kairova1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
(ФГБОУ ВО «АлтГПУ»)
Л.А. Каирова
Методика преподавания математики
в начальной школе
Учебно-методическое пособие
БАРНАУЛ
2017
1
ББК 373.5.016:51(075)
УДК 74.262.21-243я73
К155
Каирова, Л.А.
Методика преподавания математики в начальной школе :
учебно-методическое пособие / Л.А. Каирова. – Барнаул : АлтГПУ,
2017. – 166 с.
Рецензент:
Тимошенко А.Ю., кандидат педагогических наук, доцент (Алтайский государственный педагогический университет)
Учебно-методическое пособие призвано помочь студентам в
освоении основных теоретических положений курса, в совершенствовании соответствующих методических умений, формировании
методического мышления и компетенций.
Учебно-методическое пособие по дисциплине «Методика
преподавания математики в начальной школе» предназначено для
студентов 3-го курса дневного отделения, обучающихся по направлению 44.03.01 «Педагогическое образование» по профилю
«Начальное образование» (прикладной бакалавриат).
Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом АлтГПУ 20.04.2017 г.
©Алтайский государственный
педагогический университет, 2017
Введение
На современном этапе развития начального образования
происходят существенные изменения. Они связаны, прежде всего,
с реализацией требований, отраженных в Федеральном государственном образовательном стандарте начального общего образования (ФГОС НОО) и Концепции развития математического образования в Российской Федерации. Современные требования выдвигают новую задачу, связанную не только с усвоением учащимися
содержания конкретных учебных предметов, но и формированием
у них коммуникативных, регулятивных, познавательных универсальных учебных действий. Таким образом, методическая подготовка будущих учителей начальных классов должна обеспечить
готовность студента к воспитанию и развитию младших школьников в процессе обучения математике.
Данное пособие по дисциплине «Методика преподавания
математики в начальной школе» рассчитано на студентов 3-го курса дневного отделения, обучающихся по направлению 44.03.01
«Педагогическое образование» по профилю «Начальное образование» (прикладной бакалавриат). В нем представлен примерный
вариант содержания курса. Пособие включает теоретические сведения и положения, содержание практических и лабораторных занятий, задания для контрольных работ и вопросы зачетов и экзаменов. Материалы практического занятия содержат вопросы для
обсуждения, необходимые для актуализации и обобщения основных теоретических положений. Также в содержание подготовки к
занятиям входят методические задания для самостоятельной работы студентов, неотъемлемой частью которых являются серии методических задач, наиболее эффективно обеспечивающих формирование соответствующих методических умений. Предложенный в
каждом практическом занятии перечень литературы и ссылки на
электронные ресурсы позволят студентам освоить необходимое
содержание и повысить уровень методической подготовки. В пособие включены технологические карты, необходимые для организации модульно-рейтинговой системы оценивания результатов.
3
3 КУРС. 5 СЕМЕСТР
Раздел 1
Общие вопросы методики обучения математике
в начальной школе. Методика изучения
нумерации целых неотрицательных чисел
Основная литература
1. Белошистая, А. В. Методика обучения математике в
начальной школе : курс лекций / А. В. Белошистая. – Москва :
Владос, 2005. – 455 с.
2. Белошистая, А. В. Методика обучения математики в
начальной школе. Курс лекций [Электронный ресурс] : учебное
пособие для студентов педагогических вузов / А. В. Белошистая –
Москва : ВЛАДОС, 2011. – 456 с. – Электрон. версия печ. публ. –
Режим доступа: http://www.biblioclub.ru/book/116490/.
3. Истомина, Н. Б. Методика обучения математике в начальной школе: развивающее обучение : учебное пособие /
Н. Б. Истомина. – Смоленск : Ассоциация XXI век, 2009. – 286 с. –
Электрон.
версия
печ.
публ.
–
Режим
доступа:
http://biblioclub.ru/index.php? page=book&id=55782.
4. Истомина, Н. Б. Практикум по методике обучения математике в начальной школе: развивающее обучение / Н. Б. Истомина,
Ю. С. Заяц. – Смоленск : Ассоциация XXI век, 2009. – 144 с. –
Электрон.
версия
печ.
публ.
–
Режим
доступа:
http://biblioclub.ru/index.php?page= book&id=55788.
5. Тихоненко, А. В. Теоретические и методические основы
изучения математики в начальной школе: учебное пособие /
А. В. Тихоненко. – Ростов-на-Дону : Феникс, 2008. – 350 с.
6. Царёва, С. Е. Методика преподавания математики в
начальной школе : учебник для студ. учреждений высш. образования / С. Е. Царёва. – Москва : Академия, 2014. – 496 с.
4
ТЕМА 1
Современный стандарт начального общего образования (ФГОС НОО). Цели и задачи обучения математике.
Принципы построения содержания начального курса
математики (НКМ)
Теоретические сведения
С 2011–2012 учебного года во всех школах России введен Федеральный государственный образовательный стандарт начального
общего образования (ФГОС НОО) (утвержден приказом от
6 октября 2009 года № 373 (зарегистрирован Минюстом России
22 декабря 2009 года № 15785). Основу стандарта составил системно-деятельностный подход, который ориентирует начальную
школу не только на изучение предметного содержания, но и на достижение метапредметных результатов – умения учиться, познавательных и коммуникативных умений.
В соответствии с примерной программой по математике основными целями изучения данного предмета стали:
 математическое развитие младшего школьника – формирование способности к интеллектуальной деятельности (логического и знаково-символического мышления), пространственного
воображения, математической речи; умение строить рассуждения,
выбирать аргументацию, различать обоснованные и необоснованные суждения, вести поиск информации (фактов, оснований для
упорядочения, вариантов и др.);
 освоение начальных математических знаний – понимание
значения величин и способов их измерения; использование арифметических способов для разрешения сюжетных ситуаций; формирование умения решать учебные и практические задачи средствами
математики; работа с алгоритмами выполнения арифметических
действий;
 воспитание интереса к математике, стремления использовать математические знания в повседневной жизни.
5
Результаты обучения математике
Личностные
• готовность ученика целенаправленно использовать знания в учении и
в повседневной жизни для исследования математической сущности предмета (явления, события, факта);
• познавательный интерес к математической науке.
Метапредметные
• способность анализировать учебную ситуацию с точки зрения математических характеристик, устанавливать количественные и пространственные отношения объектов окружающего мира, строить алгоритм
поиска необходимой информации, определять логику решения практической и учебной задачи;
• умение моделировать – решать учебные задачи с помощью знаков
(символов), планировать, контролировать и корректировать ход решения учебной задачи.
Предметные
• освоенные знания о числах и величинах, арифметических действиях,
текстовых задачах, геометрических фигурах;
• умения выбирать и использовать в ходе решения изученные алгоритмы, свойства арифметических действий, способы нахождения величин,
приемы решения задач,
• умения использовать знаково-символические средства, в том числе
модели и схемы, таблицы, диаграммы для решения математических задач.
К основным разделам начального курса математики (НКМ)
относятся:
 «Числа и величины»,
 «Арифметические действия»,
 «Текстовые задачи»,
 «Пространственные отношения. Геометрические фигуры»,
 «Геометрические величины»,
 «Работа с информацией (данными)».
Дополнительно авторами могут быть выделены и другие разделы (например, алгебраический материал).
6
Содержание может быть выстроено в соответствии с различными принципами: концентрическим (в каждом следующем концентре мы возвращаемся к уже изученному материалу, но переносим полученные знания на новые понятия), тематическим (позволяет сориентировать курс на усвоение системы понятий и общих
способов действий, каждая следующая тема органически связана с
предыдущей, повторение ранее изученного идет на более высоком
уровне, в процессе обобщения).
Рекомендуемая литература
1. Как проектировать универсальные учебные действия в
начальной школе. От действия к мысли : пособие для учителя / под
ред. А. Г. Асмолова. – Москва : Просвещение, 2010. – 151 с.
2. Математика : программа 1–4 классы. Поурочно-тематическое планирование: 1 класс / Н. Б. Истомина. – Смоленск : Ассоциация XXI век, 2013. – 160 с.
3. Математика. Рабочие программы. 1–4 классы : пособие для
учителей общеобразовательных учреждений / М. И. Моро,
М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова и др. – Москва : Просвещение,
2011. – 92 с.
4. Примерная основная образовательная программа образовательного учреждения. Начальная школа / под ред. Е. С. Савинова. –
Москва : Просвещение, 2010.– 192 с.
5. Примерные программы по учебным предметам. Начальная
школа : в 2 ч. – Москва : Просвещение, 2010. – Ч. 1. – 400 с.
6. Федеральный государственный образовательный стандарт
начального общего образования обучающихся с ограниченными
возможностями здоровья [Электронный ресурс]. – Режим доступа:
http://минобрнауки.рф/
Вопросы для самоконтроля
1. В каких нормативных документах зафиксированы цели и
содержание начального курса математики?
2. Каковы цели изучения математики в начальной школе?
3. В соответствии с какими принципами может быть построено содержание начального курса математики (НКМ)?
7
4. Какова структура рабочей программы по математике в соответствии с требованиями ФГОС НОО?
5. Каковы основные разделы НКМ?
6. Какими универсальными учебными действиями в соответствии с программой по математике должен овладеть младший
школьник?
Задания для самостоятельной работы
1. Выделите в тексте ФГОС задачи изучения предметной области «Математика и информатика».
2. Обозначьте цели изучения математики в начальной школе
в программах М.И. Моро и Н.Б. Истоминой. Сравните их формулировки (приложение 1 и приложение 2).
3. Приведите примеры понятий и способов действия (по 2–3),
соответствующих основным разделам начального курса математики. Заполните таблицу:
Раздел
Способы действия,
алгоритмы
Понятие
4. Выделите основные результаты обучения математике в
программах Н.Б. Истоминой и М.И. Моро: личностные, метапредметные и предметные. Чем они похожи? Чем отличаются?
5. Выполните сравнительный анализ программ обучения математике Н.Б. Истоминой и М.И. Моро с точки зрения содержания
основных разделов. Как представлен в данных программах раздел
«Работа с информацией»?
6. Выделите основные отличительные особенности методической концепции Н.Б. Истоминой, указанные в программе и проиллюстрируйте их на примерах.
7. Приведите примеры универсальных учебных действий, которые можно сформировать у учащихся при изучении математики.
8
ТЕМА 2
Учебник как основное средство обучения математике
Теоретические сведения
Учебник является основным средством обучения математике
младших школьников. С помощью учебника на методическом
уровне реализуются основные цели и задачи курса, а также особенности методической концепции автора программы.
К основным функциям учебника относят: информационную,
трансформационную, систематизирующую, функцию закрепления
и самоконтроля, интегрирующую, воспитательную, координирующую и др.
В структуре учебника принято выделять две основные группы
компонентов: текст и внетекстовые компоненты. Текстовый материал может быть основным (определения, законы, свойства арифметических действий), дополнительным (обращение, справочный
материал) и пояснительным (примечание, словари). Внетекстовые
компоненты представлены в учебниках математики для начальной
школы в гораздо большем объеме, чем текст. Они направлены на
усвоение определенной информации, организацию познавательной
деятельности, формирование математических умений и навыков.
Среди внетекстовых компонентов можно выделить:
1. Аппарат организации усвоения (вопросы и задания, упражнения, памятки, инструктивный материал и др.).
2. Иллюстративный материал (предметные, сюжетные иллюстрации, чертежи, схемы, графики и др.).
3. Аппарат ориентировки (оглавление, предисловие, рубрикация, колонтитул, библиографический указатель и др.)
Современные учебники математики, используемые в начальной школе, должны обязательно входить в Федеральный перечень
учебников, рекомендованных Министерством образования РФ,
который ежегодно публикуется на соответствующем сайте. Они
проходят экспертизу на соответствие Федеральному государственному образовательному стандарту начального общего образования
и санитарным требованиям.
9
Рекомендуемая литература
1. Зуев, Д. Д. Школьный учебник. / Д. Д. Зуев. – Москва :
Просвещение, 1983. – 87 с.
2. Волкова, С. И. Математика. 1 класс : методические рекомендации / С. И. Волкова, М. А. Бантова. – Москва : Просвещение,
2014. – 112 с.
3. Истомина, Н. Б. К вопросу о развивающем учебнике математики для начальных классов / Н. Б. Истомина, М. К. Дукарт //
Начальная школа. – 2000. – № 2. – С. 17–23.
4. Моро, М. И. О комплекте учебных и учебно-методических
пособий по математике для начальных классов школы /
М. И. Моро // Начальная школа. – 2003. – № 2. – С. 52–64.
5. Шмырева, Г. Г. Учебник по математике как важнейшее средство практической реализации новых образовательных технологий /
Г. Г. Шмырева // Начальная школа. – 2003. – № 2. – С. 14–19.
6. Приказ об утверждении федерального перечня учеников, рекомендованных на 2013–2014 уч. год [Электронный ресурс]. – Режим
доступа: – http://минобрануки.рф/документы/2873.
Вопросы для самоконтроля
1. Какие основные функции реализует школьный учебник?
2. Какова структура учебника, его основные компоненты?
3. Каким требованиям должен удовлетворять современный
учебник математики для начальной школы?
Задания для самостоятельной работы
1. Выпишите характеристику основных функций учебника.
Укажите степень их реализации в учебниках «Математика» для
начальной школы – авторы М.И. Моро и Н.Б. Истомина.
2. Изобразите в виде схемы структуру учебника (по
Д.Д. Зуеву).
3. Найдите примеры текстовых и внетекстовых компонентов
в учебниках математики для начальной школы. Объясните, почему
одна группа компонентов доминирует?
4. Опишите основные особенности построения учебника математики М.И. Моро. Сравните эти особенности с учебником
Н.Б. Истоминой.
10
5. Составьте беседу с учащимися по предметной и сюжетной
иллюстрациям учебника математики. Сформулируйте цели беседы.
6. Сравните формулировку учебных заданий в учебниках
М.И. Моро и Н.Б. Истоминой. Разработайте вариант организации
деятельности учащихся при выполнении одного из упражнений.
7. Выпишите (отксерокопируйте) план анализа развивающего
учебника, предлагаемый Н.Б. Истоминой и М. Дукарт [3]. Выполните анализ учебника для определенного класса по предложенному
плану.
8. Напишите эссе на тему «Каким должен быть современный
учебник математики для начальной школы?»
ТЕМА 3
Методика изучения нумерации целых
неотрицательных чисел.
Методика изучения нумерации однозначных чисел
Теоретические сведения
При формировании понятия целого неотрицательного числа
учащиеся усваивают его теоретико-множественный смысл, в соответствии с которым натуральное число рассматривается как общее
свойство класса конечных равномощных множеств, а число нуль –
как число элементов пустого множества.
Целесообразность использования теоретико-множественного
подхода в качестве ведущего объясняется рядом причин:
 предоставляется возможность опираться на личный опыт ребенка, в частности, операциональный, то есть опыт «делания» или
опыт выполнения практической, «ручной», предметно-манипулятивной деятельности;
 соответствующие манипуляции с предметными совокупностями менее трудоемки и громоздки, легко поддаются контролю и
коррекции, что позволяет заложить фундамент для правильных
умственных действий.
При изучении величин и способов их измерения дети рассматривают натуральное число как измерения величин, что позволяет в
перспективе перейти к получению любого действительного числа.
11
Выстраивая отрезок натурального ряда, учащиеся постепенно знакомятся с некоторыми свойствами, описанными в аксиоматической
теории. Таким образом, в программах отражены различные подходы к определению натуральных чисел, что способствует формированию у младших школьников соответствующих понятий.
Изучение нумерации может быть построено по-разному. В программе М.И. Моро выделяются концентры: «Десяток», «Сотня», «Тысяча», «Числа, большие 1000». В программе Н.Б. Истоминой изучение
чисел построено в соответствии с тематическим принципом (темы:
«Однозначные числа», «Двузначные числа» и т. д.).
В изучении нумерации однозначных чисел выделяется два этапа, что объясняется необходимостью формирования у первоклассников тех базовых понятий (множество, счет), через которые и определяется натуральное число – как число элементов в множестве А, получаемое при счете, и как общее свойство класса конечных равномощных множеств. Следовательно, в подготовительный период
необходимо сформировать у учащихся представления о непустом
множестве как некоторой совокупности предметов, умения пересчитывать элементы множества и выполнять некоторые операции (операцию объединения, дополнения, вычитания множеств). Поскольку
при построении отрезка натурального ряда чисел учащиеся упорядочивают числа, то в подготовительный период они должны научиться
выделять последовательность предметов, упорядочивать их в соответствии с требованием. Основным моментом с этот период является
ознакомление с правилами счета и со способом сравнения множеств
по числу составляющих элементов.
Изучение чисел, независимо от того, знакомятся ли дети с
каждым отдельным числом или отрезком натурального ряда, предполагает выполнение ряда учебных действий:
 Выделяются предметные совокупности, которые характеризуются одним и тем же натуральным числом. Осуществляется счет
предметов данной совокупности.
 Выделяется общее свойство всех предметных совокупностей – количество; в соответствие ставится число как результат
счета: количество треугольников, деревьев, кругов одинаково – 3.
 Ознакомление с цифрой как специальным знаком для обозначения числа. Тренировка в записи цифры, используемой для
обозначения числа.
12
 Построение отрезка натурального ряда чисел. Определение
места каждого числа в натуральном ряду. Изучение свойств натурального ряда чисел.
 Сравнение чисел.
 Выделение состава числа.
Рекомендуемая литература
1. Вапняр, Н. Ф. Число и цифра. К вопросу о терминологии /
Н. Ф. Вапняр, А. Л. Чекин // Начальная школа. – 1991. – № 8. –
С. 77–81.
2. Волина, В. В. Праздник числа / В. В. Волина – Москва :
Знание, 1993. – 74 с.
3. Григорьева, Ж. В. Развитие визуального мышления первоклассников на первых уроках математики / Ж. В. Григорьева //
Начальная школа. – 2011. – № 8. – С. 45–49.
4. Иванова, Т. И. Моделирование состава чисел в пределах
10 / Т. И. Иванова // Начальная школа. – 2004. – № 10. – С. 15–19.
5. Истомина, Н. Б. Комплект наглядных пособий по математике. 1 класс / Н. Б. Истомина. – Москва : Линка-Пресс. 2009. –
64 с.
6. Карпушина, Н. А. Учитывать индивидуальные особенности
детей / Н. А. Карпушина // Начальная школа. – 2000. – № 2. –
С. 22–27.
7. Король, Я. А. Изучение нумерации чисел (игровые ситуации для шестилеток) / Я. А. Король, Я. Р. Король // Начальная
школа. – 1987. – № 9. – С. 64–66.
8. Кушнерук, Е. Н. Наглядные пособия по нумерации чисел /
Е. Н. Кушнерук // Начальная школа. – 1998. – № 9. – С. 34–36.
9. Минскин, Е. М. От игры к знаниям / Е. М. Минскин. –
Москва : Просвещение, 1987. – 93 с.
10. Ордынкина, И. С. Урок математики в 1 классе /
И. С. Ордынкина // Начальная школа. – 2001. – № 4. – С. 33–35.
11. Шадрина, И. В. Содержание подготовительной работы к
изучению чисел / И. В. Шадрина // Начальная школа. – 1991. –
№ 8. – С. 28–36.
13
Вопросы для самоконтроля
1. Какие математические подходы к определению натурального числа являются ведущими в учебнике М.И. Моро? В учебнике
Н.Б. Истоминой? Почему?
2. Какие знания, умения и навыки должны быть сформированы у
учащихся в дочисловой и числовой периоды изучения нумерации?
3. Каковы основные направления в организации подготовительного периода к изучению чисел? На какой личный опыт может опираться учитель, организуя деятельность учащихся в подготовительный
период? Как этот опыт должен обогащаться и корректироваться?
4. Что значит «сознательный счет» и «механический счет»?
Какие приемы необходимо использовать для формирования у учащихся умения выполнять «сознательный счет»?
5. В чем преимущества и недостатки методического подхода, в
соответствии с которым изучение нумерации чисел основано на последовательном рассмотрении отрезков натурального ряда чисел? В
какой последовательности происходит изучение каждого отрезка?
6. В чем отличия в изучении нумерации однозначных чисел в
программах М.И. Моро и Н.Б. Истоминой?
7. Какие приемы помогут младшим школьникам дифференцировать понятия «число» и «цифра»?
8. Каковы основные этапы обучения написанию цифры?
9. Какие универсальные учебные действия должны быть
сформированы у учащихся, которые в дальнейшем позволят ему
более успешно овладевать математическим материалом?
Задания для самостоятельной работы
1. В математической теории существуют различные подходы к
определению натурального числа. Какие из этих подходов отражены в учебниках математики М.И. Моро, Н.Б. Истоминой? Данные
занесите в таблицу.
Основные
понятия,
свойства,
способы действий
Трактовка понятий,
свойств, способов
действий в математике
14
Трактовка понятий,
свойств, способов
действий
в начальном курсе
математики
2. Какой подход к определению натурального числа является
ведущим? Подберите из учебника Н.Б. Истоминой и М.И. Моро
задания, позволяющие младшим школьникам осознать сущность
данного подхода.
3. Определите границы подготовительного этапа в изучении
нумерации чисел (до введения терминов «число» и «цифра») в
учебниках Н.Б. Истоминой и М.И. Моро. Какими темами он представлен? Обоснуйте необходимость изучения данных вопросов на
подготовительном этапе.
4. Укажите, какие признаки предметов выделяют учащиеся
на подготовительном этапе. С какой целью? Приведите примеры
2–3 упражнений.
5. Приведите пример 1-го задания с использованием комплекта наглядных пособий Н.Б. Истоминой [7] для формирования умения выделять различные признаки предметов, сравнивать и классифицировать по данным признакам.
6. Сформулируйте, пользуясь учебником математики для 1-го
класса, по 2 задания, которые можно использовать:
 для формирования навыка счета (прямая последовательность
чисел) и воспроизведения чисел в обратной последовательности;
 для усвоения отношений «больше», «меньше», «равно»;
 для формирования представлений о количественном, порядковом числе и взаимосвязи между количественными и порядковыми числами;
 для формирования пространственных (в том числе геометрических) и временных представлений.
7. Сформулируйте задания к данному рисунку, которые целесообразно предложить детям для формирования у них навыков
счета и развития умения классифицировать по разным признакам.
15
8. Какие из приведенных ниже заданий учитель сформулировал некорректно? Почему?
А. Посчитайте от 1 до 9.
Б. Посчитайте от 9 обратно.
В. Назовите числа от одного до девяти по порядку.
Г. Назовите числа от девяти в обратном порядке.
Д. Посчитайте от трех и дальше…
Е. Назовите цифры по порядку.
9. Какие способы установления взаимно однозначного соответствия могут использовать первоклассники при знакомстве с отношениями «больше», «меньше», «столько же». Приведите примеры для каждого способа.
10. Определите цели предложенных заданий (учебник 1 класса Н.Б. Истоминой). Какие метапредметные результаты обучения
математике могут быть достигнуты с их помощью?
16
11. Сравните методические приемы, используемые для введения понятий «число» и «цифра» в учебниках М.И. Моро и
Н.Б. Истоминой.
12. При изучении кого понятия и с какой целью учитель предложил ученикам 1-го класса задание: «Выбери ряд чисел, которым
можно воспользоваться при счете предметов:
 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 8
 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1
 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9».
Опишите организацию деятельности учащихся при выполнении этого задания.
13. Составьте различные варианты беседы на всех этапах изучения отрезка натурального ряда:
 образование натурального числа;
 ознакомление с цифрой, используемой для записи числа;
 определение места числа в натуральном ряду;
 сравнение чисел разными способами;
 выделение состава числа.
14. Используя литературу, определите перечень наглядных
средств, которые необходимы при изучении нумерации. Составьте
таблицу.
Этапы изучения нумерации
1. Получение натурального числа
2. Ознакомление с цифрами
3. Получение отрезка натурального ряда от 1 до
10
4. Установление соответствия между множеством, числом и цифрой
17
Перечень
наглядных средств
5. Усвоение принципа построения отрезка натурального ряда чисел
6. Усвоение способов сравнения чисел
7. Выделение и усвоение состава числа
15. Подберите дидактические игры, упражнения, стихи о цифрах, которые можно использовать с целью:
 формирования навыков счета;
 усвоения принципа образования натурального ряда чисел
от 1 до 10;
 формирования умения сравнивать числа;
 усвоения состава чисел.
16. Пропишите на отдельном листке показ каллиграфического
изображения цифр по 3 строчки для каждой цифры (форзац учебника М.И. Моро).
17. Укажите причины некорректного употребления учителем и
учащимися терминов число и цифра:
 Расположить цифры в порядке возрастания.
 Цифра 3 больше цифры 2, так как при счете называется
раньше.
 Число семь состоит из следующих элементов...
Составьте варианты работы по исправлению данных ошибок.
18. Опишите методику знакомства с числом и цифрой нуль
(представьте план, задания, которые будут предложены учащимся
в соответствии с планом ознакомления). Сравните введение числа
нуль с введением других чисел.
Учитель предложил задания учащимся для самостоятельной работы:
 Вставь пропущенные числа: 1, 2, ..., 4,...,..., 7, 8,...
 Заполни таблицу.
3
4
2
5
7
2
 Реши примеры: 2+1, 3–1, 4–1, 3+1
Какова цель выполнения каждого задания? Разработайте варианты проверки выполнения заданий на уроке.
19. Сравнение чисел можно осуществлять разными способами:
 На основе сравнения двух множеств А и В (в множестве А –
три элемента, в множестве В – 4), устанавливается взамно одно-
18
значное соответствие между А и подмножеством В1 множества В,
делается вывод, что в множестве В столько же элементов, сколько
в множестве А, да еще 1, следовательно, 4>3.
 Число а меньше числа в тогда и только тогда, когда при счете число а называют раньше числа в.
 а<в, тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а+с=в.
Подберите и составьте задания, при выполнении которых
учащиеся усваивают разные способы сравнения чисел. Приведите
примеры рассуждений учащихся при выполнении заданий.
ТЕМА 4
Методика изучения нумерации двузначных,
трехзначных, четырех-, пяти- и шестизначных чисел
Теоретические сведения
В процессе изучения нумерации у детей формируются начальные представления о позиционной десятичной системе счисления,
то есть основными понятиями темы являются понятия «разряд» и
«класс».
Последовательность изучения нумерации может быть построена в соответствии с концентрическим и тематическим принципами (программы М.И. Моро и Н.Б. Истоминой).
Изучение нумерации в любом концентре в учебниках
М.И. Моро предусматривает следующие этапы:
1) подготовительный этап;
2) устная нумерация (упражнения в счете при помощи новой
единицы; выяснение принципа образования и называния чисел данного концентра);
3) письменная нумерация (запись и чтение чисел данного концентра);
4) нумерационные случаи сложения и вычитания, умножения
и деления.
Начальным этапом изучения темы следует считать выделение
способа получения новой счетной единицы и осознание удобства
ее использования. Учащиеся группируют различные счетные еди-
19
ницы по десять, получают модель многозначного числа, исследуют
эту модель, выясняют способ чтения, обращая при этом внимание
на структуру числительного, разрядный состав числа. Следующий
этап посвящен изучению письменной нумерации, т.е. дети учатся
читать и записывать числа, представлять их в виде суммы разрядных слагаемых.
При изучении вопросов устной и письменной нумерации используются различные наглядные пособия и модели: абак (позиционный абак), счеты, таблицы разрядов и классов, что позволяет
усвоить принцип построения десятичной системы счисления.
В изучение нумерации включаются и некоторые вычислительные приемы, теоретической обновой которых служит разрядный состав числа и принцип образования чисел в натуральном ряду: 175-70, 175-100, 300-1, 29+1, 70+8. При рассмотрении многозначных чисел рассматриваются случаи умножения и деления на
10, 100, 1000. (274*10, 853*100, 571*1000; 649624:10, 467392:100,
578493:1000 и т. д.).
Рекомендуемая литература
1. Бельтюкова, Г. В. Первый концентр – числа от 0 до 20 /
Г. В. Бельтюкова // Начальная школа. – 1992. – № 1. – С. 67–75.
2. Гаркавцева, Г. Ю. Продуктивное повторение при изучении
темы «Двузначные числа» / Г. Ю. Гаркавцева // Начальная школа. –
2005. – № 14. – С. 45–49.
3. Гнеденко, Б. В. Абак, десятичная позиционная система
счисления и десятичные дроби / Б. В. Гнеденко // Математика в
школе. – 1994. – № 1. – С 33–41.
4. Заболотных, Т. А. Использование исторического материала
в процессе обучения математике / Т. А. Заболотных // Начальная
школа. – 1993. – № 6. – С. 32–36
5. Депман, И. Я. За страницами учебника математики /
И. Я. Депман, Н. Я. Виленкин. – Москва : Просвещение, 1989. – 87 с.
6. Капустянская, М. В. Представление многозначных чисел в
виде суммы разрядных слагаемых / М.В. Капустянская // Начальная школа. – 2012. – № 9. – С. 66–70.
7. Левшин, В. А. Три дня в Карликании / В. А. Левшин –
Москва : Просвещение, 1964. – 91 с.
20
8. Микулина, М. Г. Обобщение знаний по математике с помощью «сказочных цифр» / М. Г. Микулина // Начальная школа. –
1986. – № 6. – С. 29–35.
9. Савина, Л. П. Изучение чисел до 1000. Опережающее обучение / Л. П. Савина // Начальная школа. – 1993. – № 8. – С. 51–54.
10. Шадрина, И. Д. Изучение нумерации и предметный счет /
И. Д. Шадрина // Начальная школа. – 1991. – № 9. – С. 56–60.
11. Харланова, Т. Н. Моделирование при изучении нумерации /
Т.Н. Харламова // Начальная школа. – 1996. – № 9. – С. 23–27.
Вопросы для самоконтроля
1. Что такое «нумерация»? Овладение какими знаниями, умениями и навыками предполагает сформированность представлений
о позиционной десятичной системе счисления?
2. Каковы этапы изучения нумерации и какими средствами
может воспользоваться учитель для эффективного усвоения основных вопросов нумерации чисел?
3. Почему в изучение нумерации натуральных чисел включается рассмотрение величин?
4. В чем общность и своеобразие изучения нумерации чисел в
программах М.И. Моро и Н.Б. Истоминой?
5. Какие вычислительные приемы рассматриваются при изучении темы? Почему?
6. Почему случаи умножения на 10, 100 и 1000 и деления на
10, 100 и 1000 чисел, оканчивающихся нулями, рассматриваются в
теме «Нумерация чисел, больших 1000»? Какие приемы используют учащиеся при умножении и делении чисел на 10, 100 и 1000?
7. Какие трудности испытывают учащиеся при усвоении понятий разряда и класса? Чем обусловлены эти трудности? Какими
средствами может воспользоваться учитель для их предупреждения на различных этапах усвоения понятия?
Задания для самостоятельной работы
1. Выделите знания и умения, которые должны быть сформированы у учащихся при изучении нумерации каждой группы чисел
(двузначные, трехзначные и т. д.).
21
2. Решите методическую задачу № 40 (стр. 21) в Практикуме
(№ 4, см. список основной литературы ко всем темам раздела).
3. Для усвоения нумерации чисел в школьной практике используют разные пособия:
 10 палочек, связанные в пучок, и отдельные палочки;
 абак;
 счеты;
 модель десятка:
 таблица разрядов:
Десятки
Единицы
полоски, разделенные на 10 квадратов (1 десяток).
Какие из предложенных пособий используются в учебниках
М.И. Моро и Н.Б. Истоминой? Опишите вариант организации деятельности учащихся при работе с одним из пособий.
4. Определите дидактические и развивающие цели представленных упражнений:
А. Запиши цифрами числа, которые соответствуют рисунку.
Чем они похожи? Чем отличаются?

