Н. Е. МИСЮРА
Е. А. МИТЮШОВ
КВАТЕРНИОННЫЕ МОДЕЛИ
В КИНЕМАТИКЕ И ДИНАМИКЕ
ТВЕРДОГО ТЕЛА
Учебное пособие
Н. Е. Мисюра, Е. А. Митюшов
Кватернионные модели
в кинематике и динамике
твердого тела
Учебное пособие
Рекомендовано методическим советом
Уральского федерального университета
для студентов вуза, обучающихся
по направлениям подготовки
15.04.02 — Технологические машины
и оборудование;
23.04.03 — Автомобильный сервис;
23.04.02 — Проектирование
транспортно-технологических систем
Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2020
УДК 512.62:531.13(075.8)
ББК 22.144я+22.21я73
М65
Рецензенты:
заведующий НУЛ «Нелинейный анализ и конструирование новых средств
передвижения» д-р физ.-мат. наук, доц. А. А. Килин;
канд. физ.-мат. наук, доц., доц. кафедры «Механика композиционных материалов и конструкций» ФГБОУ ВО «Пермский национальный исследовательский университет» А. В. Зайцев
Научный редактор — канд. физ.-мат. наук, доц. Л. Л. Митюшова
Мисюра, Н. Е.
М65 Кватернионные модели в кинематике и динамике твердого тела : учебное пособие / Н. Е. Мисюра, Е. А. Митюшов ; Мин-во науки и высш.
образования РФ. — Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2020. — 120 с.,
[1] лист ил.
ISBN 978-5-7996-3150-5
Даются основные правила действий над кватернионами, а также способы их линейной и нелинейной интерполяции. Приводятся многочисленные примеры с иллюстрациями использования кватернионов в различных приложениях.
Библиогр.: 18 назв. Табл. 9. Рис. 56.
УДК 512.62:531.13(075.8)
ББК 22.144я+22.21я73
ISBN 978-5-7996-3150-5
© Мисюра Н. Е., Митюшов Е. А., 2020
© Оформление. Уральский
федеральный университет, 2020
Указатель основных обозначений
q = [q0 , q1 , q2 , q3 ] — кватернион как четырехмерный вектор
q = q0 + q1 i1 + q2 i 2 + q3 i 3 — кватернион как гиперкомплексное число
q = q0 + q = q0 + q1 i1 + q2 i2 + q3 i3 — геометрическая форма представления ква-
терниона
q = q ( cos a + e sin a ) — тригонометрическая форма записи кватерниона
q — норма кватерниона
q — модуль кватерниона
qp — произведение кватернионов
q Ч p — скалярное произведение кватернионов
J = arccos ( q Ч p ) — угол между единичными кватернионами q и p
q = q0 - q — сопряженный кватернион
e — единичный вектор оси поворота
Q = Qij — матрица направляющих косинусов
R = Rij — матрица поворота
w = 0 + w — кватернион угловой скорости
r = 0 + r — кватернион положения точки
wi — координаты вектора угловой скорости в неподвижном базисе i1 , i2 , i3
Wi — координаты вектора угловой скорости в подвижном базисе e1 , e2 , e3
Ox1 x2 x3 — неподвижная система координат
OX 1 X 2 X 3 — подвижная система координат
y, q, j — углы Эйлера (прецессии, нутации, собственного вращения)
q, y, g — самолетные углы (тангажа, курса, крена)
Sp(1) — некоммутативная группа единичных кватернионов по умножению
SО(3) — специальная ортогональная группа размерности три
Slerp — линейная интерполяция кватернионов
Snerp — нелинейная интерполяция кватернионов
3
Предисловие
С
начала XXI в. наметился возрастающий интерес к удивительным свойствам кватернионов и предприняты многочисленные успешные попытки их применения в решении различных технических и естественно-научных задач. При этом присутствует
определенная неравномерность в распространении кватернионной тематики. Если русский сегмент поисковой системы Google на запрос
«кватернион» дает 19 700 результатов, то в англоязычном сегменте
той же поисковой системы на запрос «quaternion» результатов оказывается уже 1 380 000. Такая информационная насыщенность кватернионной тематики объясняется их востребованностью при решении задач по управлению движением механических систем и космической
навигации, а также, и это главное, их использованием в компьютерной
графике и программировании игр. Большинство доступных ресурсов
носит справочный характер. В некоторых источниках даются рецептурные сведения о технике применения аппарата алгебры кватернионов при решении задач о 3D вращении без выводов и доказательств.
Часть работ посвящена теоретическим вопросам применения кватернионов при решении специальных задач. Объединяет во многом эти
работы отсутствие доступного для понимания массовым читателем доказательного изложения теоретических основ алгебры кватернионов
и наглядных примеров, способствующих пониманию.
В предлагаемом читателю небольшом по объему учебном пособии
в лаконичной форме даются выводы основных практических формул
алгебры кватернионов. Изложение сопровождается разбором большого количества примеров, результаты решений которых визуализируются с использованием пакетов компьютерной алгебры.
Для чтения и понимания изложенного материала необходимы минимальные базовые знания из векторной и линейной алгебр курса математики технического вуза.
4
Люсеньке, которая верила,
терпела, понимала и помогла
Глава 1.
Основные понятия
и определения
1.1. Историческая справка
В
2018 г. исполнилось 175 лет с момента открытия кватернионов сэром Уи́льямом Ро́уэном Га́мильтоном.
Согласно современному определению
кватернио́ны (от лат. quaterni — по четыре) — система гиперкомплексных чисел,
образующая векторное пространство
размерностью четыре над полем вещественных чисел. Из него следует, что кватернионы представляют собой некоторую алгебраическую структуру, находящуюся в тесной связи с комплексными
числами, z = a + bi, i = -1 .
Уильям Роуэн Гамильтон
Гамильтон У. интересовался ком(4 авг. 1805 – 2 сент. 1865)
плексными числами с начала 1830‑х гг.
и был первым, кто показал (1833), что они образуют алгебру пар чисел, т. е. формальные правила арифметических операций действительны для определенных таким образом объектов. В течение следующих
десяти лет У. Гамильтон пытался расширить концепцию комплексного числа как пары, чтобы определить тройку (триплет) с одной реальной и двумя мнимыми единицами. В течение этого периода он ввел
понятие вектора, определил правила сложения и умножения векторов,
но рассматриваемые им триплеты не удовлетворяли всем аксиомам
числового поля. Гениальное решение проблемы пришло У. Гамильтону как озарение, в результате которого он понял, что надо отказаться от алгебры триплетов и рассмотреть алгебру четверок — кватернионов. Вот как сам Уильям Гамильтон описывает это в своем письме
к сыну Арчибальду за месяц до своей кончины [1].
9
Глава 1. Основные понятия
Письмо от сэра У. Р. Гамильтона преподобному
Арчибальду Г. Гамильтону*
5 авг. 1865 г.
МОЙ ДОРОГОЙ АРЧИБАЛЬД
(1) Я ждал случая поговорить с тобой о КВАТЕРНИОНАХ; и теперь
такой представился, поскольку во вчерашнем послании, которое я получил этим утром, ты пишешь, что «размышляешь о некоторых связанных с ними» (кватернионами) моментах, «в частности, с Умножением
Векторов».
(2) Не менее важно, и действительно, это фундаментальный вопрос
во всей Теории Кватернионов, который может быть предложен: Что это
за УМНОЖЕНИЕ? Каковы его правила, его цели, его результаты? Какие существуют Aналогии между ним и другими Операциями, которые получили то же самое общее Наименование? И, наконец, каково (если оно
есть) его Применение?
(3) Если говорить от своего имени в связи с этим предметом, я мог бы
сделать это таким образом, который напомнил бы тебе о докватернионовом времени, когда ты был еще совсем ребенком, но воспринял от меня понятие Вектора, представленное как Триплет: и в самом деле мне удалось
запомнить год и месяц — октябрь 1843 г., после недавних поездок в Корк
и Парсонстаун, связанных с собранием Британской Ассоциации, желание
открыть законы этого умножения возродили у меня определенную силу
и серьезность, которые в течение нескольких лет спали во мне, но затем
пробудились, и мы с тобой это обсуждали. Каждое утро в начале упомянутого месяца, когда я спускался к завтраку, твой (тогда) маленький брат
Уильям Эдвин, как и ты, спрашивал меня: «Ну, папа, можешь ли ты умножать триплеты?» На что я всегда вынужден был отвечать, грустно качая головой: «нет, я могу лишь складывать и вычитать их».
(4) Но 16‑го числа того же месяца — это был понедельник и консульский день в Королевской Ирландской Академии — я шел, чтобы присутствовать и председательствовать там, а твоя приехавшая туда мать шла
со мной вдоль Королевского канала, и, хотя она говорила со мной урывками, подспудные мысли протекали в моей голове, которые дали, наконец,
результат, о чем не слишком много, чтобы сказать, что я сразу почувствовал важность. Электрическая цепь, казалось, замкнулась; и вспыхнула искра, вестник (как я предвидел, сразу) многих долгих лет определенного направления мысли и работы, моей собственной, если пощадят, и, отчасти,
* Пер. Л. К. Карповича.
10
1.1. Историческая справка
других людей, если бы мне было позволено жить достаточно долго, чтобы
освещать эту теорию. И я не мог противиться искушению, пусть звучит
не по-философски, и вырезал ножом на камне Броухемского моста, когда
мы проходили его, фундаментальную формулу с символами i, j, k, а именно
i 2 = j 2 = k 2 = i jk = -1, которая содержит Решение Задачи, но конечно надпись давно стерлась с тех пор. Однако остается более длительная запись
в Консульских книгах Академии от того дня (16 октября 1843 г.), запечатлевающая тот факт, что я тогда попросил и получил отпуск, чтобы читать
Статью о Кватернионах на Первом Общем Собрании сессии, чтение которой произошло в понедельник 13 ноября. Таким кватернионом абзацев
я заканчиваю это письмо, но надеюсь, что вскоре напишу тебе еще.
