Загрузил nastyasoboleva01

49

реклама
49. Методика изучения степенной функции.
Данная тема изучается в начале 10 класса и является основой для изучения показательной
и логарифмической функций. В основной школе обучающиеся знакомы с темой «Степень
с натуральным показателем» (7 класс), «Степень с целым показателем» (8 класс), изучены
свойства степени, обучающиеся умеют преобразовывать выражения, содержащие степень.
Также, на уровне основной школы обучающиеся познакомились с такими понятиями
как функция, область определения и область значений функции, свойствами функции.
В 10 классе процесс изучения тем «Степень» и «Функция» расширился. Обучающимся
предложено углубить полученные знания и познакомиться, что же собой представляет
степенная функция в зависимости от показателя р.
Рассмотрение свойств степенных функций и их графиков проводится поэтапно, в
зависимости от того, каким числом является показатель:
1) четным натуральным числом;
2) нечетным натуральным числом;
3) числом, противоположным четному числу;
4) числом, противоположным нечетному числу; 5) положительным нецелым числом;
6) отрицательным нецелым числом.
Обоснования свойств степенной функции не проводятся, они следуют из свойств степени
с действительным показателем.
Например, возрастание функции у = хр на промежутке х 0, где р — положительное
нецелое число, следует из свойства: «Если 0 1 2, р 0, то х1р 2р». На примере степенных
функций учащиеся знакомятся с понятием ограниченной функции, учатся доказывать, как
ограниченность, так и неограниченность функции. Рассматриваются функции,
называемые взаимно обратными. Важно обратить внимание на то, что не всякая функция
имеет обратную. Доказывается симметрия графиков взаимно обратных функции
относительно прямой у = х. Обращается внимание учащихся на отыскание области
определения сложной функции и промежутков ее монотонности. Доказывается теорема о
промежутках монотонности с опорой на определения возрастающей или убывающей
функции, что позволяет изложить суть алгоритма доказательства монотонности сложной
функции. Учащиеся знакомятся с дробно-линейными функциями. В основной школе
учащиеся учились строить график функции у = и графики функций, которые
получались сдвигом этого графика. Выделение целой части из дробно-линейного
выражения приводит к знакомому учащимся виду функции. Умение применять
определение модуля при решении уравнений и неравенств, содержащих знак модуля.
Использование схем равносильных переходов. Рассмотрение равносильности уравнений,
неравенств и систем уравнений и свойств равносильности проводится в связи с
предстоящим изучением иррациональных уравнений и неравенств. Основным методом
решения иррациональных уравнений является возведение обеих частей уравнения в
степень с целью перехода к рациональному уравнению-следствию данного. При решении
уравнений с параметром следует обратить внимание, что при записи ответа следует
рассматривать все допустимые значения параметра. С помощью графиков решается
вопрос о наличии корней и их числе, а также о нахождении приближенных корней, если
аналитически решить уравнение трудно. Иррациональные неравенства не являются
обязательными для изучения всеми учащимися. При их изучении основным способом
решения является сведение неравенства к системе рациональных неравенств,
равносильной данному неравенству. [5]
Основные понятия в теме «Степенная функция».
Функция вида у = хр, где р – заданное действительное число, называется степенной
функцией. [6]
Свойства и график степенной функции зависят от свойств степени с действительным
показателем, и в частности от того, при каких значениях х и р имеет смысл степень хр.
Обычно указывают следующие свойства:
1.Область определения - все значения которые принимает аргумент х.
2.Область значений (множество значений) - все значения, которые принимает функция у.
3.Четность, нечетность функции. Графическая иллюстрация четной, нечетной функции:
симметрия относительно Ох, Оу. Аналитическая запись свойства четности, нечетности: х
ϵ R, f(x)= f(-x); f(x)=- f(x).
4.Промежутки возрастания и убывания функции: большему значению аргумента
соответствует большее (меньшее) значение функции.
5.Промежутки знакопостоянства: у 0, y
Новыми для изучения в 10-11 классах являются следующие определения.
Определение 1. Функция у = f(х), определенная на множестве Х, называется ограниченной
снизу на множестве Х, если существует число а такое, что для любого х ϵ Х выполняется
неравенство f(х) ≥ а. [6]
Пример:
Определение 2. Функция у = f(х), определенная на множестве Х, называется ограниченной
сверху на множестве Х, если существует число А такое, что для любого х ϵ Х выполняется
неравенство f(х) ≤ А.
Пример:
Определение 3. Функцию, ограниченную и сверху, и снизу на множестве Х,
называют ограниченной на этом множестве.
Пример:
Учебное пособие А. Г. Мордковича
Взяв учебный методический комплекс с седьмого по девятый класс по А. Г.
Мордковичу, рассматривается раскрытие функциональной линии. Так как тема курсовой
«Степенная функция», то для рассмотрения понадобятся только те главы, которые связаны
с ней [1].