Б. Найди значение выражений.
80+3
70+2
30+8
20+7
Разгадай правило, по которому составлены пары выражений, и
запиши по тому же правилу выражения с другими числами.
В. Для названий чисел, в которых 1 десяток, существует свое
правило. Попробуй его разгадать:
1 дес. – десять
1 дес. 1 ед. – одиннадцать
1 дес. 2 ед. – двенадцать
1 дес. 3 ед.– тринадцать
1 дес. 4 ед. – четырнадцать….
22
5. Подберите задания из учебников математики М.И. Моро,
Н.Б. Истоминой задания, необходимые для усвоения следующих
вопросов:
 образование новой счетной единицы и установление соотношения между различными счетными единицами;
 усвоение структуры многозначного числа;
 осознание значения цифры в записи числа;
 усвоение последовательности чисел в натуральном ряду чисел.
6. Оцените правильность (корректность) использования в речи учителя математической терминологии.
 Что обозначает цифра 4 в записи числа 48?
 Выберите числа, в которых отсутствует разряд единиц: 43,
52, 30, 60, 74.
 В числе 54 содержится 4 единицы.
 Запишите цифру 10.
 Что обозначает цифра 5 в записи чисел: 25, 52, 5?
 Запишите числа, в которых отсутствуют разрядные единицы
 Запишите числа, в которых отсутствуют единицы первого
разряда.
7. Выберите выражения, в которых вычислительные приемы
относятся к нумерационным случаям сложения и вычитания.
57–7
20+8
60–1
45–12
57–50
30+24
50+13
59+1
Приведите рассуждения учащихся при выполнении вычислений.
8. Учитель предложил учащимся для самостоятельной работы
задание: «Вставьте пропущенные в этом ряду числа:
8… … 11 … … 14 … 16… 18 … 20.
 Как вы организуете проверку результатов самостоятельной
работы?
9. Познакомьтесь с приведенными ниже способами организации деятельности учащихся при проверке данного задания и поясните, на формирование каких универсальных учебных действий
нацелен каждый способ (слушать и понимать задание учителя,
применять ранее усвоенные знания, контролировать себя, выполнять сравнение с образцом, общаться друг с другом и с учителем).
А. Беседа.
 Какие числа вы поставили между числами 8 и 11? 11 и 14?
 Назовите число, которое на 1 больше 8.
23
 Какое число получим, если 9 увеличим на 1?
Б. Сравнение результатов самостоятельной работы учащихся с
правильно выполненным заданием на доске.
 Учитель предлагает сравнить свой вариант чисел с правильным вариантом, записанным на доске.
В. Взаимопроверка.
 Учитель просит детей обменяться тетрадями и проверить
работу друг руга.
Г. Выполнение учащимися работы на доске.
 На доске заранее заготовлен ряд с пропусками, учитель вызывает учеников по одному к доске, и они вставляют числа в
окошки. Все остальные контролируют правильность выполнения.
Д. Проверка тетрадей учителем (учитель собирает тетради и
проверяет работу учащихся).
10. Выполните анализ фрагмента урока по теме «Нумерация
четырехзначных чисел» (программа Н.Б. Истоминой), представленный в пособии «Методика обучения математике в начальных
классах: Развивающее обучение. – Смоленск: Ассоциация XXI век,
2009» на стр. 265–266. Выделите цели фрагмента, используемые
методические приемы и способ постановки учебной задачи.
11. Опишите способы чтения и записи многозначных чисел,
используемые в учебнике М.И. Моро, на примере числа 324567.
Какие знания и умения учащихся необходимы для использования
данных способов?
12. Учитель предлагает задания:
 Сравни числа 1и 101, 2 и 102, 3 и 103; 14 и 114, 15 и 115.
Чем они похожи? Чем различаются?
 Рассмотри числа 82, 85, 67, 89. Все ли они будут стоять в
числовом ряду между числами 80 и 90? Объясни.
 Запиши пятизначное число, используя разные цифры.
Сколько еще пятизначных чисел можно записать, используя эти же
цифры?
Каковы возможные дидактические и развивающие цели выполнения каждого задания? Разработать вариант реализации поставленных целей.
13. Составить или подобрать задания развивающего характера
для изучения основных вопросов нумерации:
 на выполнение сравнительного анализа чисел;
24
 на классификацию;
 на конструирование чисел;
 на выявление правил (закономерности) построения ряда чисел.
14. Исследуя структуру многозначного числа, определяя значение цифры в записи числа, учащиеся некорректно формулирую
ответ: «Число 207 состоит из трех цифр: 2,0 и 7. Цифра 0 обозначает отсутствие разряда единиц». Объясните причину подобных
ошибок. Составьте задания, которые необходимо использовать для
их предупреждения или исправления.
15. Приведите примеры рассуждений детей, которые выполняют в следующих случаях:
 Найти значения выражений: 3754:100, 900-1.
 Запиши под диктовку числа: 307004, 5050.
 Вставь пропущенные цифры так, чтобы получилась верная
запись: ...3>5..., 8...>89, 6...<...5.
16. Составить различные задания для работы со следующими
таблицами:
Число
Сотни
тысяч
Разряд сотен
Разряд десятков
Класс тысяч
Десятки
Единицы
тысяч
тысяч
Разряд единиц
Класс единиц
Сотни
Десятки
Единицы
17. Проанализируйте фрагмент урока, сформулируйте дидактическую цель фрагмента. Какие методы и приемы использует
учитель? Какие средства обучения используются?
Тема: Письменная нумерация многозначных чисел.
На доске таблица разрядов и классов.
1. Запиши в таблицу следующие числа, в которых:
 30 единиц второго класса и 75 единиц первого класса;
 750 единиц первого класса и столько же единиц второго
класса;
 5 единиц первого класса и 73 единицы второго класса
Как должна быть дополнена запись в таблице? Сколько всего
цифр использовано в записи числа? Сколько различных цифр ис-
25
пользовано? Что обозначает каждая цифра в записи числа? Что
обозначает нуль в записи числа?
2. Запиши под диктовку числа: 307003, 700053.
Используя данные цифры запиши в тетради различные многозначные числа. Как следует проконтролировать себя, чтобы не допустить ошибку или обнаружить ее?
3. Составь задания для товарища, чтобы научить его правильно записывать многозначные числа.
18. Схема анализа многозначного числа включает:
 чтение числа;
 выделение числа единиц каждого разряда и каждого класса;
 выделение всех единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч, сотен тысяч в числе;
 запись числа в виде суммы разрядных слагаемых;
 выделение чисел, между которыми стоит данное число;
 выделение наибольшего и наименьшего чисел, имеющих
столько же разрядов;
 выделение общего количества цифр, используемых в записи
данного числа, сколько среди них различных цифр;
 запись наибольшего и наименьшего числа с использованием
цифр данного числа.
Выполните анализ любого многозначного числа по схеме. Какие трудности могут возникнуть у учащихся? Какие средства необходимо использовать для предупреждения этих трудностей?
19. Подготовьте сообщения для учащихся, в которых используются сведения из истории возникновения нумерации чисел.
26
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ЛАБОРАТОРНЫХ
И САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ
ТЕМА 1
Методы и формы организации деятельности
учащихся на уроке математики
Подготовка к лабораторному занятию
1. Используя учебники педагогики, выделите классификации методов (2 варианта) и форм (1 вариант) организации обучения на уроках.
2. Выполните анализ двух конспектов уроков математики с точки зрения используемых методов и форм обучения (приложение 3).
3. Подготовьте дидактическую игру, которую можно использовать для усвоения знаний и умений по нумерации чисел [13, 18,
22]. Укажите ее цели.
4. Разработайте 2 «математические» физкультминутки для
урока математики [8]. Можно воспользоваться Интернетресурсами.
Методические задания для лабораторной работы
1. Определите, какие методы и формы организации деятельности учащихся могут быть использованы при выполнении следующих заданий. Опишите возможные варианты работы с предложенными заданиями, предварительно сформулировав цели.
А. Выберите выражение, которое соответствует рисунку.
30+2
20+5
30+5
30+8
Б. Запиши цифрами 4 и 7 различные трехзначные числа.
Сколько таких чисел можно записать?
В. Вставь пропущенные числа.
600+ …=620
300+…+4=384
…+70+5=175
27
2. Разработайте различные формы организации деятельности
учащихся:
 при ознакомлении с новым материалом (введение новых
понятий, способов действий в любом концентре);
 при повторении ранее изученного;
 на этапе проверки знаний.
Выбор заданий обоснуйте.
3. Разработайте фрагменты уроков по использованию различных методов в процессе изучения нумерации:
 словесные, наглядные, практические;
 объяснительно-иллюстративные, репродуктивные, частично-поисковые.
Выбор заданий обоснуйте.
Рекомендуемая литература
1. Гладкова, Т. А. Организация индивидуальной, подгрупповой, коллективной деятельности / Т. А. Гладкова // Начальная школа. – 1999. – №10. – С. 74–77.
2. Дебашина, Е. Ю. Самостоятельная работа на уроках математики в условиях развивающего обучения / Е. Ю. Дебашина //
Начальная школа. – 2003. – № 7. – С. 53–58.
3. Дьяченко, В. К. Коллективная и групповая формы организации обучения в школе / В. К. Дьяченко // Начальная школа. –
1998. – № 1. – С. 48–51.
4. Дьяченко, В. К. Организация коллективных учебных занятий / В. К. Дьяченко, А. И. Попова // Начальная школа. – 1990. –
№ 1. – С. 53–57.
5. Журавлева, Н. Т. Коллективные формы работы на уроках
математики / Н. Т. Журавлева // Начальная школа. – 2000. – № 5. –
С. 61–64.
6. Зайцев, В. В. Технология проектирования ситуаций свободного выбора учебных заданий на уроках математики /
В. В. Зайцев // Начальная школа. – 2000. – № 1. – С. 51–59.
7. Ивлева, Э. И. Организация взаимопомощи учащихся на
уроках математики / Э. И. Ивлева // Начальная школа. – 2002. –
№ 2. – С. 62–64.
28
8. Кабанова, Л. В. Учебные игры как средство повышения
эффективности уроков / Л. В. Кабанова // Начальная школа. –
1992. – № 1. – С. 28–31.
9. Моро, М. И. Проблемы урока волнуют учителей /
М. И. Моро // Начальная школа. – 2001. – № 4. – С. 58–64.
10. Овчинникова, В. С. Как поставить перед учащимися
учебную задачу / В. С. Овчинникова // Начальная школа. – 2000. –
№ 2. – С. 47–54.
11. Смолеусова, Т. В. Наглядные пособия на уроках математики / Т. В. Смолеусова // Начальная школа. – 2001. – № 4. – С. 68–73.
12. Перова, М. Н. Дидактические игры и упражнения по математике : пособие для учителя. / М. Н. Перова. – Москва : Просвещение, 1996. – 112 с.
13. Попова, А. И. Развитие самостоятельности младших
школьников в условиях коллективных занятий / А. И. Попова,
И. Г. Литвинская // Начальная школа. – 1990. – № 11. – С. 53–55.
14. Попова, А. И. Об организации коллективных занятий /
А. И. Попова, И. Г. Литвинская // Начальная школа. – 1990. –
№ 8. – С. 21–27.
15. Попова, А. И. Учимся общению / А. И. Попова // Начальная школа. – 1991. – № 12. – С. 35–37.
16. Рунова, Т. А. Организация учебного сотрудничества на
уроках математики в 1 классе / Т. А. Рунова // Начальная школа. –
2004. – № 2. – С. 55–62.
17. Свечников, А. А. Игровая форма работы в паре /
А. А. Свечников // Начальная школа. – 1992. – № 5–6. – С. 33–35.
18. Степанова, С. В. Планирование работы. Приложение – развернутые планы трех уроков, подготовленные Г. В. Бельтюковой /
С. В. Степанова // Начальная школа. – 2000. – № 10. – С. 59–68.
19. Тупичкина, Е. А. Виды самостоятельных работ на уроках
математики / Е. А. Тупичкина, И. В. Крючкова // Начальная школа. – 1996. – № 5. – С. 14–23.
20. Туркина, В. М. Учебная задача как средство создания «поля преемственности» / В. М. Туркина // Начальная школа. – 2003. –
№ 5. – С. 34–39.
21. Чилингирова, Л. К. Играя, учимся математике : пособие
для учителя ; пер. с бол. / Л. К. Чилингирова – Москва : Просвещение, 1993. – 191 с.
29
22. Яровая, В. В. Организация самостоятельной работы на
уроках математики в начальных классах / В. В. Яровая // Начальная
школа. – 2006. – № 4. – С. 52–58.
ТЕМА 2
Урок математики в начальной школе
Подготовка к лабораторному занятию
1. Выпишите в виде памяток (в тетрадь или на карточки) типологию уроков (6 основных типов). Подробную памятку – для
комбинированного урока [3] или [7].
2. Оформление
Тип урока:
Цель (цели):
Этапы урока (указать задачи каждого этапа):
3. Выпишите (отксерокопируйте) общий способ деятельности
при подготовке учителя к уроку [2].
4. Опишите различные подходы к построению урока математики в начальной школе [2].
5. Актуализируйте знания о видах целей урока (предметные,
метапредметные, личностные).
6. Опишите план методического анализа урока математики,
предложенный Н.Б. Истоминой [2].
Рекомендуемая литература
1. Истомина, Н. Б. Проблемы современного урока математики в начальной школе / Н. Б. Истомина // Начальная школа. –
2001. – № 4. – С. 28–27.
2. Истомина, Н. Б. Методика обучения математике в начальных классах / Н. Б. Истомина. – Москва, 2009. (Глава 7. Урок математики в начальных классах. С. 262–278).
3. Конаржевский, Ю. А. Анализ урока. / Ю. А. Конаржевский. – Москва, 2000. (С. 35–54, С.78–87).
4. Моро, М. И. Проблемы урока волнуют учителей /
М. И. Моро // Начальная школа. – 2001. – № 4. – С. 39–45.
30
5. Мукина, В. М. Психолого-педагогические основы построения урока математики в начальной школе / М. В. Мукина,
М. М. Халилов // Начальная школа. – 2007. – № 9. – С. 37–45.
6. Ситявина, И. А. Современный урок в начальной школе /
И. А. Ситявина // Начальная школа. – 2006. – № 5. – С. 59–64.
7. Сластенин, В. А. Педагогика / В. А. Сластенин. – Москва,
2000. – С. 281–285.
Методические задания для лабораторной работы
1. Выполните анализ одного из конспектов уроков, предложенного в пособии Н.Б. Истоминой [2] на стр. 269–276 и в приложении 3.
2. Составьте протокол видеоурока и выполните его анализ по
предложенному плану.
3. Составьте конспект урока по указанной преподавателем теме. Конспект оформите в соответствии с образцом.
Оформление конспекта урока
1. Дата проведения урока, предмет, класс, общеобразовательное учреждение, номер урока.
2. Тема урока.
3. Предметные, метапредметные (познавательные, регулятивные, коммуникативные УУД) и личностные цели урока.
4. Тип урока.
5. Перечень наглядных пособий, учебного оборудования, раздаточного материала, информационных технологий.
6. Литература.
7. Структура урока, примерная продолжительность этапов.
8. Ход урока:
 название этапа, задача этапа
 формулировка задания
 методика организации деятельности учителя и учащихся при
выполнении задания: вопросы и дополнительные задания учителя,
предполагаемые ответы, образцы выполнения заданий.
31
Примерный вариант оформления хода урока
Этап
урока,
задачи
этапа
Деятельность
учителя
(задания, вопросы)
Целеполагание:
создать
условия
для осознания
учащимися
необходимости
выделения способа чтения многозначных чисел
(На доске таблица
разрядов и классов, в
таблицу внесены числа: 7030, 249506,
30007). План анализа
числа:
 сколько всего
цифр использовано в
записи числа, сколько
различных цифр;
 что обозначает
каждая цифра в записи числа).
Рассказать, что знаете о числах, записанных в таблицу, по
плану
Деятельность
учащихся
(ответы детей,
образцы
выполнения
заданий)
Образец ответа
учащихся:
 первое число
четырехзначное;
 в записи числа использованы цифры 7, 0,
3, всего 4 цифры;
 цифра 7 обозначает количество единиц
тысяч класса
тысяч;
 ...
Методы обучения и формы
организации
деятельности
Метод репродуктивный, т.к.
учащиеся воспроизводят знания о поместном
значении цифры
в записи числа,
разрядном составе числа.
Форма фронтальноиндивидуальная,
т.к. каждый
учащийся должен испытывать
положительные
эмоции от правильно выполненного задания
ТЕМА 3
Контроль и оценка знаний и умений учащихся
по математике. Диагностика предметных
и метапредметных результатов
Подготовка к лабораторному занятию
1. Назовите и разъясните цели, функции и принципы контроля и оценки знаний, умений и навыков учащихся [13].
2. Перечислите виды контроля, формы и средства проверки
усвоения учебного материала по математике [13].
32
3. Каковы преимущества и недостатки каждой формы контроля? В чем состоят предложения по совершенствованию контроля и оценки знаний, умений и навыков младших школьников?
4. Законспектируйте нормы оценки знаний, умений и навыков в 1–4 классах [13].
5. Законспектируйте примерный вариант контрольной работы
по математике и схему ее анализа [21].
Рекомендуемая литература
1. Баракина, Т. В. Использование тестов на уроках математики в начальной школе / Т. В. Баракина // Начальная школа плюс: до
и после. – 2010. – № 11. – С. 28–33.
2. Веселова, Н. Н. Тестовые методики диагностирования
сформированности учебной деятельности / Н. Н. Веселова //
Начальная школа. – 1999. – № 5. – С. 55–58.
3. Виноградова, Н Ф. Обсуждаем проблему контроля и оценки в начальной школе / Н. Ф. Виноградова // Начальная школа. –
1999. – № 8. – С. 84–89.
4. Волкова, С. И. Математика. Проверочные работы (1–4 классы) : пособие для учащихся / С. И. Волкова – Москва : Просвещение,
2010. – 84 с.
5. Воронцов, А. Б. Проблемы постепенного перехода на безотметочное обучение в начальной школе в ходе модернизации российского образования / А. Б. Воронцов // Начальная школа. –
2002. – № 3. – С. 52–60.
6. Горина, О. П. Тестовые задания в начальном курсе математики / О. П. Горина, Н. Н. Проскуряков // Начальная школа. –
2008. – № 10. – С. 67–72.
7. Зарукина, Т. Р. Использование тестовых заданий для технического контроля по математике / Т. Р. Зарукина, М. Л. Зиновьева // Начальная школа. – 2003. – № 10. – С. 65–69.
8. Истомина, Н. Б. Оценка достижений планируемых результатов по математике в начальной школе. / Н. Б. Истомина,
Т. В. Смолеусова. – Смоленск : Ассоциация XXI век, 2013. – 78 с.
9. Истомина, Н. Б. Математика: Итоговая проверочная работа: 1–4 кл. / Н. Б. Истомина – Смоленск : Ассоциация XXI век,
2013. – 68 с.
33
10. Истомина, Н. Б. Математика: Мои учебные достижения:
контрольные работы. 1 класс / Н. Б. Истомина, Г. Г. Шмырева –
Смоленск : Ассоциация XXI век, 2013. – 36 с.
11. Истомина, Н. Б. Математика: контрольные работы к
учебнику (1–4 классы.) / Н. Б. Истомина, Г. Г. Шмырева – Смоленск : Ассоциация XXI век, 2009. – 42 с.
12. Истомина, Н. Б. Тестовые задания по математике (1–4 классы) / Н. Б. Истомина, О. П. Горина – Смоленск : Ассоциация
XXI век, 2009. – 46 с.
13. Контроль и оценка результатов обучения в начальной
школе (методическое письмо) // Начальная школа. – 1999. – № 4. –
С. 24–38.
14. Моро, М. И. Письменные контрольные работы по математике / М. И. Моро, С. И. Волкова // Начальная школа. – 1990. –
№ 8. – С. 23–37.
15. Никитина, М. Л. О безотметочном обучении / М. Л. Никитина // Начальная школа. – 2000. – № 1. – С. 65–68.
16. О системе оценивания учебных достижений младших
школьников в условиях безотметочного обучения // Начальная
школа. – 2003. – № 8. – С. 36–45.
17. Рудницкая, В. Н. Контрольные работы по математике:
3 класс к учебнику М. И. Моро / В. Н. Рудницкая. – Москва : Экзамен, 2008. – 38 с.
18. Рудницкая, В. Н. Тематические и итоговые контрольные
работы по математике в начальной школе / В. Н. Рудницкая. –
Москва : Дрофа, 1995. – 67 с.
19. Рудницкая, В. Н. Тесты по математике: 1 класс, 2 класс,
3 класс, 4 класс / В. Н. Рудницкая. – Москва : Экзамен, 2007.
20. Рыдзе, О. А. Оценка индивидуальных достижений по математике и характеристика уровня развития учебно-познавательной
деятельности младших школьников в условиях внедрения ФГОС
НОО / О. А. Рыдзе // Начальная школа плюс До и После. – 2013. –
№ 9. – С. 57–62.
21. Аксенова, Е. Н. Примерные проверочные работы по русскому языку и математике за первое полугодие 2012/2013 учебного
года / Е. Н. Аксенова, И. С. Ордынкина // Начальная школа. –
2012. – № 10. – С. 32–48.
34
22. Селькина, Л. В. Компетентностный подход в оценке результатов обучения начальной математике / Л. В. Селькина,
М. А. Худякова // Начальная школа. – 2010. – №11. – С. 24–27.
23. Амелина, А. Г. Методика проведения проверочных работ
на уроках математики / А. Г. Амелина // Начальная школа. –
2005. – № 3. – С. 17–21.
24. Чернобай, Н. Г. Использование тестовых заданий на уроках математики / Н. Г. Чернобай // Начальная школа. – 2005. –
№ 10. – С. 58–61.
25. Ясырева, Г. Н. Разноуровневые проверочные и контрольные работы по русскому языку и математике / Г. Н. Ясырева,
Л. В. Панькова // Начальная школа. – 2005. – № 10. – С. 32–48.
Методические задания для лабораторной работы
1. Составьте комбинированную тематическую контрольную
работу [4, 11, 17, 18, 21]. Укажите проверяемые знания и умения.
Разработайте схему анализа результатов.
2. Составьте арифметический диктант, направленную на проверку знаний нумерации чисел в пределах 100. Укажите цели проверки [21].
3. Определите, какие формы тестовых заданий используются
в предложенном ниже варианте. Укажите цели проверки.
 Среди данных записей подчеркни те, в которых числа записаны в виде суммы разрядных слагаемых.
100 = 50+50
286 = 200+80+6
260 = 130+130
25=20+5
 Запиши цифрами числа:
а) двести сорок тысяч семьсот________________________;
б) тринадцать тысяч восемьдесят_______________________;
в) один миллион ________________________;
 Из данных чисел подчеркните, в записи которых отсутствуют:
а) единицы второго разряда:
54130 20105 187569 130020;
б) десятки тысяч:
506879 200 201540 3050.
35
4. Познакомьтесь с оболочкой для электронного тестирования учащихся начальной школы по математике CoolTest. Каковы
ее основные характеристики? Какие способы обработки результатов теста может использовать учитель? Есть ли возможности для
организации работы над ошибками?
5. Разработайте серию тестовых заданий (7–8) различных
форм, направленных на проверку знаний и умений учащихся по
теме «Четырехзначные числа» [1, 4, 6, 7, 12, 24].
6. Выполните итоговую проверочную работу (класс – на выбор)
Н.Б. Истоминой [9]. Проведите обработку результатов выполнения
работы другими студентами [8]. Сформулируйте выводы.
ТЕМА 4
Контроль и оценка знаний и умений учащихся
по математике. Диагностика предметных
и метапредметных результатов
Подготовка к лабораторному занятию
1. Выделите из «Федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования» понятие и
перечень основных универсальных учебных действий (УУД), которыми должен овладеть младший школьник (коммуникативные,
регулятивные, личностные, познавательные) [6].
2. Выберите из текста примерной программы по математике
характеристику каждой группы УУД [17]. Как они связаны с метапредметными результатами изучения математики? Какие УУД в
большей степени будут формироваться на уроках математики?
3. Выделите основные направления развития личности младшего школьника на уроках математики, раскрытые Н.Б. Истоминой
в учебнике «Методика обучения математике в начальной школе
(2009). Какие способы развития мышления представлены автором?
Выделите основные способы обоснования истинности суждений,
которые используются в начальном курсе математики.
36
Рекомендуемая литература
1. Алексеенко, М. А. Компетентностный и деятельностный
подходы в проектировании урока математики / М. А. Алексеенко //
Начальная школа. – 2013. – № 2. – С. 58–61.
2. Безручко, Л. В. Развитие и изучение мыслительной деятельности учащихся на уроках математики / Л. В. Безручко //
Начальная школа. – 2007. – № 8. – С. 23–27.
3. Бормотова, М. М. Развитие самоконтроля у младших
школьников на уроках математики / М. М. Бормотова // Начальная
школа. – 2005. – № 9. – С. 56–60.
4. Демидова, Т. Е. Формирование умений самоконтроля у
младших школьников на уроках математики / Т. Е. Демидова,
И.Н. Чижевская // Начальная школа плюс До и После. – 2013. –
№ 10. – С. 18–23.
5. Егорина, В. С. Формирование универсальных логических
действий младших школьников и повышение эффективности образования / В. С. Егорова // Начальная школа плюс До и После. –
2013. – № 10. – С. 46–50.
6. Как проектировать универсальные учебные действия в
начальной школе. От действия к мысли : пособие для учителя / под
ред. А. Г. Асмолова. – Москва : Просвещение, 2010. – 151 с.
7. Лехова, В. П. Дедуктивные рассуждения в курсе математики начальных классов / В. П. Лехова // Начальная школа. – 1998. –
№ 5. – С. 37–42.
8. Математика:
программа
1–4
классы.
Поурочнотематическое планирование: 1 класса / Н. Б. Истомина. – Смоленск : Ассоциация XXI век, 2013. – 160 с.
9. Математика. Рабочие программы. 1–4 классы : пособие для
учителей общеобразоват. учреждений / М. И. Моро, М. А. Бантова,
Г. В. Бельтюкова и др. – Москва : Просвещение, 2011. – 92 с.
10. Налимова, И. В. Формирование умения классифицировать множества в процессе обучения математике / И. В. Налимова // Начальная школа. – 2003. – № 7. – С. 67–69.
11. Овчинникова, В. С. Как создать проблемные ситуации
при формировании математических понятий / В. С. Овчинникова //
Начальная школа. – 2011. – № 10. – С. 46–51.
37
12. Овчинникова, В. С. Как и почему надо развивать математическую речь учащихся? / В. С. Овчинникова // Начальная школа. – 2009. – № 10. – С. 24–28.
13. Останина, Е. Е. Обучение школьников классификации /
Е.Е. Останина // Начальная школа. – 2000. – № 4. – С. 47–50.
14. Останина, Е. Е. Развитие вариативности мышления у
младших школьников при изучении математики / Е. Е. Останина //
Начальная школа. – 2009. – № 4. – С. 74–78.
15. Павлова, В. В. Диагностика качества познавательных
универсальных учебных действий в начальной школе /
В. В. Павлова // Начальная школа. – 2011. – № 5. – С. 42–49.
16. Примерная основная образовательная программа образовательного учреждения. Начальная школа. / под ред. Е. С. Савинова. – Москва : Просвещение, 2010.– 192 с.
17. Примерные программы по учебным предметам. Начальная школа : в 2 ч. – Москва : Просвещение, 2010. – Ч. 1. – 400 с.
18. Рыдзе, О. А. Оценка индивидуальных достижений по математике и характеристика уровня развития учебно-познавательной
деятельности младших школьников в условиях внедрения ФГОС
НОО / О. А. Рыдзе // Начальная школа плюс До и После. – 2013. –
№ 9. – С. 12–23.
19. Сергеева, Л. А. Развивающие функции тренировочных
упражнений по математике / Л. А. Сергеева // Начальная школа. –
1997. – № 12. – С. 52–58.
20. Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования // Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования утвержден Приказом Минобрнауки России 06.10.2009, зарегистрирован в Минюсте России 22.12.2009, рег. № 17785. – Москва :
Просвещение, 2010. – 31 с.
21. Царева, С. Е. Учебная деятельность и умение учиться /
С. Е. Царева // Начальная школа. – 2007. – № 9. – С. 27–33.
22. Шихалиев, Х. Ш. О некоторых приемах доказательных
рассуждений учащихся начальных классов / Х. Ш. Шихалиев,
Б. О. Омаров // Начальная школа. – 2007. – № 6. – С. 76–81.
38
Методические задания для лабораторной работы
1. Выполните анализ учебников математики (авторы
М.И. Моро, Н.Б. Истомина) с точки зрения возможностей для формирования у младших школьников основных групп УУД (коммуникативные, регулятивные, личностные, познавательные).
2. Какими логическими умениями в соответствии с программой по математике должен овладеть младший школьник? Почему
цель развития словесно-логического мышления является приоритетной? Какой учебник, по Вашему мнению, более целенаправлен
на развитие словесно-логического мышления?
3. Определите, какие УУД формируются у младших школьников при выполнении следующих упражнений.
А. Проверь, верно ли неравенство 3<5.
Б. По каким признакам можно разложить головные уборы на
две группы?
В. Запиши числа: 3, 5, 8, 10, 11, 12, 15. Верно ли, что:
 все числа имеют по два соседних слагаемых;
 все числа однозначные (двузначные);
 некоторые числа однозначные;
 некоторые числа четные?
Г. Чем похожи и чем отличаются числа?
1 и 101
5 и 505
20 и 200
14 и 41
4. Подберите задания из учебников математики для начальных классов, выполнение которых связано с использованием приемов сравнения, классификации, анализа, синтеза, аналогии. Составьте задания, направленные на овладение учащимися приемами
мыслительных операций.
5. Для формирования у младших школьников умений грамотно использовать терминологию можно использовать следующие способы:
39
 математический диктант;
 систематическое использование при формулировке заданий
в учебнике;
 коррекция учителем высказываний в процессе фронтальной
работы;
 грамотное использование терминов учителем;
 использование тестовых заданий с выбором правильного ответа.
Составьте или подберите задания, иллюстрирующие данные
способы.
6. Подберите задания из учебников математики для начальных классов, выполнение которых связано с формированием коммуникативных УУД.
7. Определите, какие способы построения логических умозаключений используются в следующих заданиях.
А. Чем похожи выражения и чем отличаются? Найди их значения и сформулируй вывод.
64 : 2
64 : 4
64 : 8
Б. Найди значения выражений в каждом столбике. Каким
свойством ты пользовался? Проверь, выполняется ли это свойство
для умножения?
3+4
9+2
8+3
4+3
2+9
3+8
8. Приведите примеры заданий из учебников математики,
требующих выполнения логических рассуждений. Определите дидактическую цель их выполнения.
9. Учитель предлагает задания:
 Не вычисляя, сравни выражения:
5*3 и 3*5
(7+5)*4 и 7+5*4
28-(3+5) и 28-3+5
Проверь результат сравнения вычислением.
 Как вы считаете, равны ли значения выражений в каждой
строке?
3+4+7
(3+4)+7
3+(4+7)
16+18+19
(16+18)+19
16+(18+19)
40
15+5+2
(15+5)+2
15+(5+2)
Что общего в выражениях каждой строчки? Сделай вывод.
Сформулируйте развивающие цели выполнения заданий. Приведите примеры рассуждений учащихся.
10. Какие способы обоснования истинности математических
суждений используются в следующих упражнениях?
А. Докажи, что у прямоугольника диагонали равны.
Б. Составь верные равенства, используя числа 6, 7, 8, 48, 56.
В. Как изменяется значение разности? Почему?
16- 6 = 10
16-8 = 8 16-10=6
11. Разработайте варианты организации деятельности учащихся при выполнении заданий по обучению способам обоснования истинности математических суждений.
12. Укажите, какие коммуникативные УУД (умения выражать
свои мысли и действия, строить рассуждения, аргументировать
высказывания, различать обоснованные и необоснованные суждения) формируются у учащихся при выполнении следующих
упражнений:
 Сформулируй правило, по которому составлен ряд чисел, и
продолжи его.
10, 12, 14, 16….
 Чем похожи все выражения? Чем отличаются?
3+2+4
5+1+2
3+1+4
5+2+1
Верно ли утверждение, что значения всех сумм одинаковы?
13. В начальном курсе математики особое внимание уделяется формированию у младших школьников умения аргументировать
высказывания, различать обоснованные и необоснованные суждения. Для этого могут быть использованы различные способы: эксперимент (сопоставление высказывания с реальной действительностью, результатами восприятия), вычисление, измерение, рассуждение по аналогии, индуктивные (от частных примеров к общему
правилу) и дедуктивные рассуждения (от общей посылки к частным). Какие способы обоснования истинности суждений используются в следующих фрагментах?
41
Фрагмент 1. По какому правилу записаны выражения в каждой паре?
2+1
4+3
6+2
1+2
3+4
2+6
Запиши по этому же правилу еще три пары выражений и,
пользуясь числовым лучом, найди их значения. Сделай вывод (от
перестановки слагаемых значение суммы не меняется) (см. Истомина Н.Б. Математика, 1 класс, с. 85).
Фрагмент 2. Какие равенства верные, а какие – неверные?
3+4=6
3+1=4
4+3=7
3+4=7
Как это проверить? (Маша: «Можно нарисовать кружки и посчитать их», Миша: «Можно изобразить равенство на числовом
луче») (см. Истомина Н.Б. Математика. 1 класс. С. 85).
14. Одним из эффективных средств формирования коммуникативных УУД у младших школьников являются учебные задания.
Выберите ту формулировку задания для учащихся, которая побуждает их к индуктивному умозаключению?
A. Составь названия чисел
1 дec. 1 ед. - одиннадцать
по данным образцам.
1 дec. 2 ед. - двенадцать
Б. Рассмотрев образцы,
1 дec. 3 eд. - тринадцать
вспомни правило называния
1 дec. 4 ед. -...
данных чисел и, воспользовав1 дec. 5 eд.-...
шись им, напиши пропущенные
1 дec. 6 eд.-...
названия чисел.
1 дec. 7 eд.-...
B. Угадай правило, по которому составляются названия данных чисел.
Г. Угадай правило, по которому составляются названия данных чисел, и дай названия числам, пользуясь этим правилом.
42
ТЕМА 5
Использование интерактивной доски
на уроках математики
Подготовка к лабораторному занятию
1. Изучите возможности интерактивной доски Smart Board в
организации уроков математики в начальной школе. Выделите основные преимущества для учителя и учащихся.
2. Познакомьтесь с основными инструментами интерактивной доски Smart Board.
3. Рассмотрите возможности программы Smart Notebook в
проектировании цифровых образовательных ресурсов для уроков
математики.
Методические задания для лабораторной работы
1. Разработайте фрагмент урока математики с использованием интерактивной доски Smart Board (текст фрагмента + файл в
программе Smart Notebook).
2. Апробируйте данный фрагмент на лабораторном занятии.
3. Выполните анализ представленных интерактивных материалов на соответствие требованиям к цифровым образовательным
ресурсам в начальной школе.
Интернет-ресурсы
 http://edcommunity.ru/ teachers/
 http://www.smart-teacher.ru/
 http://www.polymedia.ru/
Использование инструментов программного обеспечения
Smart Notebook
Инструмент
интерактивной
доски
Цвет
Воздействие на обучение
Разнообразие цветов, доступных на интерактивной
доске, позволяет преподавателям выделять важные
области и привлекать внимание к ней, связывать
общие идеи или показывать их отличие и демонстрировать ход размышления
43
Записи на
экране
Аудио- и
видеовложения
Drag & drop
Выделение
отдельных
частей экрана
Вырезать и
вставить
Страницы
Разделение
экрана
Поворот
объекта
Возможность делать записи позволяет добавлять
информацию, вопросы и идеи к тексту, диаграммам
или изображениям на экране. Все примечания можно
сохранить, еще раз просмотреть или распечатать
Значительно усиливают подачу материала. На интерактивных досках также можно захватывать видеоизображения и отображать их статично, чтобы иметь
возможность обсуждать и добавлять к нему записи
Помогает учащимся группировать идеи, определять
достоинства и недостатки, сходства и различия, подписывать карты, рисунки, схемы и многое другое
Тест, схему или рисунок на интерактивной доске
можно выделить. Это позволяет учителям и ученикам фокусироваться на отдельных аспектах темы.
Часть экрана можно скрыть и показать его, когда
будет нужно. Программное обеспечение для интерактивных досок включает фигуры, которые могут
помочь учащимся сконцентрироваться на определенной области экрана. Используя инструмент «прожектор» можно выделить определенные участки