Твой любящий отец,
Уильям Роуэн Гамильтон
В память об этом знаменательном событии на мосту Брум через Королевский канал в Дублине установлена мемориальная доска (рис. 1).
Рис. 1. Памятная табличка на мосту Брум в Дублине*
Это не единственное сохранившееся воспоминание У. Гамильтона
о том знаменательном дне [1].
Перевод ее: «Здесь на прогулке, 16 октября 1843 года, сэр Уильям Роуэн Гамильтон во вспышке гения открыл фундаментальную формулу умножения кватернионов i 2 = j 2 = k 2 = i jk = -1 и вырезал ее на камне этого моста».
*
11
Глава 1. Основные понятия
Отрывок из письма сэра У. Р. Гамильтона профессору П. Г. Тэйту*
Письмо от 15 окт. 1858 г.
…P. S. — Завтра будет 15‑я годовщина кватернионов. Они вошли в жизнь
или свет вполне зрелыми, в понедельник 16 октября 1843 г., когда я шел
с леди Гамильтон в Дублине, и мы пришли к Броухемскому мосту, который мои ребята с тех пор называют «Кватернионский мост». То есть, тогда
я почувствовал, что на мне замкнулась гальваническая цепь мысли; и искры, посыпавшиеся из нее, явились фундаментальными уравнениями, связывающими i, j, k точно такими же, которые я использую с тех пор. Я немедленно вытащил записную книжку, которая сохранилась, и сделал запись,
которая, как я почувствовал в тот самый момент, будет стоить того, чтобы
поработать над ней по крайней мере десять (или может быть пятнадцать)
грядущих лет. Но справедливо будет сказать, что я в тот момент чувствовал, что решена задача, которая мучила меня по крайней мере пятнадцать
лет перед этим, и было удовлетворено интеллектуальное желание. Прошло
менее часа, и я попросил у Совета Королевской Ирландской ассоциации,
президентом которой я тогда был, и получил отпуск, чтобы прочесть на следующем Общем собрании доклад о кватернионах, что я и сделал 13 ноября
1843 г. Некоторые из моих недавних писем в Академию еще могут иметь
определенный интерес для людей, подобных Вам, которые с тех пор хорошо изучили мою книгу, которая затем не публиковалась десять лет. Между тем, не отметишь ли ты завтрашний день рождения добавочной чашечкой чернил, ибо сейчас уже может быть устарело предлагать XXX или XYZ.
Ход рассуждений, которые привели к открытию кватернионов,
У. Гамильтон описывает в письме к своему другу юристу и математику Джону Томасу Грейвсу на следующий день (17 окт. 1843 г.) после открытия.
Во втором номере журнала «Материалы Ирландской академии»
за 1844 г. [1] У. Гамильтон уже на первой странице (рис. 2) приводит определение операции, поисками которой он был одержим более десяти лет.
Научный мир встретил открытие Гамильтона с воодушевлением.
Создатель электромагнетизма Клерк Максвелл писал: «Открытие кватернионного исчисления — это поистине скачок в нашем понимании
свойств пространства, скачок, сравнимый, пожалуй, с открытием Декартом координатных троек! Идеи этого исчисления, как отличающиеся от своих операций и символов, приспособлены для наибольше* Пер. Л. К. Карповича.
12
1.1. Историческая справка
го использования во всех областях науки». Максвелл К. использовал
кватернионную запись для формулировки своих уравнений электромагнитного поля. Анри Пуанкаре писал о кватернионах [2]: «Их появление дало мощный толчок развитию алгебры; исходя от них, наука пошла по пути обобщения понятия числа, придя к концепциям
матрицы и линейного оператора, пронизывающим современную математику. Это была революция в арифметике, подобная той, которую
сделал Лобачевский в геометрии».
Рис. 2. Первая страница первой публикации У. Гамильтона о кватернионах
13
Глава 1. Основные понятия
Не все были того же мнения. В частности, лорд Кельвин (Уильям
Томсон) в одном из своих писем писал [3]: «Кватернионы пришли
от Гамильтона после того как его действительно хорошая работа была
выполнена; несмотря на красоту и изобретательность, они были чистым злом для тех, кто коснулся их каким-либо образом, включая
Клерка Максвелла». Отрицательно к кватернионам относились Герман Грассман, Уиллард Гибсон и Оливер Хевисайд.
На основе работ Гамильтона, Джозайя Уиллард Гиббс и Оливер Хевисайд выделили и развили систему векторного анализа, уже отделенную от теории кватернионов; она оказалась чрезвычайно полезной
в прикладной математике. Вот как об этом пишет Оливер Хевисайд
в 1883 г. [3]: «…позже я пришел к выводу, что, поскольку требуемый
векторный анализ был необходим, кватернион был не только не нужен, но был положительным злом без какой-либо незначительной величины, и что благодаря его избеганию создание векторного анализа стало простым, а его использование также упростилось, так как его
можно удобно согласовать с обычной декартовой работой». Приемник У. Гамильтона и продолжатель его дела Питер Гатри Тейт, оценивая эту новую тенденцию, высказал свое разочарование в предисловии к третьему изданию «Элементарного трактата о кватернионах» [4]:
«Даже профессор Гиббс оценивается как один из замедлителей прогресса кватернионов, учитывая, что его брошюра «Векторный анализ»,
своего рода гермафродитный монстр, усугубляется обозначениями Гамильтона и Грассмана».
Гамильтон У. получил выдающиеся результаты в различных областях физики, математики и механики, но кватернионы провозгласил
своим величайшим открытием и принялся с воодушевлением (как он
сам выражался) «расшифровывать послания высших сфер». Два следующих десятилетия после своего открытия Гамильтон посвятил подробному исследованию новых чисел и практическим приложениям,
написав на эту тему 109 статей и две объемные монографии «Лекции
о кватернионах» и «Элементы кватернионов».
Известный английский математик и популяризатор математики
Иэн Стюарт писал [3]: «Гамильтон, сходя в могилу, верил, что кватернионы составляли его самый главный вклад в естественные науки
и математику. На протяжении следующей сотни лет мало кто, за исключением его последователей Питера Гатри Тейта и Чарльза Сандерса Пирса, с ним бы согласился, и кватернионы оставались позабытой
14
1.1. Историческая справка
тихой заводью викторианской алгебры. Если вам требовался пример
бесплодной самодовлеющей математики, то кватернионы были пропуском в этот клуб. Даже в университетских курсах чистой математики кватернионы никогда не появлялись; их даже не показывали в качестве курьеза. По словам автора историко-биографических этюдов
Эрика Белла, «глубочайшей трагедией Гамильтона были не алкоголь
и не неудачный брак, а его упрямая вера в то, что кватернионы содержат в себе ключ к математике и физике вселенной. История показала, что Гамильтон трагически обманывал себя, когда продолжал утверждать: «Я по-прежнему определенно заявляю, что это открытие
представляется мне настолько же важным для середины девятнадцатого столетия, насколько открытие флюксий было важным для семнадцатого столетия». Никогда еще великий математик столь отчаянно не ошибался».Так ли это? Кватернионы, быть может, развивались
не вполне тем способом, какой предначертал Гамильтон, но их значимость растет с каждым годом. Они стали абсолютно фундаментальными для математики, и мы также увидим, что кватернионы и их обобщения играют фундаментальную роль и в алгебре, и математической
физике. Никогда еще квазиисторик столь отчаянно не ошибался».
Еще сравнительно недавно (1986) в достаточно безапелляционной
форме известный математик и историк Симон Л. Альтманн писал [5]:
«…кватернионы, кажется, источают воздух распада девятнадцатого
века, как довольно неудачный вид в борьбе за жизнь математических
идей. Математики, по общему признанию, все еще сохраняют теплое
отношение в своих сердцах за замечательные алгебраические свойства кватернионов, но, увы, такой энтузиазм мало значит для ученого-физика».
Активный интерес к кватернионам начал проявляться в конце XX в.
и в настоящее время этот интерес только возрастает. Они применяются в квантовой механике, инерциальной навигации и теории управления, в современной компьютерной графике и программировании игр.
15
1.2. Алгебра кватернионов
А
лгебра (от араб.
«аль-джабр» — восстановление равенства) —
раздел математики, посвященный изучению операций над элементами множества произвольной природы, обобщающий обычные
операции сложения и умножения чисел. В алгебре кватернионов соответствующими элементами (кватернионами) являются четырехмерные векторы q = [q0 , q1 , q2 , q3 ], так называемые гиперкомплексные числа, которые записываются в следующем виде:
q = q0 + q1 i1 + q2 i 2 + q3 i 3 ,
где q0 , q1 , q2 , q3 — координаты кватерниона, являющиеся вещественными числами; i1 , i 2 , i 3 — числа, которые являются аналогами мнимой единицы в теории комплексных чисел.
Четырехмерное векторное пространство кватернионов с элементами q, p, r, является линейным:
а) каждым двум элементам q и p поставлен в соответствие третий,
называемый суммой, обозначается через q +p;
б) каждому элементу q пространства кватернионов и каждому числу a поставлен в соответствие кватернион aq , называемый произведением числа a на кватернион q .
Эти операции удовлетворяют следующим аксиомам:
1. а) q +p = p+q коммутативность;
б) ( q +p ) + r = q + ( p + r ) ассоциативность;
в) существует нулевой элемент q + 0 = q ;
г) для каждого кватерниона q существует элемент q такой, что
q + ( - q ) = 0.
2. а) 1 Ч q = q ;
б) ab q = (ab) q = a (b q ).
3. а) a ( q +p ) = a q + a p ;
б) (a + b) q = a q + b q .
16
1.2. Алгебра кватернионов
Для чисел i1 , i 2 , i 3 введены следующие правила умножения:
i12 = -1, i 22 = -1,
i 32 = -1,
(1.2.1)
i1 i 2 = i 3 , i 2 i 3 = i1 , i 3 i1 = i 2 ,
i 2 i1 = - i 3 , i 3 i 2 = - i1 , i1 i 3 = - i 2 .
