитной 



dt
dt
волны – волну с плоским фронтом. Получим волновые
D  0; B  0;
уравнения для этого случая из уравнений Максвелла:
H (*)
0   0
;
t
H y
E z
 0
;
x
t
E y
H z
  0
t
t
Bx
H x
  0
0
t
t
Примечания:
1. Уравнения (*)
показывают, что
E y
H z
  0
;
Hx не зависит от
x
t
координаты z и
H y
времени t.
E z
  0
;
2. Уравнения (**)
x
t
показывают, что Ех
(**)
Dx
E x
не зависит от
  0
0
;
x
x
координаты z и
времени t.
0   0
(*)
E x
t
(**)
;
Таким образом, само поле не имеет составляющих вдоль оси ох, следовательно
векторы E и H перпендикулярны к направлению распространения, то есть к
оси ox. Отсюда можно сделать вывод о том, что электромагнитные волны имеют
поперечный характер.
Если внешние электромагнитные поля отсутствуют, то очевидно что Ex=Hx=0. В
последних выражениях объединим неотмеченные пары уравнений в две
независимые группы:
E y
H z
;
x
t
E y
H z
  0
;
x
t
  0
Если существует
переменное
электрическое поле
вдоль оси oy то с ним
неразрывно связано
переменное магнитное
поле изменяющееся
вдоль оси oz
H y
E z
 0
;
x
t
H y
E z
  0
;
x
t
Эта система
уравнений говорит о
том же, поэтому для
описания
электромагнитной
волны достаточно
выбрать одну из
систем
Нетрудно получить волновые уравнения, считаем, что Ez=Hy=0, продифференцировав
первое уравнение по х и изменив порядок дифференцирования в правой части, запишем:
2 Ey
x 2
2
 H z  2 E y
2H z
  2 H z
  E y
  0
;
 2
;
 2
;
2
2
2
2
x
c
t
x
c
t
t x
Замечание: Составляющие векторов Ey и Hz взаимно перпендикулярны друг другу,
направлены соответственно вдоль осей oy и oz .
Простейшими решениями волновых уравнений, очевидно являются функции:
E y  Em cos(t  kx   );
H z  H m cos(t  kx   );
Подставляя решения в исходные уравнения, получим:
kEm sin(t  kx   )  0 H m sin(t  kx   );
kH m sin(t  kx   )   0 Em sin(t  kx   );
Эти выражения будут удовлетворять условиям тождества, если будут справедливы
равенства:
kE    H ;
m
0
m
kH m   0 Em ;
После элементарных преобразований получим:
Em  0  H m 0 ;     1
Em
 120 ;
Hm
z
r
Несложно записать уравнение плоской электромагнитной
волны распространяющейся в направлении r0 (см. рис. 32.1)
y
0
E (r , t )  Emei (t  kr ) ;
H (r , t )  H mei (t  kr ) ;
Волновой
фронт
r0
x
Рис. 32.1
Выводы:
1) Колебания векторов электрического и магнитного полей происходят во взаимно
перпендикулярных направлениях, причем плоскость колебаний ортогональна
направлению распространения волны.
2) Установлено, что процессы регистрации электромагнитной волны различными
детекторами, в том числе и колбочками ( палочками ) глаза человека, обусловлены
интенсивностью электрической компоненты поля. Поэтому вектор напряженности
электрического поля называют световым вектором.
Энергия электромагнитных волн. Вектор Умова - Пойтинга
Объемная плотность энергии, очевидно, складывается из плотностей
энергии электрической и магнитной компонент поля:
1
w  wE  wH  ( 0 E 2  0 H 2 );
2
В силу закон сохранения энергии: w  w  w ; w  2w   E 2 ;
E
H
E
0
w   0 0 EH 
1
EH ;
v
С учетом того, что векторы Е, Н взаимно ортогональны, энергия переносится в
направлении вектора скорости волнового фронта
Вектор S называют вектором Умова –
S   E , H  ;
Пойтинга
Основные характеристики и параметры электромагнитных волн
1. Электромагнитная волна называется монохроматической, если компоненты
векторов Е и Н электромагнитного поля совершают гармонические колебания
одинаковой частоты, называемой частотой волны. Монохроматическая волна не
ограничена в пространстве и во времени
1 A
2. Векторы Е и Н могут быть выражены через скалярный  E   c t   ;
и векторный А потенциалы следующим образом:
1
 A  ;
H

Примечание: Скалярный и векторный потенциалы


вводятся для решения системы уравнений Максвелла,
причем векторный потенциал А вводится с точностью до
, а скалярный потенциал  с точностью до производной
от скалярной функции по времени то есть:
Векторы напряженностей электрического и магнитного полей
удобно задать в комплексной форме:

i 
t  ( kr ) 
A  A0e
A  A0   ;
  0 

;
t
;
Если векторы напряженностей электрического и магнитного полей заданы в
комплексной форме то, например, для плоской волны справедливы выражения:

H  Re  H e
E  Re E0e

i 
t  ( kr ) 
;
;

i 
t  ( kr ) 
E0  (a1  ia2 )ei0 ;
- здесь а1 и а2 - два взаимно перпендикулярных
вещественных вектора, лежащих в плоскости
перпендикулярной волновому вектору k.
Интенсивность электромагнитной волны вводится следующим образом:
1
I 
T
T
S
dt ;
Т - период волны
0
Примечание: Для плоской волны в однородной среде интенсивность неизменна во
времени и пространстве, для линейно поляризованной волны интенсивность очевидно
пропорциональна квадрату амплитуды
c
v

;
Фазовая скорость определена выражением: 

Для вакуума ==1, следовательно v=с, для широкого круга сред   1, за
исключением ферромагнетиков, следовательно:
c
v 
;

NB 1. Зависимость фазовой скорости электромагнитной волны в среде от частоты
называется дисперсией.
2. Реальные волны не являются монохроматическими. Используя аппарат Фурье
анализа, любую немонохроматическую волну, можно представить как набор
монохроматических волн с различными амплитудами и частотами. В этом
смысле говорят, что данная волна представлена группой волн или волновым
пакетом.
1  2
u

; u –групповая скорость
Скорость переноса энергии такой группой
k k
1
2
волн определится выражением:
Если пакет состоит из большого числа монохроматических
волн незначительно отличающихся друг от друга по частоте
dv
d
u
 v  
;
dk
d
Электромагнитное излучение подразделяется на
•
•
•
•
•
•
радиоволны (начиная со сверхдлинных),
терагерцовое излучение,
инфракрасное излучение,
видимый свет,
ультрафиолетовое излучение,
рентгеновское излучение и жесткое (гамма-излучение).
Электромагнитный спектр (свет
выдвинут на первый план)
Электромагнитное
излучение
способно
распространяться
практически во всех средах. В вакууме (пространстве, свободном от вещества и
тел,
поглощающих
или
испускающих
электромагнитные
волны)
электромагнитное излучение распространяется без затуханий на сколь угодно
большие расстояния, но в ряде случаев достаточно хорошо распространяется и в
пространстве, заполненном веществом (несколько изменяя при этом свое
поведение).
Примечания:
•
•
Описанием свойств и параметров электромагнитного излучения в целом занимается электродинамика,
хотя свойствами излучения отдельных областей спектра занимаются определенные более
специализированные разделы физики (отчасти так сложилось исторически, отчасти обусловлено
существенной конкретной спецификой, особенно в отношении взаимодействия излучения разных
диапазонов с веществом, отчасти также спецификой прикладных задач).
К таким более специализированным разделам относятся оптика (и ее разделы) и радиофизика. Жестким
электромагнитным излучением коротковолнового конца спектра занимается физика высоких энергий; в
соответствии с современными представлениями, при высоких энергиях электродинамика перестает быть
самостоятельной, объединяясь в одной теории со слабыми взаимодействиями, а затем — при еще более
высоких энергиях — как ожидается — со всеми остальными калибровочными полями.
Л. 33 ОПТИКА
Предварительные сведения
Свет – электромагнитное излучение, излучаемое атомами при переходе электронов из
возбуждаемых состояний в стационарные в диапазонах длин волн (0,4 ÷ 76) мкм.
Временной интервал излучения Δt ~ (1·10-7 ÷ 1·10-9) с, можно утверждать,
что при этом излучается цуг (последовательность) электромагнитных волн (длина
цуга составляет несколько десятков сантиметров).
Как показывает опыт, физиологические, фотохимические, фотоэлектрические и
другие проявления света в первую очередь обусловлены электрической составляющей
поля.
1
E (r , t )  Em cos(t  kr   )
Введѐм понятия:
• Интенсивность светового потока –
энергия, переносимая потоком в
единицу времени через единицу
площади.

I  
 E, H  
Em  0  H m 0  H m 0 ;
H m  nEm
0
; H m ~ nEm ; I  nEm2 ;
0
Em (r )  const
Em (r ) ~
• Показатель преломления
среды:
c
n
v
Вывод: Интенсивность излучения
электромагнитной волны
пропорциональна квадрату амплитуды
вектора электрического поля.
r
Понятие о когерентности
Предположим, что в некоторой точке пространства встречаются две
электромагнитные волны одинаковой частоты с различными фазами:
В соответствии с принципом
E1  Em1 cos(t  1 ) 
 1  kx1  1 ; суперпозиции:

E  E1  E2 ;


kx


;
E2  Em2 cos(t   2 ) 
2
2
2

В результате сложения получается гармоническое колебание: E  Em cos(t   );
E 2  E12  E22  2 E1E2 cos( 2  1 );
Интенсивность суммы волн в окрестности точки
их встречи:
  ( 2  1 );
I  I1  I 2  2 I1I 2 cos( 2  1 );
tg 
E1 sin 1  E2 sin  2
;
E1 cos 1  E2 cos  2
Оптическими методами регистрируются лишь средние значения интенсивностей
световых потоков, то есть:
E1  E1  const
I  I 1  I 2  2 I1I 2 cos( 2  1 );
E 2  E2  const
I  I1  I 2  2 I1I 2  cos( 2  1 );
cos( 2  1 ) 
1

cos(


0
2
 1 )dt ;
1. Случай когерентных волн
( 2  1 )  const;
cos( 2  1 ) 
1
1  2  ;

cos  dt  cos(


2
 1 );
0
Определение: когерентные волны это волны одинаковой частоты и имеющие
постоянную разность фаз (во времени).
( 2  1 )  var; cos( 2  1 )  0; I  I  I ;
1
2
Понятие о монохроматичности источника излучения
2. Случай некогерентных волн
Определение: Монохроматическое излучение это излучение, состоящее из цугов
волн одинаковой частоты, точнее излучаемые источником фотоны должны иметь
одинаковые наборы частот в Фурье – смысле.
Модель: Реальное излучение источников представляет собой электромагнитное
излучение – цуги волн, модулированных по амплитуде и фазе, то есть:
E  Em (t ) cos t   (t )
В этом случае излучение от двух источников
можно считать когерентным, если:
E1 (t )  Em1 (t ) cos t  1 (t )  


E2 (t )  Em2 (t ) cos t  2 (t ) 

Em1 (t )  c1E0 (t ); c1  const ; 


E m2 (t )  c2 E0 (t ); c2  const ; 


(
t
)


(
t
)

const
;
 1

2


Принцип Гюйгенса - Френеля
1. Точный источник является источником
сферических волн.
2. Каждая точка пространства, до которой
доходит фронт волны, также
становится источником вторичных
сферических волн.
3. Новый фронт волны получается как
огибающая фронтов вторичных волн
за данный интервал времени.
Интерференция двух монохроматических
волн
Рис. 33.1
Предположим, что имеются два точечных монохроматических источника:

d 
 t
 1  ;
E1  Em cos  2 
 
T



d 
 t
 2  ;
E2  Em cos  2 
 
T




Полагаем для упрощения вычислений, что векторы E1  E2 , то есть волны одинаково
поляризованы.
 
E
Примечание: Если 1 E2 , то как показал Арагон, явления интерференции не возникает
Вычислим сумму колебаний в точке М:
M
M
 2  t d t d

E  E1  E2  2 Em cos    1   2     

 2 T  T 
 2  t d t d

 cos    1   2     

 2 T  T 
S2
S1
  d 2  d1   
 t
d 2  d1   

 2 Em cos 
  cos   
 

2
T

2




Рис. 33.2
E0
Вывод: В точке М в результате сложения двух гармонических колебаний получается
также гармоническое колебание, амплитуда которого определяется согласно выражению:
  d 2  d1   
E0  2 Em cos 
 ;

2

Интенсивность излучения в точке М =>
  d 2  d1   
I 0 ~ 4 E cos 
 ;

2

2
m
2
Анализ: по условию -const, следовательно, интенсивность зависит от разности хода лучей от
источников 1 и 2 до точки М. Таким образом, интенсивность в точке М зависит от разности
фаз, возникающей вследствие разности хода двух волн. Эта разность фаз возникает и тогда,
когда начальная разность фаз =0.

d 2  d1  

I 0 ~ 4 E cos  2
;



Обозначим разность фаз, возникающую в
2  d 2  d1 
;
результате разности хода через , то есть:  

Выразим разность хода через длину волны:   d 2  d1  m ;   2 m;
Полагая =0, запишем
2
m
2
Следовательно, интенсивность двух интерферирующих
волн с равными амплитудами:
I 0 ~ 4 Em2 cos 2  m  ; (*)
Анализ (*)
I 0 ~ 0;
I 0 ~ 4 Em2 ; 2. Если m- полуцелое:
1. Если m- целое:
min
max
При неравных амплитудах двух интерферирующих волн интенсивность определяется:
I ~E E
2
2
m1
E
2
m2
 2 Em1 Em2 cos  m    Em1  Em2   4 Em1 Em2 cos  m  ;
2
Анализ
2. Если m - полуцелое

1. Если m - целое I max ~ E  Em1  Em2
2

2
;
I min ~ E   Em1  Em2  ;
2
2
Вывод: Явление интерференции света возникает при наложении когерентных линейно
поляризованных в одной плоскости волн и заключается в усилении или ослаблении
интенсивности света в зависимости от соотношения фаз.
Свойство: Геометрическое место точек пространства, характеризуемое одинаковыми
интенсивностями (или амплитудами), удовлетворяет условию: d 2  d1    const , то есть
представляет собой поверхность гиперболоида вращения, фокусами которого являются
точки S1 и S2, для различных значений m = 0, 1, 2, 3… соответствует семейство
гиперболоидов с осью вращения S1 S2 и фокусами S1 и S2
Примечание: В общем случае,
если начальная разность фаз ≠0 ,
то происходит смещение
интерференционной картины на
расстояние, зависящее от  (см.
рис. 33.4), так как условие
максимума интенсивности в этом
случае имеет вид:
 d 2  d1   

2
 m;
Для оценки видимости Майкельсон
ввѐл параметр видимости:
V 
 max   min
;
 max   min
Способы получения когерентных пучков в оптике
Существует два способа получения когерентных пучков от немонохроматических
источников:
1. Метод деления амплитуды волны рис. 33.6
2. Метод деления волнового фронта рис. 33.7
Рис. 33.7
Рис. 33.6
Бизеркала Френеля
Лазеры обладают хорошей
монохроматичностью
излучения и высокой
степенью когерентности.
Схема получения когерентных пучков от естественного
источника с помощью бизеркала Френеля представлена
на рисунке 33.8. Угол =10 , это дает возможность
разделить падающий на систему зеркал пучок на два
условно когерентных пучка. Интерференционная картина
наблюдается на экране, который располагается в зоне
перекрывания пучков от мнимых источников S’,S”
S
S’
экран

d
S”
Рис. 33.8
Примеры интерференционных изображений
Л. 34 Интерференция света при отражении от тонких
пленок
1
При падении световой волны на тонкую прозрачную пленку
происходят процессы: многократное отражение от обеих
поверхностей, преломление на границах раздела двух сред и т. д. В
результате возникает, как минимум две когерентных волны
которые могут интерферировать при определенных условиях
Вычислим разность хода, возникающую
между лучами 1 и 2
Из геометрических
соображений см. рис. 34.1
n 2  n sin 2 sin 1
  2b(
);
n cos1
  2b n2  sin 2 1 ;
n0
S1
2
  nS2  S1;
S1  2btg2 sin 1; S2 
1
2
S2/2
b
n1
2b
;
cos2
n sin 2  sin 1;
Рис. 34.1
n cos2  n2  sin 2 1 ;
Примечание: При отражении светового потока (луча 2) на границе раздела двух сред, при
n0 > n1, происходит изменение разности фаз на , в тоже время изменение разности фаз
для луча 1 равно нулю. Таким образом окончательно выражение для оптической разности
хода лучей 1 и 2 можно записать в виде:
  2b n 2  sin 2 1 
0
2
;
Условие максимума интенсивности в интерференционной картине определяемое
равенством   m 0 будет иметь вид:
1
2b n  sin 1  (m  )0 ;
2
2
2
Условие минимума интенсивности в интерференционной картине:
2b n2  sin 2 1  (m  1)0 ;
Пластинка равной толщины
Предположим, что плоскопараллельная пластина освещается
рассеянным монохроматическим светом. Для наблюдения
интерференционной картины «сведем» лучи отраженные от верхней и
нижней поверхностей пластины с помощью двояковыпуклой линзы на экран
(см. рис. 34.). Из всей совокупности лучей, для наглядности выберем лучи
лежащие в плоскости чертежа и падающие под одним углом 1, все эти
лучи очевидно соберутся в точке Р. Эти лучи создадут интерференционную
картину в виде окружности или ее части - на экране в целом будут
наблюдаться полосы равного наклона.
О
Р
Э
Л
1
Рис. 34.2
Пластина переменной толщины
Э
Рассмотрим пластину в виде клина с углом при вершине равным
. Предположим, что на клин под некоторым углом  падает
монохроматический плоско параллельный пучок света (см.рис.34.3).
  2h n  n sin  
2
Рис. 34.4
2
0
2
0
2
2
P
1
P1

;
«Полосы» или линии равной толщины.

h
Рис. 34.3
Кольца Ньютона
n0
Кольца Ньютона представляют собой частный случай
полос равного наклона, только в этом случае полосы имеют
форму окружностей. Упрощенная схема получения колец
Ньютона изображена на рис. 34.5.
r 2  R 2  ( R  d ) 2  2 Rd  d 2 ;
R d ;  r  2 Rd ;
2
Полагая что n0  n получим :
Радиусы светлых и
темных колец
rmax 
2 R0 (m  1);
rmin 
R0 (2m  1);
Рис. 34.6
d
R
R
d
r
;
2R
r
n
Рис. 34.5
  2d 
0
2
;
r 2 0
  ;
R
2
Условия максимумов и
минимумов:
r 2 0

 m0  max;
R 2
1
r 2 0

 (m  )o  min;
2R 2
2
При наблюдении в монохроматическом свете возникает
чередование темных и светлых колец. В белом свете, так как
радиус кольца зависит от длины волны, возникают цветные
полосы - цвета Ньютона. Каждое кольцо по направлению от
центра начинается с фиолетового цвета и заканчивается
красным.
Применение интерференции. Интерферометры
Микроинтерферометр Линника
Интерферометр Майкельсона
4
5
4
1
5
2
1
3
2
6
3
6
7
7
Рис. 34.7
8
Рис. 34.8
Интерферометры Майкельсона применяют для измерений микро перемещений
(точность ~10-9 м), оценки качества полировки, исследуется тонкая структура
спектральных линий и т.д. С его помощью был поставлен важнейший опыт
Майкельсона – Морли, доказавший отсутствие «эфирного ветра».
Звѐздный интерферометр Майкельсона
Звѐздный интерферо́метр Ма́йкельсона — прибор, позволяющий измерять угловые
размеры звѐзд и расстояния между двойными звѐздами, а также изучить распределение
интенсивности свечения на их поверхности методом интерференции.
Схема
интерферометра,
предложена
Альбертом
Майкельсоном в 1890 году по идее Ипполита Физо (1868 год).
Система состояла из четырѐх зеркал (два внешних и два
внутренних), свет от которых через два отверстия в диафрагме
направлялся на собирающую линзу и фокусировался на экране. В
такой конструкции в фокусе линзы наблюдается интерференция
света
проходящего
через
отверстия,
находящиеся
на
фиксированном расстоянии друг от друга. Экран с отверстиями
находится в фокальной плоскости телескопа, направленного на
Рис. 34.9 Схема звѐздного
исследуемую звезду; свет перед падением на экран проходит через
интерферометра
светофильтр, в котором выделяется спектральная компонента
Майкельсона
излучения источника с длиной волны λ. Так как собственная
разница хода между лучами, приходящими на внешние зеркала, Интерференционная картина
очень мала, то на экране они создают чѐткую интерференционную при определении углового
диаметра звезды пропадает
картину. Сдвигая внешние зеркала, можно изменять разницу хода
при выполнении соотношения
между лучами до тех пор, пока интерференционная картина не
исчезнет. Это происходит при выполнении соотношения
где θ - угловое расстояние между пришедшими лучами от двух
близко расположенных звѐзд, d - расстояние между внешними
зеркалами.
где предполагается, что звезда
является
равномерно
светящимся диском.
Звѐздный интерферометр в Маунт-Вилсон
Первый звѐздный интерферометр был
построен в обсерватории Маунт-Вилсон на базе
телескопа-рефлектора с диаметром зеркала в 100
дюймов (254 см). Отверстия в диафрагме находились
на расстоянии 114 см, а максимальное расстояние
между внешними зеркалами составляло 6,1 м. Между
линзой и экраном были размещены оптические
компенсаторы, так как интерференционные полосы в
белом свете видны только вблизи нулевого порядка
интерференции. Первой звездой, чей диаметр был
измерен, стала Бетельгейзе (0,047 угловой секунды).
Рис. 34.10 Интерферометр Майкельсона,
оборудованный на телескопе МаунтВилсон
Интерферометр Физо
Интерферометр Физо — простейший
двухлучевой
интерферометр,
применяемый
главным образом для контроля точности
изготовления поверхностей оптических деталей и
оптических систем. Интерферометр Физо часто
относят к интерферометрам с общим ходом
пучков, так как до эталонной (полупрозрачной)
поверхности пучки имеет общий ход.
Рис. 34.11 Схема интерферометра
Л. 35
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
Предварительные сведения
Определение: Дифракция – это совокупность явлений, наблюдаемых при распространении
света в среде с резкими неоднородностями и заключающееся в перераспределении
интенсивности световых волн в результате суперпозиции.
Примечание: Интерференция – это результат суперпозиции от конечного числа источников.
Дифракция – результат суперпозиции от когерентных источников, расположенных в среде
непрерывно. Следовательно, существенного физического различия между дифракцией и
интерференцией нет.
Виды дифракции:
Дифракция Фраунгофера – дифракция в параллельных лучах.
Дифракция Френеля – дифракция от точечного источника.
Исторические сведения: Ньютон построил оптику, исходя из корпускулярных представлений,
Гюйгенс из волновых. Френель дополнил и обобщил представления Гюйгенса.
Принцип Гюйгенса-Френеля

n
d
S

1. Точечный источник света – является источником сферических волн.
2. Каждая точка пространства, до которой доходит фронт волны,
является источником вторичных сферических волн, которые
способны интерферировать.
3. Вторичные волны распространяются только в направлении
распространения фронта первичной волны (см. рис.35.1).
P
S
Рис. 35.1
Элемент фронта в точке определяет колебательный процесс, уравнение которого имеет вид:


n0 dS
cos t  kr   0 ;
r
n
E  r , t    k   0 cos t  kr   0 dS ;
r
s
dE ( r , t )  k ( )


Метод зон Френеля
Примечание: метод зон Френеля служит для расчета в точке наблюдения результирующих
амплитуд колебаний.
Учитывая симметрию относительно оси SA,
разобьѐм волновую поверхность на кольцевые
зоны, так чтобы расстояние от краѐв каждой зоны
до точки А отличалось на /. Полученные таким
образом зоны, называются зонами Френеля. Из
геометрических соображений (рис.35.2):
ab
m ;
ab
rm 
bm  b  m

2
; m  0,1, 2,...;
ab

S


;
m
Площадь каждой зоны равна:
ab
Рис. 35.2
При больших значениях m, очевидно:
Sm  Sm1  Sm1;
Примечание: Амплитуды колебаний, возбуждаемых в точке А зонами Френеля, монотонно
убывают с ростом m: A1  A2  ...  Am ...; . Фазы колебаний, возбуждаемых соседними зонами,
отличаются на , то есть: A( A)  A1  A2  A3  ....;
A( A) 
A1  A1
A  A
A 
   A2  3    3  A4  5   ...;
2 2
2 2
2
A( A) 
A1
;
2
Вследствие монотонности
убывания =>
Am1  Am1
;
2
Am 
Примечание: Размер первой зоны при a=b=1 м, соответствует площадке ~1мм2.
r
Дифракция от круглого отверстия
ab
m ;
ab
S
P
a
b
Рис. 35.3
I
В данном случае:
r0 
r0
I
Рассмотрим дифракцию Френеля на малом круглом
отверстии. Расположим экран с отверстием так, как показано
на рисунке 35.3.
r0  a, b;
r
Выводы:
1. Наблюдатель в точке А видит изображение только 1 зоны, так как изображения других зон в
результате интерференции взаимно уничтожаются.
2. Интенсивность излучения в точке А равна интенсивности всей сферической волны.
3. Если в точке А поставить непрозрачный экран, пропускающий только 1 зону, то
интенсивность излучения в точке будет в 4 раза больше, чем при отсутствии экрана.
2
r
1 1
Следовательно, число открытых зон Френеля: m  0    ;
 a b
Амплитуда в точке P определяется: A  A1  A2  A 3 ...; ( “-” =>, m - чѐтное; “+” =>, m - нечѐтное).
A
A1 Am
A A

; m  нечетное; A  1  m1  Am ; m  четное;
2
2
2
2
Полагая: Am1  Am ;
Am1
A
 Am   m ;
2
2
A
A1 Am

;
2
2
(“+” m - нечѐтное,
“-“ m - чѐтное).
Выводы:
1. Дифракционная картинка от круглого отверстия имеет вид чередующихся
тѐмных и светлых колец, (см. рис. 35.4) .
2. Если открывает лишь часть центральной зоны , то на экране светлое размытое
пятно
Рис. 35.4
Важное примечание: Распределение интенсивности в картине дифракции на круглом
отверстии описывается функцией Эри (см. рис.35.5).
Примечательно то, что вклад максимумов первого, второго, и т. д., порядков очень
невелик.
Зонная пластинка
Если на пути световой волны поставить пластинку,
перекрывающую чѐтные или нечѐтные зоны, то
интенсивность излучения в точке резко возрастает.
Аналогичный эффект можно получить при изменении
фазы соседних зон на величину .
Фазовая зонная пластинка
Примечание: Зонные пластины обладают фокусирующим
свойством, так как собирают излучение в точке.
Рис. 35.6
Дифракция Фраунгофера от щели
b
x
Предположим, что на бесконечно длинную щель
шириной b падает плоская монохроматическая волна. За
щелью поместим линзу, в фокусе которой находится экран.
Разобьѐм щель на элементарные зоны шириной dx,
каждая зона создает в точке P колебание . Для небольших
 амплитуда колебаний, возбуждаемых каждой зоной,
будет зависеть только от еѐ площади.

  x sin 


S з ~ dx;
dA  cdx;
b
A0   dA   cdx  cb;
0
A
c 0;
b
A
dA  0 dx;
b
Определим фазовые соотношения между соседними
колебаниями dE. Сравним фазы колебаний, возбуждаемых в
точках 0 и x. Разность их хода равна:
  x sin  ;
t  2
Фаза в точке x:


 t  2
x

sin  ;

F
Э
Рис. 35.7
dE 
A0
x


cos  t  2 sin   dx;
b



  sin   
 sin   b x   
A0
2


  cos t   b sin   ;
E   cos  t  sin  dx  A0  




b 0 


  b sin   


x
b
sin x
; - интегральный синус
x

 sin  



E  A0 sin c   b
cos

t
b
sin



;

x




Введем обозначение: sin c x 
sin  
sin  

2
2
A    A0 sin c   b
;
I


A
sin
c

b


0


;
x
x




Вид функции I() показан на рис. 35.8
Анализ выражения для интенсивности:
  0; I  A ;
2
0
 b sin  
b sin    k  ;  I  0;
Определим число минимумов:
b sin   k ;
sin   
Вычислим угловую ширину центрального максимума:
  arcsin
2
;
b
b   ;
 
2
;
b
k
 1;
b
sin   

b
1

k
  k ;
b

;
;
Примечание: Чем уже щель, тем меньше размеры источника влияют на результирующую
дифракционную картину.
Важные примечания:
•
•
•
•
•
•
В явлении дифракции важную роль играют исходные размеры области волнового поля и
исходная структура волнового поля, которая подвержена существенной трансформации в
случае, если элементы структуры волнового поля сравнимы с длиной волны или меньше еѐ.
Исходное ограничение волнового поля в пространстве и его определѐнная структура могут
возникнуть не только за счѐт присутствия поглощающих или отражающих элементов, но и,
например, при порождении (генерации, излучении) данного волнового поля.
Следует заметить, что в средах, в которых скорость волны плавно (по сравнению с длиной
волны) меняется от точки к точке, распространение волнового пучка является
криволинейным (см. градиентная оптика, градиентные волноводы, мираж). При этом волна
также может огибать препятствие. Однако такое криволинейное распространение волны
может быть описано с помощью уравнений геометрической оптики, и это явление не
относится к дифракции.
Вместе с тем, во многих случаях дифракция может быть и не связана с огибанием
препятствия (но всегда обусловлена его наличием). Такова, например, дифракция на
непоглощающих (прозрачных), так называемых фазовых, структурах.
Отступление от прямолинейности распространения света наблюдается также в сильных
полях тяготения. Экспериментально подтверждено, что свет, проходящий вблизи массивного
объекта, например, вблизи звезды, отклоняется в еѐ поле тяготения в сторону звезды. Таким
образом, и в данном случае можно говорить об «огибании» световой волной препятствия.
Однако, это явление также не относится к дифракции.
Исторически в проблеме дифракции сначала рассматривались два крайних случая, связанных
с ограничением препятствием (экраном с дыркой) сферической волны и это была дифракция
Френеля, либо плоской волны на щели или системе отверстий - дифракция Фраунгофера
Примеры дифракционных явлений
Дифракция света в природе
Л. 36 Дифракция Фраунгофера на решѐтке
Дифракционная решѐтка – это совокупность последовательно
чередующихся щелей (количество щелей от 100 до 10000 на 1мм).
Примечание: Если на дифракционную решѐтку ортогонально падает
плоская волна, то на дифракционную картину от одной щели
накладывается интерференционная картина от взаимодействия световых
потоков от разных щелей, в результате возникают дополнительные
максимумы:

c
sin


2
m
; (36.1) Примечание: “Максимумы”
Условие максимума -
2
Условие минимума:

в соответствие с выражением
(36.1) называются главными
с
b
a

сsin
Э
Рис. 36.1
c sin    2m  1 ; (36.2)
2
Дифракция на регулярных структурах
d
b

=dsin

Z’
Z’
z
z
Рис. 36.2
Рассмотрим явление дифракции на регулярной структуре,
состоящей, например, из N параллельных щелей, ширина каждой
равна b, а расстояние между ними d. Пусть на эту структуру
перпендикулярно падает плоская монохроматическая волна.
Требуется найти интенсивность света I , распространяемого в
направлении z.
В таких задачах следует учитывать:
•
Дифракцию от соседней щели.
•
Интерференцию между пучками.
Каждая параллельная щель посылает волну:
b
E
En  0 exp i t  k  n  1 d sin    exp  ikx sin  dx;
b
0
(36.3)
Для учѐта действия всех щелей необходимо сложить все волны. Они когерентны, следовательно:
b
N
E0
E 
exp  it   exp  ik  n  1 d sin    exp  ikx sin  dx; (36.4)
b
n 1
0
С учѐтом: (36.3)
E
E0
b
q
 exp  ikx sin  dx  E0
0
sin U
;
U
sin U N
 E 0 exp it 
exp Eik n  1d sin 

U 
n 1



вычислим
1

U 
 b sin 
;

 d sin    ;
N
 exp 2  n  1  1  exp  2 i   exp  4 i   ...  exp 2  N  1 ;
n 1
Это геометрическая прогрессия со знаменателем:
N
 exp  2  n  1 i  
n 1
q  exp 2 b;
1  exp  2 Ni 
;
1  exp  2 i 
Для оценки I необходимо
определить  * - т.е.
вычислить квадрат модуля
амплитуды.
Квадрат модуля амплитуды определяется, как известно произведением самой функции на
комплексно сопряженную функцию – следовательно окончательно:
I  I 0  sin U / U   sin N / sin   ;
2
2
b
d
sin  ;  
sin  ;


sin U 2 sin N 2
(
) ; (
) ;
на дифракционную
U
sin 
U 
Иллюстрации влияния сомножителей картину приведены на (рис. 36.3) (графики зависимости интенсивности от угла )
Примечания:
{[sin(cU)]/U} - характеризует распределение интенсивности
от каждой щели.
{[sin(n)]/sin()} - результат интерференции между лучами
от каждой щели.

.
Анализ результатов:
Рассмотрим, как изменяется множитель
в зависимости от .
d sin   m; m  0,1,2...;

{sin( N ) / sin( )}  N ;
lim

sin 0
1

{sin( N ) /sin( )};
 d sin   m ;
I  max   I 0 sin c 2UN 2 ;
Выводы:
1. Если выполняется условие {dsin()=m}, то интенсивность света увеличивается в N2 раз, а
не в N.
2. Если N щелей расположены хаотически, то интерференция не наблюдается.
3. Максимумы, возникающие при выполнении условия {dsin()=m}, называются главными,
но они появляются тогда, когда одновременно sin(n)=0 и sin()=0.
4. При увеличении числа дифрагированных пучков N (в N =200 000 раз), главные максимумы
становятся очень резкими и разделены широкими промежутками (см. рис. 36.4).
Рассмотрим ряд характеристик, определяющих количественно и качественно
интерференционные и дифракционные изображения.
1. Функция видимости
V 
I max  I min
;
I max  I min
2. Дисперсия и разрешающая способность дифракционной решѐтки
Определение: Дисперсия дифракционной решѐток - D определяет угол, на
который разводятся решѐткой два пучка с длинами волн 1 и 2, т.е.:
d
D
;
d
D
d
m

;
d  d cos 
  0; cos   1;  D 
m
;
d
Примечание: Дисперсия дифракционной решетки, тем больше, чем
меньше - расстояние между двумя соседними штрихами.
3. Разрешающая способность
Критерий Рэлея – определяет две линии разрешѐнными, если
совпадает max1 с max2, и глубина провала  0,2 I 0 ; (см. рис. 36.5).
Можно сказать, что для дифракционной решѐтки разрешающая
способность определяется:
2


 mN ;
1  2 
l  Nd ;
 l sin max

;


I
0,2I0
I0
1
2
Рис. 36.5

Дифракция на плоской и пространственной структурах
Рассмотрим дифракцию плоской монохроматической волны на двух решѐтках, расположенных
параллельно друг другу, щели, которые перпендикулярны друг другу и имеют периоды d1 и d2 .
При описании будем пользоваться не углами дифракции i, а дополнительными к ним ,,. В
этом случае условие возникновение главного максимума имеет вид:
d1 cos   m1 ;


d 2 cos   m2 ;

cos 2   cos 2   cos 2   1;

  d1 
 cos  ;



1  
d 
 2   2  cos  ;
  
(36.5)
Примечание: Система уравнений (36.5) позволяет при заданных d1 и
d2 определить ,,, если в каждой решѐтке N1 и N2 велико, то
“максимумы” будут весьма “острыми” и располагаются преимущественно
в двух взаимно перпендикулярных направлениях (см. рис.36.8).
sin 2  N11  sin 2  N 2 2 
I ~ F  ,  ,  , b1 , b2 
;

2
2
sin 1
sin  2
2
Примечание: Если отверстия в экране расположены
хаотически, то на экране будет наблюдаться разные
кольца.
Рассмотрим случай трѐхмерной структуры с периодами, d1, d2, d3, на
которые вдоль оси 0z падает плоская монохроматическая волна. Для осей 0x
и 0y условия главного максимума: d cos   m  ;
1
1
Для оси 0z это

d 2 cos   m2 ;
условие имеет
вид:
d3  cos  0  cos    m3 ;
Условия усиления дифрагированной волны в направлении  к 0Z.
d3 1  cos    m3 ;  d3  d3 cos   m3; m3  0,1,2...;

d
Имеем систему уравнений: d1 cos   m1
d cos   m 
2
 2

d3 1  cos    m3
cos 2   cos 2   cos 2   1

dcos
Рис. 36.9
Выводы:
1. Для произвольной длины волны нельзя удовлетворить всем четырѐм уравнениям, то есть
пространственная решѐтка работает при дифракции как жѐсткий фильтр. Можно показать, что
связь между,  и 1, 2, 3 имеет вид:
2
2
 m1i   m2i   d3  m3di

 
 
d
d
d3
 1   2  

d
=L1+L2
L1
L2
Рис. 36.10
Условие БрэггаВульфа
2d sin   m;

  1;

2. При экспериментальной проверке этих закономерностей Лауэ в
1912 году показал, что для того, чтобы решетки эффективно
разлагали излучение в спектр, должно выполняться условие: d~
Примечание: Для кристаллов используют рентгеновское
излучение (5  50) кэВ. Суть метода Лауэ заключается в
том, что при освещении кристалла рентгеновским пучком
(рис.36.10) со сплошным спектром, кристаллическая решѐтка
“сама выбирает” длину волны, - , которая дифрагирует на
пространственной структуре. Пример Лауэграммы (см. рис.
36.11).
Рис. 36.11
Л. 37 Дисперсия света

Показатель преломления
Предположим, что световая волна падает на границу раздела двух сред,
например вакуум – диэлектрик, прозрачный для данной длины волны (см.
рис. 37.1). Скорость волны в вакууме равна с, в диэлектрике u. Напомним, что
абсолютный показатель преломления вводится как:
c sin 
n


;
Снеллиусом (1630 г.) и Декартом была предложена
u sin 
формула:
sin 
c
Максвелл
u
;
n
;
показал:
n   ; (37.1)
sin 


вакуум
с

u
диэлектрик
Рис. 37.1
Примечание: Скорость электромагнитной волны в среде уменьшается по сравнению с вакуумом,
это обстоятельство можно объяснить в рамках различных моделей
Дисперсия
Примечание: Если проанализировать количественные данные для соотношения n 
 ; , то можно прийти к
следующим заключениям:
1. Для некоторых веществ типа воздух, азот, аммиак, а также для жидкостей и твердых тел с ковалентными
связями между атомами, соотношение хорошо выполняется во всем световом диапазоне.
2. Для веществ с ионной кристаллической структурой (щелочно-галоидные кристаллы, кварц, стекло) это
соотношение выполняется уже плохо.
3. Совершенно не совпадают значения n2 и  для веществ с полярными молекулами (вода, лед). Однако это не
следует рассматривать как опровержение теории Максвелла.
4. Опыт показывает, что n среды зависит от частоты электромагнитной волны, следовательно, и ее скорость
распространения в этой среде также зависит от частоты. Это свойство зависимости скорости распространения
волны от частоты называется дисперсией.
Дисперсия и разложения светового излучения в спектр
Примечание: При падении, например, естественного света на прозрачную границу раздела
двух сред (воздух – вода) наблюдается спектральное разложение. Причина этого явления в том,
что разным частотам соответствуют различные показатели преломления, в результате чего лучи
отклоняются на различные углы от своего первоначального направления.
Основные положения электронной теории дисперсии
В конце Х1Х века Г. Лоренц на основе классической электронной теории предложил
объяснение этого явления исходя из следующих положений:
1. Так как большая разница между n2 и  наблюдается у веществ с полярными молекулами,
причем на частотах сильно отличающихся от светового диапазона, то естественно
предположить, что в высокочастотных полях дипольные моменты таких молекул не
«успевают разворачиваться». То есть степень ориентации таких молекул уменьшается,
следовательно, уменьшается и диэлектрическая проницаемость. Следовательно, можно
сделать вывод о том, что в оптическом диапазоне дипольные моменты молекул, наличие
ионной или ковалентной связи играют малую роль, а поляризация возникает за счет
деформации электронных облаков.
2. Проанализируем процесс поляризации атома или молекулы в электромагнитном поле
световой волны: E  E0 cos(t  kr ),  E (t )  E0 cos(t );
На слабо связанные внешние валентные электроны, в первом приближении со
стороны электрического поля волны действует сила: F (t )  eE0 cos(t );
Изменение некоторого эффективного радиус – вектора
eE0
r (t ) 
cos(t );
определяющего, максимальное значение плотности вероятности
2
2
m
(



)
0
электронного облака для данного состояния:
Для наведенного электрическим полем волны дипольного момента молекулы справедливо:
e2 E0
p  er (t ) 
cos(t );
2
2
m(0   )
(37.1)
Введем понятие поляризуемости молекулы следующим образом:
p
e2


;
 0 E m 0 (02   2 )
(37.2)
Нетрудно показать:
e2 n0
- закон дисперсии (n0 ;
  n  1  n0  1 
(37.3)
концентрация молекул.
m 0 (02   2 )
2
Известно, что для газов диэлектрическая восприимчивость , следовательно:
n2  1    n  1  2  n  1 

e 2 n0
n  1  1
;
2
2
2
2m 0 (0   )
Понятия нормальной и аномальной дисперсии

2
abcd
n
;
(37.4)
1
0
0
Рис. 37.2
Показатель преломления среды зависит от частоты электромагнитного поля в световой волне
(37.2). Графическая зависимость n() приведена на рис. 37.2. Элементарный анализ (37.2)
показывает, что при =0 функция n() претерпевает разрыв (на графике эта зависимость
представлена пунктирной линией).
Примечания:
1. Формула (37.2) количественно, для газов, при частоте  значительно отличающихся от 0 ,
дает более или менее правильные результаты.
2.
Единственный вывод, который в этом случае можно сделать : принятая модель является
неполной, очевидно следует учесть «добротность» молекулярной системы, которая
должна определить затухание амплитуды колебаний в критической точке =0 .
3. Участки ab и cd называются участками нормальной дисперсии, так как здесь показатель
преломления возрастает с ростом частоты. На участке bc, вблизи резонансной частоты 0,
наоборот показатель преломления уменьшается с ростом частоты. Поэтому этот участок
получил название области аномальной дисперсии. С точки зрения электронной теории
никакого противоречия здесь нет.
Дисперсия и поглощение света

При распространении плоской электромагнитной волны в
достаточно прозрачной для данной длины волны среде энергия
волны убывает по экспоненциальному закону – (закон Бугера)
I ( x)  I 0e   x ;
Экспериментально установлено, что коэффициент линейного
ослабления  зависит от длины волны, то есть наряду с дисперсией
коэффициента преломления имеется дисперсия коэффициента
поглощения. На рис. 37.3 представлен график такой зависимости,
(рядом для сравнения изображена дисперсионная кривая для
показателя преломления (в длинах волн)).
0
0
Рис. 37.3

Примечания:
1. Анализ показывает, что максимальное поглощение соответствует области аномальной
дисперсии, это объясняется общим свойством вынужденных колебаний: система
поглощает наибольшую энергию при резонансе.
2. В твердых телах, растворах благодаря сильному взаимодействию между атомами и
молекулами области аномальной дисперсии расширяются и превращаются в так
называемые полосы поглощения. (на этом свойстве основано действие светофильтров, которые
представляют собой стеклянные пластины с присадками солей, или покрытые пленками из пластмасс содержащих
органические красители )
Вычисление фазовой и групповой скорости в среде
NB
1. Световой поток может быть представлен в виде волновых цугов. При распространении
волнового цуга в вакууме независимо от частоты все волны цуга распространяются с
одинаковой скоростью – с. В веществе за счет дисперсии, скорости составляющих цуга
оказываются различными.
2. Возникает вопрос, что следует понимать под скоростью цуга? Для этого предварительно
напомним определения фазовой и групповой скорости для плоской монохроматической
волны и для волнового цуга.
Случай плоской монохроматической волны
E ( x, t )  E0e
i (t  kx )
 E0e
x
i ( t  )
v
Дифференцируя последнее
соотношение по времени:
;
v  v 
Уравнение поверхности
равных фаз:
x
v
 (t  )  const; v 
dx
 
;  (t  kx)  const ; v   ;
dt
k T
c

- фазовая
скорость
;
Случай плоской немонохроматической волны
Примечания:
1.
Так как атом поглощает и излучает электромагнитное излучение порциями - квантами, то очевидно можно
утверждать, что фотон может быть определен в конечном пространственно – временном континиуме.
2.
Волной цуг представляет собой бесконечный набор электромагнитных волн различных амплитуд,
обладающих частотами в пределах от 0 до , или в пределах частот от 1 до 2, что позволяет ограничить
частотный диапазон =2-1.
3.
Возникает вопрос, – как описать процесс распространения такого волнового пакета в диэлектрике. Каждая
волна, имеющая частоту i, очевидно, распространяется со скоростью vi , тогда очевидно необходимо
ввести понятие такой скорости распространения, которая описывала движение цуга в среде как целого.
Определения:
А) Если скорости всех составляющих волнового пакета одинаковы, то их фазовые соотношения
не изменяются, в этом случае скорость перемещения цуга совпадает со скоростями его гармонических
составляющих. Среда в которой возможна реализация такого процесса называется недиспергирующей.
Б) В том случае, если фазовые соотношения между гармоническими составляющими изменяются
по мере распространения волны в среде, то распространение фотона характеризуется так называемой
групповой скоростью, а среда в которой наблюдается такой процесс называется диспергирующей.
Рассмотрим «группу» волн, состоящую из двух гармонических составляющих одинаковой
амплитуды, незначительно различающимися по частотам 1, 2:
E1  E0 cos(1t  k1 x);
E2  E0 cos(2t  k2 x);
Результирующая волна:
E  E1  E2  2 E0 cos(
  (1  2 )
1  2
1 ,2 ;
2
t
k1  k2
  2
k  k2
x)cos( 1
t 1
x);
2
2
2
E  2 E0 cos(

k
t
x)cos(1t  k1 x);
2
2
(37.5)
(37.6)
Prim:
Соотношение (37.6) для сложной волны можно приближенно считать уравнением
«монохроматической» волны с частотой 1 и волновым числом k1 и медленно изменяющейся
(модулированной) амплитудой:

k
2 E0 cos(
2
t
2
x);
Такая волна характеризует группу волн, а импульс ею переносимый можно охарактеризовать скоростью
переноса или групповой скоростью.

k
t
x  m2 ; m  0,1,2,...
2
2
vг 
d
; (37.7)
dt
Несложно установить взаимосвязь между групповой и фазовой скоростями:
dvф
d
d

(vф k )  vф  k
;
dt
dt
dk
2
k  2 /  ; dk   2 d  ;
vг 
E( t )

t
Рис. 37.4
vг  vф  
Предположим, что цуг световых
волн описывается выражением:
dvф
d
;
- формула
Релея
E  E0 (t ) cos(t  kx   (t ));
Если амплитуда и фаза медленно изменяются с течением времени, то процесс можно считать
квазимонохроматическим. Доопределим этот гипотетический набор волн следующим образом – считаем, что он
представляет из себя квант во времени (см. рис. 37.4)
t
E( t )  0;  t  
2
(37.8)
t
t
it
E( t )  E0 e ;
t  
2
2
Функция E(t) не является периодической, для того чтобы оценить ее «набор монохроматических» составляющих
представим ее в виде интеграла Фурье:

E() – Фурье образ нашего кванта. Фурье
образ функции с самой функцией связан
известным соотношением:
E (t ) 
 E ( )e
it
d;

1
E ( ) 
2


E (t )e  it dt ;
(37.9)

Подставив (37.8) в (37.9) получим:
t
2
1
sin (0   )t
1
1
i (0  ) t
2
sin
(0   )t ; (37.10)
E ( ) 
E
e
dt
E
E
c


0
0
0
1
2 t
2
(0   )t

2
2

Учитывая: t  const , 1 (   )t   , A  E t ;
0
0
2
Формулу (37.10) можно
представить:
E ( )  A
sin 
;

Наибольший интерес представляет не сама амплитуда, а ее квадрат, так как, в конечном счете, именно эта
2
величина связана с переносом энергии:
2
2
I ( )  E ( )  A sin s  ;
(37.11)
Анализ (37.11)
1.
Функция f()=sinc обращается в ноль при =m, m=1,2,3,… .
2.
Условия максимума определяются, очевидно из уравнения:
df ( )

 0;  tg   ;
Последнее уравнение просто решается графически, его набор решений 1=0; 2=1,43; 3=2,46; 4=3,47; … .
Вид функции I() для рассматриваемого случая представлен на рис. 37.5.
Проанализируем полученные результаты:
а) Фурье – образ нашего гипотетического кванта имеет главный максимум
при =0. Эту частоту можно рассматривать как частоту плоской
квазимонохроматической волны.
б) Максимумы второго, третьего, и т. д. порядков очень невелики по
сравнению с амплитудой главного максимума, их суммарный вклад не
превышает 5%, следовательно, практически вся «энергия» сосредоточена в
интервале =. Таким образом можно утверждать, что спектр в
интервале частот 0- является сплошным.
в) В таком предположении интенсивность становится равной нолю при (0   )t  2 ; откуда
t  2 ; , с учетом максимумов других порядков t  2 ; , то есть ширина
спектрального интервала обратно пропорциональна длительности квазимонохроматических
колебаний.
г) Заметим что в пределе, или когда с физической точки зрения можно перейти к такому пределу,
то есть при t   мы имеем дело с идеальной монохроматической волной.
Дисперсия света в природе и искусстве
•
Радуга, чьи цвета обусловлены дисперсией, — один из
ключевых образов культуры и искусства.
•
Благодаря дисперсии света, можно наблюдать цветную
«игру света» на гранях бриллианта и других прозрачных
Из-за дисперсии можно
наблюдать разные цвета.
гранѐных предметах или материалах.
•
В
той
или
иной
степени
радужные
эффекты
обнаруживаются достаточно часто при прохождении
света через почти любые прозрачные предметы. В
искусстве
они
могут
специально
усиливаться,
подчеркиваться.
•
Разложение света в спектр (вследствие дисперсии) при
преломлении в призме - довольно распространенная
тема в изобразительном искусстве. Например, на
обложке альбома The Dark Side of the Moon группы Pink
Floyd изображено преломление света в призме с
разложением в спектр.
Л. 38
Поляризация света
Естественный и поляризованный свет
Примечание: Естественный свет можно рассматривать как совокупность световых волн со
всевозможными направлениями колебаний световых векторов, следовательно, векторная
сумма световых векторов у естественного света равна нулю.
Определение: Поляризованным называется свет, в котором направления колебаний световых
векторов упорядочены каким, либо образом.
Предположим, что в одном и том же направлении распространяются две
световые волны, световые векторы которых оказываются параллельными осям ОХ и
OY (см. рис. 38.1), направление векторов скоростей совпадает с осью OZ, а фазы
отличаются на .
Ex  E01 cos(t ); E y  E02 cos(t   );
Результирующая напряженность электрического поля:
tg 
E02 cos(t   )
;
E01 cos(t )
E
Ey

Ex
(38.1)
Рис. 38.1
E  Ex  E y ; (38.2)
(38.3)
Примечание: Если разность фаз со временем изменяется случайно, вектор Е будет
случайным образом «поворачиваться», или окажется случайно ориентированным в каждый
момент времени. Следовательно , приведенная модель удовлетворяет условиям естественного
света.
Воспользовавшись рассмотренной моделью, введем ряд понятий:
 
Ex ,E y
E
tg   02  const , и
1. Если
оказываются когерентными, разность
фаз
то




0
,
,...