экрана и сфокусировать внимание на них
Объекты можно вырезать и стирать с экрана, копировать и вставлять, действия - отменять или возвращать. Эти придает учащимся больше уверенности они знают, что всегда могут вернуться на шаг назад
или изменить что-нибудь
Страницы можно листать вперед и назад, демонстрируя определенные темы занятия или повторяя
то, что некоторые из учеников не очень поняли.
Страницы можно просматривать в любом порядке, а
рисунки и тексты перетаскивать с одной страницы на
другую
Учитель может разделить изображение с экрана
компьютера и показать его на разных досках. Это
может пригодиться при тщательном исследовании
предмета
Позволяет перемещать объекты, показывая симметрию, углы и отражения
44
3 КУРС. 6 СЕМЕСТР
Раздел 2
Методика изучения арифметических действий
ТЕМА 1
Методика изучения смысла арифметических действий
и их свойств
Теоретические сведения
Важным этапом в формировании понятия натурального числа
у учащихся является рассмотрение арифметических действий. В
изучении арифметических действий следует выделить несколько
взаимосвязанных вопросов:
 формирование смысла арифметических действий, составление таблиц сложения и умножения;
 изучение свойств арифметических действий;
 изучение приемов устных вычислений; формирование навыков устных вычислений;
 изучение приемов письменных вычислений, формирование
навыка письменных вычислений.
В качестве теоретической основы разъяснения смысла арифметических действий выступает теоретико-множественная трактовка суммы, разности, произведения, частного. Разъяснить конкретный смысл – значит, раскрыть связь действий над числами с
операциями над множествами. Усвоение смысла действий предполагает сформированность умения осуществлять переход от непосредственного предметного действия или его изображения к числовому выражению или равенству и наоборот. Таким образом осознается предметный смысл числовых выражений и равенств. Следовательно, деятельность учащихся при изучении смысла арифметических действий включает:
 выполнение предметных действий (объединения множеств,
удаление части множества, объединение нескольких равномощных
множеств, деление по содержанию и на равные части);
 перевод предметного действия на математический язык;
45
 установление соответствия между предметными действиями
и математическими записями.
Программой по математике в начальной школе предусмотрено
изучение свойств арифметических действий. Изучение данного
вопроса осуществляется на практическом уровне, по возможности
без введения соответствующих развернутых формулировок. Последовательность их изучения определяется логикой введения вычислительных приемов, которые опираются на эти свойства. В основе методики лежит идея преобразования эмпирического материала и перевод ситуации на математический язык.
Изучение свойств арифметических действий предполагает
выполнение ряда учебных действий. Программа М.И. Моро представляет их следующим образом:
 чтение символической записи;
 предметная конкретизация символической записи через обращение к жизненному опыту ребенка, к жизненной ситуации;
 отыскание способа преобразования этой ситуации на язык
математических символов;
 отыскание другого способа преобразования ситуации с последующим переводом в знаково-символическую форму;
 сравнение результатов вычислений, обобщение открытых
способов вычислений, формулировка свойства.
В различных программах система учебных действий может
быть иной, так как это зависит от общей концепции курса, от ведущего подхода к формированию математических понятий.
Рекомендуемая литература
1. Григорьева, Ж. В. Визуализация условия текстовой задачи
для понимания операций умножения и деления / Ж. В. Григорьева // Начальная школа. – 2009. – № 5. – С. 53–58.
2. Казакова, М. А. К вопросу об изучения умножения в
начальном курсе математики / М. А. Казакова // Начальная школа. – 2006. – № 12. – С. 51–56.
3. Клецкина, А. А. Формирование навыков табличного умножения / А. А. Казакова // Начальная школа. – 2001. – № 9. – С. 46–51.
4. Колягин, Ю. М. Еще раз о занимательности в обучении
младших школьников / Ю. М. Колягин, Т. К. Авдеева // Начальная
школа. – 1992. – № 9–10. – С. 78–82.
46
5. Кравченко, Н. В. Особенности изучения табличного умножения и деления в рамках разных программ обучения математике /
Н.В. Кравченко // Начальная школа. – 2009. –№ 3. – С. 62–68.
6. Савина, Л. П. Усвоение таблицы умножения / Л. П. Савина // Начальная школа. – 2006. – № 1. – С. 64–70.
7. Саламатова, Г. И. Элементы занимательности при изучении таблицы умножения / Г. И. Саламатова // Начальная школа. –
2004. – № 10. – С. 76–80.
8. Туркина, В. М. Задания для формирования математических
понятий / В. М. Туркина // Начальная школа. – 1998. – № 12. –
С. 37–42.
9. Хлебникова, О. А. Изучение табличных случаев умножения / О. А. Хлебникова // Начальная школа. – 2010. – № 12. –
С. 53–58.
Вопросы для самоконтроля
1. Какими видами предметных действий необходимо овладеть учащимся, чтобы осознать смысл арифметических действий?
2. Что значит «усвоение конкретного смысла арифметических
действий»? Какие умения должны быть сформированы у учащихся
в результате усвоения темы?
3. В чем состоят особенности изучения смысла арифметических действий в программах Н.Б. Истоминой и М.И. Моро? Какой
методический подход, по Вашему мнению, способствует реализации развивающих целей начального математического образования,
в частности, развитию универсальных учебных действий у младшего школьника?
4. Какова цель включения в программу по математике изучения свойств арифметических действий? Почему изучение свойств
арифметических действий распределено по всем годам изучения
математики в начальной школе?
5. В чем состоит специфика изучения данного вопроса в различных программах (Н.Б. Истоминой и М.И. Моро)?
Задания для самостоятельной работы
1. В математической теории существуют различные подходы
к определению понятий «сложение» и «вычитание». Какие из
47
определений лежат в основе разъяснения смысла этих действий?
Подтвердить свою точку зрения примерами из учебников математики разных авторов (М.И. Моро, Н.Б. Истоминой).
2. Выполните сравнительный анализ методики изучения смысла
арифметических действий в традиционной программе и программе
Н.Б. Истоминой и заполните таблицу для каждого из 4-х действий:
Критерии анализа
Программа
М.И. Моро
Программа
Н.Б. Истоминой
Вид определения
(явное, неявное), класс
Методические приемы,
используемые
для введения понятия
Методические приемы,
используемые
для усвоения понятия
Виды заданий по усвоению понятий
(по 2 примера)
3. Определите, какие предметные и метапредметные умения
формируются у учащихся при выполнении следующих заданий
(1 класс – Н.Б. Истомина). Назовите виды моделей.
48
4. Учитель предложил для самостоятельной работы задание:
«Маша составила по рисунку выражения: 8–6;
6+3; 8–2; 2+6.
Догадайся, какое выражение «лишнее»? Какую помощь Вы окажите детям, которые не смогут самостоятельно справиться с этим заданием?
5. Одной из задач начального курса математик является усвоение младшими школьниками математической терминологии.
Оцените правильность (корректность) используемой учителем
терминологии при формулировке заданий.
 На доске записаны выражения: 5+4; 6-2. Найдите их значения.
 Какое число пропущено в выражении: 3+...=4?
49
 Сравните два выражения: 2+6=8; 6+2=8. Чем они похожи?
Чем они различаются?
 Какое число пропущено в записи: 8-...=6?
 Какое число пропущено в равенстве: ...-4=2?
 Какое выражение больше: 3+4 или 2+5?
 Значение какого выражения больше 3+4 или 2+5?
 Выберите верные выражения: 5+2=7; 8-2=5; 4+5=9; 9-3=5.
6. Какую математическую терминологию усваивают учащиеся в ходе изучения смысла арифметических действий? Найти в
учебниках задания, направленные на усвоение этой терминологии.
Составьте свои задания с этой же целью.
7. Выделите, какие существенные признаки понятия «умножения» должны быть осознаны учащимися в процессе формирования изучения темы. Какие признаки должны варьироваться? Выделить из учебников математики (программа Н.Б. Истоминой и
М.И. Моро) задания, при выполнении которых учащиеся усваивают данные существенные признаки. Какие методические приемы
используются в этом случае?
8. С какой целью и на каком этапе изучения умножения полезно предложить ученикам задание: «Сравни выражения и поставь знаки >, < или = :
а) 201  4…201+201+201+201;
б) 9  5 …9+9+9+9?».
9. Учитель предложил детям задание: «Пользуясь данным равенством, найдите значение выражения:
а) 6*8=48
б) 4*6=24
в) 9*5=45
7*8=
5*6=
8*5=...».
Как вы организуете работу с заданием, если его выполнение
вызовет у учащихся затруднение? При изучении какой темы можно использовать данное задание для постановки учебной задачи?
Напишите конспект такого урока.
10. При выполнении некоторых заданий учащиеся используют
дедуктивные рассуждения. Какой математический тезис выступает
в качестве общей посылки при выполнении следующих заданий?
Описать ход рассуждения учащихся: «Не выполняя вычислений,
вставь знак > или < так, чтобы получились верные неравенства:
12*9...12*11,
15*7...15*9,
24*7...24*5».
50
Найдите в учебниках математики или составьте самостоятельно задания для изучения смысла всех арифметических действий,
при выполнении которых учащиеся используют дедуктивные рассуждения.
11. После самостоятельного выполнения учащимся задания:
«Найдите значения выражений: 4*3; 2*6; 8*5; 6*3; 5*7» учитель
организовал его проверку и предложил детям прочитать равенство,
в котором:
а) вторым множителем является число 6;
б) значение произведения наибольшее;
в) по 5 взяли 7 раз;
г) второй множитель наибольший;
д) первый множитель наименьший.
С какой целью учитель организовал такую работу?
12. В математике частное чисел а и в трактуется разными способами. В чем заключается теоретико-множественный смысл частного? Поясните суть данного подхода, используя рисунок:
При выполнении каких заданий в учебниках математики учащиеся усваивают? При изучении каких вопросов и в каком виде предлагается определение частного, которое приводится в
аксиоматической теории?
13. Учитель предложил детям самостоятельно нарисовать картинку, к которой можно записать три выражения: 9*2, 18:2, 18:9.
Одни ученики нарисовали такую картинку:
Другие – такую:
Как вы организуете обсуждение результатов самостоятельной
работы?
14. С какой целью учитель предложил детям задание: «Сравни рисунки и объясни, что обозначает каждое число в равенстве
10:2=5»?
51
15. Педагог выполнил на доске рисунок.
И предложил детям самостоятельно записать равенства, которые ему соответствуют. Наблюдая за работой учащихся, учитель
обнаружил в тетрадях записи: 3*4=12; 12:3=4; 12:4=3; 4*3=12. Он
вынес их на доску. Опишите фрагмент урока, на котором обсуждались результаты самостоятельной работы.
16. Свойства арифметических действий служат теоретической
основой вычислительных приемов. Выполнить анализ программ и
учебников математики с точки зрения использования этих свойств.
Данные занести в таблицу.
Изучаемое свойство,
его формулировка
Класс
В каких вычислительных
приемах используется
17. Свойства арифметических действий лежат в основе выполнения различных заданий:
 Найди значение выражений разными способами: 34+27+16,
46+17+24 (76+109)*5.
 Не выполняя действий, поставь знак сравнения:
28:7+14:7и(28+21):7 25*3+8*3и33*3.
Какие свойства являются основой выполнения данных заданий? Подобрать из учебников математики различные виды заданий, предусматривающие использование элементов теории.
18. Найдите в учебниках математики задания, при выполнении
которых учащиеся используют дедуктивные рассуждения, общей
посылкой в которых выступают свойства арифметических действий.
19. Сравните два варианта изучения переместительного свойства умножения. Какому варианту вы отдаете предпочтение? Почему?
52
1 вариант
Найдите значение выражений: 3*5 и 5*3
4*2 и 2*4
Сравните равенства. Что вы заметили? Какой вывод сделаете?
2 вариант
Сравните выражения. Каким свойством можно воспользоваться при нахождении значения выражения?
6+9
7+5
8+3
9+6
5+7
3+8
Как связано сложение и умножение? Какие предположения вы
сможете сделать?
Как это предположение можно проверить?
 Выпишите в методическую картотеку 4 варианта изучения
переместительного свойства умножения (см. Н.Б. Истомина. Практикум по методике преподавания математики в начальных классах.
Смоленск, 2009. Гл. 1. С. 44–56, задача 141).
20. Изучение некоторых свойств арифметических действий
осуществляется в соответствии со следующими этапами:
а) наблюдение и сравнение;
б) обобщение и формулировка свойства;
б) закрепление свойства;
в) использование свойства для вычислений.
Составьте задания, соответствующие каждому этапу изучения
свойств.
Образцы выполнения заданий
Задание 1. Учитель предложил детям следующее задание:
«Сравни выражения, поставив знаки <, >, =. Найдите общее в полученных неравенствах, сделайте вывод:
2+3...2*3
3+4...3*4
4+5...4*5
5+6...5*6».
К какому выводу могут прийти учащиеся? Является ли он верным? Какой тип обобщения (индуктивный, дедуктивный) используется в данном задании? Каким образом может быть сформулирован
истинный вывод? Какова дидактическая цель этого задания?
Образец
Вывод: «Сумма двух натуральных чисел всегда меньше произведения этих же чисел».
Обоснование: Данное высказывание ложно. Для обоснования
истинности обоснования истинности высказывания с квантором
53
общности, чтобы убедиться в ложности высказывания достаточно
привести контрпример: 3+1>3*1, 2+2=2*2. В данном задании используется индуктивный тип обобщения: на основании того, что
некоторые объекты обладают определенным свойством, делается
вывод о том, что этим свойством обладают все объекты этой совокупности. Верный вывод можно сформулировать разными способами: Существуют такие натуральные числа, сумма которых может
быть меньше, больше или равна произведению этих чисел. Возможная дидактическая цель задания: установление связи между
компонентами и результатами действий сложения и умножения.
ТЕМА 2
Методика формирования навыка табличных
вычислений
Теоретические сведения
Вычислительный прием – это система операций, выполнение
которых приводит к нахождению результатов. Выбор операций в
каждом приеме определяется теми теоретическими положениями,
которые используются в качестве его теоретической основы (определения, свойства).
Вычислительное умение – это развернутое осуществление соответствующего действия, сопровождающееся осознанием цели,
способа действий и условий их выполнения.
Вычислительный навык – высокая степень овладения вычислительным приемом, в значительной мере автоматизированное
выполнение действий, с пропуском промежуточных операций, где
контроль переносится на конечный результат.
Изучение смысла арифметических действий предполагает составление таблиц сложения и умножения, а в некоторых программах и таблиц вычитания и деления. В настоящее время осуществляется два подхода к составлению таблиц сложения: таблица сложения составляется по мере изучения вычислительных приемов
или на основе состава числа. Составление таблиц умножения опирается на умения учащихся заменять сумму произведением, а произведение заменять суммой. Табличные случаи вычитания и деле-
54
ния находятся на основе связи между сложением и вычитанием, а
также умножением и делением.
В соответствии с программными требованиями у учащихся
должен быть сформирован навык высокой степени автоматизации.
С этой целью может быть использованы различные методические
подходы, в основе которых лежит произвольное, непроизвольное
или сочетание этих видов запоминания таблиц сложения и умножения, а также соответствующих случаев вычитания и деления.
Реализуются данные подходы посредством целесообразно подобранной системы учебных заданий.
Рекомендуемая литература
1. Бантова, Г. А. Система формирования вычислительных
навыков / Г. А. Бантова // Начальная школа. – 1993. – № 11. –
С. 48–56.
2. Клецкина, А. А. Формирование навыков табличного умножения / А. А. Клецкина // Начальная школа. – 2001. – № 9.
3. Кравченко, Н. В. Особенности изучения табличного умножения и деления в рамках разных программ обучения математике /
Н. В. Кравченко // Начальная школа. – 2009. – № 3.
4. Лехова, В. П. Дедуктивные рассуждения в курсе математики
начальных классов / В. П. Лехова // Начальная школа. – 1998. – № 5.
5. Махнюк, З. Г. Приемы, используемые при составлении таблиц умножения / З. Г. Махнюк // Начальная школа. – 1988. – № 11.
6. Никулина, А. Д. Изучение табличного умножения и деления / А. Д. Никулина // Начальная школа. – 1987. – № 10.
7. Нюман, О. В. Проблемы формирования самоконтроля в
процессе вычислительной деятельности / О. В. Нюман // Начальная
школа. – 2012. – № 4.
8. Пиядин, Н. С. Формирование вычислительных умений и
навыков / Н. С. Пиядин // Начальная школа. – 1990. – № 10.
9. Планкина, Д. Ю. Использование магических квадратов для
развития умения рассуждать / Д. Ю. Планкин // Начальная школа. –
2013. – № 11.
10. Савина, Л. П. Усвоение таблицы умножения / Л. П. Савина // Начальная школа. – 2006. – № 1.
55
11. Саламатова, Г. И. Элементы занимательности при изучении таблицы умножения / Г. И. Саламатова // Начальная школа. –
2004. – № 10.
12. Степанова, С. В. Случаи умножения и деления с числами
0 и 1 / С. В. Степанова // Начальная школа. – 1984. – № 10.
13. Туркина, В. М. Работа по составлению таблиц умножения / В. М. Туркина // Начальная школа. – 1998. – № 5.
14. Хлебникова, О. А. Изучение табличных случаев умножения / О. А. Хлебникова // Начальная школа. – 2010. – № 12.
15. Царева, С. Е. Формирование вычислительных умений в
новых условиях / С. Е. Царева // Начальная школа. – 2012. – № 11.
16. Царева, С. Е. Формирование основ алгоритмического
мышления в процессе начального обучения математике / С. Е. Царева // Начальная школа. – 2012. – № 4.
17. Цыварева, М. А. Формирование у младших школьников
вычислительных навыков в условиях сотрудничества / М. А. Цыварева, Т. И. Низарьева // Начальная школа плюс До и После. –
2010. – № 3.
Вопросы для самоконтроля
1. Какие знания и умения необходимо сформировать у учащихся для составления таблиц сложения и умножения, для нахождения соответствующих случаев вычитания и деления.
2. В чем особенность составления таблиц в программах
Н.Б. Истоминой и М.И. Моро? Чем обусловлены эти особенности?
3. Какие приемы запоминания таблиц сложения и умножения
предлагаются в учебниках Н.Б. Истоминой и М.И. Моро?
4. В чем состоит специфика подхода к формированию навыка
табличных вычислений в программах Н.Б. Истоминой и
М.И. Моро?
Задания для самостоятельной работы
1. Выполните теоретический анализ вычислительных приемов, которые предусмотрены программой М.И. Моро при составлении таблиц сложения и вычитания.
56
Вычислительный прием
Теоретическая
основа вычислительного приема
Знания и умения,
на которые опирается
учащийся при выполнении приема вычисления
а+1, а-1
а+2, 3, 4; а-2, 3, 4
а+5, 6, 7, 8, 9
а-5, 6, 7, 8, 9
2. Выделить систему учебных действий, которые выполняют
учащиеся при составлении таблицы сложения с опорой на состав
однозначного числа (программа Н.Б. Истоминой). Выделить этапы
составления таблиц сложения и вычитания, которое опирается на
использование вычислительных приемов.
3. В качестве подготовки к изучению вычислительного приема учитель предлагает задания:
 Какие числа можно вставить: 6=...+..., 7=...+..., 8=...+...,
9=...+..., 10=...+...?
 Объясни запись: 3+5=8 8–3=5 8-5=3.
 Закончи запись: 2+7=9 9–...=...
9–...=...
Сформулировать:
 Тему урока: какой вычислительный прием подлежит усвоению.
 Цель урока в соответствии с темой.
 Задачу подготовительного этапа к введению данного вычислительного приема.
4. Выделите приемы, использование которых способствует
запоминанию табличных случаев сложения, вычитания, умножения
и деления. Найдите в учебниках задания, реализующие указанные
приемы. Дополните данные задания.
5. При выполнении заданий дети допустили следующие
ошибки: 6–4=4 3+3=6
Указать причины появления ошибок в вычислениях. Составить задания для работы над ошибками.
6. Составить задания для проверки сформированности навыка
табличного умножения и деления: скорости и правильности вычислений.
7. Для усвоения вычислительного приема сложения однозначных чисел с переходом в другой разряд учитель предложил найти
значения выражений 9+3; 9+5; 9+7 (в случае затруднений учащиеся
57
могли воспользоваться моделями десятка и единиц). Способ сложения подробно обсуждался и был представлен в виде записи:
9+3=9+1+2; 9+5=9+1+4; 9+7=9+1+6. Затем учащимся было предложено самостоятельно найти значения выражений 7+4; 6+5; 8+7. Дети
не справились с работой. В чем причина такого результата?
8. Конкретизируйте на примере изучения таблиц сложения и
вычитания этапы формирования навыков табличных вычислений:
 непроизвольное запоминание;
 установка на запоминание;
 самоконтроль;
 контроль.
9. Проанализируйте учебники математики для начальных
классов и опишите методику формирования навыков табличного
умножения и деления в каждом из них.
10. Формирование вычислительных навыков – одна из главных задач начального курса математики. В отличие от умений, которые включают определенную последовательность действий,
навык – это способ действия, доведенный до автоматизма. Соотношения между умениями и навыками могут быть различны:
а) действия всегда выполняются развернуто (умение никогда не
трансформируется в навык); б) действие первоначально выполняется развернуто, а затем свернуто; в) формируемое действие сразу
выполняется свернуто.
К какому из описанных вариантов относятся табличные случаи умножения и деления. Подтвердите свой ответ примерами из
учебников.
11. Непроизвольному запоминанию табличных случаев
умножения и деления способствуют задания, связанные с наблюдением, сравнением, поиском закономерностей. Также они могут
быть связаны как с индуктивными, так и с дедуктивными умозаключениями.
Выберите задания, при выполнении которых ученики выполняют
рассуждения: а) от частного к общему; б) от общего к частному.
 Чем похожи выражения в каждом столбце? Чем отличаются?
По какому правилу они составлены? Допиши свои выражения в
каждый столбец и найди значения всех выражений.
9*3
6*4
4*5
9*4
6*5
4*6
58
9*5
6*6
4*7
 Догадайся, по какому правилу записаны выражения:6*2, 6*4,
6*6. На сколько значение каждого следующего выражения больше
предыдущего? Ответ проверь вычислениями.
 По какому правилу записаны выражения: 9*3+9, 9*4+9,
9*5+9? Запиши еще три выражения по тому же правилу. Найди их
значения.
 Не выполняя вычислений, запиши произведения в порядке
возрастания их значений: 6*3, 6*7, 6*2, 6*8, 6*5. Проверь свой ответ, вычислив значения произведений.
Найдите в учебниках Н.Б. Истоминой и М.И. Моро аналогичные задания и разработайте различные варианты организации познавательной деятельности младших школьников при выполнении
этих заданий.
12. Какие задания вы предложите учащимся, рассматривая
случаи: а) деления на 1; б) деления числа на самого себя; в) деление нуля на любое число. Какой комментарий может сделать учитель, сообщая детям, что «на нуль делить нельзя»?
13. Составьте задания, которые учитель может использовать:
 для запоминания таблиц умножения и деления;
 для воспроизведения табличных случаев умножения и деления;
 для отработки скорости и правильности вычислений.
ТЕМА 3
Методика формирования навыков
устных внетабличных вычислений
Теоретические сведения
В методике выделяют приемы устных и письменных вычислений. Вычисления, производимые устно и оформляемые в строчку,
считаются устными. Ориентировочной (теоретической) основой
устных вычислений является:
 десятичная запись числа;
 свойства арифметических действий;
 таблицы сложения и умножения;
 ранее усвоенные вычислительные приемы.
59
Процесс формирования вычислительного навыка предусматривает ряд этапов.
1. Подготовительный этап. Подготовка к изучению вычислительного приема заключается в изучении теоретических положений, которые являются основой вычисления, и соответствующих
способов действия.
2. Введение вычислительного приема. Сущностью данного
этапа является выделение последовательности операций, входящих в содержание вычислительного приема. Необходимая система
операций может выделяться на основе анализа и сравнения образцов, самостоятельного конструирования приема, исследования и
преобразования модели числа.
3. Усвоение вычислительного приема в громкоречевой форме.
Организация деятельности на данном этапе предполагает проговаривание всех операций вслух. Непосредственное проговаривание может
заменяться выполнением развернутой (подробной) записи.
4. Формирование навыка. На данном этапе происходит свертывание операций:
 сокращаются в первую очередь промежуточные операции;
 сокращение некоторых основных операций;
 предельное сокращение основных операций.
В результате у учащихся формируется вычислительный навык.
В зависимости от специфики программы содержание этапов формирования навыка, система методических приемов может быть
различной.
Рекомендуемая литература
1. Бантова, Г. А. Система формирования вычислительных навыков / Г. А. Бантова // Начальная школа. – 1993. – № 11. – С. 48–56.
2. Белошистая, А. В. Прием формирования устных вычислительных умений в пределах 100 / А. В. Белошистая // Начальная
школа. – 2001. – № 7. – С. 18–23.
3. Вапняр, Н. Ф. Изучение темы «Деление с остатком» /
Н. Ф. Вапняр // Начальная школа. – 2001. – № 7.
4. Ефимов, В. Ф. Изучения внетабличного умножения коллективными способами обучения / В. Ф. Ефимов, Л. В. Епишина //
Начальная школа. – 2008. – № 11. – С. 53–58.
60
5. Демидова, Т. Е. Приемы рациональных вычислений /
Т. Е. Демидова, А. П. Тонких // Начальная школа. – 2002. – № 2. –
С. 41–47.
6. Ивашова, О. А. Применение исследовательских заданий в
занимательной форме для становления вычислительной культуры у
младших школьников / О. А. Ивашова // Начальная школа. –
2009. – № 8. – С. 28–34
7. Медведская, В. Н. Система опросных схем при формировании навыков устного внетабличного умножения и деления /
В. Н. Медведская // Начальная школа. – 1991. – № 11. – С. 65–72.
8. Михеева, В. М. Внетабличное умножение и деление /
В. М. Михеева // Начальная школа. – 2009. – № 11. – С. 35–40.
9. Никитина, М. П. К изучению темы «Внетабличное умножение и деление» / М. П. Никитина // Начальная школа. – 1995. –
№ 12. – С. 67–70.
10. Петерсон, Л. Г. Активизация деятельности детей при изучении вычитания двузначных чисел с переходом через разряд /
Л. Г. Петерсон // Начальная школа. – 1997. – № 6. – С. 56–63.
11. Планкина, Д. Ю. Использование магических квадратов
для развития умения рассуждать / Д. Ю. Планкина // Начальная
школа. – 2013. – № 11. – С. 37–44.
12. Полозова, Т. П. Роль самоконтроля в формировании вычислительных навыков / Т. П. Полозова // Начальная школа. –
1985. – № 6. – С. 65–69.
13. Сергеева, Л. А. Развивающие функции тренировочных
упражнений по математике / Л. А. Сергеева // Начальная школа. –
1997. – № 12. – С. 26–33.
14. Туркина, В. М. Математические квадраты как средство
развития умения вычислять и рассуждать / В. М. Туркина //
Начальная школа. – 2001. – № 9. – С. 28–35.
15. Фаддейчева, Т. И. Обучение устным вычислениям /
Т. И. Фадичева // Начальная школа. – 2003. – № 10. – С. 73–78.
16. Цыварева, М. А. Формирование у младших школьников
вычислительных навыков в условиях сотрудничества /
М. А. Цыварева, Т. И. Низарьева // Начальная школа плюс
До и После. – 2010. – № 3. – С. 57–63.
61
Вопросы для самоконтроля
1. Как осуществляется преемственность в изучении нумерации чисел и приемов устных вычислений на математическом и методическом уровнях?
2. Какие группы приемов устных внетабличных вычислений
подлежат усвоению? В какой последовательности они предлагаются?
3. Какими приемами самоконтроля должны овладеть учащиеся при формировании навыков внетабличных вычислений?
4. В чем вы видите дидактическую цель изучения темы «Деление с остатком»? Какие этапы изучения темы необходимо выделить?
Задания для самостоятельной работы
1. Выполнить анализ учебников (на выбор) с точки зрения
теоретического обоснования содержания приемов устных вычислений и готовности учащихся к их освоению. Данные занесите в
таблицу.
Приемы внетабличного сложения и вычитания
Вычислительный
прием
Класс
Развернутая запись
и словесная
формулировка
Знания, умения
и навыки, лежащие
в основе приема
Приемы внетабличного умножения и деления
Вычислительный
прием
Класс
Развернутая запись
и словесная
формулировка
Знания, умения
и навыки, лежащие
в основе приема
2. Учитель предлагает задания для подготовки к изучению
вычислительного приема:
 Найти значения выражения разными способами: (25+15):5,
(32+16):4.
 Найти значение выражения удобным способом: (60+12):3,
(70+14):4.
 Запиши только значение частного: 60:3, 27:9, 36:4, 50:5, 40:2,
56:7, 90:3.
Какой вычислительный прием рассматривается на данном
уроке? Сформулируйте тему и цели урока.
62
3. Найти значение выражения 37+5 можно разными способами:
37+5=37+(3+2)=(37+3)+2=42,
37+5=(30+7)+5=30+(7+5)=30+12=42.
Какие теоретические положения являются основой каждого
варианта выполнения приема? Какие вычисления можно выполнить разными способами? С какой целью предлагаются учащимся
разные варианты вычислений?
4. Какие способы введения вычислительного приема предлагаются в учебниках Н.Б. Истоминой и М.И. Моро? Составить вопросы и задания для каждого способа.
5. Составить задания:
 для подготовки учащихся к изучению вычислительного
приема (на выбор);
 для первичного закрепления вычислительного приема;
 для формирования навыка.
6. Разработать фрагмент урока по изучению нового вычислительного приема (прием выбрать самостоятельно). В уроке отразить следующие этапы:
 подготовка к изучению нового материала;
 изучение нового материала;
 первичное закрепление (выполнение действия в громкоречевой форме).
7. При изучении вычислительного приема учитель может выбрать в качестве ведущих различные методические приемы: а) беседу; б) объяснение; в) самостоятельную работу с учебником (анализ готового образца). Основой данных приемов является показ
образца способа действия. Разработать вариант организации продуктивной деятельности учащихся при выделении способа действия. Использование каких методических приемов позволяет организовать продуктивную деятельность учащихся?
8. Определите предметные и метапредметные цели следующих упражнений. При изучении каких вычислительных приемов
можно использовать данные задания?
 Чем похожи и чем отличаются выражения в каждой паре?
4+2
4+3
40+20
40+30
Найди значение выражений. Составь по этому же правилу пары выражений с другими числами и найди их значения.
63
 Выбери выражения, которые соответствуют рисунку, и
найди их значения.
9. В начальном курсе математики новое знание часто открывается учащимися посредством индуктивного обобщения, в ходе
которого младшие школьники на основе наблюдения и сравнения
частных случаев формулируют общее правило, закономерность.
Рассмотрите предложенный фрагмент урока по теме «Умножение
однозначного числа на двузначное». Как Вы думаете, почему учащиеся сформулировали общее правило таким образом? Верно ли
данное обобщение с математической точки зрения? В чем недостаток предложенной формулировки? Какое требование для организации обобщения индуктивным путем было нарушено учителем?
«Чем похожи все предложенные выражения? (это произведения, в которых однозначное число умножается на двузначное)
5*14
7*12
3*18
Объясните, как выполняли вычисления в каждом случае (учащиеся словесно проговаривают способ вычисления).
5*14=5*(10+4)=5*10+5*4=50+20=70
7*12=7*(10+2)=7*10+7*2=70+14=84
3*18=3*(10+8)=3*10+3*8=30+24=54
Сделайте вывод о том, как умножить однозначное число на
двузначное? (вывод: чтобы умножить однозначное число на двузначное, нужно двузначное представить в виде суммы десяти и
другого слагаемого и воспользоваться распределительным свойством умножения)».
64
10. Для формирования навыка вычислений учащимся предлагаются: а) многочисленные тренировочные упражнения репродуктивного характера, б) учебные задания, при выполнении которых учащиеся используют приемы мыслительной деятельности
(сравнение, классификация, анализ, синтез, аналогия). Выписать из
учебников математики и разработать задания указанных групп по
темам «Внетабличные приемы умножения и деления» и «Внетабличные приемы сложения и вычитания».
11. Особое внимание в начальной школе необходимо уделять
развитию мышления, в том числе таким его качествам, как гибкость, критичность. Оцените возможность использования заданий
для развития данных качеств мышления.
 Вычисли значение произведения 13*7.
Один ученик вычислял значение произведения так:
6*7+7*7=42+49=91.
Другой – так:10*7+3*7=70+21=91.
Объясни, как рассуждал каждый ученик.
 Согласен ли ты с утверждением, что все данные равенства
являются верными:
36:9+18:9=(36+18):9
(30+12):6=30:6+12
42:6=42:6+12:6
(10+32):3=10:3+32:3
 Чем похожи все равенства? Проверь, будет ли делиться на
4 каждое слагаемое, и сделай вывод.
(24+8):4=8
(16+12):4=7
(4+16):4=5
(32+4):4=9
При изучении каких тем могут быть использованы данные задания, продумайте возможный вариант организации работы с 3
заданием.
12. Найдите в учебниках математики для начальной школы
задания на классификацию выражений при изучении приемов внетабличного сложения и вычитания, умножения и деления. Что выступает в качестве оснований для классификации? Определите дидактические цели этих заданий. Составьте аналогичные задания,
ориентируясь на следующие типы:
65
нахождение лишнего объекта;
классификация по заданному основанию;
определение основания выполненной классификации;
самостоятельный выбор основания и выполнение классификации;
 выполнение классификации по различным основаниям (выбор основания самостоятельный).
13. Разработать методику выполнения заданий продуктивного характера, реализующих дидактические и развивающие цели
урока: формирование навыка устных вычислений и развитие мыслительных операций.
14. Неправильное использование учащимися приема аналогии приводит к появлению ошибок типа: 66:33=60:3+6:3=22. Разработать задания по предупреждению подобных ошибок.
15. Причиной вычислительных ошибок у учащихся могут
быть допущенные учителем методические ошибки. Какие методические ошибки присутствуют во всех объяснениях учителя? Каковы последствия этих ошибок?