Запоминанию этого правила может помочь следующая схема (рис. 3).
Рис. 3. Правило знаков при умножении чисел i1, i2, i3
С учетом введенного правила умножения (1.2.1) для мнимых единиц и аксиом линейного пространства вводится операция умножения
двух кватернионов p и q , которая определяется в соответствии с равенством (доказательство см. в прил. 1)
(
)(
)
pq = p0 + p1 i1 + p2 i 2 + p3 i 3 q0 + q1 i1 + q2 i 2 + q3 i 3 =
(
+(p q
) (
)i + ( p q
)
= p0 q0 - p1 q1 - p2 q2 - p3 q3 + p0 q1 + p1 q0 + p2 q3 - p3 q2 i1 + (1.2.2)
0 2
+ p2 q0 + p3 q1 - p1 q3
2
0 3
)
+ p3 q0 + p1 q2 - p2 q1 i 3 .
Если представить кватернион в виде вектора-столбца, то операция
умножения кватернионов может быть также записана в следующей
матричной форме:
ж p0
з
p
pq = з 1
з p2
з
и p3
- p1
p0
p3
- p2
- p2
- p3
p0
p1
- p3 ц ж q0 ц ж p0q0 - p1q1 - p2q2 - p3q3 ц
ч
чз ч з
p2 ч з q1 ч з p1q0 + p0q1 - p3q2 + p2q3 ч
=
.
- p1 ч з q2 ч з p2q0 + p3q1 + p0q2 - p1q3 ч
ч
чз ч з
p0 ш и q3 ш и p3q0 - p2q1 + p1q2 + p0q3 ш
Путем непосредственной проверки устанавливаются свойства дистрибутивности и ассоциативности
17
Глава 1. Основные понятия
p ( q + r ) = p q + p r,
( p q ) r = p ( q r ),
но операция умножения некоммутативна
p q № q p.
По аналогии с комплексными числами вводится сопряженный кватернион
q = q0 - q1 i1 - q2 i 2 - q3 i 3 .
При этом выполняется свойство (доказательство в прил. 2)
r = p q, r = q p .
Нормой кватерниона q называется произведение этого кватерниона на его сопряженное значение (доказательство в прил. 3)
q = q q = q02 + q12 + q22 + q32.
С учетом правила умножения кватернионов и определения нормы
кватернионов устанавливается, что норма произведения кватернионов равна произведению норм сомножителей
pq = p q .
Если q = 1, то такой кватернион называется нормированным (единичным).
Модулем кватерниона q называется величина
q =
q = q q = q02 + q12 + q22 + q32 .
Кватернионом обратным к кватерниону q называется кватернион
q , определяемый из условия
-1
q -1q = q q -1 = 1 + 0 i1 + 0 i 2 + 0 i 3 = 1.
Если умножить обе части равенства q q -1 = 1 на q слева и q 1 q = 1 на
q справа, то найдем
q
q -1 =
.
q
Это равенство доказывает существование и единственность обратного кватерниона. Для записи кватернионов удобно использовать ге18
1.2. Алгебра кватернионов
ометрическую интерпретацию. При этом мнимые числа i1 , i 2 , i 3 заме
няются единичными векторами ортогонального базиса i1 , i2 , i3
трехмерного пространства. Кватернион q в этом случае рассматривается в виде суммы скалярной и векторной части
q = q0 + q , q = q1 i1 + q2 i2 + q3 i3.
Правило умножения кватернионов p и q в этом случае принимает вид
pq = ( p0 + p ) (q0 + q ) = p0 q0 + p0 q + q0 p - p Ч q + p ґ q .
(1.2.3)
Здесь p Ч q и p ґ q — соответственно скалярное и векторное произведения векторных частей кватернионов p и q .
Нетрудно убедиться, что формулы умножения кватернионов (1.2.2)
и (1.2.3) приводят к одинаковому результату (доказательство в прил. 4).
Кватернион может быть представлен в тригонометрической форме. Для этого запишем кватернион в виде
ж q0 q ц
q= qз + ч
зq q ч
и
ш
и введем в рассмотрение единичный вектор e , коллинеарный векто
ру q , тогда
ж
q12 + q22 + q32 ц
q0
з
q= q
+
e ч.
(1.2.4)
2
2
2
2
ч
з q2 + q2 + q2 + q2
q
q
q
q
+
+
+
0
1
2
3
0
1
2
3
и
ш
Вводя обозначения
cosa =
q0
q02 + q12 + q22 + q32
и sin a =
q12 + q22 + q32
q02 + q12 + q22 + q32
,
находим тригонометрическую форму кватерниона q
q = q ( cos a + e sin a ) .
Скалярное произведение двух кватернионов p и q определяется в соответствии с равенством
(
)
p Ч q = p0 q0 + p1 q1 + p2 q2 + p3 q3 .
19
Глава 1. Основные понятия
В дальнейшем, с учетом указанных приложений, будем рассматривать единичные кватернионы, для которых q = 1 и тригонометрическая форма записи имеет вид
q = ( cos a + e sin a ) .
(1.2.5)
Обратный единичный кватернион равен его сопряженному значению и записывается в виде равенства
q 1 = q = ( cos a - e sin a ).
Единичные кватернионы образуют некоммутативную группу (обозначается Sp(1)) по умножению. Произведение единичных кватернионов дает единичный кватернион, для каждого единичного кватерниона есть обратный и умножение ассоциативно.
С использованием тригонометрической формы записи кватернионов легко получить операцию возведения в степень. Для этого рассмотрим произведение кватерниона на себя, воспользовавшись при
этом формулой (1.2.3),
q 2 = q q = ( cos a + e sin a ) ( cos a + e sin a ) =
2
2
2
= ( cos a ) + 2e cos a sin a - e Ч e ( sin a ) + e ґ e ( sin a ) =
= cos 2a + e sin 2a.
Возведение кватерниона в третью степень дает
q 3 = ( cos 2a + e sin 2a ) ( cos a + e sin a ) =
= cos 2a cos a + e cos 2a sin a + e sin 2a cos a - e Ч e sin 2a cos a +
+ e ґ e sin 2a cos a = cos 3a + e sin 3a .
Продолжая по индукции, находим
q n = cos na + e sin na .
Эта формула является аналогом формулы Муавра из теории комплексных чисел.
Вещественные степени кватерниона могут быть определены в терминах экспоненциальной функции кватерниона, записанной в виде
степенного ряда как
q q2 q3
exp(q ) = 1 + +
+
+ј
1! 2 ! 3 !
20
1.2. Алгебра кватернионов
аналогично используемым при вычислениях в комплексном анализе
и матричной алгебре.
Записывая единичный кватернион q в форме (1.2.5) и вводя в рассмотрение кватернион
e = 0 + e,
для которого справедливо
e2 = ( 0 + e ) ( 0 + e ) = -1,
находим
exp(ae) = 1 +
(ae) (ae)
1!
+
2!
2
+
(ae)
3!
3
+ј=
ц ж
ц
ж a2
a3
= з1 + јч + e з a + јч = cos a + e sin a = q,
2!
3!
и
ш
и
ш
что приводит к кватернионной версии формулы Эйлера
q = exp(ae) = cos a + e sin a ,
отсюда
q t = exp(eat ) = cos at + e sin at .
Пример 1.2.1. Представить кватернион q = [0.5, - 0.5, - 0.5, - 0.5] в геометрической интерпретации.
Решение
Скалярная часть кватерниона 0.5. Векторная часть кватерниона
q = [ -0.5, - 0.5, - 0.5].
Кватернион q в геометрической интерпретации согласно форме (1.2.4)
2
3 ( 0.5) 1
0.5
3
1 ц
ж 1 1
e= +
e, e = - з
i1 +
q=
+
i2 +
i3 ч.
2
2
2
2
3
3
3
и
ш
4 ( 0.5)
4 ( 0.5)
Тригонометрическая форма записи
p
p
q = cos + e sin .
3
3
21
Глава 1. Основные понятия
Пример 1.2.2. Выполнить умножение q p и pq кватернионов
q = [ 0.5, - 0.5, - 0.5, - 0.5] и p = [ 0.5, - 0.5, 0.5, - 0.5], используя при умножении геометрическую интерпретацию и умножение в матричной форме.
Решение
Кватернион q и p в тригонометрической форме
p
p
1 ц
ж 1 1
q = cos + e1 sin , e1 = - з
i1 +
i2 +
i3 ч,
3
3
3
3 ш
и 3
p
p
1 ц
ж 1 1
p = cos + e2 sin , e2 = - з
i1 i2 +
i3 ч.
3
3
3
3 ш
и 3
Находим произведение qp используя геометрическую интерпретацию:
p
p цж
p
pц
p ж
p цж
pц
ж
qp = з cos + e1 sin ч з cos + e2 sin ч = cos 2 + e1 з cos ч з sin ч +
3
3 ши
3
3ш
3
3 ши
3ш
и
и
ж
p цж
pц
p
p
+e2 з cos ч з sin ч - sin 2 e1 Ч e2 + sin 2 e1 ґ e2 =
3 ши
3ш
3
3
и
p 1
p 1
2p
p
= cos 2 - sin 2 + sin (e1 + e3 ) + sin 2 e1 ґ e2 =
3 3
3 2
3
3
1
1
= - i1 + i3 + i1 - i3 = -i3 .
2
2
(
) (
)
Находим произведение qp с использованием матричной формы умножения кватернионов:
ж q0
з
q
qp = з 1
з q2
з
и q3
-q1
q0
q3
-q2
-q2
-q3
q0
q1
-q3 ц ж p0 ц ж 0.5 0.5 0.5 0.5 ц ж 0.5 ц ж 0 ц
чз ч
q2 ч з p1 ч зз -0.5 0.5 0.5 -0.5 чч зз -0.5 чч зз 0 чч
=
=
.