E01
мы имеем дело с плоско поляризованной волной E( r ,t )

2. Если окажется, что амплитуды равны, то есть - E01  E02 , а разность фаз:    ,
2
наблюдаться круговая поляризация, причем: tg  tg ( t )
то будет
3. При E01  E02 ;  const будет наблюдаться эллиптическая поляризация.
4. Правая эллиптическая поляризация, в этом случае «результирующий вектор» Е вращается
по часовой стрелке по отношению к направлению распространения луча, если же это
вектор вращается против часовой стрелки, то мы имеем дело с левой оптической
поляризацией.
5. Плоскость колебаний - плоскость, в которой расположен световой вектор в плоско
поляризованной волне.
6. Плоскость поляризации – плоскость перпендикулярная плоскости колебаний. (Такая
ситуация с определениями плоскостей сложилась исторически )
7. Поляризаторы – приборы, кристаллы (турмалин, кварц, исландский шпат) способный
пропускать кванты света определенной поляризации.
Плоскость колебаний
Y
8. Степень поляризации – вводится с помощью простой
формулы:
I I
P  max min ; (38.4)
I max  I min
Закон Малюса
Z
E
X
Плоскость поляризации
Рис. 38.2
Интенсивность света прошедшего через поляризатор прямо пропорциональна интенсивности
падающего света и квадрату косинуса угла между плоскостью колебаний светового вектора и
плоскости поляризации поляризатора.
1. Случай поляризованного света
I  I 0 cos  ;
2
(38.5)
2. Случай естественного света.
Интенсивность на выходе первого поляризатора ПП1 равна половине
падающей на систему интенсивности, то есть:
1
I

I e ; (38.6)
1

I

Поляризатор
I0
Плоскость поляризации
2
Рис. 38.3
I
1/2Ie
ПП2
Ie
ПП1
Рис. 38.4
1
n1
При прохождении второго поляризатора (рис. 38.4) выполняется
соотношение (38.5), таким образом, окончательно:
1
2
I
2
I e cos  ;
(38.7)
Поляризация при отражении и преломлении. Закон Брюстера
При падении света на границу раздела двух прозрачных диэлектриков, если угол
падения отличается от нуля, то отраженный и преломленный лучи оказываются
частично поляризованными. Причем, в отраженном луче преобладают фотоны, у которых
световые векторы перпендикулярны плоскости падения, а у преломленного луча световые
векторы оказываются параллельными плоскости падения (рис. 38.5). Степень поляризации
отраженного и преломленного лучей зависят от угла падения.
n2
Рис. 38.5
tgBr  n12 ;
Закон Брюстера - Для каждой пары диэлектриков, прозрачных данному
излучению существует некоторый угол падения, при котором
отраженный луч полностью поляризован.
Примечание: Если угол падения равен углу Брюстера, то степень поляризации преломленного луча
оказывается максимальной (например, для пары диэлектриков воздух – стекло, степень поляризации
составляет примерно 15%)
Формулы Френеля
Примечания:
1. Формулы Френеля служат для определения степени поляризации отраженного и преломленного лучей.
2. Эти формулы устанавливают соотношения между комплексными амплитудами падающей, отраженной и
преломленной волнами.
3. Введем обозначение A  Aei - комплексная амплитуда, А – вещественная амплитуда,  - начальная
разность фаз.
Предположим, что падающая волна может быть представлена в виде суммы двух некогерентных
волн, световые векторы которых, у одной ориентированы параллельно плоскости падения, а у другой
перпендикулярно этой плоскости. Аналогично можно представить преломленную и отраженную волны.
Соответственно обозначим:
A ; A
11

11

A ; A
1
A  A
1
- амплитуды преломленных волн.
1 , 2
sin(1  2 )
;
sin(1  2 )
2sin 2 cos 1
A  A
;
sin(1  2 ) cos(1  2 )
11

11

A  A
1

A ; A
tg (1  2 )
;
tg (1  2 )
A   A
1

- амплитуды падающей волны, для
параллельной и ортогональной
составляющих, соответственно.
2sin 2 cos 1
;
sin(1  2 )
- амплитуды отраженных волн.
- соответственно углы падения и
отражения.
Анализ формул Френеля

1  Br ,  1  2  ; A  0;
1. Если
, то отраженная волна
2
полностью поляризована и состоит из ортогональной составляющей
- 1
A
2. Для отраженной волны скачок фазы в «ортогональной»
составляющей отсутствует, при совпадении их знаков. Скачок фазы
также отсутствует и для параллельной составляющей, если
падающая и преломленная волны имеют противоположные знаки.
3. Для преломленных волн скачок фазы отсутствует при любых значениях 1 ;2 потому, что
1  2  .
4. Особый интерес представляют формулы Френеля для малых углов падения:
n 1
 
A  A€ 1 2  A 12 ;
n12  1
1  2
1

n 1
 
A   A€ 1 2   A 12 ;
n12  1
1  2
1

11
A  A
11

(38.8)
22
2
;
 A
1  2
n12  1
A  A
22
2
 A
;
1  2
n12  1
Если возвести в квадрат последние выражения и умножить на показатели преломления
соответствующей среды, то получим выражения для интенсивностей отраженной и преломленной волн:
I1  I (
n12  1 2
) ;
n12  1
I 11  I (
2 2
) ;
n12  1
(38.9)
Поляризация при двойном лучепреломлении
но
о
Рис. 38.6
Определение: Явление двойного лучепреломления заключается в том, что при прохождении
света через прозрачные кристаллы, не принадлежащие кубической структуре, упавший на
кристалл луч, внутри его разделяется на два луча, которые распространяются с различными
скоростями и в различных направлениях.
Примечания:
а) Кристаллы с двойным лучепреломлением разделяются:
1. Одноосные кристаллы (исландский шпат, турмалин).
2. Двуосные кристаллы (слюда, гипс).
б) Одноосные кристаллы характеризуются тем что:
•
Падающий на такой кристалл луч, внутри его разделяется на два луча: обыкновенный необыкновенный;
•
Обыкновенный луч подчиняется всем оптическим законам, в том числе и закону преломления.
•
Необыкновенный луч, закону преломления не подчиняется, и не принадлежит плоскости образованной
падающим лучом и нормалью, к поверхности восстановленной в точке падения.
Определение: Направление, вдоль которого, у одноосных кристаллов лучи обыкновенный и необыкновенный,
распространяются с одной и той же скоростью называется оптической осью кристалла.
Определение: Плоскость, содержащая падающий луч и оптическую ось одноосного кристалла называют
главной плоскостью кристалла или главным сечением.
но
но
о
но
о
Рис. 38.7
о
Обыкновенный и необыкновенные лучи (О, НО)
Анализ поляризации света показал, что электрический вектор в
обыкновенном луче расположен перпендикулярно главному сечению,
а в необыкновенном луче принадлежит самому сечению. Другими
словами – обыкновенный луч поляризован в главном сечении одноосного
кристалла, а необыкновенный в плоскости перпендикулярной главному
сечению.
но
но
о
но
о
Рис. 38.7
Отношение интенсивностей
соответственно будет иметь вид:
о
Примечание: Если один из лучей О или НО направить на одноосный
кристалл с двойным лучепреломлением, то каждый из них расщепится
на два луча (см. рис.38. 7).
Если на кристалл падает линейно поляризованный свет с амплитудой Е, и
при этом угол между плоскостью колебаний в падающем луче и главным
сечением кристалла .. Понятно, что электрические векторы
необыкновенного и обыкновенного лучей образуют соответственно углы 
и с плоскостью колебаний падающего линейно поляризованного луча.
Тогда амплитуды колебаний для обыкновенного (Ео) и необыкновенного
(Ено) лучей соответственно будут равны:
Eo  E sin  ; Eно  E cos  ;
Io
 tg 2 ;
I но
Объяснение двойного лучепреломления в одноосном кристалле
Известно, что скорость электромагнитной волны в диэлектрике определяется выражением:
Если диэлектрическая проницаемость зависит от направления распространения
волны, то очевидно:        ;
Для одноосных кристаллов  x   y   z ;
x
y
z
v
c

;
Пусть волна распространяется вдоль оси OY, тогда ее скорость будет зависеть от ориентации
светового вектора:
Примечание: скорости в этих случаях
не равны. Следовательно, в
c
c
E

OX
,

v

;
E

OZ
;

v

;
y
зависимости от ориентации вектора Е
1)
2)
y
 x  траектории лучей будут различны.
 z
Если волна распространяется вдоль оси OZ, то двойного лучепреломления, очевидно, не будет, так как:
vz 
c
c

;
 x
 y
Поляризационные приборы и приспособления
Примечание: Для получения поляризованного света используют поляризационные приспособления,
состоящие либо из природных кристаллов, обладающих двойным лучепреломлением, либо из кристаллов, у
которых значительно отличаются показатели преломления для обыкновенного и необыкновенного лучей
(лучшим здесь является исландский шпат). Однако естественные кристаллы не дают значительного
геометрического расхождения лучей, поэтому в поляризационных приборах используют комбинации призм из
кристаллов, рассмотрим некоторые из них.
Призма Николя
Шотландец У. Николь в 1828 году впервые предложил двупризменный поляризатор (см.
рис. 38.8). Призма состоит из двух частей склеенных канадским бальзамом. Показатель
преломления, которого n=1,550, лежит между значениями показателей преломления для
обыкновенного и необыкновенного лучей, в оптическом стекле. Максимальный угол
расхождения (угол апертуры) падающего луча равен 29о. Заметим, что необыкновенный
луч выходит из кристалла, практически параллельно верхней грани, незначительно
смещаясь относительно падающего луча.
220
НО
900
О
Рис. 38.8
Призма Волластона
D
A
О
НО
B
C
Рис. 38.9
Призма Волластона относится к так называемым двоякопреломляющим
призмам и состоит из двух призм из исландского шпата с взаимно
перпендикулярными оптическими осями. Склеивание производится по
гипотенузам (см. рис. 38.9) В первой призме АВС обыкновенный и
необыкновенный лучи распространяются по направлению падающего
луча, во второй призме ADC из-за взаимной перпендикулярности
оптических осей призм обыкновенный луч первой призмы станет
необыкновенным и наоборот. Так как для исландского шпата показатель
преломления обыкновенного луча больше чем показатель преломления
луча необыкновенного линейно поляризованные лучи при выходе из
призмы распространяются симметрично направления падающего луча.
Турмалин
В 1916 году Био и Зеебек установили, что пластины из турмалина селективно поглощают разные цвета
кроме желто - зеленого (сам турмалин представляет из себя прозрачный желто-зеленый кристалл), при этом
они обладают двойным лучепреломлением. При толщине кристалла более 1 мм, обыкновенный луч полностью
поглощается кристаллом и через него проходит только необыкновенный луч. Кроме того, у турмалина
достаточно большой апертурный угол, что создает определенные преимущества при использовании.
Искусственная анизотропия веществ
Явление двойного лучепреломления можно получить и в кристаллах с
кубической решеткой, а также в некоторых аморфных телах при воздействии
на них электрических и магнитных полей или при механических деформациях.
В этом случае говорят об искусственной анизотропии вещества, которая
практически исчезает при снятии внешнего воздействия.
F
N2
N1
/4
F
1. Анизотропия при механических деформациях
Рис. 38.10
Физику явления двойного лучепреломления при механических нагружениях, достаточно просто объяснить на
примере опыта, схема которого изображена на рис. 38.10. При механическом воздействии на прозрачное тело
оно переходит в состояние «квазикристалла», оптическая ось которого проходит в направлении приложения
внешней силы. Можно показать, что изменение показателя преломления образца при механическом
нагружении оказывается пропорциональным величине внешней силы, это позволило создать оптические
методы определения деформаций в образцах различной формы. В настоящее время это достаточно развитая
область, использующая методы и алгоритмы томографической реконструкции позволяет трехмерные функции
распределения напряжений в телах достаточно сложной формы и в весьма наглядном виде.
Эффект Керра (анизотропия в электрическом поле).
Явление Керра было обнаружено в 1875 году, и сегодня
широко используется в технике эксперимента, а также в
системах точной механики и оптики.
NO2
C
CH
N2
N1
CH
Схема экспериментальной установки изображена на
CH
рис.38.11. Между двумя скрещенными поляризаторами
CH
Ячейка
/4
Керра
расположен плоский конденсатор, в объеме между
CH
пластинами которого размещается так называемая ячейка
Керра - кювета с жидким нитробензолом, в котором
Рис. 38.11
рассматриваемый эффект проявляется очень ярко.
Суть явления можно объяснить следующим образом: при наложении внешнего электрического поля в
области между обкладками конденсатора, молекулы нитробензола, имеющие дипольный момент
ориентируются по полю, таким образом, раствор в кювете приобретает свойства одноосного кристалла.
P
Экспериментально установлено:
n  nне  no  kE 2 ; k  const Kerrai
Примечания:
1. Как правило, к положительная величина, хотя для некоторых веществ она может быть отрицательной, это
говорит о том, что показатель преломления для необыкновенного луча оказывается меньше, чем для
обыкновенного.
2. Отличительной особенностью эффекта Керра является его малая инерционность, примерно 10-8 с, что
позволяет создавать практически безинерционные оптические затворы.
3. Строго говоря, в настоящее время под константой Керра понимают несколько иную величину:
n  (nне  no )l  klE ;
2

2
0
  2
k

2
lE ;
Bk
1
0
;
B – const Керра
Практическое значение явления поляризации
Скорость распространения волны может зависеть от еѐ
поляризации.
Две волны, линейно поляризованные под прямым углом
друг к другу, не интерферируют.
Чаще всего это явление используется для создания
различных оптических эффектов, а также в 3D-кинематографе
(технология IMAX), где поляризация используется для разделения
изображений, предназначенных правому и левому глазу.
Рис. 38.12 Левое изображение снято без
фильтра, правое — через
поляризационный фильтр
Круговая поляризация применяется в антеннах космических линий связи, так как для приѐма
сигнала не важно положение плоскости поляризации передающей и приѐмной антенн. То есть вращение
космического аппарата не повлияет на возможность связи с ним.
В наземных линиях используют антенны линейной поляризации — всегда можно выбрать заранее
— горизонтально или вертикально располагать плоскость поляризации антенн. Антенну круговой поляризации
выполнить сложнее, чем антенну линейной поляризации. Вообще, круговая поляризация — вещь
теоретическая. На практике говорят об антеннах эллиптической поляризации — с левым или правым
направлением вращения.
Круговая поляризация света используется также в технологиях стереокинематографа RealD и
MasterImage. Эти технологии подобны IMAX с той разницей, что круговая поляризация вместо линейной
позволяет сохранять стереоэффект и избегать двоения изображения при небольших боковых наклонах головы.
Л. 39 Интерференция в поляризованном свете
Примечание: явление интерференции возникает в когерентных пучках,
причем световые векторы должны быть расположены в параллельных
плоскостях. При пропускании естественного света через николь, или
N1
N2
другое поляризационное приспособление, эти условия не выполняются, в
П
частности плоскости колебаний электрических векторов оказываются не
Рис. 39.1
параллельными. Для того, что бы выполнить условия когерентности
можно воспользоваться установкой представленной на рис. 39.1.
Параллельный пучок естественного света, пройдя первый николь N1, превращается в линейно
поляризованный, и в дальнейшем падает ортогонально поверхности пластины П. Эта пластина представляет
собой одноосный кристалл, оптическая ось которого параллельна преломляющей поверхности, таким образом,
падающий луч, пройдя пластину, разделяется на два луча – обыкновенный и необыкновенный, которые
распространяются в направлении падения, но различными скоростями. Так как николь N2 пропускает только
составляющие, плоскости колебаний электрического вектора которых параллельны главной плоскости,
электрические векторы лучей вышедших из второго николя будут ориентированы в параллельных плоскостях.
Поскольку обыкновенный и необыкновенный лучи получены от плоско поляризованного луча вышедшего из
первого николя, они, пройдя пластину с различными скоростями оказываются не только когерентными, но у
них появляется некоторая постоянная разность фаз. Таким образом, лучи выходящие из второго николя
полностью удовлетворяют условиям интерференции.
Рис. 39.2
Более подробно ход лучей в рассматриваемой системе
представлен на рис. 39. 2. Интерференционная картина,
возникающая в результате взаимодействия двух когерентных волн,
определяется, очевидно, их амплитудами и разностью фаз между
ними.
Угол между главными сечениями николей выбирается, в
общем то, произвольным образом, и равен например 
E1o  E1 sin  ; E1e  E1 cos  ;
E2 o  E1 sin  sin(   );
E2 e  E1 cos  cos(   );
(39.1)
Используем более употребительную символику, по сравнению с использованной ранее: Ео – амплитуда
светового вектора обыкновенного луча, Ее – амплитуда светового вектора необыкновенного луча.
N1
E10
E1

N2
Из геометрической интерпретации (рис. 39.3) процесса и с учетом соотношений
(39.1) разность фаз между лучами после прохождения ими пластины П будет
равна:
2
 
(n  n )d ; (39.2)

o
e
Примечание: любой детектор регистрирует не амплитуды световых векторов,
а их квадраты, то есть интенсивности.
E2e
I  I1  I 2  2 I1I 2 cos  ;
E2o
E1e
-

Рис. 39.3
Подставим (39.1), (39.2)
в (39.3) и с учетом:
(39.3)
 

cos   1  2sin 2 (
) ;
2 

 

I  I1 cos 2   sin 2 sin 2(   )sin 2 ( )  ;
2 

(39.4)
Проанализируем выражение (39.4);
1. Если главные сечения николей параллельны друг другу, то есть , то результирующая интенсивность в
интерференционной картине:
 

I  I1 1  sin 2 2 sin(
) ;
2 

(39.5)
2. В случае, если , то интенсивность, очевидно, будет равна:
I  I1 sin 2 2 sin 2 (

);
2
(39.6)
Эллиптически поляризованный свет
П
N
Методы получение эллиптически поляризованного света
E1o
Рассмотрим взаимодействие двух когерентных пучков света со взаимно
ортогональными плоскостями световых векторов. Такие пучки можно получить с
помощью установки, схема которой представлена на рис. 39.4. Естественный свет, пройдя
николь, превращается в линейно поляризованный. Пластина сделанная из одноосного
кристалла ориентирована таким образом, что луч из николя падает на нее
перпендикулярно. Плоскость поляризации падающего на пластину луча в общем
расположена под произвольным углом  к оптической оси кристалла пластины. Пройдя
пластину, луч разделяется на обыкновенный и необыкновенный лучи, которые
поляризованы во взаимно перпендикулярных направлениях. Амплитудные значения
световых векторов этих лучей очевидно определятся:
 E1o  E sin  ;

 E1e  E cos  ;
d
E
E1e
Рис. 39.4
(39.7)
Возникающая в пластине оптическая разность хода соответственно будет равна:
 
2
(no  ne )d  ;

(39.8)
Перепишем выражение (39.7) - для обыкновенного и необыкновенного лучей с учетом (39.8):
 Ee  E cos  cos(t );

 E0  E sin  cos(t   );
Первое выражение в соотношении
(39.9) можно представить в виде:
cos(t ) 
(39.9)
Ee
E
Ee
)2  1  ( e )2 ;
; sin(t )  1  (
E cos 
E1e
E cos 
Используя выражение для обыкновенного луча в (39.9) запишем отношение:
E0
 cos(t ) cos   sin(t )sin  
E sin 
E
E
E
 e cos   1  ( e ) 2 sin   0 ;
E1e
E1e
E10
(39.10)
Y
=
X
=-
Следовательно:
Ee
Eo
2
0
2
10
2
e
2
1e
E
E
EE

 2 0 e cos   sin 2  ;
E
E
E10 E1e
(39.11)
Выражение (39.11) является уравнением эллипса ориентированного произвольно
относительно осей YY и XX (см. рис. 39.5).
Y
X
Вывод: сложение двух взаимно перпендикулярных световых векторов
распространяющихся вдоль одного направления, (в данном случае вдоль оси ZZ)
приводит к тому, что результирующий световой поток можно рассматривать как
эллиптически поляризованный свет, то есть концы световых векторов такого
потока принадлежат эллипсу.
Рис. 39.5
Частные случаи, вытекающие из фазовых соотношений между обыкновенным и необыкновенным лучами в
результирующем потоке;
1)
 

2
;
С учетом (39.8)
2

(no  ne )d 

2
;
Разность фаз создается пластиной П толщина, которой определяется
(39.12), поэтому такая пластинка «четверть волновой пластинкой».
Уравнение эллипса в этом случае принимает простейший вид:
d1/ 4 

4(no  ne )
;
E02
Ee2
 2  1;
2
E10
E1e
(39.12)
(39.13)
Примечания: 1) Направление вращения радиус вектора эллипса зависит от знака разности фаз, принято
считать, при  - «правая поляризация»,  - «левая поляризация».
2) При    / 2 обыкновенный луч отстает по фазе от луча необыкновенного на угол
 Ee  E1e cos t ;
 E0  E1o sin t ;
, то есть: 
10-7 м.
2)
   ;
, обычно толщина четверть - волновой пластинки составляет  8,6
Аналогично рассуждая, получим выражения для толщины пластины в половину длины
волны, то есть:
d1/ 2 

2(no  ne )
;
E02
Ee2
 2  0;
2
E10
E1e
Уравнение эллипса в этом случае, говорят, вырождается в отрезок прямой:
3)
  2 ;
В этом случае ситуация аналогична предыдущей, за
исключением того вырожденный эллипс расположен
в других квадрантах, и соответственно:
d1/ 2 
Y
=
=2
X
Рис. 39.6
Вид таких отрезков – «эллипсов»
представлен на рис. 39.6.

(no  ne )
;
E02
Ee2
 2  0;
2
E10
E1e
Примечания: 1) При прохождении эллиптически поляризованного света через
пластинку в четверть длины волны или эквивалентную ей пластинку на ее выходе
получается плоско - поляризованный свет.
2) При прохождении плоско - поляризованного света через пластинку
в одну длину волны направления колебаний светового вектора не изменяются.
Y
Вращение плоскости поляризации
X
Примечание: Некоторые вещества, их называют
оптически активными, обладают способностью вращать
плоскость поляризации проходящего через них плоско
поляризованного света. К таким веществам относятся:
кварц, сахарный раствор, скипидар, раствор никотина и
т.д. Рассмотрим подробнее физику данного явления,
причем. Начнем с анализа экспериментальных данных.
Пластина
кварца
Экран
Z
N2
N1
d
Рис. 39.7
Классическим примером, демонстрирующим вращение плоскости поляризации,
являются
одноосные кристаллы, например кварц. Схема установки демонстрирующей рассматриваемое явление
представлена на рис. 39.7. Николи установлены таким образом, что при отсутствии между ними кварцевой
пластинки не пропускают световой поток, в этом случае говорят, что они скрещены. При внесении в область
между николями кварцевой пластины толщиной d мм, так чтобы световой поток распространялся вдоль
оптической оси кварца, область изображения на экране просветляется. Если первый николь N1 (анализатор)
повернуть на определенный угол , световое поле на экране затемняется, это говорит о том, что мы имеем дело
именно с вращением плоскости поляризации.
Примечание: Экспериментально установлено, что в
природе существуют два вида кристаллов кварца,
Соленоид
Раствор
«левовращающие» и «правовращающие», их элементарные
S
кристаллические ячейки абсолютно идентичны, но атомы в
них расположены зеркально симметрично.    d ;
N1
Блок
питания
Рис. 39.8
N2
Экран

1

;
2
Вращение плоскости поляризации наблюдается и в магнитных
полях, но механизм этого процесса отличается от
рассмотренного выше. Впервые это явление наблюдал
Фарадей в оптически неактивном веществе, помещенном в
продольное магнитное поле соленоида.
Угол «вращения» плоскости
поляризации определяется: 
   nd ;
Угол поворота пропорционален
напряженности магнитного поля - H, и
расстоянию которое проходит световой пучок
в растворе – d:
  VdH ; V 
1

2
;
Закон Керра
Примечание: Эффект Керра обусловлен, главным образом, гиперполяризуемостью среды,
происходящей в результате деформации электронных орбиталей атомов или молекул или
вследствие переориентации последних. Оптический эффект Керра оказывается очень быстрым,
так как в твѐрдых телах может произойти только деформация электронного облака атома ( 10^(-9)
- 10^(-13) секунд ).
Закон Керра определяет разность коэффициентов преломления как:
где 0 — длина волны света в вакууме; b — постоянная Керра, зависящая от природы вещества,
длины волны 0 и температуры.
Постоянной Керра также называют величину K = b 0 / n, где n — показатель
преломления в отсутствие поля E.
Для большинства веществ b>0, что означает их подобие оптически положительным
одноосным кристаллам.
Отметим, что электрооптический эффект используется в оптоволоконных
технологиях для электрической модуляции пропускаемости оптических сигналов.
Л. 40 КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ
Тепловое излучение. Абсолютно черное тело. Закон Кирхгофа.
Закон Стефана – Больцмана. Спектр абсолютно черного тела.
Квантовая гипотеза. Формула Планка.
Оптическая пирометрия.
Примечание: Волновая оптика позволяющая решать широкий класс задач, в то же время, оказалась не в
состоянии количественно описать явления связанные с равновесным тепловым излучением, объяснить
экспериментально полученные формулы, например Релея – Джинса и т.д. Подобного рода проблемы были
разрешены на основе квантового подхода к природе и процессу распространению светового излучения. В основе
этого подхода лежит гипотеза Планка, прежде чем рассматривать суть этого подхода, необходимо предварительно
ввести ряд понятий и изучить некоторые явления связанные с излучением раскаленных твердых тел.
Введем ряд понятий:
Тепловое излучение – излучение раскаленных твердых тел в процессе которого
убыль энергии за счет излучения компенсируется соответствующим количеством тепловой
энергии подводимой к телу. Такое излучение характеризуется сплошным спектром.
Абсолютно черное тело. В самом общем смысле под абсолютно черным телом
понимают тело, которое поглощает излучение во всем диапазоне длин волн от 0 до  при
любой температуре.
Примечание: удобна и модель абсолютно черного тела. Под такой моделью понимают
замкнутую полость с абсолютно отражающими стенками и непроводящими тепло см. рис. 40.1
световой луч попавший в такую полость, непрерывно отражается от стенок не поглощаясь ими.
Рис. 40.1
Понятие о тепловом равновесии. Модель абсолютно черного тела оказывается
удобной для понимания состояния теплового равновесия. Действительно, если
внутрь такой полости поместить раскаленное твердое тело, то можно считать, что
оно будет находиться в тепловом равновесии со своим электромагнитным полем.
Примечание: Термодинамическое представление о температуре для тел излучающих в
оптическом диапазоне оказывается мало приемлемым, да и просто непригодным.
Энергетическая светимость определяется потоком световой энергии излучаемой
единицей площади светящегося объекта.
Излучательная способность r- мощность излучения с единицы поверхности
тела в единичном интервале частот (  d).
r 
d
d
  d

;
(40.1)
Интегральная энергетическая светимость равна мощности излучения с единицы
поверхности тела во всем спектральном диапазоне, то есть:

R   r d ;
(40.2)
0
Примечание: Иногда, для удобства вычислений целесообразно использовать соотношения:
r d  r d  ; r 
2
c
r ;
(40.3)
Поглощательная способность тела - а это та часть энергии светового потока
падающего на единичную площадку, которая им поглощается в единичном спектральном
интервале (  d). Понятно, что а < 1, а для абсолютно черного тела а = 1.
Закон Кирхгофа
Закон (его еще иногда называют теоремой Кирхгофа) устанавливает взаимосвязь между
поглощательной и излучательной способностями тел.
Отношение поглощательной способности тела к его излучательной способности
оказывается одинаковым для всех тел и является функцией частоты и температуры
r
r
r
r
(  )1  (  )2  (  )2  ...(  ) n  f ( , T );
a
a
a
a
(40.4)
Примечание: Замечательно то, что функция Кирхгофа f (  ,T ) или f ( ,T ) не
зависит от природы тел, ее вид может быть определен с помощью формулы Вина:
Примечание: В соответствие с законом Кирхгофа поглощательная способность
для всех абсолютно черных тел одинакова, действительно r  f (  ,T ) , следовательно, и
распределение энергии по спектру у абсолютно черных тел одно и то же.
Закон Стефана – Больцмана
Анализируя экспериментальные данные, Стефан в 1879 году установил, что интегральная
энергетическая светимость пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры:

R(T )   R( , T )d   T 4 ;   5,672 108
0
ВА
;
м2 К 4
(40.5)
Важное примечание: Неоднократно предпринимались попытки обобщить выражение з-на
Стефана – Больцмана для серого тела, при этом ей придавали вид, R(T)= CTn, где C, n – const’s.
Однако все они оказались неудачными, так как для серых тел «константы» C, n изменяются с
температурой, то есть, не являются постоянными величинами.
Формула Вина
В 1893 году Вин исходя, из законов термодинамики и электродинамики,
описал зависимость излучательной способности абсолютно черного тела от частоты
и температуры, в виде:

r ( , T )   3 F ( );   const; (40.6)
T
Правило смещения Вина:
Произведение длины волны соответствующей максимуму излучения и температуры абсолютно
черного тела остается постоянной величиной при изменении температуры этого тела.
maxT  b; b  2,886 103 мK ; (40.7)
Это нетрудно показать:
d
r ( , T )  r ( , T ) ;
d
d
c
 2;
d

r ( , T ) 
c4

F(
5
c
); (*)
T
Для того, что бы определить максимальное значение излучательной способности необходимо
очевидно вычислить первую производную от последнего выражения:
dr
5c 4
c
5c 5 d
c
  6 F (
)  7
F(
)  0;
d
max maxT
maxT d  maxT
c
maxT
 const ; (**)
Максимальная излучательная способность
Подставляя (*) в (**) несложно получить:
r
100
rmax
c4 5 c
c4
c
5
 5 T F ( )  aT ; a  5 F ( )  const ;
b
b
b
b
T=6000 K
Вывод: Максимальная излучательная способность пропорциональна
абсолютной температуре в пятой степени.
80
60
40
T=3000 K
20
0
0
0,4
0,8
1,2
Рис. 40.2
1,6
2,0
(мкм)
Графические зависимости излучательной способности абсолютно черного
тела от длины волны при различных температурах приведены на рис. 40.2.
Напомним, что видимая область охватывает диапазон длин волн от 0,4 мкм до
0,76 мкм. Максимумы излучательной способности при температурах менее
4000 К0 лежат в инфракрасной области см. рис. 40.2
Формула Релея – Джинса
Примечание: Релей в отличие от своих предшественников при изучении теплового излучения использовал не
термодинамический, а статистический подход. Равновесное тепловое излучение в замкнутой полости он
уподоблял системе стоячих волн различных частот, распространяющихся во всевозможных направлениях. Он
полагал, что число собственных частот в интервале (,+d) пропорционально объему полости V, квадрату
частоты и ширине частотного интервала, то есть:
1
2
   k   p ;  k   p  kT ;   kT ; (40.8)
Релей получил следующее выражение для излучательной способности АЧТ:
r(  ,T )   2 kT ;
Джинс, проведя точные вычисления, определил коэффициент пропорциональности:
Вывод: Таким образом, установлено, что излучательная способность
абсолютно черного тела пропорциональна квадрату частоты, постоянной
Больцмана и абсолютной температуре.
2 2
r ( , T )  2 kT ;
c
Важное замечание: Как показывают эксперименты, формула Релея – Джинса согласуется с
опытными данными только в области малых частот и высоких температур, более того попытка
получить закон Стефана – Больцмана из формулы Релея – Джинса приводит к абсурду:

2
R  2 kT  2 d  ;
c
0
(40.9)
Примечание: Эренфест позже назвал полученный результат ультрафиолетовой катастрофой, так согласно
последнему выражению равновесие между телом и его излучением наступит лишь при Т=0. Это противоречит
здравому смыслу и опытным данным, тела находятся в равновесии со своим излучением при любых
температурах.
Выводы: 1) Термодинамический и волновой подход при описании излучения абсолютно черного
тела не дают возможности получить точные количественные соотношения.
2) Кривую излучения абсолютно черного тела полностью описать с точки зрения
классической физики невозможно.
3) С классических позиций нельзя определить вид функции Кирхгофа.
Таким образом, к концу 18 века стало понятно, что для описания процессов излучения абсолютно
черного тела нужен новый подход и новые идеи.
1
r
Формула Планка
2
Важное замечание: Формула Релея – Джинса описывает лишь часть
экспериментально получаемой кривой (кривая 1, см. рис. 40.3) функции
распределения излучательной способности абсолютно черного тела, кривая 2.

Рис. 40.3
Исторические сведения: Сначала Планк попытался воспользоваться термодинамическим подходом, представив
равновесное излучение абсолютно черного тела как излучение бесконечного набора гармонических
осцилляторов, ему удалось получить выражение:
3
c1
r ( , T ) 
(e
c2

T
; c1 , c2  const ' s
(40.10)
 1)
Анализируя экспериментальные данные Планк пришел к выводу о том, что атомы
излучают электромагнитные волны квантами (порциями), причем энергия кванта излучения
пропорциональна его частоте, то есть: E  h ;
2
r ( , T ) 
2
h

;
h
2
c
e kT  1
(40.11)
Эту формулу стоит запомнить, здесь h=6,6261 10-27 эрг с. Гипотеза Планка оказалась очень плодотворной, и к
конечном итоге позволила установить границы применимости законов классической физики в теории
излучения тел и создания новой квантовой теории , роль которой в современном естествознании общеизвестна.
В качестве примера, получим функцию распределения Стефана – Больцмана:

R   r d 
0


2 h  d
2 k
4

T
h
0
c 2 0 kT
c 2 h3
e 1
Показано, что: R( , T )   T ;
4
3
h
x ;
kT
4
2 k 4
  2 3
c h
(
h 3 h
) d(
)
kT
kT ;
e
(
h
)
kT
1

x 3dx
0 e x  1;
(40.12)
Интеграл в последнем выражении является табличным, таким образом, окончательно получим:
Оптическая пирометрия
2 5k 4

;
2 3
15c h
Рассмотрим практические приложения законов излучения абсолютно черного тела.
Примечания:
T=2450K
r
8
1.
Заметим, что все реальные тела по сравнению абсолютно черным телом имеют
меньшую излучательную способность, их поглощательная способность меньше
единицы, в этом смысле их можно назвать серыми телами.
2.
Рассмотренные выше законы излучения абсолютно черного тела говорят о том, что
такие параметры как излучательная способность, поглощательная способность,
зависят от температуры, частотного диапазона излучения, причем эти зависимости
усложняются при переходе к серым телам.
3.
Реальные источники излучения моделирующие абсолютно черное тело уже в самой
формуле maxT=b1 дают значение b1 во первых, отличающееся от b в формуле
Вина, а b1 уже не является константой.
А.ч.т
6
4
2
W
1
2
3
Рис. 40.5
,мкм
Подобная ситуация ожидает нас, если мы попытаемся определить температуру из формулу
смещения Вина. Это естественные трудности заложенные в самой методике измерения температур с помощью
нечерных тел. Поэтому на практике в таких случаях приводя значение температуры указывают как она
определена, при этом обычно используется наиболее часто три способа определения температуры.
Радиационная температура
Примечания:
1.
Если удается измерить энергетическую светимость источника (самосветящегося объекта), детектором,
который одинаково эффективно преобразует энергию квантов различной частоты в электрический
сигнал. Такими устройствами являются радиационные пирометры, оптическая схема простейшего их них
приведена на рис.40.5.
2.
Энергетическая светимость реального источника естественно занижена по сравнению с энергетической
светимостью абсолютно черного тела, следовательно, необходимо воспользоваться интерполяционной
формулой, позволяющей соответствующим образом уменьшить значение постоянной  в законе Стефана –
Больцмана, то есть:
4
R  k Tr ;
(40.13)
G
Коэффициент k – обычно выбирают из таблиц составленных для
разных материалов, свечение которых при соответствующих
температурах сравнивалось со свечением абсолютно черного тела.
Объект
ОС
Д
Рис. 40.5
Цветовая температура
Если воспользоваться формулой Вина, то
можно ввести понятие цветовой температуры:
Объект
Пр
Л2
Л1
Tc 
Л3
Д1
Фр
Рис. 40.6
b
max
;
(40.14)
Оптическая схема системы измерения показана на рис. 40.6.
Излучение от исследуемого объекта с помощью линзы Л1
проецируется на щель спектрографа Д1, изображение щели далее
передается на грань призмы, которая раскладывает падающее на
нее излучение в спектр. С помощью линзы Л3 отдельные области
изображения спектра передаются на фоторегистратор, в качестве
которого используются фотоэлементы или фотоумножители.
Нить пирометра
Яркостная температура
Суть метода заключается в том, что яркость
исследуемого источника излучения сравнивается визуально с
яркостью нагреваемой металлической нити, предварительно
проградуированной по излучению абсолютно черного тела.
Такие приборы называют пирометрами с исчезающей нитью
см. рис. 40.7.
Объект
Измерительный
прибор
Регулятор тока
Рис. 40.7
Рис. 40.8 Различные типы пирометров
Температурный диапазон пирометров
• Низкотемпературные. Обладают способностью показывать температуры объектов, обладающих даже
отрицательными значениями этого параметра.
• Высокотемпературные. Оценивают температуру сильно нагретых тел, когда определение «на глаз» не
представляется возможным. Обычно имеют сильное смещение в пользу «верхнего» предела измерения.
Вывод: полученные при различных способах измерения температуры, в общем то оказываются
различными. И понятие истинной температуры оказывается неопределенным, тем более что все
эти методы основаны на законах излучения абсолютно черного тела, мало сопоставимых с
излучением серых тел.
Л. 41 Основные свойства квантового излучения. Фотоэффект
Основные свойства квантового излучения (вытекающие из модели Бора – Резерфорда, формулы Планка,
анализа спектроскопических данных):
1. Рассматривая атом как гармонический осциллятор, выражение: E  h
показывает, что элементарная
порция энергии гармонического осциллятора прямо пропорциональна частоте колебаний осциллятора.
2. Минимальная энергия светового кванта, поглощенного или излученного при переходе осциллятора из
одного состояния в другое прямо пропорциональна частоте излучаемого (поглощаемого) в последствии
кванта.
3. Эйнштейн показал, что не только процессы излучения и поглощения происходят дискретно, но и процессы
распространения электромагнитных квантов - фотонов также дискретны.
4. Квантово – волновой дуализм свойство не только световых фотонов, но присущ природе вообще.
Опыты Герца – Столетова
Световой поток
G
Рис. 41.1
В 1887 году Герц облучал ультрафиолетовым излучением пару электродов подключенных к
высоковольтному источнику напряжения. При этом он заметил, что если световой пучок
падает на катод, то в цепи возникает разрядный ток, позднее это явление объясняли
ионизацией воздуха в межэлектродном промежутке. Столетов, в отличии от своих
предшественников очень тщательно провел несколько серий экспериментов, и получил
принципиально новые результаты. Напряжение между электродами в опытах Столетова было
невелико см. рис.42.1. При этом он установил, что наиболее эффективным является
ультрафиолетовое излучение. Величина тока регистрируемая с помощью гальванометра
G оказалась прямо пропорциональна интенсивности светового потока.
Законы фотоэффекта.
При неизменном спектральном составе светового потока фототок насыщения прямо пропорционален
падающему на катод световому потоку.
2. Начальная кинетическая энергия вырванных светом электронов линейно растет с ростом частоты света и не
зависит от его интенсивности.
3. Фотоэффект не возникает, если частота света меньше некоторой, характерной для каждого металла, значение
этой частоты называют красной границей фотоэффекта.
1.
Вольт - амперная характеристика фотоэффекта
Вольтамперная характеристика фотоэффекта характеризуется следующими закономерностями:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Фототок возникает не только при положительном напряжении между фотокатодом и анодом U ak  0 ,
но и при отрицательном напряжении, тоUесть:
. Это явление достаточно просто объяснить тем
ak  0
обстоятельством, что часть фотоэлектронов покидающих фото катод обладают кинетической энергией
способной преодолеть тормозящее поле.
if  0
Фототок
не исчезает вплоть до потенциала запиранияU cl
, только величина его оказывается
U ak  0
незначительной, по сравнению с током при напряжении приложенном в прямом направлении
.
Потенциал запирания не зависит от интенсивности падающего света.
Фототок возрастает с уменьшением абсолютного значения запирающего напряжения .
В области прямого напряжения фототок возрастает с ростом до некоторого значения насыщения (см.
рис. 42.2).
Ток насыщения растет с ростом интенсивности падающего на фотокатод светового потока.
Напряжение запирания зависит от частоты падающего света (см. рис. 42.3).
Скорость фотоэлектронов выбиваемых фотонами из фотокатода не зависит от интенсивности света, а
определяется только его частотой.
Ucl
if
Квантовая теория фотоэффекта
Примечание: Законы фотоэффекта хорошо
объясняются с точки зрения квантовых представлений.
Эйнштейн в 1905 году, развивая гипотезу Планка,
предположил, что не только излучение и поглощение
света происходит квантовым образом, но и сам процесс
распространения света также квантован.
E  h ;
h
p
k0 ;
c
(41.1)
h  Aex 
m 2
v ;
2
(41.2)
i1
in
i2
Ucl
Uak
Рис. 41.2

0
Рис. 41.3
Вывод: Энергия падающего на фотокатод фотона
расходуется на совершение работы выхода электрона
из металла и на сообщение ему некоторой
кинетической энергии.
Анализ:
1.
2.
Очевидно, условие возникновения фотоэффекта определяется простым соотношением h  Aex ; , то есть
энергия падающего фотона должна быть, по крайней мере, больше или равной работе выхода электрона из
данного металла.
Минимальная частота, при которой возникает фотоэффект (красная граница) также определяется из
выражения (41.2) при условии:
A
h min  Aex ;  min  ex ; (41.3)
h
3. Величина запорного или задерживающего потенциала:
Подставляя (41.4) в уравнение Эйнштейна
получим:
h
A
h  Aex  eU cl ; U cl    ;
e
e
Вывод: Таким образом, действительно величина
запорного потенциала не зависит от интенсивности
света, а определяется лишь его частотой.
Исходя из выражения (41.5) нетрудно построить
графическую зависимость U cl ( ) см. рис. 41.4.
Понятно, что такой график несложно получить из
эксперимента. Заметим, что зная такую графическую
зависимость для данного металла, во первых можно
определить работу выхода электрона из металла, а во
вторых определить постоянную Планка.
Действительно h  etg  , а работа выхода измеряется
непосредственно на графике через величину А/е.
Внешний вид типичных фотоэлементов представлен
на рис. 41.5, на рис. 41.6 показаны фотоумножители
m 2
m 2
v  eU cl ;
vmax  eU cl ;
2
2
(41.5)
Ucl

A/e
min

Рис. 41.4
Рис. 41.6
(41.4)
Теория Фаулера
Основные закономерности внешнего фотоэффекта для металлов хорошо
описываются теорией Фаулера. Согласно ей, после поглощения в металле фотона его
энергия переходит электронам проводимости, в результате чего электронный газ в
металле состоит из смеси газов с нормальным распределением Ферми — Дирака и
возбуждѐнным (сдвинутым на h) распределением по энергиям. Плотность фототока
определяется формулой Фаулера:
где B1, B2, B3 — постоянные коэффициенты, зависящие от свойств облучаемого металла.
Эта формула справедлива при энергиях возбуждения фотоэмиссии, не
превышающих значения работы выхода металла более чем на несколько электронвольт.
Теория Фаулера верна только в случае падения света по нормали к поверхности.
Квантовый выход
Важной количественной характеристикой фотоэффекта является квантовый выход Y — число
эмитированных электронов в расчѐте на один фотон, падающий на поверхность тела. Величина Y
определяется свойствами вещества, состоянием его поверхности и энергией фотонов. Квантовый выход
фотоэффекта из металлов в видимой и ближней УФ-областях Y < 0,001 электрон/фотон. Это связано прежде
всего с малой глубиной выхода фотоэлектронов, которая значительно меньше глубины поглощения света в
металле. Большинство фотоэлектронов рассеивает свою энергию до подхода к поверхности и теряет
возможность выйти в вакуум.
Эффект Комптона
Определение: Эффект Комптона заключается в изменении длины волны, например,
рентгеновского излучения при рассеивании его на атомных структурах.
Напомним, что рентгеновское излучение, это излучение электронов
глубинных оболочек атомов – K,L,M. Опыты по рассеянию рентгеновских
6
4
5
1
3
2
фотонов на кристаллах были проведены в 1923 году. В результате была

получена, так называемая формула Комптона, которая устанавливала

взаимосвязь между изменением длины волны излучения падающего на
кристалл 0 и прошедшего через него  и углом рассеяния  излучения на
0
7
этом кристалле см. рис. 41.7.
Экспериментальная установка состоит из следующих устройств:
1. Источник рентгеновского излучения.
2. Коллимационная диафрагма, которая вырезает узкий пучок излучения.
3. Фильтр рентгеновского излучения, позволяющий получать излучение относительно узкого
спектрального состава.
4. Вторая диафрагма, дающая возможность получить весьма узкий пучок почти монохроматического
излучения.

P
5. Кристаллический образец.

P

0
6. «Качающийся» кристалл рентгеновского спектрометра.