50–27. Заменю 27 суммой разрядных слагаемых 20 и 7, из
50 вычесть 20, получится 30. Из 30 вычесть 7, для этого заменю 30
суммой удобных слагаемых 20 и 10. Удобно вычесть 7 из второго
слагаемого – из 10, получится 3. Прибавлю 3 к первому слагаемому – 20, получится 23.

27*3. Заменю 27 суммой разрядных слагаемых 20 и 7. Затем эту сумму умножим на 3. Умножаем каждое слагаемое на 3,
полученные результаты складываем.
Какими рассуждениями должны овладеть учащиеся на различных этапах формирования вычислительного навыка?
16. Причиной вычислительных ошибок могут быть следующие действия учащихся:
 Смешивают приемы вычислений: переносят ранее усвоенный прием на новые случаи или вновь изученные вычислительные
приемы переносят на ранее изученные.
 Не различают разрядов при выполнении действий.
 Допускают ошибки в табличных вычислениях, которые в качестве составляющих операций входят в более сложные вычисления.
 Смешивают действия сложения и вычитания.




66
Установите причины следующих ошибок, которые допустили
учащиеся в следующих вычислениях:
58+6=63
56–30=14 57–40=53
76–20=70 36+20=16
Составьте задания для предупреждения и исправления ошибок.
17. Составьте задания, которые необходимо использовать
для овладения учащимися приемами самоконтроля при формировании навыков внетабличных вычислений.
18. В курсе математики предлагается следующее определение деления с остатком: «Разделить с остатком целое неотрицательное число а на натуральное число в – значит найти такие целые
неотрицательные числа q и r, что a=bq+r и 0<r<b.» В каком виде
это определение предлагается младшим школьникам? При выполнении каких заданий оно усваивается детьми?
19. Выполните сравнительную характеристику методики
изучения деления с остатком в программах М.И. Моро и Н.Б. Истоминой, заполните таблицу.
Критерий сравнения
1. Класс и место данной темы
в НКМ
2. Способ введения и усвоения
понятия
3. Основной способ деления с
остатком (указать все)
4. Особые случаи деления с остатком
5. Формы записи деления с остатком
6. Виды упражнений по усвоению
деления с остатком
М.И. Моро
Н.Б. Истомина
20. Укажите страницы учебников математики М.И. Моро и
Н.Б. Истоминой, соответствующие каждому этапу изучения деления с остатком:
 Введение и усвоение предметного смысла деления с
остатком. Знакомство с терминами.
 Усвоение смысла деления с остатком. Выяснение соотношения остатка и делителя.
 Овладение способами деления с остатком.
 Деление с остатком меньшего числа на большее.
 Деление с остатком на 10, 100, 1000.
67
21. Какие способы деления с остатком изучают младшие
школьники в различных учебниках математики? Конкретизируйте
каждый способ на примере случая 27:5. Какие знания и умения
необходимы ученику для овладения каждым способом? Какой способ является основным в каждом учебнике?
Образцы выполнения заданий
Задание 1. Выполнить анализ приемов устного внетабличного
умножения и деления с точки зрения использования теоретических
положений, лежащих в основе вычислений и уровня готовности
учащихся к усвоению этих приемов.
Образец
Вычислительный
прием
25*3
умножение двузначного
числа на
однозначное
Класс
программа
М.И. Моро
3 класс
Развернутая запись
и словесная формулировка вычислительного приема
25*3=(20+5)*3=20*3
+5*3=60+15=75
Чтобы умножить
двузначное число на
однозначное нужно
представить двузначное число в виде
суммы разрядных
слагаемых, умножить каждое слагаемое на однозначное
число и полученные
результаты сложить
68
Знания, умения
и навыки, лежащие
в основе вычислительного приема
Знания:
 правило умножения
суммы на число,
разрядного состава
двузначного числа.
Умения:
 представлять число
в виде суммы разрядных слагаемых.
Навыки:
 табличного умножения,
 умножение круглых чисел,
 сложения двузначных чисел
ТЕМА 4
Методика формирования навыков
письменных вычислений
Теоретические сведения
Программой по математике для начальной школы предусмотрено формирование навыка письменных вычислений частичной
автоматизации. Это означает, что автоматизируются лишь некоторые операции, для нахождения результата учащиеся выполняют
все операции, но при этом не объясняют способ выполнения каждой элементарной операции. (Элементарной операцией в данном
случае называют ранее усвоенный способ, который в качестве составляющей операции используется в алгоритмическом предписании). Учитывая эту особенность, иногда утверждается возможность формирования только умений выполнять письменные вычисления.
Алгоритмы письменных вычислений являются наиболее трудными для усвоения младшими школьниками. Это объясняется следующими причинами:
 Алгоритмы письменных вычислений (особенно письменного
деления) являются наиболее сложными так как в их состав входят
большое количество элементарных операций.
 Для усвоения алгоритмов у учащихся должны быть сформированы знания, умения и навыки на достаточно высоком уровне
(знание структуры многозначного числа, умение делить с остатком,
навыки табличных вычислений). Однако предполагаемый уровень
довольно часто не совпадает с реальным.
Для формирования соответствующего навыка используются
различные методические подходы: рассматриваются различные
частные случаи (сложение с одним переходом через разряд, с переходом через несколько разрядов, умножение и деление с нулями
и т. д.). Сущность другого подхода заключается в отработке наиболее трудных для учащихся операций (запись «в столбик», механизм
перехода через разряд, подбор пробной цифры частного и т. д.), в
результате учащиеся овладевают общим способом действия.
69
Рекомендуемая литература
1. Бормотова, М. М. Развитие самоконтроля у младших
школьников на уроках математики / М. М. Бормотова // Начальная
школа. – 2005. – № 9. – С. 75–80.
2. Демидова, Т. Е. Формирование умений самоконтроля у
младших школьников на уроках математики / Т. Е. Демидова,
И. Н. Чижевская // Начальная школа плюс До и После. – 2013. –
№ 10. – С. 15–24.
3. Ефимов, В. Ф. Изучение письменного умножения многозначных чисел в условиях коллективных способов обучения (КСО) /
В. Ф. Ефимов // Начальная школа. – 1998. – № 1. – С. 57–62.
4. Зотова, Н. В. Работа по предупреждению ошибок /
Н. В. Зотова // Начальная школа. – 1998. – № 3. – С. 64–67.
5. Ивашова, О. А. Применение исследовательских заданий в
занимательной форме для становления вычислительной культуры у
младших школьников / О. А. Ивашова // Начальная школа. –
2009. – № 8. – С. 58–66.
6. Медведева, Н. В. Составление алгоритма на уроках математики при решении примеров в столбик / Н. В. Медведева //
Начальная школа плюс До и После. – 2010. – № 3. – С. 52–56.
7. Нюман, О. В. Проблемы формирования самоконтроля в
процессе вычислительной деятельности / О. В. Нюман // Начальная
школа. – 2012. – № 4. – С. 63–68.
8. Окунева, В. Ф. Урок математики на тему «Умножение и
деление чисел, оканчивающихся нулями» / В. Ф. Окунева //
Начальная школа. – 2006. – № 11. – С. 44–49.
9. Царева, С. Е. Формирование вычислительных умений в новых условиях / С. Е. Царева // Начальная школа. – 2012. – № 11. –
С. 77–82.
10. Царева, С. Е. Формирование основ алгоритмического
мышления в процессе начального обучения математике /
С. Е. Царева // Начальная школа. – 2012. – № 4. – С. 22–31.
Вопросы для самоконтроля
1. Почему в начальных классах учащимся предлагается неполный алгоритм? Почему учителю необходимо знать алгоритм в общем виде?
70
2. Какие психологические особенности должен учитывать
учитель, организуя работу по овладению учащимися вычислительными навыками на основе различных методических подходов к его
формированию?
3. Почему возможно одновременное рассмотрение различных
случаев сложения и вычитания, а умножения и деления – только
последовательное введение?
Задания для самостоятельной работы
1. Сформулируйте алгоритмы письменных вычислений. Какие теоретические положения являются основой этих алгоритмов?
Какими знаниями, умениями и навыками характеризуется готовность учащихся к освоению алгоритмов? Оформите таблицу:
Алгоритмы вычислений, словесная
формулировка
Теоретическая
основа
алгоритма
Характеристика
готовности учащихся
к изучению темы
2. Выполните анализ учебников математики (автор М.И. Моро). Какие частные случаи использования алгоритма предлагаются
для рассмотрения учащимися? Чем обусловлен выбор данных
частных случаев? Оцените преимущества и недостатки данного
методического подхода.
3. Выполните анализ учебников математики (автор Н.Б. Истомина). Какие операции подлежат дополнительной отработке?
Выделить задания, которые предлагаются с этой целью.
4. Наиболее трудными для учащихся случаем вычитания многозначных чисел является прием вычитания с переходом через несколько разрядов и прием, при котором в записи уменьшаемого
используются нули. Основой выполнения приемов является дробление разрядов. Составьте задания, которые используются для подготовки к рассмотрению этих случаев вычитания многозначных
чисел.
5. Для подготовки к изучению алгоритма письменного деления учитель предлагает следующие задания:
 Выполни деление с остатком:
15:7
48 дес.:5
39 сот.:4
19:6
71
 Сколько всего цифр в записи числа используется, если высшим разрядом в числе являются: единицы тысяч, сотни, десятки
тысяч, сотни тысяч, десятки.
 Сколько всего единиц, десятков, сотен, единиц тысяч, десятков тысяч, сотен тысяч в следующих числах: 28317, 5421, 60030,
72005.
Какими заданиями необходимо дополнить подготовительную
работу.
6. Определите дидактические цели и значение следующих
упражнений:
 Объясните, как выполняли вычисления:
321*3=(300+20+1)*3=300*3+20*3+1*3=900+60+3=963
 Верно ли равенство:
(200+40+1)*2=200*2+40*2+1*2
 Найди значение выражений в первом столбике. Пользуясь
тем же способом вычислений, найди значение выражений во втором и третьем столбиках:
23*5
264*3
3124*4
43*2
431*2
4232*3
7. С какой целью учитель предложил на уроке следующие задания:
 Объясни, как выполнено сложение и догадайся, почему
сложение в столбик необходимо выполнять, начиная с единиц.
+31274
+31274
3413
3416
34687
34690
 Рассмотри способы вычислений Миши и Маши и определи,
кто допустил ошибку и в чем ее причина:
+121346
+121346
6134
6134
734746
127480
8. Составьте подготовительные упражнения для изучения следующих случаев письменных вычислений: 25384+14869, 70005–
12436, 2836:4, 27400*180.
9. Введение алгоритмов сложения и вычитания многозначных
чисел можно организовать по-разному:
72
 Переход от развернутой записи в строчку к записи в столбик:
4812+3156=(4000+800+10+2)+(3000+100+50+6)=(4000+3000)+(800
+100)+(10+50)+(2+6)=7000+900+60+8=7968.
 Использование аналогии со способом вычисления двузначных и трехзначных чисел:
+58
+ 458
+7458
27
127
3127
Какие еще методические приемы введения алгоритмов сложения и вычитания предлагаются в учебниках математики. Разработайте фрагменты уроков с использованием этих приемов.
10. Какое условие соблюдается в процессе формирования
вычислительного навыка вычитания многозначных чисел в приведенных ниже примерах: 84195–3073, 12734–1584, 7239–3725,
123547–65325, 623193–275028.
Назовите другие необходимые условия успешности формирования навыка письменного вычитания многозначных чисел. Пользуясь различными источниками, составьте конспект урока, на котором комплексно соблюдаются названные условия.
11. Расположите данные упражнения так, чтобы учащиеся
смогли выполнить обобщение способа умножения на число, оканчивающееся нулями:
 Закончите
решение:
16*3000=16*(3*1000)=...
32*2000=32*(2*1000)=...
 Представьте числа в виде произведения: 70=7*10 700=7*100
7000
3600
 Объясните запись: 342*60=342*(6*10)=(342*6)*10=...
Как вы перейдете к записи «в столбик»? Приведите объяснение.
 Вычислите устно, объясните решение: 15*20=…, 14*200=…
12. Составьте задания, которые предлагаются учащимся для
самостоятельного выделения следующих способов:
 письменные приемы умножения двух чисел, оканчивающихся нулями;
 письменное деление двух чисел, оканчивающихся нулями;
 письменное умножение многозначного числа на двузначное и трехзначное число;
 письменное деление многозначного числа на двузначное и
трехзначное число.
73
13. С какой целью учитель предложил на уроке следующие
задания?
 Соедините пары выражений, значения которых содержат
одинаковое количество цифр:
125:5
6123:3
2712:4
75:5
21007:7
1089:9
 Выбери выражения, в которых количество цифр в значении
частного и делимом будет одинаковым:
468:4
2751:43
21621:3
721:7
1245:5
7712:2
 Объясни, почему при делении одного и того же числа на однозначное число, в одном случае получили шестизначное число, а
в другом пятизначное:
357675:3=119225
357675:5=71535
14. Что общего и чем отличается деление многозначных чисел:
на однозначное число и числа, оканчивающиеся нулем, и на двузначное и трехзначное? Покажите это на примерах: 29160:6
29160:60
4042:47
9858:318
15. При выполнении умножения многозначного числа на однозначное допущены следующие ошибки:
15003*7=35721
305*8=3240
8713*6=48278
Проверка самостоятельной письменной работы должна носить обучающий характер. Для этого учитель может использовать различные приемы исправления ошибок учащихся:
 подчеркнуто выражение, при нахождении значения которого
допущена ошибка;
 зачеркнут неверный результат;
 неверное вычисление зачеркнуто и написан правильный вариант (или дано указание, какие вопросы необходимо повторить);
 на полях указан тип выражений, в которых допущена ошибка;
 подчеркнута та операция (для письменных вычислений), где
допущена ошибка.
Расположите эти приемы по степени самостоятельности в исправлении собственных ошибок учащимися. Чем вы будете руководствоваться при выборе приема исправления ошибок?
74
16. Составьте контрольные задания для выявления уровня
сформированности навыков письменных вычислений. Выбор заданий обоснуйте.
17. Определите, какие ошибки могут допустить учащиеся при
выполнении контрольных заданий. Каковы причины их возникновения? Разработайте задания для работы над ошибками.
Образцы выполнения заданий
Задание 1. Выделите, какие ошибки могут быть допущены учащимися при выполнении письменного сложения и вычитания. Разработайте задания для предупреждения и работы над ошибками.
Образец
Выполнение вычисления
27346
+ 42935
69272
Возможные
причины ошибки
Задания для работы
над ошибками
1. Несформированность навыка
табличного сложения однозначных
чисел: 6+5=12
1. Математический диктант:
Найти сумму 6 и 7, 8 и 3, 9 и 7.
2. Найти значения выражений:
6+8
5+7
6+6
7+9
8+6
3. Сравни: 2+9 и 6+8, 5+6 и 8+4
4. Назови, сколько единиц каждого
разряда в числе 385649.
5. Сколько единиц нудно прибавить
с числу 3957, чтобы изменилась
цифра, обозначающая количество
десятков? Сколько нужно прибавить
десятков, чтобы изменилась в этом
числе цифра, обозначающая количество сотен?
6. Найди значение выражений:
29+1, 392+10, 543+7, 543+60
2. Несформированность операции
перехода через
разряд: учащиеся
не прибавляют
единицу к единицам соответствующего разряда
75
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ЛАБОРАТОРНЫХ
И САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ
ТЕМА 1
Методика изучения смысла арифметических действий
Подготовка к лабораторному занятию
1. Подберите и изучите литературу (см. практическое занятие – ТЕМА 5).
2. Выполните анализ программ и учебников Н.Б. Истоминой
и М.И. Моро для выделения особенностей ознакомления со смыслом арифметических действий.
3. Подготовьте необходимый наглядный материал, который
используется при изучении темы.
Методические задания для лабораторной работы
1. Разработайте задания различных типов, используемые учителем:
 для ознакомления со смыслом арифметических действий;
 для формирования у младших школьников соответствующих
умений.
2. Разработайте фрагменты уроков, на которых используются
представленные выше задания (с обязательным использованием
наглядных средств).
ТЕМА 2
Система формирования навыка
устных внетабличных вычислений
Подготовка к лабораторному занятию
1. Изучите методическую литературу по проблеме формирования у учащихся навыков устных внетабличных вычислений
(см. практическое занятие – тема 7).
76
2. Выполните анализ учебников Н.Б. Истоминой и М.И. Моро
для выделения содержания этапов формирования навыка устных
внетабличных вычислений. Выделите особенности каждого этапа,
характерные для каждой программы обучения математике.
Методические задания для лабораторной работы
1. Разработайте три фрагмента урока, предусматривающих
различные варианты организации продуктивной деятельности
младшего школьника. В каждом фрагменте отразить:
 подготовку к изучению вычислительного приема;
 введение вычислительного приема;
 первичное закрепление вычислительного приема
2. Разработайте различные варианты организации работы по
предупреждения и коррекции ошибок учащихся.
ТЕМА 3
Методика формирования навыков письменных вычислений.
Организация работы над вычислительными ошибками
Подготовка к лабораторному занятию
1. Изучите литературу по проблеме использования различных
средств, направленных на предупреждение у учащихся и исправление вычислительных ошибок (см. практическое занятие – тема 3).
2. Выделите классификацию причин возникновения вычислительных ошибок у младших школьников.
3. Изучите литературу по проблеме формирования у младших
школьников навыка письменных вычислений
4. Выполните анализ учебников по математике с целью выявления сущности различных методических подходов к формированию навыков письменных вычислений
Методические задания для лабораторной работы
1. На основе анализа психолого-педагогической и методической литературы выделите приемы предупреждения и исправления
вычислительных ошибок. Разработайте серию заданий, реализующих выделенные приемы (группу вычислительных приемов выбрать самостоятельно).
77
2. Спланируйте деятельность учителя по подготовке и проведению урока работы над вычислительными ошибками.
3. Разработайте уроки изучения приемов письменных вычислений с учетом различных методических подходов к формированию у младших школьников соответствующих навыков.
78
4 КУРС. 7 СЕМЕСТР
Раздел 3
Методика обучения решению задач
в начальной школе
Литература (для всех тем раздела)
1. Белошистая, А. В. Методика обучения математике в начальной
школе: курс лекций / А. В. Белошистая. – Москва : Владос, 2005. –
455 с.
2. Истомина, Н. Б. Методика обучения математике в начальных
классах: Развивающее обучение / Н. Б. Истомина. – Смоленск : Ассоциация XXI век, 2009. – 288 с.
3. Истомина, Н. Б. Практикум по методике обучения математике
в начальной школе: Развивающее обучения / Ю. С. Заяц,
Н. Б. Истомина. – Смоленск : Ассоциация XXI век, 2009. – 144 с.
4. Обучение младших школьников решению текстовых задач:
сборник статей / сост. Н. Б. Истомина, Г. Г. Шмырева. – Смоленск,
2005. – 272 с.
5. Овчинникова, В. С. Методика обучения решению задач в
начальной школе / В. С. Овчинникова. – Москва, 1998. – 143 с.
6. Теоретические и методические основы изучения математики в
начальной школе / под ред. Н. Б. Истоминой – Ростов-на-Дону : Феникс, 2008. – 349 с.
7. Теоретические основы методики обучения математике в
начальных классах / под ред. Н. Б. Истоминой. – Москва, МПСИ,
1996. – 324 с.
8. Царева, С. Е. Обучение решению текстовых задач, ориентированное на формирование учебной деятельности младших школьников /
С. Е. Царева. – Новосибирск, 1998. – 183 с.
79
ТЕМА 1
Понятия «задача» и «решение задачи»
в начальном курсе математики
Теоретическая справка
В начальном курсе математики понятие «задача» используется
тогда, когда речь идет о текстовых, арифметических задачах. Они
обычно формулируются в виде текста, в котором находят отражение количественные отношения между реальными объектами.
К основным признакам текстовой задачи относят (А. А. Свечников):
 словесное изложение сюжета, в котором явно или в завуалированной форме указана функциональная зависимость между
величинами, числовые значения величин, которые составляют содержание задачи;
 числовые значения величин или числовые данные (известные величины), о которых говорится в тексте задачи;
 требование задачи, сформулированное в виде вопроса, в
котором предлагается узнать неизвестные значения одной или нескольких величин;
 искомое, оно сформулировано в требовании и является основным неизвестным значением величины, описанной в задаче. эти
значения называют.
Термин «решение задачи» в научно-методической литературе
употребляется в трех разных смыслах:
1. решение задачи – ответ на вопрос, результат выполнения
арифметических или других действий;
2. решение задачи – это процесс нахождения результата,
предполагающий выполнение действий, которые в итоге дают значение искомой величины (способ решения);
3. решение задачи – выполнение ряда действий с использованием специфичных средств для получения значения искомой величины (метод решения).
В начальном курсе математики используются следующие методы решения задач:
 практический (дети действуют непосредственно либо с реальными объектами, либо с предметными моделями или изображе-
80
ниями этих объектов и находят ответ на требование задачи с помощью наблюдения, сравнения (измерения), счета);
 графический (учащиеся используют числовой луч, чертежи, где изображения осуществляются в натуральную величину или
в масштабе, а ответ на требование задачи получается нахождением
соответствующих точек на луче, счетом и измерением искомой
величины на графической модели);
 арифметический (выбрав а/д и определив их последовательность на основе вскрытых отношений между данными и искомыми, ученики находят ответ на требование задачи посредством
вычислений);
 алгебраический (учащиеся составляют простейшие уравнения и, решая их, находят ответ на требование задачи);
 логический (дети выстраивают цепочку рассуждений, приводящих к искомому заключению);
 комбинированный (используется сочетание различных методов).
Следует различать понятия «различные методы решения задачи» (арифметический, алгебраический и др.), «различные способы
решения задачи» и «различные способы записи решения задачи».
Последнее относится к форме выполнения решения (например, для
арифметического решения – это запись по действиям, выражением,
с пояснениями). Если речь идет о разных способах решения, то
имеется ввиду возможность установления различных связей между
данными и искомым, следовательно, о выборе других действий
или другой их последовательности для ответа на вопрос задачи.
В практике обучения школьников процесс решения задачи
обычно включает в себя следующие этапы (Л.П. Стойлова):
I. Ознакомление с содержанием и осмысление задачи.
II. Поиск и составление плана решения.
III. Запись решения и ответа (осуществление плана).
IV. Проверка решения задачи.
Рекомендуемая литература
1. Кузнецов, В. И. К вопросу о решении математических задач / В. И. Кузнецов // Начальная школа. – 1999. – № 5. – С. 55–61.
2. Левитас, Г. Г. Решение текстовых задач с помощью уравнений / Г. Г. Левитас // Начальная школа. – 2001. – № 1. – С. 43–48.
81
3. Царева, С. Е. Обучение решению задач / С. Е. Царева //
Начальная школа. – 1998. – № 1. – С. 35–42.
4. Царева, С. Е. Обучение решению задач /С.Е. Царева //
Начальная школа. – 1997. – № 11. – С. 36–44.
5. Фридман, Л. М. Обучение решению сюжетных задач /
Л. М. Фридман // Начальная школа. – 2000. – № 6. – С. 28–33.
Вопросы для самоконтроля
1. Какими особенностями характеризуются текстовые задачи? Каковы их признаки и структура?
2. Какова роль текстовых задач в начальном курсе математики и какие функции они выполняют?
3. Какие действия входят в общее умение решать задачу?
4. Каково содержание различных методов решения текстовых
задач, используемых в обучении младших школьников?
Задания для самостоятельной работы
1. Решение задач в учебном процессе имеет огромное значение. Познакомьтесь с основными целями и функциями текстовых
задач в начальном курсе математики, выделенными Л.М. Фридманом [5]. Выполните анализ учебников математики для начальной
школы различных авторов с точки зрения возможностей использования текстовых задач для реализации основных целей (на примере
нескольких задач).
2. Чтобы научить школьников решать задачи, учителю самому необходимо владеть этим умением. Решите задачу различными
методами (арифметическим, алгебраическим, практическим, графическим, комбинированным, табличным). Какие из них могут
использовать младшие школьники?
Учитель раздал 24 тетради по 3 каждому ученику. Сколько
учеников получили тетради?
3. Решите задачу разными методами. Какими методами нельзя воспользоваться при решении данной задачи? Сколько различных способов решения можно найти в русле каждого из возможных в данном случае метода?
В ящики, в которые входит по 6 кг фруктов, разложили 36 кг
яблок и 24 кг груш. Сколько всего ящиков потребовалось?
82
4. Опишите содержание каждого этапа работы над задачей
при решении арифметическим методом и заполните таблицу.
Обоснуйте выбор приемов, реализующих каждый этап [3].
В кинотеатре 300 мест. Сколько мест осталось свободными,
если продано 90 билетов для взрослых, а для детей в 2 раза больше?
№п/п
Этап решения
задачи
Приемы выполнения
5. Выполните анализ программ и учебников математики для
начальной школы по следующим вопросам:
 какими методами решения задач овладевают младшие
школьники?
 каким методам отдано предпочтение?
 какова последовательность введения различных методов и
чем она обусловлена?
6. Чтобы сформировать умение решать задачи, необходимо
проанализировать процесс решения задачи и выделить перечень
умений, входящих в состав общего умения решать задачи. Выпишите различные варианты действий, входящих в общее умение
решать задачи (№ 2, № 3 – в общем списке литературы, № 3 – в
списке на с. 7). Какому варианту вы отдадите предпочтение и почему?
Контрольные задания
1. Решите задачу разными методами. Найдите различные способы реализации отдельных методов.
Братец Кролик посадил 150 семян огурцов, помидоров и редиски, причем семян огурцов столько же, сколько семян помидоров. Сколько семян редиски посадил Братец Кролик, если семян
огурцов было 40?
2. Составьте фрагмент урока, на котором учащиеся знакомятся
с алгебраическим методом решения текстовых задач.
83
ТЕМА 2
Различные методические подходы к обучению
младших школьников решению текстовых задач
Теоретическая справка
Все многообразие методических рекомендаций, связанных с
обучением младших школьников решению задач, целесообразно
рассматривать с точки зрения двух принципиально отличающихся
друг от друга подходов. Один из них нацелен на формирование у
учащихся умения решать задачи определенных типов (видов).
Цель другого подхода – научить детей выполнять семантический и
математический анализ текстовых задач, выявлять взаимосвязи
между условием и вопросом, данными и искомым и представлять
эти связи в виде схематических и символических моделей, т. е.
формирование общего умения решать задачи.
Методика работы с задачей в первом – частном – методическом подходе сориентирована на три ступени: подготовительная,
ознакомительная, закрепление. Обучение умению решать задачи
определенных видов включает в себя усвоение детьми сведений о
видах задач, способах решения задач каждого вида и выработку
умения решать задачи соответствующих видов, выбирать способы
решения, адекватные виду задачи, применять эти способы к решению конкретных задач.
Обучение общему умению решать задачи во втором – общем –
подходе предполагает формирование знаний о задачах, методах и способах решения, приемах, помогающих решению, о процессе решения
задачи, этапах этого процесса, назначении и содержании каждого этапа; выработку умения расчленять задачи на составные части, использовать различные методы решения, адекватно применять приемы, помогающие понять задачу, составить план решения, выполнить его,
проверить решение, умения выполнять каждый из этапов решения.
Рекомендуемая литература
1. Артемов, А. К. Формирование обобщенных умений решать
задачи / А. К. Артемов // Начальная школа. – 1992. – № 2. – С. 27–35.
2. Гаврикова, О. В. Формирование универсальных учебных
действий при обучении решению арифметических задач / О.В. Гавриков // Начальная школа. – 2011. – № 8. – С. 46–51.
84
3. Истомина, Н. Б. Первые шаги в формировании умения решать задачи / Н. Б. Истомина // Начальная школа. – 1998. –
№11/12. – С. 18–25.
4. Никифорова, Е. Ю. Активизация мыслительной деятельности в процессе работы над задачей / Е. Ю. Никифорова // Начальная школа. – 2008. – № 8. – С. 35–41.
5. Скворцова, С. С. Урок на тему «Составная задача» /
С. С. Скворцова // Начальная школа. – 2012. – № 11. – С. 52–56.
6. Царева, С. Е. Обучение решению задач / С. Е. Царева //
Начальная школа. – 1998. – № 1. – С. 35–42.
7. Царева, С. Е. Обучение решению задач / С. Е. Царева //
Начальная школа. – 1997. – № 11. – С. 36–44.
8. Царева, С. Е. Непростые простые задачи / С. Е. Царева //
Начальная школа. – 2005. – № 1. – С. 52–59.
9. Шадрина, И. В. Еще раз о простой задаче. /
И. В. Шадрина // Начальная школа. – 2005. – № 2. – С. 38–43.
10. Бантова, М. А. Методика преподавания математики в
начальных классах : учебное пособие / М. А. Бантова,
Г. В. Бельтюкова. – Москва : Просвещение, 1984, С. 198–199.
Вопросы для самоконтроля
1. Какие два подхода к обучению решению текстовых задач
существуют в методике начального обучения математике? В чем
сущность каждого?
2. Какие знания и умения формируются у учащихся в рамках
каждого подхода?
3. Возможно ли сократить количество видов задач с точки
зрения содержания тех математических понятий, которые формируются у младших школьников? Ответ обосновать.
4. Какие признаки текстовых задач младшие школьники
усваивают в различных программах обучения математике?
5. Какие методические приемы можно использовать для знакомства со структурой текстовой задачи и усвоения ее признаков?
6. Назовите умения, входящие в состав общего умения решать задачи. Каковы отличия в структуре общего умения решать
задачи в различных программах обучения математике?
85
Задания для самостоятельной работы
1. В истории методики математики издавна идет спор – учить
ли детей решать задачи определенных типов или, не выделяя видов
задач, учить решать любые задачи. Используя содержание учебного пособия В.С. Овчинниковой, дайте сравнительную характеристику этих подходов по следующим критериям:
 приоритетная цель;
 общий план действий;
 способы формирования представления о задаче;
 способы формирования представления о понятии «решение
задачи».
Каковы, на Ваш взгляд, преимущества и недостатки каждого
подхода? Почему в последние несколько десятилетий основной
целью в обучении решению задач в начальной школе провозглашено формирование общих умений решать задачи?
2. Выполните анализ программ и учебников математики для
начальной школы с точки зрения ведущего методического подхода
к обучению младших школьников решению текстовых задач (по
указанным в предыдущем задании критериям).
3. Знакомству младших школьников с задачей должна предшествовать специальная работа по формированию понятий и умений, которые они будут использовать при решении текстовых задач. Готовность школьников к знакомству с задачей предполагает
сформированность:
 навыков чтения;
 представлений о смысле действий сложения и вычитании,
понятий «увеличить на...», «уменьшить на...»;
 основных мыслительных операций (анализ и синтез, сравнение...);
 умения описывать предметные ситуации и переводить их
на язык схем и математических символов, умения переводить текстовые ситуации в предметные и схематические модели;
 умения чертить, складывать и вычитать отрезки.
Приведите примеры заданий из различных учебников математики
для начальной школы, в процессе выполнения которых у учащихся
формируются указанные выше умения. Определите, как связаны эти
понятия и умения с процессом решения текстовой задачи?
4. Рассмотрите классификацию простых задач, предложенную в учебном пособии М.А. Бантовой, Г.В. Бельтюковой [10].
86
Каково основание данной классификации? Найдите в учебниках
математики для начальной школы примеры задач каждого вида.
Обоснуйте последовательность включения в содержание курса математики задач каждого вида.
5. Объясните, почему в некоторых программах обучения математике младших школьников термин «задача» вводится только
во 2 классе.
6. Сравните методические приемы введения понятия задача и
ее признаков в различных учебниках математики для начальной
школы. В каких учебниках предметом изучения и основным содержанием обучения является задача (в широком смысле слова) и
ее структура?
7. Методика работы с задачей в частном методическом подходе сориентирована на три ступени: подготовительная, ознакомительная, закрепление. На примере следующих задач раскройте содержание работы на каждой ступени:
 Садовник обрезал 16 тополей, а лип на 5 меньше. Сколько
лип обрезал садовник?
 В двух банках 12 кг меда, в одной из них 4 кг. Сколько килограммов меда в другой банке?
Контрольные задания
1. Составьте фрагмент работы с текстовой задачей, реализующий частный методический подход, выбрав для этого задачу на
увеличение на несколько единиц.
2. Используя прием сравнения, составьте фрагмент знакомства с составными частями задачи.
ТЕМА 3
Обучение младших школьников анализу текстов задач
Теоретическая справка
Одно из главных условий правильного и быстрого решения задачи – это понимание и анализ текста. Понять задачу – это значит:
 понять значение всех слов и смысл предложений в тексте и
понять ситуацию, изложенную в тексте;
 выделить математическую суть задачи, т. е. выделить множества
и отношения между ними или величины и зависимость между ними.
87
В задачи учителя по обучению анализу текста входят:
1. Организация подготовительной работы к восприятию текста
задачи.
2. Обучение правильному чтению задачи, т. е. правильному
чтению всех слов, словосочетаний, соблюдать знаки препинания,
правильной расстановке логических ударений.
3. Обучение приемам, помогающим понять текст задачи:
 представление описанной в задаче ситуации;
 «драматизация» ситуации задачи;
 постановка специальных вопросов по содержанию задачи:
о чем эта задача, что известно, что нужно найти, как связаны между собой данные, что является искомым – число, отношения или
некоторое утверждение;
 разбивка текста задачи на смысловые части;
 переформулировка текста задачи (без специальной записи
или при наличии ее).
4. Обучение моделированию.
Для овладения младшими школьниками умением читать текст
задачи можно предлагать упражнения, в которых необходимо прочитать вопрос задачи и выделить в нем нужное слово, чтобы вопрос соответствовал условию; нужно придумать условие задачи, к
которому можно поставить данный вопрос (цель – показать, что
правильное выделение ситуаций из вопроса и условия способствует правильному пониманию задачи).
Для приобретения опыта в семантическом и математическом
анализе текстов задач используются приемы:
 сравнение текстов задач:
Чем похожи тексты задач? Чем отличаются? Какую задачу
ты можешь решить, какую - нет? Почему?
На одном проводе сидели ласточки, а на другом – 7 воробьев.
Сколько всего птиц сидело на проводах?
На одном проводе сидело 9 ласточек, а на другом – 7 воробьев. Сколько всего птиц сидело на проводах?
 распознавание текста задачи:
Подумай! Будет ли этот текст задачей? Измени его так,
чтобы он стал задачей.
На клумбе росло 5 тюльпанов и 3 розы. Сколько тюльпанов
росло на клумбе?
88