-q1 ч з p2 ч з -0.5 -0.5 0.5 0.5 ч з 0.5 ч з 0 ч
чз ч з
чз
ч з ч
q0 ш и p3 ш и -0.5 0.5 -0.5 0.5 ш и -0.5 ш и -1 ш
Находим произведение pq , используя геометрическую интерпретацию:
p
p цж
p
pц
p ж
p цж
pц
ж
pq = з cos + e2 sin ч з cos + e1 sin ч = cos 2 + e1 з cos ч з sin ч +
3
3 ши
3
3ш
3
3 ши
3ш
и
и
ж
p цж
pц
p
p
+e2 з cos ч з sin ч - sin 2 e1 Ч e2 + sin 2 e2 ґ e1 =
3 ши
3ш
3
3
и
p 1
p 1
p
2p
= cos 2 - sin 2 + sin (e1 + e3 ) - sin 2 e1 ґ e2 =
3 3
3 2
3
3
1
1
22
= - i1 + i3 - i1 - i3 = -i1 .
2
2
(
) (
)
p
p цж
p
pц
p ж
p цж
pц
ж
pq = з cos + e2 sin ч з cos + e1 sin ч = cos 2 + e1 з cos ч з sin ч +
3 ши
3ш
3
3 ши
3
3ш
3
и
и
1.2. Алгебра кватернионов
ж
p
p цж
pц
p
+e2 з cos ч з sin ч - sin 2 e1 Ч e2 + sin 2 e2 ґ e1 =
3
3 ши
3ш
3
и
p 1
p 1
p
2p
= cos 2 - sin 2 + sin (e1 + e3 ) - sin 2 e1 ґ e2 =
3 3
3 2
3
3
1
1
= - i1 + i3 - i1 - i3 = -i1 .
2
2
(
) (
)
Находим произведение pq с использованием матричной формы умножения кватернионов:
ж p0
з
p
pq = з 1
з p2
з
и p3
- p1
p0
p3
- p2
- p2
- p3
p0
p1
- p3 ц ж q0 ц ж 0.5 0.5 -0.5
чз ч
p2 ч з q1 ч зз -0.5 0.5 0.5
=
- p1 ч з q2 ч з 0.5 -0.5 0.5
чз ч з
p0 ш и q3 ш и -0.5 -0.5 -0.5
0.5 ц ж 0.5 ц ж 0 ц
чз
ч з ч
0.5 ч з -0.5 ч з -1 ч
=
.
0.5 ч з -0.5 ч з 0 ч
чз
ч з ч
0.5 ш и -0.5 ш и 0 ш
Вопросы для самоконтроля к параграфу 1.2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Что такое кватернион?
Как складываются кватернионы?
Как умножать кватернион на число?
Как умножать числа i1 , i 2 , i 3?
Как умножать кватернионы?
Как выглядит матричная запись умножения двух кватернионов?
Как формулируются свойства операций сложения и умножения
двух кватернионов?
Как определяется сопряженный кватернион?
Как определяется норма кватерниона?
Как формулируется свойство нормы произведения кватернионов?
Как определяется единичный кватернион?
Как определяется модуль кватерниона?
Какой кватернион называется обратным?
Как определяются скалярные и векторные части кватерниона?
Как выглядит геометрическая интерпретация кватернионов?
Как записывается тригонометрическая форма представления
кватернионов?
Как определяется скалярное произведение кватернионов?
Что такое Sp(1)?
Как определяется операция возведения в степень единичного
кватерниона?
23
1.3. Вращение твердого тела
О
сновным приложением алгебры кватернионов является ее использование при описании вращения 3D объектов. Вращение
произвольной точки твердого тела М вокруг оси, проходящей через
неподвижную точку О, с единичным направляющим вектором e
(рис. 4) — это преобразование пространства, при котором все точки
оси остаются неподвижными, а остальные точки перемещаются в плоскостях перпендикулярных этой оси по дугам окружностей с одним
и тем же углом j.
M
Mў
С
φ
rў
r
-e
О
Рис. 4. Вращение вокруг оси, проходящей через точку О
Пусть M — положение произвольной точки пространства до вращения, а M ў — ее положение после. Введем в рассмотрение
точку
С
пересечения плоскости поворота и оси. Представим векторCM ў в виде
разложения по единичным векторам
ґCM
CMCM
e ґeCM
. .
8 и8 ґCM
CMCM
e ґeCM
С учетом равенства CM = CM ў имеем
CM
e ґCM
CM ў = CM cos j + CM sin j ,
e ґCM
CM
24
1.3. Вращение твердого тела
или
CM ў = cos j CM + sin j e ґCM .
(1.3.1)
При этом выполняются равенства
CM = r - rC , CM ў = r ў - rC , rC = ( r Ч e ) e .
С учетом этих равенств
уравнение
(1.3.1) преобразуется
к следую
щему виду: r ў - (r Ч e ) e = cos j ( r - ( r Ч e ) e ) + sin j e ґ ( r - (r Ч e ) e ),
откуда
r ў = cos j r + (1 - cos j) ( r Ч e ) e + sin j e ґ r .
(1.3.2)
Равенство (1.3.2) выражает один из вариантов записи формулы Родрига для преобразования поворота. Покажем, что аналогичная формула может быть получена и в кватернионном виде. Для этого введем
кватернионы
j
j
q = cos + e sin и r = 0 + r .
2
2
Кватернион q называется кватернионом поворота на угол j вокруг
оси, заданной единичным вектором e .Кватернион r называется кватернионом положения. Его скалярная часть равна нулю, а векторная
определяет положение точки пространства до поворота.
пользуясь соотРассмотрим произведение трех кватернионов q r q,
ветствующим правилом умножения. Сначала ищем произведение
ж
j jц j j
r q = ( 0 + r ) з cos
e sin ч = r cos + ( r Ч e ) sin
2
2ш
2
2
и
Далее
(r ґ e ) sin
j
.
2
j j цж j j jц
ж
q r q = з cos + e sin ч з ( r Ч e ) sin + r cos - ( r ґ e ) sin ч =
2
2 ши
2
2
2ш
и
j j
jж j jц
= cos ( r Ч e ) sin + cos з r cos - ( r ґ e ) sin ч +
2
2
2и
2
2ш
j
j ж
jц ж
j jц
+ ( r Ч e ) sin e sin - з e sin ч Ч з r cos - ( r ґ e ) sin ч +
2
2 и
2ш и
2
2ш
jц ж
j jц
ж
+ з e sin ч ґ з r cos - ( r ґ e ) sin ч .
2ш и
2
2ш
и
25
Глава 1. Основные понятия
После преобразований данного выражения находим
1 j 1 j
(r Ч e ) sin j + r cos2 - (r ґ e ) sin j + (r Ч e ) e sin 2 2
2
2 2
1 1
j
j
- ( r Ч e ) sin j + e Ч ( r ґ e ) sin 2 + (e ґ r ) sin j - e ґ ( r ґ e ) sin 2 =
2
2 2
2
j
j j = r cos 2 - ( r ґ e ) sin j + ( r Ч e ) e sin 2 - e ґ ( r ґ e ) sin 2 =
2
2
2
j
j j
j = r cos 2 - ( r ґ e ) sin j + ( r Ч e ) e sin 2 - r (e Ч e ) sin 2 + e (e Ч r ) sin 2 =
2
2
2
2
2j
= r cos j + (e ґ r ) sin j + 2 (r Ч e ) e sin
=
2
= r cos j + (e ґ r ) sin j + ( r Ч e ) e (1 - cos j) .
qrq =
В результате решения получен кватернион с нулевой скалярной
частью, векторная часть которого совпадает с правой частью равенства (1.3.2). Это дает основание записать следующую кватернионную
формулу преобразования поворота:
r ў = q r q .
(1.3.3)
Изменение скалярной части кватерниона положения r в формуле (1.3.3) не изменяет векторную часть кватерниона r ў.
В задачах компьютерной графики и управления сферическим движением твердого тела зачастую задается последовательность поворотов. Если использовать кватернионное представление сферического
движения, то последовательности поворотов q1 , q 2 , ..., q n может быть
сопоставлен следующий алгоритм нахождений последовательных положений точек твердого тела
r1 = q 1 r0 q 1 , r2 = q 2 q 1 r0 q 1q 2 , ..., rn = q n … q 2 q1 r0 q 1q 2 … q n,
или
rn = p n r0 p n , p n = q n … q 2 q 1.
В дальнейшем, для иллюстрации поворотов тел средствами алгебры
кватернионов, нам понадобится аналитическое описание конкретного
геометрического объекта. В качестве такого объекта выберем модель
самолета. Создадим модель самолета в виде поверхности переноса.
26
1.3. Вращение твердого тела
Как известно из курса дифференциальной геометрии, в заданной
системе координат Ox1 x2 x3 уравнение поверхности может быть задано
в параметрической форме в виде следующего уравнения:
r = x1 (u, v )i1 + x2 (u, v )i2 + x3 (u, v )i3.
Для моделирования поверхности самолета воспользуемся классом
так называемых поверхностей переноса. Поверхность переноса образуется движением некоторой направляющей линии в пространстве.
«Заметаемая» при этом поверхность называется поверхностью переноса. Для получения поверхности самолета рассмотрим движение гауссовой кривой в направлении оси Ox1, накладывая при этом условие,
чтобы линейные размеры движущейся кривой уменьшались пропорционально ее смещению. В таком случае уравнения поверхности модели самолета приобретают вид
2
l
x1 (u, v ) = ul - ; x2 (u, v ) = v (1 - u ) ; x3 (u, v ) = -ae - v (1 - u ) ;
(1.3.4)
3
0 Ј u Ј 1; - b Ј v Ј b,
где l, a и b — геометрические параметры модели самолета, l = 16; a = 5;
b = 8.
Пример 1.3.1. Выполнить поворот самолета (рис. 5), описываемого
геометрической моделью (1.3.4), в положительном направлении во
p
круг базисного вектора i1 на угол .