7. Фото пластина для регистрации рассеянного излучения.
1

В результате экспериментов была получена следующая
Pe
зависимость:
  2 1  cos  ;   3,386 1013 м; (41.6)
Рис.41.6
Рис. 41.7


С точки зрения классической физики электромагнитное излучение, в данном случае рентгеновское,
должно «раскачивать» атомные электроны в образце, с частотой «своего» поля В результате этого электроны
должны возбуждаться и излучать электромагнитное поле с той же частотой, то есть изменения длины волны не
должно наблюдаться. Результаты опытов, говорили о том, что описанное классическое представление неверно.
Проанализируем эффект Комптона численно исходя гипотезы Планка.
Запишем законы сохранения импульса и энергии в релятивистском виде для рассматриваемого процесса:
P0  P  Pe ;
(41.7)
E 2  P 2c 2  m 2c 4 ;
Импульс фотона до рассеяния, очевидно равен:
Импульс фотона после рассеяния:
P 
P0 
Примечание: Последняя формула в (42.7)
имеет представленный вид потому, что
масса покоя фотона равна нулю.
E0
0

;
c
c
E


;
c
c
Закон сохранения импульса в проекции на оси ОХ и ОУ соответственно:
0
c
0



c
c
cos   Pe cos 1;
cPe cos 1  0   cos  ;
cPe sin 1   sin  ;
sin   Pe sin 1 ;
(41.8)
В последнем выражении (41.8) каждое из уравнений взводим в квадрат, почленно суммируем и после
алгебраических преобразований получим уравнение: 2 2
2 2
2
2
c Pe 
0  2 0 cos  (  ) ;
(41.9)
2
Исключим в (41.19) член c Pe , для этого воспользуемся законом сохранения энергии, который запишем в
виде:
2
2
( 0   )  mc 2  Pe c 2  m2c 4 ;
  0 
2
(1  cos  );
mc
(41.9)
(0   )mc 2 
Сравнивая (42.19) с (42.7)
0 (1  cos  );
2

mc
;
Вывод: Опыт показывает, что чем больше частота излучения, тем в меньшей степени проявляются волновые
свойства излучения, и излучение ведет себя не как набор волн, а как поток частиц с энергией E   .
Обратный эффект Комптона
Эффектом, обратным эффекту Комптона, является увеличение частоты света,
претерпевающего рассеяние на релятивистских электронах, имеющих энергию выше, чем
энергия фотонов. То есть в процессе такого взаимодействия происходит передача энергии от
электрона фотону.
Энергия рассеянных фотонов определяется выражением
где 1 и 0 — энергия рассеянного и падающего фотонов соответственно, K —
кинетическая энергия электрона.
Обратный эффект Комптона ответственен за рентгеновское излучение
галактических источников, рентгеновскую составляющую реликтового фонового
излучения (эффект Сюняева — Зельдовича), трансформацию плазменных волн в
высокочастотные электромагнитные волны
Томсоновское рассеяние
Томсоновское (то́мпсоновское) рассе́яние (рассеяние Томсона) — упругое
(рэлеевское) рассеяние электромагнитного излучения на заряженных частицах.
Электрическое и магнитное поля падающей волны ускоряют заряженную частицу. Ускоренно
движущаяся заряженная частица излучает электромагнитные волны.
Таким образом энергия падающей волны частично переходит в энергию рассеянной
волны — происходит рассеяние. Данный тип рассеяния был объяснѐн английским физиком
Дж. Дж. Томсоном. Сечение рассеяния не зависит от частоты электромагнитной волны и
одинаково для рассеяния вперѐд и назад. Частота рассеянного излучения равна частоте
падающего излучения.
Примечания:
• В нерелятивистском приближении (скорость частицы много меньше скорости света) на
частицу действует в основном электрическое поле падающей волны. При этом частица
начинает колебаться в направлении электрического поля, излучая дипольное
электромагнитное излучение.
• Ускоренно движущаяся частица излучает преимущественно в направлении,
перпендикулярном ускорению, причѐм излучение является поляризованным параллельно
ускорению.
Интенсивность (спектральная плотность мощности, рассеянной единицей объѐма в
единицу времени в единичный телесный угол) рассеянной волны описывается следующим
уравнением (в системе СИ):
где n — плотность заряженных частиц, q — заряд частицы, m — масса частицы, I0 —
спектральная плотность мощности падающего излучения,  — угол между падающей волной
и направлением наблюдения.
Определения:
1. Дифференциальное сечение рассеяния
2. Полное сечение рассеяния
Примечание:
Как
следует
из
формулы, сечение рассеяния на
протоне пренебрежимо мало по
сравнению с сечением рассеяния на
электроне (обратно пропорционально
квадрату массы).
3. Классический радиус электрона.
Примечание: Рассеяние на электронах высокоэнергетических
(рентгеновских и гамма) фотонов характеризуется изменением
длины волны рассеянного излучения вследствие квантовых
эффектов, то есть перестаѐт быть томсоновским. Напомним,
что такое рассеяние с изменением длины волны получило
название эффекта Комптона.
Зависимость дифференциального сечения
рассеяния от угла рассеяния для различных
значений энергий падающего фотона.
Синим показана угловая зависимость для
томсоновского рассеяния, т.е. для случая,
когда энергия фотона мала по сравнению с
массой электрона.
Л. 42 Волновые свойства частиц
Un
V
Опыты Девиссона и Джермера
1

Классическими опытами, в которых электроны отчетливо проявляют
волновые свойства, являются опыты Девиссона и Джермера (1927 г.). В
этих опытах наблюдалась дифракция электронов при рассеянии их от
кристалла (см. рис. 42.1)
Суть опытов состояла в следующем:
1. Электронная пушка - 1 состоящая из подогревного катода и анода, который
одновременно играет роль коллиматора электронного пучка, формирует
ускоренный до энергии узкий пучок электронов.
2. Сформированный таким образом пучок электронов падает на кристалл – 2 и
частично рассеивается на нем. Рассеянное излучение измеряется с помощью
детектора – 3 при различных углах рассеяния - , таким образом, измеряется
интенсивность рассеянного излучения как функция угла - , при различных
значениях ускоряющего потенциала V.

3
2
Рис. 42.1
Ie

Рис. 42.2
3. На рис. 42.2 приведены результаты опытов, в которых интенсивность рассеянного излучения измерялась при
фиксированном угле =, но при различных значениях ускоряющего потенциала V. Полученная кривая
является типичной дифракционной картиной, аналогичные картины получаются при дифракции
рентгеновского излучения на таких же кристаллах.
4 После проведения этих опытов стало очевидно, что микрочастицы обладают ярко выраженными волновыми
свойствами. Наличие волновых свойств у микрочастиц было предсказано в 1924 году Луи де Бройлем.
Гипотеза де Бройля
Смысл гипотезы состоял в том, что каждой движущейся частице может быть сопоставлена
некоторая волна – волна вероятности, то есть частица при движении как бы «размазана» в пространстве.
Степень размазанности (размытости) зависит от многих факторов, массы частицы, скорости ее движения,
наличия внешних силовых полей и т. д.
Установим связь между волной де Бройля и параметрами частицы. Заметим, что взаимосвязь
между энергией и импульсом фотона имеет вид:
E

 2
E  , p  
, k 
, p  k ; (42.1)
c
c
c

Распространим выражения (42.1) на микрочастицы:

2 2
2
2


; 
;
k
p
mv
mv
Учитывая:
Ee  eV 
(42.2)
2
m 2
p
v ; E
;
2
2m
(42.3)
Примечание: Длина
волны согласно (42.3)
зависит от массы
частицы и ее энергии
например, при:
0
V  50V ,   1,6 A
2
;
2mVe

Вывод:
Опыты показывают, что все микрочастицы обладают волновыми
свойствами, так что в этом смысле различия между ними и фотонами нет.
1
2
3
r
Распространение фотонов и частиц
Рассмотрим опыты по распространению фотонов и электронов с одинаковыми
энергиями через непрозрачные экраны, имеющих по две щели или отверстия в каждом.
Проанализируем распространение фотонов в данных условиях. Схема опыта
изображена на рис.42.3. На непрозрачный - 2 экран с двумя щелями размеры, которых и
расстояние между ними удовлетворяет условиям дифракции, падает плоскопараллельный
поток монохроматических фотонов - 1. Регистрация излучения за экраном производится с
помощью фотодетектора - 3, например ФЭУ. Детектор регистрирует типичную
дифракционную картину – 4. Возникает вопрос, если детектор расположить в центре главного
максимума, то есть на оптической оси, то через какую из щелей будут проходить фотоны?
4
I
Рис. 42.3
Для ответа на этот вопрос рассуждаем следующим образом:
1.
2.
3.
4.
5.
Закроем одну из щелей, регистрируемая интенсивность .
Закроем другую щель, а первую откроем, регистрируемая интенсивность также .
Откроем обе щели одновременно .
Если бы фотоны обладали только корпускулярными свойствами, то регистрируемая
интенсивность была бы равна
Следовательно, на поставленный вопрос ответить невозможно, так как каждый
фотон проходит через обе щели одновременно.
1
2
3
4
r
I
Рис. 42.4
Совершенно аналогичен опыт и с электронами рис. 42.4, и в этом случае
можно сделать единственный вывод о том, что каждый электрон проходит через обе
щели одновременно, так как дифракционные картины практически идентичны.
Следовательно, электроны в данном случае в большей степени проявляют волновые
свойства, нежели корпускулярные.
Волновые свойства микро и макро частиц
Важные примечания:
1. Рассмотренные опыты позволяют сделать вывод о том, что волновые свойства проявляются
при распространении микрочастиц, а корпускулярные при взаимодействии.
2. Принципиальной разницы между микро и макро частицами не, почему же тогда мы не
замечаем волновых свойств у макро частиц? Дело все в том, что волна де Бройля для макро
частицы на много порядков меньше чем размер самой частицы, например, пылинка массой:
m  1mg , v  1106 m / s, B  6,6 1022 m;
Свойства волн де Бройля
1. Волновая функция
В простейшем случае распространение фотонов (без учета начальной фазы) можно описать
плоской волной в виде:
 (r , t )  Ae
 i (t  kr )
;
E  ; p  k ;
 (r , t )  A
i
( Et  pr )
; (42.4)
Выводы:
1. Волновая функция фотона может быть описана с помощью (42.4), то есть является волновой
функцией световой волны.
2. Волновая функция микрочастицы также может быть описана с помощью (42.4),
следовательно, она подчиняется всем оптическим законам.
3. Остается выяснить более детально физический смысл волновой функции микрочастицы,
ответ в этом плане могут дать только эксперименты.
Вероятностный характер волн де Бройля
Рассмотрим известные опыты Фабриканта по распространению в
пространстве электронов частотой следования, фактически одиночных электронов
(см. рис. 42.5). Экспериментальная установка представляла собой электронную
пушку с малым коллимационным отверстием - 1, которая инжектировала
электроны с малой частотой следования. На некотором расстоянии от нее
располагался флюороскопический экран - 2, который преобразовывал результаты
взаимодействия электронов с материалом экрана ZnS в световые вспышки
(сцинтилляции), последние регистрировались расположенной за экраном
фотопленкой.
2
2
3
1
4
1
а)
Рис. 42.5
б)
Примечание: При малом времени наблюдения на экране возникали отдельные сцинтилляции, на первый взгляд
хаотически разбросанные по поверхности экрана. При достаточно большом времени регистрации наблюдалась
дифракционная картина (дифракция на выходном отверстии электронной пушки). Таким образом, из данного
опыта можно сделать лишь один вывод: волновые свойства проявляются как у отдельных частиц, так и у потока
частиц.
Важное замечание: М. Борн предложил рассматривать амплитуду световой волны и амплитуду волны де Бройля
как функцию пропорциональную вероятности нахождения частицы или фотона в данной области пространства
Скорость распространения волн де Бройля
vf 
Определим скорость волны де Бройля для фотона.
E  pc; E  ; p  k ;   
E

pc

k
 kc; v f 
;

k
- фазовая скорость
 c;
v f  c; (42.5)
Фазовая скорость для нерелятивистской частицы
p2
p
v

Ek 
;  v f   2m  ;
p
2m
k
2
2
 (x )
x
x0
x0 +  x
Рис. 42.6
v f nr 
v
;
2
(42.6)
Примечания:
1. Скорость распространения сигнала определяется не фазовой, а групповой скоростью,
для фотона фазовая и групповая скорости совпадают, при отсутствии дисперсии.
2. Дисперсия волн де Бройля для микрочастиц в вакууме не равна нулю в силу формулы
(42.6), таким образом, для микрочастиц фазовая скорость есть функция кинетической
энергии.
Выясним физический смысл понятия групповой скорости для фотонов и микрочастиц.
Предположим что в момент времени t0 координата частицы, например, волнового фронта x 0, а в момент
t0+t ее координата x0 + x (рис. 42.6). С точки зрения квантовой механики такую одномерную модель
микрочастицы можно определить с помощью волновой функции вида:
  0, x  ( x0  x); x  ( x0  x)
 ( x)  
;
 0; x  ( x0  x)

(42.7)
Волна представленная в виде (42.7) не монохроматическая, а состоит из бесконечно большого
набора монохроматических волн - согласно разложению волновой функции в ряд Фурье, то есть:

 ( x)   Bi (k )eik x ; Bi  Ai e i t ;
i
i
(42.8)

Примечания:
1.
Отметим важное свойство: состояние микрочастицы в начальный момент времени определяется
согласно (42.9) наложением большого количества монохроматических волн, каждая из которых
движется со своей скоростью.
2.
Волновой пакет – наложение волн различной частоты и с разными амплитудами имеющих один
резко выраженный максимум.
Скорость распространения волнового пакета называется групповой скоростью и определяется:
Для фотонов:
dE d ( pc)
vgr 

 c;
dp
dp
vgr 
d dE

;
dk
dp
Для нерелятивистских частиц:
p2
d( )
dE
p
vgr 
 2m   v;
dp
dp
m
Соотношение неопределенностей Гейзенберга
e
Когда необходимо учитывать волновые свойства микрочастиц, а в каких
случаях ими можно пренебречь и пользоваться законами классической механики.
Критерием является соотношение неопределенностей Гейзенберга. Рассмотрим
опыт по дифракции электронов на щели -1 (см. рис. 42.7), дифракционная картина
регистрируется фотопластиной со сцинтилляционным экраном - 2. Согласно теории
дифракции:
h
x sin    ;

p
;
xp sin   h;
x
2
Px

P0
x
Ix
1
x
P
y
Рис. 42.7
(42.9)
Важное примечание: Заметим, что, пройдя щель, электрон может попасть в любую точку фото
пластины, то есть у него появляется приращение в импульсе . Таким образом, пройдя щель, координата
электрона известна с точностью до величины , а неопределенность в импульсе, очевидно, составит ,
причем максимальное значение будет равно:
pxmax  p sin  ;
(42.9) =>
xpx  h;
xpx  h;
(42.10)
vx 
h
;
mx
Выводы:
1. Соотношение неопределенностей Гейзенберга показывает, что чем точнее производится
определение координаты частицы, тем большая неопределенность получается в
составляющей импульса, и наоборот.
2. Ввиду малости постоянной Планка h, соотношение неопределенностей справедливо лишь
для микрочастиц, для макротел им пренебрегают.
x
Важные замечания:
•
•
•
•
•
•
•
Соотношения неопределѐнностей Гейзенберга являются теоретическим пределом
точности одновременных измерений двух некоммутирующих наблюдаемых.
Они справедливы как для идеальных измерений, иногда называемых измерениями фон
Неймана, так и для неидеальных измерений.
Согласно принципу неопределѐнностей у частицы не могут быть одновременно точно
измерены положение и скорость (импульс).
Принцип неопределѐнности уже в виде, первоначально предложенном Гейзенбергом,
применим и в случае, когда не реализуется ни одна из двух крайних ситуаций
(полностью определенный импульс и полностью неопределенная пространственная
координата — или полностью неопределенный импульс и полностью определенная
координата).
Соотношения неопределѐнностей не ограничивают точность однократного измерения
любой величины (для многомерных величин тут подразумевается в общем случае
только одна компонента). Если еѐ оператор коммутирует сам с собой в разные моменты
времени, то не ограничена точность и многократного (или непрерывного) измерения
одной величины. Например, соотношение неопределѐнностей для свободной частицы
не препятствует точному измерению еѐ импульса, но не позволяет точно измерить еѐ
координату (это ограничение называется стандартный квантовый предел для
координаты).
Соотношение неопределенностей в квантовой механике в математическом смысле
есть прямое следствие некоего свойства преобразования Фурье.
Принцип неопределѐнности альтернативно выводится как выражение неравенства
Крамера — Рао в классической теории измерений, в случае когда измеряется положение
частицы. Средне-квадратичный импульс частицы входит в неравенство как информация
Фишера.
Л. 43 Основы квантовой механики
Волновая функция свободной частицы
Определение: Математическое выражение, описывающее распространение, какой либо волны в
i
пространстве называется волновой функцией.
 ( Et  pr0 )
(43.1)
 (r , t )  ae
;
Z
A
p
Преобразуем выражение (43.1) таким образом, что бы в него явно
входили координаты – x,y,z, той точки пространства, которая нас интересует.
Рассмотрим на поверхности равной фазы (см. рис. 43.1) плоскость Q, точку

А, координаты которой x,y,z, радиус-вектор этой точки r
Q
p  px  p y  pz ; OAB  r0  r cos; pr0  pr cos;
B
r0
0
X

Y
pr0  px x  p y y  pz z;
Рис.43.1
 ( x, y, z, t )  ae
(43.2)
Подставив (43.2) в (43.1):
i
 ( Et  ( px x  p y y  pz z ))
;
(43.3)
Примечания:
1. Волновая функция физического представления как такового не имеет, она лишь описывает процесс
распространения волнового фронта.
2. Физическим представлением обладает квадрат волновой функции или квадрат ее амплитуды.
Плотность вероятности
Определение: Вероятность встретить частицу в некоторой области пространства пропорциональна не
только квадрату амплитуды волновой функции, но и величине объема этой области пространства.
dW  a 2dV ;
    ;
2
 
2
dW
; (43.4)
dV
- плотность вероятности
Примечание: Плотность вероятности обнаружить частицу в данной области пространства в соответствии с
(44.4), сохраняет свой смысл и для несвободной частицы.
Важные свойства понятия плотности вероятности: Плотность вероятности для свободной частицы
постоянная величина и не зависит от координат частицы, это объясняется тем что:
1. Плоская волна не имеет ни начала, ни конца, то есть она, полностью заполняет пространство.
2. Плоская волна имеет строго определенную длину волны, следовательно, фиксированное направление
распространения, ее импульс также строго определен p  h /  .
3. Если же какая либо из проекций импульса определена точно, например, px  0;  x  ;, то
есть частица с одинаковой вероятностью может оказаться в любой точке пространства
Нормировка волновой функции
Примечание: Вероятность того, что частица находится в данной области пространства, очевидно равна
единице, если частица там действительно есть. Отсюда вытекает условие нормировки волновой функции:

W


 dV  1;
(43.5)

Требования, которым должна удовлетворять волновая функция:
1. Функция должна быть непрерывной и конечной.
2. Волновая функция должна исчезать на бесконечности, следовательно, определенный интеграл от нее
должен иметь конечное значение.
Операторы квантовой механики
Примечание: Одной из основных задач квантовой механики, как правило, является получение
дифференциального уравнения, позволяющее описать поведение свободной или связанной
частицы.
Рассмотрим некоторые математические приемы позволяющие упростить этот процесс.
 ( x, y, z , t )  ae
i
 Et
i
e
px x
i
e
py y
i
e
pz z
; (43.6)
Продифференцируем последнее выражение по времени:


i
 a Ee
t
i
( Et  ( px x  p y y  pz z ))
Умножим обе части (43.6) на величину ih
; (43.7)
Определение: Математический символ, указывающий, какие действия

i
 E ; (43.8) необходимо совершить над стоящей справа от него функцией называется
t
оператором.
Важные свойства: Если в результате действия оператора на функцию получается та же функция, умноженная
на постоянный коэффициент то:


; - оператор энергии
1. Оператору присваивается название этой физической величины. E  i
t
2. Функция называется собственной функцией данного оператора.
3. Коэффициент, на который умножается функция, называется собственным значением оператора.
Продифференцируем выражение (43.6) по координатами и умножим, правые и левые части полученных
выражений не множитель -  i





px  i
; p y  i
; pz  i
;
x
y
z

Проекции координат и их операторы:


- операторы проекций импульсов

x  x; y  y; z  z;
С операторами согласно определенным правилам можно производить действия умножения и сложения.
Правило 1. Результатом действия суммы операторов на некоторую функцию является сумма результатов
действий на эту функцию каждого из операторов в отдельности.
Правило 2. Произведением операторов называется последовательное действие на функцию двух или более
операторов, (сначала на функцию воздействует один оператор – ближайший к ней, затем результат
воздействия подвергается действию ближайшего оператора и т. д.).

2
x
 2
p



p   px px   i
( i
)
x
x
Пример:
x

2

2
;
2
x
 2
p
y

2
2
;
2
y
2
 2
p
z
 2
;
x 2

2
- операторы проекций квадратов
2
;
моментов импульсов
z 2
NB В квантовой механике путем сложения или умножения операторов можно получать новые
операторы.
2
2
2
2
2
2

T
m 2 p
1
v 

( Px2  Py2  Pz2 );
2
2m 2m
T 

Оператор кинетической энергии

T
T 





)
;
2
2
2
2m x
y
x
2m
(
2
2m
;
1
( px2  p y2  pz2 );
2m
Уравнение Шредингера
Задача: Выясним, каким свойствам должна удовлетворять свободная частица? Запишем
уравнение Максвелла для светового вектора в виде:  2 
1  2

; (43.9)
x 2
c 2 t 2
1

( x, t )  0 sin  ( Et  px)  ; (43.10)


 2
p2
1




sin
(
Et

px
;
0
2
2
Продифференцируем решение (43.10)


x


дважды по координате и времени то есть:
(43.11)
2
2

E
1

E h



sin
(
Et

px
;
0
2
2
(43.12)
p


;


(43.10) => (43.9)
t


c c
Важное замечание: подстановка волновой функции в волновое уравнение приводит к
известным соотношениям (43.12)
Будем считать, что волновая функция (43.13) также соответствует плоской монохроматической
волне, следовательно, волновое уравнение должно соответствовать условию (44.12).
i
 ( x, y, z, t )  a exp{ [ Et  ( px x  p y y  pz z )]};
(43.13)
Примечание: свободная частица имеет только кинетическую энергию, следовательно, ее полная энергия Е
связана с импульсом известным соотношением:
1
E
2m
( px2  p y2  pz2 );
Дифференцирование волновой функции (43.13) заменяем действием операторов, поэтому
уравнение для волновой функции запишем в виде:
E  T ; (43. 14)
После действия операторов, получим соотношение:
(43. 15) => (43. 14)
E 
1
( px2  p y2  pz2 ); (43. 15)
2m
2

 2  2  2
i

(


); (43.16)
t
2m x 2
y 2
z 2
- дифференциальное уравнение
(44.16) для свободной частицы.
Важное примечание: Энергия частицы подвергающейся, какому либо воздействию со стороны
внешних полей или частиц складывается из потенциальной энергии взаимодействия U и
кинетической энергии T, следовательно, уравнение (44.16) необходимо переписать в виде:
E  (T  U );
(43.17)
Оператор полной энергии H  T  U ; называют оператором Гамильтона.
Примечание: Если предположить, что оператор потенциальной энергии совпадает с выражением самой
потенциальной энергии, что физически справедливо для многих задач, то уравнение (43.17) можно записать в
виде:
2

 2  2  2

 2  2 )  U ;
i
(
t 2m x 2
y
z
(43.18)
Уравнение (43.18) являясь дифференциальным уравнением второго порядка, описывает связанную
микрочастицу в данный момент времени и называется нестационарным уравнением Шредингера
Стационарное уравнение Шредингера
Рассмотрим случай, когда потенциальная энергия частицы не зависит от времени, следовательно, и
полная энергия также не зависит от времени. Запишем волновую функцию микрочастицы в виде:
e

i
Et
 ( x, y, z );
(43.19)
Подставим волновую функцию (43.19) в уравнение (43.18), после вычислений придем к выражению:
 2  2  2
E  
(


)  U ;
2m x 2 y 2 z 2
2
(43.20)
Выражение (43.20) является уравнением Шредингера для стационарного случая. Можно
показать, что плотность вероятности в этом случае определяется выражением:
        ;
2
2
(43.21)
Примечание: символ  для обозначения волновой функции используется для нестационарных задач, символ
 применяется в стационарных случаях.
Выводы:
1. Уравнение Шредингера справедливо для нерелятивистских частиц.
2.  2 - непрерывная функция , везде конечная и однозначная Эти условия следуют из
физических соображений.
3. Первые производные от функции  должны быть непрерывными и конечными, тогда будут
существовать и вторые производные.
2
 dV  1

4. Должно выполняться условие нормировки V
, что следует из физических
соображений, действительно если частица есть в данной области пространства, то
вероятность обнаружить ее там очевидно равна единице.
U
Частица в одномерной потенциальной яме
Рассмотрим решение уравнения Шредингера для частицы находящейся в
прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, считаем, что
частица движется вдоль оси ох (см. рис. 44.2)
2
2
Уравнение Шредингера для этого случая:
Полная энергия частицы Е>0, так как ее
потенциальная энергия U=0 .
Решение записанного уравнения, очевидно,
следует искать в виде:

 E ;
2m x 2
(43.22)
2

2m
E ;


2
2
x
U=0
U=
U=

 ( x)  C sin(  x   );
x
0
l
Рис. 43.2
(43.23)
Здесь C,, - постоянные, неизвестные пока величины.
1. Определим постоянные , , для этого рассмотрим поведение волновой функции на границах ямы 0,l.
 ( x)  0  x  0, x  l ;   (0)  C sin  ;    0;
n
 (l )  C sin(  l )  0 :  l  n ;  
;
l
Таким образом, предполагаемое решение (44.22) можно записать в виде:
 n ( x)  C sin(
n
x); (43.24)
l
Важное замечание: получено не одно решение, а целый набор решений, так как n  (0, ) .
Определим постоянную С из условия нормировки волновой функции:
l
2
i
l
l
2
W
dx  1; (43.25)



n
c
l
2
2
2

dx  c
0
 sin
(
x)dx 
l
0

(1  cos 2 ) d 
2 n 
0
0
C 2l
 1; C 
2
cl 
1
cl
n
n 

sin
2

;




0
0 

2 n 
2
2

2
2
2
;
l
(43.26)
Таким образом, частица, находящаяся в рассматриваемой потенциальной яме описывается
набором волновых функций:
2
n
sin(
x);
l
l
 n ( x) 
E
E3
3
2
E2
1
E1
l
x
l
Рис. 43.3
3
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
x
(43.27)
Подставляя (43.27) в (43.22) нетрудно определить энергию
частицы:
2 2
En 
l
x

2ml
2
n
;
2
(43.28)
Выводы:
1. Уравнение (43.22) удовлетворяется не при любых значениях
энергии, а лишь при тех которые определяются (43.39).
2. Частица, в потенциальной яме может иметь только дискретный
набор энергий, который определяется главным квантовым
числом . Главным - это число называется, потому что оно
определяет полную энергию частицы.
3. Состояние частицы описывается не одной волновой функцией,
а набором функций, зависящих от главного квантового числа.
Движение частиц в потенциальной яме конечной глубины
Посмотрим, что изменится, если потенциальная яма будет иметь конечную глубину, т.е.:
Появляется возможность рассматривать две задачи: энергия E < U0,
что соответствует связанному состоянию, и E > U0 – задача о рассеянии
частиц. Займемся первой задачей. Теперь нет оснований полагать, что
волновая функция равна нулю в первой и третьей областях. Посмотрим, как
будет выглядеть уравнение Шредингера для этих областей
Во втором слагаемом коэффициент перед Ψ отрицателен. Обозначим его как:
Рис. 43.4
Уравнения Шредингера вне и внутри ямы отличаются знаком перед Ψ
и имеют решения в виде:
Рис. 43.5
Примечание: Надо сразу положить A1 = B3 =0, чтобы решения не увеличивались беспредельно в
области больших отрицательных и больших положительных значениях x.
Для нахождения остальных коэффициентов надо использовать условия непрерывности
волновой функции Ψ и ее первой производной dΨ/dx в точках x = 0 и x = a. Здесь мы ограничимся
обсуждением качественно новых результатов. Решения вне ямы – апериодические, быстро
спадающие, например, в области 3.
Выводы:
• Отличие от нуля волновой функции Ψ(x) (а, следовательно, и |Ψ|2) в первой и третьей областях
– это новый результат, которого нельзя было ожидать на основе классической теории.
Напомним, что на рисунке 4 в области x > a энергия E < U0. По классическим представлениям
кинетическая энергия T = E - U0 отрицательна!
•
На длине:
волновая функция в "классически запрещенной" области убывает в e раз. Поскольку в
числителе стоит постоянная Планка h ~ 10-34 Дж·с, ожидать заметного эффекта для тел с
макроскопической массой m или энергией U0 - E не приходится (при этом l → 0).
•
Число уровней в яме зависит от ее ширины и глубины. И может оказаться, в яме не
окажется ни одного уровня. Это означает, что связанного состояния при данных
параметрах не существует. Например, для дейтрона (U0 ~ 30 МэВ, a ~ 10-15 м) существует
только одно связанное состояние с энергией -2.2 МэВ.
Л. 44 Физика атомов и молекул
Душевному ангелу Джулие
посвящается
Модель атома Бора
Примечания:
1.
На рубеже 19 и 20 веков в естествознании, и в частности в физике сложилась довольно любопытная ситуация.
Здание классической физики было окончательно построено, казалось, что любые задачи возникающие в
промышленности и в науке могут быть решены классическим аппаратом, основы которого заложил Ньютон.
2.
В то же время имелось достаточно много экспериментального материала: данные спектроскопии, опыты
Франка и Герца, опыты Резерфорда, исследование Кюри природных изотопов и т.д., которые не могли быть
объяснены в рамках классических представлений. Становилось понятным, что в микромире, то есть в области
пространства занимаемых атомами, фундаментальная идея Ньютона о непрерывности и «гладком» течении
того или иного явления, неработоспособна.
Сериальные формулы
Изолированные атомы в виде паров, разряженных газов излучают фотоны определенных частот,
при спектральных исследованиях эти частоты на спектрограммах отображаются в виде линий различного
цвета (интенсивности) имеющих разную яркость и местоположение на спектрограмме
Бальмер, анализируя спектры водородоподобных атомов, заметил, что линии на спектрах
располагаются не хаотически а располагаются в определенном порядке, образуя серии, причем в каждой серии
расстояние между линиями уменьшается с ростом частоты.
1
1 1
 R( 2  2 );

n m
(44.1)
Примечание: Не надо думать, что формула (44.1) действительно описывает распределение спектральных линий
в спектре атома водорода. Это не совсем так, на самом деле данное выражение справедливо лишь некоторых
линий, которые можно объединить в перечисленные серии
Комбинационный принцип Ритца
Перепишем (44.1) в виде: 1  R  R  T  T ;
n
m
 n2 m2
- здесь Tn, Tm - спектроскопические термы.
(44.2)
Частота любой линии спектра атома водорода может быть представлена в виде разности термов.
Этот принцип справедлив также и для других атомов но с учетом ряда ограничений
Модель атома Дж. Томсона
Примечание: Атом по Томсону представляется в виде шара с распределенным положительным
зарядом (см. рис. 41.1), в котором вкраплены отрицательные заряды (электроны), этакий пудинг с
изюмом.
Исходя из уравнения для гармонического осциллятора нетрудно
e
определить частоту колебаний электрона, а следовательно и
E (r )  3 r;
регистрируемую частоту излучения атома:
R
e2
f  eE  3 r ;
R

e2
; R
mR 3
3
e2
;
m 2
r
R
e
Рис. 44.1
(44.3)
Опыты Резерфорда
Опыты Резерфорда по рассеянию  - частиц на металлических фольгах и
интерпретация их совместно с Н. Бором оказали революционное
воздействие на развитие современного естествознания и мировоззрения.
Модель атома по Бору – Резерфорду: атом система зарядов в центре,
которого расположено положительно заряженное ядро с зарядом +Ze,
размер которого порядка 10-15 м, Z электронов располагаются по
сферическим орбиталям размером порядка 10-10 м, вся масса атома
практически сосредоточена в ядре.
Фольга
Источник
-частиц
Рис. 44.2
Зона регистрации
Нетрудно рассчитать параметры рассеяния и сопоставить их с экспериментальными данными, например,
угол рассеяния:
2
2
tg

2

1 2 Ze
dN
Ze 2 d 
;

(
)
;
nd
 mv 2
N
mv 2
4 
sin
2
Примечание: Предложенная модель, с точки зрения классической физики не
имела права на существование, так электроны распределенные по сферической
орбитали обладали ускорением, а следовательно должны были непрерывно
излучать энергию, и в конечном итоге упасть на ядро.
(44.4)
Р
Р
Р0


Ze
Рис. 44.3
Постулаты Бора
1. Электроны в атоме могут располагаться на определенных орбиталях, находясь на которых они не
излучают энергию, не смотря на наличие у них ускорения. Такие орбитали, соответствуют
стационарным состояниям электронов в атоме и определяются из условия:
rn pn  n ; mvr  n ; n  1, 2,3...;
(44.5)
здесь n - номер орбитали, h – постоянная Планка, pn – импульс электрона на орбитали с номером n.
Таким образом, импульс электрона в атоме может принимать лишь дискретные (квантованные) значения,
определяемые целочисленным значением постоянной Планка.
Em
h
2. Атом излучает квант электромагнитной энергии при переходе электрона с орбитали
(энергетического уровня) с большим значением n на орбиталь с меньшим значением n. E
Энергия кванта равна разности энергий электрона на орбиталях (уровнях) до и после
Рис. 45.4
перехода. Электрон поглощает квант электромагнитного поля, если его энергия равна
разности энергий между уровнями переходит с уровня с меньшим n на уровень с большим n.
n
E  h mn  Em  En ;  mn
E  En
;
 m
h
(44.6)
Выражение (44.6)
получило название
условие частот Бора
Элементарная теория Бора для атома водорода
Задача: Рассмотрим водородоподобный атом заряд ядра, которого Ze. При движении электрона по орбитали в
кулоновском поле такого ядра на него, очевидно, действуют кулоновская сила и сила обусловленная
центростремительным ускорением.
Решая два последних соотношения
v 2 Ze 2
m
vr

n
;
(44.8)
совместно:
e
me 
; (44.7)
r
r2
rn 
2
n ; n  1, 2,3,...; Z  1  r1 
2
o
2
me Ze
2
mee
2
 0,529 A;
(44.9)
Внутренняя энергия атома, очевидно, складывается из кинетической и потенциальной энергии электрона на
орбитали:
2
mev 2 Ze 2
Ze 2
Нетрудно показать: me v
E

; (44.10)

; (44.11)
2
r
2
Следовательно, полная энергия электрона в атоме:
С учетом (45.9) запишем выражение для
энергии электрона в водородоподобном атоме:
Ze2 Ze2
Ze2
E


;
2r
r
2r
mee4 Z 2
En   2 2 ; n  1, 2,3...;
2
n
2r
(44.12)
(44.13)
Анализ (41.13)
1. Электрон в атоме может занимать лишь дискретные энергетические уровни, при этом его энергия с ростом n
убывает обратно пропорционально квадрату n.
2. Число n может принимать лишь целочисленные значения от 1 до , позже это число получило название
главного квантового числа.
3. Заметим, что для того чтобы удалить электрон из атома водорода, необходимо ему сообщить 13,527 эВ – то
есть энергию ионизации.
С помощью выражения (44.13) и формулы Планка несложно рассчитать энергию излучаемого электроном
фотона при переходе из состояния n в состояние m :
Enm  h nm
mee4 1
1

(

);
2
2
2
2
n
m
Сравнивая последнее выражение с формулой
(44.14)
4
m
e
e
(44.1) определим R: R 
;
2 2
3.
3
10
2
5
1
С. Бреккета
2.
Рассматривая атом как гармонический осциллятор, выражение E=h
показывает, что элементарная порция энергии осциллятора прямо
пропорциональна частоте колебаний осциллятора.
Минимальная энергия светового кванта, поглощаемого или излучаемого при
переходе осциллятора из одного состояния в другое, прямо пропорциональна
частоте излученного или поглощенного фотона.
Квантово – волновой дуализм свойство не только светового излучения, а
присущ природе вообще

15
С. Пашена
1.
n
С.Бальмера
Основные свойства квантового излучения
Е(эВ)
С.Лаймана
Выводы:
1. Теория Бора (Т. Б.) достаточно хорошо позволила описать экспериментальные
данные для атома водорода.
2. С помощью модели Бора удалось получить расчетным путем R, с хорошим
приближением.
3. Т. Б. Показала неприменимость законов классической физики к явлениям
микромира.
4. Недостатком теории Бора является ее крайняя ограниченность, например, она
не состоянии описать атом гелия.
5. Внутренние противоречия: с одной стороны она не классическая, с другой и не
квантовая.
6. Теория Бора сыграла колоссальную роль в развитии квантовых представлений
о строении микромира, являясь своеобразным этапом при переходе от
классических представлений к квантовым.
(44.15)
Рис. 44.5
Схема энергетических
уровней согласно (41.14) и
возможные переходы для
электрона в атоме
водорода (см. рис. 44.5)
Дополнительная информация
Формула Зоммерфельда — Дирака
Движение электрона вокруг атомного ядра в рамках классической механики можно
рассматривать как «линейный осциллятор», который характеризуется «адиабатичным инвариантом»,
представляющим собой площадь эллипса (в обобщенных координатах):
где — p, q — обобщенный импульс и координаты электрона, W — энергия,  — частота.
Примечание: Квантовый постулат утверждает, что площадь замкнутой кривой в фазовой p,q —
плоскости за один период движения, равна целому числу умноженному на постоянную Планка h (Дебай,
1913 г.).
С точки зрения рассмотрения постоянной тонкой структуры наиболее интересным является
движение релятивистского электрона в поле ядра атома, когда его масса зависит от скорости
движения.
В этом случае мы имеем два квантовых условия:
где n определяет главную полуось эллиптической орбиты электрона (a), а k — его фокальный
параметр q:
Зоммерфельд, для этого случая, получил выражение для энергии в виде
где R — постоянная Ридберга, а Z — порядковый номер атома (для водорода Z = 1).
Примечания:
•
•
•
Дополнительный член (n, k) отражает более тонкие детали расщепления спектральных термов
водородоподобных атомов, а их число определяется квантовым числом k.
Таким образом сами спектральные линии представляют собой системы более тонких линий, которые
соответствуют переходам между уровнями высшего состояния (n=n1, k=1,2 ,..., n1 ) и низшего
состояния ( n = n2, k = 1,2 ,..., n2 ).
Это и есть т.н. тонкая структура спектральных линий. Зоммерфельд разработал теорию тонкой
структуры для водородоподобных атомов (H, He+ , Li2+ ). Фаулер с Пашеном на примере спектра
однократно ионизированного гелия He+ установили полное соответствие теории с экспериментом
Зоммерфельд (1916 г.) еще задолго до возникновения квантовой механики Шредингера
получил феноменологичную формулу для водородных термов в виде:
где  — постоянная тонкой структуры, Z — порядковый номер атома, E0 = mc2 — энергия покоя, nr —
радиальное квантовое число, а n — азимутальное квантовое число.
Выводы:
•
Позднее эту формулу получил Дирак используя релятивистское уравнения Шредингера. Поэтому
сейчас эта формула и носит имя Зоммерфельда — Дирака.
•
Появление тонкой структуры термов связана с прецессией электронов вокруг ядра атома. Поэтому
появление тонкой структуры можно обнаружить по резонансному эффекту в области ультракоротких
электромагнитных волн.
В случае Z = 1 (атом водорода) величина расщепления близка к
•
Поскольку длина электромагнитной волны равна:
Поэтому для n = 2 это будет почти 1 см.
•
•
Теория Бора являлась недостаточно последовательной и общей. Поэтому она в дальнейшем была
заменена современной квантовой механикой, основанной на более общих и непротиворечивых
исходных положениях.
Сейчас известно, что постулаты Бора являются следствиями более общих квантовых законов. Но
правила квантования широко используются и в наши дни как приближенные соотношения: их
точность часто бывает очень высокой.
Л. 45
Уравнение Шредингера для атома водорода
Z
Рассмотрим модель атома водорода, в которой электрон находится в
потенциальном поле протона. Потенциальная энергия электрона в этом случае
отрицательная:
e2
U 
; (45.1)

r
0
r
Y

Примечание: электрон в атоме распределѐн сферически симметрично.
(Полученные экспериментально томограммы атомов, подтверждают это
предположение, поэтому расчет удобно производить в сферической системе
координат.)
 x  r cos  sin  ;

 y  r sin  sin  ;
 z  r cos  ;

rxy
X
Рис.45.1
Замечание: Искомую волновую функцию, очевидно,
следует определить в сферических координатах:
(45.2)
 (r , , )   (r );
Для атома водорода, т. е. для ē в поле протона, с учѐтом только кулоновского взаимодействия необходимо
составить уравнение Шредингера.
 2
2
2
T 



2 m  x 2 y 2 z 2
2
Оператор кинетической энергии:

;

1   2 
1
 
 
1
2 
T
;
 2 r
 2
 sin 
 2
2
2m  r r  r  r sin   
  r sin   
2
(45.3)
Для ē, находящегося в кулоновском поле протона, т. е. обладающего как кинетической, так и потенциальной
энергией очевидно справедливо обобщенное уравнение Шредингера:
  2  2  2 


 U  E ;
 2 
2
2 
2 m  x
y
z 
2
(45.4)
В сферической системе координат:
1   2 
1 
 
1  2 2m 
e2  
 2
 2  E     0;
r
 sin 
 2 2
2
2
r r  r r sin  
  r sin  
r 

(45.5)
Примечания:
1.
2.
Уравнение (45.5) является уравнением Шредингера для электрона в атоме водорода, учитывающее
только кулоновское взаимодействие протона и электрона.
При этом из физических соображений, искомая волновая функция должна удовлетворять следующим
условиям:
А)  - должна быть конечна при r=0 и  =0.
В)  - должна быть однозначна и непрерывна при любых значениях r,,
С)  - должна достаточно быстро стремиться к нулю, т. к. размеры атома малы ( ~10-10м), а с другой
стороны должно выполняться условие нормировки:
2

В декартовой системе
dV  1
dV  dxdydz; , в сферической системе координат элемент объема:
dV  r 2 sin 2  drd d ;
Примечания:
1. Уравнение (45.5) является стационарным уравнением, точнее сказать рассматривается только
стационарный случай.
2. Действие внешних сил и полей, даже стационарных, уравнение (45.5) не учитывает.
3. Как будет показано ниже (45.5) имеет решение только для атома водорода (системы двух частиц)
NB Решить уравнение (45.5) можно в несколько этапов (разделить переменные, представив волновую
функцию в виде произведения двух или трех волновых функций, т. е. другими словами получить из
(45.5) соответствующие дифференциальные уравнение, описывающее радиальную, азимутальную и
угловую части волновой функции).
(45.6)
Разделение переменных
 (r , , )  R(r )( )( );
Искомую волновую функцию  (r , , ) можно представить:
 (r , , )  R(r ) ( , );
 ( , )  ( )( );
(45.7)
(45.8)
(45.9)
Примечание: Представление волновой функции в виде (45.8), (45.9) в общем случае не всегда возможно, т.е. не
всегда функция разделяется по аргументам. В данном случае это можно сделать, исходя из предположения о
радиальной симметрии параметров. С другой стороны полученные вычисления хорошо согласуются с
экспериментальными данными.