решение задач с недостающими и лишними данными;
анализ задач с противоречивым условием и вопросом.
Рекомендуемая литература
1. Царева, С. Е. Приемы первичного анализа задачи /
С. Е. Царева // Начальная школа. – 1985. – № 9. – С. 58–63.
2. Царева, С. Е. Обучение решению задач / С. Е. Царева //
Начальная школа. – 1998. – № 1. – С. 35–42.
3. Царева, С. Е. Обучение решению задач / С. Е. Царева //
Начальная школа. – 1997. – № 11. – С. 36–44.
Вопросы для самоконтроля
1. Каковы основные задачи учителя в обучении первичному
восприятию и анализу текста задачи?
2. Каковы основные требования к правильному чтению задачи?
Какую роль играет обучение школьников правильному чтению текста?
3. Какие упражнения помогают мучащимся овладеть умением
читать задачу?
4. Какие приемы анализа текста задачи могут использовать
младшие школьники?
5. На каком этапе (класс, тип задач) возможно введение каждого из приемов анализа текста задачи? Как Вы думаете, в какой
последовательности целесообразнее обучать детей этим приемам?
Задания для самостоятельной работы
1. Подберите и прочитайте несколько задач из учебника математики для начальной школы, соблюдая основные требования к
правильному чтению. Составьте проблемные ситуации, которые
могут быть созданы для того, чтобы учащиеся осознали роль правильного чтения в понимании текста задачи.
2. Разработайте серию упражнений по обучению правильному
чтению, используя текст следующей задачи (основные типы
упражнений предложены [1]).
Когда из гаража выехало 18 машин, в нем осталось в три раза меньше, чем было. Сколько машин было в гараже?
3. Определите цель следующих упражнений, предложенных
учителем на уроке. Какие методические приемы им использованы
для достижения цели?
89
Реши задачу:
В саду посадили 19 яблонь и 23 вишни. Сколько яблонь посадили саду?
 Сравните тексты задач. Чем они похожи? Чем отличаются? Какую из них ты можешь решить?
А. В корзине лежало 15 огурцов. Несколько вынули. Сколько
огурцов осталось в корзине?
Б. В корзине лежало 15 огурцов. 9 вынули. Сколько огурцов
осталось в корзине?
 Можно ли назвать этот текст задачей? Почему?
На столе лежало 5 вилок и 4 ложки. Сколько ножей лежало
на столе?
4. Подберите из учебников математики для начальной школы
или составьте сами задачи:
 с недостающими и лишними данными;
 с противоречивым условием и вопросом;
 с вопросом, в котором спрашивается о том, что уже известно.
С какой целью эти тексты могут быть использованы при обучении решению задач? Составьте фрагмент урока по реализации
этой цели.
5. Для овладения младшим школьниками умением анализировать текст задачи можно использовать приемы:
 сравнение текстов, являющихся задачей и не являющихся;
 выбор данных, которыми нужно дополнить задачу с недостающими данными;
 выбор вопросов, на которые можно ответить, пользуясь
данным условием.
Найдите в учебниках математики для начальной школы или составьте сами упражнения, в которых реализуются данные приемы.
6. Опишите методику формирования основных приемов первичного анализа текста, используя таблицу.

Прием
и его операции
Класс, тип
задач для
введения
Способ
введения
90
Памятка
для уч-ся
Упражнения
по обучению
Контрольные задания
1. Составьте обучающие задания (7–9), включающие различные сочетания методических приемов, направленных на формирование умения выполнять анализ текста задачи.
ТЕМА 4
Методика обучения младших школьников
моделированию текстовых задач
Теоретическая справка
Процесс решения любой задачи, в том числе и текстовой,
можно анализировать с разных позиций. Так весь процесс можно
рассматривать как процесс последовательного перехода от одной
модели задачи к другой (например, как переход от словесной
модели в виде текста к образной модели, а от нее к схематизированной, а затем символической, построенной с помощью
математической символики).
Для эффективного обучения моделированию необходимо
соблюдать следующие условия:
1) все математические понятия, используемые при решении
задач, должны изучаться с помощью моделей;
2) должна
вестись
работа
по
усвоению знаковосимволического языка, на котором строится модель (при этом ученик должен осознавать значение каждого элемента модели, осуществляя переход от реальности (предметной модели) к модели, и
наоборот);
3) необходимый этап обучения - освоение моделей тех отношений, которые рассматриваются в задачах, т.е. осознание сути
отношения, которое раскрывается в задаче;
4) чтобы самостоятельно решать задачи, ученик должен освоить различные виды моделей, научиться выбирать модель, соответствующую предложенной задаче, и переходить от одной модели к
другой.
91
Виды моделей текстовых задач
(по Л.П. Стойловой)
Схематизированные
Вещественные
(обеспечивают
физическое
действие с
предметами)
Знаковые
Графические
(обеспечивают
графическое действие)
На естественном языке
(словесная
форма)



рисунок;
условный рисунок;
 чертеж;
 схематический
чертеж (схема)
текст зада-
чи;

краткая
запись;
 таблица
На математическом языке



выражение;
равенство;
уравнение
Для овладения умением моделировать можно использовать
следующие методические приемы (могут использоваться для всех
видов моделей):
 воспроизведение задачи в удобной форме по модели;
 составление задачи по модели;
 выбор среди предложенных моделей той, что соответствует
данной задаче;
 выбор среди предложенных задач той, что соответствует
данной модели;
 анализ уже построенной модели;
 изменение модели в соответствии с требованием;
 запись решения по модели;
 выстраивание модели по решению;
 выбор решения, соответствующего модели;
 нахождение ошибок в предложенной модели;
 определение по модели всех арифметических способов решения данной задачи.
92
Рекомендуемая литература
1. Белошистая, А. В. Прием графического моделирования при
обучении решению задач / А. В. Белошистая //Начальная школа. –
1991. – № 4. – С. 18–22.
2. Бородулько, М. А. Обучение решению задач и моделирование / М. А. Бородулько, Л. П. Стойлова // Начальная школа. 1996. –
№ 8. – С. 54–59.
3. Малыхина, В. В. Схематический рисунок при решении задач / В. В. Малыхина // Начальная школа. – 1998. – № 11/12. –
С. 333–39.
4. Матвеева, Н. А. Использование схемы при обучении учащихся решению задач / Н. А. Матвеева // Начальная школа. –
1998. – №11/12. – С. 61–66.
5. Смирнова, С. И. Использование чертежа при решении простых задач. / С.И. Смирнова //Начальная школа. – 1998. – № 5. –
С. 32–37.
6. Царева, С. Е. Приемы первичного анализа задачи /
С. Е. Царева // Начальная школа. – 1985. – № 9. – С. 58–63.
7. Целищева, И. И. Использование моделирования в процессе
работы с текстовой задачей в 1 классе / И. И. Целищева,
С. А. Зайцева // Начальная школа. – 2008. – № 1. – С. 45–51.
8. Целищева, И. И. Моделирование в процессе решения текстовых задач / И. И. Целищева // Начальная школа. – 1996. – № 3. –
С. 33–38.
9. Шмырева, Г. Г. Работа со схемой в ходе подготовки к решению задач / Г. Г. Шмырева, С. М. Нестеровичи // Начальная школа.
2007. – № 12. – С. 12–19.
Вопросы для самоконтроля
1. Объясните высказывание «процесс решения задачи можно
рассматривать как процесс последовательного перехода от одной
модели задачи к другой».
2. Каковы основные виды моделей, используемых в начальном курсе математики при решении задач? В чем заключаются
особенности каждого вида моделей и каковы основные требования
к их построению?
3. Зачем обучать младших школьников моделированию? Каковы методические условия обучения моделированию в ходе рабо-
93
ты над текстовыми задачами? От чего зависит выбор вспомогательной модели при решении задачи?
4. Каковы преимущества схемы как вспомогательной модели
при решении задачи?
5. Как Вы думаете, освоение различных видов моделей
должно происходить одновременно или последовательно? Если
последовательно, то в каком порядке целесообразнее вводить основные виды моделей?
Задания для самостоятельной работы
1. На примере задачи: «В портфеле 14 тетрадей. Из них 9 в
клетку, остальные в линейку. Сколько тетрадей в линейку лежат
в портфеле?» постройте все возможные модели, которые могут
использовать младшие школьники. В случае затруднения воспользуйтесь схемой 1 [2]. Проверьте, все ли требования к моделям вами
соблюдены.
2. Выполните анализ учебников математики для начальной
школы по следующим вопросам:
 какие модели текстовых задач изучают младшие школьники?
 каким отдано предпочтение и почему?
 в какой последовательности происходит обучение различным видам моделей?
 какие упражнения предлагаются авторами учебников для
усвоения разных моделей?
3. Определите цели упражнений, предложенных учителем на
уроке. На каком этапе обучения моделированию они могут быть
использованы (этапы обучения моделированию см. [2]).
 В цирке выступали 11 обезьян и 7 тигров. Обозначь животных кругами и покажи, на сколько больше было обезьян, чем
тигров.
 У хозяйки 9 кур, а уток - на 4 меньше. Обозначь каждую
птицу кругом и покажи на рисунке, сколько всего птиц у хозяйки.
Маша сделала такой рисунок:
всего птиц у хозяйки
94
Миша такой:
всего птиц у хозяйки
Кто прав: Миша или Маша?
 В одной коробке 35 конфет, в другой – 28. Объясни, что
обозначает каждый отрезок.
4. Определите цели упражнений, предложенных учителем на
уроке. На каком этапе обучения моделированию они могут быть
использованы?
 Прочитайте задачу. Выберите схему, которая ей соответствует. Ответ обоснуйте.
На велогонках стартовало 70 спортсменов. На первом этапе
с трассы сошли 4 велосипедиста, на втором - 6. Сколько спортсменов пришло к финишу?
а)
4 в. 6 в.
?
б) 4в. 6в.
70 в.
70 в.
?
Выбери схему, соответствующую задаче. Обозначь на ней,
что известно в задаче, а что неизвестно.
Петя поймал на 2 рыбы больше, чем Ваня. Сколько поймал
Ваня, если Петя поймал их 20?
В.
П.

П.
В.
 Рассмотри схему и подумай, на какой вопрос можно ответить, пользуясь данным условием:
Коля выше Пети на 20 см, а Петя выше Вовы на 7 см.
К.
П.
20
В.
7
95
5. Какие методические приемы использовал учитель (см. задачу № 3)? Составьте подобные обучающие задания, пользуясь следующими текстами задач:
А. На елке висело несколько игрушек. Когда на нее повесили еще
8, то на елке стало 15 игрушек. Сколько игрушек было на елке?
Б. Масса одного арбуза 9 кг. На сколько масса четырех арбузов меньше массы шести таких же арбузов?
6. Для эффективного обучения моделированию важно помочь
детям осознать необходимость использования этого приема для
быстрого и правильного решения задачи.
Рассмотрите различные варианты использования моделей
(схемы, чертежа, таблицы) в учебниках математики для начальной
школы (стр. указать) и оцените каждый вариант с точки зрения выполнения данного требования.
7. Определите цели предложенного фрагмента. Как Вы думаете, почему учителем для изображения выбрана такая ситуация?
Учитель предлагает учащимся задание: «Догадайся, как, пользуясь отрезками, изобразить следующую ситуацию – карандаш
длиннее ручки на 2 см».
Учащиеся работают самостоятельно, а затем различные варианты выполнения задания выносятся на доску и обсуждаются. При
наличии одного варианта учитель может предложить свой. Далее
анализируются две точки зрения, представленные двумя героями
Мишей и Машей и предлагается выбрать правильный вариант.
1 – изобразить эту ситуацию с помощью отрезков нельзя, так
как мы не знаем длину ручки;
2 – ситуацию можно изобразить следующим образом:
К
К
2
Р
2
Р
Учитель говорит о том, что выполненные рисунки будем называть
схемами.
8. Используя текст задачи «Сережа поймал 15 рыб, Толя 10.
Среди всех рыб было 13 карасей, остальные - окуни. Сколько окуней поймали мальчики?», составьте обучающие упражнения по
овладению младшими школьниками схематическим моделированием, ориентируясь на следующие типы:
96
 выбор среди предложенных моделей той, что соответствует
данной задаче;
 выбор среди предложенных задач той, что соответствует
данной модели;
 изменение модели в соответствии с требованием;
 запись решения по модели;
 нахождение ошибок в предложенной модели;
 определение по модели всех арифметических способов решения данной задачи.
В случае затруднения рассмотри примеры таких заданий в учебниках математики для начальной школы (автор Н.Б. Истомина).
Контрольные задания
1. Составьте подготовительные упражнения к введению схемы как вспомогательной модели задачи. Укажите их цели.
2. Используя текст задачи, составьте серию упражнений различных типов (8–10) по обучению младших школьников графическому моделированию. Выбор моделей и методических приемов
обоснуйте.
Масса тыквы в 4 раза больше массы кабачка и на 3 кг меньше
массы арбуза. Чему равна масса арбуза, если масса кабачка 2 кг?
ТЕМА 5
Методика обучения приемам поиска
и выполнения плана решения задачи
Теоретическая справка
Выделяют два основных способа рассуждений, которые помогают найти план решения текстовой задачи.
Синтетический способ рассуждений характеризуется тем, что
основным, направляющим вопросом при поиске решения задачи
является вопрос о том, что можно найти по двум или нескольким
известным в тексте числовым данным. По вновь полученным числовым значениям и другим данным в задаче вновь ищется ответ на
вопрос, что можно узнать по этим значениям. И так до ответа на
вопрос задачи. Суть этого способа – состоит в вычленении учащимися простой задачи из предложенной составной и решение ее.
97
Аналитический способ рассуждений характеризуется тем, что
рассуждение начинают с вопроса задачи. Выясняется, что нужно
предварительно узнать, чтобы ответить на вопрос задачи. Выясняется, что для этого необходимо что-то найти. Вновь ставится вопрос:
что нужно знать, чтобы найти «что-то»? и т.д. до того момента, когда
ответ на поставленный вопрос имеется в условии задачи. Здесь также в конечном итоге вычленяются простые задачи, но план решения
составляется в направлении, противоположном его поиску.
Также можно использовать прием, основанный на анализе
данных задачи [4], позволяющий выявить возможные связи между
ними, а затем выбрать из них те, что нужны для решения задачи.
Суть приема заключается в умении составить выражения из чисел,
данных в задаче и разъяснить их смысл. Следует помнить, что поиск плана решения чаще всего осуществляется по модели.
Для обучения данным способам рассуждений (способам разбора задачи) необходимо ориентироваться на следующие этапы
(С.Е. Царева):
I. Неявное знакомство с рассуждениями при коллективном
решении задач под руководством учителя.
II. Специальное знакомство уч-ся с одним из способов рассуждения.
III. Тренировка в использовании разбора при самостоятельном
решении задач.
IV. Явное знакомство с другими способами разбора и тренировка в их использовании (аналогично).
V. Самостоятельное использование различных способов рассуждения при решении задач разных видов.
В начальном курсе математики используются различные формы записи решения задачи. Выбор формы определяется в первую
очередь тем методом решения, который используется. Для арифметического метода решение задачи можно оформить:
 по действиям;
 по действиям с пояснением;
 по действиям с вопросами;
 выражением.
98
Рекомендуемая литература
1. Артемов, А. К. Теоретико-методические особенности поиска способов решения математических задач / А. К. Артемов //
Начальная школа. – 1998. – № 11/12. – С. 24–30.
2. Артемов, А. К. Формирование обобщенных умений решать
задачи А. К. Артемов // Начальная школа. – 1992. – № 2. – С. 15–25.
3. Еремеева, О. О. Один из приемов поиска решения задачи
О. О. Еремеева // Начальная школа. – 1994. – № 4. – С. 33–38.
4. Лобынцева, В. А. Графические схемы / В. А. Лобынцева //
Начальная школа. – 1995. – № 11. – С. 46–51.
5. Рудакова, Е. А. Разбор задачи с использованием графических схем / Е. А. Рудакова, С. Е. Царева // Начальная школа. –
1992. – №11/12. – С. 18–25.
6. Семья, Ф. Совершенствование работы над составными задачами / Ф. Семья // Начальная школа. – 1991. – № 5. – С. 54–60.
7. Царева, С. Е. Различные способы решения задач и различные формы записи решения задачи / С. Е. Царева // Начальная
школа. – 1982. – № 2. – С. 28–36.
8. Царева, С. Е. Обучение решению задач / С.Е. Царева //
Начальная школа. – 1998. – № 1. – С. 35–42.
9. Царева, С. Е. Обучение решению задач / С. Е. Царева //
Начальная школа. – 1997. – № 11. – С. 36–44.
10. Шикова, Р. Н. Способы разбора текстовых задач /
Р. Н. Шикова // Начальная школа. – 1986. – № 12. – С. 38–41.
Вопросы для самоконтроля
1. Раскройте содержание понятия решение задачи в рамках
различных методических подходов к обучению решению задач.
Какой точки зрения придерживаетесь Вы, почему?
2. Каковы преимущества и недостатки основных приемов поиска плана решения задачи? Можно ли какой-либо из приемов
считать универсальным? От чего зависит выбор приема?
3. Обоснуйте предложенную С.Е. Царевой последовательность обучения основным способам разбора текстовой задачи. Какие условия должны быть созданы учителем при специальном знакомстве учащихся с одним из способов рассуждений?
4. Какие способы или формы записи решения составных задач осваивают младшие школьники? Какой ошибки следует избе-
99
гать при использовании термина разные способы решения? Чем
обусловлен выбор той или формы для записи решения? В какой
последовательности необходимо, на Ваш взгляд, вводить основные
формы записи решения задачи? Чем это обусловлено?
Задания для самостоятельной работы:
1. На примере задачи: «В трех кусках 92 м шнура. В первом
28 м, в третьем 34 м. Сколько метров шнура во втором куске?»
проиллюстрировать различные приемы поиска плана решения.
2. Составить памятки для учащихся, которые могут быть использованы для обучения основным приемам поиска плана решения [6].
3. Подготовить беседу по разбору следующих задач с использованием графической схемы разбора:
 В автобусном парке стояло 89 автобусов. Утром выехало в
рейс 50 больших автобусов и 30 маленьких. Сколько автобусов
осталось в парке?
 Шестеро туристов взяли для похода по 2 банки мясных
консервов и по 3 овощных. Сколько всего банок консервов взяли
туристы?
 Двенадцать килограммов варенья разложили в 6 банок поровну. Сколько потребуется таких банок, чтобы разложить 24 кг
варенья?
4. Составить 2–3 тренировочных упражнения, с помощью которых учащиеся овладевают одним из способов разбора задачи.
5) Определите цели предложенных упражнений. Какие общие
умения решать задачи формируются в процессе их выполнения?
 Из каких отрезков состоит искомый отрезок? Сумме или
разности данных чисел равна его длина?
100
 Какой отрезок больше и на сколько? Какие обозначения
нужно ввести, чтобы было понятно, что это схема некоторой текстовой задачи? Введите необходимые обозначения. Составьте план
решения этой задачи. (Последовательность операций обосновывается взаимным расположением отрезков, сравнением длин и смыслом обозначений).
Придумайте текст соответствующей задачи. Составьте другую
задачу к этой же схеме.
По данным схемам составьте выражения, значения которых соответствуют знаку «?» на схеме.

6. Одним из эффективных приемов обучения младших школьников составлению плана решения задачи является прием объяснения смысла выражений, составленных по тексту задачи. Объясните способ выполнения следующего задания учащимися. Составьте или подберите из учебников математики для начальной
школы аналогичные задания.

Прочитайте задачу.
Блокнот, линейка и карандаш стоят 27 рублей. Линейка стоит
8 рублей, а карандаш 3 рубля. Сколько стоит блокнот?