2
Рис. 5. Компьютерная визуализация положения самолета до поворота
27
Глава 1. Основные понятия
Решение
Кватернион поворота в этом случае записывается в виде равенства
p
p
q = cos + i1 sin .
4
4
Положение произвольной точки поверхности самолета после поворота определяется в соответствии с преобразованием (1.3.3)
1
r ў = q r q = 1 + i1 0 + x1i1 + x2i2 + x3i3 ) 1 - i1 =
2
1
= 1 + i1 0 + x1i1 + x2i2 + x3i3 + x1i1 + x2i2 + x3i3 Ч i1 - x1i1 + x2i2 + x3i3 ґ i1 =
2
1
= 1 + i1 x1 + x1i1 + ( x2 - x3 ) i2 + ( x3 + x2 ) i3 =
2
ж x + x i + ( x - x )i + ( x + x )i + x i - ц
1
1
1
2
3
2
3
2
3
1
1
з
ч
1з ч=
= - i1 Ч x1i1 + ( x2 - x3 ) i2 + ( x3 + x2 ) i3 +
ч
2з зз
чч
+i1 ґ x1i1 + ( x2 - x3 ) i2 + ( x3 + x2 ) i3
и
ш
= 0 + x1i1 - x3i2 + x2i3 .
(
(
)(
)(
(
(
)(
)
) )
(
)(
(
(
)
)
)
)
Положение самолета после поворота записывается в виде уравнения
r ў = x1 (u, v )i1 - x3 (u, v )i2 + x2 (u, v )i3 .
Компьютерная визуализация положения самолета после поворота
представлена на рис. 6.
Рис. 6. Компьютерная визуализация положения самолета после поворота
28
1.3. Вращение твердого тела
Пример 1.3.2. Выполнить последовательность поворотов самолета
(см. рис. 5), заданных кватернионами
p
p
p
p
q 1 = cos + i1 sin и q 2 = cos + i3 sin .
4
4
4
4
Решение
Для определения результирующего поворота находим кватернион
p
p цж
p
pц
ж
p = q 2 q 1 = з cos + i3 sin ч з cos + i1 sin ч =
4
4 ши
4
4ш
и
p
p
p
p
p
p
p
= cos 2 + cos Ч i1 sin + cos Ч i3 sin - sin 2 i3 Ч i1 + sin 2 i3 ґ i1 =
4
4
4
4
4
4
4
p
p i +i +i
1
= 1 + i1 + i2 + i3 = cos + sin 1 2 3 .
2
3
3
3
2p
Кватернион p определяет поворот самолета на угол
вокруг оси,
3
лежащей в первом октанте и одинаково наклоненной к координатным
осям.
Положение произвольной точки поверхности самолета после поворота определяется в соответствии с преобразованием
(
)
r ў = p r p ;
ж
ж
p
p i1 + i2 + i3 ц
p
p i1 + i2 + i3 ц
r ў = зз cos + sin
ч 0 + x1i1 + x2i2 + x3i3 зз cos - sin
ч=
3
3
3
3
3 чш
3 чш
и
и
1
1
= й1 + i1 + i2 + i3 щ 0 + x1i1 + x2i2 + x3i3 й1 - i1 + i2 + i3 щ =
ы
ы
2л
2л
= x3i1 + x1i2 + x2i3 .
(
(
)(
)
)
(
)
Преобразование поворота модели самолета записывается в виде равенства
r ў = x3 (u, v )i1 + x1 (u, v )i2 + x2 (u, v )i3 .
Компьютерная визуализация положения самолета после поворота
представлена на рис. 7.
29
Глава 1. Основные понятия
Рис. 7. Компьютерная визуализация положения самолета после поворотов q1 и q 2
Пример 1.3.3. Изменить последовательность поворотов в примере 1.3.2.
Решение
p
p цж
p
pц
ж
p = q 1q 2 = з cos + i1 sin ч з cos + i3 sin ч =
4
4 ши
4
4ш
и
p
p
p
p
p
p
p
= cos 2 + cos Ч i3 sin + cos Ч i1 sin - sin 2 i1 Ч i3 + sin 2 i1 ґ i3 =
4
4
4
4
4
4
4
p
p i -i +i
1
= 1 + i1 - i2 + i3 = cos + sin 1 2 3 .
2
3
3
3
Преобразование поворота модели самолета записывается в виде равенства
r ' = - x2 (u, v ) i1 - x3 (u, v ) i2 + x1 (u, v ) i3 .
(
)
Кватернион p в данном случае определяет поворот самолета на угол
2p
вокруг оси, лежащей в четвертом октанте и одинаково наклонен3
ной к координатным осям. Компьютерная визуализация положения
самолета после этого поворота представлена на рис. 8.
Примеры 1.3.2 и 1.3.3 наглядно демонстрируют некоммутативность
операции умножения кватернионов.
Формула (1.3.3) позволяет описать поворот 3D объекта относительно неподвижной системы координат, что было продемонстрировано
в примерах 1.3.2 и 1.3.3.
30
1.3. Вращение твердого тела
Рис. 8. Компьютерная визуализация положения самолета после поворотов q 2 и q1
Вопросы для самоконтроля к параграфу 1.3
1. Как определяется преобразование пространства, называемое вращением?
2. Как записывается формула Родрига в векторном виде?
3. Как записывается кватернион поворота на заданный угол φ?
4. Как записывается кватернион положения?
5. Как выглядит кватернионная формула преобразования поворота?
31
1.4. Специальная ортогональная группа вращений SO(3)
П
оследовательное выполнение поворотов исторически называется сложением двух поворотов. Однако совокупность всех поворотов образует некоммутативную группу по умножению — группу
вращений. Единичным элементом данной группы является тождественный поворот, при котором все точки пространства оказываются
в исходном положении, или, что то же самое, поворот на угол равный
нулю. Вращение является линейным ортогональным преобразованием, которое в операторном виде записывается в виде равенства
(1.4.1)
rў = r ,
где — оператор поворота.
На рис. 9 показан поворот вектора r вокруг координатной оси Ox3.
Рис. 9. Поворот вектора в неподвижной системе координат
Линейное преобразование поворота сохраняет длину векторов,
а также ориентацию базисных векторов (правую и левую тройку векторов). Как известно из курса линейной алгебры, всякому линейному оператору в некотором координатном базисе ставится в соответствие матрица 3×3. При этом операторы поворота образуют группу
ортогональных матриц с определителем равным единице. Таким образом, группа вращений изоморфна группе вещественных ортого32
1.4. Специальная ортогональная группа вращений SO(3)
нальных матриц с определителем равным единице. Эта группа называется специальной ортогональной группой размерности три
и обозначается SO(3).
В матричном виде преобразование (1.4.1) записывается следующим равенством
ж x1ў ц ж R11 R12 R13 ц ж x1 ц
чз ч
з ўч з
(1.4.2)
з x2 ч = з R21 R22 R23 ч з x2 ч .
ч
з
з xў ч з R
ч
и 3 ш и 31 R32 R33 ш и x3 ш
Это преобразование позволяет найти положение точки твердого
тела в неподвижной системе координат после его поворота. Матрица
R = Rij называется матрицей поворота.
Примерами матриц поворота могут служить следующие матрицы
поворота относительно координатных осей Оx1, Оx2, Оx3:
0
0 ц
ж cosj 0 sinj ц
ж cosj -sinj 0 ц
ж1
з
ч
з
ч
з
ч
R 1 = з 0 cosj -sinj ч; R 2 = з 0
1
0 ч; R 3 = з sinj cosj 0 ч,
з 0 sinj cosj ч
з - sinj 0 cosj ч
з 0
0
1 чш
и
и
и
ш
ш
где j — угол поворота.
Как доказывается в курсе линейной алгебры, для получения результирующей матрицы двух последовательно выполненных поворотов, надо матрицу первого поворота умножить слева на матрицу второго поворота,
R = R 1R 2.
Введем в рассмотрение два ортогональных базиса i1 , i2 , i3 и e1 , e2 , e3
неподвижной Ox1 x2 x3 и подвижной OX 1 X 2 X 3 систем координат.
Применяя кватернионную формулу преобразования поворота
(1.3.3), находим
e2 = q i 2 q;
e3 = q i 3q
e1 = q i1q;
(i1 = [0,1, 0, 0 ], i 2 = [ 0, 0,1, 0 ], i 3 = [ 0, 0, 0,1]),
откуда
e1 = q0 + q1i1 + q2i2 + q3i3 0 + i1 q0 - q1i1 - q2i2 - q3i3 =
= q0 + q1i1 + q2i2 + q3i3 q0i1 + i1 Ч q1i1 + q2i2 + q3i3 - i1 ґ q1i1 + q2i2 + q3i3
(
(
)(
)(
(
)(
)
)
(
)) =
33
Глава 1. Основные понятия
= q0 + q1i1 + q2i2 + q3i3 q1 + q0i1 + q3i2 - q2i3 =
= q0q1 + q0 q0i1 + q3i2 - q2i3 + q1 q1i1 + q2i2 + q3i3
- q1i1 + q2i2 + q3i3 Ч q0i1 + q3i2 - q2i3 +
(
)(
(
)
)
(
(
)(
)
+ (q i + q i + q i ) ґ (q i + q i - q i ) =
11
2 2
3 3
0 1
3 2
)
2 3
= 0 + q02 + q12 - q22 - q32 i1 + 2 (q0q3 + q1q2 ) i2 + 2 (q1q3 - q0q2 ) i3 .
(
)
Аналогично процедуре нахождения е1 находим е2 и е3
e2 = 0 + 2 (q1q2 - q0q3 ) i1 + (q02 - q12 + q22 - q32 ) i2 + 2 (q0q1 + q2q3 ) i3 ,
e3 = 0 + 2 (q0q2 + q1q3 ) i1 + 2 (q2q3 - q0q1 ) i2 + (q02 - q12 - q22 + q32 ) i3 .