V
 2 2
 dV   
2
0 0

2
 R(r )

R(r )( )( ) r 2 sin 2  dr d d  1;
2
0
2
2
2
2
r 2 dr  ( ) sin 2  d  ( ) d  1;
0
(45.10)
0
(45.11)
0
Выражение (45.11) можно рассматривать, как равенство, которое в целом выполняется, если будут выполняться
последовательно условия:
2

 R(r )
r 2 dr  1;
(45.11а)
0
2

2
( ) sin 2  d  1;
(45.11б)
0
2

0
2
 ( ) d  1;
(45.11в)
В (45.8) подставим (45.5), получим:
   2 R 
R
 
 
R
 2  2m 
e2 
 2  E  2  R  0;
r
 2
 sin 

2
2
2
r r  r  r sin( )  
  r sin ( ) 
r 

r2
Обе части уравнения умножим последовательно на величину:
R
1   2 R
1
 
 
1
 2  2mr 2 
e2 

 2  E    0;
r

 sin 
R  r   r   sin    
    sin 2    2
r 

1   2  R  2mr 2 
e2 
1
 
 
1  2
;
r
 2 E   
 sin 

2
2
R r  r 
r
 sin    
    sin   

(45.12)
Выражение (45.12) можно рассматривать как равенство, причем оно будет справедливо
только в том случае, когда правые и левые части равны одной и той же постоянной:
1   2  R  2mr 2 
e2 
R
r

E


q
]


 2 ;


2
R r  r 
r
r 


1
 
 
1
 2

 q]    ;
 sin 

2
2
 sin   
   sin  
Примечание: Угловая часть радиальной функции Y с учетом (45.9) может быть представлена в виде
произведения двух функций: Y=ΘΦ, поэтому после умножения на (Y) разделим уравнение для угловой части на
два уравнения.
Таким образом, получим набор уравнений:
2
 1   2  R  2m 
e2
q 
r
E
R  0;



 2


2 
2 
r
2mr 
r  r   r 


2
 1   sin      1     q ;

2
2
 sin    
sin








(45.13)
(45.14)
Уравнение (45.14) делим на 2-е части, с учетом (45.9) то есть:
  
 
  2
 q;
 sin 

2
2
sin    
   sin   
sin   
  1  2 
 q sin 2  ;
 sin 

2
  
   
sin   
 
1  2
2
 q sin   
;
 sin 
  
 
  2
 sin   
 
2
sin



  q sin   s;
 
   

2
 1     s;
2

  
1  
  
s 
sin


q

  0;

sin   
   sin 2  
(45.15)
 sin 2  

;



 

2
 sin 

;

( );
d 2
  s;
d 2
(45.16)
Следовательно, исходное уравнение Шредингера (45.21) удалось разделить на три уравнения: (45.12),(45.15),(45.16).
Решая эти уравнения, очевидно, нужно определить составляющие R,Θ,Φ волновой функции. Кроме того, в
уравнениях присутствуют неизвестные: Е- полная энергия, постоянные – q,s. Поэтому величины E,q,s необходимо
искать из дополнительных условий, накладываемых на волновую функцию.
Решение уравнения Шредингера для угловой части
Примечания:
1. На первом этапе необходимо решить (45.15), (45.16). Простейшим уравнением является (45.16), поэтому
решим его в первую очередь.
2. Волновая функция Φ, очевидно, является периодической функцией, так как при изменении угла φ на 2π
мы приходим в ту же точку пространства.
Элементарный анализ (45.16) говорит о том, что (45.16) удовлетворяет многочастотному (или
целочисленному набору) решению, т.е.:
  sin m2 ; m  1, 2,3...;
sin m2  sin m;
(**)
NB Выражение (**) говорит о том, что возврат в любую исходную точку может происходить с любой
скоростью, либо при любом целом числе углов 2π.
Решение рассматриваемого уравнения (45.14) можно искать в виде:
 2
 m 2 sin m ;
2

(45.16`)
Сравнивая (45.16) и (45.16’) очевидно можно сделать предположение, что
s  m2 ;
Воспользовавшись способами представления комплексных чисел (формула Лапласа) запишем искомую
волновую функцию Φ(φ) в виде:
    c expim  c(cos m  i sin m );
Коэффициент C находим из условия нормировки:
2
*
2
d
c




0
2

0
d  c 2 2  1;
c
1
;
2
() 
(45.17)
1 im
e
2
m  0,1,2,
Замечание: позже мы покажем, что m - магнитное квантовое число.
(45.18)
Решим уравнение (45.15):
1 
m2 

 2  
 sin  2    q  2    0;
 cos
sin  

   sin  

cos
m2 
 
   q  2    0;
sin 
sin  

(45.19)
Примечание: Уравнение (45.19) является дифференциальным уравнением второго порядка, поэтому следует
ожидать не одного решения, а нескольких, зависящих от набора чисел.
Важное примечание: С другой стороны функция Θ должна быть конечна при  т. е. в стационарном
состоянии атом должен быть атомом. Поэтому искомое решение представляем в виде:
    sin  f   ;
(45.20)
Показатель δ выбираем так, чтобы для функции f() получилось дифференциальное уравнение не
содержащее sin2 в знаменателе, для этого найдем первую и вторую производные (45.20)
     sin 1 f   cos  sin    f ;
(45.21)
       1 sin   2  cos 2 f     sin  f   
2 sin
 1
(45.22)
 cosf     sin f    ;

Поделим правую и левую части полученного уравнения на
2
2
sin 2  и учитывая sin   1  cos ;
  2 m2

cos
2
f    2  1
f 





q
 f  0;
2
sin 
 sin 

Из физических соображений целесообразно ограничить   m ; .


cos 
2


f     2 m  1
f

q

m
 m f  0;

sin



(45.23)
Т. к. коэффициенты при f и f´ хоть и определены, но ограничены набором целых чисел, то искомое решение,
очевидно, следует представить:
k
f     a j cos j ;
(45.24)
j 0
Вычислим первую и вторую производные от (45.24):
k
f      ja j cos
j 1
 sin  ;
k
(45.25)
j 0
f       j  j  1 a j cos j 1   j 2a j cos j  ;
(45.26)
j 2
Определим коэффициенты aj, для этого (45.24), (45.25), (45.26) подставим в (45.23), получим:

k

 j  2  j  1 a  j 2 a   2  m  1 ja  q   m   m 2 a  cos j   0;

j 2
j
j
j


j 0
(45.27)
Если все слагаемые, стоящие в квадратных скобках (45.27) по отдельности равны 0, то выражение (45.23) будет
удовлетворено. В этом случае при любом j будет выполняться условие:
 j  2  j  1 a j 2   j 2   2 m  1 j  q  m  m
Отсюда:
Вернемся к (45.24):
a j 1 
k
j 2   2  m  1 j  q   m   m
f     a j cos j ;
j 0
 j  2  j  1
2
 a j  0;

2
aj;
(45.28)
Т. к. K - наибольшая степень cosj, то аk≠, а следующий за ним
коэффициент аk+2=. Для этого необходимо, чтобы при jk,
числитель (45.28) обращался в ноль, т.е.
k 2   2 m  1 k  m2  m  q  0;
q   k  m  k  m  1 ;
Заметим, что k и |m| - целые положительные числа, введем обозначение:
q  l (l  1); l  0,1,2, ;
k  m  l; l  m ;
(45.29)
Запишем окончательно выражение для функции Θ(), c учетом (45.18), (45.22), и принимая во внимание,
что   m , k  l  m ; получим:
l m
e,m    sin   a j cos j  ;
m
(45.30)
j 0
Отметим:
1) Если l - |m| - четное число, то согласно (45.28) сумма в (45.30) содержит только четные степени
косинусов и начинается с постоянной a0.
2) Если l - |m| - нечетное число, то сумма в (45.30) содержит только нечетные степени и начинается
с a1cos.
3) Все другие коэффициенты, кроме постоянных a0 и а1 можно найти, используя выражение (45.28).
4) Коэффициенты а0 и а1 определяются из условия нормировки:
Рассмотрим случай: l  0, m  0;


sin d  a0
0

0
1,0
2
 d  cos   a
0
2
cos

0
 2a0  1;
2
0,0  a0 
0
Аналогично рассуждая:

  0,0  a0 ;

2
0,0
В этом случае (45.30) примет вид:
2
l  1, m  0;

( )1,0  a1 cos;
2
a
sin d  a  cos d  cos    1 cos3 
3
0
2
1
2
1
;
2
(45.31)
a1  3 ;
2

0

2 2
a1  1;
3
1,0  3 cos;
2
(45.32)
В том случае, если:


2
1, 1
0
l  1, m  1;
Из соотношения (45.30) и условия нормировки находим:
1,1  sin  a0 ;
 cos3 




sin  d  a0  sin  d    a0   cos   1d  cos   a0 
 cos   1
3

0
0
0


3
4 2
a0  1;
3
a0 
3
;
4
2
1,1 
3
sin  ;
4
(45.32)
Запишем выражения являющиеся решением уравнения Шредингера для угловой части волновой функции с
учетом формул (45.9), (45.18), (45.31), (45.32), (45.33).
Напомним:
 e,m  ,   e,m      ;
Эту операцию проделываем последовательно, т.е.:




3
1
3
1,0  ,  
cos

cos ,  l  1, m  0  ;

2
4
2


3
1
3

1,1  ,  
sin 
exp  i  
sin  exp  i  ,  l  1, m  1 ;

2
8
2

3
1
3

1,1  ,  
sin 
exp  i  
sin  exp  i  ,  l  1, m  1 ; 
4
8
2

 0,0  ,  
1
2
1

2
1
,  l  0, m  0  ;
4
(45.33)
Момент импульса электрона в атоме водорода и квантовые числа
z
Примечание: Условия однозначности, непрерывности и конечности,
накладываемые на волновую функцию приводят к тому, что параметры
разделения переменных могут иметь лишь строго определенное значения, т. е.:
S
r
d
Предположим, что в плоскости XOY по произвольной замкнутой кривой S
движется материальная точка. Если бы кривая была окружностью с центром в
точке О, то вектор импульса был бы ортогонален вектору r, в данном случае
вектор импульса ортогонален вектору кривизны, который может не совпадать с r:
L  dp; d  2sin 
 Lz  xp y  ypx ;

 Ly  ypz  zp y ;
 L  zp  xp ;
x
z
 x
OAB
;
(45.36)
L  mv r;
(45.39)
(45.40)
Перепишем (45.38), с учетом квантово-механического содержания:
Для сферической системы координат, с учетом (45.6)
(45.41)
Lz  i

;

B
Рис. 45.2
(45.38)
 
 
L  i  x
y
;
 x
  y
p
x
Выясним физический смысл чисел 1,m, для этого рассмотрим
сначала классический аналог.
(45.35)
A
0
q  l  l  s  , l  0,1,2, ; s  m2 ; m  0, 1, 2, ; l  m ;
L  r  p; L  rp sin  ;
y
L
(45.42)
(45.37)

Подействуем оператором (45.42) на волновую функцию ē в атоме водорода:
Lz  i


 R(r )( )( )  i R(r )( ) ;


(45.43)
Подставим выражение для Φ (см. (45.18)) в (45.43) поэтапно, предварительно вычислив производную:
    1


exp(
im

)
 im   ;


     2

Lz  i R (r )   im    m  r , ,  ;
Lz ;
Lz  m  r , ,  ;
- собственный оператор, следовательно, проекция момента
импульса на ось 0Z определяется набором чисел:
m, m  0,1, 2,...;
Lz  m; m  0, 1, 2,...;
2

0
L

 2
Рис. 45.3
(45.44)
Выводы:
1. Как показано выше оператор момента импульса является собственным оператором.
2. Lz - является проекцией момента импульса, причем эта проекция в соответствии с (45.44) может принимать
лишь целочисленные значения  . В силу сферической симметрии модуль самого вектора изменяться не
должен, т.е. вектор момента импульса водорода поворачивается в пространстве «скачками» (говорят, что вектор
L квантован), так чтобы следующий его поворот давал целочисленную проекцию на ось 0Z (например, на
направление внешнего магнитного поля рис. 45.3). Это справедливо для стационарного состояния ē в атоме.
3. Если необходимо определить проекцию момента импульса на ось OZ, необходимо выделить ее направление
каким либо способом, например, создать магнитное поле, направленное по оси OZ. В магнитном поле у ē
появляется дополнительная U, величина которой зависит от Lz. Уровни энергии расщепляются на подуровни,
число которых соответствует числу возможных проекций L на это направление. Поэтому величина m называется
магнитным квантовым числом.
Рассмотрим оператор квадрата момента импульса:
L2  Lx 2  Ly 2  Lz 2 ;
Получим выражение для собственных значений оператора
L2 ;
m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 mr 2 m 2  mv r  m 2
L
T  v  vr  v  vr  v

v


v

;
r
r
2
2
2
2
2 mr 2 2
2mr 2
2
2mr 2
2
(45.45)
Сравнивая (3) с (45):
1  
1
 

2  
 2
T 
r

sin




2m  r  r   r  r 2 sin   


2
1
2 

;
 2
2
2
 r sin   
Сравнивая вторые члены (45.45) и (45.5) с учетом в (45.45) квантово-механического содержания получим:
L
Подействуем оператором

R    r , ,  ;
2
2
 1  
 
1
2 
 sin    sin     sin 2   2  ;




(45.46)

L2 на функцию вида (45.14)
2
 1  
  R  
1   R  


 sin 

2
2
  sin   
 sin   
С учетом (45.27)
L2 
2
l (l  1) ;
(45.48)
2
qR;
L
(45.47)
l (l  1);
(45.49)
Вывод: Число l называют орбитальным квантовым числом, оно может принимать значения l= 0,1,2,..n-1, т.е.
нулю может быть равен как собственный механический так и магнитный моменты (отличие от теории Бора).
Л. 46
Решение уравнения для радиальной части
волновой функции
Преобразуем по правилу дифференцирования первую часть уравнения (45.13) и подставив в выражение
для q получим:
2
2m 
e2
R  R 
E  r 
r

Введем обозначения:

2m
EA ;
2
(46.1)
2
e(e  1) 
 R  0;
r2

2me 2
2
 B;
(46.0)
(46.2)
Примечание: Т. к. полная энергия системы E<0, то A2>0, следовательно A - действительная величина. С
учетом принятых обозначений (46.50) примет вид:
2
B 2m e(e  1) 

R  R    A2  
R  0;
2

r
r
r


(46.3)
Замечания к поиску решения: 1) Выберем такие решения, которые при r→∞, стремятся к нулю.
2) При больших значениях r отбросим члены в (46.3) содержащие r в знаменателе, получим асимптотическое
уравнение:
2
  A Rac ;
Rac
Последнее уравнение имеет два решения:
Rac  c exp( Ar );
Rac  c exp( Ar );
Итак решение уравнения (46.03) будем искать в виде:
Здесь неизвестная функция
g (r )  
r 0
;
Выбираем второе решение,
как убывающее при r→∞.
Rac  c exp( Ar ) g (r );
(46.4)
Вычислим первую и вторую производные от (46.4)
R   A exp( Ar ) g  exp( Ar ) g   ( Ag  g )exp( Ar );
R  ( A2 g  2 Ag   g )exp( Ar );
(46.5)
(46.6)
Подставляя (46.4), (46.5), (46.6) в (46.3) получим:
2
B e(e  1) 

( A2 g  2 Ag   g )exp( Ar )  ( Ag  g )exp( Ag )   A2  
exp( Ar ) g (r )  0;
2

r
r
r 

Или
1

 B  2 A e(e  1) 
g   2   A  g   

g  0;
2

r
r
r




(46.7)
Решение (46.7) следует искать в виде полинома:
k
g (r )   b j r j ;
(46.8)
j 
Найдем первую и вторую
производные полинома g(r)
k
g    jb j r
j 1
Здесь bj – неизвестный
коэффициент, при σ<r
k
;
(46.9)

g    j ( j  1)b j r j  2 ;
(46.10)

Подставим (46.8), (46.9), (46.10) в (46.7), получим:
k
j ( j  1)b r


j
j 2
1
 k
 B  2 A l (l  1) 
 2   A   jb j r j 1  

g  0;
2

r 
r

 r
Раскроем скобки:
k
 j( j  1)b r
j
r
j 2
k
  2 jb j r
j 2

k
  2 Aj b j r
j 1

k
  ( B  2 A)b j r
r
j 1
k
  l (l  1)b j r j 2  0;

Объединим ∑ содержащие «r» в одинаковых степенях, и приведя подобные получим:
k
 j ( j  1)  l (l  1)b r


j
j 2
k
   B  2( j  1) Ab j r j 1  0;

Примечание: Это равенство будет выполняться при произвольном r, если коэффициенты при rj2 и rj1
будут равны нулю одновременно или по отдельности.
 j ( j  1)  l (l  1)b j   B  2( j  1) Ab j
 0;
(46.11)
Для первого члена рассматриваемых сумм (46.8), (46.9), (46.10) при j=σ очевидно предыдущего члена просто
не существует из физических соображений, Тогда (46.11) примет вид для j=σ
 (  1)  l (l  1)b j  0;
b  0;   2    l (l  1)  0,   1  l ,  2  (l  1);
В качестве решения выбирается:
1  l;
 2  g (r )
r 0
 ;
Из (46.11), можно получить:
bj 
B  2 jA
b j  1;
e(e  1)  j ( j  1)
Т. к. наибольшая степень полинома k, то bk+1=0. Следовательно,
при j=k+1, числитель (46.12) равен нулю, т. е. B  2(k  1) A  0;
(46.12)
B2
A 
;
2
4( k  1)
2
Учитывая (46.11), (46.13) получим:
me 4
E
;
2 ( k  1) 2
Важные примечания:
1.
Полагаем k+1=n, т.к. k≥σ, а σ=1, n>1, (1 может принимать только целые значения), т.е.
1=0,1,2,3... , то n=1,2,3…;
2.
Так как число «n» определяет энергию электрона в атоме, то его называют главным квантовым
числом, оно может принимать только положительные целочисленные значения, исключая ноль.
n  1, 2,3,
Выводы:
;
1) Уравнение (46.0) для радиальной части уравнения Шредингера имеет решения
удовлетворяющее требованиям, накладываемым на волновую функцию лишь при строго определенных
значениях энергии электрона, в соответствие с формулой:
me4
En   2 2 ;
2 n
(46.13)
2) Энергия в атоме квантована и зависит от главного квантового числа. Радиальную часть
волновой функции можно записать:
n 1
Rn ,e ( r )  exp( Ar ) b j r j ;
(46.14)
j e
Согласно (46.1):
r1 
2
me
2
;
me 2
1
A 2 
;
n
nr1
(46.15)
- радиус первой боровской орбитали.
B
2me 2
2

2
;
r1
(46.16)
Все коэффициенты полинома bj можно выразить через первый коэффициент b0 с помощью (46.62), а сам
коэффициент bj определим из условия нормировки:
Для
n  1; l  0; A 
Условие нормировки:
1
;
r1


2
R1,0 (r ) r dr  b0
2
r 
b0  1 
2
 exp 2r
0
Пользуясь табличным значением интеграла:
3
2
 r  r dr  1;

2
0
Получим:
 1;
 r 
R1,0 (r )  b0 exp   ;
 r1 
а соотношение (46.14) примет вид:
2
2
r1
3
n!
n
n 1
(46.17*)
Таким образом для n=1
R1,0 (r ) 
1
 exp(ax) x dx  a
4
;
3
r1
b0 
2
 r ;
exp r
2
(46.17)
1
При n  2; A  (1/ 2)r1 . Если l=0, то сумма в (46.14) состоит из двух членов, коэффициенты при
которых обозначим b0' и b1' согласно (46.10):
2 2 1

 2r  b   1 b;
r
B  2A
b 
b 
1
1
Следовательно:
2
1
2
0



1 r 
r
R2,0 ( r )  b0  1 
;
 exp
2
r
1
2 r1 

0
2r
0
При n=2, l=1 сумма в (46.14) содержит только один член с первой степенью, т. е.:
 2r  ;
R2,1 (r )  b1r exp r
1
Нормировочные коэффициенты b0' и b1' определяются с помощью (45.11), (46.17*), т. е.
b0 
Следовательно, для n=2:
R2,0 (r ) 
1
2r1
3
2
 
 1r
r
1
;
 exp
3 
2
r
1
2r1 2  2 r1 
1
; b1 
(46.18)
1
2 6r1
5
;
2
R2,1 (r ) 
1
2 6r1
5

r exp r
2
2r1
;
(46.19)
Общие выводы (обсуждение результатов)
1. Решение уравнения Шредингера для в атоме водорода показало, что этому уравнению удовлетворяет
набор волновых функций, зависящих от трех квантовых чисел n, l, m, т. е.:
 n,l ,m (r , , )  Rn,l (r )l ,m ( )m ( )  Rn,l (r ) l ,m (, );
(46.20)
2. Квантовые числа могут принимать только целочисленные значения:
n  1, 2,3,
; l  0,1, 2,3,
; m  0, 1, 2, 3,
;
3. Согласно (46.13) электрон в атоме водорода обладает дискретным энергетическим спектром.
4. Формула (46.13), полученная при решении уравнения Шредингера совпадает с формулой Бора, но
решение уравнения Шредингера показало, что n ≠ 0.
5. Решение уравнения Шредингера показало, что с моментом импульса связано не главное квантовое число
- n, а орбитальное - l, и в основном состоянии n = 1, l = 0, орбитальный момент импульса равен нулю в
полном согласии с опытом.
6. При движении электрона в атоме, прежде всего, проявляются его волновые свойства, поэтому нет смысла
говорить о траектории электрона , можно лишь вычислить вероятность нахождения его в той или иной
области пространства.
Электронные орбитали
z
Рассмотрим несколько примеров позволяющих оценить конфигурацию электронной
оболочки атома водорода. Волновая функция при n = 1, l = 0, m = 0 имеет вид:
 1,0,0 (r , , ) 

1
r
3
1
r
r1
e ;
r+dr
r
y
x
Рис. 46.1
Эта функция не зависит от углов , , следовательно, она сферически симметрична. Вычислим вероятность
обнаружения электрона в элементе объема определяемом (r, r + dr) (см. рис. 46.1). Согласно определению
2
плотность вероятности обнаружить частицу в некотором элементе объема пространства:
В рассматриваемом примере элемент объема заключенный между сферами равен:
Введем понятие: радиальная
плотность вероятности:
(r)
r
r1
r2
r3
dW 
4
e
3
r1

2r
r1
dW   dV ;
dV  4 r 2dr;
r 2 dr ;
2r
dW
4  r1 2
 (r ) 
 3e r ;
dr
r1

d  4 2r 2  r1
r
 3 (
e 2re r1 )  0; r (1  )  0;
dr r1
r1
r1
2r
2r
Рис. 46.2
Вывод: Радиус первой боровской орбитали в квантовой механике приобретает смысл расстояния от ядра, на
котором радиальная плотность вероятности нахождения электрона в основном состоянии максимальна.
Отображение электронных орбиталей в атоме
Важные примечания:
•
Атомная орбиталь — одноэлектронная волновая функция, полученная решением уравнения
Шрѐдингера для данного атома[1], задаѐтся главным n, орбитальным l и магнитным m квантовыми
числами.
•
Волновая функция рассчитывается по волновому уравнению Шрѐдингера в рамках
одноэлектронного приближения (метод Хартри — Фока) как волновая функция электрона,
находящегося в самосогласованном поле, создаваемым ядром атома со всеми остальными электронами
атома.
•
Сам Э. Шрѐдингер рассматривал электрон в атоме как отрицательно заряженное облако, плотность
которого пропорциональна квадрату значения волновой функции в соответствующей точке атома. В
таком виде понятие электронного облака было воспринято и в теоретической химии.
•
Однако большинство физиков не разделяли убеждений Э. Шрѐдингера — доказательства
существования электрона как «отрицательно заряженного облака» не было. Макс Борн обосновал
вероятностную трактовку квадрата волновой функции. В 1950 г. Э. Шрѐдингер в статье «Что такое
элементарная частица?» вынужден согласиться с доводами М. Борна, которому в 1954 году присуждена
Нобелевская премия по физике с формулировкой «За фундаментальное исследование в области
квантовой механики, особенно за статистическую интерпретацию волновой функции».
•
Термин «орбиталь» (а не орбита) отражает геометрическое представление о стационарных
состояниях электрона в атоме; такое особое название отражает тот факт, что состояния электрона в
атоме описывается законами квантовой механики и отличается от классического движения по
траектории. Совокупность атомных орбиталей с одинаковым значением главного квантового числа n
составляют одну электронную оболочку.
Номенклатура орбиталей
Примечания:
•
В литературе орбитали обозначают комбинацией квантовых
чисел, при этом главное квантовое число обозначают
цифрой, орбитальное квантовое число — соответствующей
буквой и магнитное квантовое число — выражением в
нижнем индексе, показывающем проекцию орбитали на
декартовы оси x, y, z, например: 2px, 3dxy, 4fz(x²-y²). Для
орбиталей внешней электронной оболочки, то есть в случае
описания валентных электронов, главное квантовое число в
записи орбитали, как правило, опускают.
Радиальное распределение плотности вероятности
для атомных орбиталей при различных n и l.
•
Геометрическое представление атомной орбитали — область пространства, ограниченная поверхностью
равной плотности (эквидистантной поверхностью) вероятности или заряда. Плотность вероятности на
граничной поверхности выбирают исходя из решаемой задачи, но, обычно, таким образом, чтобы
вероятность нахождения электрона в ограниченной области лежала в диапазоне значений (0,9 - 0,99).
•
Поскольку энергия электрона определяется кулоновским взаимодействием и, следовательно, расстоянием
от ядра, то главное квантовое число n задаѐт размер орбитали.
•
Форма и симметрия орбитали задаются орбитальными квантовыми числами l и m: s - орбитали являются
сферически симметричными, p, d и f - орбитали имеют более сложную форму, определяемую угловыми
частями волновой функции — угловыми функциями.
•
Угловые функции Ylm (φ , θ) — собственные функции оператора квадрата углового момента L², зависящие
от квантовых чисел l и m, являются комплексными и описывают в сферических координатах (φ , θ) угловую
зависимость вероятности нахождения электрона в центральном поле атома. Линейная комбинация этих
функций определяет положение орбиталей относительно декартовых осей координат.
Способы отображения электронных орбиталей
Схема эксперимента по определению
конфигурации орбитали
Математическое
моделирование
Л. 47 Моменты импульса и магнитные моменты электронов
в атомах
Момент импульса
Примечания:
1.
Принято обозначать момент импульса одноэлектронного атома M, для многоэлектронных атомов
момент импульса электронной оболочки складывается из моментов импульса отдельных электронов и
обозначается как L. Для атома водорода, в смысле проекции момента импульса на направление
внешнего магнитного поля, обычно совпадающего с осью 0Z, очевидно справедливо соотношение:
M z  Lz  m , m  1, 2, 3,...;
(47.1)
Проекция момента импульса на любую ось квантована и равна целому числу
значений постоянных Планка (см. рис. 47.1)
Важные замечания:
• Момент импульса атомного электрона в пространстве может быть ориентирован
произвольным образом, но его проекция на направление, например, внешнего магнитного
поля оказывается квантованной.
• Физический смысл этого свойства заключается в том, что при измерении проекции
момента импульса, мы в результате опыта, получаем число кратное h.
• Однако значение Mz до опыта не обязательно должно удовлетворять указанному условию,
так как любое воздействие на квантовую систему изменяет ее волновую функцию. Другими
словами до опыта, и после волновые функции системы не совпадают.
2.
Z
2

M

0

 2
Рис.47.1
Квадрат момента импульса
Для электрона в атоме водорода согласно (45.49) справедливо выражение:
Выводы:
1. У микрочастиц не могут быть одновременно известны проекции момента
импульса на различные оси, для них существует правило аналогичное
соотношению неопределенностей Гейзенберга.
M2 
l (l  1);
2
(47.2)
M z2 max  M 2 ;  l  0;
2. Квадрат момента импульса M2 и одна из его проекций, например MZ2, могут быть определены
одновременно, так как:
M 2  [ M x2    M y2    M z2 ]  M z2 ;
3. В квантовой механике показано, что величины M2, MZ2 полностью определяют вращательное состояние
системы.
Z
Правила сложения моментов импульсов
mL
Рассмотрим систему, состоящую из двух частиц имеющих орбитальные моменты
 
импульса соответственно: l ;l
1
ml1
ml2
L( L  1); Lz  mL ;
Можно показать, что выполняется условие:
Lmax  mLmax  ml1 max  ml2 max  l1  l2 ;
Lmax  l1  l2 ;
Z
(А)

L

l2

l1
Вычислим минимальное значение суммарного момента
импульса:
Lmin  l1  l2 ;

l2
Рис. 47.2
mL  ml1  ml2 ;
Определим максимальные и минимальные значения:
Lmin  l1  l2 ; l1  l2 ;

L
2
Сложение выполним по правилу векторов, с учетом квантования проекций (см. рис. 47.2)
то есть:
2
2
L 

l1
L

l1

L

l1
l1max
l2 max

l2

l2

L
l1
L

l2
Z

l1
l2
Lmax
Lmin
Рис. 47.3
(В)
Проиллюстрируем выражения (А), (В) в виде векторных диаграмм, слева приведены классические случаи,
справа квантово-механические (рис. 47.3). Объединяя соотношения (А) и (В):
l1  l2  L  l1  l2 ;
(47.3)

L
Выводы:
1. Орбитальный момент импульса электрона может принимать согласно (47.3)
и 2l1  1 значение при l1  l2 .
2l 2  1значений, если
l1  l 2
   
L  l1  l2  l3  ... , то результирующий момент
2. Если система состоит из большего числа частиц, то есть:
импульса находится путем последовательного применения правила (47.3).
Орбитальный магнитный момент электрона

n0
Классический случай: материальная точка, имеющая заряд электрона движется по
круговой орбите (см. рис. 47.4).
e
 
M;
2mc
(47.4)
e
z  
Mz;
2mc

M

r


(47.4.1)

v
Рис. 47.4
Можно показать, что для квантово-механических операторов справедливы соотношения вида (47.74), то есть:
l  
e
e
l ; l z  
lz ;
2mc
2mc
(47.5)
Определим правила квантования для проекции магнитного момента электрона, обусловленного его
орбитальным движением. Составим уравнение согласно правилам действия над операторами, то есть:
l   l  ;
z
z
e


(i
)  lz ;
2mc

(47.6)
Решение: 


1
e
2
2 mc
lz
e
;
(47.7)
Искомая функция  будет удовлетворять условиям «гладкости», непрерывности и однозначности, если
выполняется условие:
2mc
lz  ml 2 ;
e
Отсюда правила квантования для проекции магнитного момента
обусловленного орбитальным движением электрона:
lz  
e
ml ;
2mc
(47.8)
Выводы:
1. Проекции «механического» момента импульс электрона за счет его орбитального движения lz и связанного
с ним магнитного момента μlz определяются одним и тем же магнитным квантовым числом m.
2. Единицей измерения магнитных моментов является магнетон Бора, то есть:
MB 
e
;
2mc
lz  M B ml ;
(47.9)
(47.10)
Примечание: Так как масса протона и масса электрона соотносятся как mp=1820me, то
магнитный момент электронной оболочки примерно в 2000 раз превышает магнитный
момент ядра, поэтому магнитные свойства атомов главным образом определяются
структурой электронных оболочек.
3. Правила квантования для самого магнитного момента, обусловленного орбитальным движением можно
получить исходя их (47.5), то есть:
H0
  M B l (l  1); (47.11)
U H=0
2
Опыты Штерна и Герлаха
1
Рассмотрим экспериментальные способы определения орбитального момента l и
магнитного момента обусловленного орбитальным движением электрона μl. Известно,
что в магнитном поле заряженная частица приобретает дополнительную энергию:
U    H ;
U0
l2
Рис. 47.5
(47.12)
  
 
Примечание: Эта энергия зависит не только от модулей векторов  ; H , но и от угла между ними - (  , H )
Приращение энергии электрона:
ml
U    z H
0Z H
;
(47.13)
Примечание: Эта дополнительная энергия также квантуется и измеряется в магнетонах Бора, то есть:
U  ml M B H ;
(47.14)
Вывод: Уровни энергии атомного электрона после наложения внешнего магнитного поля расщепляются на
(2l+1) подуровней, в соответствие с возможным числом значений магнитного квантового числа m
обусловленного орбитальным движением (см. рис. 47.5).
0
1
2
Рассмотрим опыт по определению μlz, точнее по определению значения магнетона Бора μB. Действительно, если
известны параметры внешнего магнитного поля, то в соответствие с (47.14) можно определить магнетон Бора, а
если учесть выражение (47.10) то вычисляется магнитный момент атомного электрона за счет орбитального
движения μlz. Такой опыт был поставлен в 1921 году Штерном и Герлахом (см. рис. 47.6). Установка состояла из
источника холодного водорода (на рисунке он не показан), то есть пучок -1, практически состоял из атомов
находящихся в основном (стационарном) состоянии n=1, l=0. Протяженные электромагниты - 2, создававшие
постоянное неоднородное магнитное поле, ориентированное в плоскости Z0Y, в плоскости параллельной Z0X
располагалась система регистрации – 3. В неоднородном поле на частицы действует, как известно сила:
F  U  (  H ) способная расщепить пучок на отдельные компоненты.
Примечания:
1.
2.
Y
Однородное магнитное поле ориентирует частицы, обладающие магнитным
моментом, но не вызывает расщепления пучка, так как при движении нейтральных
частиц через такое поле никаких сил не возникает.
Чтобы увеличить степень расщепления пучка в опытах Штерна и Герлаха
использовалось сильно неоднородное поле вблизи южного полюса (верхний магнит),
то есть поле имело форму «ножа». Основная составляющая силы действующая на
пучок в рассматриваемой геометрии равна:
Fz   z
Z
2
3
1
X
Рис. 47.6
H z
;
z
NB Величина силы естественно зависит от μz и пучок проходящий близи резкого градиента поля должен
расщепиться на (21+1) компонент, если атомарные электроны обладают орбитальным моментом l=1.
Спин электрона
1.
2.
Рассмотрим Опыты Штерна и Герлаха со следующих позиций:
Предположим что в пучке находятся атомы водорода только в основном состоянии то есть: (n=1, l=0),
следовательно при прохождении таких атомов через установку никакого расщепления наблюдаться не
должно.
Если в пучке присутствуют атомы в состоянии (n=1, 1=1), то пучок должен расщепиться на три пучка в
соответствие с условием: (2l+1).
Опыты показали, что пучок холодного водорода (n=1, l=0), расщепляется на
две компоненты. Этот результат требует либо пересмотра основ квантовой
механики, либо введения каких либо новых характеристик и параметров для
микрочастиц.
Важное примечание: Расщепление пучка холодного водорода на две компоненты можно объяснить лишь тем
обстоятельством, что магнитный момент атома имеет две «дополнительные» проекции на направление внешнего
магнитного поля. Следовательно необходимо ввести еще одно квантовое число, которое может принимать два
значения. Это число было названо спиновым (от англ. Speen – веретено), получило обозначение s.
Можно показать, что s принимает (2s+1) значений, следовательно: 2s  1  0,2
Спиновый механический момент квантуется по обычным
правилам:

3
s   s( s  1)   ;
4
(47.16)
1
sz  ms   ;
2
1
s ;
2
(47.15)
(47.17)
Примечание: Так как число получило название спинового, то соответствующий ему собственный магнитный
момент стал называться спиновым магнитным моментом. Этот момент разделяется соответственно на
механический спиновый момент (47.16) и на магнитный спиновый момент.
1
sz  ms   ;
2
(47.18)
 sz
sz
e
 2
;
2mc
(47.19)
s  2
e
sz   M B ;
2mc
(47.20)
Для вектора спинового магнитного момента соответственно очевидно будут справедливы соотношения:
s  2
e
e
s 2
s( s  1  3M B ;
2mc
2mc
 z  3M B ;
(47.21)

Примечание: При измерении величины  s производится измерение его проекции на направление

внешнего поля  lz , которая равна одному магнетону Бора, поэтому принято говорить, что модуль
спинового магнитного момента равен одному магнетону Бора.
Полный механический и магнитный моменты электрона
Полный механический момент импульса атомного электрона, очевидно складывается из орбитального и
спинового моментов импульса, то есть:
j  l  s ; (47.22)
Определение: Число j называется внутренним квантовым числом и определяет полный
механический момент импульса атома.
1
j l ;
2
(47.23)
j 
j ( j  1);
jz  m j ;
(47.24)
m j   j , ( j  1), ( j  2),...;

j
Рассмотрим правила сложения механических и магнитныхмоментов с помощью

векторной модели. В качестве единицы длины для векторов l , s выберем  , а для
 
магнитных моментов  l ,  s соответственно магнетон Бора. При таком выборе единиц
измерения очевидно справедливы выражения:
В центральном поле, вектор полного момента импульса j сохраняет свою ориентацию, а
векторы 1s, s не сохраняют ее, из за магнитного взаимодействия и «вращаются» вокруг
  
вектора j. Вместе с векторами 1s, s «вращаются» векторы  l ;  s ;   . Следовательно у


вектора   остается постоянной его проекция  j на «ось вращения» (см. рис. 47.7).
(47.25)

l

s

l

s

j


Рис. 47.7
Вывод: Таким образом, поведение атомного электрона во внешнем магнитном поле характеризуется не

полным магнитным моментом   , а эффективным магнитным моментом, который как ясно из рассуждений

равен  j .
Так как


j   j , то очевидно можно записать:
 j   gM B j ;
(47.26)
Расчеты показывают, что коэффициент пропорциональности - g, называемый фактором Ланде равен:
g
j ( j  1)  s( s  1  l (l  1)
;
2 j ( j  1)
(47.27)
Тонкая структура уровней атома водорода
Формула (46.13) определяет энергию электрона в атоме водорода без учета спин – орбитального
взаимодействия. С учетом такого взаимодействия выражение для энергии оказывается более сложным и
является решением уравнения Дирака для релятивистской квантовой механики и имеет вид:
1  AzH 4
1
3
En   Az 2 
(

);  , A  const ' s;
1 4n
n
n3
j
2
2
(47.28)
2 p3 / 2
n2
Последнее выражение показывает, что каждый уровень для которого l ≠ 0, на
самом деле оказывается двойным уровнем, за счет расщепления при спин-орбитальном

взаимодействии (см. рис. 47.8). При l  0; l  0 , следовательно уровни не расщепляются.
В заключении заметим, что в результате взаимодействия магнитных
моментов атомного электрона с магнитными моментами ядер, наблюдается сверхтонкое
расщепление уровней.
2 p1/ 2
Рис.47.8
Важные примечания:
•
•
В атомной физике тонкая структура (мультиплетное расщепление) описывает расщепление спектральных
линий атомов. Не следует путать это понятие с понятием сверхтонкой структуры.
Макроскопическая структура спектральных линий — это число линий и их расположение. Она
определяется разницей в энергетических уровнях различных атомных орбиталей.
•
Однако при более детальном исследовании каждая линия проявляет свою детальную тонкую структуру.
Эта структура объясняется малыми взаимодействиями, которые немного сдвигают и расщепляют
энергетические уровни. Их можно анализировать методами теории возмущений.
•
Тонкая структура атома водорода на самом деле представляет собой две независимые поправки к
боровским энергиям: одна из-за релятивистского движения электрона, а вторая из-за спин-орбитального
взаимодействия.
Релятивистские поправки
В классической теории кинетический член гамильтониана:
Однако, учитывая СТО, мы должны использовать релятивистское выражение для кинетической энергии,
где первый член — это общая релятивистская энергия, а второй член — это энергия покоя электрона.
Раскладывая это в ряд, получаем:
Тогда поправка первого порядка к гамильтониану равна
Используя это как возмущение, мы можем вычислить релятивистские энергетические поправки первого
порядка.
где  — невозмущенная волновая функция. Вспоминая невозмущенный гамильтониан, мы видим
Далее мы можем использовать этот результат для вычисления релятивистской поправки:
Для атома водорода,
где a0 — боровский радиус, n — главное квантовое число и l — орбитальное квантовое число.
Следовательно, релятивистская поправка для атома водорода равна
Важное примечание: Поправка спин-орбита появляется, когда мы из стандартной системы отсчѐта (где
электрон облетает вокруг ядра) переходим в систему, где электрон покоится, а ядро облетает вокруг него. В
этом случае движущееся ядро представляет собой эффективную петлю с током, которая в свою очередь
создаѐт магнитное поле. Однако электрон сам по себе имеет магнитный момент из-за спина. Два магнитных
вектора, B и s сцепляются вместе так, что появляется определѐнная энергия, зависящая от их
относительной ориентации.
Так появляется энергетическая поправка вида
Л. 48
Многоэлектронные атомы. Принцип Паули.
Периодическая система элементов Д. И. Менделеева
Вводные замечания:
1.
Теория атомов содержащих более чем один электрон значительно сложнее теории атома водорода, т.к.
электроны движутся в поле ядра и в полях созданных «соседними» электронами. Следовательно, при
составлении уравнения Шредингера для такой системы необходимо учесть взаимодействие электронов с
ядром, взаимодействие друг с другом.
2.
Для понимания структуры сложных атомов не обязательно составить и решить уравнение Шредингера в том
или ином приближении. С достаточной степенью точности можно считать, что каждый из электронов
сложного атома движется в центральном поле ядра, следовательно, у каждого из электронов сохраняется
момент импульса, и он обладает теми же квантовыми числами, что и водородоподобный атом. Кроме того,
необходимо помнить и учитывать принцип Паули (см. ниже), а также ряд эмпирических правил,
определяющих порядок заполнения электронных оболочек в сложных атомах и принцип построения
периодической системы Менделеева Д.И. Такой подход, не смотря на свою простоту, позволяет
предсказывать оптические и рентгеновские спектры атомов.
Принцип Паули
Ист. Спр. Анализ спектров щелочных металлов позволил Паули в (1925 г.), то есть еще до создания
квантовой механики установить принцип управляющий поведением электронов в многоэлектронных
системах – принцип исключения, называемый принципом Паули.
Гипотеза Паули состояла в том, что в любом квантовом состоянии может находиться лишь
одна микрочастица, электрон.
Примечание: Принцип Паули справедлив не только для атомных электронов, но для любых
квантово-механических ансамблей.
Исследуем с точки зрения квантовых представлений сущность принципа Паули. Рассмотрим два электрона,
волновую функцию и координаты «первого» определим как  1 ( x1 ; y1 ; z1 ), соответственно для «второго»
электрона  2 ( x2 ; y2 ; z 2 ) .
В теории вероятностей показано, что вероятность события представляющего собой совпадение двух
независимых событий определяется произведением вероятностей обоих событий. Следовательно, в нашем
случае очевидно можно ожидать волновой функции вида:
12   1 ( x1; y1; z1 ) 2 ( x2 ; y2 ; z2 );
(48.1)
Важное примечание: Однако выражение (48.1) противоречит принципам квантовой механики, в частности
принципу неразличимости частиц, так как в неявном виде содержит предположение о том, какой электрон
является «первым», а какой «вторым».
Можно предложить два способа записи амплитуды вероятности для данной системы, которые лишены
указанного недостатка.
1 (r1; r2 )   1 (r1 ) 2 (r2 )   2 (r1 ) 1 ( r2 );
 2 (r1; r2 )   1 (r1 ) 2 (r2 )  2 (r1 ) 1 (r2 );
(48.2) / (48.3)
Нетрудно заметить, что функция 1 является симметричной функцией, а функция
2 – антисимметричной.
Важные замечания:
1. Экспериментально установлено, что электроны и все другие частицы, имеющие полуцелый спин, так
называемые фермионы (протоны, нейтроны и т. д.) описываются антисимметричными функциями.
2. Опыты доказывают, что частицы имеющие целый спин, их называют частицами Бозе - Эйнштейна или
просто бозонами (фотоны, -мезоны), описываются симметричными волновыми функциями.
3. Возникает вопрос, – каким дополнительным условиям должны удовлетворять волновые функции в
соответствии с принципом Паули, или он справедлив для всех, например, электронов вселенной? В этом
смысле работает практическое правило: результирующая волновая функция, например, для фермионов
должна антисимметричной, а волновые функции отдельных электронов, при этом, должны заметно
«перекрываться».
Периодическая система Д.И. Менделеева. Модель многоэлектронного атома
Примечание: Для описания состояния электронов в много электронных
атомах можно пользоваться любым набором квантовых чисел, с учетом
принципа Паули.
П.П. - В атоме каждый электрон обладает своим набором квантовых
чисел n, l , m, s отличным от набора этих чисел для любого другого
электрона.
В квантовой механике показано, что электроны в много электронных
атомах распределены по оболочкам, причем каждая из оболочек
состоит из подоболочек, за исключением атомов водорода и гелия.
1. Общее число электронных состояний в многоэлектронном атоме,
при данном значении n очевидно равно:
n 1
2  2  1  2n 2 ;
0
Определение: Электроны, занимающие совокупность состояний с
одинаковым значением числа n, образуют электронную оболочку.
Примечание: Другими словами существует 2n2 различных состояний
для электронов, которые и образуют оболочку (т.е. каждая оболочка
содержит 2n2 электронов). Оболочки поименованы заглавными
буквами латинского алфавита (см. табл. 48.1)
Рис. 48.1
Табл. 48.1
Главное число n
1
2
3
4
5
6
7
Число состояний
2
8
18
32
50
72
98
Символ оболочки
K
L
M
N
O
P
Q
2. В каждой из оболочек в зависимости от значения орбитального квантового числа электроны распределяются
по подгруппам (подоболочкам), за исключением К оболочки, которая является и под оболочкой. Так как
максимальное число возможных электронных состояний в подоболочке с данным l равно: 2(2l+1) при
различных значениях магнитных квантовых чисел m1,m2.
Примечание: Важно помнить, что при данном квантовом числе l возможно лишь 2(2l+1) различных значений
ml. А при каждом возможном значении магнитного квантового числа ml, возможны состояния отвечающие
значениям спинового магнитного квантового числа, то есть: ms = ±1/2.
Каждая подоболочка поименована прописными буквами латинского алфавита (табл. 48.2).
Орбитальное число l
0
1
2
3
4
Число возможных состояний
2
6
10
14
18
Символ подгруппы (подоболочки)
s
p
d
f
g
Табл. 48.2
3. Порядок заполнения электронных состояний в оболочках, (в пределах одной оболочки), и в подгруппах
(подоболочках), следующий: сначала заполняются состояния с наименьшей энергией, затем состояния с
наибольшей энергией.
4. На рисунке 48.1 показана структура многоэлектронных атомов и порядок заполнения оболочек, что является
своеобразным отображением периодической системы Д.И. Менделеева. Заметим, что различие по энергии у
каждой пары электронов согласно условию ms = ±1/2 для данного значения l невелико, поэтому они обычно
изображаются на одном энергетическом уровне. Принято говорить, что эти электроны имеют расспаренные
спины, так как их спиновые магнитные моменты противоположны по направлению.
5. Внешними, (валентными) электронами атома, называются электроны, входящие в состав s и p подгрупп
оболочки с наибольшим числом для данного атома. Этими электронами определяются химические и
оптические свойства атомов.
Спектроскопическая форма записи состояний атомов
1. Опыты показывают, что для легких и средних атомов спин-орбитальное взаимодействие невелико,
поэтому суммарный орбитальный момент для них может быть определен с достаточной точностью с
помощью формулы:
N
L   li ;
(48.4)
1
Суммарный спиновый момент:
N
S   si ;
(48.5)
1
Полный (механический) момент:
J  L  S;
(48.5)
  
Примечание: Если L; S ; J можно рассчитать с помощью выражений (48.4, 5, 6) то говорят о нормальной
связи электронов в атоме, такую связь называют связью Рассела - Саундерса.
Вывод: В случае нормальной связи константами движения является не только вектор J, но и квантовые
числа L, S.
Табл. 48.3
Примечание: В физике полупроводников, спектроскопии для указания
состояния атомов приняты обозначения аналогичные обозначениям
Значение L
Обозначение
состояний отдельных электронов. В зависимости от величины орбитального
состояния
квантового числа принята следующая символика обозначений:
0
S
Справа внизу указывается значение внутреннего квантового числа для атома
1
P
J
.
2
D
Слева вверху - мультиплетность состояния, то есть число равное
3
F
либо: (2S  1), (S  L) , или (2L  1), ( S  L) .
H  2 S ; Li  2 S ;
1/ 2 3
Несколько примеров:
2
1/ 2
He 1 S0 ;4 Be 1 S0 ;
...
...
Заключительные замечания:
•
основываясь
на
соотношении
неопределенности,
можно
получить разумные оценки энергии основного состояния и
размера многоэлектронных атомов;
•
состояние электрона в атоме задается значением четырех
квантовых чисел: главного n, орбитального l, магнитного m и
проекции спина ms;
•
два принципа: Паули и минимума энергии лежат в основе
заполнения электронных состояний;
•
атомы действительно имеют те свойства, что следуют из
предсказанных
квантовой
механикой
электронных
конфигураций.
Можно
также
посмотреть,
как
выглядят
пространственные распределения электронной плотности в
различных состояниях (см. ссылку ниже):
Рис. 48.2
a - полученное с помощью компьютерной
томографии (2004 г.) изображение
молекулярной орбитали 2p s g;
b - форма волновой функции вдоль
межъядерной оси (штрихи - реконструкция
на основании экспериментальных данных,
сплошная линия - расчеты из первых
принципов).
http://teachmen.ru/work/LectureManyElectron/AtomicOrbitals/AtomicOrbitals.html
Сколь причудливы и сложны эти распределения.
Л. 49
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА, ФИЗИКА ТВЕРДОГО
ТЕЛА
Элементы зонной теории проводимости металлов
При объединении атомов в кристаллы, за счет образования межатомных
связей происходит "смещение" энергетических уровней по шкале энергий,
что приводит к образованию так называемых зон. Поясним это на
качественном примере - образование зон при формировании кристалла из 5
атомов лития рис. 49.1
Li - элемент первой группы таблицы Менделеева Д.И. В нормальном
состоянии у него два электрона находятся на К - оболочке в 1s состоянии, и
один электрон на L-оболочке в 2s состоянии , таким образом, для полного
заполнения оболочки "не хватает" 7 электронов. При образовании
кристалла, как уже отмечалось, происходит смещение, или как говорят
расщепление уровней, что приводит к образованию зон.
Изолированные
атомы
Кристалл
Е
Е
2p
2s
1s
1
2
5
Пример
образования
зоны (2s)
Рис. 49.1
Свойства кристалла Li:
1. В 1s- зоне имеется N энергетических уровней, столько, сколько атомов в
кристалле. На этих уровнях расположено 2N электронов, то есть все уровни
заполнены. Следовательно, электроны этой зоны не могут участвовать в
создании тока проводимости в кристалле, т.к. их подвижность по
энергетической шкале равна нулю.
2. В 2s - зоне из N уровней заполнена лишь половина (по два электрона с
расспаренными спинами на каждом уровне), следовательно, 1|2N уровней
оказываются вакантными. Поэтому внешнее электрическое поле способно
изменить состояние электронов этой зоны. Процессы поглощения и
переизлучения энергии в этом случае идут непрерывно, подвижность у
электронов 2s - зоны высокая, поэтому Li является хорошим проводником.
Рис. 49.2
Характер расщепления уровней
атома Li в зависимости от
расстояния между атомами, d0постоянная кристаллической
решетки.
Определим распределение квантовых состояний электрона внутри энергетической зоны.
Число электронов dN(E) обладающих энергиями (E, E+dE) определиться как:
dN ( E )  f ( E ) R( E )dE;
(49.1)
Здесь: f (E ) - вероятность заполнения электроном каждого состояния с энергиями в диапазоне ( E, E  dE ),
R(E ) - плотность разрешенных состояний в зоне.
Количество электронов, обладающих энергиями в интервале: ( E1 , E1  E )
N (E) 
E1 E

f ( E ) R( E )dE;
(49.2)
E1
Оценим значение R(E), для границ разрешенной зоны справедливо:
2
p
E
;
*
2m
h2 1
m 
;
4 2 d 2 E
dt 2
Рис.49.3
*
(49.3)
(49.4)
Образование зон в Ве
Примечание: Физический смысл эффективной массы заключается в том, что она соответствует массе
такого свободного электрона, которую он должен был бы иметь для того, чтобы под действием внешней
силы, приобрести такое же ускорение, какое приобретает электрон в кристалле под действием той же силы.
Пространство импульсов, элементарные ячейки, плотность состояний

Рассмотрим пространство импульсов, в котором роль радиус-вектора играет роль вектор импульса p .
Если в пространстве импульсов провести сферическую поверхность, то эта поверхность будет геометрическим
местом состояний, обладающих энергией E. Все состояния ( E, E  dE ) разместятся в шаровом слое радиуса

и толщиной dp , (рис. 49.2).
Объем этого слоя будет равен:
Vслоя  4 p 2 dp;
(49.5)
Важное примечание: В квантовой механике установлено, что в пространстве импульсов
существуют элементарные ячейки, с объемом h3/V, в каждой из которых, могут находиться
электроны в двух квантовых состояниях (с расспаренными спинами), соответствующих
значениям ms = ±1/2.
Следовательно, число состояний в интервале импульсов (p, p+dp) будет равно:
2 p 2 dpV
R ( E )dE 
;
3
h
В (49.6) произведем замены:
1
*
2 V  2m
*
R ( E )dE 


h3
(49.6)
1

1
* 2
dp   2m  E 2 dE ;
2
p  2m E ;
2
Рис. 49.4

3
2
E
1
2
dE ;
(49.7)
Важное замечание: При m*  me (49.7) - функция распределения энергетических
уровней для электронов в нижней части зоны проводимости (см. рис.49.5).
Рис. 49.5
Квантовая статистика электронов в металле (статистика Ферми – Дирака)
Электрические, магнитные, оптические свойства кристаллов определяются состоянием свободных
электронов в них. Таким образом, одной из задач квантовой механики является выяснение вопроса - каким
образом электроны распределены в зоне проводимости, то есть необходимо определить аналитическое
выражение f(E). Распределения такого типа получают с помощью методов квантовой статистики ФермиДирака, Бозе - Эйнштейна, но это достаточно сложная процедура. Мы рассмотрим более простой подход.
В основе статистики Ферми - Дирака лежат следующие принципы:
1.
Все электроны одинаковы (неразличимы).
2.
Состояния электронов подчиняются принципу Паули.
3.
В системе не может быть одновременно более одного электрона в данном состоянии.
NB Согласно квантовой механике при Т = 0 у свободных электронов Е ≠ 0. Они заполняют дискретные
состояния, начиная с самого нижнего уровня, до некоторого значения Еi. Заполнение уровней электронами
задается функцией Ферми, которая определяет вероятность заполнения электроном энергетического уровня с
энергией Е.
1
f (E) 
e
E  EФ
kT
;
1
(49.8)
здесь Eф — энергия Ферми (уровень Ферми)
Определение: Eф - максимальная энергия, которую может иметь электрон, то есть
она соответствует наивысшему заполненному энергетическому уровню, при Т=0
Рис. 49.6
1
E  EF T  var ;  f ( E )  ;
2
1
E  EF  f ( E )  ;
2
1
E  EF  f ( E )  ;
2
Вывод: При Т = 0 К0 уровни, расположенные ниже уровня Ферми,
заполнены с большей вероятностью, чем уровни расположенные выше его.
Вид валентной зоны металла при Т = 0 представлен на рис. 49.7.
Примечание: Величина уровня Ферми (его положение)
зависит от температуры, так же как и вид самой функции
распределения f(E) (см. рис. 49.6)
EФ  0,1 эВ
T 0
EФ  5 эВ
T  300O K
Рис. 49.7
Вычисление энергии Ферми
Количество электронов проводимости в металле равно удвоенному числу всех заполненных уровней в зоне
проводимости:
EФ
N  2  R( E ) dE;
(49.10)
0
Подставим (49.7) в (49.10):
4 V  2m
*
N 
h
3

3
2 EФ
E
1
2
8 V  2m
*
dE 
3h
0

3
2
3
Концентрация электронов:
N 8  2m

n
V
3h3
*
Следовательно:

3
2
3
2
( EФ ) ;



3h3n

 ( EФ )   
3
* 2


 8  2m 

3
2
2
3





2
3
;
Окончательно:
EФ 
2
3
h  3n 
 ;
* 
8m   
2
(49.12)
3
2
( EФ ) ;
(49.11)
Определим среднюю энергию электронов проводимости в металле. Суммарная энергия электронов очевидно
равна:
E 
EF

0
3
2
8 V (2m )
( EF ) 2 ;
ER ( E )dE 
3
5h
*
5
Средняя энергия с учетом (49.11) будет равна:
 E 
E 3
 EF ;
N 5
(49.13)
Замечание: В обозначениях, с
силу технических особенностей
набора символы Eф и EF - одна
и та же функция.
Выводы :
1. Энергия Ферми это максимальная энергия, которую может иметь электрон в металле при нуле
Кельвина.
2. При повышении температуры, происходит переход электронов с уровней E < EF на уровни E > EF.
Энергию для таких переходов электроны получают за счет тепловых колебаний решетки. Однако
количество таких электронов сравнительно невелико.
3. Энергия электронов, составляющих электронный газ, не зависящий от температуры, называют
вырожденным. Следовательно, все электроны, имеющие энергию E < EF и не могущие участвовать в
переходах на вакантные уровни, представляют собой вырожденный газ, так как их состояние не зависит
от температуры.
4. Участок оси абсциссы кривой (рис. 49. 6), соответствующий изменению функции Ферми от нуля до
единицы составляет сотые доли электрон-вольта, в то время как значение абсциссы для области
существования всей функции Ферми - единицы, десятки электрон-вольт.
5. Электронный газ остается вырожденным до тех пор, пока любой из электронов не сможет обмениваться
энергией с кристаллической решеткой, это происходит при так называемой температуре вырождения.
Это станет возможным в том случае, если энергия тепловых колебаний решетки , отсюда:
TФ 
EФ
;
k
(49.14)
ТF - температура вырождения (Ферми);
TF = 18 0000 Cs; EF  1,53eV
Электропроводность и теплопроводность металлов
Вычислим коэффициент теплопроводности металла, используя квантово-механическую модель.
Выражение для коэффициента теплопроводности можно записать по аналогии с классической формулой:
1
3
Э  cVеu
Э
;
(49.15)
Здесь u - скорость электрона; cVe - теплоемкость единицы объема электронного газа, которую выразим
через атомную теплоемкость:
cVе 
c е n
ZN A
;
(49.16)
N - концентрация свободных электронов в металле; Z - число свободных электронов на один атом; NA - число
Авогадро; cμe - атомная теплоемкость:
ce 
2
2
ZR0
T
;
TФ
(49.17)
Заметим, что с решеткой обмениваются не все электроны, а только электроны с энергией отличающейся от
EF на несколько kT, следовательно, u можно определить из равенства:
2
m*uЭФ
 kTФ ;
2
(49.18)
здесь uэф – «скорость» электрона
соответствующая энергии близкой к EF
Подставив (49.16), (49.17), (49.18) в (49.15)
получим:
2
 2 nk Э T
Э 
;
*
3 m uЭФ
(49.19)
Выводы:
1. Электрическое сопротивление проводника в квантовой теории, так же как и в классической теории,
объясняется взаимодействием электронов проводимости с решеткой.
2. В создании электрического тока участвуют все электроны проводимости, это не противоречит принципу
Паули.
3. Вакантные состояния, при наложении внешнего электрического поля создаются для всех электронов
проводника, так как каждый электрон, занимая вакантное место, оставляет за собой вакантное состояние,
которое заполняет другой электрон и так далее.
4. Расчет величины удельной электропроводности дает ту же формулу, что и классическая теория:
qe2 n Э
Э  *
;
m uЭ
(49.20)
qe  e;
э квант. мех.