Объясните, что обозначают выражения.
27-3
(27–3)–8
101
27-8
(27–8)–3
7. Оценить правильность формулировки задания учителя: «Задачу, решенную по действиям, решите другим способом – выражением».
8. Учитель предложил детям задание – решить задачу «У одной закройщицы было 15 м ткани, а у другой – 12 м. Из всей ткани
они скроили платья, расходуя на каждое по 3 м. Сколько всего
платьев они скроили?» разными способами.
Рассмотреть варианты выполнения этого задания двумя учениками. Какой из них верный? Как можно организовать работу над
ошибкой?
1 ученик
1-й способ
2-ой способ
1) 15+12=27 (м)
(15+12):3=9(п.)
2) 27:3=9(п.)
2 ученик
1-й способ
2-ой способ
1) 15+12=27 (м)
2. 15:3=5(п.)
2) 27:3=9(п.)
3. 12:3=4(п.)
4. 5+4=9(п.)
Контрольные задания
1. Рассмотрите задачу: «Нина нашла 23 желудя, Катя на 6
желудей больше, чем Нина, а Оля на 9 желудей меньше, чем Катя.
Сколько желудей нашла Оля?». Составьте фрагмент урока по обучению поиску и выполнению плана решения данной задачи.
2. Разработайте фрагмент урока по введению формы записи
решения задачи выражением.
102
Задания для лабораторных
и самостоятельных работ
ТЕМА 1
Методика обучения способам проверки
решения текстовых задач
Теоретическая справка
Проверка решения задачи – один из важных этапов работы
над задачей. Цель проверки – установить, соответствует ли процесс
и результат решения образцу правильного решения.
В начальном курсе математики могут быть использованы следующие способы проверки решения текстовых задач:
1. Прикидка (прогнозирование результата, установление границ ответа на вопрос задачи и последующее сравнение хода решения с прогнозом) – при несоответствии прогнозу – решение неверно, при соответствии - может быть верно, а может неверно.
2. Установление соответствия между результатом решения и условием задачи (введение в текст задачи вместе вопроса ответа на него, получение всех возможных следствий из полученного
текста, сопоставление результатов друг с другом и с информацией,
содержащейся в тексте) – если обнаружено противоречие, задача
решена неверно, и наоборот, однако правильность хода решения не
устанавливается.
3. Решение другим методом или способом (результаты должны совпасть) – правильность хода решения не устанавливается.
4. Составление и решение обратной задачи (в результат решения должно быть получено данное прямой задачи) – правильность хода решения не устанавливается.
5. Сравнением с правильным решением – с образцом хода и
результата решения возможно установление правильности как хода, так и результат решения).
6. Повторное решение тем же методом и способом (возможно установление правильности как хода, так и результата решения).
103
7. Решение задач «с малыми числами» с последующей проверкой вычислений (возможно установление правильности как хода, так и результат решения).
8. Решение задач с упрощенными отношениями и зависимостями с последующим восстановлением отношений и зависимостей, данных в задаче (возможно установление правильности как
хода, так и результат решения).
9. Обоснование каждого шага решения через соотнесение с
более общими теоретическими положениями (возможно установление правильности как хода, так и результат решения).
10. Определение смысла составленных в процессе решения
выражений (если все выражения имеют смысл и смысл последнего
таков, что позволяет ответить на вопрос задачи, то выражения составлены верно и после проверки правильности нахождения значений выражений, можно утверждать, что ход и результат решения
верны) – возможно установление правильности как хода, так и результат решения.
Этапы обучения проверке (для всех способов):
I. Подготовительная работа к введению приема:
Цель: сформировать умения, необходимые для осуществления
приема проверки.
II. Проверка решения под руководством учителя.
Учитель после неверно решенной задачи проговаривает способ проверки (в неявном виде).
III. Усвоение способа проверки и самостоятельное его использование.
Цель: запоминание детьми последовательности действий для
проверки и формирование умения использовать самостоятельно
способ проверки.
Овладение данными способами проверки решения задачи способствует в первую очередь развитию одного из важнейших компонентов учебной деятельности – действия самоконтроля. В ходе
проверки развиваются три его вида – прогнозирующий, процессуальный (пошаговый) и итоговый.
104
Рекомендуемая литература
1. Истомина, Н. Б. Формирование умения решать задачи различными способами / Н. Б. Истомина // Начальная школа. – 1985. –
№ 9. – С. 27–35.
2. Касярум, Е. И. Решение задачи различными способами как
средство развития уч-ся / Е. И. Касярум, И. И. Позднякова //
Начальная школа. – 1986. – № 11. – С. 32–39.
3. Клименченко, Д. В. Решение задач различными способами /
Д. В. Клименченко // Начальная школа. – 1986. – № 4. – С. 54–60.
4. Матвеева, Н. А. Различные арифметические способы решения задач / Н. А. Матвеева // Начальная школа. – 2001. – № 3. –
С. 27–32.
5. Соснина, Г. М. Один из способов проверки решения задач /
Г. М. Соснина // Начальная школа. – 1983. – № 1. – С. 56–61.
6. Царева, С. Е. Виды работы с задачами на уроке математики / С. Е. Царева // Начальная школа. – 1990. – № 10. – С. 18–27.
7. Царева, С. Е. Один из способов проверки решения задачи /
С. Е. Царева // Начальная школа. – 1988. – № 2. – С. 35–42.
8. Царева, С. Е. Проверка решения задачи и формирование
самоконтроля учащихся / С. Е. Царева // Начальная школа. –
1984. – № 2. – С. 34–41.
9. Царева, С. Е. Различные способы решения текстовых задач / С. Е. Царева // Начальная школа. – 1991. – № 2. – С. 61–65.
10. Шикова, Р. Н. Дифференцированный подход к выбору
способа проверки решения задач / Р.Н. Шикова // Начальная школа. – 1983. – № 1. – С. 54-60.
11. Шулыгина, Р. Н. Решение задач различными способами
как средство повышения интереса к математике / Р. Н. Шульгина //
Начальная школа. – 1990. – № 12. – С. 42–48.
Вопросы для самоконтроля
1. Какие способы могут быть использованы младшими
школьниками для проверки решения текстовых задач? Оцените
степень надежности каждого способа. Можно ли какой-либо из
способов считать универсальным?
2. Как связаны основные способы проверки решения текстовых задач с видами самоконтроля как компонента учебной деятельности?
105
3. С какой целью в начальном курсе математики проводится
работа по обучению составлению и решению обратных задач?
Укажите класс и тип задач, которые используются для введения
понятия обратная задача.
4. Какова роль обучения младших школьников решению задач разными способами? Возможно ли целенаправленное обучение
поиску разных способов решения задачи самими учащимися? Если
да, то какие приемы могут быть использованы для этого?
Задания для самостоятельной работы
1. Какие способы проверки можно использовать при решении
следующих задач:
 В двух банках 12 кг меда, в одной из них 4 кг. Сколько килограммов меда в другой банке?
 Для заповедника в прошлом году школьники заготовили на
зиму 14 стогов сена для подкормки лосей, а в этом году в 3 раза
больше. На сколько больше стогов сена заготовили в этом году,
чем в прошлом?
2. С какой целью можно сравнить следующие задачи?
Восемь морковок раздали 4 кроликам раздали по 2 мор4 кроликам поровну. Сколько ковки каждому. Сколько всего
морковок дали каждому кро- морковок получили кролики?
лику?
Составьте вопросы для беседы по достижению данной цели.
3. Разработать 3 упражнения по обучению составлению обратных задач, используя предложенные тексты. Указать методические приемы.
 В автопарке стояло 90 машин. Утром выехало в рейсы
80 машин. Сколько машин осталось в парке?
 На один парник пошло 25 м пленки, а на другой 20 м. На
сколько больше пленки пошло на первый парник, чем на второй?
4. Обучение младших школьников решению задач разными
способами способствует развитию таких качеств мышления, как
вариативность, гибкость, рациональность. Решите задачу разными
арифметическими способами.
 От мотка электропровода сначала отрезали 18 метров, а
потом еще 9 м. После этого в мотке осталось 7 м провода.
Сколько метров провода было в мотке?
106
Какие приемы для поиска младшими школьниками разных
способов решения данной задачи можно использовать? Составьте
соответствующий фрагмент урока.
5. Учитель предложил учащимся задачу: «Из пачки взяли
18 тетрадей. После этого в пачке осталось в 2 раза меньше тетрадей, чем было. Сколько тетрадей было в пачке сначала?»
Некоторые ученики решили задачу так:
1) 18:2=9 (т.)
2) 18+9=27 (т.).
В чем причины допущенной ошибки? Как можно провести
проверку решения задачи, чтобы учащиеся убедились в неправильном ее решении? Какие приемы можно использовать для предупреждения подобной ошибки?
6. Проиллюстрируйте на примере данной задачи прием анализа
учащимися различных вариантов решения (верных и неверных).
 На стройке школы работало 12 грузовиков. Это на 2 грузовика меньше, чем на стройке магазина. Сколько грузовиков работало на стройке магазина?
Обоснуйте выбор способов проверки решения задачи, которые
можно использовать для развития у учащихся самоконтроля.
7. Найдите в учебниках математики для начальной школы
задания по выбору правильного решения задачи. С какой целью
эти задания могут быть использованы? Составьте аналогичные.
8. Составьте фрагмент урока по обучению одному из способов проверки, используя текст задачи: «В ящики, в которые входит по 6 кг фруктов, разложили 36 кг яблок и 24кг груш, сколько
всего ящиков потребовалось?». Какие приемы самоконтроля в
этом случае развиваются у учащихся?
Контрольные задания
1. Разработать фрагмент урока по введению одного из приемов проверки решения задачи (на выбор), подобрав для этого соответствующий текст. Указать цели фрагмента.
2. Подобрать тексты задач, которые можно использовать для
овладения учащимися приемами поиска разных способов решения.
Проиллюстрировать один из приемов (№ 9).
107
ТЕМА 2
Методика обучения решению задач
на пропорциональную зависимость между величинами
Теоретическая справка
В НКМ выделяют 4 группы задач на пропорциональную зависимость между величинами:
1 группа – задачи на нахождение четвертого пропорционального;
2 группа – на пропорциональное деление;
3 группа – на нахождение неизвестного по двум разностям;
4 группа – задачи на движение.
Обучение решению задач данных типов осуществляется поэтапно:
I этап – неявное знакомство с пропорциональной зависимостью в процессе решения задач, раскрывающих смысл умножения
и деления.
Основные приемы:
 изменение одного из данных задачи;
 сравнение результатов решения задач, в которых изменяется одно из данных;
 схематическое моделирование и запись задачи в таблице;
 анализ текстов задач с недостающими и избыточными данными.
II этап – формирование представлений о пропорциональных
величинах.
Основной прием: составление и заполнение таблиц.
Последовательность оформления выделенных величин подчиняется определенной логике, которая связана с идеей описания
процесса измерения величин:
1) выбирается величина, которая обозначается за единицу измерения;
2) выбирается число, связанное с определением: сколько раз
единичная величина укладывается;
3) выделяется общая величина.
Основной прием при ознакомлении с пропорциональными величинами – противопоставление. Можно использовать два подхода, которые характеризуют различные виды противопоставления:
108
1. Последовательное противопоставление – предполагает
изучение задач соответствующих видов друг за другом; причем
каждый новый вид задач рассматривается в сравнении с ранее изученным и выделяются отличительный признаки задачи каждого
нового вида.
Данный подход чаще используется при реализации частного
методического подхода при обучении решению задач.
2. Перемеживающееся (параллельное) противопоставление –
предполагает решение задач различного вида на одном уроке или
отрезке времени одновременно. Данный прием наиболее эффективен для развития уч-ся, он дает представление об общем способе
решения задач на пропорциональную зависимость и чаще всего
реализуется в общем методическом подходе при обучении решению задач.
Рекомендуемая литература
1. Бантова, М. А. Методика преподавания математики в
начальных
классах.
/
М.
А. Бантова,
М.
И. Моро,
Г.А. Бельтюкова. – Москва : Просвещение, 1976. – С. 239–241.
2. Гребенникова, Н. Л. Решение задач на зависимость величин разными способами / Н. Л. Гребенькова // Начальная школа. –
1999. – № 2. – С. 41–47.
3. Дюжакова, Л. Умей выслушать каждого / Л. Дюжакова //
Начальная школа: Приложение к газете «1 сентября». – 2001. –
№ 10. – Март. – С. 22–27.
4. Игнатова, Л. В. Формирование представлений о зависимости величин в курсе начальной математики / Л. В. Игнатова //
Начальная школа. – 1985. – № 7. – С. 26–30.
5. Казько, Е. С. Работа над текстом задачи с пропорциональными величинами / Е. С. Касько // Начальная школа. – 1998. –
№ 5. – С. 24–28.
6. Марушенко, Л. Ю. Функциональный подход к решению
текстовых задач на прямо пропорциональную зависимость /
Л. Ю. Марушенко // Начальная школа. – 2007. – № 12. – С. 18–24.
7. Моро, М. И., Пышкало А.М. Методика обучения математике в 1–3 классах / М. И. Моро, А. М. Пышкало. – Москва : Просвещение, 1975. – С. 266–278.
109
8. Назарова, И. Н. Ознакомление с функциональной зависимостью при обучении решению задач / И. Н. Назарова // Начальная
школа. – 1989. – № 1. – С. 65–69.
9. Попова, Е. А. Работа с таблицами при обучении младших
школьников решению задач на процессы / Е. А. Попова // Начальная школа. – 2009. – № 10. – С. 33–38.
10. Рузин, Н. К. Приемы объяснения некоторых слов в задачах / Н. К. Рузин // Начальная школа. – 1980. – № 2. – С. 46–50.
11. Царева, С. Е. Введение произвольных единиц величин
при решении задач / С. Е. Царева // Начальная школа. – 1993. –
№ 5. – С. 18–23.
12. Истомина, Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах : учебное пособие. – Москва, 1999. – С. 230–232.
Вопросы для самоконтроля
1. Какие группы задач относятся к задачам на пропорциональную зависимость? Что объединяет эти группы? Чем отличаются основные виды задач в группах? Зачем учитель должен уметь
распознавать задачи каждой группы и их конструировать?
2. В чем заключается подготовительная работа к введению
задач на пропорциональную зависимость? Какой факт должны
осознать учащиеся в ходе обучения на данном этапе (укажите соответствующие методические приемы)?
3. Каковы особенности основных видов противопоставления
в ходе изучения различных видов задач на пропорциональную зависимость? Какой методический подход, на Ваш взгляд, более
обоснован и продуктивен?
4. Каковы особенности формирования общих умений при работе с задачами на пропорциональную зависимость (умения анализировать текст, моделировать, составлять план решения и др.)?
Задания для самостоятельной работы
1. Составить тексты задач на пропорциональную зависимость
(3 группы – всего 12 видов [1]), используя тройку величин:
 расход ткани на 1 вещь;
 количество вещей;
 общий расход ткани.
2. Используя содержание задачи: «В одной коробке было
12 карандашей. Сколько карандашей было в 3-х таких же короб-
110
ках?», проиллюстрируйте вариант работы по формированию представлений о пропорциональной зависимости между величинами,
используя для этого приемы:
 изменение одного из данных задачи;
 сравнение результатов решения задач, в которых изменяется одно из данных;
 моделирование задачи в виде схемы, таблицы.
3. В чем особенность следующих текстов задач? С какой целью и как образом их можно использовать при работе с задачами
на пропорциональную зависимость?
 Коля купил 3 ручки и 2 фломастера. За что он заплатил
денег больше, за ручки или фломастеры?
 В столовую завезли 8 ящиков с абрикосами и 10 ящиков с
виноградом? Масса каких фруктов была больше?
4. Определите цель сравнения каждой пары задач. Какие виды
задач сравниваются?
а)
На пошив 8 одинаковых
пальто израсходовано 24 м ткани. Сколько ткани потребуется
на 2 таких же пальто?
На пошив 8 одинаковых пальто
израсходовано 24 м ткани. Сколько
ткани потребуется на 6 таких же
пальто?
б)
На пошив 8 одинаковых
пальто израсходовано 24 м ткани. Сколько ткани потребуется
на пошив 2-х таких же пальто?
Мастер сшил 8 одинаковых
пальто, а его ученица 2 таких же
пальто. Сколько ткани израсходовал каждый из них, если мастер
потратил на 24 м ткани больше?
в)
Мастер сшил 8 одинаковых
пальто, а его ученица 2 таких же
пальто. Сколько ткани израсходовал каждый из них, если мастер потратил на 30 м ткани
больше?
Мастер сшил 8 одинаковых
пальто, а его ученица 2 таких же
пальто. Вместе они израсходовали
30 м ткани. Сколько ткани израсходовал каждый из них?
г)
Масса 8 одинаковых ящиков
с фруктами равна 24 кг. Какова
масса 2-х таких ящиков с фруктами?
На пошив 8 одинаковых пальто
израсходовано 24 м ткани. Сколько
ткани потребуется на пошив 2-х
таких же пальто?
111
Подберите или составьте задачи, которые можно предложить
учащимся для сравнения с этими же целями.
5. Выполните анализ фрагмента урока, представленного в
учебном пособии [12]. Каковы цели предложенного фрагмента
урока? Какие методические приемы использует учитель для их достижения?
6. Спланируйте работу по формированию у младших школьников общих умений при решении следующих задач:
 За 7 дней в столовой израсходовали 21 кг масла. На сколько дней при той же норме хватит 36 кг масла?
 Две школы получили 100 одинаковых пачек учебников. Одна
школа получила 600 экземпляров учебников, а другая 400 учебников.
Сколько пачек учебников получила каждая школа?
 В мастерской из двух кусков материи сшили одинаковые
палатки для туристов. В первом куске было 84 м материи, а во
втором 60 м. Сколько палаток сшили из каждого куска, если известно, что из второго куска сшили на 2 палатки меньше?
7. Прочитайте задачу. Решите ее разными арифметическими
способами.
На швейной фабрике мастер сшил одинаковые пальто израсходовав на них 24 м ткани. Его ученица сшила 2 таких же пальто
и израсходовала на них 6 м ткани. Сколько всего пальто сшили
мастер и ученица?
 Спланируйте фрагмент организации деятельности учащихся
в процессе работы над данной задачей, используя приемы: изменение условия и вопроса; поиск разных способов решения (в том
числе при помощи схемы).
 Составьте все возможные вопросы, на которые можно ответить, пользуясь условием данной задачи.
Контрольные задания
1. Разработайте фрагменты урока по формированию у младших
школьников общих умений при работе с задачами на пропорциональное деление и нахождение четвертого пропорционального.
112
ТЕМА 3
Методика обучения решению задач на движение
Теоретическая справка
Задачи на движение являются наиболее сложным объектом
для решения, что объясняется следующими фактами:
a) учащиеся впервые на практическом уровне рассматривают
понятие «векторной величины», то есть скорость – путь, пройденный за единицу времени в определенном направлении, таким образом, предметом осознания становится такое понятие, как «направление движения» и способы его фиксации;
b) задачи на движение предполагают сформированность некоторых общих умений уч-ся на достаточно высоком уровне, однако зачастую реальный уровень не соответствует предполагаемому;
c) решение задач на движение требует и определенного уровня развития абстрактного мышления, так как ограничены возможности решения задач на практическом и предметном уровне и графическим методом;
d) сложные ситуации не всегда позволяют непосредственно
использовать правила, формулы, лежащие в основе решения задач.
Этапы обучения решению задач на движение:
I. Подготовительный этап.
Цели:
1) овладение приемом моделирования;
2) уточнение имеющихся представлений о времени и расстоянии, формирование представлений о скорости;
3) осознание взаимосвязи между величинами в процессе решения простых задач.
Методические приемы:
a) воспроизведение различного рода движения уч-ся;
b) анализ иллюстраций;
c) соотнесение текста задачи и предложенной схемы движения
составление схемы по предложенной задаче с дальнейшим
преобразованием;
 наблюдение за движением транспорта;
 предметное воспроизведение ситуации.
113
II. Основной этап – обучение решению составных задач на
движение.
Цель: формирование общих умений решать задачи на движение.
Методические приемы:
 решение задач с недостающими данными или с недостающей частью условия;
 преобразование задач (изменение отношений между данными
и искомыми в задаче, изменение частей или данных в задаче);
 сравнение последовательности составления моделей к задачам на движение, на пропорциональную зависимость, к произвольным составным задачам;
 сравнение логики или последовательности построения рассуждений по задачам различным типов;
 составление различных моделей, текстов, схем рассуждений по одной и той же задаче на движение;
 выбор среди предложенных моделей, схем рассуждения
тех, что соответствуют данной задаче;
 воспроизведение или составление текстовых задач по моделям и схемам;
 анализ неверной модели или схемы с последующим преобразованием.
Рекомендуемая литература
1. Бантова, М. А. Методика преподавания математики в
начальных классах / М. А. Бантова, М. И. Моро, Г. А. Бельтюкова. – Москва : Просвещение, 1976. – С. 241–246.
2. Белозерова, В. Организация домашней работы при обучении решению задач на движение / В. Белозерова // Начальная школа. 1985. – №12. – С. 16–21.
3. Воловичева, Л. А. Развивающие возможности задач на
движение / Л. А. Воловичева // Начальная школа. – 2000. – № 5. –
С. 37–43.
4. Зайкин, М. И. Power Point помогает решать задачи на движение / М. И. Зайкин, А. В. Плелин // Начальная школа. – 2009. –
№ 8. – С. 26–31.
5. Подорова, Т. Решаем задачи на движение (урок в 3 кл.) /
Т Подорова // Начальная школа: Приложение к газете «1 сентября». – 2000. – № 10. – С. 15–19.
114
6. Рассудовская, М. М. Организация учебной деятельности
при решении текстовых задач / М. М. Рассудовская, Т. Н. Грань //
Начальная школа. – 1992. – № 5–6. – С. 56–62.
7. Роганова, Н. Ф. Организация самостоятельной работы
учащихся над задачей / Н. Ф. Роганова // Начальная школа. –
1988. – № 2. – С. 33–37.
8. Рудницкая, В. Н. Формирование у школьников понятия
«скорость» / В. Н. Рудницкая // Начальная школа. – 1993. – № 1. –
С. 41–48.
9. Фарсиян, Ж. С. Межпредметные связи в процессе обучения
решению задач на движение / Ж. С. Фарсиян // Начальная школа. –
2008. – № 11. – С. 61–65.
10. Фридман, Л. М. Обучение решению сюжетных задач /
Л. М. Фридман // Начальная школа. – 2000. – № 6. – С. 24–30.
11. Холомкина, А. И. Решение задач на движение /
А.И. Холомкина // Начальная школа. – 1983. – № 3. – С. 52–57.
12. Царева, С. Е. Понятие «скорость» в методико-математической подготовке будущих учителей / С. Е. Царева // Начальная
школа. – 2002. – № 11. – С. 43–48.
13. Шикова, Р. Н. Методика обучения решению задач, связанных с движением тел / Р. Н. Шикова // Начальная школа. – 2000. –
№ 5. – С. 28–32.
14. Истомина, Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. – Москва,1999. – С. 241–242.
Вопросы для самоконтроля
1. Какие затруднения испытываются учащиеся при решении
задач на движение? Чем объясняются эти трудности? Каковы пути
их преодоления?
2. Каково содержание подготовительного этапа в обучении
решению задач на движение? Обоснуйте необходимость проводимой работы и ее роль в формировании общих умений в работе над
задачами на движение. С помощью каких методических приемов
можно успешно формировать представление о скорости и направлении движения?
3. Какова специфика формирования общих умений при работе с составными задачами на движение? Какие методические приемы способствуют более продуктивному формированию умений
115
осуществлять анализ текстов задач на движение, выполнять построение соответствующей модели и поиск плана решения?
Задания для самостоятельной работы
1. Охарактеризуйте виды движения, изучаемые в начальной
школе, а также основные понятия, связанные с движением тел.
2. Выпишите типы упражнений, которые можно использовать
на подготовительном этапе для формирования представлений о
«времени» и «расстоянии». Определите их цели. Какие модели для
этого предлагаются в различных учебниках математики для
начальной школы?
3. Определите цели сравнения предложенных пар задач:
а)
Килограмм конфет стоит
12 руб., а килограмм печенья в 2
раза меньше. Сколько стоит 1 кг
печенья?
Лыжник проходит за 1 час 12 км,
а пешеход в 2 раза меньше. Сколько
километров пешеход проходит за 1
час?
б)
В трех коробках 15 кг печенья.
Сколько печенья в одной коробке?
За 3 часа пешеход прошел
15км. Сколько километров он
пройдет за 1 час?
Каким образом их можно использовать на подготовительном
этапе?
4. Одним из эффективных приемов формирования представлений о скорости движения и взаимосвязи между величинами является прием решения задач с недостающими данными. Проиллюстрируйте данный прием, используя текст задачи: «Один велосипедист едет до города 15 мин, а другой – 25 мин. Кто едет быстрее, а кто медленнее?»
5. Для успешного решения задач, связанных с движением тел,
учащимся необходимо уметь заменять крупные единицы каждой из
трех величин (скорость, время, расстояние) мелкими, и наоборот.
Соответствуют ли данной цели предложенные упражнения?

Объясни следующие выражения: «Скорость самолета
70 км/ч», «Пешеход проходит 5 км за 1 час».

Сравни скорости:
5 км/ч…500 м/мин
300 км/ч…5 км/мин
116

Реши задачу: «Скорость одного пешехода 50 м/мин, а
другого – 4 км/ч. За какое время первый пешеход пройдет 12 км?
За какое время это расстояние пройдет второй пешеход?»

Реши задачу: «Пешеход проходит за 1 час 5 км. Сколько
метров он пройдет за 1 минуту?»
6. Решение задач на движение в начальном курсе математики
призвано способствовать осознанию учащимися пропорциональной зависимости между величинами (прямой и обратной). Для этого используются приемы:
 постановка различных вопросов к условию;
 заполнение таблиц, анализ схематических моделей;
 сравнение задач;
 решение задач с недостающими данными.
Какие из данных приемов используются в следующих учебных заданиях?
 Один пешеход проходит расстояние 12 км за 2 часа, другой – за 3 часа, третий – за 4 часа. Покажите отрезок, который
обозначает скорость каждого пешехода.
 Реши задачу: «Пешеход был в пути 3 часа. С какой скоростью он шел?»
 Реши задачу: «Пешеход за 3 часа прошел 12 км. Сколько
километров он за 1 час?» На какие еще вопросы ты можешь ответить, пользуясь данным условием?
Подберите из учебников или составьте самостоятельно
упражнения по осознанию прямой и обратной пропорциональностей. Помните, что в этом случае важно обратить внимание учащихся на два момента:
а) как связаны между собой величины, то есть как, зная числовые значение двух величин, найти третью;
б) как изменяется одно величина в зависимости от изменения
другой, если третья величина не изменяется.
117
7. Выполните анализ двух фрагментов уроков, представленных в учебном пособии [14]. Каковы цели предложенных фрагментов? Какие методические приемы использованы в каждом из них?
8. Решите задачу всеми арифметическими способами. «Теплоход за 6 часов прошел 120 км. Сколько километров он пройдет
за 3 часа, если будет идти с той же скоростью?»
Для подготовки к решению данной задачи разными способами
учитель использовал задания:
 Пешеход проходит 1 км за 15 мин. Сколько километров он
пройдет за 1 час? За 2 часа?
 За 3 часа пешеход проходит 12 км. Сколько километров он
пройдет за 1 час? Сколько минут потребуется для прохождения 1 км?
Зачем были предложены эти задания? Как помочь учащимся
найти все возможные способы решения? Какие модели для этого
можно использовать? Можно ли решить первую задачу алгебраически и графически? Все ли данные необходимы для графического
решения?
9. Особая роль в формировании у младших школьников общих умений решать задачи отводится задачам на движение в противоположных направлениях (на сближение и удаление).
Сравните задачи. Чем они похожи? Чем отличаются?
Из двух пунктов одновременно
вышли два пешехода навстречу друг
другу и встретились через 3 часа.
Найти расстояние между пунктами,
если скорость первого была 5 км/ч, а
скорость второго 4 км/ч.
Из одного пункта одновременно вышли два пешехода и пошли в
противоположных направлениях.
Один из них шел со скоростью
5 км/ч, а другой 4 км/ч. На каком
расстоянии они были через 3 часа?
Решите данные задачи. Сравните решения.

Можно ли предложить данное задание учащихся? Если да,
то с какой целью?
10. Какие модели помогают осознать учащимся понятия «скорость сближения» и «скорость удаления»? Смоделируйте задачи в
задании № 9. Познакомьтесь с возможностью использования динамической таблицы для введения данных понятий (статья № 11.)
11. Составьте с величинами «скорость», «время», «расстояние» по одной задаче на нахождение четвертого пропорционального, на пропорциональное деление, на нахождение неизвестного по
118
двум разностям. Разработайте вариант организации деятельности
учащихся с каждой из задач.
12. Проиллюстрируйте различные варианты работы (2–3 методических приема, например, моделирование, решение разными методами и
способами, сравнение и др.) по обучению решению задач, связанных с
движением тел, на примере следующих задач:
 Расстояние между двумя городами в 360 км автобус проходит за 6 ч, а мотороллер за 12 ч. Через сколько часов произойдет
встреча автобуса и мотороллера, если они одновременно выедут
из этих городов навстречу друг другу?
 Из двух городов навстречу друг другу вышли одновременно
два поезда и встретились через 18 часов. Определить скорость
каждого поезда, если расстояние между городами 1620 км, а скорость одного поезда на 10км/ч больше скорости другого.
Контрольные задания
1. Проиллюстрируйте 3–4 методических приема, которые
можно использовать на подготовительном этапе для формирования
у учащихся представлений о скорости, для овладения приемом моделирования и осознания зависимости между величинами в процессе решения простых задач, связанных с движением тел.
2. Разработайте фрагмент урока по введению понятия скорость. Сформулируйте цели фрагмента и обоснуйте выбор методических приемов.
ТЕМА 4
Исследовательская работа над задачей
в начальном курсе математики
Задания для самостоятельной подготовки
1. Укажите цели организации исследовательской (творческой)
работы над задачей в процессе обучения младших школьников.
2. Выпишите, используя список литературы, методические
приемы и упражнения, соответствующие основным направлениям
организации исследовательской (творческой) работы над задачей:
 сравнение задач;
119
преобразование задач;
составление задач;
решение задач разными способами.
3. Выпишите виды нестандартных задач, используемых в
НКМ. Найдите примеры таких задач в учебниках математики для
начальной школы (№ 9). Чем обусловлено, по мнению Е.Е. Останиной, деление нестандартных задач на серии (всего их 8)?
4. Опишите методику обучения младших школьников решению
комбинаторных задач, методы их решения и методические приемы,
которые можно использовать на каждом этапе обучения (№ 1–4).



Рекомендуемая литература
1. Ассонова, В. А. Решение задач методом перебора в курсе
математики 1 и 2 классов / В. А. Ассонова, Н. В. Ассонова //
Начальная школа. – 2007. – № 10. – С. 15–20.
2. Белокурова, Е. Е. Обучение решению комбинаторных задач
с помощью таблиц и графов / Е. Е. Белокурова // Начальная школа. – 1994. – № 12. – С. 23–31.
3. Белокурова, Е. Е. Методика обучения решению комбинаторных задач / Е. Е. Белокурова // Начальная школа. – 1994. –
№ 12. – С. 24–30.
4. Белокурова, Е. Е. Характеристика комбинаторных задач /
Е. Е. Белокурова // Начальная школа. – 1994. – № 1. – С. 34–39.
5. Белокурова, Е. Е. Некоторые комбинаторные задачи в НКМ /
Е. Е. Белокурова // Начальная школа. – 1992. – № 2. – С. 45–50.
6. Белошистая, А. В. Методика работы с текстовыми логическими заданиями / А. В. Белошистая, Р. А. Литвиненко // Начальная школа. – 2007. – № 8. – С. 38–45.
7. Глушков, Н. К. Составление задач по выражению /
Н. К. Глушков // Начальная школа. – 1995. – № 12. – С. 51–55.
8. Годунова, Л. Н. Проект «Создание задачника по математике / Л. Н. Годунова // Начальная школа. – 2009. – № 5. – С. 27–32.
9. Гребенникова, Н. А. Решение задач на зависимость величин
разными способами / Н. А. Гребенькова // Начальная школа. –
1999. – № 2. – С. 36–40.
10. Дроботенко, Н. М. Нестандартный урок математики по
теме «решение задач разными способами» / Н. М. Дроботенко //
Начальная школа. – 2005. – № 1. – С. 54–57.
120
11. Зубова, С. П. Использование задач для выявления сформированности обобщений / С. П. Зубова // Начальная школа.
1993. – № 5. – С. 48–51.
12. Касярум, Е. И. Развитие мышления учащихся при решении задач / Е. И. Косярум, И. И. Позднякова, В. И. Петрова //
Начальная школа. – 1992. – № 1. – С. 18–22.
13. Матвеева, Н. А. Методические приемы обучения составлению текстовых задач / Н. А. Матвеева // Начальная школа. –
2003. – № 6. – С. 23–26.
14. Останина, Е. Е. Обучение младших школьников решению
нестандартных арифметических задач / Е. Е. Останина // Начальная
школа. – 2004. – № 7. – С. 56–59.
15. Петрова, В. И. Развитие мышления при решении задач /
В. И. Петрова // Начальная школа. – 1992. – № 1. – С. 62-–64.
16. Смирнова, А. А. Метод варьирования текстовых задач по
математике как средства повышения осознанности знаний учащихся / А. А. Смирнова, Н. С. Чернышова // Начальная школа. – 2009.
– № 4. – С. 35–39.
17. Царева, С. Е. Нестандартные виды работы с задачами на
уроке как средство реализации современных педагогических концепций и технологий / С. Е. Царева // Начальная школа. – 2004. –
№ 4. – С. 28–32.
18. Царева, С. Е. Виды работы с задачами на уроке математики / С. Е. Царева // Начальная школа. – 1990. – № 10. – С. 18–27.
19. Царева, С. Е. Нестандартные виды работы с задачами /
С. Е. Царева // Начальная школа. – 2004. – № 4. – С. 35–40.
20. Целищева, И. И. Обучение решению комбинаторных задач детей 4–10 лет / И. И. Целищева, И. Б. Румянцева,
Е. С. Ермакова // Начальная школа. – 2005. – № 11. – С. 37–44.
21. Шикова, Р. Н. Работа над текстовыми задачами /
Р. Н. Шикова // Начальная школа. – 1991. – № 5. – С. 15–21.
22. Шорникова, И. В. Некоторые виды работ по преобразованию
задач / И. В. Шорникова // Начальная школа. – 1991. – № 11. – С. 25–29.
23. Шульга Р. П. Решение задач разными способами – средство повышения интереса к математике / Р. П. Шульга // Начальная
школа. – 1990. – № 12. – С. 58–63.
24. Истомина, Н. Б. Учимся решать комбинаторные задачи /
Н. Б. Истомина, Е. П. Виноградова. – Смоленск, 2003.
121
Задания для лабораторной работы
1. Определите цель сравнения каждой пары задач и их решений. Составьте вопросы для беседы с учащимися при работе с каждой парой задач.
а)
У Маши было 5 яблок, а у
Миши на 2 меньше. Сколько
яблок было у Миши?
У Маши было 5 яблок, а у
Миши на 2 больше. Сколько яблок
было у Миши?
б)
Первый пешеход прошел
5 км, а второй на 3 км больше.
Сколько километров прошел
второй пешеход?
Первый пешеход прошел 5 км.
Это на 3 км больше, чем прошел
второй пешеход. Сколько километров прошел второй пешеход?
в)
На первой остановке вышло
6 пассажиров, а на второй – на 5
человек больше. Сколько пассажиров вышло на второй остановке?
На первой остановке вышло
6 пассажиров, а на второй – на 5 человек больше. Сколько всего пассажиров вышло двух на остановках?
г)
На одной остановке из автобуса вышли 10 человек, а на
другой 20. На сколько пассажиров меньше стало в автобусе?
На одной остановке из автобуса вышли 10 человек, а на другой
20. Сколько пассажиров вышло из
автобуса?
д)
В коробке лежало 8 синих и
12 красных карандашей. Все карандаши раздали ученикам по 4
каждому. Сколько учеников получили карандаши?
В коробке лежало 8 синих и 12
красных карандашей. Все карандаши раздали ученикам по 4 каждому.
Сколько учеников получили синие
карандаши, а сколько учеников получили красные карандаши?
2. Раскройте методику работы с учащимися при выполнении
задания: «Составьте задачу по выражению (6 ∙ 4) : 3».
3. Решите задачу всеми возможными арифметическими способами: «В одном из новых домов 40 квартир, а в другом 20. Заселили 10 квартир. Сколько квартир еще будут заселены?». Измените
одно из данных задачи так, чтобы она решалась двумя способами,
одним способом. Можно ли это задание предложить младшим
школьникам? Если да, то с какой целью?
122
4. Используя методические приемы преобразования, сравнения и составления задач разработайте различные варианты организации творческой (исследовательской) деятельности учащихся при
работе над задачами:
 Вова нарисовал 9 домиков, а Лида на 4 меньше. Сколько
домиков нарисовала Лида?
 В бассейне по дорожке длиной 100 м навстречу друг другу
поплыли две девочки. Одна из них за минуту проплыла 30м, а другая 20 метров. Какое расстояние оставалось между девочками
через минуту?
 За 8 часов рабочий изготовил на своем станке
96одинаковых деталей. Сколько времени потребуется для изготовления 72 таких же деталей?
5. Опишите «формальные» и «неформальные» методы решения следующей комбинаторной задачи: «Запиши все двузначные
числа, которые можно составить из цифр 2, 4, 7, 8, так, чтобы число десятков было больше числа единиц».
6. Подберите тексты задач, которые можно использовать на
каждом этапе обучения решению комбинаторных задач:

подготовительный этап;

организация обучения систематическому перебору вариантов (небольшое число вариантов);