Переходя к векторной форме записи, находим
e1 = (q02 + q12 - q22 - q32 ) i1 + 2 (q0q3 + q1q2 ) i2 + 2 (q1q3 - q0q2 ) i3 ,
e2 = 2 (q1q2 - q0q3 ) i1 + (q02 - q12 + q22 - q32 ) i2 + 2 (q0q1 + q2q3 ) i3 ,
e3 = 2 (q0q2 + q1q3 ) i1 + 2 (q2q3 - q0q1 ) i2 + (q02 - q12 - q22 + q32 ) i3
и
2
2
2
2
ж e1 ц ж q0 + q1 - q2 - q3
з ч з
з e2 ч = з 2 (q1q2 - q0q3 )
з e ч з 2 (q q + q q )
0 2
1 3
и 3ш и
2 (q0q3 + q1q2 )
q02 - q12 + q22 - q32
2 (q2q3 - q0q1 )
2 (q1q3 - q0q2 ) ц ж i1 ц
чз ч
2 (q0q1 + q2q3 ) ч з i2 ч .
q02 - q12 - q22 + q32 чш зи i3 чш
Матрица
ж q02 + q12 - q22 - q32
з
Q = Qij = з 2 (q1q2 - q0q3 )
з 2 (q q + q q )
0 2
1 3
и
2 (q0q3 + q1q2 )
q02 - q12 + q22 - q32
2 (q2q3 - q0q1 )
2 (q1q3 - q0q2 ) ц
ч
2 (q0q1 + q2q3 ) ч,
(1.4.3)
q02 - q12 - q22 + q32 чш
где Qij называется матрицей направляющих косинусов, Qij = ei Ч i j .
Если линейное преобразование имеет в данном базисе матрицу
Rij , то базисные векторы преобразуются с помощью столбцов этой
матрицы, а координаты произвольного вектора r — с помощью ее
строк. Следовательно, матрица поворота в кватернионном представлении имеет вид
34
1.4. Специальная ортогональная группа вращений SO(3)
ж q02 + q12 - q22 - q32
з
R = QT = з 2 (q0q3 + q1q2 )
з 2 (q q - q q )
1 3
0 2
и
2 (q1q2 - q0q3 )
q02 - q12 + q22 - q32
2 (q0q1 + q2q3 )
2 (q0q2 + q1q3 ) ц
ч
2 (q2q3 - q0q1 ) ч.(1.4.4)
q02 - q12 - q22 + q32 чш
Известно, что под механическим движением понимается изменение положения тел относительно друг друга. Пусть в движении участвуют два тела, одно из которых будем считать неподвижным. С этим
телом связывается неподвижная система координат, а со вторым телом — подвижная система координат. Описание поворотов движущегося тела относительно неподвижной системы координат осуществляется с помощью алгоритма, описанного в подгл. 3. Если
наблюдателя поместить в подвижную систему отсчета, то он будет
видеть повороты неподвижного объекта. Такие повороты называются пассивными. Формулу пассивного поворота получим в результате преобразования формулы (1.4.1), умножая левую и правую часть
на q слева и на q справа
,
q r ўq = q q r qq
откуда
r = q r ўq .
По принятому ранее обозначению начального и конечного положений точки, формула пассивного поворота принимает вид
r ў = q r q .
(1.4.5)
Таким образом, наблюдатель, находящийся в подвижной системе
отсчета, видит поворот в направлении противоположном тому, который видит наблюдатель, находящийся в неподвижной системе отсчета.
Пример 1.4.1. Выполнить поворот самолета, заданного геометрической моделью (1.3.4), используя при этом матрицу поворота в кватернионном представлении. Поворот задан кватернионом q = [0.5,0.5,0.5,0.5].
Решение
Соответствующая заданному кватерниону матрица поворота (1.4.4)
в данном случае имеет вид
ж0 0 1ц
з
ч
R = з 1 0 0 ч.
з0 1 0ч
и
ш
35
Глава 1. Основные понятия
При известных параметрических уравнениях поверхности модели
самолета в его начальном положении, с помощью равенства (1.4.2)
находят параметрическое уравнение поверхности самолета после его
поворота
2
ж -ae - v (1 - u ) ц
ж x1ў ц з
ч
l
з ўч з
ч.
ul з x2 ч = з
ч
3
з xў ч з
и 3 ш з v (1 - u ) чч
и
ш
На рис. 10 изображена компьютерная визуализация положения самолета после поворота.
Рис. 10. Компьютерная визуализация положения самолета после поворота,
заданного кватернионом q = [0.5,0.5,0.5,0.5]
Пример 1.4.2. Выполнить поворот модели самолета, заданного геометрической моделью (1.3.4), используя матрицу поворотов в кватернионном представлении (1.4.4). Поворот задан кватернионом
q = [ 0.5, 0.5, 0.5, 0.5].
Решение
Соответствующая заданному кватерниону матрица поворота имеет вид
ж0 1 0ц
з
ч
R = з 0 0 1 ч,
з1 0 0ч
и
ш
36
1.4. Специальная ортогональная группа вращений SO(3)
а уравнение поверхности самолета после его поворота записывается
в виде равенства
ж
ц
v
u
1
(
)
з
ч
ў
ж x1 ц
ч
2
з ўч з
-v
з x2 ч = з -ae (1 - u ) ч .
з xў ч з
ч
l
и 3ш з
ul ч
3
и
ш
На рис. 11 представлена компьютерная визуализация положения
самолета после поворота.
Рис. 11. Компьютерная визуализация положения самолета после поворота,
заданного кватернионом q = [0.5, 0.5, 0.5, 0.5]
Пример 1.4.3. Найти преобразование пассивного поворота при маневре самолета, заданного геометрической моделью (1.3.4), из примера 1.3.1.
Решение
Геометрическая модель неподвижного объекта (сферы) записывается с помощью равенства
r (u, v ) = {a1 + R cos u sin v; a2 + R sin u sin v; a3 + R cos v }
( 0 Ј u Ј 2p;
0 Ј v Ј p),
где a1 , a2 и a3 — координаты центра сферы; R — радиус сферы.
Искомое преобразование согласно формуле (1.4.5) записывается
в виде равенства
37
Глава 1. Основные понятия
1
(1 - e1 ) ( 0 + x1e1 + x2e2 + x3e3 ) (1 + e1 ) =
2
1
= (1 - e1 ) йл0 + x1e1 + x2e2 + x3e3 - ( x1e1 + x2e2 + x3e3 ) e1 + ( x1e1 + x2e2 + x3e3 ) ґ e1 щы =
2
1
= (1 - e1 ) ( - x1 + x1e1 + x2e2 + x3e3 - x2e3 + x3e2 ) =
2
1
= (1 - e1 ) йл - x1 + x1e1 + ( x2 + x3 ) e2 + ( - x2 + x3 ) e3 щы =
2
1
= {- x1 + x1e1 + ( x2 + x3 ) e2 + ( - x2 + x3 ) e3 + x1e1 +
2
+ e1 Ч йл x1e1 + ( x2 + x3 ) e2 + ( - x2 + x3 ) e3 щы
-e1 ґ йл x1e1 + ( x2 + x3 ) e2 + ( - x2 + x3 ) e3 щы } =
r' = qrq =
=
1
йл2 x1e1 + ( x2 + x3 ) e2 + ( - x2 + x3 ) e3 - ( x2 + x3 ) e3 + ( - x2 + x3 ) e2 щы =
2
= x1e1 + x3e2 - x2e3
Положение объекта в подвижных осях самолета определяется в соответствии с равенством
r ў = (a1 + R cos u sin v ) e1 + (a3 + R cos v ) e2 - (a2 + R siv u sin v ) e3.
На рис. 12 изображено относительное положение объекта
до (рис. 12, а) и после (рис. 12, б) маневра самолета (пассивный поворот) при значениях параметров а1 = 40; а2 = 0; а3 = 6; R = 2.
а
б
Рис. 12. Пример пассивного поворота
38
1.4. Специальная ортогональная группа вращений SO(3)
Вопросы для самоконтроля к параграфу 1.4
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Как определяется сложение поворотов?
Как определяется группа вращения?
Какая операция определяет группу вращений?
Что является единичным элементом в группе вращений?
Что называется группой SO(3)?
Как вводится матрица поворота?
Как вводится матрица направляющих косинусов?
Как связаны между собой матрица направляющих косинусов
и матрица поворота?
9. Как определяются неподвижная и подвижная системы координат?
10. Какой поворот называется пассивным?
39
1.5. Параметризация поворотов и вращений
Б
лизкие по смыслу слова «поворот» и «вращение» подразумевают, тем не менее, разное содержание. Поворот твердого тела —
это изменение его ориентации, а вращение — это движение тела, сопровождаемое поворотами.
Исторически первый способ задания поворотов был предложен Леонардом Эйлером в 1748 г. Для задания положения твердого тела, им
были введены в рассмотрение три угла: y — угол прецессии, J — угол
нутации, j — угол собственного вращения (рис. 13).
J
y
j
Рис 13. Пример задания положения твердого тела с одной неподвижной точкой
с помощью углов Эйлера (0 Ј y Ј 2p; 0 Ј J Ј p; 0 Ј j Ј 2p)
Положение твердого тела, в данном случае волчка, и связанной с телом подвижной системы координат OX 1 X 2 X 3 относительно неподвижной системы координатOx1 x2 x3 задается тремя последовательными по
воротами. Первый поворот на угол y вокруг оси Ox3 с ортом i3, второй
поворот на угол J вокруг линии узлов с ортом e ў (линия OK пересечения плоскостей Ox1 x2 и OX 1 X 2), третий поворот вокруг оси OX 3 с ор
том e3 на угол j . Каждый из этих поворотов может быть задан с помощью соответствующего кватерниона:
40
1.5. Параметризация поворотов и вращений
y
y
J
J
j
j
+ i3 sin ; q 2 = cos + e ў sin ; q 3 = cos + e3 sin .