Э классич.
;
Получим выражение для закона Видемана-Франца:
 2 k 
   T  T ;
Э 3  e 
2
 cl
2
(49.21)
2
k
k
 3   ;  qv  3, 2   ;
e
e
Выводы:
1.
Классическая теория дает коэффициент ς = 3 , квантовая механика - ς = 3,2, несмотря на практически
одинаковые результаты, классическая теория дает совершенно неправильное истолкование явления
проводимости.
2.
С другой стороны классическая теория завышала величину теплоемкости электронного газа, и занижала его
энергию.
Л. 50 Кристаллы, кристаллические решетки, виды связей,
классификация кристаллографических систем
Примечание: В настоящее время установлено, что при объединении атомов в молекулярные и
кристаллические структуры реализуются в основном четыре вида связей:
1. Металлическая.
2. Ионная.
3. Ван - дер - Ваальсовская.
4. Связь, обусловленная обменным взаимодействием между внешними электронными оболочками.
Надо помнить, что в действительности в любых соединениях проявляются все перечисленные
виды связей, хотя вклад каждой из них оказывается весьма различным.
Металлические кристаллы
Постановка задачи: Здесь необходимо ответить на вопрос: Каким образом формируются
кристаллическая решетка, например, у чистых металлов?
Очевидно, что для металлов не возможны следующие типы связей:
1. Ионная связь – характеризуется тем, что атомы, например, 7 группы (у них для
полного заполнения электронной оболочки не хватает одного электрона) при
объединении с атомами 1группы, (эти атомы «располагают» одним слабо
связанным электроном на внешней оболочке), как бы «натягивают на себя
электрон элемента щелочной группы. Таким образом, элемент 1 группы
становится практически положительно заряженным ионом, а элемент 7 группы
отрицательным ионом, типичный пример щелочно-галоидные кристаллы - NaCl
(см. рис. 50.1).
Примечание: у металлов ионы одного знака.
2. Ковалентная связь, характеризуется тем, что каждый атом кристалла связан с каждой
парой своих соседей общей парой валентных электронов с антипараллельными спинами
(более подробно см. ниже). Пример образования элементарной ячейки у кремния и германия
представлен на рис: 50.2,3. Ковалентная связь дает наибольший вклад в образование
молекулы водорода (рис. 50.4).
Примечание: у металлов для установления
ковалентной связи не хватает валентных
электронов.
Важное примечание: При конденсации паров
металла в жидкое и твердое состояние его атомы
сближаются настолько близко, что волновые функции
валентных электронов существенно перекрываются.
Вследствие этого валентные электроны получают
возможность переходить от одного атома к другому.
Таким образом, валентные электроны металлов нельзя
считать связанными с одним или несколькими ионами
металла. Поэтому валентные электроны принято
называть «обобществленными» или
«коллективизированными», при этом нельзя забывать,
что они сохраняют все квантовые свойства.
Prim Обобщенные валентные электроны, их
называют также «электронным газом» или
«электронным облаком» (из аналогии — молекулы
газа также распределяются по всему объему).
Электронное облако обладает связывающим
(цементирующим) действием, объединяя
положительные ионы металла в прочную
эластическую систему, откуда и высокая ковкость
металлов.
NB Под действием двух противоположных сил притяжения и
Рис. 50.6
Рис. 50.5
отталкивания, ионы металла располагаются на некотором равновесном
состоянии друг от друга, соответствующему минимуму потенциальной
энергии системы.
Исходя из модели металла — плотной упаковки шаров, можно
доказать, что возможны два вида упаковки (см. рис.50.5,6):
Основные положения зонной теории проводимости
1. Для того чтобы определить свойства кристалла необходимо знать характер взаимодействия всех частиц (ядер
и электронов) его составляющих. Точное описание — чрезвычайно сложная задача, например, каждая
частица в одном кубическом сантиметре взаимодействует с ~ (1023 ÷ 1024) частиц, находящихся в
непрерывном движении.
Квантовая механика позволяет сформулировать задачу о взаимодействии всех частиц кристалла в виде
уравнения Шредингера. Но оно в этом случае оказывается неразрешимым.
2. Для описания электрических и магнитных свойств, кристалла необходимо знать состояния валентных
электронов в кристалле. Это обстоятельство упрощает задачу, но не дает возможности решить ее точно.
3. Путем ряда упрощений эта многоэлектронная задача сводится к так называемой одноэлектронной задаче с
движением одного электрона в согласованном электрическом поле в кристалле. Упрощения сводятся к
следующим
а)
массы ядерположениям:
значительно отличаются друг от друга, следовательно,
отличаются и их скорости, то есть можно рассматривать движение
электронов в поле неподвижных ядер.
б) медленное движение ядер можно рассматривать в поле создаваемым
средним пространственным распределением электронов.
в) взаимодействие каждого электрона с остальными можно рассматривать
как взаимодействие электрона с усредненным пространственным распределением
заряда электронов.
Рис. 50.7
Энергетические зоны кристалла
Примечание: Атом является потенциальной ямой, в которой электрон может
занимать одно из ряда дискретных состояний.
Изобразим энергетическую схему изолированного атома с учетом расстояния от
электрона до ядра (рис. 50.7).
Если сблизить два атома на расстояние d > 1·10-9 м, то энергетические уровни
остаются без изменения (смотри рис. 50.8).
Рис. 50.8
При расстояниях между атомами d < 1·10-9 м , результате возникающего между ними взаимодействия
уменьшается высота потенциального барьера, разделяющего атомы.
Энергетическую схему кристалла можно изобразить (для определенного
направления) в виде периодически расположенных потенциальных ям
(смотри рис. 50.9).
Важное замечание: При образовании кристалла происходит не только
уменьшение высоты потенциального барьера между атомами, но и
качественные изменения энергетических уровней электронов в атомах.
В кристалле уровни электронов расщепляются в энергетические зоны,
причем зона представляет собой систему дискретных энергетических
уровней (рис. 50.10). Число уровней в зоне определяется: N  N  
a
Рис. 50.9
s
;
Здесь Na – число атомов в кристалле, as – кратность уровня (количество электронов
на этом уровне)
Можно показать:
E 
E t  h; E ,

E E ; t 108 c
h
 107 эВ ; Eкр  1эВ,
t
 t
1
;
 10 15 c 
Определения: Так как многие процессы в кристалле (электромагнитные, оптические и
другие) объясняются состоянием валентных электронов, то применяют упрощенное
изображение энергетической схемы для качественного объяснения того или иного
явления (смотри рис. 50.11).
1. Валентная зона — соответствует нормальному состоянию валентных электронов.
2. Зона проводимости (возбужденная) — ближайшая к валентной зоне, совокупность
уровней возбужденного состояния, в отсутствие внешнего поля в ней электронов нет,
при наличии внешнего поля в нее переходят электроны с валентной зоны за счет
дополнительной энергии, получаемой из внешнего поля.
Примечание: Напомним, что у металлов валентная зона и зона проводимости
перекрыты, что объясняет высокую подвижность коллективизированных электронов, и
следовательно, хорошую электропроводность.
Рис. 50.10
Рис. 50.11
Отметим:
Внешнее электрическое поле может изменить состояние электрона, в том случае если он находится в
незаполненной зоне, так как в этом случае электрон может переходить на незанятые уровни.
В целиком заполненной зоне электроны не могут изменить своего состояния, (нет свободных уровней) под
действием внешнего электрического поля.
Зонная теория объясняет деление веществ на проводники, полупроводники и изоляторы так:
Проводники — кристаллы, у которых валентная зона либо заполнена не полностью, или кристалл, у которого
валентная зона и зона проводимости перекрыты (подробнее смотри ниже).
Полупроводники — кристаллы, у которых валентная зона заполнена полностью и ширина запрещенной зоны:
E з  3эВ
Изоляторы — кристаллы, у которых валентная зона заполнена полностью и ширина запрещенной зоны: Eз  3эВ
ГЕОМЕТРИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ РЕШЕТОК
1. Простые и сложные кристаллические решетки
1.1 Большинство твердых тел (ТТ) обладают кристаллической структурой, т.е. кристалл обладает
свойствами пространственной периодичности или трансляционной симметрии
Определение: Кристалл, обладает свойством трансляционной симметрии, если существует три
некомпланарных вектора a1 , a2 , a3 , таких, что при смещении всего кристалла как целого, на любой из этих
векторов, он совмещается сам с собой (тепловое движение атомов в этом случае не учитывается и, кроме того,
предполагается что размеры кристалла бесконечны).
Примечание 1. В дальнейшем под вектором ai мы будем понимать наименьшее значение, при фиксированном
направлении трансляции. При таком выборе a — называется масштабными или основными векторами.
i
Параллелепипед, построенный на трех векторах a называется элементарной или кристаллической ячейкой
i
Примечание 2. Условимся располагать векторы a1 , a2 , a3 , в той же последовательности, как и положительные
направления осей 0x, 0y, 0z - в правой системе координат. Используя определение векторного произведения
можно показать, что объем элементарной ячейки:
0   a1  a2 a3    a3  a1a2    a2  a3a1  ;
(50.1)
1.2 Виды решеток
Б) Двумерные
А) Одномерные
Примитивная решетка
Сложная решетка
Рис. 50.12
Рис. 50.13
Примечание. Выбор трансляционных векторов,
как видно из рисунка 50.14 неоднозначен, так как:
 01   02
Рис. 50.14
Простая решетка
Рис. 50.15
Сложная решетка
Примечание. Сложную решетку можно получить из совокупности простых решеток, сдвинутых друг
относительно друга определенным образом.
Примечание: В случае трехмерной решетки
остаются неизменными следующие признаки:
В) Трехмерные
1.
Элементарная ячейка может быть выбрана
так, чтобы она содержала один атом.
В случае трехмерной
2.
Любой узел решетки может быть совмещен с

решетки, как простой, так и
ai
другим узлом посредством трансляции
.
сложной, в ее основе лежит
3.
Все узлы решетки абсолютно эквивалентны.
элементарная ячейка,
векторы которой
обозначаются: а1, а2, а3, а
углы между ними принято
обозначать (см. рис. 50.16).
1.3 Классификация решеток по кристаллографическим системам - сингониям
Сингония
Углы между осями
Масштабные вектора
Триклинная
а12  а23  а31
Моноклинная
а12  а23 = а31 = 900
 

a1  a 2  a3
 

a1  a 2  a3
Ромбическая
(ортогональная)
а12 = а23 = а31 = 900
 

a1  a 2  a3
Гексагональная
а12 = 1200, а23 = а31 = 900
  
a1  a2  a3
Ромбоэдрическая
а12 = а23 = а31  900
Тетрагональная
а12 = а23 = а31 = 900
Кубическая
а12 = а23 = а31 = 900
 

a1  a 2  a3
 

a1  a 2  a3
 

a1  a 2  a3
Кристаллограф-е
обозначение
tr
m
O
h
rh
t
c
Браве (Франция, XIX век) показал, что если у семи рассмотренных выше простых решеток поместить
дополнительные атомы на гранях или в центре параллелепипедов, то можно получить новые семь простых
решеток, так что полное число сингоний равно четырнадцати (эти решетки называются простыми решетками
Браве).
Прямая и обратная решетки
Введем понятия прямой и обратной решеток для идеального кристалла - понятия прямой и обратной
решетки довольно удобно использовать при математическом описании свойств решеток.
где n — целые числа. Элементарные ячейки в
an  n1a1  n2a21  n3a3 ; (50.2)
идеальном кристалле совмещаются сами с
собой.
Свойство 1. Очевидно, что такие величины как электростатический потенциал, плотность электронов
являются трехмерно-периодическими функциями.
 

Пример: Точки r и точка r  a n — физически эквивалентны, следовательно, электростатический потенциал
V (r ) :
V (r )  V (r  an );
(50.3)

Разложим периодическую функцию V (r ) в ряд Фурье в косоугольной системе координат ( 1 ,  2 ,  3 ее

координаты ), оси которой направлены по векторам a1 , a2 , a3 ;. В этом случае функция V (r ) периодична в
переменных 1 ,  2 ,  3 с периодами a1 , a 2 , a3 . Разложим ее в тройной ряд Фурье в комплексной форме:
V (r ) 



  V
k1 
k2 
k1 , k2 , k3
k3 
e
k
k  
k 
2 i  1 1  2 2  3 3 
a2
a3 
 a1
;
(50.4)
k1, k2, k3 - 0, 1, 2, 3 …
Перейдем от косоугольных координат к прямоугольной системе координат,
используя известные формулы преобразования для систем координат:
1  a11 x1  a12 x2  a13 x3 ;

 2  a21 x1  a22 x2  a23 x3 ;
  a x  a x  a x ;
31 1
32 2
33 3
 3
(50.5)
Тогда выражение (50.4) в прямоугольной системе координат примет вид:
V (r )  
b1

b2
Vb1 ,b2 ,b3 e
2 i  b1 x1  b2 x2  b3 x3 
;
(50.6)
b3
где b1, b2, b3 — коэффициенты, зависящие от aik, ki, ai или (50.6) в векторной форме:
V (r ) 
V
e
b
b

2 i b  r

;
(50.7)

Коэффициенты b определяются из условия периодичности функции:
V (r  an )  Vb e

2 i b , r  an

 Vb e
b
 
2 i b , r
e

2 i b , an

 V (r );
(50.8)
То есть:
e

2 i b , an

b
(b , an )  n1 (b1, an )  n2 (b2 , an )  n3 (b3 , an ); - равно целому числу всех целочисленных
значений n1, n2, n3.
Это возможно в том случае если:
b  a1  g1 ; b  a2  g2 ; b  a3  g3 ;
(50.9)
gi - произвольные целые числа,
включая ноль.
Так как всякий вектор в трехмерном пространстве определяется тремя направлениями, то вектор b можно
определить:





b  g1b1  g 2b2  g3b3
 a , a   a , a   a , a  

где b1  2 3 ; b2  3 1 ; b3  1 2 ;
0
0
0 
  
0  a1 a2 , a3 
(50.10)

 
b
a

b
Легко проверить, что:
n
g a n  целому числу  n1g1  n2 g 2  n3 g 3 ;
Непосредственно из (50.10) следует:
0, i  k
aibk   ik  
;
1, i  k
(50.11)
 1;
Определение 1. Векторы bi - называются трансляционными, масштабными векторами обратной решетки.
Определение 2. Векторы an и bg - называются векторами прямой и обратной решеток.
Примечание. Векторы bi имеют размерность обращенной длины [L-1]
Определение 3. Бесконечная периодическая решетка, построенная на трансляционных векторах bi, называется
обратной решеткой.
Определение 4. Параллелепипед, построенный на векторах bi, называется элементарной ячейкой обратной
решетки. Его « объем » равен:


b1 b2b3  
Свойство: Из условия (50.12) видно, что:
1
;
0
(50.12)
b1  a2 , a3 ; b2  a3 , a1; b3  a1 , a2 ;
Примечание. Если прямая решетка простая кубическая, то и обратная также простая кубическая.
Примечание. Представление об обратной решетке возникло непосредственно из задачи разложения в ряд
Фурье функции, обладающей периодичностью прямой решетки. Такое представление весьма плодотворно для
решения квантово-механических задач движения электронов в периодическом поле кристаллов металлов и
полупроводников.
Миллеровские индексы
Представим в кристалле плоскость,
проходящую через центры атомов
(см. рис.50.17).
Рис. 50.17
Определение: Положение (ориентацию) плоскости в кристалле, проходящей через атомы, будем
характеризовать миллеровскими индексами (h, k, l), которые определяются следующим образом.
Определение: Пусть целые числа s1, s2, s3 измеряют в единицах а1, а2, а3 три отрезка отсекаемых
плоскостью по координатам a1; a2 ; a3 . Составим отношение 1 : 1 : 1 и выразим его через отношение
s1 s2 s3
трех наименьших целых чисел, последние и носят название миллеровских индексов (h, k, l) т. е.:
h:k :l 
1 1 1
: : ;
s1 s2 s3
(50.13)
Анализ рисунков (50.17):
а) (h, k, l) = (1,0,0);
б) (h, k, l) = (1,1,0);
в) (h, k, l) = (1,1,1);
г) (h, k, l) = (1,1,-1);
Примечание. Заданные миллеровские индексы (h, k, l) задают не одну плоскость, а целое семейство
параллельных плоскостей.
Свойство. Легко убедится, что (h, k, l) = (-h, -k, -l);
(50.14)
Определение. Направление прямой в кристалле, проходящей через центры атомов указываются
символом [U, V, W], где U, V, W — три наименьших целых числа, (в единицах а1, а2, а3) отношение
которых:
U : V : W  a1n : a2n : a3n ; (50.15)
Например, направление объемной диагонали куба определится как [1,1,1]
Примечание. Физический эквивалент направления обозначается символами < U, V, W >.
Заключительные замечания:
•
Криста́ллы (от греч. κρύσταλλος, первоначально — лѐд, в дальнейшем
— горный хрусталь, кристалл) — твѐрдые тела, в которых атомы
расположены
закономерно,
образуя
трѐхмерно-периодическую
пространственную укладку — кристаллическую решѐтку.
•
Кристалл всегда содержит различные дефекты внутренней структуры
решетки, искажения и неровности на гранях и имеет пониженную
симметрию многогранника вследствие специфики условий роста,
неоднородности питающей среды, повреждений и деформаций.
Реальный кристалл не обязательно обладает кристаллографическими
гранями и правильной формой, но у него сохраняется главное свойство
— закономерное положение атомов в кристаллической решѐтке.
•
Кристалл кварца
Многим кристаллам присуще свойство анизотропии, то есть зависимость их свойств от направления,
тогда как в изотропных веществах (большинстве газов, жидкостей, аморфных твѐрдых телах) или
псевдоизотропных (поликристаллы) телах свойства от направлений не зависят. Процесс неупругого
деформирования кристаллов всегда осуществляется по вполне определѐнным системам скольжения, то
есть лишь по некоторым кристаллографическим плоскостям и лишь в некотором кристаллографическом
направлении. В силу неоднородного и неодинакового развития деформации в различных участках
кристаллической среды между этими участками возникает интенсивное взаимодействие через эволюцию
полей микронапряжений.
Алмаз в материнской
породе
Схематическое изображение
кристаллической решетки алмаза
Самородная медь
Гранат имеет кристаллическую
структуру ромба и додекаэдра
Л. 51 ПРИРОДА СИЛ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ АТОМОВ В КРИСТАЛЛАХ
Примечание: Существование т.т. свидетельствует о том, что в определенных условиях между атомами
находящимися на расстояниях  10-8 см существуют силы притяжения, которые уравновешивают силы
отталкивания.
В дальнейших рассуждениях будем оперировать понятиями потенциальной энергии взаимодействия
атомов, которую будем считать зависящей только от расстояния между атомами (рис. 51 1).
Кривые 1 и 2 показывают возможные случаи взаимодействия. Атом А «может
перемещаться» вдоль оси ОR.
Так как U(R) определяется всегда с точностью до const, то всегда можно положить
U=0 при R→∞.
Сила действующая на атом А определится как:
F  (U ( R))  
Знак производной определяет:
Анализ кривой 2 (рис. 51.1):
dU
 0;
dR
dU R
 ;
dR R R OA
- притяжение
dU
 0;
dR
1. R < R0 — отталкивание;
2. R > R0 — притяжение;
3. R = R0 — устойчивое равновесие
Для устойчивого равновесия необходимо
выполнение условия:
 d 2U 
 2     0;
 dR  R0
Рис.51.1
- отталкивание
R
 dU 
F  

 0;

 dR  R0 R
При малых отклонениях атома А от положения равновесия разложим функцию U(R) в ряд Тейлора:
1  d 2u 
1  d 3u 
 du 
2
u( R)  u( R0 )    R  R0    2  R  R0    3  R  R0 3  ...
2  dR  R
6  dR  R
 dR  R0
0
0
(51.1)
Если, около точки R = R0 силы отталкивания возрастают быстрее, чем убывают силы притяжения, то
должно выполнятся условие:
 d 3U 
 3   2  0;
 dR  R0
Обозначим U(R) = –U, а отклонение R – R0 ≡ x, то из соотношения (51.1) получим:
u ( x)  u
0

1
1
x 2  x 3
2
3
(51.2)
Сила, действующая на атом вблизи положения равновесия вдоль оси 0R, равна:

 du 
2
F  
   x  x
 dx 
(51.3)

F
  x , называется квазиупругой (по
Примечание: Сила, рассматриваемая в приближении:
аналогии силами Гука). Можно думать, что по порядку она равна   R0 .
Для того чтобы атомы (ионы) могли образовать устойчивую молекулу или кристалл, необходимо, чтобы, их
взаимодействие имело характер кривой 2. Эта кривая может быть определена простой двучленной формулой:
A
B
u ( R)  m  n ;
R
R
A, B, m, n  0
(51.4)
Примечание: величина (A/Rm) - описывает отталкивание, а слагаемое (A/Rn) - описывает притяжение.
Квантово - механическая теория сил отталкивания приводит к выражению вида:

R
a
Ae , ( R, a  const  0);
Ae

R
a

A
Rm
Вычислив первую производную - dU/dR, где U(R) определяется соотношением (51.4), можно показать, что
равновесное расстояние достигается при:
 mA 
R0  

 nB 
1
mn
;
Квантово - механическая теория взаимодействия атомов опирается на следующие соображения:
а) атомные ядра считаются неподвижными (адиабатическое приближение);
б) полная энергия электронов зависит при этом от положения ядер, как от параметров;
в) при изменении R, полная энергия электронов играет роль потенциальной энергии взаимодействия
атомов;
Рассмотрим с этой точки зрения природу сил отталкивания между атомами.
Prim: Исключая тривиальный случай - кулоновское отталкивание при больших R, можно полагать, что
отталкивание между атомами возникает при взаимном проникновении электронных оболочек (рис. 51.2).
Это отталкивание возникает за счет увеличения кинетической энергии атомных электронов согласно правилу
Паули.
Для выяснения природы этих сил будем рассматривать электроны атомов как
вырожденный Ферми-газ при Т = 0.
Расчеты показывают, что плотность кинетической энергии электронов (кинетическая
энергия в 1 см3) равна:
5
3
где n — концентрация, а
5
32  4 2 3
m — масса электрона
E 
n ; (51.5)
k
10m
Рис. 51.2
Примечание: Можно считать в нулевом приближении, что плотность электронов атомов а и b, т. е. na и nb не
изменяются при взаимном проникновении электронных оболочек. В этом случае изменение плотности
кинетической энергии в области наложения (заштрихованная область, см. рис. 51.2):
5
2
3
4
5
5
5

3  2
3
3
3
Ek 
n

n

n

n
 a
b
a
b ;
10m 

(51.6)
Важные замечания:
1. Эффект наложения электронных оболочек атомов a и b связан с увеличением кинетической энергии
электронов в системе, то есть с возникновением сил отталкивания, которые тем больше чем меньше
расстояние между атомами.
2. К этим силам отталкивания следует добавить и кулоновские силы отталкивания между атомами.
NB Подробный анализ этого явления показывает, что учет сил обменного взаимодействия в рамках
статистической теории приводит к появлению сил притяжения, но это не изменяет рассмотренной выше
качественной картины.
Типы связей
Рассмотрим три типа связей возникающих между атомами (ионами):
1.
ионная (гетерополярная);
2.
ковалентная (гомополярная);
3.
ван-дар-ваальсовские (дисперсионные);
1. Ионные связи
Наиболее просто интерпретируются ионные связи, возникающие в результате кулоновского
притяжения между различными ионами.
Типичный пример щелочно-галоидные кристаллы, например ( NaCl, KCl, KJ … ).
Рассмотрим NaCl. Энергия связи равна разности энергий удаления электрона из натрия (Na) и энергии
выделяющейся при присоединении электрона к хлору (Cl), т.е. E = 5,2 — 3,8 = 1,4 эВ.
NB Расстояние между ионами можно определить из условия (*) , заметим, что такое расстояние является
достаточно большим, по сравнению с расстояниями между атомами в металлах.
e2
 1,4 эВ ; R1  107 см;
R1
(*)
2. Ковалентная связь
Ковалентная связь имеет наиболее важное значение в химии и
кристаллохимии.
Эта связь реализуется в простейшем виде в H2 и может, объяснена
только с квантово-механической точки зрения.
Проанализируем физический смысл ковалентной связи, впервые
объясненный Гайтлером и Лондоном.
Рассмотрим атомы a и b как показано на рис. 51.3. Если R велико, то
электроны ( 1e a и 2eb описываются в 1s состоянии следующими
волновыми функциями:
ra1 
x y z ;
2
1
2
1
2
1
 a  x1 , y1 , z1  
rb2  ( x2  R)  y  z ;  b  x2 , y2 , z2  
2
2
2
2
2
Волновые функции  (1) и  (2)
удовлетворяют уравнению
Шредингера:
1
a
3
0
1
 a03
e

e
ra1
a0

rb2
a0
  a 1 ;
Рис. 51.3
a0 
me
2
 0,53 1010 м;
а0 - радиус первой
боровской орбитали.
 b  2;
0

 H a  a 1   0  a 1 ;
 0

 H b  b  2   0 b  2  ;
2
2
e2
H 
  ;
raz
2m
0
a
Где:
2
1
2
e2
H 
 
;
2m
ra2
0
b
2
2
Напомним, что энергия электрона в основном состоянии в атоме водорода:
Важное замечание: При сближении атомов необходимо учесть энергии
взаимодействия 1e с ядром “b” и 2e с ядром “a”. В этом случае уравнение
Шредингера примет вид:
H
Здесь:
H 0  H a0  H b0 ;
0
V
  1, 2   1, 2 ;
e2
0  ;
2a0
(51.7)
- оператор Гамильтона двух невзаимодействующих атомов;
e2 e2 e2
V (1, 2) 

 ;
r12 ra2 rb1
- потенциальная энергия электронов обоих атомов.
Будем рассматривать потенциальную энергию взаимодействия атомов V как малое возмущение, что при
малых значениях: R ~ a0 заведомо неточно. Поэтому полученные результаты будут иметь лишь качественное
значение.
0
0
0
Можно показать, что невозмущенный гамильтониан H  H a  H b имеет собственную волновую
функцию  0  1,2  a 1 b 2 для собственного значения энергии 2Е0.
Мультипликативность волновой функции, системы состоящей из двух независимых атомов водорода, имеет
простой физический смысл, соответствующий теореме умножения вероятностей независимых событий.
Если энергию возмущенной системы обозначить через E  2E0  W , то изменение собственного значения
энергии в первом приближении теории возмущений определяется по простой формуле:
 ( 0) - невозмущенная волновая функция;
 0 *
 0
W  
V 
d ;
V - энергия возмущения.
Примечание: В данном случае невозмущенному уровню энергии 2Е0 соответствует не одна, а две различные
невозмущенные волновые функции 0(1,2).
Замечание: В силу неразличимости электронов, как волновая функция a 1 b 2 , так и a 2 b 1
- есть собственные функции оператора H 0 , для собственного значения энергии 2Е0.
Этому условию соответствуют две линейные комбинации:
 0
 сим 1, 2    a 1  b  2    a  2   b 1 ;
 ac 1, 2    a 1  b  2    a  2   b 1 ;
 0
(51.8)
Из правила Паули следует, что полная волновая функция должна быть антисимметрична
(т.е. должна изменять знак при перестановке всех четырех координат x, y, z,  Z пары электронов).
Для того, чтобы полная волновая функция была антисимметрична необходимо:
0 
1,2 — умножить на антисимметричную спиновую функцию;
сим
ac0  1,2 — умножить на симметричную спиновую функцию.
NB Можно показать, что антисимметричной спиновой волновой функции соответствует синглетное
состояние с разнонаправленными спинами.
Применяя методы теории возмущений для вырожденных стационарных состояний, можно показать,
что под действием возмущений вырожденный уровень 2Е0 расщепляется на два уровня, одному из них
0 
соответствует сим
1,2 , а другому: ac0  1,2 , т.е.:
Wc
E  2 E0   ;
Wac
(51.9)
Wc 
kA
kA
;
W

;
ac
2
2
1 s
1 s
(51.10)
k    a2 1  b2  2  V 1, 2  d 1d 2 ;
A    a 1  b 1  a  2   b  2  V 1, 2  d 1d 2 ;
S 2    a 1  b 1  a  2   b  2  d 1d 2 

;
  a 1  b 1 d 1
2
(51.11)
k    a2 1  b2  2  V 1,2  d1d 2 ;
- кулоновский интеграл
A    a 1  b 1  a  2   b  2  V 1,2  d1d 2 ;
e a 1 b 1 , e a  2  b  2  ;
- обменный интеграл.
- обменные плотности.
Величина S - является мерой перекрытия волновых функций электронов в атомах водорода
отстоящих друг от друга на расстоянии R.
В адиабатическом приближении, энергия электронов:
E ( R)  2E0  W ( R)  W ( R)  const;
(51.12)
Эта энергия (**) играет роль потенциальной энергии взаимодействия между атомами. Таким образом,
полная потенциальная энергия взаимодействия атомов водорода, включая энергию кулоновского
отталкивания, равна:

e2
 Wc ( R ) 
U ( R) 
c

R
;
2
e
 Wac ( R ) 
U ( R) 
ac

R

(51.13)
Проведя численные расчеты интегралов (51.11) Гайтлер и Лондон показали, что для Uc(R) соответствует
кривая 2, а для Uac(R) — кривая 1. Расчеты показывали, что R0  0,79 A , а глубина ямы u0  3,2 эВ, хотя
экспериментально установлено, что u0эксп  4,7 эВ .
Выводы:
1. Квантово-механический анализ позволяет объяснить притяжение между двумя нейтральными
одинаковыми атомами.
2.Ковалентная связь в H2 насыщена, т.е. молекула H2 не может присоединять еще один атом H.
3. Ван - дер - Ваальсовские (дисперсионные) силы взаимодействия между атомами
Примечание: Расчеты показывают, что ковалентные силы очень быстро убывают с расстоянием
(экспоненциально) т.е. при R >> a0 , они становятся пренебрежительно малыми. На этих расстояниях начинают,
проявляются некоторые универсальные силы притяжения, их назвали дисперсными силами - (Ван - дер Ваальсовские).
Важные замечания:
1. В тех случаях, когда отсутствуют ковалентные, ионные, металлические связи, ван - дерваальсовское взаимодействие является причиной связи частиц в твердых телах (Ar, Kr, Xe …)
2. Предположим, что два атома находятся на расстоянии R >> a0 (см. рис. 51.1). Рассмотрим
потенциальную энергию взаимодействия между атомами. Будем рассматривать атомы как
диполи с моментами:
p2  erb2  ex( R  xa , y2 , z2 ); e  0;
p1  era1  ex( x1 , y1 , z1 );
(51.14)

Электрическое поле создаваемое диполем p1 в центре атома “b”:
E
Энергия взаимодействия диполей

p1
и

p2


3 p1R R
R
5


(51.15)


равна потенциальной энергии диполя p 2 в поле E :


3 p1R Rp2
p1 p2
u   p2 E 

R3
R5

p
;
R3

e2
 y1 y2  z1 z2  2 x1 x2  ;
R3
Рассматривая u как энергию возмущения, что справедливо для R  a0 можно показать, что в первом
приближении теории возмущения, взаимодействие атомов равно нулю. В самом деле при R  a0 интеграл А = 0.
Важное примечание: ван-дер-ваальсовское взаимодействие возникает только во втором приближении теории
возмущения. Поправка к энергии основного состояния во втором приближении равна:
W ( R)  
i ,k
u00,ik
2
2 E0  Ei  Ek
 
i ,k
u00,ik
2
2 E0  Ei  Ek
;
где i, k — состояния электронов, которые определяются волновыми функциями:
(51.16)
 i 1 ,  k  2  ;
u00,ik    *i 1  *k  2  u  0 1  0  2  d 1d 
e2
 3   *i 1  *k  2   y1 y2  z1 z2  2 x1 x2   0 1  0  2  d 1d 
R
e2
 3  y1 y2  z1 z2  2 x1 x2 00,ik ;
R
W (R) в (51.16) всегда меньше нуля, для основного состояния атомов, так как Ei и Ek  E0 ( Ei , Ek , Eo  0) .
Следовательно, ван-дер-ваальсовское взаимодействие для атомных систем приводит к притяжению.
Подставив в (51.15) выражение для функции u 00,ik можно получить зависимость энергии ван-дерваальсовского взаимодействия от расстояния R, т.е.:
W ( R)  
W0
;
6
R
(51.17)
W0  e 4 
i ,k
 y1 y2  z1 z2  2 x1 x2 
2 E0  Ei  Ek
2
00 ,ik
;
Расчеты показывают, что для молекулы водорода H2, W0  6,5e 2 a 05 , т.е. при расстояниях между атомами R  5a0
W (5a0 )  10 2 эВ ;
Примечание: ван-дер-ваальсовские силы также как и ионные не обладают насыщением.
Дополнения
Водородная связь
Особая разновидность молекулярной связи — водородная связь. При определѐнных условиях атом
водорода может быть связан довольно прочно с двумя другими атомами. Имея лишь одну стабильную
орбиталь, атом водорода способен образовывать только одну ковалентную связь. Эта связь может, однако,
резонировать между двумя положениями. Наибольшее значение имеют те водородные связи, которые
образуются между двумя сильно электроотрицательными атомами, в особенности между атомами азота,
кислорода и фтора.
Примечания:
• Водородные связи, образуемые молекулами воды, обусловливают удивительно высокие точки плавления
льда и кипения воды, существование максимума плотности воды, расширение воды при замерзании.
• Многие особые свойства неорганических и органических молекул, например димеризация жирных
кислот, объясняются образованием водородных связей. Водородная связь — особенно важная структура
белков особенность белков и нуклеиновых кислот.
• Молекулярные связи образуют, например, следующие вещества: H2, N2, O2, CO2, H2O.
•
Часто водородную связь рассматривают как электростатическое
взаимодействие, усиленное небольшим размером водорода, которое
разрешает близость взаимодействующих диполей. Тогда об этом
говорят как о разновидности донорно-акцепторной связи,
невалентном взаимодействии между атомом водорода H, ковалентно
связанным с атомом A группы A-H молекулы RA-H и
электроотрицательным
атомом B другой
молекулы (или
функциональной группы той же молекулы) BR'. Результатом таких
взаимодействий являются комплексы RA-H•••BR' различной степени
стабильности, в которых атом водорода выступает в роли «моста»,
связывающего фрагменты RA и BR'.
Рис. 51.4 Пример межмолекулярных
водородных связей
Свойства водородной связи
1.
Энергия водородной связи значительно меньше энергии обычной ковалентной связи (не превышает 40
кДж/моль). Однако этой энергии достаточно, чтобы вызвать ассоциацию молекул, то есть их объединение
в димеры или полимеры. Именно ассоциация молекул служит причиной аномально высоких температур
плавления и кипения таких веществ, как фтороводород, вода, аммиак.
2.
Связь этого типа, хотя и слабее ионной и ковалентной связей, тем не менее играет очень важную роль во
внутри- и межмолекулярных взаимодействиях. Водородные связи во многом обусловливают физические
свойства воды и многих органических жидкостей (спирты, карбоновые кислоты, амиды карбоновых
кислот, сложные эфиры).
3.
Прочность водородной связи (энтальпия образования комплекса) зависит от полярности комплекса и
колеблется от ~ 6 кДж/моль для комплексов молекул галогеноводородов с инертными газами до 160
кДж/моль для ион-молекулярных комплексов (AHB)±; так, для комплекса (H2O•H•OH2)+ образованного
H2O и H3O+ — 132 кДж/моль в газовой фазе.
Водные кластеры
Согласно современным представлениям, наличие водородных связей
между молекулами воды приводит к возникновению так называемых водных
кластеров или комплексов. Простейшим примером такого кластера может служить
димер воды:
NB Энергия водородной связи в димере воды составляет 0,2 эВ (≈ 5 ккал/моль), что всего
на порядок больше, чем характерная энергия теплового движения при температуре 300 К.
В то же время энергия ковалентной O-H связи в 200 раз больше тепловой энергии. Таким
образом, водородные связи относительно слабы и неустойчивы: предполагается, что они
могут легко возникать и исчезать в результате тепловых флуктуаций. Это, в частности,
приводит к тому, что вода должна рассматриваться не как «простая», а как «связанная
жидкость»: вода представляется как сеть молекул H2O, соединѐнных водородными
связями.
Рис. 51.5 Водородная связь между
молекулами воды обозначена чѐрными
пунктирными линиями. Жѐлтые линии
обозначают ковалентную связь, которая
удерживает вместе атомы кислорода
(красный) и водорода (серый).
Л. 52
КОНТАКТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
1. Термоэлектронная эмиссия
Определение: Под термоэлектронной эмиссией понимают процесс выноса
электронов из объема, занимаемого металлом или полупроводником за счет
подводимой извне тепловой энергии. Эта энергия может быть получена за счет
пропускания электрического тока через металл или полупроводник.
Примечание 1: Электроны проводимости, движущиеся по всему объему
металла, не могут его покинуть, так как металл является для них потенциальной
ямой (смотри рисунок 52.1). Для того чтобы выйти из металла в вакуум
электрон должен совершить работу — так называемую «работу выхода», выйти
из металла легче электрону с энергией Eф. Тогда работа выхода равна работе
для удаления из металла электрона обладающего энергией равной Еф.
Рис. 52.1
Примечание 2: Электрон может совершить работу и выйти за пределы объема металла за счет различных
источников энергии:
1. Под действием внешнего электромагнитного излучения в области светового диапазона длин волн (фотоэффект).
2. При бомбардировке металла быстрыми электронами (вторичная электронная эмиссия).
3. Под действием тепловых колебаний решетки при подводе тепла за счет внешнего источника, то есть с ростом
температуры металла (термоэмиссия).
2. Закон Богуславского - Ленгмюра
Закон Богуславского – Ленгмюра определяет электронный
ток в вакуумном диоде.
3
2
ak
I  aU ;
(52.1)
Рис. 52.2
Величина тока в вакуумном диоде прямо пропорциональна приложенной
разности потенциалов между катодом и анодом в степени 3/2.
Рис. 52.3
Примечания:
1. Ток насыщения зависит от температуры, до которой нагрет катод (рис. 52. 3)
2. Ток нелинейно зависит от приложенной разности потенциалов, по сравнению с законом Ома, где
величина тока в проводнике является линейной функцией от приложенного напряжения. Это
объясняется тем обстоятельством, что в проводнике энергия электронов, приобретаемая за счет
электрического поля источника тока, частично расходуется на взаимодействия электронов с решеткой.
3. Контактная ЭДС
A
A
Рассмотрим металлы М1 и М2 с различными значениями В и В
различными значениями энергий Ферми EФ и E Ф (см. рис. 52.4).
1
1
2
2
Сблизим М1 и М2 настолько, чтобы электроны могли переходить из
одного в другой. Вследствие разности потенциалов, обусловленной
величиной EФ электроны из металла М1 будут переходить в металл М2, в
результате чего металл М1 приобретет положительный заряд +q, а металл
М2 приобретет отрицательный заряд –q, (см. рис. 52.5). Равновесие
наступит тогда, когда работа по преодолению сил возникшего
электрического поля станет, равна разности энергий электронов идущих
через контакт, то есть:
Рис. 52.4
e  EФ1  ЕФ2 ;
 К 
EФ1  ЕФ2
e
;
 К   0,1  5 В;
(52.3)
(52.4)
Примечание: Заметим, что в условиях установившегося равновесия для
металлов М1 и М2 уровни Ферми становятся одинаковыми – выравниваются.
Рис. 52.5
Законы Вольта
1. В цепи составленной из различных металлов контактная ЭДС всей цепи равна контактной
разности потенциалов крайних металлов.
Следствие: В замкнутой цепи, составленной из разнородных металлов при одинаковой температуре спаев,
контактные разности потенциалов не создают ЭДС.
2. Если металлы расположить в определенном порядке, то каждый
следующий контакт будет иметь более высокий потенциал, чем
предыдущий (рис. 52.6).
Ряд Вольта:
 Al , Zn, Sn, Cd , Pb, Sb, Bi , Hg, Fe, Cu, Ag , Au , Pt , Pd 
Эффект Зеебека (Термо ЭДС)
В замкнутой цепи из разнородных металлов, если температура спая не равна
температуре других участков цепи, то возникает ЭДС называемая термоЭДС, и
через цепь протекает ток (рис. 52.7).
Рис. 52.6
ТермоЭДС складывается из двух составляющих:
1.
ЕФ  f (T ) , следовательно, кинетическая энергия
Обусловлена тем, что
электронов на уровне Ферми изменяется с температурой, поэтому градиент
температуры влияет на разность потенциалов
.

2. На концах проводника T2  T1 — температуры спая, следовательно «горячие»
электроны из спая стремятся к концам проводника, так как имеют более
высокую энергию, при этом происходит сильное рассеяние этих электронов
по объему проводника, в результате возникает дополнительное электрическое
поле обусловленное разностью концентраций электронов
Рис. 52.7
Явление Пельтье
При пропускании тока через разнородные проводники в зоне контакта
выделяется или поглощается тепло, называемое теплом Пельтье (рис. 52. 8).
Объясняется это тем обстоятельством, что электроны, обладают различными
уровнями энергии в различных металлах. Поэтому при наложении внешнего
электрического поля, электроны получают дополнительную возможность (кроме
контактной ЭДС) проходить через контакт, при этом электрон с большей энергией
отдает избыток энергии кристаллической решетке так, чтобы уровни энергии
выровнялись. Тепловая энергия, выделяемая в зоне контакта, определяется по
Рис. 52.8
формуле:
QП  П I t ; (52.5)
П — коэффициент Пельтье
Примечание: Заметим, что тепловая энергия Пельтье отличается от тепла Джоуля выделяющегося при
прохождении тока через «однородный проводник». Тепло Пельтье линейно зависит от величины тока
пропускаемого через контакт металлов, джоулево тепло пропорционально току в проводнике во второй
2
степени:
.
QДЖ  R I t ;
Элементарная теория полупроводников
1. Полупроводниковые вещества
Определение: Полупроводниковые вещества — это вещества, у которых валентная зона заполнена
целиком, а ширина запрещенной зоны мала  2  3эВ  .
Вещества, обладающие полупроводниковыми свойствами можно разделить на две основные группы:
1.
Элементарные полупроводники, в состав которых входит только атомы одного вида.
В группу элементарных полупроводников водят двенадцать химических элементов, образующих контактную
группу в середине таблицы Менделеева.
B, C, Si, P, S , Ge, As, Se, Sn, Sb, Te, I
2. Полупроводниковые соединения.
Группа полупроводниковых соединений весьма обширна и включает в себя как неорганические, так и
органические соединения. Среди них, прежде всего необходимо отметить двойные и тройные соединения
GaAs, InAs, GaP
третей и пятой групп:
, для них приято обозначение
.
A III B V
Собственная проводимость полупроводников
Общие замечания:
1.
Ранее было показано, что при 00К валентная зона полностью заполнена, а уровни
проводимости свободны. Ширина запрещенной зоны E  0,01  3эВ , поэтому при
отсутствии внешних воздействий, при 00К полупроводник не проводит ток.
2.
При повышении температуры, начинается переход из ВЗ в ЗП, причем в отсутствии
внешних воздействий, эти переходы обусловлены передачей энергии тепловых
колебаний решетки. Вероятность перехода электрона из ВЗ в ЗП равна: P  e  kTE 
3.
Рис. 52.9
При переходе из ВЗ в ЗП, в валентной зоне образуется так называемая дырка, при
этом считают, такой переход создает два носителя тока — электрон и дырку — это
процесс генерации носителей.
В тоже время, происходит, и обратный переход электронов из ЗП в ВЗ — этот
процесс называется рекомбинацией носителей. В результате протекания двух
конкурирующих процессов в полупроводнике, при данной T0 устанавливается
некоторая равновесная концентрация свободных носителей зарядов.
Удельная проводимость полупроводника складывается из электронной и дырочной проводимостей и
вычисляется по очевидной формуле:
  en un  u p ; (52.7)
4.