решение задач при помощи таблиц и графов.
Докажите соответствие выбранных текстов целям и содержанию этапа.
7. Выполните анализ тетрадей для учащихся 1–2 и 3–4 классов [24]. Какие виды комбинаторных задач используются в тетрадях? Какие способы решения применяются? Опишите методику
работы с любыми 3-мя заданиями.
8. Опишите способы организации деятельности учащихся при
решении следующих комбинаторных задач:
 Расставь модели фигур так, чтобы рядом не было одинаковых по форме или цвету.
123
 Для изготовления двуцветных ручек на фабрике использовали красные, желтые, зеленые и синие стержни. Сколько различных видов двуцветных ручек выпускала фабрика?
 Сосчитай, сколько слов содержится в заклинании волшебника, если слова начинаются с букв ш или ц, второй буквой могут
быть о, и, е, а оканчиваться слова могут буквами р, к, х.
9. Составьте памятку для учащихся по решению нестандартных задач [9, 14]. Опишите вариант работы учащихся со следующей задачей: «Мама испекла пирожки. Утром она съела 1 пирожок, а половину всех оставшихся пирожков положила в корзинку
Красной Шапочке, чтобы она отнесла их бабушке. По дороге
Красная Шапочка съела 2 пирожка и третью часть оставшихся
пирожков отдала Волку. Бабушке Красная Шапочка принесла 8
пирожков. Сколько пирожков испекла мама?»
Контрольные задания
1. Используя текст задачи: «6 табуреток стоят 180 руб., Покупатель купил 3 такие табуретки и заплатил в кассу 150 руб. Сколько рублей сдачи должен получить покупатель?», составьте упражнения, соответствующие различным направлениям в организации
исследовательской работы над задачей. Укажите цели предложенных упражнений.
2. Опишите различные варианты работы с учащимися при
решении следующей задачи: «В школьной столовой приготовили
на завтрак плов, кашу и блины, а из напитков – сок, чай и молоко.
Сколько различных вариантов завтраков можно составить?»
ТЕМА 5
Дифференцированная работа над задачей
Задания для самостоятельной подготовки
1. Раскройте сущность и обоснуйте необходимость использования дифференцированного подхода при обучении младших
школьников решению задач.
2. Дайте характеристику трех уровней (низкого, среднего и
высокого) сформированности общих умений решать задачи у
124
младших школьников, которые могут стать основной для дифференциации.
3. Выпишите, используя литературу, приемы и типы упражнений, которые используются для организации дифференцированной работы над задачами. Укажите основание для дифференциации в каждом случае:
 степень сложности задач;
 объем работы над задачей;
 степень самостоятельности при решении задач.
4. Выделите типы ошибок, которые могут допускать учащиеся при решении задач. Как можно использовать дифференцированные задания для работы над данными типами ошибок?
Рекомендуемая литература
1. Баринова, О. В. Дифференцированное обучение решению
математических задач / О. В. Баринова // Начальная школа. –
1999. – № 2. – С. 15–18.
2. Белошистая, А. В. Как помочь ребенку в самостоятельной
работе над задачей / А. В. Белошистая // Начальная школа. –
2008. – № 8. – С. 33–38.
3. Богомолова, Л. Г. Не забывать о способных / Л. Г. Богомолова // Начальная школа. – 1991. – № 5. – С. 37–41.
4. Глушков, Н. К. Дифференцированная работа над задачами /
Н. К. Глушков // Начальная школа. – 1986. – № 2. – С. 55–59.
5. Деменева, Н. Н. Дифференцированная работа на уроках
математики в начальной школе / Н. Н. Деменева // Начальная школа. – 2004. –№ 2. – С. 38–41.
6. Зубов, В. И. Предупреждение ошибок учащихся при обучении решению текстовых задач / В. И. Зубов, Р. Н. Шикова //
Начальная школа. – 1994. – № 1. – С. 36–40.
7. Истомина, Н. Б. Учимся решать задачи (1–4 кл.). Тетрадь
для учащихся / Н. Б. Истомина. – Смоленск, 2003. – 35с.
8. Каткова, Э. Н. Дифференцированные задания при работе
над ошибками в решении задач / Э. Н. Каткова // Начальная школа. – 1985. – № 10. – С. 22–26.
9. Колоскова, О. П. Формирование учебных умений младших школьников в процессе обучения решению задач /
О. П. Колоскова // Начальная школа. – 2008. – № 9. – С. 58–63.
125
10. Радюпова, Л. А. Задания по выбору учащихся и некоторые
приемы их составления / Л. А. Радюпова, Л. П. Савина // Начальная школа. – 1999. – № 11. – С. 63–69.
11. Роганова, Н. Ф. Организация самостоятельной работы на уроке / Н. Ф. Роганова // Начальная школа. – 1988. – № 2. – С. 16–21.
12. Роганова, Н. Ф. Организация самостоятельной работы на
уроке / Н. Ф. Роганова // Начальная школа. – 1989. – № 2. – С. 25–31.
13. Шикова, Р. Н. Работа над текстовыми задачами /
Р.Н. Шикова // Начальная школа. – 1991. – № 5. – С. 15–21.
14. Шмырева, Г. Г. Предупреждение ошибок в выборе арифметического действия при обучении решению задач /
Г. Г. Шмырева // Начальная школа. – 1985. – № 10. – С. 54–60.
Задания для лабораторной работы
1. Перечислите показатели сложности задачи. Расположите
по степени сложности следующие задачи.
 У школы росло 4 клена и 5 берез. Сколько всего деревьев
росло у школы?
 От куска проволоки отрезали сначала 5 м, а затем еще 2 м.
Сколько всего метров проволоки отрезали?
 У мальчика было а красных воздушных шаров и в зеленых.
Сколько всего шаров было у мальчика?
Как можно использовать данные задачи для организации
дифференцированного обучения?
2. Разработайте индивидуальные карточки для оказания помощи учащимся в решении следующей задачи, используя приемы:
 дополнительная конкретизация задачи;
 теоретическая справка;
 инструкция (дополнительные указания);
 выбор решения;
 частичное решение и др.
Хозяйка купила 16 килограммов огурцов и положила по 3 килограмма огурцов в 4 банки. Сколько огурцов у нее осталось?
3. Составьте несколько дополнительных заданий, которые
можно предложить учащимся с высоким уровнем сформированности общих умений решать задачи после успешного решения задачи: «Хозяйка купила 3 метра шелка по 40 рублей и столько же
126
метров шерсти по 70 рублей. Сколько денег она уплатила за покупку?»
4. Какие ошибки могут допустить учащиеся при решении
каждой из задач?
 В зале в первом ряду сидело 7 человек, а во втором на 3 человека больше. Сколько человек было в первом и во втором рядах
вместе?
 У Маши было 5 конфет. Это на 2 меньше, чем у Миши.
Сколько конфет было у Миши?
 На одной пасеке 85 ульев, а на другой 55 ульев. С первой пасеки сняли на 1620 килограммов меда больше, чем со второй.
Сколько меда сняли с каждой пасеки, если с каждого улья получили меда поровну?
Каковы причины ошибок? Как следует организовать дифференцированную работу, чтобы предупредить подобные ошибки?
5. Разработайте дифференцированные задания для различных
групп учащихся при работе над задачами:
 У Коли было 20 рублей. После того, как он купил мороженое, у него осталось 13 рублей. Сколько стоит мороженое?
 В одной коробке 9 карандашей. Сколько карандашей в шести таких же коробках?
 На 8 одинаковых костюмов идет 32 м ткани. Сколько таких
костюмов можно сшить из 16 м ткани?
Контрольные задания
1. Используя текст задачи: «На трех турбазах отдыхает
295 человек. На первой турбазе отдыхающих столько же, сколько и
на второй. Сколько человек на третьей турбазе, если на первой отдыхает 90?» составьте дифференцированные задания, соответствующие трем уровням сформированности умения решать задачи,
для эффективного формирования общих умений решать задачи.
2. Спрогнозируйте возможные ошибки, которые могут допустить учащиеся при решении следующей задачи. Подберите дифференцированные упражнения для работы над ошибками.
 Брат купил 6 конфет, а сестра три такие же конфеты. Вместе они заплатили 7 руб. 20 коп. Сколько заплатил каждый?
127
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ТЕКУЩЕГО
И ПРОМЕЖУТОЧНОГО КОНТРОЛЯ
3 КУРС. 5 СЕМЕСТР
ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА
№/п
1
1.1
1.2
2
2.1
2.2
3
3.1
4
4.1
5
5.1
6
7
Задания для оценивания
Тема: «Методика изучения подготовительного
этапа и нумерации однозначных чисел»
Контрольная работа № 1
Практические задания к зачету
Тема: «Цели и содержание начального курса математики. Новые стандарты в математическом образовании младших школьников»
Разработка серии заданий по теме: «Формирование у младших школьников универсальных учебных действий»
Разработка фрагмента урока по формированию
коммуникативных универсальных учебных действий
Тема «Урок математики в начальной школе»
Разработка конспекта урока математики
Тема: «Контроль и оценка знаний и умений учащихся по математике. Диагностика предметных и метапредметных результатов»
Разработка трех форм контроля результатов обучения математике
Тема: «Использование интерактивной доски на
уроках математики»
Разработка фрагмент урока математики с использованием интерактивной доски Smart Board
Активная работа на практических и лабораторных занятиях (за семестр)
Зачет
Итого
Количество
баллов
10 б.
10 б.
6 б.
6 б.
10 б.
6 б.
10 б.
12 б.
30 б.
100 б.
Оценивание: 50 и более баллов – зачет, 49 и менее баллов – не зачтено.
128
ТЕМА 1
Методика изучения подготовительного этапа
и нумерации однозначных чисел»
Контрольная работа № 1 (1.1)
Изучение уровня математической готовности детей,
поступающих в школу
1. Разработайте задания по определению уровня готовности
ребенка к изучению математики, направленные на выявление
уровня сформированности:
 временных представлений;
 пространственных представлений;
 геометрических представлений;
 умения пересчитывать элементы множеств;
 умения сравнивать множества по числу составляющих их
элементов;
 логических умений.
2. Подготовьте наглядный и дидактический материал к данным заданиям.
3. Опишите систему обработки результатов выявления уровня готовности ребенка к изучению математики:
 количественная характеристика – три уровня готовности
(низкий, средний, высокий) в баллах;
 качественная характеристика каждого уровня (по умениям).
Рекомендуемая литература
1. Ершова, Е. А. Практика «Первые дни ребенка в школе» в
системе подготовки учителей начальных классов / Е. А. Ершова //
Начальная школа. – 1991. – № 8. – С. 36–39.
2. Журова, Л. Е. Педагогическая диагностика готовности детей к обучению в школе и методические рекомендации по преодолению выявленных трудностей / Л. Е. Журова, Е. Э. Качурова,
М. И. Кузнецова // Начальная школа. – 1999. – № 11. – С. 47–53.
3. Истомина, Н. Б. Готовимся к школе. Математическая подготовка: 1,2 часть / Н. Б. Истомина. – Смоленск : Ассоциация
XXI век, 2010. – 46 с.
129
4. Клементьева Н. Р. Восприятие количества как один из показателей математической готовности будущих первоклассников /
Н. Р. Климентьева // Начальная школа. – 2005. – № 9. – С. 48–54.
5. Чиндилова, О. В. Педагогическая диагностика готовности
старших дошкольников к обучению в школе (новый образовательный стандарт) / О. В. Чиндилова // Начальная школа плюс: до и
после. – 2010. – № 8. – С. 22–30.
Практические задания к зачету (1.2)
Подготовить:
1. Набор дидактических материалов:
 образцы написания прописных (формат А4 + описание комментирования) и печатных цифр (меньший формат) – можно электронную версию;
 предметные картинки (одинаковые или отличающиеся определенными признаками) – 4 набора по 10 штук (для классификации
по 7–8);
 геометрические фигуры по 5 штук разного цвета и размера.
2. Методическую копилку упражнений, дидактических игр и
материалов по разделу: «Методика изучения однозначных чисел»
(упражнения, дидактические игры, стихи о цифрах);
ТЕМА 2
Цели и содержание начального курса математики.
Новые стандарты в математическом образовании
младших школьников (2.1 и 2.2)
Практические задания
Для выполнения заданий выбрать одну из предложенных тем
(по вариантам):
1. Организация подготовительного (дочислового) этапа изучения нумерации чисел.
2. Методика изучения нумерации чисел в пределах 10.
3. Методика изучения нумерации чисел в пределах 100.
4. Методика изучения нумерации чисел в пределах 1000.
5. Методика изучения нумерации чисел, больших 1000.
130
Задания:
1. Разработать серию заданий по формированию универсальных учебных действий (8–10 заданий) в рамках темы (см. выше).
 познавательных;
 регулятивных.
Оформление:
 Тема.
Цель задания
Содержание задания
Формируемые УУД
2. Разработать фрагмент урока по изучению нумерации чисел
(темы см. выше), предусматривающий формирование коммуникативных универсальных учебных действий.
Оформление:
 Тема урока.
 Задачи фрагмента.
 Ход урока.
Этап урока, его
задача
Деятельность
учителя
Деятельность
учащихся
Коммуникативные УУД
Контрольные задания по темам лабораторных занятий
ТЕМА 3
Урок математики в начальной школе (3.1)
1. Разработайте конспект урока математики в соответствии с
требованиями (см. лабораторную работу № 2, с. 30).
2. Подготовьте наглядный и дидактический материал, необходимый для проведения данного урока.
131
ТЕМА 4
Контроль и оценка знаний и умений учащихся
по математике. Диагностика предметных
и метапредметных результатов (4.1)
1. Разработайте три формы контроля знаний и умений учащихся:

комбинированная контрольная работа;

арифметический диктант;