2
2
2
2
2
2
С учетом разложения орта e ў, линии узлов и орта e3 подвижного баq 1 = cos
зиса
e ў = i1 cos y + i2 sin y ; e3 = i1 sin J sin y - i2 sin J cos y + i3 cos J,
находим
J
J
+ (i1 cos y + i2 sin y)sin ;
2
2
j
j
q 3 = cos + (i1 sin J sin y - i2 sin J cos y + i3 cos J)sin .
2
2
q 2 = cos
Кватернион результирующего поворота находится в результате перемножения
j
jц
ж
q = q 3q 2 q 1 = з cos + (i1 sin J sin y - i2 sin J cos y + i3 cos J)sin ч ґ
2
2ш
и
J
J цж
y
yц
ж
ґ з cos + (i1 cos y + i2 sin y)sin ч з cos + i3 sin ч .
2
2 ши
2
2ш
и
Воспользуемся матричной записью перемножения кватернионов.
Сначала находится произведение q2q1:
q
ж
з cos 2
з
з cos y sin q
з
2
q 2q1 = з
з sin y sin q
з
2
з
з
0
и
q
2
q
2
ц
чж
yц
ч з cos ч
2
q
q
ч
cos
0
sin y sin ч з
ч
0
ч
2
2 з
=
чз
0 ч
q
qч
ч
0
cos
- cos y sin з
2
2 чз
yч
ч з sin ч
q
q
q
2ш
чи
- sin y sin
cos y sin
cos
2
2
2
ш
q
y
ц
ж
cos cos
ч
з
2
2
ч
з
з cos y sin q cos y + sin y sin q sin y ч
з
2
2ч
2
2
=з
ч.
q
y
q
y
з sin y sin cos - cos y sin sin ч
з
2
2
2
2ч
ч
з
q
y
ч
з
cos sin
2
2
ш
и
- cos y sin
- sin y sin
0
41
Глава 1. Основные понятия
Затем находится произведение q1q2q3:
q 3q 2 q 1 =
j
ж
cos
з
2
з
з sin q sin y sin j
з
2
=з
з - sin q cos y sin j
з
2
з
j
з
cos q sin
2
и
- sin q sin y sin
cos
j
2
j
2
cos q sin
sin q cos y sin
- cos q sin
j
2
sin q cos y sin
cos
j
2
j
2
j
2
- sin q cos y
j
2
sin q sin y sin
- sin q sin y
j
2
cos
j
2
j
2
ц
ч
ч
jч
sin
2ч
чґ
jч
sin
2ч
ч
ч
ш
- cos q sin
q
y
ц
ж
cos cos
з
ч
2
2
з
ч
з cos y sin q cos y + sin y sin q sin y ч
з
2
2ч=
2
2
ґз
ч
з sin y sin q cos y - cos y sin q sin y ч
з
2
2
2
2ч
з
ч
q
y
з
ч
cos sin
2
2
ш
и
q
y+jц
ж
з cos 2 cos 2 ч
з
ч
з sin q cos y - j ч
з
2
2 ч.
=з
ч
з sin q sin y - j ч
з
2
2 ч
з
q
y+j ч
з cos sin
ч
2
2 ш
и
Таким образом, координаты кватерниона результирующего поворота выражаются через углы Эйлера следующими равенствами:
J
y+j
J
y-j
q0 = cos cos
; q1 = sin cos
;
2
2
2
2
q2 = sin
42
J
y-j
J
y+j
sin
.
; q3 = cos sin
2
2
2
2
(1.5.1)
1.5. Параметризация поворотов и вращений
Процедуру получения соотношений (1.5.1) можно изменить,
если
воспользоваться записью кватерниона поворота через орты e1 , e2 , e3
подвижной системы координат и рассмотреть результирующий
по­
ворот с пассивной точки зрения. Это тот поворот базиса Oi1i2i3 , который видит наблюдатель, находящийся в подвижной системе координат. При этом результирующий поворот складывается
из последовательно совершаемых трех поворотов. Первый поворот
происходит вокруг оси OX 3 на угол j , второй поворот — на угол J вокруг оси OX 1, и третий поворот — вокруг оси OX 3 на угол y .
y
y цж
J
J цж
j
jц
ж
q = з cos + e3 sin ч з cos + e1 sin ч з cos + e3 sin ч =
2
2 ши
2
2 ши
2
2ш
и
J
j
J
j
J
j ц
ж
cos cos + e3 cos sin + e1 sin cos - ч
з
y
y
ж
ц
2
2
2
2
2
2
= з cos + e3 sin ч з
ч=
2
2
J
j
J
j
и
шз
ч
з - sin sin e1 Ч e3 + sin sin e1 ґ e3
ч
2
2
2
2
и
ш
y
y цж
J
j
J
j
J
j
J
jц
ж
= з cos + e3 sin ч з cos cos + e1 sin cos - e2 sin sin + e3 cos sin ч =
2
2 ши
2
2
2
2
2
2
2
2ш
и
y
J
j
yж
J
j
J
j
J
jц
= cos cos cos + cos з e1 sin cos - e2 sin sin + e3 cos sin ч +
2
2
2
2ш
2
2
2
2и
2
2
y ж
J
j
J
j
J
jц
y
J
j
+e3 sin cos cos - e3 sin Ч з e1 sin cos - e2 sin sin + e3 cos sin ч +
2 и
2
2
2
2
2
2ш
2
2
2
y ж
J
j
J
j
J
jц
+e3 sin ґ з e1 sin cos - e2 sin sin + e3 cos sin ч =
2 и
2
2
2
2
2
2ш
J
jц
y
J
j
y
J
j ж
y
J
j
y
= cos cos cos - sin cos sin + e1 з cos sin cos + sin sin sin ч +
2
2ш
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
и
ж
y
J
j
y
J
jц
+e2 з - cos sin sin + sin sin cos ч +
2
2
2
2
2
2ш
и
ж
j
y
J
jц
y
J
+e3 з cos cos sin + sin cos cos ч =
2
2
2
2ш
2
2
и
J
y+j
J
y-j
J
y-j
J
y+j
+ e1 sin cos
+ e2 sin sin
+ e3 cos sin
= cos cos
,
2
2
2
2
2
2
2
2
что снова приводит к соотношениям (1.5.1).
43
Глава 1. Основные понятия
Соотношения (1.5.1) позволяют найти орт оси конечного поворота и угол конечного поворота твердого тела как функции углов Эйлера. Исходя из тригонометрической формы записи кватерниона поворота имеем
a
a
J
y+j
J
y-j
i1 +
q = cos + e sin = cos cos
+ sin cos
2
2
2
2
2
2
J
y-j
J
y+j
i2 + cos sin
i3 ,
+ sin sin
2
2
2
2
откуда находим угол a конечного поворота
J
y+jц
ж
a = 2 arccos з cos cos
2
2 чш
и
и координаты единичного вектора оси поворота
e1 =
e2 =
e3 =
1
J
y+jц
ж
1 - з cos cos
2
2 чш
и
1
2
J
y+jц
ж
1 - з cos cos
2
2 чш
и
1
2
sin
J
y-j
cos
,
2
2
sin
J
y-j
sin
,
2
2
(1.5.2)
(1.5.3)
J
y+j
cos sin
.
2
2
J
y+jц
ж
1 - з cos cos
2
2 чш
и
2
Для задания ориентации летательных аппаратов используются самолетные углы: J — угол тангажа; y — угол курса; g — угол крена. При
этом ось Ox2 опорной системы координат с началом в центре масс летательного аппарата направлена по местной вертикали, а ось Ox1 —
в горизонтальной плоскости по курсу. Угол тангажа J определяет поворот тела вокруг оси Ox3 опорной системы против хода часовой
стрелки, от оси Ox1 к оси Ox2. В результате этого поворота получается
система координатOx1ўx2ў x3. Угол рыскания y задает поворот вокруг оси
Ox2ў от оси Ox3 к оси Ox1ў. Получаем систему координат OX 1 x2ў x3ў . Угол
крена g определяет поворот вокруг оси OX 1 от оси Ox2ў к оси Ox3ў. После
44
1.5. Параметризация поворотов и вращений
последовательного выполнения этих поворотов получается связанная
с самолетом система координат OX 1 X 2 X 3 (рис. 14).
γ
J
y
J
y
γ
Рис. 14. Последовательность поворотов J ® y ® g
Связь самолетных углов с координатами кватерниона результирующего поворота можно найти, рассматривая поворот с пассивной точки зрения. В этом случае кватернион результирующего поворота находится как произведение
J
J цж
y
y цж
g
gц
ж
q = з cos + e3 sin ч з cos + e2 sin ч з cos + e1 sin ч,
2
2 ши
2
2 ши
2
2ш
и
где e1 ,e2 ,e3 — орты связанной с самолетом системы координат.
Выполняя преобразования, находим
J
y
g
J
y
g
q0 = cos cos cos + sin sin sin ;
2
2
2
2
2
2
J
y
g
J
y
g
q1 = cos cos sin - sin sin cos ;
2
2
2
2
2
2
J
y
g
J
y
g
q2 = cos sin cos + sin cos sin ;
2
2
2
2
2
2
J
y
g
J
y
g
q3 = sin cos cos - cos sin sin .
2
2
2
2
2
2
(1.5.4)
45
Глава 1. Основные понятия
Пример 1.5.1. Найти угол и ось конечного поворота, заданного углаp
ми Эйлера y = J = j = .
3
Решение
Подстановка заданных углов в формулы (1.5.2) и (1.5.3) дает
ж 3ц
p
pц
ж
a = 2 arccos з cos cos ч = 2 arccos з
= 2.246 рад.
з 4 чч
6
3ш
и
и
ш
1
p
2
sin cos 0 =
e1 =
;
2
6
13
p
pц
ж
1 - з cos cos ч
6
3ш
и
e2 =
e3 =
p
sin sin 0 = 0;
6
p
pц
ж
1 - з cos cos ч
6
3ш
и
1
2
p
p
3
cos sin =
.