Введем следующие понятия:
Собственные носители — свободные носители электрического заряда , которые образуются при переходе
электронов из валентной зоны в зону проводимости.
Собственная проводимость — проводимость, обусловленная собственными носителями заряда.
Определим число рекомбинаций в единицу времени:
N рек   np   n 2 ;
(52.8)
Здесь:  - вероятность
перехода электрона;
n - число электронов;
p - число «дырок»;
При Т0 - const, устанавливается равновесие между процессами генерации и рекомбинации, то есть:
e

E
kT
  n2 ;
  2kTE
n p
e ;

(52.9)
α - коэффициент пропорциональности.
(52.10)
Примечание: В полупроводниках концентрация свободных носителей весьма сильно зависит от
температуры. Можно приближенно считать, что электропроводность полупроводника растет с
повышением температуры по тому же закону, что и концентрация электронов и дырок, то есть:
  Ae

E
2 kT
;
(52.11)
Отметим: в металлах электропроводность с ростом температуры
уменьшается, а в полупроводниках с ростом температуры быстро растет
(рис. 51.10):
tg 
E
;
k
(52.12)
Рис. 52.10
Важное примечание: Зная угол наклона - , несложно определить ΔЕ - ширину запрещенной зоны.
КОНТАКТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
Определение:
Контактные Явления в Полупроводниках (КЯП) - неравновесные электронные явления,
возникающие при прохождении электрического тока через контакт полупроводника с металлом или
электролитом или через контакт двух различных полупроводников (гетеропереход ) либо через границу двух
областей одного и того же полупроводника с разным типом носителей заряда и разной их концентрацией.
Физика явления:
Приведение в контакт двух различных материалов сопровождается
перетеканием носителей (для определѐнности электронов) из одного в другой и
образованием контактной разности потенциалов VK. Напряжѐнность поля контактной
разности потенциалов плавно убывает в глубь полупроводника, вызывая приконтактный
изгиб краѐв энергетических зон (валентной зоны и зоны проводимости). Направление
изгиба и его величина зависят от знака и величины VK, определяемой разностью работ
выхода, а также от знака и концентрации локализованных на поверхности раздела зарядов
(адсорбированные ионы, заряженные поверхностные дефекты и др.,).
Типы контактов
Рис. 52.11
Выпрямляющие контакты.
В зоне контакте металла с электронным полупроводником изгиб зон вверх (см. рис. 52.11)
означает, что приконтактный слой полупроводника имеет дефицит электронов и, следовательно, пониженную
проводимость ( обеднѐнный слой, запорный слой, слой IIIоттки). При достаточно сильном обеднении
электрического сопротивление этого слоя доминирует над сопротивлением нейтрального объѐма
полупроводника, так что последним можно пренебречь. Величина сопротивления слоя сильно зависит от
напряжения, приложенного к нему. Это приводит к большой нелинейности вольт-амперной характеристики
(ВАХ) слоя и, в частности, к еѐ сильной асимметрии относительно знака приложенного напряжения:
сопротивление на обратной ветви ВАХ на много порядков величины превышает сопротивление на прямой
ветви (эффект выпрямления).
Примечания:
•
Прямая ветвь ВАХ соответствует такому внеш. напряжению, когда его поле уменьшает поле контактной
разности потенциалов и сужает слой. На рис. 52.11 это соответствует положит. потенциалу на металле.
•
Обратная ветвь ВАХ отвечает сложению полей внеш. источника и VK (отрицательный потенциал на
металле). При этом обеднѐнный слой расширяется с ростом внешнего напряжения.
•
Нелинейность ВАХ и эффект выпрямления тока на контакте металл-полупроводник используются в диодах
Шоттки.
Омические контакты
При изгибе зон вниз (рис. 52.12) приконтактный слой имеет избыток
электронов (антизапорный слой, обогащѐнный слой). Ввиду повышенной проводимости
он не вносит заметный вклад в сопротивление длинного образца. Поэтому контакты с
обогащѐнным слоем могут служить омическими контактами в полупроводниковых
приборах.
При больших плотностях тока омическое поведение контактов нарушается изза монополярной инжекции электронов, например, из металла в полупроводник (см.
Инжекция носителей заряда в полупроводниках – лекции 53, 54). Инжекция становится
заметной, если плотность тока равна:
j  eDn / RD
Рис. 52.12 Контакт с
обогащѐнным
(антизапорным) слоем.
где n - концентрация электронов основных носителей заряда в полупроводнике, D - их коэффициент
диффузии, RD- дебаевский радиус экранирования, е - элементарный заряд.
Физика явления:
1.
2.
3.
4.
С ростом тока проводимость полупроводника всѐ более определяется инжектированными
электронами, рост концентрации которых ограничивается их объѐмным зарядом (токи,
ограниченные пространств. зарядом). В результате проводимость образца становится
существенно нелинейной.
Электрическое сопротивление омического контакта с обогащѐнным слоем увеличивается
при наличии диэлектрической прослойки Д между металлом и полупроводником (напр.,
окисла металла, рис. 52.13).
Из-за туннельной проницаемости прослойки проводимость еѐ при малых толщинах
(d20 20 А) становится пренебрежимо большой.
В прослойке, а также на границе окисел-полупроводник, как правило, возникают центры
захвата носителей заряда, поле которых наряду с полем контактной разности потенциалов
управляет приконтактным изгибом зон, существенно изменяя его величину, а иногда и
знак. Это приводит к нестабильности и невоспроизводимости омич. контактов металлполупроводник.
Рис. 52.13
Примечания:
•
Поэтому для создания омичeских контактов часто предпочитают сильно легированные
приконтактные области полупроводника, образующие с основным его объѐмом
изотопный гомопереход, например, п+ - п (рис. 52.14), где переход образован сильно
(п+) и слабо (п) легированными областями.
•
Такой переход обладает теми же свойствами, что и контакт металл - полупроводник с
антизапорным слоем.
•
Свойства такого омического контакта не зависят от изгиба зон непосредственно у
металла.
Рис. 52.14
Л. 53 Примесная проводимость полупроводников
Примечание: Наряду с элементарными полупроводниками, существует
широкий класс полупроводниковых соединений или примесных
полупроводников (ППП), в которых концентрация свободных носителей,
главным образом, определятся атомами примеси (содержание примеси ~
(0,001÷ 0,01)%.
Механизмы образования электронов и дырок в ППП.
1.
При наличии в кристалле полупроводника атомов другого вещества,
часть вакантных энергетических уровней этих атомов примеси попадает
в ЗЗ основного кристалла, причем энергетические уровни валентных
электронов атомов примеси (валентная зона примеси) расположены на
близком расстоянии (по энергиям) от ЗП кристалла (см. рис. 53.1).
Атомы примеси, отдающие электроны в ЗП основного
полупроводника называются донорами. Число электронов перешедших
из примесной зоны в ЗП, приближенно можно оценить, используя
выражение:
n1  1e

E1
2 kT
;
Рис. 53.1
(53.1)
Примечания:
1.
2.
При относительно низких температурах (НУ) проводимость
определяется, очевидно, переходами электронов с примесных уровней в
ЗП ОП/П.
С повышением температуры начнут переходить в ЗП и электроны
валентной зоны кристалла, в некотором интервале температур все
электроны с примесных уровней уйдут в зону проводимости, и
проводимость полупроводника будет слабо зависеть от температуры.
С дальнейшим повышением температуры начнет увеличиваться
собственная проводимость (рис. 53.2).
Рис. 53.2
В электронных П/П(с донорными
связями) удельная проводимость
вычисляется:
 n  enun ;
(53.2)
2.
Другой тип проводимости полупроводника реализуется следующим образом, атомы примеси
подбираются так, чтобы ЗП примеси оказалась вблизи ВЗ основного полупроводника. Уровни, занятые
валентными электронами примесных атомов, расположены ниже верхнего края ВЗ кристалла, а
следующие за ним свободные уровни (ЗП примеси) расположены выше верхнего края заполненной ВЗ
(см. рис. 53.3).
Примечание: Валентные электроны примесных атомов, попав в общую массу
валентных электронов кристалла, незначительно влияют на электропроводность.
NB Рассмотренный механизм проводимости называется дырочным.
Примесные атомы, на свободные уровни которых, происходит переход
электронов из валентной зоны кристалла, называется акцепторными, а сами
атомы примеси - акцепторами. Удельная проводимость в таких проводниках
определяется:
 p  epu p ; (53.3)
Рис. 53.3
Примечание: На рис. 53.4 приведен пример замещения атома кремния
атомом бора. Бор имеет три валентных электрона, их естественно не
хватает для заполнения валентных связей с четырьмя соседними атомами
кремния, поэтому образуется электронная вакансия, которая может быть
заполнена, за счет перехода электрона из заполненной валентной зоны
основного кристалла. Таким образом, в рассмотренном примере атом бора
является акцептором.
P – N переход
Важное замечание: P-N переход образуется в зоне контакта между
полупроводниками p-типа и n-типа. Физические свойства контакта в
значительной степени определяют характеристики P-N перехода.
Рис. 53.4
Рассмотрим качественно свойства P-N перехода и некоторые его характеристики:
Если между кристаллами p-типа и n-типа нет контакта, то уровни Ферми в
них находятся на различной «высоте» (см. рис. 53.5, 53.6). Оба кристалла в этом
случае электрически нейтральны.
Введем кристаллы в соприкосновение. Свободные носители зарядов
получают возможность переходить из одного кристалла в другой, уровни
Ферми в них устанавливаются на одной высоте (рис. 53.7). Это приводит к
тому, что энергетические зоны в кристаллах смещаются друг относительно
друга и в области контакта образуется потенциальный барьер, высота которого
определится:
  qeuk ; (53.4)
uК 
EФ1  ЕФ2
Рис. 53.6
Рис. 53.5
(53.5)
qe
Возникновение контактного поля, и потенциального барьера происходит в
результате следующих процессов:
1.
При создании контакта, через него устремляются диффузионные
потоки свободных электронов и дырок.
2.
В зоне контакта электроны и дырки рекомбинируют друг с другом.
Рекомбинация происходить в очень тонком слое контакта.
3.
В результате рекомбинации в кристалле n-типа, его пограничный слой
с контактом заряжается положительно.
4.
В результате рекомбинации в кристалле p-типа, его пограничный с
контактом слой заряжается отрицательно.
Рис. 53.7
Вывод: Таким образом, в области контакта образуется двойной электрический слой объемных зарядов,
создающий электрическое поле, напряженность которого направлена от n-типа к p-типу. Эта контактная
область называется p-n переходом. Его сопротивление достаточно велико в «обратном направлении».
Примечание: Электрическое поле в области контакта препятствует дальнейшему переходу основных носителей
через контакт. Устанавливается некоторое равновесие, при этом возможны тепловые переходы как в
направлении поля в зоне контакта, так и против него, это так называемые тепловые диффузионные токи
основных и не основных носителей.
Концентрация свободных носителей способных преодолеть
барьер определится:
n1  ne

p1  pe

kT

;

kT
;
(53.6)
(53.7)
где p, n — концентрации электронов и дырок, соответственно,
в кристаллах p - типа и n - типа.
Рис. 53.8
В условиях равновесия:
Введем понятия:
Ig  Is ;
Ig - ток основных носителей через p-n переход.
Is - ток неосновных носителей (для них барьера в зоне контакта нет).
I g  I s  I  0;
Приложим к p-n переходу внешнее напряжение. Если внешнее электрическое поле совпадает по
направлению с электрическим полем в зоне контакта, то говорят, что переход еще более запирается, что
затрудняет тепловые переходы в зоне контакта (см. рис. 53.8). Концентрации электронов и дырок участвующих в
диффузионных переходах можно оценить с помощью выражений:
  qU
В этом случае:
I s  0;
I g  0;
n1|  ne

p  pe
|
1

kT
;
  qU
kT
;
(53.8)
Если внешнее электрическое поле направлено против собственного
поля в зоне контакта (рис. 53.9), то вероятности переходов: электронов с
примесных уровней в полупроводнике n – типа и дырок в полупроводнике
p – типа увеличиваются с ростом напряженности внешнего поля. Эти
процессы и определяют прямой ток в p-n переходе. Заметим, что рост тока
нелинейно зависит от приложенного внешнего напряжения (см. рис. 53.10)
Концентрации электронов и дырок, участвующих в образовании прямого
тока, то есть основных носителей можно оценить с помощью выражений:
n  ne
||
1

p1||  pe
I s  0;
  qU

kT
;
  qU
kT
(53.9)
;
I g  0;
Рис. 53.9
I g  I s ;
Вольтамперная характеристика p-n перехода — зависимость тока через p-n переход от приложенного к нему
напряжения. Заметим, что вольт амперная характеристика состоит из двух ветвей: прямой ветви – правая часть
графика и обратной ветви – левая часть. Прямая ветвь характеризуется большими токам порядка ампер и
малыми напряжениями десятые и сотые доли вольта. Обратная ветвь наоборот достаточно высокими
напряжениями, прилагаемыми в обратном направлении (1,2  10,2)В и малыми токами порядка десятков
микроампер.
Уравнение вольтамперной характеристики в некотором приближении
может иметь вид:
  qU

kT

I  I s e
 1


(53.10)
Примечание: Если p-n переход включен в прямом направлении, то он может
выполнять несколько функций в зависимости от физических свойств контакта,
например, для выпрямления низкочастотных токов, детектирования
высокочастотных сигналов, перемножение сигналов, формировании сигналов
различной формы и т.д. При обратном включении p-n переходы используют
как стабилизаторы напряжений.
Рис. 53. 10
Важное примечание: При повышении температуры прямой ток через p-n переход возрастает не очень
значительно, так как он определяется концентрациями основных носителей – электронов и дырок. Зависимость
этих концентраций от температуры мала, так как сами значения концентраций близки к примесному насыщению.
(это замечание справедливо к температурам порядка 300оК). Обратный ток с повышением температуры
возрастает довольно быстро, примерно по экспоненциальному закону, т.к. определяется концентрацией
неосновных носителей, которая также возрастает экспоненциально с увеличением температуры.
Емкость p-n перехода
Особый интерес представляет емкость p-n перехода, так как именно от нее зависят выпрямительные и
детектирующие свойства полупроводниковых устройств. Действительно при образовании p-n перехода
происходит перераспределение заряда в весьма тонком слое, причем между зарядовыми областями практически
отсутствуют носители тока. Если известна площадь перехода, то его емкость, очевидно, будет равна:
Cq 
 0 S
d
;
(53.11)
Определение: Емкость, образующаяся в p-n переходе, называется зарядовой емкостью, ее величина зависит
от толщины перехода, которая в свою очередь определяется концентрацией примесей в полупроводниках e -,
p - типов образующих переход N ; N
1e
2p
При отсутствии внешних напряжений, (полей) абсолютные значения объемных зарядов по обе стороны
перехода должны быть равными, т.е. должно выполняться условие:
x1 ; x 2 - толщины слоев
N1e x1  N 2 p x2 ;
объемного заряда в e - , p (53.12)
областях соответственно
x  x  x;
1
2
Примечание: Ширина p-n перехода зависит от величины и направления приложенного внешнего
напряжения, обратное напряжение увеличивает эту толщину, прямое – уменьшает. В общем случае
вычислить толщину перехода не удается, но в некотором приближении при условии, что между областями
существует резкая граница, можно воспользоваться формулой:
N* - концентрация примеси в том
2(U k  U ) 0
x1 
; (53.13) полупроводнике, где она значительно
больше.
qe N *
Для плавной границы перехода, когда, например, концентрация примесей изменяется линейно в направлении
перпендикулярном плоскости перехода, справедлива формула:
x11  3
12(U k  U ) 0
;
qeN*
(53.14)
Ёмкости p-n переходов в этом случае (учетом (53.11)) могут быть определены для резкого и плавного переходов
соответственно соотношениями:
C1  S
C
11
S3
 0 qe N*
2(U k  U )
;
(53.15)
( 0 ) 2 qeN*
;
12(U k  U )
NB Емкость p-n перехода определяется не только зарядовой емкостью, но и процессами инжекции и экстракции
основных и неосновных носителей в область перехода. Рассмотрим суть явления инжекции («впрыскивание»)
неравновесных носителей в область p-n перехода. При протекании прямого тока через p-n переход из p - области
в n - область переходят дырки, а из n – области в p – область электроны. До начала процесса протекания тока,
(т.е. до наложения внешнего электрического поля) источники концентрации дырок в n – области и электронов в p
– области были очень незначительны. За счет протекания прямого тока эти концентрации резко возрастают, что
приводит к нарушению исходного равновесного состояния концентраций. Это явление и называется инжекцией
неравновесных носителей тока.
Определение: Исходя из определения емкости - изменение заряда при соответствующем изменении разности
потенциалов, можно рассматривать как некоторую дополнительную емкость p-n перехода, которая называется
диффузионной емкостью:
Величина диффузионной емкости
Полная емкость p-n перехода:
q
пропорциональна току через переход и
Cd 
; (53.16) зависит от времени жизни неосновных
C  Cq  Cd ; (53.17)
U
носителей.
Л. 54
Определение концентрации и подвижности
свободных носителей заряда в полупроводниках
Изучение свойств полупроводников начинается обычно с определения знака и
концентрации носителей заряда. Наибольшее распространение для решения такого
рода задач получил метод Холла.
Рассмотрим полупроводник прямоугольного сечения, по которому течет ток I.
Предположим, что он находится во внешнем магнитном поле В (см. рис 54.1). Под
действием силы Лоренца, если основными носителями тока являются электроны,
происходит перераспределение заряда таким образом, что нижняя грань
приобретает отрицательный заряд, а верхняя положительный, следовательно, в
проводнике индуцируется электрическое поле Ех. Если основными носителями тока
являются положительные заряды, например дырки, в полупроводнике то
направление поля будет противоположным.
F  q(vB); (54.1)
Ex q  qvB;
В установившемся режиме:
Подставим выражения (54.3) в (54.2)
Из (54.5) получим выражение для
холловской разности потенциалов:
Ux 
1 IB
;
qe n b
(54.7)
Ex qe n   B;
U x  Ex d 
Rx 
Для металлов (электронный газ вырожден):
  qe nv;
(54.2)
Ex 
(54.4)
1
 Bd ;
qe n
1
;
qe n
(54.6)
1
;
qe n
1
 B;
qe n
(54.5)
Так как плотность тока:
- коэффициент Холла.
Rx 
(54.3)
(54.9)
U x  Rx
IB
;
b

I
;
bd
(54.8)
Примечание: В полупроводника электронный газ находится в невырожденном состоянии, поэтому
коэффициент Холла для носителей одного знака вычисляется согласно формуле:
Rx  83 
1
;
qe n
(54.10)
Для полупроводников со смешанной проводимостью:
Rx 
3
8q
pU p2  nUU2
( pU p  nUU ) 2
;
(54.11)
Выводы:
1.
Таким образом, определив из опытных данных коэффициент Rx, можно вычислить концентрацию
носителей заряда в полупроводнике. Следует учитывать: знак Ux - холловской разности потенциалов зависит от знака носителей заряда в проводнике.
Если для образца заряда известно значение Rx и удельная электропроводность , то в случае носителей
2.
заряда одного знака легко определить их подвижность т.к.
U
8
3
Rx ;
(54.12)
Температурная зависимость проводимости полупроводников
Примечание: Проводимость всякого проводника пропорциональна концентрации свободных носителей заряда
в нем и их подвижности. Следовательно, зависимость проводимости от T0 определяется температурной
зависимостью концентрации и подвижностью носителей в нем.
Температурная зависимость концентраций носителей тока в ПП может быть определена из выражения (52.10) (см. Л. 52).
Подвижность свободных носителей в кристалле определяется рассеянием электронных волн на дефектах кристаллической
решетки. В металле «скорость» электронов выше, чем в ПП, т.к. в металле электронный газ вырожден. Следовательно, в
металле длина электронной волны на порядок меньше, чем в ПП, поэтому дефекты кристаллической решетки в металле
оказывают большее влияние на подвижность носителей тока, чем в ПП.
При наличии обоих механизмов проводимости в полупроводниках результирующая подвижность очевидно
должна определяется выражением:
1
1
1


;
U U пр U т
lnU
Uпр
(54.13)
Uт
где Upr - подвижность носителей при рассеянии энергии на примеси,
Um - подвижность носителей при рассеянии носителей при тепловых колебаниях.
Квантово-механические расчеты показывают:
3
2
U np ~ T ; U m ~ T

3
2
;
T
Рис. 54.2
Таким образом, температурная зависимость подвижности носителей тока от температуры, может быть
представлена в виде:
1
 aT 3 / 2  bT 3 / 2 ;
U
(54.14)
Примечание: При низких температурах, преобладает первое слагаемое, при больших - второе. Положение
максимума зависит от концентрации дефектов.
Вывод: С учетом формул (52.10), (54.14) можно утверждать, что проводимость полупроводников
определяется в основном экспоненциальным множителем, т.е. для удельной проводимости можно записать:
   соб   пр  ce

E
2 kT
 c 'e

Eпр
2 kT
;
(54.15)
где:
ΔE - ширина запрещенной зоны полупроводника.
ΔEnp- энергия необходимая для создания переносимого носителя заряда.
c, c'- константы, зависящие от природы полупроводника и слабо зависящие от температуры.
Примечание: При низких температурах собственная проводимость  соб  0 , а при высоких проводимость
примеси  пр  0 , т.е.
b’(c’)
 пр  c ' e

2 kT
c’’
ln
Eпр
; T  0;
d’
(54.16)
b’’
d’’
b’’’
 соб  ce

E
2 kT
; T  0;
(54.17)
E
2k
Анализ (54.16) или (54.17); Прологарифмируем выражения (54.16) или (54.17):
ln   ln c 
E
2kT
c’’’
d’’’
1/T
Рис. 54.3
Графическая зависимость  представлена на рис. 54.3
Выводы:
1.
При низких температурах T - в полупроводнике, основную роль играет примесная проводимость (участок
графика c’’-d’’;c’’’-d’’’).
2. Участки с’’-b’’;c’’’-b’’’ соответствуют температурам, при которых все атомы примеси ионизированы, а
собственная проводимость еще мала.
3. При увеличении концентрации примесей ломаный участок d’’’-c’’’-b’’’ смещается вверх.
4. Ход графика a-b’(c’)-d’ объясняется следующим образом: при больших концентрациях примеси, атомы
примеси остаются не полностью изолированными вплоть до температуры, при которой начинает
преобладать собственная проводимость.
5. Такие графики позволяют просто определить ширину запрещенной зоны - и энергию активации примесных
носителей (см. 54.16, 54.17 и рис 54.3).
Терморезисторы
Терморезистор - нелинейный полупроводниковый
прибор, в котором используется зависимость
электрического сопротивления от температуры.
U
Удельное сопротивление:
1
E
U
E
1
T   e 2 kT  c0e 2 kT ;
 c
(54.18)
I’
I
Рис. 54.4
Введем обозначения:
E
 B;  T  c0e T ;
2k
B
Следовательно, выражение для зависимости сопротивления
терморезистора от температуры будет иметь вид:
B
B
1 1
RT  T  c0e T  Ae T ;
S S
(54.19)
Примечание: Для характеристики RT  f (T ); вводится температурный коэффициент сопротивления:

Подставив (54.19) в (54.20) получим:
1 dR
;
RT dT
 
(54.20)
B
;
T2
Выводы:
1.
Температурный коэффициент  обратно пропорционален квадрату
абсолютной температуры.
2. С увеличением температуры - T сопротивление терморезистора уменьшается.
3. Форма вольт - амперной характеристики R(T) зависит от температуры
окружающей среды, концентрации примесей и от его геометрической формы
и размеров.
4.
Терморезисторы применяются для измерения температуры ее
регулирования, в различных системах сигнализации и т.д.
5. Изготавливаются терморезисторы из окислов так называемых переходных
металлов от Ti до Cu, величина их сопротивлений могут быть от нескольких
Ом до десятков мегоОм, рабочие температуры терморезисторов выбираются
пределах от 2000 К до 40000 К.
U
T1<T2<T3
T3
T2
T1
I
Рис. 54.5
Семейство типичных
вольт – амперных
характеристик
терморезисторов
Магниторезистивный эффект в полупроводниках
Рассмотрим более подробно эффект Холла в примесном полупроводнике у которого концентрации электронов
и дырок и их подвижности соответственно равны n,  n ; p,  p . Предположим, что через рассматриваемый
полупроводник пропускают ток от внешнего источника и он помещен во внешнее магнитное поле как показано на
рис 54.1. Общий ток складывается из электронного и дырочного токов, то есть суммарный вектор плотности тока
равен:
j  jn  j p ; (54.21)
Рассмотрим случай слабого внешнего магнитного поля, и
представим рассматриваемый процесс в виде векторной
диаграммы (рис. 54.6).
Под действием электрического поля носители заряда будут ускоряться, но
по мере увеличения скорости на носитель будет действовать отклоняющая сила
Лоренца. Поэтому траектории носителей будут искривляться до тех пор, пока
электрон или дырка не столкнется с каким либо дефектом кристаллической
структуры, передав ему энергию, накопленную в электрическом поле, затем он
снова начнет двигаться в электрическом поле и процесс будет повторяться. В
результате ток дырок отклоняется на угол φp, а электронный ток на угол φn.
Изменение траекторий носителей заряда в магнитном поле приводит
естественно к изменению составляющей тока направленного вдоль вектора
электрического поля, что эквивалентно изменению удельного сопротивления
проводника. Это явление получило название явления магнитосопротивления
(эффект Гаусса) или магниторезистивного эффекта.
Z
Траектория
электронов
Ej
j
;

Jn
n

Jp
E

J
Траектория
дырок
X
p
Рис. 54.6
Если внешнее магнитное поле отсутствует, то
направление вектора плотности тока J совпадает с
направлением вектора напряженности
электрического поля от внешнего источника тока.
Удельное сопротивление в этом случае будет равно:
При наложении магнитного поля направление вектора плотности тока не совпадает
с направлением напряженности поля, следовательно, в выражении (52.22)
необходимо подставить проекцию вектора напряженности поля на направление
вектора J, то есть:
B 
Y
B
(54.23)

E
;
j
(54.22)
Вектор плотности тока носителей (электронов и дырок) определяется в этом случае выражением:
1
j   E  Rх 2  B, E  ;  

;
(54.24)
Если оставаться в рамках линейного приближения
по магнитному полю, то есть пренебречь членами
  
2
содержащими B , и с учетом того, что E B, E  0 , то можно записать:


j 2  ( E ) 2 ;
(54.25)
Подставляя (54.24)Б (54.25) в (54.23) получим:
 E2
1
B 

 ;
( E ) 2 
(54.26)
Вывод: слабое магнитное поле почти не оказывает влияния на сопротивление полупроводника.
NB Для того, что бы определить величину удельного сопротивления полупроводника необходимо, по крайней
мере, использовать квадратичное приближении при решении достаточно сложного дифференциального
уравнения для парамагнитной восприимчивости носителей тока.
RB / R0
Ограничимся окончательными выражениями для удельного сопротивления:
2
2
n


p


 ) B2 sin 2  ;
 B    3 e

n
p

 r ((nn3  p 3p ) 

 2 
4 n n  p  p
3
2
3
2
(54.27)
2
1
1
В
Примечание: магнитное сопротивление полупроводника существенно зависит от его
конфигурации (отношение длины к ширине), так как возникающее в результате эффекта Холла
поперечное электрическое поле препятствует изменению траектории носителей тока, уменьшая
тем самым магнитосопротивление (см. рис. 54.7).
0
0,4
0,8
Рис. 54.7
1Тл
Л. 55
Оптические свойства полупроводников
Фотопроводимость
Определение: Фотопроводимость явление изменения величины проводимости полупроводника при воздействии
световых фотонов. В этом смысле различают нормальную фотопроводимость – увеличение проводимости при
воздействии света и аномальную – уменьшение проводимости.
Увеличение концентрации носителей при облучении ПП светом происходит в основном за счет следующих факторов:
• При взаимодействии с фотоном электроны проводимости основного ПП получают такую энергию, что способны преодолеть
свою ЗЗ, это приводит к увеличению концентрации электронов и дырок.
• Энергии электронов оказываются такой величины, что они переходят из ВЗ основного кристалла на примесные уровни,
либо на уровни проводимости примеси, либо на вакантные места в ВЗ примеси, за счет чего увеличивается дырочная
проводимость.
• Электроны выбрасываются с примесных уровней в валентную зону основного полупроводника, в результате увеличивается
электронная проводимость.
• Рекомбинация носителей происходит двумя путями, либо прямая межзонная рекомбинация, либо рекомбинация через
примесные центры.
При генерации и рекомбинации носителей должны выполняться законы сохранения энергии и импульса.
При рекомбинации носителей можно наблюдать следующие эффекты:
1.
2.
3.
4.
Излучательная рекомбинация, в этом случае энергия рекомбинации электрона и дырки сопровождается
световым излучением, (явление наблюдается в достаточно чистых кристаллах). Излучательная
рекомбинация проявляется в люминесценции кристаллов и в лазерном эффекте.
Безызлучательная рекомбинация, процесс, при котором электрон, переходя в ВЗ, отдает свою энергию в
виде тепла (фонона). Но вероятность и этого процесса мала, так как энергия одного фонона ~0,01eV, то есть
при безызлучательном переходе должно рождаться несколько десятков фононов, что маловероятно.
Решающую роль в таких переходах играет рекомбинация через центры захвата, то есть электрон сначала
захватывается примесным центром, а затем уже перемещается в ВЗ. Так как зарядовое состояние и степень
заполнения примесных центров зависит от положения уровня Ферми, и следовательно от температуры, то
эти факторы существенно влияют на время жизни носителей. При больших световых интенсивностях
вероятность рекомбинации начинает зависеть от интенсивности света и времени.
В сильно легированных ПП, и при высоких уровнях освещенности решающую роль играет так называемая
ударная рекомбинация, то есть рекомбинация, при которой освобождающаяся энергия передается второму
свободному электрону. Эти процессы представлены на энергетической диаграмме (см. рис. 55.1).
Зона проводимости
ОПП
Зона проводимости
ПППП
Валентная
зона ППП
Валентная
зона ОПП
Рис. 55.1
Поглощение света в ПП
Распространение ЭМ волны в пространстве, в простейшем случае, может быть описано уравнением волны в
виде:
E ( x, t )  E0e
x
i ( t  )
v
(55.1)
;
здесь v – комплексная скорость v=c/N, N – комплексный показатель преломления. Для данной частоты ω
комплексный показатель преломления может быть выражен:
σ - электропроводность среды
i
2
N   
; (55.2)

Представим N как:
N  n  ik ;
n 2  k 2   ;
(55.3)
2nk 
С учетом последних выражений уравнение волны примет вид:
E ( x, t )  E0eit e

i nx
c
e

 kx
c
;

;

(55.4)
(55.5)
Согласно закону Ламберта – Берра интенсивность световой волны в среде убывает экспоненциально, то есть:
( x)  0e Kx ;
K
2 k 4 k

;
c

(55.6)
(55.7)
Примечание: Для того, что бы найти частотную зависимость коэффициента поглощения и преломления
необходимо рассмотреть процессы взаимодействия световой волны с различными группами электронов в
полупроводниках.
1. Связанные электроны
Классическое уравнение движения электрона, как известно, имеет вид:
d 2x
dx
2
m 2  mg
 m0 x  eEeit ;
dt
dt
(55.8)
Решение этого уравнения:
x
Поляризация единицы объема:
eE
m
0 2   2  i g
  E;
  eNe  ;
(55.10)
(55.9)
Здесь  - атомная
поляризуемость.
  1  4 ;
(55.11)
Для связанных электронов естественно предположить, что   0;   1 , следовательно, из (55.2) N 2   , а с
учетом (55.9), (55.10) получим:
4 N ee 2
(n  ik ) 2  2 m2
 1;
0    i g
(55.12)
Из последнего выражения нетрудно получить соотношение:
4 N e
g
2nk 
;
2
2
2 2
m (0   )   g
2
Проанализируем (55.13)
(55.13)
1. ω0>>ω следовательно n=1, k=0; это означает, что электроны глубинных оболочек не участвуют в
поглощении и преломлении видимого излучения.
2. Вблизи ω = ω0 имеем максимум поглощения, которое с увеличением частоты уменьшается.
Квантово – механическая теория дисперсии описывает атом как набор независимых осцилляторов, каждый
из которых характеризуется своей частотой ωi, коэффициентом затухания gi, силой взаимодействия с внешним
полем fi. Можно показать, что выражения (55.12, 55.13) заменяются соотношениями вида:
N ee 2 f i / m gi
2nk  4 
;
2
2
2
2
i (i   )   g i
(55.14)
Вывод: Сравнивая (55.13) и (55.14) отмечаем их физическое подобие, следовательно, сделанный выше анализ
подтверждается и с квантовой точки зрения.
2. Взаимодействие световых фотонов со свободными носителями
Вводные замечания:
а) в сильнолегированных полупроводниках существенную роль играет поглощение и преломление света за счет колебаний
свободных носителей в электромагнитном поле. Но свободные носители не могут полностью поглощать энергию излучения,
они лишь вносят вклад в коэффициент преломления.
б) в тоже время « зонный электрон », движущийся во внешнем электромагнитном поле, непрерывно испытывает
столкновения за счет теплового движения, поэтому если частота тепловых столкновений достаточно велика, то часть энергии
электромагнитного поля также превращается в тепловую энергию. Этим и объясняется поглощение света свободными
носителями.
Получим некоторые количественные соотношения. Величина электромагнитной энергии в единице объема:
E~ 
E
2
4
;
Коэффициент поглощения получим из закона Ламберта – Берра:
I  I 0 e  kx
I
  KI ;
x
(55.15)
I
K  x ;
I
I
Но
x - это мощность,
поглощаемая в единице объема (в
данном примере, подразумевается
одномерный объем)
С учетом того, что j - плотность тока:
I
 P  jE   E 2 ;
x
K
E 2
2
cE
4

cE 2
I
;
4
(55.16)
  eun;
4
c
(55.17)
где u(ω) - подвижность
носителей на данной частоте.
Таким образом, коэффициент поглощения можно найти, определив u(ω), для этого запишем
уравнение движения электрона в электрическом поле:
mv   v  eE;
(55.18)

v

где v - ускорение; v - скорость дрейфа электрона в электрическом поле;
энергии электрона при столкновениях.
При
E  const ; v  0  const ; v 
eE

;
- определяет потери
(*)
С другой стороны известно:
e
v  uE  m ; (**)
E
Сравнивая выражения (*) и (**)
определим:

m

;     m;
где  - число столкновений в секунду.
Перейдем к случаю переменного поля:
E (t )  E 0 sin( t );

Из (55.18) определим v
v
e
1
 2
( sin( t )   cos( t )) E0 ;
m   2
(55.19)
Соответственно:
e2 n

e2n
1
E
j  env 
 2
E



;
m   2
m  2   2 t
(55.20)
Примечание: Заметим, что второй член в (55.20) не создает потерь на поглощение, так как сдвинут по фазе на

угол π/2 по отношению к напряжению, следовательно, для него (скалярное произведение векторов) j E  0 .
Таким образом:
4 e 2 n
4 0
K


2
2
cm(   )
c
1
 
1  
 
2
;
(55.21)
σ - электропроводность
при постоянном токе.
Примечание: Если мы имеем дело с несколькими типами носителей, то выражение (55.21) должно быть
заменено суммой по всем сортам носителей.
Уравнение (55.19) было решено в предположении, что время релаксации  не зависит от скорости v. Если
отбросить это предположение и предположить, что
,    r то в выражении для коэффициента
поглощения появляется дополнительный множитель:
Ar 
где: Г- гамма функция;
(r  2)(2  r )
  5 
 2 
  
2
(55.22)
l - длина свободного пробега; ε - энергия носителя;
3. Межзонные переходы
Рассмотрим процессы взаимодействия фотонов с электронами при переходе последних из одной зоны в
другую. Вероятность перехода электрона из состояния 1 в состояние 2 по действием возмущения описывается
матричным элементом возмущения, то есть:
M1,2   1V 2 dv;
(55.23)
В данном случае волновые функции 1, 2 - модулированные плоские волны описывающие состояние
электрона до и после перехода, V – энергия возмущения (энергия световой волны).
 1  uk 1e
( ik1r 
 2  uk 2 e
We1
t)
h
( ik2 r 
;
We 2
t)
h
(55.24)
;
Энергия электрона во внешнем магнитном поле ( в поле фотона), то есть энергия возмущения очевидно
будет равна:
(55.25)
V  V ei ( kr t ) ;
0
Подставим (55.24), (55.25) в (55.23), в результате получим:
M 1,2  uk1uk 2V0  e
( ik1r 
We1
W
t)
( ik2 r  e 2 t )
i ( kr t )
h
h
e
e
dv;
Заметим, что в последнем выражении появились сомножители:
ei ( k1 k2 k ) ; e
i
(We1 We 2  h ) t
h
;
(55.27)
(55.26)
Эти сомножители являются периодическими функциями, изменяющимися во времени и пространстве за
исключением следующих случаев:
k1  k2  k ;
We1  We 2  h ;
(55.28)
Помножив верхнее соотношение (правую и левую части) в (55.28) на постоянную Планка – h, получим
закон сохранения энергии в виде:
p1  p2  p ;
h
p 
;
c
(55.29)
Анализ последних соотношений позволяет сделать следующие выводы:
1.
2.
3.
 
Импульс фотона - pγ ничтожно мал по сравнению с импульсом электрона, поэтому из (55.28) следует, что .k1  k2 .
Это равенство дополняет принцип Франка – Кондона, согласно которому время взаимодействия с фотоном настолько
мало, что электрон не успевает изменить своего пространственного местоположения, поэтому на зонной диаграмме в
пространстве импульсов возможны только вертикальные переходы.
Соотношения (55.28) не могут быть удовлетворены одновременно, а это означает, что внутризонные переходы
происходят при наличии третьих тел (фононов, атомов примеси, дислокаций и т. д.).
Выражения (55.28) по сути дела представляют собой два уравнения с тремя неизвестными, которые, как известно,
имеют бесконечное множество решений. Такие переходы на зонной диаграмме изображаются наклонными стрелками
и называются непрямыми. Вероятность непрямых переходов значительно меньше, чем прямых. Непрямые переходы
играют роль тогда, когда прямые, по какой либо причине невозможны, например, когда электронный газ в зоне
проводимости находится в вырожденном состоянии.
4. Спектральное распределение фоточувствительности
Спектральное распределение фоточувствительности полупроводников
определяется их спектрами поглощения. На рис. 55.2 показана зависимость
коэффициента поглощения от длины фотонов падающих на полупроводник.
Заметим, что так интенсивность света при прохождении его в среде
подчиняется закону Ламберта – Берра, то фотоны практически поглощаются
на глубинах (106  108 ) м.
Кпгл
1
2
3

a
Рис. 55.2
Весь спектр можно разбить на две части:
1. Полоса собственного поглощения полупроводника (кривая – 1) ширина которой – а. Это поглощение
связано непосредственно с межзонными переходами, при этом коэффициент поглощения достигает
весьма больших значений .
2. Правее зоны – а, существует так называемая область прозрачности, где поглощение сравнительно мало
и определяется концентрацией примесей и свободных носителей. Здесь степень поглощения
определяется возбуждением примесных уровней (куполообразные кривые – 2).
Примечания:
1. В полупроводниках с большой проводимостью область прозрачности практически исчезает и поглощение, растущее в
сторону длинных волн (кривая – 3), определяется поглощением фотонов свободными электронами. При этом необходимо
учитывать, что совершенно свободные электроны, практически не поглощают фотоны, попадая в электромагнитное поле,
они совершают синхронные колебательные движения в поле, и непрерывно сталкиваются с узлами кристаллической
решетки, причем если их частота колебаний значительно превышает частоту поля, то соответствующая разность в
энергии превращается в тепло. Именно этим и объясняется процесс поглощения фотонов свободными электронами и
возрастание коэффициента поглощения в сторону низких частот.
2. В заключении отметим еще один процесс поглощения – экситонное поглощение (exitation – возбуждение). Суть его
заключается в том, что атомные электроны основных атомов полупроводника возбуждаются под воздействием световых
фотонов, но не отрываются от атомов (то есть, не переходят в зону проводимости), а уходят на вакантные уровни
собственных атомов. Такое состояние атома называют экситоном, возбуждение передается от атома к атому по
межкристаллическим связям, таким образом, экситон «путешествует» по кристаллу полупроводника. В результате могут
образовываться зоны экситонных состояний, важно, что движение экситонов не создает электрического тока.
Л. 56
Стимулированное излучение кристаллов и
полупроводников
Определение: Инверсно заселенной называется зона проводимости кристалла, если в ней в силу каких либо
причин оказывается некоторое «избыточное», по сравнению с условиями теплового равновесия, количество
электронов, при этом в ВЗ имеется такое же количество вакансий.
Определение: Индуцированными или стимулированными переходами называются переходы электронов
из ЗП в ВЗ обусловленные взаимодействием с фотонами, фононами, другими электронами.
Примечание: Стимулированные переходы с верхних уровней на нижние, можно рассматривать как
отрицательное поглощение.
Важное примечание: Для реализации этого процесса необходимо выполнение, по крайней мере, двух условий:
1. Отрицательное поглощение должно превалировать над положительным.
2. Энергия электронной системы, расходуемая на стимулируемое излучение должна компенсироваться, то есть
такую электронную систему необходимо подкачивать энергией от внешних источников.
Возникает вопрос, каким образом можно осуществить, каждое из перечисленных условий и как создаются
инверсно заселенные уровни?
При тепловом равновесии количество переходов из ВЗ в ЗП и наоборот одинаково. Если предположить, что число
электронных мест «участвующих» в переходах в валентной зоне g1, а в зоне проводимости g2, то число электронов
участвующих в переходах «снизу - вверх» и наоборот очевидно будет равно:
E2  E f
n1 e kT  1 g1
 E1  E f

;
n2
g
2
e kT  1
(56.1)
Полагаем, что g1  g 2 , других состояний у электронов нет, следовательно, уровень
химического потенциала будет располагаться примерно посередине запрещенной зоны, т.е.:
E 
*
Ef
kT
;
Допущения, обозначения: В полупроводниках, как известно, электронный газ невырожден. Предположим, в
рассматриваемую модель квантовой системы попадает квант с энергией h  E  E  E
2
1
В рамках нашей модели возможны два типа переходов:
1.
Из ВЗ в ЗП, обозначим вероятность такого перехода W12
2.
Стимулированные переходы - вероятность таких переходов будем определять через W21
3.
Кроме того, возможны и спонтанные переходы из ЗП в ВЗ, вероятность таких переходов обозначим как  21
Эйнштейн получил соотношения, связывающие введенные вероятности переходов:
W12  W21;
8 h 3
 21 
W21;
c3
(56.2)
Общие количества переходов из одной зоны в другую, за счет поглощения фотонов, очевидно, будут равны:

N12
 n1W12 ;

N 21
 n2W21 ;
(56.3)


Важное замечание: в состоянии теплового равновесия n1 > n2, следовательно, и N12  N 21 . Таким образом
данная модель непрерывно должна поглощать электромагнитное излучение из окружающей среды.
Термодинамическое равновесие в данном случае (выполнение закона Кирхгофа) обеспечивается спонтанными
переходами из ЗП в ВЗ.
Вывод: Что бы рассматриваемая система могла усиливать или генерировать электромагнитное излучение
необходимо выполнение условия:
(56.4)
n1  n2 ;
Определение: Такое состояние системы (см. 56.4) называется состоянием с инверсной заселенностью или
состоянием с отрицательной температурой.
Примечание: Условия наиболее благоприятные для усиления и генерации электромагнитного излучения ПП
кристаллами:
n1  n2 ;... n2  g 2 ;
n2
n
 1; 1  0;
g2
g1
В простейшем случае: g1  g 2  g; n1  n2  g , условие (56.4) означает, что верхние уровни (ЗП) должны быть
заполнены наполовину, столько же вакансий должно быть и в ВЗ, таким образом, электроны в ЗП и дырки в ВЗ
должны быть частично вырожденными.
Важное замечание: в соответствие с определением, при Т=0 Ко все состояния ниже уровня Ферми должны быть
заполненными, следовательно, наша модель соответствует состоянию с отрицательным нулем температуры, так
как в распределении Ферми необходимо считать температуру отрицательной.
Возникает вопрос: Каким образом в твердом теле (полупроводнике) создать состояние с отрицательной
температурой? В этом смысле можно представить два варианта:
1.
2.
Можно нарушить внутризонное равновесие, то есть «перебросить» все электроны из валентной зоны в зону
проводимости с помощью внешнего источника энергии. Но время восстановления равновесия очень мало
порядка 10-13 с, что требует колоссальной мощности внешнего источника и реально такой способ
неосуществим.
Меньшей энергии требует путь нарушения межзонного равновесия, когда часть электронов из ВЗ
переводится в ЗП таким образом, чтобы электроны оказались сосредоточенными внизу ЗП, а дырки
сосредоточились в верней области ВЗ.
Вывод: Для того, что бы полупроводник или кристалл усиливал излучение необходимо выполнение двух
условий:
1.
Рабочие уровни в кристалле должны быть инверсно заселены.
2.
Интенсивность поглощаемого излучения должна быть значительно меньше чем излучаемого.
Условия для генерации излучения оказываются более сложными, если внешнее излучение отсутствует, то кристалл сам
должен стабилизировать излучение возникающее при спонтанных переходах. Для создания условий генерации, как в любом
генераторе, в кристалле необходимо организовать положительную обратную связь, например, в газовых лазерах такая связь
осуществляется с помощью полупрозрачных зеркал.
Оптические квантовые генераторы
Вводное замечание: Для дальнейшего рассмотрения явления фотопроводимости в ПП необходимо знать
особенности заполнения уровней. Это удобно сделать на примере лазерных переходов. Рассмотрим
квантовую систему, в которой частицы могут иметь лишь два возможных значения энергии. Частицы,
поглощая энергию из внешнего поля (теплового) непрерывно переходят с одного уровня на другой, при
этом (для данной температуры) устанавливается равновесие числа частиц на этих уровнях.
В условии термодинамического равновесия:

N2
e
N1
E2  E1
kT
;