Степенная функция в математике, по мнению автора, - это уравнение вида y  x n ,
где n (показатель степени)некоторое вещественное число. Показатель степени может
принимать такие значения как: натуральные, чётные или нечётные, отрицательные или
положительные, рациональные или иррациональные [1].
Автор учебника, объясняет, что кроме линейной функции существуют и другие,
например, когда показатель степени равен двум. Это первая степенная функция, с которой
знакомятся учащиеся седьмого класса, имеющая вид y  x 2 , рассматриваемая на всей
координатной плоскости.
Уравнение данного вида является параболой. Для наглядности параболы автор
предлагает построить функцию по найденным точкам. По построенному графику
(парабола) предлагается описать его геометрическими свойствами. Во-первых, парабола,
как показано на графике, обладает симметричностью, так как ось у в данном случае
является осью симметрии. Во-вторых, O y делит параболу на две части, и эти части обычно
называют ветвями параболы. В-третьих, у параболы есть особенная точка, называемая
вершиной параболы, в которой смыкаются ветви. В-четвёртых, переход от ветвей к
вершине параболы должен быть плавным.
Затем пробуем описать свойства функции по данному графику. Во-первых,
замечаем, что y  0 при x  0 , y  0 при x  0 и наоборот. Во-вторых, отмечаем, что
y наим  0 , а y наиб не существует, так как оно бесконечно большое. В-третьих, видим, что на
промежутке  ;0 функция убывает, а на промежутке 0; функция возрастает. Далее
приводится примеры, которые направлены на построение графиков по указанным
условиям, а также на поиск наименьшего и наибольшего значения функции [2].
Ветви параболы могут быть направлены вниз, так как перед независимой
переменной х может стоять отрицательный коэффициент, и, наоборот, ветви параболы
могут быть направлены вверх, так как перед независимой переменной х может стоять
положительный коэффициент.
В восьмом классе перед изучением следующей степенной функции предлагается
понятие квадратного корня. В этой теме учащиеся изучают таблицу квадратов, которая в
бедующем является вспомогательным элементом. Затем вводятся множества таких чисел,
как: множество иррациональных чисел и множество действительных чисел.


После изученного материала вводится функция вида y  n x y  x1 / n . Также, как и
в седьмом классе, предлагается для наглядного представления данной функции построить
график. В итоге построения видно, что данный график является ветвью параболы. Опираясь
на полученный график, описываются следующие свойства функции: во-первых, область
определения функции – луч 0; ; во-вторых, y  0 при x  0 , y  0 при x  0 ; в-третьих,
на промежутке 0; функция возрастает; в-четвертых что y наим  0 , а y наиб не существует,
так как оно бесконечно большое; в-пятых, y 
x – функция непрерывная. Далее
рассматриваются примеры и их решения, после которых указываются замечания [2].
В девятом классе происходит знакомство с такими функциями, как: y  x n n    ,
3
y  x  n n    , y  x . Так как ранее была разобрана теория по степеням, материал не
разбирается. Сразу предложены задачи, предполагается, что преподаватель сам объясняет
тему [2].
Таким образом, основными характеристиками в учебном пособии А.Г. Мордковича
являются: логически-структурированный материал, готовые алгоритмы, разделение на две
части (практическая, теоретическая), преобладание проблемного подхода.
Учебное пособие М.Ю. Колягина
В учебном пособии Ю.М. Колягина рассмотрение степенной функциональной линии
начинается с восьмого класса.
В начале автор предлагает учащимся познакомится с квадратичной функцией. Он
вводит её определение, приводя примеры из физики, геометрии и других наук, связанных с
математикой. После теоретической части автор разбирает различные задачи.
В следующем параграфе учащимся предлагается сравнить
y  x2 и
y  a  x2
графическим способом. Автор вводит определение параболы, так как графиками данных
функций является парабола. С помощью материала предыдущих параграфов учащиеся
изучают свойства функции y  a  x 2  b  x  c . После изучения свойств автор знакомит с
алгоритмом построения данной функции. В конце главы приложены упражнения для
закрепления данной темы [3].
В девятом классе автор подводит учащихся к выводу, что функции в виде y  x n n   
и есть степенная функция. В параграфах рассказывается о следующих свойствах функции:
область определения и область значений, убывание и возрастание, чётность и нечётность.
После каждого свойства приведены примеры. В следующем параграфе автор знакомит
учащихся с графиком гипербола, а также её свойствами. В конце главы приложены задания
на обобщение темы [3].
Таким образом, в учебном пособии Ю.М. Колягина проявляются следующие
характеристики: индивидуальный подход (от частного к общему), изучение степенной
функциональной линии начинается с 8 класса, применяется деятельностный подход в
обучении (т. е. материал в рубриках), в конце каждой главы приводится перечень
изученных новых понятий, формул, алгоритмов и способов действий.