тематические тестовые задания (10 шт.) – печатный или
электронный вариант.
ТЕМА 5
Использование интерактивной доски на уроках
математики (5.1)
1. Разработайте фрагмент урока математики с использованием интерактивной доски Smart Board (текст фрагмента + файл в
программе Smart Notebook).
132
3 КУРС. 6 СЕМЕСТР
ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА
№/п
Задания для оценивания
1
Тема: «Методика изучения смысла арифметических действий и их свойств»
Подготовка карточек для фронтальной работы
с терминами
Разработка 4 вариантов изучения переместительного свойства умножения
Тема: «Методика формирования навыка табличных вычислений»
Разработка серии продуктивных упражнений
по формированию навыков табличного сложения/умножения (карточки)
Тема «Методика формирования навыка устных внетабличных вычислений»
Контрольная работа №1
Тема: «Методика формирования навыка письменных вычислений»
Контрольная работа №2
Тестирование
Экзамен
Итого
1.1
1.2
2
2.1
3
3.1
4
4.1
5
6
Количество
баллов
6 б.
4б
8 б.
12 б.
20 б.
20 б.
30 б.
100 б.
Шкала перевода баллов в отметки
Количество баллов
0–49 баллов
50–69 баллов
70–84 баллов
85–100 баллов
Оценка
2 (неудовлетворительно)
3 (удовлетворительно)
4 (хорошо)
5 (отлично)
133
ТЕМА 1
Методика изучения смысла арифметических действий
и их свойств
1. Подготовьте карточки с терминами для фронтальной работы (в 1 экз.) (1.1):
 слагаемое, слагаемое, сумма;
 уменьшаемое, вычитаемое, разность;
 множитель, множитель, произведение;
 делимое, делитель, частное.
2. Разработайте 4 варианта изучения переместительного
свойства умножения (1.2).
ТЕМА 2
Методика формирования навыка
табличных вычислений
1. Разработайте серию продуктивных упражнений по формированию навыков табличного сложения/умножения (8–10 заданий) для
индивидуальной работы на карточках (2.1).
Пример оформления:
Карточка 1.
1. Сравни, поставь знаки >,<,=.
5+3…5+2
6+2…6+1
2. Составь и запиши верные равенства, используя числа
5, 2, 6, 3, 9, 7.
134
ТЕМА 3
Методика формирования навыка устных вычислений
Контрольная работа №1 (3.1)
1. Разработать
фрагмент
урока,
предусматривающий
реализацию продуктивных методов обучения, по ознакомлению с
вычислительным приемом:
 подготовка к изучению приема;
 введение вычислительного приема;
 первичное закрепление.
2. Составить
задания
для
контроля
и
проверки
сформированности вычислительного навыка. Выбор заданий
обосновать.
Вычислительные приемы (по вариантам):
1) табличного сложения и вычитания в пределах 20;
2) устного внетабличного сложения и вычитания двузначных
чисел;
3) устного внетабличного умножения и деления двузначных
чисел.
ТЕМА 4
Методика формирования навыка
письменных вычислений
Контрольная работа №2 (4.1)
1. Укажите название, теоретическую основу вычислительного приема и выполните подробное объяснение и запись (по вариантам).
1. 187 + 281
2. 687 - 198
3. 234  2
4. 864 : 2
5. 51830+42029
Оформление
Название
приема
Теоретическая
основа
135
Запись
Объяснение
2. Составьте или подберите из учебника упражнения, которые целесообразно предложить учащимся для подготовки к изучению
данного вычислительного приема. Укажите цели упражнений.
Оформление
Цель упражнения (предметная)
Содержание задания
3. Разработайте фрагмент урока по введению вычислительного приема.
Оформление
Тема урока: (по вариантам)
Цели урока:
 Предметные
 Метапредметные (регулятивные, коммуникативные, познавательные)
 Личностные
Ход урока:
Деятельность учителя
и учащихся
Этап урока и его задача
1. Актуализация знаний, подготовка к
изучению нового материала
2. Целеполагание
3. Изучение нового материала
4. Первичное закрепление
Обязательно отксерокопировать страницу учебника, по которому составлен фрагмент.
4. Составьте серию продуктивных заданий (5–6) по формированию вычислительных умений и навыков данной группы. Укажите их предметные и метапредметные цели.
Оформление
Предметные цели
Метапредметные цели
Содержание задания
Вопросы к экзамену
1. Методика преподавания математики как учебный предмет
и наука. Теоретические основы, цели и задачи. Понятие
«методическая система».
136
2. Современный стандарт начального общего образования:
цели изучения математики в начальной школе.
3. Особенности содержания начального курса математики:
принципы построения и характеристика основных разделов.
4. Методика формирования универсальных учебных действий
у младших школьников на уроках математики.
5. Методическая деятельность учителя при подготовке и проведении урока математики в начальной школе.
6. Контроль результатов обучения математике в начальной
школе.
7. Методика организации подготовительного периода в
изучении математики: содержание и особенности реализации
образовательных целей данного периода обучения.
8. Методика изучения нумерации однозначных чисел.
9. Характеристика методического подхода к изучению
нумерации натуральных чисел в различных концентрах. Устная и
письменная нумерация.
10. Методика изучения смысла действий сложения и вычитания.
11. Понятие вычислительного умения, вычислительного навыка. Характеристики вычислительного навыка. Методика составления таблиц сложения и вычитания. Формирование навыков табличных вычислений.
12. Методика изучения смысла действий умножения и деления.
13. Понятие вычислительного умения, вычислительного навыка.
Характеристики вычислительного навыка. Составление таблиц умножения и деления. Формирование навыка табличных вычислений.
14. Характеристика приемов внетабличного устного сложения
и вычитания. Особенности этапов формирования навыка устного
внетабличного сложения и вычитания.
15. Характеристика приемов внетабличного умножения и деления. Особенности этапов формирования навыка внетабличного
умножения и деления.
16. Методика изучения приемов письменного сложения и вычитания.
17. Методика изучения приемов письменного умножения и деления.
18. Использование в начальном курсе математики свойств
арифметических действий. Методика изучения свойств арифметических действий.
137
4 КУРС. 7 СЕМЕСТР
ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА
№/п
Задания для оценивания
1.
Тема: Понятия «задача» и «решение задачи» в
начальном курсе математики
Тема: Различные методические подходы к обучению младших школьников решению текстовых
задач
Тестирование
Тема: Методика обучения младших школьников
моделированию текстовой задачи
Контрольная работа №1
Тема: Методика обучения решению задач на
пропорциональную зависимость между величинами
Тема: Методика обучения решению задач на
движение.
Задания практического характера
Нестандартные виды работы с задачей
Творческое задание
Активная работа на практических и лабораторных занятиях
Итого
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Количество
баллов
20 б.
30 б.
25 б.
15 б.
10 б.
100 б.
Оценивание: 50 и более баллов – зачет, 49 и менее баллов – не зачтено.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
1. Выберите из учебников математики для начальной школы
составную задачу. Раскройте содержание всех этапов решения задачи арифметическим методом, указав приемы их выполнения.
Оформление
Этап решения
Приемы выполнения
2. Используя текст простой задачи, проиллюстрируйте варианты организации деятельности учащихся, соответствующие двум
методическим подходам к обучению решению задач младших
школьников: частному и общему. Составьте соответствующие
фрагменты уроков.
138
Оформление:
Цели фрагмента:
Мет. приемы:
Ход урока:
Частный подход
Содержание деятельности учителя
и учащихся
Цели фрагмента:
Мет. приемы:
Ход урока:
Мет. приемы
Общий подход
Содержание деятельности учителя
и учащихся
Мет. приемы
1. Составьте серию упражнений (6–7), направленных на обучение моделированию текстовой задачи, выбрав виды моделей,
соответствующие тексту задачи.
Оформление
Вид модели
Цель
упражнения
Содержание
задания
Мет. приемы
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
1. Разработайте фрагмент урока по обучению младших школьников
моделированию на примере данной задачи*.
Оформление:
Цели фрагмента:
Мет. приемы:
Ход урока:
Содержание деятельности учителя
и учащихся
Мет. приемы
2. Составьте фрагмент организации исследовательской
работы над задачей*, используя методические приемы
преобразования, составления задач, сравнения, решения задач
разными способами (2–3 приема).
139
Оформление:
Цель фрагмента:
Методические приемы:
Ход урока:
Содержание деятельности учителя
и учащихся
Мет. приемы
Вопросы к зачету
1. Различные функции текстовых задач в НКМ. Этапы работы
над задачей и приемы их выполнения.
2. Понятия «задача», «решение задачи» в НКМ. Характеристика основных методов решения текстовых задач начальной школы.
3. Основные методические подходы к обучению младших
школьников решению текстовых задач. Характеристика частного
методического подхода.
4. Основные методические подходы к обучению младших
школьников решению текстовых задач. Характеристика общего
методического подхода. Общие умения решать задачи.
5. Обучение младших школьников решению текстовых задач
разными методами.
6. Методика формирования понятий «задача», «решение задачи». Особенности работы над составными задачами.
7. Методика организации подготовительной работы к восприятию текста задачи. Формирование умения осуществлять первичный анализ текста задачи.
8. Методика обучения моделированию текстовой задачи.
9. Методика формирования умения осуществлять поиск плана
решения задачи.
10. Методика формирования умения проверять решение задачи с
помощью различных приемов. Формирование понятия «обратной задачи», ее использование для проверки решения исходной задачи.
11. Методика организации дополнительной работы над задачей
после ее решения. Обучение решению задач различными способами.
12. Методика формирования общих умений при решении задач на пропорциональную зависимость.
13. Особенности обучения младших школьников решению задач «на движение».
140
Приложения
Приложение 1
Программа М.И. Моро (фрагмент)
МАТЕМАТИКА
Пояснительная записка
Программа разработана на основе Федерального государственного
образовательного стандарта начального общего образования, Концепции
духовно-нравственного развития и воспитания личности гражданина России, планируемых результатов начального общего образования.
Обучение математике является важнейшей составляющей начального общего образования. Этот предмет играет важную роль в формировании у младших школьников умения учиться. Начальное обучение
математике закладывает основы для формирования приемов умственной деятельности: школьники учатся проводить анализ, сравнение,
классификацию объектов, устанавливать причинно-следственные связи, закономерности, выстраивать логические цепочки рассуждений.
Изучая математику, они усваивают определенные обобщенные знания
и способы действий. Универсальные математические способы познания способствуют целостному восприятию мира, позволяют выстраивать модели его отдельных процессов и явлений, а также являются основой формирования универсальных учебных действий. Универсальные учебные действия обеспечивают усвоение предметных знаний и
интеллектуальное развитие учащихся, формируют способность к самостоятельному поиску и усвоению новой информации, новых знаний и
способов действий, что составляет основу умения учиться.
Основными целями начального обучения математике являются:
 Математическое развитие младших школьников.
 Формирование системы начальных математических знаний.
 Воспитание интереса к математике, к умственной деятельности.
Общая характеристика курса
Программа определяет ряд задач, решение которых направлено на
достижение основных целей начального математического образования:
- формирование элементов самостоятельной интеллектуальной
деятельности на основе овладения несложными математическими методами познания окружающего мира (умений устанавливать, описывать, моделировать и объяснять количественные и пространственные
отношения);
- развитие основ логического, знаково-символического и алгоритмического мышления;
141
- развитие пространственного воображения;
- развитие математической речи;
- формирование системы начальных математических знаний и
умений их применять для решения учебно-познавательных и практических задач;
- формирование умения вести поиск информации и работать с ней;
- формирование первоначальных представлений о компьютерной
грамотности;
- развитие познавательных способностей;
- воспитание стремления к расширению математических знаний;
-формирование критичности мышления;
- развитие умений аргументировано обосновывать и отстаивать
высказанное суждение, оценивать и принимать суждения других.
Содержание обучения представлено в программе разделами:
«Числа и величины», «Арифметические действия», «Текстовые задачи», «Пространственные отношения. Геометрические фигуры», «Геометрические величины», «Работа с информацией».
Арифметическим ядром программы является учебный материал,
который, с одной стороны, представляет основы математической
науки, а, с другой, – содержание, отобранное и проверенное многолетней педагогической практикой, подтвердившей необходимость его
изучения в начальной школе для успешного продолжения образования.
Основа арифметического содержания - представления о натуральном числе и нуле, арифметические действия (сложение, вычитание,
умножение и деление). На уроках математики у младших школьников
будут сформированы представления о числе как результате счета, о
принципе образования, записи и сравнения целых неотрицательных
чисел. Учащиеся будут учиться выполнять устно и письменно арифметические действия с целыми неотрицательными числами в пределах
миллиона; узнают, как связаны между собой компоненты и результаты
арифметических действий; научатся находить неизвестный компонент
арифметического действия по известным компонентам; усвоят связи
между сложением и вычитанием, умножением и делением; освоят различные приемы проверки выполненных вычислений. Младшие школьники познакомятся с калькулятором и научатся пользоваться им.
Программа предусматривает ознакомление с величинами (длина,
площадь, масса, вместимость, время), их измерением, с единицами
измерения однородных величин и соотношениями между ними.
Важной особенностью программы является включение в нее элементов алгебраической пропедевтики (выражения с буквой, уравнения и
142
их решение). Как показывает многолетняя школьная практика, такой
материал в начальном курсе математики позволяет повысить уровень
формируемых обобщений, способствует более глубокому осознанию
взаимосвязей между компонентами и результатом арифметических действий, расширяет основу для восприятия функциональной зависимости
между величинами, обеспечивает готовность выпускников начальных
классов к дальнейшему освоению алгебраического содержания.
Особое место в содержании начального математического образования занимают текстовые задачи. Работа с ними в данном курсе имеет
свою специфику и требует более детального рассмотрения.
Система подбора задач, определение времени и последовательности введения задач того или иного вида обеспечивают благоприятные
условия для сопоставления, сравнения, противопоставления задач,
сходных в том или ином отношении, а также для рассмотрения взаимообратных задач. При таком подходе дети с самого начала приучаются проводить анализ задачи, устанавливая связь между данными и искомым, и осознано выбирать правильное действие для ее решения. Решение некоторых задач основано на моделировании описанных в них
взаимосвязей между данными и искомым.
Решение текстовых задач связано с формированием целого ряда
умений: осознанно читать и анализировать содержание задачи (что
известно и что неизвестно, что можно узнать по данному условию и
что нужно знать для ответа на вопрос задачи); моделировать представленную в тексте ситуацию, видеть различные способы решения задачи
и сознательно выбирать наиболее рациональные; составлять план решения, обосновывая выбор каждого арифметического действия; записывать решение (на первых порах – по действиям, а в дальнейшем —
составлять выражение); производить необходимые вычисления; устно
давать полный ответ на вопрос задачи и проверять правильность ее
решения; самостоятельно составлять задачи.
Программа включает рассмотрение пространственных отношений
между объектами, ознакомление с различными геометрическими фигурами и геометрическими величинами. Учащиеся научатся распознавать и изображать точку, прямую и кривую линии, отрезок, луч, угол,
ломаную, многоугольник, различать окружность и круг. Они овладеют
навыками работы с измерительными и чертежными инструментами
(линейка, чертежный угольник, циркуль). В содержание включено знакомство с простейшими геометрическими телами: шаром, кубом, пирамидой. Изучение геометрического содержания создает условия для
развития пространственного воображения детей и закладывает фунда-
143
мент успешного изучения систематического курса геометрии в основной школе.
Программой предусмотрено целенаправленное формирование совокупности умений работать с информацией. Эти умения формируются
как на уроках, так и во внеурочной деятельности - на факультативных
и кружковых занятиях. Освоение содержания курса связано не только с
поиском, обработкой, представлением новой информации, но и созданием информационных объектов: стенгазет, книг, справочников. Новые информационные объекты создаются в основном в рамках проектной деятельности. Проектная деятельность позволяет закрепить, расширить и углубить полученные на уроках знания; создает условия для
творческого развития детей, формирования позитивной самооценки,
навыков совместной деятельности со взрослыми и сверстниками, умений сотрудничать друг с другом, совместно планировать свои действия
и реализовывать планы, вести поиск и систематизировать нужную информацию.
Место курса в учебном плане
На изучение математики в каждом классе начальной школы отводится по 4 часа в неделю. Курс рассчитан на 540 часов: в первом классе – 132 часа (33 учебные недели), во 2 – 4 классах – по 136 часов (34
учебные недели в каждом классе).
Результаты изучения курса
Программа обеспечивает достижение выпускниками начальной школы личностных, метапредметных, предметных результатов.
Личностные результаты
- Чувство гордости за свою Родину, российский народ и историю
России;
- Осознание роли своей страны в мировом развитии; уважительное отношение к семейным ценностям, бережное отношение к окружающему миру.
- Целостное восприятие окружающего мира.
- Развитая мотивация учебной деятельности и личностного смысла
учения, заинтересованность в приобретении и расширении знаний и способов действий; творческий подход к выполнению заданий.
- Рефлексивная самооценка, умение анализировать свои действия
и управлять ими.
- Навыки сотрудничества с взрослыми и сверстниками.
- Установка на здоровый образ жизни, наличие мотивации к творческому труду, к работе на результат.
144
Метапредметные результаты
- Способность принимать и сохранять цели и задачи учебной деятельности, находить средства и способы её осуществления.
- Овладение способами выполнения заданий творческого и поискового характера.
- Умения планировать, контролировать и оценивать учебные действия в соответствии с поставленной задачей и условиями её выполнения; определять наиболее эффективные способы достижения результата.
- Способность использовать знаково-символические средства представления информации для создания моделей изучаемых объектов и процессов, схем решения учебно-познавательных и практических задач.
- Использование речевых средств и средств информационных и
коммуникационных технологий для решения коммуникативных и познавательных задач.
- Использование различных способов поиска (в справочных источниках и открытом учебном информационном пространстве сети
Интернет), сбора, обработки, анализа, организации и передачи информации в соответствии с коммуникативными и познавательными задачами и технологиями учебного предмета, в том числе умение вводить
текст с помощью клавиатуры компьютера, фиксировать (записывать)
результаты измерения величин и анализировать изображения, звуки,
готовить своё выступление и выступать с аудио-, видео- и графическим
сопровождением.
- Овладение логическими действиями сравнения, анализа, синтеза,
обобщения, классификации по родовидовым признакам, установления
аналогий и причинно-следственных связей, построения рассуждений,
отнесение к известным понятиям.
- Готовность слушать собеседника и вести диалог; готовность
признать возможность существования различных точек зрения и права
каждого иметь свою; излагать своё мнение и аргументировать свою
точку зрения.
- Определение общей цели и путей её достижения: умение договариваться о распределении функций и ролей в совместной деятельности; осуществлять взаимный контроль в совместной деятельности,
адекватно оценивать собственное поведение и поведение окружающих.
- Готовность конструктивно разрешать конфликты посредством
учёта интересов сторон и сотрудничества.
- Овладение начальными сведениями о сущности и особенностях
объектов и процессов в соответствии с содержанием учебного предмета «математика».
145
- Овладение базовыми предметными и межпредметными понятиями, отражающими существенные связи и отношения между объектами и процессами.
- Умение работать в материальной и информационной среде
начального общего образования (в том числе с учебными моделями) в
соответствии с содержанием учебного предмета «математика».
Предметные результаты
- Использование приобретенных математических знаний для описания и объяснения окружающих предметов, процессов, явлений, а
также
оценки их количественных и пространственных отношений.
- Овладение основами логического и алгоритмического мышления, пространственного воображения и математической речи, основами счета, измерений, прикидки результата и его оценки, наглядного
представления данных в разной форме (таблицы, схемы, диаграммы),
записи и выполнения алгоритмов.
- Приобретение начального опыта применения математических
знаний для решения учебно-познавательных и учебно-практических
задач.
- Умения выполнять устно и письменно арифметические действия
с числами и числовыми выражениями, решать текстовые задачи, выполнять и строить алгоритмы и стратегии в игре, исследовать, распознавать и изображать геометрические фигуры, работать с таблицами,
схемами, графиками и диаграммами, цепочками, представлять, анализировать и интерпретировать данные.
- Приобретение первоначальных навыков работы на компьютере
(набирать текст на клавиатуре, работать с «меню», находить информацию по заданной теме, распечатывать ее на принтере).
Содержание курса
Числа и величины
Счет предметов. Образование, название и запись чисел от 0 до
1 000 000. Десятичные единицы счёта. Разряды и классы. Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых. Сравнение и упорядочение чисел, знаки сравнения.
Измерение величин. Единицы величин: массы (грамм, килограмм,
центнер, тонна); вместимости (литр), времени (секунда, минута, час, сутки,
неделя, месяц, год, век). Соотношения между единицами измерения однородных величин. Сравнение и упорядочение однородных величин. Доля
величины (половина, треть, четверть, десятая, сотая, тысячная).
146
Арифметические действия
Сложение, вычитание, умножение и деление. Знаки действий.
Названия компонентов и результатов арифметических действий. Таблица сложения. Таблица умножения. Взаимосвязь арифметических
действий (между сложением и вычитанием, между умножением и делением). Нахождение неизвестного компонента арифметического действия. Деление с остатком. Свойства сложения и умножения: переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения, распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания.
Числовые выражения. Порядок действий в числовых выражениях со
скобками и без скобок. Нахождения значения числового выражения.
Использование свойств арифметических действий и правил о порядке
выполнения действий в числовых выражениях. Алгоритмы письменного сложения и вычитания многозначных чисел, умножения и деления
многозначных чисел на однозначное, двузначное и трехзначное число.
Способы проверки правильности вычислений (алгоритм, обратные
действия, взаимосвязь компонентов и результатов действий, прикидка
результата, проверка вычислений на калькуляторе). Элементы алгебраической пропедевтики. Выражения с буквой. Использование буквенных выражений при формировании обобщений (1 ∙ а = а, 0 ∙ с = 0 и
др.). Уравнение. Решение уравнений на основе взаимосвязей между
компонентами и результатами арифметических действий.
Работа с текстовыми задачами
Решение текстовых задач арифметическим способом.
Текстовые задачи, раскрывающие смысл арифметических действий (сложение, вычитание, умножение и деление). Текстовые задачи,
содержащие отношения «больше на (в) …», «меньше на (в) …». Текстовые задачи, содержащие зависимости, характеризующие процесс
движения (скорость, время, пройденный путь), расчёта стоимости (цена, количество, общая стоимость товара), изготовления товара (расход
на один предмет, количество предметов, общий расход) и др. Задачи на
определение начала, конца и продолжительности события. Задачи на
нахождение доли целого и целого по его доле.
Представление текста задачи в виде рисунка, схематического рисунка, схематического чертежа, краткой записи, в таблице, на диаграмме.
Планирование хода решения задачи.
Пространственные отношения. Геометрические фигуры
Взаимное расположение предметов в пространстве и на плоскости
(выше – ниже, слева – справа, за – перед, между, вверху – внизу, ближе
– дальше и др.).
147
Распознавание и изображение геометрических фигур: точка, линия
(прямая, кривая), отрезок, луч, угол, ломаная; многоугольник (треугольник,
четырёхугольник, прямоугольник, квадрат, пятиугольник и т. д.).
Свойства сторон прямоугольника.
Виды треугольников по углам: прямоугольный, тупоугольный,
остроугольный. Виды треугольников по соотношению длин сторон:
разносторонний, равнобедренный (равносторонний).
Окружность (круг). Центр, радиус окружности (круга).
Использование чертёжных инструментов (линейка, угольник,
циркуль) для выполнения построений.
Геометрические формы в окружающем мире. Распознавание и
называние: куб, пирамида, шар.
Геометрические величины
Геометрические величины и их измерение. Длина. Единицы длины (миллиметр, сантиметр, дециметр, метр, километр). Соотношения
между единицами длины. Перевод одних единиц длины в другие. Измерение длины отрезка и построение отрезка заданной длины. Периметр. Вычисление периметра многоугольника, в том числе периметра
прямоугольника (квадрата).
Площадь. Площадь геометрической фигуры. Единицы площади
(квадратный миллиметр, квадратный сантиметр, квадратный дециметр,
квадратный метр, квадратный километр). Точное и приближённое (с
помощью палетки) измерение площади геометрической фигуры. Вычисление площади прямоугольника (квадрата).
Работа с информацией
Сбор и представление информации, связанной со счётом (пересчётом), измерением величин; анализ и представление информации в
разных формах: в форме таблицы, столбчатой диаграммы. Чтение и
заполнение таблиц, чтение и построение столбчатых диаграмм.
Интерпретация данных таблицы и столбчатой диаграммы.
Составление конечной последовательности (цепочки) предметов,
чисел, числовых выражений, геометрических фигур и др. по заданному
правилу. Составление, запись и выполнение простого алгоритма (плана) поиска информации.
Построение простейших логических высказываний с помощью
логических связок и слов («верно/неверно, что …», «если …, то …»,
«все», «каждый» и др.).
148
Приложение 2
Программа Н.Б. Истоминой (фрагмент)
МАТЕМАТИКА
Пояснительная записка
Общая характеристика учебного предмета
Цель начального курса математики – не только обеспечить предметную подготовку учащихся, достаточную для продолжения математического образования в основной школе, но и создать дидактические
условия для овладения учащимися универсальными учебными действиями (личностными, познавательными, регулятивными, коммуникативными) в процессе усвоения предметного содержания.
Для достижения этой цели необходимо организовать учебную
деятельность учащихся с учётом специфики предмета (математика),
направленную:
1) на формирование познавательного интереса к учебному предмету «Математика», учитывая потребности детей в познании окружающего мира и научные данные о центральных психологических новообразованиях младшего школьного возраста, формируемых на данной
ступени (6,5–11 лет): словесно-логическое мышление, произвольная
смысловая память, произвольное внимание, планирование и умение
действовать во внутреннем плане, знаково-символическое мышление, с
опорой на наглядно-образное и предметно-действенное мышление.
2) на развитие пространственного воображения, потребности и
способности к интеллектуальной деятельности; на формирование умений: строить рассуждения, аргументировать высказывания, различать
обоснованные и необоснованные суждения, выявлять закономерности,
устанавливать причинно-следственные связи, осуществлять анализ
математических объектов, выделяя их существенные и несущественные признаки.
3) на овладение в процессе усвоения предметного содержания
обобщенными видами деятельности: анализировать, сравнивать, классифицировать математические объекты (числа, величины, числовые
выражения), исследовать их структурный состав (многозначные числа,
геометрические фигуры), описывать ситуации с использованием чисел
и величин, моделировать математические отношения и зависимости,
прогнозировать результат вычислений, контролировать правильность и
полноту выполнения алгоритмов арифметических действий, использовать различные приёмы проверки нахождения значения числового выражения (с опорой на правила, алгоритмы, прикидку результата), планировать решение задачи, объяснять (пояснять, обосновывать) свой
149
способ действия, описывать свойства геометрических фигур, конструировать их модели и пр.
В основе начального курса математики, нашедшего отражение в
учебниках математики для 1–4 классов, лежит методическая концепция, которая выражает необходимость целенаправленного и систематического формирования приёмов умственной деятельности: анализа и
синтеза, сравнения, классификации, аналогии и обобщения в процессе
усвоения математического содержания.
Нацеленность курса математики на формирование приёмов умственной деятельности позволяет на методическом уровне (с учётом
специфики предметного содержания и психологических особенностей
младших школьников) реализовать в практике обучения системнодеятельностный подход, ориентированный на компоненты учебной
деятельности (познавательная мотивация, учебная задача, способы её
решения, самоконтроль и самооценка) и создать дидактические условия для овладения универсальными учебными действиями (личностными, познавательными, регулятивными, коммуникативными), которые необходимо рассматривать как целостную систему, так как
происхождение и развитие каждого действия определяется его отношением с другими видами учебных действий, что и составляет
сущность понятия «умение учиться».
В соответствии с логикой построения содержания курса математики для 1–4 классов каждая новая тема в учебниках позволяет повторять ранее изученные понятия в контексте нового знания и умения.
Такое повторение автор называет продуктивным, так как: во-первых,
оно повышает степень самостоятельности ребёнка при усвоении новых
вопросов предметного содержания; во-вторых, помогает ему осознать
какими видами деятельности он уже овладел, а какими пока нет; втретьих, способствует формированию у учащихся представлений о
взаимосвязи изучаемых вопросов. В основе составления учебных заданий лежат идеи изменения, соответствия, правила и зависимости. С
точки зрения перспективы математического образования вышеуказанные идеи выступают как содержательные компоненты обучения, о которых у младших школьников формируются общие представления.
Они являются основой для дальнейшего изучения математических понятий и для осознания закономерностей и зависимостей окружающего
мира в их различных интерпретациях.
Для наблюдения различных закономерностей, различных изменений; «открытия» новых способов действий, выдвижения гипотез используется калькулятор.
150
Формирование универсальных учебных умений (личностных, познавательных, регулятивных и коммуникативных) осуществляется в
учебнике при изучении всех разделов начального курса математики:
1) Признаки предметов. Пространственные отношения. 2) Числа и величины. 3) Арифметические действия. 4) Текстовые задачи. 5) Геометрические фигуры. 6) Геометрические величины. 7) Работа с информацией. 8)
Уравнения и буквенные выражения. Содержание 1–7 разделов распределяется в учебниках по классам и включается в различные темы в соответствии с логикой построения содержания курса, которая учитывает
преемственность и взаимосвязь математических понятий, способов действий и психологию их усвоения младшими школьниками.
Вариативность предлагаемых в учебнике заданий, опора на опыт
ребёнка, включение в процесс обучения математике содержательных
игровых ситуаций для овладения способами действий, коллективное
обсуждение предлагаемых вариантов ответов оказывает положительное влияние на развитие познавательных интересов и способствует
формированию у учащихся положительного отношения к школе.
Как показала практика, эффективным методическим средством
для формирования универсальных учебных действий (личностных,
познавательных, регулятивных, коммуникативных) является включение в учебник заданий, содержащих диалоги, рассуждения и пояснения
персонажей Миши и Маши. Эти задания выполняют различные функции: их можно использовать для самоконтроля; для коррекции ответов
Миши и Маши, которые могут быть один – верным, другой – неверным, оба верными, но неполными, требующими дополнений; для получения информации; для овладения умением вести диалог, для разъяснения способа решения задачи и пр.
В результате чтения, анализа и обсуждения диалогов и высказываний Миши и Маши учащиеся не только усваивают предметные знания, но и приобретают опыт построения понятных для партнёра высказываний, учитывающих, что партнер знает и видит, а чт – нет, задавать
вопросы, использовать речь для регуляции своего действия.
Формирование моделирования как универсального учебного действия осуществляется поэтапно, учитывает возрастные особенности
младших школьников и связано с изучением программного содержания.
Технология обучения решению текстовых задач арифметическим
способом, нашедшая отражение в учебнике, включает шесть этапов:
1) подготовительный, 2) задачи на сложение и вычитание, 3) смысл
действия умножения, отношение «больше в…,4) задачи на сложение,
вычитание, умножение, 5) смысл действия деления, отношения «мень-
151
ше в…», кратного сравнения, 6) решение арифметических задач на все
четыре арифметических действия (в том числе задачи, содержащие
зависимость между величинами, характеризующими процессы: движения (скорость, время, расстояние), работы (производительность труда,
время, объем работы), купли–продажи (цена товара, количество товара, стоимость), задачи на время (начало, конец, продолжительность
события).
Основная цель данной технологии – формирование общего умения решать текстовые задачи.
Ценностные ориентиры содержания курса «Математика»
1. Математика является важнейшим источником принципиальных идей для всех естественных наук и современных технологий. Весь
научно технический прогресс связан с развитием математики. Владение математическим языком, алгоритмами, понимание математических
отношений является средством познания окружающего мира, процессов и явлений, происходящих в природе и в обществе. Поэтому так
важно сформировать интерес к учебному предмету «Математика» у
младших школьников, который станет основой для дальнейшего изучения данного предмета, для выявления и развития математических
способностей учащихся, для способности к самообразованию.
2. Овладение различными видами учебной деятельности в процессе обучения математике является основой изучения других учебных
предметов, обеспечивая тем самым познание различных сторон окружающего мира.
3. Успешное решение математических задач оказывает влияние
на эмоционально-волевую сферу личности учащихся, развивает их волю и настойчивость, умение преодолевать трудности, испытывать удовлетворение от результатов интеллектуального труда.
Место учебного предмета в учебном плане
В Федеральном базисном образовательном плане на изучение математики в каждом классе начальной школы отводится 4 часа в неделю, всего 540 часов.
Результаты изучения учебного предмета выпускниками
начальной школы
В результате изучения курса математики по данной программе у
выпускников начальной школы будут сформированы математические
(предметные) знания, умения, навыки и представления, предусмотренные программой курса, а также личностные, регулятивные, по-
152
знавательные, коммуникативные универсальные учебные действия как основа умения учиться
В сфере личностных универсальных действий у учащихся будут сформированы: внутренняя позиция школьника на уровне положительного отношения к школе; учебно-познавательный интерес к новому материалу и способам решения новой учебной задачи; готовность
целенаправленно использовать математические знания, умения и
навыки в учебной деятельности и в повседневной жизни, способность
осознавать и оценивать свои мысли, действия и выражать их в речи,
соотносить результат действия с поставленной целью, способность к
организации самостоятельной учебной деятельности.
Изучение математики способствует формированию таких личностных качеств как любознательность, трудолюбие, способность к
организации своей деятельности и к преодолению трудностей, целеустремленность и настойчивость в достижении цели, умение слушать и
слышать собеседника, обосновывать свою позицию, высказывать свое
мнение.
Выпускник получит возможность для формирования:
- внутренней позиции школьника на уровне понимания необходимости учения, выраженного в преобладании учебно-познавательных
мотивов;
- устойчивого познавательного интереса к новым общим способам решения задач;
– адекватного понимания причин успешности или неуспешности
учебной деятельности.
Метапредметные результаты изучения курса (регулятивные,
познавательные и коммуникативные универсальные учебные
действия).
Регулятивные универсальные учебные действия
Выпускник научится:
- принимать и сохранять учебную задачу и активно включаться в
деятельность, направленную на её решение в сотрудничестве с учителем и одноклассниками;
- планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей и условиями ее реализации, в том числе во внутреннем плане;
- различать способ и результат действия; контролировать процесс
и результаты деятельности;
- вносить необходимые коррективы в действие после его завершения, на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок;
153
- выполнять учебные действия в материализованной, громкоречевой и умственной форме;
- адекватно оценивать свои достижения, осознавать возникающие
трудности и искать способы их преодоления и др.
Познавательные универсальные учебные действия
Ученик научится:
- осуществлять поиск необходимой информации для выполнения
учебных заданий с использованием учебной литературы;
- использовать знаково-символические средства, в том числе модели и схемы для решения задач;
- ориентироваться на разнообразие способов решения задач;
- осуществлять анализ объектов с выделением существенных и
несущественных признаков;
- осуществлять синтез как составление целого из частей;
- проводить сравнение и классификацию по заданным критериям;
- устанавливать причинно-следственные связи;
- строить рассуждения в форме связи простых суждений об объекте, его строении, свойствах и связях;
- обобщать, т. е. осуществлять генерализацию и выведение общности для целого ряда или класса единичных объектов на основе выделения сущностной связи;
- осуществлять подведение под понятие на основе распознавания
объектов, выделения существенных признаков и их синтеза;
- устанавливать аналогии;
– владеть общим приёмом решения задач.
Выпускник получит возможность научиться:
- создавать и преобразовывать модели и схемы для решения задач;
- осуществлять выбор наиболее эффективных способов решения
задач в зависимости от конкретных условий;
- осуществлять синтез как составление целого из частей, самостоятельно достраивая и восполняя недостающие компоненты;
- осуществлять сравнение и классификацию, самостоятельно
выбирая основания и критерии для указанных логических операций;
- строить логическое рассуждение, включающее установление
причинно-следственных связей;
- произвольно и осознанно владеть общим умением решать задачи.
Коммуникативные универсальные учебные действия
Выпускник научится:
- выражать в речи свои мысли и действия;
154
- строить понятные для партнера высказывания, учитывающие,
что партнер видит и знает, а что нет;
- задавать вопросы;
- использовать речь для регуляции своего действия.
Выпускник получит возможность научиться:
- адекватно использовать речь для планирования и регуляции своего действия;
- аргументировать свою позицию и координировать её с позициями партнёров в совместной деятельности;
- осуществлять взаимный контроль и оказывать в сотрудничестве необходимую помощь.
Предметные результаты выпускника начальной школы
В результате изучения начального курса математики выпускники
 научатся использовать начальные математические знания для
описания окружающих предметов, процессов, явлений, оценки количественных и пространственных отношений; применять математические
знания и представления для решения учебных задач и в повседневных
ситуациях;
 овладеют основами логического мышления, пространственного воображения и математической речи;
 получат представление о числе как о результате счёта и измерения величин, о принципе записи чисел;
 научатся выполнять устно и письменно арифметические действия с числами, находить неизвестный компонент арифметического
действия, составлять числовое выражение и находить его значение;
использовать знаково-символические средства, в том числе модели и
схемы для решения задач; ориентироваться на разнообразие способов
решения задач; осуществлять анализ объектов, в том числе текстовых
задач, с целью выделения существенных и несущественных признаков; осуществлять синтез как составление целого из частей; устанавливать причинно-следственные связи в изучаемом круге явлений (в том
числе, описанных в тексте задачи); строить рассуждения в форме связи
простых суждений об объекте, его строении, свойствах и связях; устанавливать аналогии и др.
Содержание начального общего образования
по учебному предмету
Признаки, расположение и счет предметов
Признаки (свойства) предметов (цвет, форма, размер, количество). Их расположение на плоскости (изображение предметов) и в
155
пространстве: слева – справа, сверху – снизу, перед – за, между и др.
Уточнение понятий «все», «каждый», «любой»,; связок «и», «или».
Сравнение и классификация предметов по различным признакам
(свойствам). Счёт предметов. Число и цифра. Отношения «больше»,
«меньше», «столько же». Предметный смысл отношений. Способы
установления взаимно-однозначного соответствия.
Числа и величины
Чтение и запись чисел от нуля до миллиона. Классы и разряды.
Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых. Сравнение и упорядочение чисел. Знаки сравнения. Неравенство.
Измерение величин; сравнение и упорядочение величин. Единицы
массы (грамм, килограмм, центнер, тонна), вместимость (литр), времени (секунда, минута, час). Соотношения между единицами однородных
величин. Сравнение и упорядочение однородных величин. Доля величины (половина треть, четверть, десятая, сотая, тысячная).
Арифметические действия
Сложение, вычитание, умножение и деление. Предметный смысл
действий. Названия компонентов арифметических действий, знаки
действий. Таблица сложения. Таблица умножения. Связь между сложением и вычитанием, умножением и делением. Нахождение неизвестного компонента арифметического действия. Деление с остатком.
Числовое выражение. Установление порядка выполнения действий в выражениях со скобками и без скобок. Нахождение значения
числового выражения Использование свойств арифметических действий в вычислениях (перестановка и группировка слагаемых в сумме,
множителей в произведении, умножение суммы и разности на число).
Алгоритмы письменного сложения, вычитания, умножения и деления многозначных чисел. Способы проверки правильности вычислений (алгоритм, обратное действие, прикидка результата, вычисления на
калькуляторе).
Работа с текстовыми задачами
Решение текстовых задач арифметическим способом. Планирование способа решения задачи. Представление текста задачи в виде таблицы, схемы, диаграммы и других моделей. Задачи, содержащие отношения «больше (меньше) на…», «больше (меньше) в…», разностного и кратного сравнения. Зависимости между величинами, характеризующими процессы: движения, работы, купли–продажи и др. Скорость, время, расстояние; объём работы, время, производительность
труда; количество товара, его цена и стоимость и др. Задачи на нахож-
156
дение доли целого и целого по его доле. Задачи логического и комбинаторного характера.
Геометрические фигуры
Распознавание и изображение геометрических фигур: точка, линия (кривая, прямая), отрезок, ломаная, угол, многоугольник, треугольник, прямоугольник, квадрат, окружность, круг. Использование
чертёжных инструментов для выполнения построений. Геометрические
формы в окружающем мире. Распознавание и название (куб, шар, параллелепипед, пирамида, цилиндр, конус). Представление о плоской и
кривой поверхности. Объёмная и плоская геометрическая фигура.
Геометрические величины
Измерение длины отрезка. Единицы длины (миллиметр, сантиметр, дециметр, метр, километр). Периметр. Вычисление периметра
многоугольника. Площадь геометрической фигуры. Единицы площади
(квадратный сантиметр, квадратный дециметр, квадратный метр). Вычисление площади прямоугольника.
Работа с информацией
Сбор и представление информации, связанной со счётом, измерением величин, фиксирование и анализ полученной информации.
Построение простейших логических выражений с помощью логических связок и слов «…и/или…», «если, то…», «верно/неверно,
что…», «каждый», «все», «не», «найдётся», истинность утверждений.
Составление конечной последовательности (цепочки) предметов,
чисел, геометрических фигур и др. по правилу. Составление, запись и
выполнение простого алгоритма, плана поиска информации.
Чтение и заполнение таблицы. Интерпретация данных таблицы.
Чтение столбчатой диаграммы.
Уравнения. Буквенные выражения
Запись уравнения. Корень уравнения. Решение уравнений на основе применения ранее усвоенных знаний. Выбор (запись) уравнений,
соответствующих данной схеме, выбор схемы, соответствующей данному уравнению, составление уравнений по тексту задачи (с учётом
ранее изученного материала. Простые и усложненные уравнения. Буквенные выражения. Нахождение значений выражений по данным значениям, входящей в него буквы.
157
Приложение 3
Конспекты уроков (учебники М.И. Моро)
МЕТОДИЧЕСКИЕ РАЗРАБОТКИ УРОКОВ
Развернутый конспект урока по теме «Замена двузначного числа
суммой разрядных слагаемых»
Тема: Замена двузначного числа суммой разрядных
слагаемых
Целевые установки:
1. Предметные: показать, как и какие двузначные числа можно
заменить суммой разрядных слагаемых, формировать умение заменять
двузначныне числа суммой разрядных слагаемых и на этой основе
выполнять дйствия сложения и вычитания (новый материал, задание № 1)
2. Метапредметные:
 Регулятивные: понимать, принимать и сохранять учебную
задачу, осуществлять самокнтроль и самооценку учебных действий
(задания под красной чертой).
 Познавательные: ориентироваться в материале учебника,
находить нужную информацию; оценивать правильность решения
задачи и выбирать из двух предложенных вариантов верное решение;
выбирать нужные единицы длины, соответствующиеразмерам
заданных объектов (задание № 2); решать задачи практического
содержания (задание № 3).
 Коммуникативные: работать в паре (игра «Составим поезд»)
3. Личностные: формировать мотивационные основы учебной
деятельности; способствовать развитию интереса к математике.
Организация деятельности
1. Повторение пройденного.
Назовите число, в котором 7дес. и 4ед., 4 дес. и
7 ед., 3дес. и 9 ед., 9дес. и 3 ед.
По какому правилу составлены столбики
примеров
19-9
27-7
35-5
19-10
27-20
35-30
10+9
20+7
30+5
Определите правило, по которому выполнен
переход от одного столбики к другому, и
составьте еще один столбик примеров,
используя два найденных правила
158
Примечания
Учитель может
использовать
задания из пособия
для учтелей
«Математика.
Устные вычисления.
2 класс.» автора
С.И. Волковой (с.13)
2. Целеполагание
Вы уже умеете определять, сколько десятков и
сколько единиц в любом двузначном числе.
Скажите, сколько десятков и сколько отдельных
единиц в числе 86, 54, 62?
Откройте учебник на с.15, рассмотрите верхний
фрагмент и скажите, чему будем учиться на
этом уроке
3. Работа над новым материалом.
Прочитайте числа, записанные в первой сторке,
и расскажите, чем они похожи и чем
различаются друг от друга.
Прочитайте равенство, записанное во второй
строке, и объясните, почему оно верно. В этом
равестве чило 36 заменили суммой двух чисео:
30 и 6. В чем особенность этих слагаемых?
В любом двузначном числе есть два разряда –
разряд единиц и разряд десятков. Прочитанная
вами запись – это запись числа 36 в виде суммы
разрядных слагаемых
4. Первичное закрепление нового материала
Рассмотрите
и
прочитайте
равенства,
записанные в персовм столбике (это образец).
Сравните, расскажите, чем равенства во втором
столбике отличаются от равеств, записанных в
тертьем столбике. Запишите в терадь равества
этих двух столиках так, чтобы в каждом из них
числа были записаны как сумма разрядных
слагаемых.
Выполните задание № 1
На какие три группы можно разбить все эти
равества? (Равества, в которых: а) выполняется
сложение, б) вычитаемое – единицы заданного
числа, в) вычитаемое – десятки заданного числа)
5. Повторение изученного: выбор единиц,
соответствующих размеру заданных объектов.
Учитель показывает модель метра и предлагает
вспомнить и показать на этой модели различные
единицы длины, начиная с самой маленькой.
Выясняется, зачем нужны разные единицы длины,
затем дети устно выполняют задание № 2
159
Ученики
высказывают свои
предположения,
учитель уточняет их
Ученики поочередно
читают записанные
равества.
Выполняют задание
с комментированием
Предложить
учащимся вспомнить
соотношение между
единицами длины
6. Работа с текстовыми задачами.
Прочитайте про себя задачу № 4. Скажите,
какой букет нарисован на полях: большой или
маленький. Выполните задание №4, работая в
паре. Объясните друг другу, какое решение
подходит к задаче, а затем запишите его в
тетрадь.
Расскажите, чем первое решение отличатся от
второго. Составьте задаче по оставшемуся
решению
7. Организовать работу по игре «Составим
поезд» можно по-разному: фронтально или
работая в паре
8. Самоконтроль и самооценка.
 Научились ли мы записывать двузначное
число в виде суммы разрядных слагаемых?
 Выполните в тетрадях задание, записанное
под чертой, и оцените свой результат, нарисосв
на полях один из трех смайликов.
Далее учитель называет правильные ответы,
ученики вносят исправления в свои решения
9. Какую учебную задачу мы ставили на уроке?
Как вы оцениваете работу на уроке? (Можно
использовать «Светофор»)
Учитель обсуждает ошибки, допущенные
детьми, которые использовали красный сигнал
«Светофора»
10. Домашнее задание № 3,5
Можно использовать
«Светофор»
Конспект урока по теме
«Письменные приемы вычислений»
Тема: Письменные приемы сложения и вычитания чисел в
пределах 1000. (ч.2: с.70)
Целевые установки:
Предметные: формировать умение выполнять письменное
сложение и вычитание чисел в пределах 100.
Метапредмтеные:
Регулятивные: понимать, принимать, сохранять, а в отдельных
случаях самостоятельно ставить учебную задачу, составлять план дей-
160
ствий для решения учебной задачи, осуществлять самоконтроль и самооценку учебных действий (задания под красной чертой).
Познавательные: ориентироваться в материале учебника,
находить нужную информацию, выполнять обратные действия,
восстанавливать пропущенные цифры при правильно выполненном сложении и вычитании (с. 70, поля), моделировать отношения
между объектами и делать выводы (№ 8), находить закономерность
в построении числового ряда и дополнять его недостающими элементами (№ 9).
Коммуникативные: работать в паре (с. 70, поля)
Личностные: формировать понимание значимости математических способов действий и математических знаний в собственной жизни, в жизни и деятельности людей, осознание личностного смысла
изучения математики, укреплять интерес к изучению математики.
Организация деятельности
1. Повторение пройденного и актуализация опорных знаний.
1. Учитель предлагает игру «Составь как можно больше равенств» и записывает на доску одну из схем: 1*–…=… или
…+…=…, замечая, что в качестве второй цифры в записи результата можно взять цифры от 1 до 8. Ученики в течение отведенного
учителем времени (например, 2 мин) записывают числовые равенства, а затем выявляется ученик, правильно записавший наибольшее количество равенств. Особенно надо отметить тех, кто выполнял задания, придерживаясь определенного порядка (например,
сначала записал равенства с результатом 11, затем с результатом 12
и т. д.). Вместо временного ограничения можно предложить записать названное количество равенств, например: «Кто первым верно
составит 15 равенств вида…?»
2. Учитель предлагает вспомнить алгоритм письменного сложения и вычитания в пределах 100, предложив детям выполнить с объяснением, например, такие действия: 48+36, 73+27, 94–45, 100–82.
Ученики поочередно выходят к классной доске и выполняют
действия с объяснением, остальные записывают и решают примеры в тетрадях.
2. Целеполагание.
На доске записаны примеры:
370+50, 658+273, 760–300, 523–318.
161
Попробуйте решить их устно: я буду показывать пример, а вы
называете ответ. (Выясняется, что второй и четвертый примеры
ученики на данном этапе устно решить не могут.) Так чему же будем учиться сегодня? (Ученики сами формулируют учебную задачу
урока: научиться выполнять письменно сложение и вычитание чисел в пределах 1000)
3. Изучение нового материала. Работа по учебнику.
Ученики читают приведенный в учебнике текст и выполняют
задание № 1, сначала объясняя, как выполнить запись, а затем поясняя каждый шаг в решении. Для первичного закрепления дети
выполняют задание № 2: первые два примера решают с комментированием, а последний пример – самостоятельно с последующей
проверкой его решения.
Очень полезно на этом этапе выполнять задание, предложенное на полях этой страницы. Работу можно организовать фронтально, проговаривая вслух все рассуждения, которые необходимы
для поиска неизвестной цифры, а можно – в паре.
4. Повторение ранее изученного.
1. Дальнейшее развитие умения решать текстовые задачи.
После чтения задачи № 1 дети дополняют вопрос нужными
словами, составляют план ее решения, поясняя каждый шаг и раскрывая его целесообразность. Затем записываю решение с пояснениями.
Дополнительно учитель просит детей составить задачу с теми
же числами, но так, чтобы в условии были слова «на… катка
меньше», а в вопросе спрашивалось: «Во сколько раз больше…?»
2. Формирование умений выполнять устные вычисления, повторение правил о порядке действий в числовых выражениях –
вычисляются значения числовых выражений, записанных в 1-й
строке задания № 5. Задание выполняется с комментированием с
целью осуществления пошагового контроля при выполнении нескольких действий.
5. Развитие логического мышления. После чтения учениками задачи № 8 учитель просит выполнить схематический чертеж
(выполняется на доске), записать решение задачи.
Дополнительно выясняется: 1) какое данное в условии задачи является лишним (не использовалось при ее решении); 2) какой вопрос
еще надо поставить, чтобы это данное перестало быть лишним.
162
6. Самоконтроль и самооценка.
- Научились ли вы выполнять письменное сложение и вычитание чисел в пределах 1000?
- Выполните в тетрадях задание под красной чертой и оцените
свой результат, нарисовав на полях одного из трех смайликов.
7. Подведение итогов урока.
- Какую учебную задачу мы поставили на уроке?
- Как вы оцениваете свою работу на уроке и ее результаты?
(Можно использовать «Светофор»).
Учитель обсуждает ошибки, допущенные детьми, которые показали красный цвет «Светофора».
8. Домашнее задание: № 5 (2-я строка), № 1 и № 8.
163
Содержание
Введение …………………………………..…………………………
3
3 курс. 5 семестр
Раздел 1. Общие вопросы методики обучения математике
в начальной школе. Методика изучения нумерации целых
неотрицательных чисел …………………………………………...
4
Тема 1. Современный стандарт начального общего образования
(ФГОС НОО). Цели и задачи обучения математике. Принципы
построения содержания начального курса математики (НКМ) .....
5
Тема 2. Учебник как основное средство обучения математике ….
9
Тема 3. Методика изучения нумерации целых неотрицательных
чисел. Методика изучения нумерации однозначных чисел ………
11
Тема 4. Методика изучения нумерации двузначных, трехзначных,
четырех-, пяти- и шестизначных чисел …………………………....
19
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ЛАБОРАТОРНЫХ И САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ
Тема 1. Методы и формы организации деятельности учащихся
на уроке математики …………………………..…………………….
27
Тема 2. Урок математики в начальной школе ……………………..
30
Тема 3. Контроль и оценка знаний и умений учащихся по математике. Диагностика предметных и метапредметных результатов
32
Тема 4. Контроль и оценка знаний и умений учащихся по математике. Диагностика предметных и метапредметных результатов
36
Тема 5. Использование интерактивной доски на уроках математики
43
3 курс. 6 семестр
Раздел 2. Методика изучения арифметических действий ……
45
Тема 1. Методика изучения смысла арифметических действий и
их свойств ……………………………………………………………
45
Тема 2. Методика формирования навыка табличных вычислений
54
Тема 3. Методика формирования навыков устных внетабличных
вычислений …………………………………………………………..
59
Тема 4. Методика формирования навыков письменных вычислений
69
164
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ЛАБОРАТОРНЫХ И САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ
Тема 1. Методика изучения смысла арифметических действий …
76
Тема 2. Система формирования навыка устных внетабличных
вычислений …………………………………………………………..
76
Тема 3. Методика формирования навыков письменных вычислений. Организация работы над вычислительными ошибками …….
77
4 курс. 7 семестр
Раздел 3. Методика обучения решению задач в начальной
школе ………………………………………………………………...
79
Тема 1. Понятия «задача» и «решение задачи» в начальном курсе
математики ………………………………………………………….
80
Тема 2. Различные методические подходы к обучению младших
школьников решению текстовых задач ……………………………
84
Тема 3. Обучение младших школьников анализу текстов задач
87
Тема 4. Методика обучения младших школьников моделированию текстовых задач ………………………………………………...
91
Тема 5. Методика обучения приемам поиска и выполнения плана
решения задачи ………………………………………………………
97
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ЛАБОРАТОРНЫХ И САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ
Тема 1. Методика обучения способам проверки решения текстовых задач ………………………………………………………………
103
Тема 2. Методика обучения решению задач на пропорциональную зависимость между величинами ………………………………
108
Тема 3. Методика обучения решению задач на движение ……….
113
Тема 4. Исследовательская работа над задачей в начальном курсе математики ………………………………………………………..
119
Тема 5. Дифференцированная работа над задачей ………………..
124
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ТЕКУЩЕГО И ПРОМЕЖУТОЧНОГО КОНТРОЛЯ ……...
128
ПРИЛОЖЕНИЯ ……………………………………………………….
141
165
Учебное издание
Каирова Лидия Алексеевна
Методика преподавания математики
в начальной школе
Учебно-методическое пособие
Подписано в печать 24.05.2017 г.
Объем 10,4 печ. л. Формат 60*84/16. Бумага офсетная.
Тираж 100 экз. Заказ № 33. Гарнитура Таймс.
Отпечатано в ООО «Папирус»
656049, г. Барнаул, ул. Папанинцев, 111, офис 4.
166