E2  E1
;
h
Если система таких частиц попадает во внешнее поле, частота которого равна:
то возрастает относительное число переходов с уровня E1 на E2 и снова устанавливается термодинамическое
равновесие, причем, переходы с уровня E2 на E1 могут осуществляться тремя путями:
а) Спонтанный переход – чисто случайный. Микрочастица, получив энергию h  E1  E2 переходит на
уровень энергии E2, на котором она может находиться ~1∙10-8c, а затем самопроизвольно переходит на уровень
E1.
б) Релаксационный переход. Частица находится в состоянии E2, может передать свою энергию кристаллической
решѐтке, что приводит к нагреву тела, после чего она оказывается в состоянии E1.
в) Индуцированный переход (вынужденный). Частица в состоянии E2 может излучить квант с энергией (E2 E1), если мимо пролетает фотон с такой же энергией. Такой процесс реализуется с определѐнной
вероятностью.
Примечание: Если рассматриваемую «двухуровневую» квантовую систему облучать ЭМ
полем, то энергия системы возрастает. Но в конечном итоге в системе все равно
N3
E3
установится термодинамическое равновесие между переходами с верхних и нижних
N2
E2
уровней.
Совершенно иначе ведет себя трехуровневая квантовая система (рис. 56.1).
В такой системе равновесие между различными уровнями устанавливается с разными
скоростями. Например: на уровне N2, даже при тепловом процессе, может оказаться больше
частиц, чем на уровнях N1 и N3. Тогда такой уровень называется метастабильным.
h 31
N1
h 21
E1
Рис. 56.1
Примечание: Оптические квантовые генераторы являются генераторами и усилителями оптического
квантового излучения. Следовательно, квантовая система уровней должна содержать метастабильные
(уровни), на которых электроны находятся в метастабильных состояниях.
Рассмотрим времена переходов между различными уровнями:
 21   32 ;  32   21;
Если эта квантовая система находится в электромагнитном поле:  13 
E3  E1
h
При облучении внешними источниками света происходит поглощение волн, длиной (5600, 4100) А, т.е.
создается инверсная заселенность между верхними уровнями и метастабильными. Из возбуждѐнных
состояний ионы хрома безызлучательно переходят на два метастабильных уровня, расположенных
достаточно близко друг от друга, на которых электроны могут существовать достаточно долго.
Переход из метастабильных состояний осуществляется обычно индуцированным образом с волнами
длиной (6943, 6929) А. Если фотоны с указанными длинами волн распространяются вдоль оси стержня,
то в результате многократного отражения от торцов они порождают лавину фотонов. Эта лавина будет
нарастать в кристалле до тех пор, пока не начнется выход фотонов наружу, то есть когда наступит
установившийся режим. Для накачки такого лазера служит внешний источник света, обычно ксеноновая
лампа, световые пучки на таких твердотельных лазерах обладают большой мощностью - 100 мВА и
более.
0
5600
A
0
4100 A
Рис. 56.2
Безызлучательные
переходы
Поглощение
Рассмотрим в качестве примера рубиновый лазер: рабочим телом в нем служит
цилиндрический кристалл рубина (Al2O3) с отполированными торцами, в
кристалле имеются примеси хрома – сотые доли процента. Схема энергетических
уровней такой системы представлена на рис. 56.2, источником лазерного
излучения в данном случае являются ионы хрома.
Излучение
то в результате релаксационных переходов на уровне E2 частиц окажется меньше, чем при термодинамическом
равновесии, то есть уровень E2 будет «быстрее сбрасывать» частицы, а на уровне E3 частицы будут накапливаться.
Таким образом достигается неравновесное распределение электронов между уровнями E3, E2. Если, кроме того, в
системе будут присутствовать внешние фотоны ν32, то они спровоцируют индуцированный переход N3→N2, что
будет сопровождаться потоком излучения из системы, причѐм число фотонов с энергией hν32 будет равно
удвоенному числу переходов, так как в нем присутствуют и внешние фотоны. Характерной особенностью такого
излучения является его когерентность
0
6929
A
0
6943 A
Рассмотрим теперь принцип работы лазеров на p-n переходах. Основной вопрос здесь: как создать
инверсную заселенность без использования внешних источников света? Их эффективность, как было показано
выше, в данном случае весьма низка.
Это делается путем инжекции неравновесных носителей тока через p-n переход, что
позволяет получить довольно высокий коэффициент преобразования. На рис. 56.3.1 показан
1
обычный p-n переход, на рис. 56.3.2 тот же переход, но при приложенном к нему небольшом
напряжении в прямом направлении.
Как видно из рис. 55.3.2 величины внешнего напряжения недостаточно, что бы
2
создать инверсную заселенность. На p-n переходе такая заселенность может быть создана,
если внешнее напряжение полностью снимает потенциальный барьер, но это сделать сложно,
так как через переход будет протекать большой ток, который может просто его разрушить. Эту
задачу можно решить, если использовать вырожденный p-n переход (см. рис.56.3.3), в этом
случае напряжение прикладываемое к переходу невелико, следовательно, малы и токи через
3
него.
График зависимости интенсивности излучения лазерного диода от величины тока через переход показан на рис. 56.4.
Ниже некоторого порогового значения тока , излучение носит спонтанный характер, составляющая кривой -1. При
увеличении тока излучение возрастает и при достижении порога генерации, физически это означает, что волны в
резонаторе возбуждают стоячую волну, интенсивность излучения резко возрастает, кривая – 2, выходящее излучение из
лазера становится когерентным.
На рис. 56.5 представлен спектр типичного лазерного излучения, при нижних значениях тока через переход спектр
достаточно широк, т.к. определяется спонтанными переходами. При значениях тока выше порогового, функция
спектрального распределения сужается, что соответствует лазерному (когерентному) излучению. Далее с увеличением
тока снова основную роль начинают играть спонтанные переходы, причем интенсивность уменьшается за счет обеднения
уровней с инверсной заселенностью.
Интенсивность
излучения
Рис. 56.3
j
jпор
jпор
Рис. 56.4
GaAs
T=70K0
K0
Интенсивность
Достаточно иметь вырожденные носители хотя бы по одну сторону p-n перехода, это достигается
применением сильно легированных полупроводников InSb, InAs, InP. В условиях термодинамического равновесия
квазиуровни Ферми лежат в ЗП для дырок и в ВЗ для электронов. Область инверсной заселенности в лазерных диода
порядка 10-6 м, то есть достаточно тонкая. При малых токах через p-n переход возникает спонтанное излучение, но с
увеличением тока возрастает скорость рекомбинаций. Это увеличивает плотность потока фотонов, они в свою очередь
способствуют увеличению рекомбинации, что приводит к сужению спектра излучения и увеличения его мощности в
максимуме спектра. Для увеличения когерентности излучения лазерного диода его помещают в резонатор.
 (мкм)
800 820 840 860 880
Рис. 56.5
Лазер на свободных электронах
Лазер на свободных электронах (англ. Free Electron Laser, FEL) — вид
лазера, излучение в котором генерируется моноэнергетическим пучком
электронов, распространяющимся в ондуляторе — периодической
системе отклоняющих (электрических или магнитных) полей.
Электроны, совершая периодические колебания, излучают фотоны,
энергия которых зависит от энергии электронов и параметров
ондулятора.
Рис. 56.6 Получение рентгеновских
лазерных лучей‎
В отличие от газовых, жидкостных или твердотельных лазеров, где электроны возбуждаются в
связанных атомных или молекулярных состояниях — у FEL источником излучения является пучок электронов
в вакууме, проходящий сквозь ряд расположенных специальным образом магнитов — ондулятор (вигглер),
заставляющий пучок двигаться по синусоидальной траектории, теряя энергию, которая преобразуется в поток
фотонов. В результате вырабатывается мягкое рентгеновское излучение, применяемое, например, для
исследования кристаллов и других наноструктур.
Меняя энергию электронного пучка, а также параметры ондулятора (силу магнитного поля и
расстояние между магнитами), можно в широких пределах менять частоту лазерного излучения,
вырабатываемого FEL, что является главным отличием FEL от лазеров других систем. Излучение получаемое
с помощью FEL применяется для изучения нанометровых структур — есть опыт получения изображений
частиц размером всего 100 нанометров (этот результат был достигнут с помощью рентгеновской
микроскопии с разрешением около 5 нм).
Проект первого лазера на свободных электронах был опубликован в 1971 году Джоном М. Дж.
Мэйди (J.M.J. Madey) в рамках своего PhD-проекта в Стэнфордском университете. В 1976 году Мэйди и его
коллеги продемонстрировали первые опыты с FEL, используя электроны с энергией 24 МэВ и 5-ти метровый
вигглер для усиления излучения. Мощность лазера составляла 300 мВт, а эффективность всего 0,01 %, но
была показана работоспособность такого класса устройств, что привело к огромному интересу и резкому
увеличению количества разработок в области FEL.
Получение рентгеновского лазерного излучения
Для создания лазерного рентгеновского излучения необходим
пучок электронов, разогнанный в синхротроне до скорости, близкой к
скорости света. Полученный пучок направляется в специализированный
прибор для генерации лазерного рентгеновского излучения — вигглер.
Вигглер представляет собой магнит, создающий сильное
поперечное (как правило, вертикальное) знакопеременное магнитное поле. Его
можно представить себе как последовательность коротких дипольных
магнитов, полярность каждого следующего из которых противоположна
предыдущему. Вигглер устанавливается в прямолинейный промежуток
электронного синхротрона, и ультрарелятивистский пучок проходит в нѐм по
извилистой траектории, близкой к синусоиде, излучая фотоны в узкий конус
вдоль оси пучка.
Типичный диапазон длин волн синхротронного излучения,
генерируемого вигглером, — от жѐсткого ультрафиолета до мягкого рентгена,
хотя существуют вигглеры с энергией генерируемых квантов до нескольких
МэВ.
Вигглер, помещѐнный в резонатор (например, два соосных
зеркала), — простейшая модель лазера на свободных электронах. Магниты, из
которых собран вигглер, могут быть обычными электромагнитами,
сверхпроводящими, либо постоянными. Типичное магнитное поле вигглера —
до 10 Тесла. Мощность получаемого синхротронного излучения — до сотен
кВт — зависит как от тока пучка, так и от поля, а также от количества полюсов
вигглера (от трѐх до нескольких десятков).
Изображение ускорителя
заряженных частиц
Рис.56.7 Магниты Вигглера
Рис. 56.8 Вигглер Хальбаха
Примечания:
• В настоящее время рентгеновский лазер требует использования ускорителей электронов со встроенной
защитой (поскольку ускоренные электроны представляют значительную лучевую опасность). Эти ускорители
могут представлять собой циклические машины, или линейные ускорители.
•
Имеются также проекты использования сверхмощного лазерного излучения для ускорения электронов. Сам
электронный луч обычно поддерживается в вакууме, который требует использования многочисленных
насосов на пути луча.
Области применения
Применяется для кристаллографии и изучения строения атомов и молекул (лазерная рентгеновская
микроскопия).
Рентгеновские лазеры, включая FEL, способны создавать «мягкое» рентгеновское излучение с
длиной волны, которая используется в медицинских целях. Оно не может проникнуть даже через лист бумаги,
но идеально подходит для зондирования ионизированных газов с высокой плотностью энергии (чем короче
длина волны, тем глубже луч проникает в плотную плазму), а также для исследования новых и существующих
материалов.
Рентгеновская микроскопия продолжает совершенствоваться, приближаясь к разрешению в 1
ангстрем (0,1 нм) и открывая возможности для получения изображений атомов и молекулярных структур.
Также найдѐт применение в медицинских целях и микроэлектронике.
В 2009 году под Гамбургом (Германия) началось строительство Европейского рентгеновского
лазера на свободных электронах, который предполагается что будет самым крупным в мире рентгеновским
лазером. В этом проекте участвуют Германия, Франция и Россия. Стоимость проекта превышает 1 млрд
евро.
Л. 57
Туннельный эффект. Туннельные диоды
Рассмотрим очень тонкий переход, к которому приложено внешнее
постоянное напряжение V, предположим, что полярность и амплитуду его
можно изменять, получая тем самым прямую и обратную ветви вольт–
амперной характеристики. На рисунках 57.1 (а), (б), (в) изображена серия
таких переходов с постепенно возрастающей концентрацией основных
носителей. В последнем случае (в) электроны и дырки находятся в
вырожденном состоянии, то есть уровень химического потенциала
расположен внутри соответствующих зон (уровень Ферми оказывается
выше или ниже границ соответствующих зон – ВЗ, ЗП). Кривые (г), (д),
(е) – соответствующие вольтамперные характеристики этих переходов.
Проанализируем вначале случаи: а) – г), б) – д). Как видно из рис. 57.1,
увеличение концентрации примесей и основных носителей приводит к тому, что
уменьшается обратное напряжение. (Критическое напряжение, это напряжение
которое должно быть меньше напряжения пробоя перехода). При Uобр запорный
ток, благодаря туннельному эффекту, резко увеличивается. Т.е. появляется
возможность преодолеть барьер для основных носителей, без энергии внешнего
поля.
V0
I
V
V0
г)
а)
I
V0
V
V0
д)
б)
I
V0
2
3
V
в)
1
V0
Рис. 57.1
В случае (д) - ток в запорном слое возрастает более резко и при меньших напряжениях. Пропускное направление,
становится запорным, а запорное, наоборот – пропускным. Диоды, работающие по такому принципу (б), (д) называются
обращёнными диодами.
Примечания:
1.
Обращенный диод способен детектировать малые сигналы, так как обратный ток увеличивается при малых
напряжениях, а прямой ток очень мал. Следовательно, мал уровень шумов.
2.
Обращѐнные диоды можно применять в ключевых схемах за счѐт резкого возрастания обратного тока, причѐм этот
процесс происходит за весьма короткое время.
3. Обращенные диоды работают на высоких частотах, так как для туннельного эффекта требуется малое время.
Применение их в СВЧ - диапазоне ограничивается инерционностью процессов рекомбинации и диффузии носителей.
е)
Рассмотрим теперь более подробно случай (в) - (е). По обе стороны от перехода основные носители
находятся в вырожденном состоянии (такой переход называется туннельным), следовательно (см. рис. 57.1(е))
напряжение, приложенное к диоду, оказывается равным нулю, диод открыт (прозрачен) для туннельного
эффекта, а результирующий ток равен нулю, так как:
Переходить в обе стороны могут только те электроны, которые находятся выше уровня Ферми слева, и
дырки, расположенные выше уровня Ферми справа, но число их мало, следовательно, малы токи. Кроме
того, эти токи равны друг другу. Следовательно, результирующий ток равен нулю.
2. Но картина резко изменится, когда к переходу прикладывается напряжение. Если напряжение запорное, то в
n - область электроны переходят из p - области, участок (1) (см. рис. 57. (е)). В этом случае данный переход
подобен переходу обращѐнного диода за исключением того, что резкое увеличение тока начинается почти с
нуля.
3. Чем больше запорное напряжение, тем больше число электронов, которые могут переходить благодаря
эффекту тунеллирования из p – области в n – область, при этом увеличивается обращенный ток.
1.
Если напряжение прямое, то:
1. Если напряжение невелико, (участок (2) рис. 57.1 (е)), то туннельный эффект протекает в прямом
направлении, но в отличие от участка (1) увеличение тока происходит значительно медленнее.
2. С увеличением прямого напряжения туннельный эффект достигает максимума, после чего появляется
участок с обратным сопротивлением (dV/dI) < 0. Это дает возможность использовать туннельные диоды в
высокочастотных схемах генерации и усиления сигналов.
3. Участок (3) характеризуется тем, что при напряжении V > V0 , зона проводимости «поднимается»
настолько высоко, что напротив нее в p – области оказывается запрещенная зона, поэтому туннельный ток
отсутствует, и наблюдается обычный диффузионный ток через p-n переход.
В заключении отметим, что туннельные диоды обладают малой инерционностью, что позволяет их широко
применять в СВЧ устройствах. Меняя степень легирования по обе стороны перехода можно в широких
пределах изменять вольт – амперную характеристику и частотные свойства диодов.
Циклотронный резонанс
Примечание: Явление циклотронного резонанса широко используется для исследования структуры
полупроводников, зонных характеристик, следует отметить, что это очень тонкий метод диагностики.
Суть циклотронного резонанса заключается в следующем: известно, что в магнитном поле электрон движется по
винтовой траектории, если составляющая скорости его в направлении параллельном вектору магнитной индукции равна
нулю, то траектория вырождается в окружность. Круговая частота обращения (циклотронная частота) определятся
простым классическим выражением:
0 
eH
;
mc
(57.1)
Как видно из последнего выражения, циклотронная частота электрона не зависит от его скорости. Если одновременно с
магнитным полем на электрон действует слабое электромагнитное излучение, поляризованное по кругу, и направление
распространения которого совпадает с направлением вектора H - const, то скорость электрона будет увеличиваться за счет
электрической составляющей электромагнитного излучения.
Примечание: условие ω = ω0 определяет резонансное поглощение энергии электроном из внешнего ЭМ поля,
при движении его в однородном, постоянном магнитном поле. В этом и заключается суть циклотронного
резонанса.
NB Если частота внешнего электромагнитного излучения будет отличаться от циклотронной частоты, то
действие его на изменение скорости электрона будет незначительным, более того скорость у электрона в этом
случае будет уменьшаться, за счет так называемой набегающей разности фаз.
Примечание: Расчет эффективной массы электрона в данном реальном кристалле достаточно сложная задача, но она
может быть решена экспериментальным путем из соотношения (57.1). Более того, вращая кристалл относительно внешнего
магнитного поля можно детально исследовать эллипсоид эффективных масс. Это, например, позволяет определить степень
анизотропии эффективной массы в данном конкретном кристалле.
Получим некоторые полезные количественные соотношения исходя из квантовых представлений о
состоянии электрона находящегося в постоянном магнитном, однородном поле и в поле электромагнитной волны.
Важное замечание: Классическое движение по окружности должно быть заменено, каким то квантовым
аналогом, так как это движение происходит в весьма малом объеме, где классические модели не работают.
На «круговой» траектории движения электрона в соответствии с гипотезой де – Бройля должно укладываться
целое число длин волн де – Бройля, то есть:
2 r  n 
p  mv 
С учетом:
v  r  ;
T 
nh
;
mv
n
;
r
1
n ;
2
(57.2)
(57.3)
(57.4)
NB при так называемом «круговом» движении электрона в однородном, постоянном магнитном поле кинетическая
энергия электрона оказывается, квантована в плоскости перпендикулярной направлению внешнего магнитного
поля. Причем выражение (57.3) является точным для n=1, для других значений n более точная формула имеет вид:
  (n 
1
) 0 ;
2
(57.5)
Отметим ряд особенностей описанного явления полученных эмпирически и получивших объяснение в рамках
квантово-механического анализа.
1. Электромагнитная волна в которой находится рассматриваемый полупроводник не обязательно должна быть
поляризована по кругу, она может иметь и линейную поляризацию. При определенном соотношении фаз
электрон будет ускоряться.
2.
3.
4.
Более того, условие «правильного соотношения фаз» не является обязательным: если оно не
выполняется, то электрон будет затормаживаться, потеряет свою скорость, после чего начнет ускоряться
уже в «правильной» фазе. То есть наблюдается процесс самосинхронизации, аналогичный процессу в
циклотроне.
Эффект циклотронного резонанса весьма существенно зависит от ширины резонансной линии. Оценка
частоты ω0 даже с помощью выражения (57.1) позволяет сделать вывод о том, что при эффективной массе
равной массе покоя электрона и магнитном поле порядка (10 6 – 107) 1/4π Гс, резонансная частота лежит в
области сантиметрового диапазона (ω0 ~ 1010). Следовательно, для того, что бы резонанс был заметен,
электрону необходимо сделать несколько оборотов без столкновений, в противном случае условие
соотношения разности фаз будет нарушаться слишком часто. Другими словами время свободного пробега
должно удовлетворять условию:
На языке квантовой механики последнее условие означает, что ширина уровней электрона при
циклотронном резонансе должна быть меньше «расстояния» между уровнями , то есть:
t  T  1010 ;
5.
На языке квантовой механики последнее условие означает, что ширина уровней электрона при
циклотронном резонансе должна быть меньше «расстояния» между уровнями , то есть:
E 
;
t
h
  ;
T t
6.
7.
(57.6)
Указанным требованиям удовлетворяют ограниченное число очень чистых полупроводников при низких
температурах.
Изменить плавно частоту излучения в сантиметровом диапазоне сложно, поэтому плавно изменяется
напряженность внешнего магнитного поля, то есть фактически ω0, при достижении условия ω = ω0
наблюдается пик поглощения энергии электромагнитной волны. Если в полупроводнике имеется
несколько сортов носителей, то соответственно наблюдается и несколько пиков поглощения.
Фотовольтаические эффекты в ПП
Рассмотрим условия возникновения ЭДС в полупроводниках под действием световых потоков. Для
чистых полупроводников формально для этого имеется два пути:
1.
2.
Облучение полупроводника неоднородным световым потоком. В этом случае в различных объемах
полупроводника поглощается различное количество фотонов, что приводит к появлению различного
количества фотоносителей (электронов, дырок), градиенты, концентрации которых вызывают процессы
диффузии за чет чего, и возникает фото – ЭДС.
Можно облучать неоднородный полупроводник, однородным световым потоком, в этом случае за счет
разности распределений концентраций фотоносителей в объеме полупроводника также может возникнуть
фото – ЭДС.
Эффект Дембера
Предположим, что на поверхность полупроводникового кристалла падает поток фотонов, энергия которых достаточна
для генерации фотоносителей. Считаем, что коэффициент поглощения излучения в рассматриваемом случае достаточно
велик. Тогда фотоны в основном будут поглощаться в приповерхностном слое, и в этом же слое будут образовываться
фотоносители. Такую ситуацию, чисто формально, можно рассматривать как освещение полупроводника неоднородным
световым потоком, так электроны и дырки будут диффундировать в области объема полупроводника, где число поглощаемых
фотонов меньше (то есть освещенность меньше). ЭДС в данном случае возникает за счет разности коэффициентов
диффузии между слоями полупроводника. Эта разность потенциалов скомпенсирует разность коэффициентов диффузии,
таким образом, что электроны и дырки в равном количестве будут диффундировать в затемненную область и там
рекомбинировать. ЭДС Дембера определяется формулой:
UD 
kT u p  un  п
ln
;
e u p  un  т
σn - удельная электропроводность
полупроводника в приповерхностном объеме
(57.6)
 п  ф   т;
(57.7)
Примечания:
1.
Фото ЭДС Дембера линейно зависит от разности подвижностей носителей.
2.
Выражение (57.6) может использоваться и для примесных полупроводников, то есть когда электроны выбиваются фотонами с донорных
слоев, и забрасываются на акцепторные уровни. Понятно, что в этом случае в (57.6), либо un = 0, либо up = 0.
3.
В какой то мере эффект Дембера аналогичен явлению термоЭДС.
Ферромагнитный эффект Киккоина – Носкова
При освещении полупроводника потоком световых фотонов, может
оказаться, что подвижности электронов и дырок, порожденных световыми
фотонами, оказываются одинаковыми, то есть un = up. В этом случае, естественно
ЭДС Дембера равна нулю. Но если теперь к кристаллу приложить внешнее
магнитное поле перпендикулярное световому потоку, то на фотоносители будет
действовать магнитная составляющая силы Лоренца, в результате чего электроны
и дырки будут отклоняться в противоположенных направлениях. Таким образом,
возникает поперечная ЭДС Киккоина – Носкова (см. рис. 57.2). Эта фотоЭДС
может создать ток, при коротком замыкании противоположных граней, величиной:
I fm 
 NeH
l
(un Ln  u p Lp );
Квантовый выход определяется соотношением:

n
N
(57.8)
I0
1
2

B
un

B
FLp
FLn
up
Рис. 57.2
Здесь: N - число фотонов падающих на единицу
поверхности полупроводника в единицу времени, η квантовый выход,Lp, Ln - диффузионные длины дырок
и электронов, l - длина образца в направлении тока.
;
Величина ЭДС К-Н определяется произведением тока короткого замыкания на сопротивление кристалла с
учетом фотоносителей.
Вентильный фотоэффект
Определение: Вентильным фотоэффектом называют фотоэффект, возникающий при освещении p-n перехода,
либо перехода на границе полупроводник - металл, причем термин вентильный фотоэффект (ЭДС)
исторически закрепилась за переходом металл - полупроводник.
Рассмотрим вариант p-n перехода. Здесь возможны два случая: внешнее напряжение на переходе
отсутствует и при наличии его то есть фотодиодный режим.
1.
Внешнее напряжение на переходе отсутствует (холостой ход). Рассмотрим p-n переход, на который
падает световой поток, энергия квантов которого достаточна, чтобы создавать пары электрон – дырка.
Примечание: Предположим, что ширина перехода - d значительно меньше диффузионной длины, то есть
световые фотоны активно поглощаются в p – области. Электроны, генерируемые световым потоком, будут
переходить в n – область, дырки же напротив будут задерживаться электрическим полем контактной разности
потенциалов и останутся в p – области. Следовательно, через переход пойдет ток в запорном направлении, его
величина, очевидно, будет равна:
ng - число пар электрон - дырка
I  eng ; (57.9)
создаваемых фотонами в одну секунду.
Примечание: Ток (см. (57.9)), идущий в запорном направлении создает разность потенциалов в прямом
направлении, которая уменьшает контактную разность потенциалов, следовательно, через переход пойдет так
называемый ток утечки в обратном направлении, его величина определяется:
I b  I s (e
eV
kT
 1);
(57.10)
Стационарный режим, очевидно, установится при такой разности потенциалов в приконтактной области,
когда ток утечки станет равным фототоку. Следовательно, условие стационарности определяется достаточно
просто:
eVxx
I  I s (e kT  1)  0; (57.11)
U
Откуда напряжение
Uвых
R
холостого хода:
kT I 
Фд
(57.12)
Vxx 
(  1);
e
Is
Рис. 57.3
2. P-N переход в фотодиодном режиме. При регистрации световых сигналов для того чтобы иметь достаточно
широкий динамический диапазон и высокую степень линейности преобразования светового потока в электрический сигнал
в цепь фотодиод - резистор нагрузки целесообразно включать дополнительный источник напряжения в запорном
направлении (рис. 57.3). В этом случае уравнение тока в цепи примет вид:
Если учесть объемную и поверхностную рекомбинации, то
выражение для фототока в этом случае будет иметь вид:
I  eng (1   );
(57.14)
V U
 I   I s (e kT  1);
R
eV
β - коэффициент, учитывающий оба вида рекомбинации.
(57.13)
Л. 58
Явление сверхпроводимости
В 1911г. датский учѐный Камерлинг - Оннес обнаружил, что при температурах, порядка 4,20 К0, электрическое
сопротивление ртути исчезает.
Определение: Сверхпроводимостью называется состояние проводника, при котором его омическое сопротивление
равно нулю или ничтожно мало.
Примечание: Процесс перехода в состояние сверхпроводимости проходит в очень узком температурном
диапазоне. Исторически сложилось, что сверхпроводники, чисто условно, разделяют на два рода:
1.
Чистые металлы (их более 20). Среди них есть металлы, хорошо проводящие электрический ток при
комнатных температурах: Hg, Pb, Au, Ti и другие.
Химические соединения, в состав которых входят металлы, которые в чистом виде являются
2.
сверхпроводниками первого рода.
Определение: Температура, при которой происходит переход в сверхпроводящее состояние, называется
критической (рис.58.1).
Примечание: В приведенной таблице 58.1 указаны критические температуры для
различных металлов:
Me
Tкр
Ti
Te
0,37
11,2
CuS
1,6
NiSb
18
R(T)
Табл.58.1
Примечание: Температурная зависимость сопротивления проводника (рис. 58.1) имеет
конечную ширину 1-2 переходной области возникновения сверхпроводимости, эта ширина
зависит от наличия примесей и величины внутренних напряжений. Для чистых
проводников участок 1-2 имеет порядок 10-7 К0.
2
1
0
T
Tcr
Рис. 58.1
NB Магнитное поле, действующее на сверхпроводник, снижает критическую температуру см. рис. 58.2. На
этом графике представлена зависимость сопротивления белого олова от напряженности внешнего поля.
Определение: Магнитное поле вызывающее переход сверхпроводника в нормальное состояние называется
критическим.
Примечание: С понижением температуры напряженность критического магнитного поля увеличивается.
Примечание: Если через сверхпроводники пропускать большие токи, то
сверхпроводимость исчезает, так как магнитное поле тока разрушает электронные
структуры (см. ниже) сверхпроводника.
Отметим важнейшие свойства состояния сверхпроводимости:

Внешние магнитные поля совершенно не проникают в сверхпроводники 1
рода, то есть сверхпроводники 1 рода являются идеальными диамагнетиками.
Если напряжѐнность внешнего магнитного поля достигает такой величины, что
оно способно проникнуть в такой диамагнетик (критическая напряжѐнность), то
сверхпроводник 1 рода скачком переходит в нормальное состояние. Для
сверхпроводников 1 рода напряженность поля примерно равна H'kr = 105 А/м.
R(Om)
3,420
0
0,5
2,820
1,0
2,370 1,850
1,5
2,0
H(
2,5
10 5
) Gs
4
Рис. 58.2
 В сверхпроводники 2 рода внешние магнитные поля проникают в виде своеобразных «струй», причѐм с
увеличением напряженности внешнего поля – Hвн, эти струи сближаются друг с другом, число их увеличивается,
и сверхпроводники 2 рода постепенно переходят в нормальное состояние. Напряженность поля, - Hвн, при
котором происходит окончательный процесс восстановления, называется критической напряжѐнностью (Hkr).
Для сверхпроводников второго рода критическая напряженность магнитного порядка Нкр=107 А/м.
Основные физические аспекты сверхпроводимости
1.
Экспериментально установлено, что электрический ток в сверхпроводниках течет в очень тонком слое
вблизи поверхности, толщиной порядка 10-5см. При этом допустимые плотности токов порядка 107А/мм2.
2.
С физической точки зрения деление сверхпроводников на два рода чисто условно. Действительно, можно
показать, что если в сверхпроводнике 1 рода создать, либо примесные зоны, либо дефекты
кристаллической структуры, то он превращается в сверхпроводник второго рода.
Критическая температура в сверхпроводнике зависит от его изотопного состава, причѐм экспериментально
установлено, что эта зависимость имеет вид:
3.
Tкр 
1
;

(58.1)
μ – массовое число
Аналогичную зависимость имеет температура Дебая:
Tкр
 Дб
4.
 const ;
(58.2)
Теплопроводность сверхпроводников заметно уменьшается по сравнению с обычным состоянием. Это
объясняется тем, что электроны переходят в особые состояния и перестают участвовать в явлении
проводимости.
5. Впервые объяснение явления сверхпроводимости было дано в 1957г. Боголюбовым, Бардиным, Купером.
а.) В металлах при определѐнных условиях образуются пары электронов, между которыми существуют силы
взаимного притяжения. Характерной особенностью таких пар является следующие характеристики: спины
распарены, а механические моменты импульсов имеют разные знаки. Энергия связи электронов в каждой
паре равна 2W и может быть разрушена любым квантом электромагнитного поля:
h  2W ;
(58.3)
б.) При разрушении такой пары образуются два отдельных электрона, каждый из которых переходит на
энергетические уровни, отстоящие на величину W по сравнению с начальным значением. Говорят, что в
металлах электроны проводимости имеют энергетическую щель или зазор шириной 2W.
в.) Расстояние между электронами в парах порядка 103 ÷ 104 атомных размеров. Таким образом, каждая пара
движется в области пространства, содержащего множества других пар, поэтому все эти пары не могут
изменить свои состояния независимо друг от друга, то есть они движутся согласованно. С точки зрения волн
Де - Бройля, этим парам соответствуют волны примерно одинаковой длины и равной фазы, то есть явление
сверхпроводимости можно описать как распространение одной волны Де - Бройля в кристалле.
г.) Показано, что совершенно аналогичный механизм может быть представлен и для электромагнитной волны в
кристалле, то есть, распространяется одна электромагнитная волна, образованная всеми парами, которая не
рассеивается решѐткой (так как сама решѐтка участвовала в еѐ создании) и тепловые колебания решѐтки
согласованы с этой электромагнитной волной.
д.) Надо заметить, что в сверхпроводнике обычно существует несколько групп электронных пара длины волн и
фазы, которых согласованы. Разрушение сверхпроводимости в сверхпроводнике, то есть переход электронных
пар в нормальное состояние, происходит постепенно, однако «нулевое» сопротивление он сохраняет до тех
пор, пока существует хотя бы одна группа пар сверхпроводящих электронов.
е.) Вытеснение магнитного поля из объема сверхпроводника связано с экранирующим действием тока
сверхпроводящих электронов в тонком приповерхностном слое. Разрушение сверхпроводящего состояния
объясняется разрушением сверхпроводящих электронных пар. Действительно электрон в магнитном поле
приобретает дополнительную энергию, определяемую как произведение магнитного момента электрона на
напряженность внешнего магнитного поля, то есть ∆E'=peH. Понятно, что если окажется ∆E' > w, то электроны
преодолевают сверхпроводящую энергетическую щель, то есть пара разрушается. Заметим, что наличие
нескольких групп электронных пар в сверхпроводниках объясняется дефектами кристаллической решетки,
концентрациями внутренних напряжений, наличием примесей, что приводит к различному взаимодействию
электронных пар с реальной решеткой, но еще раз напомним, что все эти взаимодействия достаточно
синхронизованы.
ж.) Интересные явления можно наблюдать на границе двух сверхпроводников разделенных тонкой окисной
пленкой толщиной в несколько межатомных расстояний. В этом случае электронные пары, за счет туннельного
эффекта проникают через пленку, и она оказывается сверхпроводящей. Критический ток в самой пленке весьма
мал, и сверхпроводимость в ней можно разрушить, пропуская, через сверхпроводники токи большие, чем
критический ток в пленке, но меньшие критических токов для самих сверхпроводников. Процесс этот
оказывается обратимым, таким образом, в диэлектрике (окисной пленке) наблюдается переменный ток
сопровождающийся электромагнитным излучением, частота которого легко вычисляется из очевидного
равенства:
h  2qeU d ; (58.4)
Здесь: Ud- разность потенциалов на границах диэлектрика. Электронная пара, находясь в электрическом поле
диэлектрика, приобретает энергию Te=2qeUd и попадая в сверхпроводник излучает фотон с энергией hν.
Частота такого излучения составляет 1010 Гц. Таким образом, рассмотренная сверхпроводящая система
оказывается сверхвысокочастотным генератором электромагнитных волн.
Сверхпроводники используются как сверхминиатюрные высокочувствительные датчики магнитного поля –
криотроны, причем время срабатывания такого датчика составляет 10 -9 с.
Сверхпроводимость двумерного электронного газа
В 1996 г. С. В. Кравченко с сотрудниками, исследуя двумерный электронный газ (ДЭГ),
обнаружили, что при достаточно низкой температуре в отсутствие магнитного поля он становится
проводящим.
Получают ДЭГ, "заключая" электроны между двумя полупроводниковыми слоями. Позднее
аналогичных результатов достигли и другие исследователи. Хотя разные группы экспериментаторов
применяли различные методики, во всех случаях наблюдался ряд общих
закономерностей: существование критической плотности носителей заряда, ниже которой проводимость не
возникает; нелинейность вольт - амперной характеристики ДЭГ; разрушение проводимости внешним
магнитным полем и др.
В стандартной теории металлов, в которой ансамбль носителей заряда рассматривается как ферми
- жидкость, невозможно двумерное металлическое состояние при нулевой температуре, поэтому результаты
Кравченко и другие аналогичные данные требуют для интерпретации иного подхода. В частности, для
корректности ферми - жидкостного описания необходимо, чтобы в системе энергия кулоновского
взаимодействия носителей заряда не превышала энергию Ферми. В экспериментах с ДЭГ последняя на
порядок меньше кулоновской, поэтому необходима альтернативная модель.
М. Гранстрѐм (M. Granstrom; Кавендишская лаборатория, Кембридж, Великобритания) и его
сотрудники, ссылаясь на классическую работу Ф. Андерсона, в которой была доказана возможность
сверхпроводимости в двумерных неупорядоченных системах, предложили в качестве альтернативы, ферми жидкости как сверхпроводящие системы. Они обратили внимание на общие закономерности, наблюдаемые
как в ДЭГ, так и в тонких пленках MoGe, в которых был обнаружен переход диэлектрик - сверхпроводник.
Данные по магнитосопротивлению ДЭГ (существование критического магнитного поля), а также близость
точек перехода ДЭГ в проводящее состояние и в состояние электронного кристалла также говорят в пользу
сверхпроводимости ДЭГ.
Сверхпроводники и магнитный полупроводники
Долгое время были известны сплавы, у которых переход в сверхпроводящее состояние происходил
при температуре от 1 до 10К, в лучшем случае 23K. Но в 1986 году были открыты так называемые
высокотемпературные сверхпроводники, температура перехода которых была гораздо выше.
Синтезом все новых и новых материалов уже удалось поднять ее до 160 К 0 (почти –100оС). В составе
всех этих ВТСП обязательно присутствуют ионы меди Сu 2+ (роль их в возникновении сверхпроводимости
пока не ясна), которые служат как бы микроскопическими магнитиками. Но не следует думать, что все
материалы, содержащие такие магнитики - сверхпроводники. Достаточно вспомнить, что железо, состоящее
из них целиком - нормальный металл.
Ионы-магнитики взаимодействуют друг с другом, образуя свою собственную упорядоченную
структуру. В результате в кристалл из атомов оказывается вложенным кристалл из магнитиков. Магнитные
кристаллы бывают разных типов. Если все магнитики ориентированы одинаково, то намагничен и весь
кристалл в целом. Такая структура называется ферромагнитной. Но магнитики в кристалле можно
направить и в противоположные стороны, так что в целом кристалл оказывается ненамагниченным. Тогда
магнитная структура называется антиферромагнитной. Создать ее можно по-разному, построив, например,
антиферромагнитную структуру, в которой магнитики ближайших соседей направлены противоположно,
образуя нечто вроде шахматной доски. Но можно получить ее, направив противоположно друг другу
магнитики соседних, ферромагнитно упорядоченных плоскостей
Если почти все ферромагнетики - металлы, то почти все антиферромагнетики в чистом виде
изоляторы. Но их можно сделать хорошими проводниками, введя нужные добавки. Иод, например,
вызывает появление свободных электронов в антиферромагнитном изоляторе ЕuSе (соединении европия
Eu и селена Se), делая его полупроводником, почти металлом (назвать ЕuSе металлом в полном смысле
этого слова нельзя, поскольку свободных электронов в нем на 3-4 порядка меньше, чем в обычном металле,
и, соответственно, его проводимость в тысячи раз ниже). Антиферромагнитна и структура изолятора
La2CuO4, из которого с помощью разных добавок были получены первые высокотемпературные
сверхпроводники.
Сверхпроводящие сверхкристаллы
Оказалось, что электронно-магнитные сверхкристаллы возможны и в высокотемпературных
сверхпроводниках. Это совсем не удивительно, коль скоро они - ближайшие родственники тех материалов,
о которых говорилось чуть раньше. Ведь, например, в La 2СuO4 переход в сверхпроводящее состояние
происходит при 38 К0, а сверхкристалл в нем образуется при 265 К0, когда кристалл еще и не знает, что при
дальнейшем охлаждении он станет сверхпроводящим.
Однако есть три обстоятельства, отличающие сверхкристаллы здесь и в EuSe. Первое из них с
физической точки зрения несущественно, хотя и заставляет вспомнить об антиматерии. Физики говорят, что
заряд в некоторых материалах переносится не электронами, а дырками (более эстетично было бы сказать антиэлектронами, но физики любят эпатировать публику). Суть дела очень проста: на самом деле, конечно
же, заряд переносят электроны. Но, когда электронов много, удобнее говорить, что в некоторых состояниях
электронов нет, и там образовались дырки.
Представим себе ряд пустых стульев в кино. Если на его край сел один человек и начал постепенно
пересаживаться, мы увидим просто движение человека. Но если в ряду есть только одно свободное место на
краю, и публика стала поочередно пересаживаться на соседний свободный стул, создастся впечатление, что
движется пустое место, своего рода дырка. Видимое ее движение обратно направлению, в котором
пересаживаются зрители. Примерно то же самое происходит и в кристалле. Когда его свободные электроны
начинают передвигаться под действием, скажем, электрического поля, мы видим, как в противоположном
направлении движется пустое место, дырка. А это значит, что у дырки другой знак заряда, она положительна.
Во-вторых, сверхпроводимость категорически несовместима с ферромагнетизмом (вспомним еще раз о
железе). Поэтому, если дырки сконцентрируются в ферромагнитной части кристалла, сверхпроводимости в
ней не будет.
В-третьих, в сверхпроводящих областях концентрируются не только дырки, но и кислород, их
породивший. В уже упомянутое соединение La2СuO4 можно ввести дополнительный кислород,
отрицательные ионы которого легко распространяются по кристаллу. В этом им помогают электрические
поля положительно заряженных дырок. И если в капле собираются заряды противоположных знаков, она
будет гораздо устойчивее: заряды положительных ионов и отрицательных электронов компенсируют друг
друга. Соответственно и размеры капель, из которых построен сверхкристалл, здесь куда больше, чем в EuSe.
Для нужд микроэлектроники, например, сегодня нужны материалы, сопротивление которых сильно
меняется в магнитном поле. На них чрезвычайно удобно записывать информацию и хранить ее.
Сверхкристаллы дают для этого прекрасные возможности, поскольку магнитное поле сильно меняет их
структуру. Здесь уже говорилось о EuSe как об исходном материале для сверхкристаллов. Однако в смысле
технических приложений он не очень удобен, поскольку сверхкристаллы в нем существуют только при
гелиевых температурах. Сейчас исследователи уделяют очень большое внимание материалам на основе
LaMnO3, в которых сверхкристаллы могут существовать при комнатных температурах, и сопротивление очень
сильно зависит от магнитного поля.
Л. 59
Элементы ядерной физики
Состав и размеры атомных ядер
Примечания:
1.
Напомним, что ядро атома имеет размер порядка 10-15 м, при этом вся масса атома практически сосредоточена
в ядре.
2.
Атомные ядра состоят из положительно заряженных протонов и нейтральных нейтронов.
3.
Протоны и нейтроны образуют класс субэлементарных частиц называемых нуклонами.
4.
Массы протона и электрона связаны между собой соотношением:
mp
Важные замечания:
me
 1836,13  0,02;
(59.1)
1.
Протон и нейтрон считают двумя различными зарядовыми состояниями одной и той же частицы называемой
нуклоном, это объясняется тем обстоятельством, протоны и нейтроны, имея достаточно сложную
внутреннюю структуру (см. ниже) содержат как положительный, так и отрицательный заряды.
2.
Структура нуклонов была определена в опытах по рассеянию очень быстрых электронов на ядрах водорода и
дейтерия. Как показали эксперименты, нуклоны обладают весьма сложной внутренней структурой. Основная
часть массы нуклона порядка 75% сосредоточена в ядре большой плотности и радиусом 0,2 ферми(Фм) ( м).
Это ядро окружают концентрические оболочки – мантии, образованные двумя быстрыми - мезонами, радиус
внутренней оболочки 0,8 ферми, ее плотность значительно больше плотности внешней оболочки, радиус
которой составляет 1,3 Фм.
3.
Наибольший интерес, при исследовании нуклонов, представляют глубоко неупругие рассеяния не только
электронов, но и мюонов и нейтрино. Они свидетельствуют о том, что при больших потерях энергии
набегающей частицы носитель взаимодействия - виртуальный фотон поглощается в нуклоне точечным
объектом – кварком. Такие опыты позволяют определить суммы квадратов моментов кварков, что
соответствует предсказаниям теории.
Введем ряд понятий и определений:
Количество протонов в ядре называют порядковым номером ядра - Z. Порядковый номер равен
атомному номеру элемента в периодической системе Менделеева Д. И.
2.
Количество нейтронов в ядре обозначается через N, число нейтронов в ядрах обычно больше
количества протонов за исключением атомов водорода и гелия и некоторых нейтронодефицитных ядер.
Заметим, что с ростом порядкового номера элемента число нейтронов в ядрах увеличивается, то есть
ядра как бы разбавляются нейтронами, причем в начале периодической системы отношение N/Z~1, а к
ее концу это отношение составляет N/Z~1,6.
Полное число нуклонов в ядре A=N+Z- называют массовым числом.
3.
4.
Ядра, имеющие различные массовые числа при одном и том же порядковом номере Z называются
изотопами.
5.
Ядра, имеющие одно и то же A при различных Z называются изобарами.
6.
Принята следующая символика изображения ядер Z X A ; X Z A , где Х – символ соответствующего
химического элемента.
Примечания:
В настоящее время известно около 300 устойчивых и свыше 1000 неустойчивых (радиоактивных)
•
изотопов.
•
Устойчивые изобары встречаются парами, это элементы, начиная с середины таблицы Менделеева к ее
концу, среди легких элементов изобар не обнаружено. На сегодня обнаружено более 200 изобар.
7.
Числа протонов и нейтронов (в указанной последовательности) в ядре могут быть четными и
нечетными, в зависимости от этого ядра подразделяются:
•
четно-четные,
нечетно-четные,
•
•
четно-нечетные,
•
нечетно-нечетные.
Радиус ядра, также как и радиус атома не имеет резко выраженного значения, в этом смысле радиус
ядра достаточно условное понятие, для оценки размера ядер можно использовать эмпирическую
формулу:
1
15
(59.2)
2
1.
R  R0 A ; R0  (1,3  1,7)10
м;
  1014
g
cm 3
Плотность ядерного вещества постоянна для всех ядер и составляет
(представьте себе 2 000 000
железнодорожных вагонов «упакованных» в один кубический сантиметр). Площадь геометрического сечения
ядра принято считать равной R 2  10 26 м 2  1барн .
Энергия связи ядер
8
Энергией связи ядра называется разность энергий связи нуклонов в
ядре и их энергией в свободном состоянии, то есть:
E (Mэв)
6
4
2
E ( A, Z )   M я  ( ZM p  ( A  Z ) M n )  c ;
2
(59.3)
A
60
120
180
240
Рис. 59.1
Примечания:
1. Энергия связи ядра отрицательна и определяется той работой, которую необходимо совершить, что бы
расщепить ядро на отдельные нуклоны. Принято, считать эту энергию положительной, для удобства
расчетов изображения графических зависимостей и т.д.
2. Удельной энергией связи ядра называется величина равная E/A, то есть равная средней энергии
приходящейся на один нуклон (графическая зависимость энергия связи в ядре на один нуклон представлена
на рис. 59.1)
Дефект масс определяется выражением:
  M  A  0,01( A  100)2  64 103 ( A.E.M );
Часто под дефектом массы понимают величину равную:
E ( A, Z )
;
c2
 M
P 
 1;
A
A

Упаковочный множитель:
(59.5)
(59.6)
(59.4)
Важные замечания:
1. Величина энергии связи ядер определяет его устойчивость относительно распада. Ядро, имеющее
наименьшую, возможную энергию связи называют ядром в основном состоянии, в противном случае ядро
возбуждено. Если Е=0, то такое состояние соответствует диссоциации ядра, то есть распада его на
составляющие нуклоны.
2. Факт существования устойчивых ядер говорит о том, что между нуклонами действуют силы не
электрического характера, так как силы действующие между двумя протонами, двумя нейтронами,
нейтроном и протоном одинаковы. Эти силы получили название ядерных сил. Энергия ядерных сил и
энергия кулоновских сил между протонами в ядре, в сумме равна энергии связи ядра.
Основные свойства ядерных сил:
1. Зарядовая независимость – силы взаимодействия между различными нуклонами: протонами и нейтронами
одинаковы и проявляют неэлектрический характер.
2. Свойство насыщения – каждый нуклон может взаимодействовать с ограниченным количеством ближайших
к нему нуклонов. Свойство насыщения следует так же и из характера зависимости энергии связи, дефекта
массы от массового числа, действительно при отсутствии насыщения E  A( A  1); .
3. Ядерные силы являются силами притяжения.
4. Ядерные силы являются короткодействующими силами, область их существования сравнима с размерами
самих нуклонов: Fя ~ 1/ r (56) ;
5. Ядерные силы характеризуются нецентральным характером, в отличие от кулоновских, гравитационных
сил. Их потенциал лишен сферической симметрии, это так называемые тензорные силы.
6. Ядерные силы зависят от ориентации спинов взаимодействующих нуклонов.
7. С физической точки зрения ядерные силы соответствуют обменному взаимодействию. Считается что обмен
между нуклонами осуществляется путем обмена π-мезонами.
8. π-мезон обладает массой покоя не равной нулю, что объясняет короткодействующий характер ядерных сил.
Действительно, согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга Et   , где ∆t - время обмена
2
энергией E  m c . Следовательно, расстояние на которое может удалиться π - мезон от нуклона, даже
двигаясь с субсветовой скоростью, не превышает R ~  ~ 10 15 м, т.е. совпадает с размером ядра.
0
m c
Магнитные и электрические свойства ядер
Нуклоны в ядре обладают орбитальными и спиновыми механическими и магнитными моментами. Нуклоны
являются фермионами и имеют спин равный h/2. Орбитальные и спиновые магнитные моменты соответственно
равны:
l  g l l ;  s  g s s ;
l  g l l ;  s  g s s ;
(59.7)
где l, s - орбитальные и спиновые квантовые числа, gl, gs - соответствующие гиромагнитные соотношения.
Последние, для протонов и нейтронов определяются с помощью выражений:
 5,585  p 
1  p 
gl