Правила дифференцирования
Пусть u=u(x), v=v(x), w=w(x) – некоторые функции, с – некоторое число, тогда:
(с·u)`=c·u`(постоянный множитель можно выносить за знак производной);
(u+v-w)`=u`+v`-w`(производная суммы (разности) функций равна сумме (разности)
производных этих функций);
(u·v)`=u`·v+u·v`(производная произведения);
Начнем со степенных уравнений. Для их решения нам понадобится следующее
утверждение: если
значения . Для них, если
, то
для всех действительных . Исключение – четные
, то
или
.
Это легко увидеть, построив графики левой и правой частей равенства. Для всех
показателей степени , каждому значению функции
аргумент (см. рис. 1).
соответствует ровно один
Рис. 1. Для всех показателей степени , каждому значению функции
ровно один аргумент
соответствует
Таким образом, если значения функции равны, то равны и аргументы. Исключение – четные
значения . По графику видим, что каждому значению функции соответствует два
противоположных значения аргумента (см. рис. 2). И если значения функций равны, то их
аргументы или равны, или противоположны.
Рис. 2. При четных
значения аргумента
каждому значению функции соответствует два противоположных
Идея решения степенных уравнений: представить левую и правую части как степени с
одинаковым показателем. И затем использовать указанное ранее свойство.
Задание 1. Решить уравнение:
Решение.
Слева третья степень, представим правую часть как третью степень выражения:
Получаем:
Показатели равны, это нечетные числа. Поэтому можем сказать, что равны и основания:
Получили линейное уравнение:
Ответ:
.
Как видите, используя указанное свойство мы свели решение нашего уравнения к тому,
которое мы уже умеет решать. В дальнейшем мы будем подробно останавливаться лишь на
первой части решения – сведению уравнения к линейному, квадратному или любому
другому, алгоритм решения которых вы уже знаете.
Сформулируем общий алгоритм решения степенных уравнений:
1. указать ОДЗ уравнения, для отрицательных степеней – основание не равно , для
нецелых степеней – основание больше либо равно нулю;
2. представить уравнение в виде
степени;
, при необходимости использовать свойства
3. записать следствие:
или
для четных значений ;
для всех остальных степеней;
4. решить полученное уравнение и сверить ответы с ОДЗ.
Ознакомление учащихся с показательной и логарифмической функциями начиная с
изучения свойств степеней и логарифмов.
Курс алгебры знакомит учащихся с понятием степени с рациональным показателем.
Таким образом для любого основания степени
(где
,
) можно построить
функцию:
,
, область определения которой – множество действительных чисел.
Необходимо ввести определение степени с иррациональным показателем. Используемое
свойство степени с основным, например, большим единицы (возрастании), рациональное
приближение иррационального числа α: r1< α< r2. Исходя из графического изображения
зависимости показателя степени и значения степени, показывается, что найдется такое
значение y, которое будет наибольшим среди всех ar1 и наименьшим среди всех ar2 ,
которое можно считать значением aα.
Затем формируется определение показательной функции: функция, заданная формулой
y=ax ( , ), называется показательной функцией с основанием a, и формулируемые основные
свойства: D(ax)=R; E(ax)=RТ; ax возрастает при a>1 и ax убывает при 0<a<1; напоминаются
основные свойства степеней. Т.о. показательная функция есть систематизация, обобщение
и расширение знаний учащихся о свойствах степени.
Логарифмическая функция – новый математический объект для учащихся. К понятию
логарифма учащихся подводят в процессе решения показательного уравнения ax=b в том
случае, если b нельзя представить в виде степени с основанием a. Наше уравнение в
случае b>0 имеет единственный корень, который называют логарифмом b по основанию a
и обозначают logab, т.е. alogab=b. Одновременно с введением нового понятия учащиеся
знакомятся с основным Логарифмическим тождеством. При работе с логарифмами
применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции:
При любом ( ) и любых положительных x и y, выполнены равенства:
1. loga1=0
2. logaa=1
3. logaxy= logax+ logay
4. logax/y= logax- logay
5. logaxp= plogax
Изучение логарифмической функции начинается с выделения определения: функцию,
заданную формулой
называют логарифмической функцией с основанием .
Основные свойства выводится из свойств показательной функции:
1.
2.
,
,
3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при a>1) или
убывает (при 0<a<1).
Покажем, что при a>1 возрастает. Пусть
что:
функция
и
. Допустим противное, т.е. что
, надо доказать,
. Т.к. показательная
при a>1 возрастает, то из неравенства следует:
что противоречит выбору
. Следовательно: и функция при a>1 – возрастает.
Т.к. при a>1 функция возрастает, то логарифмическая функция положительна при x>1 и
отрицательна для 0<x<1 (для основания 0<a<1 – наоборот). На основании рассмотренных
свойств строится график этой функции.
,
Скачать