;
g

 s

;
я 0  n 
 я  3,826  n 
(59.8)
я 
e
;
2M p c
(59.9)
- ядерный магнетон
Под спином ядра понимают полный момент импульса ядра, он складывается из полных моментов нуклонов (см.
ниже). Соответственно складываются алгебраически квантовые числа нуклонов и дают либо суммарное целое
число при четном массовом числе А, либо полуцелое суммарное число при нечетном А. В первом случае ядра
подчиняются статистике Бозе - Эйнштейна, во втором Ферми – Дирака. Приведенные рассуждения справедливы,
так как в ядре наблюдается весьма сильная связь между спиновым и орбитальным моментами каждого нуклона,
так называемая (jj)- связь. Поэтому каждый нуклон характеризуется полным моментом импульса:
j  l  s;
A
J   ji ;   g  я J ; J 
(59.10)
J ( J  1);
(59.11)
i 1
Примечание: Классификация состояний ядра для различных значений орбитального и спинового чисел ядра L и S
в случае сильной связи имеют достаточно условный смысл, и производиться аналогично векторной модели атома.
Для обозначения этих состояний используется спектроскопическая символика, причем при четных А квантовое
число J принимает целые значения постоянных Планка, при А–нечетном соответственно полуцелые значения.
Примечания:
1.
Магнитные моменты четно-четных ядер равны нулю.
2.
Магнитные моменты четно-нечетных и нечетно-четных ядер качественно могут быть рассмотрены, в так
называемой однонуклонной модели ядра. Ее суть заключается в том что, магнитные свойства таких ядер,
например: магнитный момент - определяется движением одного нуклона (являющегося «валентным»)
«вокруг» оставшегося четного числа нуклонов, а их векторная сумма орбитальных и спиновых моментов
соответственно равна нулю.
3.
По абсолютной величине магнитные моменты четно-нечетных и нечетно-четных ядер определяются
формулами:
 н ч
ч  н
1
 J 2  1, 293 J

для
l
J
(
);


я 



2
J 1

;
 ( J  2, 293)  я  для (l  J  1 );




2

 для (l  J  1 );
 1,913 я 
2

;

1,913

 я  для (l  J  1 );
 J 1

2
(59.12)
Примечание: Электрический заряд в ядре распределен асимметрично, мерой такой асимметрии является
квадрупольный момент ядра. В первом приближении распределение заряда можно представить в виде
эллипсоида вращения, при этом квадрупольный момент ядра будет равен:
Q0 
2
Ze(b 2  a 2 );
5
(59.13)
где b, a – полуоси эллипса.
Примечания: 1) Если a = b то есть мы имеем дело со сферическим распределением заряда Q0 = 0. 2) Если
эллипсоид вытянут в направлении спина, то Q0 > 0. 3) Если эллипсоид сплющен в направлении спина, то Q0 < 0.
Важные сведения:
1.
Экспериментально показано, что многие важные свойства атомных ядер (дефект масс, стабильность,
энергия связи, электрический квадрупольный момент, наконец, распространение в природе) периодически
изменяются с увеличением числа протонов и нейтронов в ядрах.
2.
Опыты показали, что наибольшей стабильностью обладают ядра, у которых число протонов или нейтронов
равны 2, 8, 20, 50, 82, 126, эти ядра образуют ряд «магических» ядер. У них нуклонные оболочки
оказываются завершенными подобно тому, как полностью заполненными являются электронные оболочки
у инертных газов, имеющих по 2, 10, 18, 36, 54, 86 электронов.
3.
Ядра, у которых число протонов или нейтронов равно одному из магических чисел слабо захватывают
нейтроны, средняя энергия связи на нуклон заметно возрастает, в то же время ядра стоящие после
магических слабо связаны. Элемент с числом протонов равным одному из магических чисел имеет больше
изотопов по сравнению с другими элементами. Распространенность в природе элементов с магическими
ядрами достаточно велика. Электрические квадрупольные моменты у таких ядер близки к сферически симметричным. На рис. 59.2 показана зависимость квадрупольного момента ядер от числа нейтронов.
Во внешнем магнитном поле происходит квантование спина ядра, так называемое
пространственное квантование, при этом каждый энергетический уровень
расщепляется на 2J+1 подуровней. По аналогии с атомным расщеплением, такое
расщепление уровней называют зеемановским. Таким образом, если атом попадает в
высокочастотное электромагнитное поле, энергия которого способна перевести ядро в
возбужденное состояние, то наблюдается ядерный парамагнитный резонанс.
Резонансные частоты для переходов подчиняются правилу отбора для магнитного или
внутреннего квантового числа, то есть Δmj=±1 Соответственно частоты ЯПР
определяются формулой:
 ЯПР 
g я H
h
(59.14)
Q (10-26 м)
8
6
4
2
N
40
80
Рис. 59.2
Примечание: Частоты ЯПР при том же значении Н примерно на четыре порядка меньше чем частоты
электронного парамагнитного резонанса – ЭПР и составляют порядка (105 – 106) Гц.
120
NB Если ядро имеет квадрупольный электрический момент Q, то вследствие его взаимодействия с
решеточным (молекулярным) электрическим полем наблюдается штарковское расщепление уровней энергии
ядра. Если предположить в простейшем случае, что внутреннее (статическое) поле имеет аксиальную
симметрию, то энергетический спектр штарковских подуровней имеет вид:
 2 3m j  J ( J  1)
EJ  eQ( 2 )
;
t
4 J (2 J  1)
2
(59.15)
Избирательное поглощение веществом электромагнитного излучения, связанное с переходами между
штарковскими уровнями называется ядерным квадрупольным резонансом. В этом случае также должны
учитываться правила отбора в виде:
m j  1; mJ  J , J  1, J  2,...;
Тогда спектр штарковского излучения равен:
 якр
 2 3(2m j  1)
 eQ( 2 )
;
t 4 J (2 J  1)h
(59.16)
Ядерный квадрупольный резонанс (ЯКР) является очень тонким методом исследования структуры молекул,
кристаллов, дефектов в кристаллах, биологических тканей, особенно в сочетании с методами и средствами
компьютерной томографии.
Эффект Мёссбауэра
Атомное ядро можно перевести в возбужденное состояние различными путями, например, при облучении их
высокоэнергетическими гамма квантами. В возбужденном состоянии ядро находится очень малый промежуток
времени, и при переходе в стационарное состояние излучает электромагнитный квант энергии. При излучении
ядром фотона выполняется не только закон сохранения энергии, но импульса, следовательно, ядро при покидании
его фотоном испытывает импульс отдачи. Энергия γ-квантов способных провзаимодействовать с ядром
значительно превышает энергию фотонов взаимодействующих с электронной оболочкой и составляет несколько
МэВ.
Велика при этом и энергия отдачи ядра, для средних ядер она составляет
порядка (10-3 – 10-2) эВ, при этом ширина спектральной линии 10-3 эВ, то есть
потери энергии вследствие отдачи существенно больше ширины
спектральной линии. На рис. 59.3 показаны зависимости интенсивности
фотонов от изменения энергии вследствие отдачи излучающего и
поглощающего атомов. Если это изменение менее ширины спектральной
линии (рис59. 3а) то резонансное поглощение возможно, в противном случае
(рис. 59. 3б) невозможно. В жидкостях и газах резонансное поглощение
фотонов в ядрах не наблюдается, слишком велики расстояния между ядрами и
атомы достаточно подвижны.
В кристаллах атомы (ядра) достаточно жестко связаны друг с другом. Следовательно, энергию отдачи
воспринимает не один атом, как в жидкости или газе, а вся решетка в целом. Поэтому потеря энергии отдельным
ядром пренебрежимо мала и γ-квант может поглотиться ядром того же вида, что и излучившее его ядро, то есть
резонансным образом. Впервые этот эффект наблюдал Мѐссбауэр (1958 г.) облучая 191Ir гамма излучением
изотопа железа 57Fe, энергия гамма квантов которого равна (1,4·105) Эв, ширина спектральной линии оказалась
равной G  4,6 10 9 Эв , позднее такой эффект наблюдали для элементов Zn, Sn, Ni, Kr, Ru, Ba, Au и т. д.
Эффект Мѐссбауэра имеет важное практическое приложение, так как благодаря малой ширине спектральных
линий можно определять очень малые изменения энергетических уровней излучающих и поглощающих ядер.
Например, с помощью эффекта Мѐссбауэра оказалось возможным экспериментально доказать действие
гравитационного поля на γ-кванты изотопа 57Fe в поле тяготения земли при перепаде высот всего лишь в 21 м.
Эффект Мессбауэра позволяет исследовать малые изменения видов химических связей, изменения электронной
плотности атомных оболочек, определять сверхмалые концентрации примесей и т.д.
Метод ядерного гамма-резонанса (резонансный структурный анализ) используется в физическом
материаловедении, химии, минералогии и биологии (например, при анализе свойств Fe-содержащих групп в
белках). Эффект поглощения излучения усиливают путѐм обогащения образца мѐссбауэровскими изотопами,
повышая, например, содержание 57Fe в пище подопытных животных. В минералогии эффект Мѐссбаура
применяется главным образом для определения структурного положения ионов Fe и определения степени
окисления железа.
Л. 60
Элементарные частицы
Примечание: К общим свойствам элементарных частиц можно отнести их способности к взаимопревращениям
при взаимодействиях, при таких взаимопревращениях мы имеем дело с качественно различными формами
материи. Элементарные частицы очень тесно связаны с физическими полями, в какой то степени можно
утверждать, что каждая элементарная частица является квантом, какого либо физического поля.
NB Подавляющее большинство элементарных частиц нестабильны, то есть время их жизни составляют весьма
малые доли секунды, после чего они превращаются либо в другие частицы, либо в физические поля. Основными
характеристиками элементарных частиц являются: масса покоя, заряд, моменты импульсы, спин, время жизни.
Массу элементарной частицы измеряют либо в массах покоя электрона m0, либо в соответствии с известным
соотношением E=mc2 в единицах энергии. В этом случае, энергия массы покоя электрона равна 0,511 Мэв.
Заметим, что существуют элементарные частицы, масса покоя, у которых равна нулю, например – фотон.
1.
2.
3.
4.
Массы покоя известных элементарных частиц изменяются от 0 до 2600 m0. В этом плане принята
следующая классификация элементарных частиц.
Лептоны, частицы с массой покоя m ≤ m0e.
Мезоны, частицы у которых масса покоя находится в пределах m0e ≤ m ≤ 1000m0e.
Барионы, частицы обладающие массами m > 1000m0e.
Гипероны, частицы имеющие массу m > 3000m0e.
Важные замечания:
1.
Известные на сегодня частицы имеют, либо целый положительный (отрицательный) заряд, равный по
модулю заряду электрона, либо нулевой заряд. Заметим, что кварки имеют дробный заряд равный 1/3, 2/3,
но они образуют особый класс частиц.
2.
Спиновые моменты у большинства частиц принимают значения: ; 2 ;0

3.
10
Время жизни весьма различно, если время существования частицы составляет t ~ 10 c , то такие
частицы относятся к стабильным. Если время жизни составляет t ~ 1023 c , а это среднее время жизни
для элементарной частицы, то их называют резонансами, такие частицы образуют отдельный класс.
В 1928 году Дирак исходя, из квантово-механических представлений, предсказал существование позитрона
– аналога электрона, имеющего положительный заряд. Позитрон был экспериментально обнаружен в 1932 году
Андерсоном. Позже были предсказаны и обнаружены другие частицы и античастицы. Важным обстоятельством
является тот факт, что частицы, и античастицы при своем взаимодействии переходят в другую форму материи,
например в кванты, какого, либо поля, возможны и обратные процессы.
Рассмотрим наиболее известные элементарные частицы:
Электрон, достаточно изученная стабильная элементарная частица, масса покоя которой равна 0,511
Мэв, что составляет 1/1836 масс протона, его заряд равен 1, спин ½, магнитный момент составляет 1,0011 магнетонов Бора.
Позитрон, частица, по всем характеристикам совпадающая с электроном, но имеющая
положительный заряд. Таким образом, электрон и позитрон представляют собой пару частицаантичастица. Экспериментально установлено, что такие пары могут рождаться из фотонов.
Несмотря на то, что позитрон является достаточно стабильной частицей в земных условиях его
время существования ограниченно, в воздухе t ~ 107 c . При взаимодействии позитрона и
электрона наблюдается так называемый процесс аннигиляции: e   e   2 .
Протон, элементарная частица, имеющая заряд равный +1, массу покоя mp=938,25 МэВ и спин ½.
Так как масса протона в 1836 раз больше массы электрона то следовало бы ожидать, что его
магнитный момент равен 1/1836 магнетона Бора, так называемый ядерный магнетон я(е.
Экспериментальные данные говорят о том, что магнитный момент протона равен 2,793я, такое
отличие от расчетного значения объясняется кварковой структурой самого протона. Направление
магнитного момента протона совпадает с направлением спина.
Классификация элементарных частиц
По величине спина
Все элементарные частицы делятся на два класса:
•
бозоны — частицы с целым спином (например,
фотон, глюон, мезоны, бозон Хиггса).
•
фермионы — частицы с полуцелым спином
(например, электрон, протон, нейтрон,
нейтрино);
По видам взаимодействий
Краткий обзор различных семейств элементарных и составных частиц, и
теории, описывающие их взаимодействия. Фермионы слева, Бозоны
справа.
Элементарные частицы делятся на следующие группы:
Составные частицы
•
адроны — частицы, участвующие во всех видах
фундаментальных взаимодействий. Они состоят из
кварков и подразделяются, в свою очередь, на:
•
•
мезоны — адроны с целым спином, то есть являющиеся бозонами;
барионы — адроны с полуцелым спином, то есть фермионы. К ним, в частности, относятся
частицы, составляющие ядро атома, — протон и нейтрон.
Фундаментальные (бесструктурные) частицы
•
•
•
лептоны — фермионы, которые имеют вид точечных частиц (то есть не состоящих ни из
чего) вплоть до масштабов порядка 10−18 м. Не участвуют в сильных взаимодействиях.
Участие в электромагнитных взаимодействиях экспериментально наблюдалось только для
заряженных лептонов (электроны, мюоны, тау-лептоны) и не наблюдалось для нейтрино.
Известны 6 типов лептонов.
кварки — дробнозаряженные частицы, входящие в состав адронов. В свободном состоянии
не наблюдались (для объяснения отсутствия таких наблюдений предложен механизм
конфайнмента). Как и лептоны, делятся на 6 типов и считаются бесструктурными, однако, в
отличие от лептонов, участвуют в сильном взаимодействии.
калибровочные бозоны — частицы, посредством обмена которыми осуществляются
взаимодействия:
- фотон — частица, переносящая электромагнитное взаимодействие;
- восемь глюонов — частиц, переносящих сильное
+ − взаимодействие;
0
- три промежуточных векторных бозона W , W и Z , переносящие слабое
взаимодействие;
- гравитон — гипотетическая частица, переносящая гравитационное
взаимодействие.
Существование гравитонов, хотя пока не доказано экспериментально в связи со слабостью
гравитационного взаимодействия, считается вполне вероятным; однако гравитон не входит в Стандартную модель
элементарных частиц.
Адроны и лептоны образуют вещество. Калибровочные бозоны — это кванты разных типов взаимодействий.
Кроме того, в Стандартной модели с необходимостью присутствует хиггсовский бозон, первые экспериментальные
указания на существование которого появились в 2012 году.
Стандартная модель
Стандартная
модель
элементарных
частиц включает в себя 12 ароматов фермионов,
соответствующие им античастицы, а также
калибровочные бозоны (фотон, глюоны, W- и Zбозоны), которые переносят взаимодействия между
частицами, и обнаруженный в 2012 году бозон
Хиггса, отвечающий за наличие массы у частиц.
Однако
Стандартная
модель
в
значительной степени рассматривается скорее как
теория
временная,
а
не
действительно
фундаментальная, поскольку она не включает в себя
гравитацию и содержит несколько десятков
свободных параметров (массы частиц и т.д.),
значения которых не вытекают непосредственно из
теории.
Стандартная модель элементарных частиц;
в правой колонке — калибровочные
бозоны
Возможно, существуют элементарные
частицы, которые не описываются Стандартной
моделью — например, такие, как гравитон (частица,
переносящая
гравитационные
силы)
или
суперсимметричные партнѐры обычных частиц.
Взаимодействие между различными
частицами в Стандартной модели
Стандартная модель состоит из следующих положений:
•
•
•
Всѐ вещество состоит из 24 фундаментальных квантовых полей спина ½, квантами
которых являются фундаментальные частицы-фермионы, которые можно объединить в
три поколения фермионов: 6 лептонов (электрон, мюон, тау-лептон, электронное
нейтрино, мюонное нейтрино и тау-нейтрино), 6 кварков (u, d, s, c, b, t) и 12
соответствующих им античастиц.
Кварки участвуют в сильных, слабых и электромагнитных взаимодействиях; заряжѐнные
лептоны (электрон, мюон, тау-лептон) — в слабых и электромагнитных; нейтрино —
только в слабых взаимодействиях.
Все три типа взаимодействий возникают как следствие постулата, что наш мир
симметричен относительно трѐх типов калибровочных преобразований. Частицамипереносчиками взаимодействий являются бозоны:
- 8 глюонов для сильного взаимодействия
+ (группа
− 0 симметрии SU(3));
- 3 тяжѐлых калибровочных бозона (W , W , Z ) для слабого взаимодействия
(группа симметрии SU(2));
- один фотон для электромагнитного взаимодействия (группа симметрии U(1)).
•
В отличие от электромагнитного и сильного, слабое взаимодействие может смешивать
фермионы из разных поколений, что приводит к нестабильности всех частиц, за
исключением легчайших, и к таким эффектам, как нарушение CP-инвариантности и
нейтринные осцилляции.
Внешними параметрами стандартной модели являются:
•
массы лептонов (3 параметра, нейтрино принимаются безмассовыми) и кварков (6
параметров), интерпретируемые как константы взаимодействия их полей с полем бозона
•
Хиггса,
параметры CKM-матрицы смешивания кварков — три угла смешивания и одна
комплексная фаза, нарушающая CP-симметрию — константы взаимодействия кварков с
•
•
электрослабым полем,
два параметра поля Хиггса, которые связаны однозначно с его вакуумным средним и
массой бозона Хиггса,
три константы взаимодействия, связанные соответственно с калибровочными группами
U(1), SU(2) и SU(3), и характеризующие относительные интенсивности электромагнитного,
слабого и сильного взаимодействий.
Примечание: В связи с тем, что обнаружены нейтринные осцилляции, стандартная модель нуждается в
расширении, которое вводит дополнительно 3 массы нейтрино и как минимум 4 параметра PMNS-матрицы
смешивания нейтрино, аналогичные CKM-матрице смешивания кварков, и, возможно, ещѐ 2 параметра
смешивания, если нейтрино являются майорановскими частицами. Также в число параметров стандартной
модели иногда вводят вакуумный угол квантовой хромодинамики. Примечательно, что математическая модель
с набором из 20 с небольшим чисел способна описать результаты миллионов проведѐнных к настоящему
времени в физике экспериментов.
Фермионы
NB 12 ароматов фермионов разделяются на 3 семейства (поколения) по 4 частицы в каждом.
Шесть из них — кварки. Другие шесть — лептоны, три из которых являются нейтрино, а
оставшиеся три несут единичный отрицательный заряд: электрон, мюон и тау-лептон.
Поколения частиц
Первое поколение
Второе поколение
Третье поколение
Электрон: e−
Мюон: μ−
Тау-лептон: τ−
Электронное нейтрино:
νe
Мюонное нейтрино: νμ
Тау-нейтрино: 
u-кварк («верхний»): u
c-кварк
(«очарованный»): c
t-кварк («истинный»): t
d-кварк («нижний»): d
s-кварк («странный»): s
b-кварк («прелестный»):
b
Античастицы
Cуществуют 12 фермионных античастиц, соответствующих вышеуказанным двенадцати
частицам.
Античастицы
Первое поколение
Второе поколение
Третье поколение
позитрон: e+
Положительный мюон:
μ+
Положительный таулептон: τ+
электронное
антинейтрино:
мюоное антинейтрино:
Тау-антинейтрино:
u - антикварк:
c-антикварк:
t-антикварк:
d - антикварк:
s-антикварк
b-антикварк:
Кварки
Кварки и антикварки никогда не были обнаружены в свободном состоянии — это
объясняется явлением конфайнмента. На основании симметрии между лептонами и кварками,
проявляемой в электромагнитном взаимодействии, выдвигаются гипотезы о том, что эти
частицы состоят из более фундаментальных частиц − преонов.
Список используемых источников
1. Александров Н.В., Яшкин А.Я. Курс общей физики. Механика. М.:
Просвещение, 1978.
2. Астахов А.В. Курс физики. Том 1. Механика. Кинетическая теория материи. М.:
Наука, 1977.
3. Астахов А.В., Широков Ю.М. Курс физики. Том 2. Электромагнитное поле. М.:
Наука, 1980.
4. Астахов А.В., Широков Ю.М. Курс физики. Том 3. Квантовая физика. М: Наука,
1983.
5. Берклеевский курс физики. Том 1. Киттель Ч. Найт У. Рудерман М. Механика.
М.: Наука, 1971.
6. Берклеевский курс физики. Том 2. Парселл Э. Электричество и магнетизм. М.:
Наука, 1971.
7. Берклеевский курс физики. Том 3. Крауфорд Ф. Волны. М.: Наука, 1974.
8. Берклеевский курс физики. Том 4. Вихман Э. Квантовая физика. М.: Наука,
1974).
9. Берклеевский курс физики. Том 5. Рейф Ф. Статистическая физика. М.: Наука,
1972.
10. Берклеевский курс физики. Том 6. Портис А. Физическая лаборатория. М.:
Наука, 1972.
11. Ландау Л.Д., Ахиезер А.И., Лифшиц Е.М. Курс общей физики: Механика.
Молекулярная физика. М.: Наука, 1965.
12. Поль Р.В. Оптика и Атомная физика. М.: Наука, 1966 .
13. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том 1. Механика. М.: Наука, 1979.
14. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том 2. Термодинамика и молекулярная
физика. М.: Наука, 1975.
15. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том 3. Электричество. М.: Наука, 1977
16. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том 4. Оптика. М.: Наука, 1980
17. Сивухин Д.В. (ред.) Сборник задач по общему курсу физики. Термодинамика и
молекулярная физика (4-е изд.) М.: Наука, 1976.
18. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. М.: Мир,
1965-1967.
19. Фриш С.Э., Тиморева А.В. Курс общей физики, М.: ГИФМЛ, 1962.
20. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике для инженеров и студентов
вузов (4-е изд.). М.: Наука, 1968
Сведения об авторе
Родился 31 мая 1949 года в г. Томске.
В 1966 г. поступил, а в 1972 г. окончил физико-технический факультет
Томского политехнического института.
С 1976 года работает в Самарском государственном аэрокосмическом
университете имени академика С.П. Королева.
В 1974 году присуждена ученая степень – кандидат технических наук.
В 2007 году присуждена ученая степень – доктор технических наук.
В 1983 году вручена областная премия Ленинского комсомола за цикл работ в области малоракурсной
томографии.
1979 – 1990 гг. – член научного совета по проблеме «Томография» ГКНТ при Совете Министров СССР.
1981 -1990 гг. – член научного совета «Оптика» АН СССР.
В 1990 г. организовал крупный отдел по проблемам томографии в первом в СССР совместном с США
предприятии «Информатика».
2004 г. – избран членом международного общества «Оптика».
2011 г. – избран в «International WHO’S WHO»
В 1985 г. организовал в г. Куйбышеве Второй Всесоюзный симпозиум по компьютерной томографии.
В 1987 г. организовал в г. Куйбышеве Первую Всесоюзную школу по компьютерной томографии.
Автор в общей сложности более 200 основополагающих публикаций, в том числе 12
монографий и учебников, редактор многочисленных сборников научных трудов по компьютерной
томографии.
Под научным руководством Филонина О.В. 9 человек успешно закончили аспирантуру, более
100 защитили дипломные работы и проекты, выполнили диссертации бакалавров.
В настоящее время является профессором кафедры физики, научным руководителем
лаборатории малоракурсной компьютерной томографии в СГАУ.
Общий трудовой стаж научно - педагогической работы в вузах 40 лет.
СПИСОК ВОПРОСОВ ПО КУРСУ ФИЗИКИ
1 СЕМЕСТР
1. Кинематическое описание движения. Движение точки по окружности,
угловые параметры движения.
2. Уравнения движения. Масса, импульс тела. Границы применимости
классической механики. Инерциальная система отсчета.
3. Закон сохранения импульса. Реактивное движение.
4. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса.
5. Момент силы. Уравнение моментов. Работа и кинетическая энергия.
Внутренняя энергия.
6. Инерциальные системы отсчета. Принцип относительности. Преобразования
Галилея. Преобразования Лоренца. Абсолютные и относительные скорости и
ускорения.
7. Момент инерции твердого тела относительно оси. Кинетическая энергия
вращательного движения. Неинерциальные системы отсчета.
8. Статистический и термодинамический методы исследования в физике.
Кинетическая энергия молекул, распределение энергии по степеням свободы.
Средняя длина свободного пробега.
9. Явления переноса: диффузия, теплопроводность внутреннее трение.
10.Распределение Максвелла по скоростям для молекул идеального газа.
Барометрическая формула. Распределение Больцмана для молекул
идеального газа во внешнем, потенциальном поле.
11.Первое начало термодинамики и его применение к изопроцессам идеального
газа. Обратимые и необратимые процессы. Круговые процессы. Тепловые и
холодильные машины.
12.Второе начало термодинамики. Неравенство Клаузиуса. Приведенное
количество тепла.
13.Реальные газы. Потенциальная энергия взаимодействия между молекулами.
Эффективный диаметр молекулы. Уравнение Ван-дер-Ваальса.
14.Электрический заряд его дискретность. Закон сохранения заряда.
Электрическое поле, его характеристики. Напряженность и потенциал
электрического поля. Принцип суперпозиции.
15.Поток вектора напряженности электростатического поля, теорема Гаусса Остроградского.
16.Электроемкость уединенного проводника. Взаимная емкость двух
проводников. Конденсаторы, энергия заряженного конденсатора. Энергия
электростатического поля. Объемная плотность энергии.
17.Классическая электронная теория электропроводимости, границы ее
применимости. Законы Ома, Видемана - Франца. Разность потенциалов,
ЭДС.
18.Магнитная индукция.
Савара-Лапласа.
Закон Ампера. Магнитное поле тока. Закон Био-
2 СЕМЕСТР
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
1. Магнитная индукция. Закон Ампера.
2. Магнитное поле тока. Закон Био-Саварро-Лапласа и его приложения к
расчету полей.
3. Магнитный момент витка с током. Вихревой характер магнитного поля.
Циркуляция вектора магнитной индукции для магнитного поля в
вакууме. Магнитные поля тороидальной катушки и длинного соленоида.
4. Движение элементарных зарядов в электрическом и магнитном полях.
Сила Лоренца. Релятивистское уравнение движения заряда. Эффект
Холла. МГД генератор.
5. Контур с током в магнитном поле. Магнитный поток. Теорема
Остроградского - Гаусса. Работа по перемещению проводника и контура с
током в магнитном поле. Явление электромагнитной индукции. Закон
ЭМИ.
6. Явление самоиндукции. Индуктивность. Явление взаимной индукции.
Энергия системы проводников с током. Объемная плотность энергии
магнитного поля.
7. Магнитное поле в веществе. Магнитные моменты атомов. Типы
магнетиков. Намагниченность.
8. Элементарная теория диа- и парамагнетизма. Недостатки классической
теории магнетизма.
9. Напряженность магнитного поля. Магнитная проницаемость среды.
Ферромагнетики. Опыты Столетова. Явление гистерезиса. Точка Кюри.
10.Основы теории Максвелла. Ток смещения. Уравнения Максвелла в
интегральной и дифференциальной формах.
11. Векторный и скалярный потенциалы поля. Волновое уравнения.
Плотность потока энергии.
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ.
1. Колебательные процессы, единый подход к колебаниям различной
физической природы. Гармонические колебания (механические,
электромагнитные) и их характеристики. Дифференциальные уравнения
гармонических колебаний (математический маятник, LC-контур).
2. Энергия гармонических колебаний. Сложение гармонических колебаний.
Биения. Затухающие колебания. Дифференциальные уравнения
затухающих колебаний, его решения. Резонанс.
3. Волновые процессы. Продольные, поперечные волны. Волновые
уравнения, уравнение бегущей волны. Длина волны и волновой вектор.
Энергия волн. Принцип суперпозиции.
4. Волновой пакет. Групповая скорость. Дифференциальное уравнение
электромагнитной волны. Энергия электромагнитных волн. Вектор
Умова - Пойтинга.
ВОЛНОВАЯ ОПТИКА.
1. Интерференция света. Когерентность и монохроматичность световых
фотонов (временная и пространственная когерентность). Интерференция
от
двух
монохроматических
источников.
Интерференция
квазимонохроматических волн. Интерферометры.
2. Принцип Гюйгенса-Френеля. Интеграл и дифракция Френеля.
Приближение Фраунгофера. Простые задачи дифракции (дифракция на
щели, на решетке, на круглом отверстии).
3. Дифракция Фраунгофера и спектральное разложение. Оптическая
фильтрация пространственных частот. Принцип голографии.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ВЕЩЕСТВЕ.
1. Распространение
проницаемости.
света
в
веществе.
Дисперсия
диэлектрической
2. Поглощение света. Нормальная и аномальная дисперсии.
3. Поляризация света. Естественный и поляризованный свет. Поляризация
света при отражении. Закон Брюстера.
4. Двойное лучепреломление Одноосные и двухосные кристаллы,
поляризационные приспособления. Закон Малюса. Искусственная
анизотропия.
КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ
1. Тепловое излучение. Абсолютно черное тело. Закон Кирхгофа. Закон
Стефана-Больцмана. Спектр абсолютно черного тела, распределение
энергии по спектру.
2. Квантовая гипотеза. Формула Планка. Вывод формулы Планка из закона
Стефана-Больцмана и формулы Вина. Оптическая пирометрия.
3. Фотоэффект и его законы. Фотоны. Уравнение Эйнштейна для
фотоэффекта.
4. Многофотонный фотоэффект. Опыты Вавилова по квантовой флуктуации
излучения.
5. Масса и импульс фотона. Квантовое и волновое давление света. Опыты
Лебедева. Эффект Комптона.
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА.
1. Экспериментальное обоснование квантово-волнового дуализма. Гипотеза
Де-Бройля. Соотношение неопределенностей Гейзенберга.
2. Оценка основного состояния атома водорода, энергии нулевых колебаний
осциллятора.
3. Состояние микрочастиц, волновая функция, ее статистический смысл.
Суперпозиция состояний в квантовой механике.
4. Уравнение Шредингера. Основные операторы квантовой механики.
5. Принцип причинности в квантовой механике. Стационарное состояние.
Уравнение Шредингера для стационарного состояния.
6. Свободная
частица.
Частица
в
одномерной
потенциальной яме. Квантование энергии.
прямоугольной
3 СЕМЕСТР
1. Уравнение Шредингера для атома водорода. Радиальная часть.
2. Уравнение Шредингера для атома водорода. Угловая часть.
3. Уравнение Шредингера для атома водорода. Обсуждение результатов.
Квантовые числа. Спектры водородоподобных атомов.
4. Функция плотности вероятности для различных состояний электрона в
атоме водорода.
5. Опыт Штерна и Герлаха. Спин электрона. Спиновое квантовое число.
Принцип неразличимости тождественных частиц.
6. Фермионы и бозоны. Принцип Паули. Распределение электронов в атоме
по состояниям.
7. Мезоатомы. Ширина уровней. Структура электронных уровней в
сложных атомах.
8. Типы связей электронов в атомах. Периодическая система элементов Д.
И. Менделеева.
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА И ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА.
1. Фазовое пространство. Элементарная ячейка. Плотность состояний.
Статистика Бозе-Эйнштенйна. Фотонный и фононный газы.
2. Распределение электронов проводимости в металле по энергиям. Энергия
Ферми. Уровень Ферми. Статистика Ферми-Дирака.
3. Внутренняя энергия и теплоемкость электронного газа в металле.
4. Строение кристаллов. Дефекты в кристаллах. Краевые, винтовые
дислокации.
5. Акустические и оптические колебания кристаллической решетки.
Теплоемкость кристаллов. Решеточная теплопроводность.
6. Элементы зонной теории. Энергетические зоны в кристаллах.
Распределение электронов по энергетическим зонам. Валентная зона,
запрещенная зона, зона проводимости. Металлы, диэлектрики,
полупроводники,
7. Контактные явления (ЭДС, эффект Зеебека,
Собственная проводимость полупроводников.
явление
Пельтье).
8. Электронная и дырочная проводимость. Эффективная масса электрона в
кристалле.
9. Примесная проводимость полупроводников. Электронный и дырочный
полупроводники. P-N переход.
10.P-N переход. Толстый и тонкий p-n переходы. Туннельный эффект.
11.Эффект Холла в чистых и примесных полупроводниках. Изменение
сопротивления полупроводников в сильных магнитных полях.
12.Эффект Эстинг-Гаузена. Термомагнитные явления в полупроводниках.
13.Фотоэлектрические явления в полупроводниках. Поглощение света.
Фотопроводимость. Стимулированное излучение.
14.Отрицательная проводимость в полупроводниках. Полупроводниковые
лазеры.
15.Фотовольтаические эффекты. Эффект Дембери. Вентильный фотоэффект.
16.Фотомагнитный эффект. Циклотронный резонанс в полупроводниках.
17.Явление
сверхпроводимости.
Термодинамика
сверхпроводников.
Куперовское спаривание. Кулоновское отталкивание и
фотонное
притяжение.
18.Поверхностная энергия между нормальной и сверхпроводящими фазами.
Сверхпроводники 1 и 2 рода.
19.Роль примесей в сверхпроводниках. Высокотемпературная сверхпроводимость. Эффект Джозефсона и его приложения.
20.Жидкие кристаллы. Типы жидких кристаллов: нематики, холестерики,
немектики, примеры жидких кристаллов.
ЭЛЕМЕНТЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ
1. Состав и размеры атомных ядер. Ядерные силы, энергия связи ядер.
2. Магнитные и электрические свойства ядер. Модели ядер.
3. Естественная радиоактивность. Альфа-, бета-, гамма- распады.
4. Прохождение заряженных частиц и гамма излучения через вещество.
СОВРЕМЕННАЯ ФИЗИЧЕСКАЯ
КАРТИНА МИРА.
1. Вещество в экстремальных условиях при сверхвысоких температурах и
давлениях. Металлический водород. Белые карлики, нейтронные звезды,
пульсары.
2. Кварки, элементарные частицы; лептоны, адроны. Взаимодействие
частиц. Сильное, слабое, электромагнитное и гравитационные
взаимодействия. О единстве теории материи. Физическая картина мира,
как философская категория.
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 2
Дисциплина: физика. Факультет РТФ. Специальность 2007.
Дисциплина: физика. Факультет РТФ. Специальность 2007.
1. Уравнение Шредингера для атома водорода (постановка
задачи, ожидаемые результаты).
2. Пространство импульсов. Элементарные ячейки в
пространстве импульсов их связь с электронными
состояниями.
3. Вычислить
импульс
частицы
находящейся
в
потенциальной яме с бесконечными стенками.
4. Сколько атомов приходится на одну элементарную
ячейку в кристаллах с простой, объемно центрированной
и гранецентрированной кубической структурой?
Билет рассмотрен на заседании кафедры “__”_____
Зав. кафедрой
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
1. Решение уравнения Шредингера для угловой части
волновой функции.
2. Функции распределения квантовых состояний в
энергетических зонах.
3. Частица массы m находится в одномерном
потенциальном поле U(x). Найти
уравнение
определяющее возможные значения энергии частицы в
области E<U0
4. Сколько атомов приходится на одну элементарную
ячейку в кристаллах с простой и плотноупакованной
гексагональной структурой?
Билет рассмотрен на заседании кафедры “__”_____
Зав. кафедрой
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 4
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 3
Дисциплина: физика. Факультет РТФ. Специальность 2007.
Дисциплина: физика. Факультет РТФ. Специальность 2007.
1. Момент импульса электрона в атоме, квантовые числа l
,m,n.
2. Функции распределения квантовых состояний на краях
энергетических зон
3. Показать, что идеальной гексагональной структуры с
плотной упаковкой отношение ребер c/a=1,633.
4. Определить суммарную кратность вырождения 3Dсостояния лития. Каков физический смысл этой
величины?
Билет рассмотрен на заседании кафедры “__”_____
Зав. кафедрой
1. Решение уравнения Шредингера для радиальной
части.
2. Квантовая статистика Ферми-Дирака.
3. Частица массы m находится в одномерном
потенциальном поле U(x). Найти минимальное
значение (l2U0) при котором появляется первый
энергетический уровень Е=Е1 ;
4. Вычислить объем элементарной ячейки в кристалле
гексагональной системы с постоянными а и с.
Билет рассмотрен на заседании кафедры “__”_____
Зав. кафедрой
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 5
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 6
Дисциплина: физика. Факультет РТФ. Специальность 2007.
Дисциплина: физика. Факультет РТФ. Специальность 2007.
1. Моменты импульса и магнитные моменты атомов
(момент
импульса
–
основные
понятия,
характеристики).
2. Теплопроводность металлов.
3. Частица массой m и с энергией Е движется слева на
потенциальный
барьер.
Найти
коэффициент
отражения.
4. Определить постоянную кристаллической решетки
алюминия (гранецентрированный куб).
Билет рассмотрен на заседании кафедры “__”_____
Зав. кафедрой
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
1. Моменты импульса и магнитные моменты атомов
(правила сложения моментов импульса).
2. Фононная модель теплопереноса.
3. Частица массой m и с энергией Е движется слева на
потенциальный барьер. Найти эффективную глубину
проникновения частицы в область x>0.
4. Вычислить плотность кристалла бромистого калия,
имеющего простую кубическую структуру с постоянной
а=6,59А.
Билет рассмотрен на заседании кафедры “__”_____
Зав. кафедрой
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 7
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 8
Дисциплина: физика. Факультет РТФ. Специальность 2007.
Дисциплина: физика. Факультет РТФ. Специальность 2007.
1. Моменты импульса и магнитные моменты атомов
(орбитальный магнитный момент электрона).
2. Явление сверхпроводимости, модели
сверхпроводимости.
3. Частица находится в основном состоянии в
одномерной прямоугольной потенциальной яме
шириной l с абсолютно непроницаемыми стенками
(0<x<l). Найти вероятность пребывания частицы в
области (l/3<x<2l/3).
4. Вычислить минимальную длину волны Дебая в
титане, если его характеристическая температура 50С,
а скорость распространения звука 6*103м/с.
Билет рассмотрен на заседании кафедры “__”_____
Зав. кафедрой
1. Моменты импульса и магнитные моменты атомов (
опыты Штерна и Герлаха ).
2. Основные явления и их характеристики в зонах
контакта.
3. Электрон находится в одномерной прямоугольной
потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.
Ширина ямы l. Найти плотность уровней dN/dE, т.е.
число уровней на единичный интервал энергии.
4. Какова максимальная энергия фононов в кристалле
свинца, если его характеристическая температура 940С.
Билет рассмотрен на заседании кафедры “__”_____
Зав. кафедрой
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 9
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 10
Дисциплина: физика. Факультет РТФ. Специальность 2007.
Дисциплина: физика. Факультет РТФ. Специальность 2007.
1. Тонкая структура уровней в атоме водорода.
2. Контактные явления.
3. Найти возможные значения энергии частицы массы m,
находящейся
в
сферически
симметричной
потенциальной яме U(r), U(r)=0 при r=r0, и U(r)= при
r=r0, для случая, когда движение частицы описывается
волновой функцией (r), зависящей только от r.
4. Какова удельная теплоемкость цинка при 100 0С.
Билет рассмотрен на заседании кафедры “__”_____
Зав. кафедрой
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
1. Многоэлектронные атомы (структура электронных
оболочек).
2. Основные явления и их характеристики в зонах
контакта.
3. Волновая функция частицы массы m для основного
состояния в одномерном потенциальном поле U(x)=kx2/2
имеет вид (x)=Aexp(-x2), где А - нормировочный
коэффициент,  - положительная постоянная. Найти 
и энергию Е в этом состоянии.
4. Удельная теплоемкость алюминия при 200С равна
840Дж*кг-1град-1. Выполняется ли при этой температуре
для него закон Дюлонга и Пти.
Билет рассмотрен на заседании кафедры “__”_____
Зав. кафедрой
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 11
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 12
Дисциплина: физика. Факультет РТФ. Специальность 2007.
Дисциплина: физика. Факультет РТФ. Специальность 2007.
1. Правила Хунда.
2. Полупроводники. Элементарные полупроводники.
Зонная модель полупроводников.
3. Оценить с помощью соотношения неопределенностей
Гейзенберга
минимально
возможную
энергию
электрона в атоме водорода и соответствующее
эффективное расстояние его до ядра.
4. Вычислить удельную теплоемкость алмаза при
температуре 300С.
Билет рассмотрен на заседании кафедры “__”_____
Зав. кафедрой
1. Излучение многоэлектронных атомов (оптические
спектры ).
2. Концентрация и подвижность свободных носителей в
полупроводниках.
3. Оценить с помощью соотношения неопределенностей
минимальную кинетическую энергию электрона,
движущегося в области l  1A.
4. При какой концентрации свободных электронов в
кристалле температура вырождения электронного газа
в нем равна 00С?
Билет рассмотрен на заседании кафедры “__”_____
Зав. кафедрой
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 13
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 14
Дисциплина: физика. Факультет РТФ. Специальность 2007.
Дисциплина: физика. Факультет РТФ. Специальность 2007.
1. Излучение многоэлектронных атомов (рентгеновские
спектры, тормозное и характеристическое излучение ).
2. Температурная зависимость проводимости
полупроводников от температуры.
3. Параллельный пучок атомов водорода падает со
скоростью v=1,2 км/с нормально на диафрагму с узкой
щелью за которой на расстоянии l = 1,0 м расположен
экран.
Оценить
с
помощью
соотношения
неопределенностей ширину щели, при которой ширина
изображения ее на экране будет минимальной.
4. Найти разницу энергий в единицах кТ между
электроном, находящимся на уровне Ферми, и
электронами находящимися на уровнях, вероятности
заполнения которых равны 0,2 и 0,8.
Билет рассмотрен на заседании кафедры “__”_____
Зав. кафедрой
1. Закон Мозли.
2. Терморезисторы, типы, основные характеристики.
3. Волновая функция электрона в основном состоянии
атома водорода имеет вид (r)=Aexp(-r/r1), A-const ,r1радиус первой боровской орбитали. Найти: наиболее
вероятное расстояние между электроном и ядром.
4. Вычислить энергию Ферми для алюминия при Т=00С.
Считать, что на каждый атом алюминия приходится
три свободных электрона.
Билет рассмотрен на заседании кафедры “__”_____
Зав. кафедрой
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 15
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 16
Дисциплина: физика. Факультет РТФ. Специальность 2007.
Дисциплина: физика. Факультет РТФ. Специальность 2007.
1. Природа сил взаимодействия в атомах и кристаллах.
2. Равновесные концентрации основных носителей в
чистых полупроводниках.
3. Волновая функция электрона в основном состоянии
атома водорода имеет вид (r)=Aexp(-r/r1), A-const, r1радиус первой боровской орбитали. Найти: среднее
значение кулоновской силы, действующей на электрон.
4. Какова вероятность заполнения электронами в металле
энергетического уровня, расположенного на 0,01 эВ
ниже уровня Ферми, при температуре 180С?
1. Типы связей в молекулах и кристаллах (ионное
взаимодействие ).
2. Равновесные концентрации основных носителей в
примесных полупроводниках.
3. Волновая функция электрона в основном состоянии
атома водорода имеет вид (r)=Aexp(-r/r1), A-const,r1радиус первой боровской орбитали. Найти: среднее
значение потенциальной энергии электрона в поле
ядра.
4. Как и во сколько раз изменится вероятность
заполнения электронами энергетического уровня в
металле, если уровень расположен на 0,01эВ ниже
уровня и температура изменяется от 200 до 3000С?
Билет рассмотрен на заседании кафедры “__”_____
Зав. кафедрой
Билет рассмотрен на заседании кафедры “__”_____
Зав. кафедрой
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 17
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 18
Дисциплина: физика. Факультет РТФ. Специальность 2007.
Дисциплина: физика. Факультет РТФ. Специальность 2007.
1. Типы связей в молекулах и кристаллах (обменное
взаимодействие ).
2. Контакт металл - полупроводник.
3. Вычислить спектральное обозначение термов атома
водорода, электрон которого находится в основном
состоянии с главным квантовым числом n=3.
4. Как и во сколько раз изменится вероятность
заполнения электроном энергетического уровня в
металле, если он расположен на 0,1 эВ выше уровня
Ферми и температура изменяется от 1000 до 300 0С?
Билет рассмотрен на заседании кафедры “__”_____
Зав. кафедрой
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
1. Типы связей в молекулах и кристаллах (Ван-дерВаальсовские силы).
2. Контакт полупроводник- полупроводник.
3. Сколько и каких квантовых чисел J может иметь атом
в состоянии с квантовыми числами s и l соответственно
равными а) 2 и 3, б) 3 и 3, в) 5/2 и 2 .
4. Вычислить
суммарную
кинетическую
энергию
электронов проводимости в 1см3 цезия при 00С.
Билет рассмотрен на заседании кафедры “__”_____
Зав. кафедрой
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 19
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 20
Дисциплина: физика. Факультет РТФ. Специальность 2007.
Дисциплина: физика. Факультет РТФ. Специальность 2007.
1. Типы связей в молекулах и кристаллах (металлическая
связь ).
2. Особенности контактных явлений в зоне контактов
Ме/пп, ПП/пп.
3. Найти максимально возможный полный механический
момент и соответствующее спектральное обозначение
терма атома: а) натрия, валентный электрон которого
имеет главное квантовое число n=4.
4. Исходя из функции распределения электронов
проводимости по энергиям получить функцию
распределения их в металле по скоростям при
температурах Т=00 К и Т. Изобразить примерный вид
графиков этих функций.
Билет рассмотрен на заседании кафедры “__”_____
Зав. кафедрой
1. Кристаллические решетки, виды и типы решеток,
классификация решеток по сингониям, прямая и
обратная решетки.
2. Диффузионная теория выпрямления Мотта.
(Химический барьерный слой).
3. Найти максимально возможный полный механический
момент и соответствующее спектральное обозначение
терма атома: с электронной конфигурацией 1s22p3d.
4. Определить максимальную и средне квадратичную
скорости свободных электронов кальция при Т=0 0 К.
Считать, что на каждый атом кальция приходится два
свободных электрона.
Билет рассмотрен на заседании кафедры “__”_____
Зав. кафедрой
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 21
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 22
Дисциплина: физика. Факультет РТФ. Специальность 2007.
Дисциплина: физика. Факультет РТФ. Специальность 2007.
1. Миллеровы индексы.
2. Диодная теория Бете.
3. Найти возможные мультиплетности  термов типа D2;

P3/2; F1.
4. Определить, какая часть электронов проводимости в
металле при Т=00 К имеет кинетическую энергию
большую чем 0,5Еф.
Билет рассмотрен на заседании кафедры “__”_____
Зав. кафедрой
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
1. Энергетические зоны в кристаллах.
2. P-N переход в равновесном состоянии.
3. Установить какие из ниже перечисленных переходов
запрещены правилами отбора: а) 2D3/2 -> 2P1/2; б) 3P1 ->
3
S1/2; в) 3F3 -> 3P2; г) 4F7/2 -> 4D5/2.
4. Половина всех свободных электронов в металле
обладает кинетическими энергиями большими, чем
некоторая энергия Е. Вычислить величину этой
энергии в долях энергии Ферми.
Билет рассмотрен на заседании кафедры “__”_____
Зав. кафедрой
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 23
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 24
Дисциплина: физика. Факультет РТФ. Специальность 2007.
Дисциплина: физика. Факультет РТФ. Специальность 2007.
1. Электро- и теплопроводность кристаллов.
2. P-N переход в неравновесном состоянии. Инжекция,
экстракция носителей.
3. На сколько подуровней расщепляются в слабом
магнитном поле термы: 3P0; 2F5/2; 4P1/2.
4. Определить температуру, при которой теплоемкость
электронного
газа
будет
равна
теплоемкости
кристаллической решетки лития. Характеристическая
температура лития =4040 К, концентрация свободных
электронов в нем n=4,66*1028 м-3.
Билет рассмотрен на заседании кафедры “__”_____
Зав. кафедрой
1. Движение электронов в кристаллах под действием
внешних полей (адиабатическое приближение).
2. Выпрямление на P-N переходе при постоянном
напряжении.
3. Выписать
спектральные
символы
термов
двухэлектронной системы, состоящей из одного pэлектрона и одного d-электрона.
4. Почему можно утверждать, что кристалл InAs с
собственной проводимостью обладает проводимостью
n-типа.
Билет рассмотрен на заседании кафедры “__”_____
Зав. кафедрой