6
3
13
p
pц
ж
1 - з cos cos ч
6
3ш
и
1
2
Пример 1.5.2. Найти, как меняется кватернион поворота при регуp
pt
лярной прецессии волчка (см. рис. 13), если J = ; y = p t ; j = .
4
12
Решение
Функции изменения координат кватерниона поворота находятся
по соотношениям (1.5.1).
5p
p
q0 = cos cos t ;
4
8
3p
p
q1 = sin cos t ;
4
8
46
q2 = sin
3p
p
sin t ;
24
8
q3 = cos
5p
p
sin t .
24
8
1.5. Параметризация поворотов и вращений
Соответствующие графики изменения координат кватерниона представлены на рис. 15.
Рис. 15. Графики изменения координат кватерниона поворота
при регулярной прецессии
Пример 1.5.3. По условиям предыдущей задачи средствами компьютерной графики выполнить моделирование движения волчка.
Решение
Волчок моделируется с помощью поверхностей вращения.
С использованием матрицы поворота (1.4.4) находим положения
волчка в произвольные моменты времени. На рис. 16 изображены положения волчка в моменты времени 1 и 2 с.
а
б
Рис. 16. Кадры анимации регулярной прецессии волчка в моменты времени 1 с (а)
и 2 с (б) [URL: https://www.youtube.com/watch?v=5IBqlVcS_9o]
Пример 1.5.4. Выполнить моделирование фигуры высшего пилотажа «бочка». При выполнении этой фигуры, самолет, практически не меняя курса, совершает вращение вокруг продольной
оси на 360°.
47
Глава 1. Основные понятия
Решение
Воспользуемся геометрической моделью самолета (1.3.4) и зададим
положение модели самолета в опорной системе координат в виде равенства
ж 1
ц
ж2 ц
з - 3l
ч
з 3l ч
з
з ч
2 ч
r (u, v ) = з -a Ч e - v ч (1 - u) + з 0 ч u.
з v
ч
з 0ч
з
ч
з ч
и
ш
и ш
2p
Полагая в уравнениях (1.5.4) J = 0; y = 0; g = t (T — время маневT
ра) и формируя функциональную матрицу (1.4.4) поворота, находим
математическую модель фигуры высшего пилотажа «бочка»
йж 1
ц
ж
- l
к
з
ч
з
жVt ц
кз 3 - v 2 ч
з
з ч
r1 (u, v ) = з 0 ч + R(t ) кз -a e ч (1 - u) + з
кз v
ч
з
з0ч
и ш
кз
ч
з
кли
ш
и
2 ц щ
l
3 ч ъъ
ч
0 ч u ъ.
0ч ъ
ч ъ
ш ъы
Кадры анимация движения для моментов времени 2 с (а), 4 с (б)
и 6 с (в) представлены на рис. 17.
а
б
в
Рис. 17. Кадры анимации фигуры высшего пилотажа «бочка»
Вопросы для самоконтроля к параграфу 1.5
1. Какие углы называются углами Эйлера?
2. Какие углы называются самолетными углами?
48
1.5. Параметризация поворотов и вращений
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Какой угол называется углом прецессии?
Какой угол называется углом нутации?
Какой угол называется углом собственного вращения?
Какой угол называется углом крена?
Какой угол называется углом тангажа?
Какой угол называется углом рысканья?
Как можно найти угол конечного поворота, если заданы углы
Эйлера?
10. Как можно найти положение оси конечного поворота, если заданы углы Эйлера?
49
1.6. Кинематические уравнения
К
инематические уравнения устанавливают связь между угловой
скоростью вращающегося тела и параметрами, определяющими его ориентацию. Для получения уравнений перепишем формулу (1.3.3) активного поворота в виде
t ),
r(t) = q(t )r0 q(
(1.6.1)
где q (t ) — кватернион поворота; r0 — кватернион, определяющий положение некоторой точки тела в начальный момент времени.
Выполняя дифференцирование равенства (1.6.1), находим
q = q + q i + q i + q i .
r = q r0 q + q r0 q;
0
1 1
2 2
3 3
q , это равенство можно переписать также в виде
Поскольку r0 = qr
q q + q qr
q q ;
r = q qr
а с учетом тождеств q q = 1 и q q + q q = 0 получаем
- r q q .
r = q qr
(1.6.2)
Далее, в результате непосредственных вычислений, будет показано, что кватернион q q имеет нулевую скалярную часть. Введем обозначение
1
q q = w, w = 0 + w,
2
тогда из равенства (1.6.2) придем к равенствам
1
( wr - rw), r = w ґ r .
2
Из второго равенства следует, что введенный в рассмотрение век
тор w есть не что иное, как вектор угловой скорости вращающегося
тела, а первое равенство является кватернионной формой записи формулы Эйлера для скорости произвольной точки тела при его сферическом движении.
r =
50
1.6. Кинематические уравнения
Кватернион угловой скорости определяется в соответствии с равенством
w = 2q q .
(1.6.3)
Равенство (1.6.3) может быть записано в следующей координатной
форме:
0 + w1i1 + w2i2 + w3i3 = 2 q0 + q1i1 + q2i2 + q3i3 q0 - q1i1 - q2i2 - q3i3 =
ж q0 q1i1 + q2i2 + q3i2 + q0 q1i1 + q2i2 + q3i3 + ц
з
ч
ч=
= 2 з + q1i1 + q2i2 + q3i3 Ч q1i1 + q2i2 + q3i3 з
ч
зз чч
- q1i1 + q2i2 + q3i3 ґ q1i1 + q2i2 + q3i3
и
ш
й0 + (q0q1 - q0q1 - q2q3 + q3q2 ) i1 + (q0q2 - q0q2 - q3q1 + q1q3 ) i2 + щ
ъ.
= 2к
кл + (q0q3 - q0q3 - q1q2 + q2q1 ) i3
ъы
(
(
(
(
)(
) (
)(
) (
)
)
)
)
При выполнении скалярного умножения воспользовались тождеством
q0q0 + q1q1 + q2q2 + q3q3 = 0 Ю q1q1 + q2q2 + q3q3 = -q0q0 ,
которое находится путем дифференцирования равенства
q02 + q12 + q22 + q22 = 1.
Таким образом, проекции вектора угловой скорости на неподвижные оси определяются в соответствии с равенствами:
w1 = 2 (q1q0 - q0q1 - q2q3 + q3q2 ) ;
w2 = 2 (q2q0 - q0q2 - q3q1 + q1q3 ) ;
(1.6.4)
w3 = 2 (q3q0 - q0q3 - q1q2 + q2q1 ) .
Для получения проекций вектора угловой скорости на подвижные
оси воспользуемся тождествами
i k q Ю ( 0 + W1e1 + W2e2 + W3e3 ) ( 0 + ek ) = 2q i k q ;
wek = 2q q ek Ю w ek = 2q qq
k = 1, 2, 3.
Приравнивая скалярные части кватернионов, стоящих в левых
и правых частях этих равенств, находим
51
Глава 1. Основные понятия
W1 = 2 (q1q0 - q0q1 - q3q2 + q2q3 ) ;
W2 = 2 (q2q0 - q0q2 - q1q3 + q3q1 ) ;
(1.6.5)
W3 = 2 (q3q0 - q0q3 - q2q1 + q1q2 ) .
Координаты вектора угловой скорости в проекциях на подвижные
оси могут быть также получены с помощью матрицы (1.4.3) направляющих косинусов из равенства
ж W1 ц
ж w1 ц
з ч
з ч
з W2 ч = Q з w2 ч.
зw ч
зW ч
и 3ш
и 3ш
Кинематическое уравнение (1.6.3) может быть переписано в иной
форме. Для этого умножим левую и правую части равенства (1.6.3)
на кватернион q , тогда
1
q = wq .
(1.6.6)
2
Переходя в равенстве (1.6.6) к координатной форме записи, получаем
1
1
q = 0 + w1i1 + w2i2 + w3i3 q0 + q1i1 + q2i2 + q3i3 = - (q1w1 + q2 w2 + q3w3 ) +
2
2
1
1
1
+ (q0 w1 + q3w2 - q2 w3 ) i1 + (q0 w2 + q1w3 - q3w1 ) i2 + (q0 w3 + q2 w1 - q1w2 ) i3 .
2
2
2
(
)(
)
Производные от координат кватерниона через проекции вектора
угловой скорости на оси неподвижной системы координат определяются по следующим кинематическим уравнениям:
q0 = -
1
(q1w1 + q2 w2 + q3w3 );
2
1
(q0 w1 + q3w2 - q2 w3 );
2
1
q2 = (q0 w2 + q1w3 - q3w1 ) ;
2
1
q3 = (q0 w3 + q2 w1 - q1w2 ) .
2
q1 =
52
(1.6.7)
1.6. Кинематические уравнения
Для выражения производных от координат кватерниона через проекции вектора угловой скорости на оси подвижной системы выполним тождественные преобразования равенства (1.6.6)
1
1
q = wq Ю q0 + q1i1 + q2i2 + q3i3 = ( 0 + W1e1 + W2e2 + W3e3 ) q Ю
2
2
1
Ю q0 + q1i1 + q2i2 + q3i3 = ( 0 + W1qi1q + W2 qi 2 q + W3qi 3q ) q =
2
1
= ( 0 + W1qi1 + W2 qi 2 + W3qi 3 ) Ю
2
1
1
Ю q0 + q1i1 + q2i2 + q3i3 = ( -W1q1 - W2q2 - W3q3 ) + ( W1q0 - W2q3 + W3q2 ) i1 +
2
2
1
1
+ ( W2q0 - W3q1 + W1q3 ) i2 + ( W3q0 - W1q2 + W2q1 ) i3 .
2
2
Отсюда следуют кинематические уравнения:
q0 = -
1
(q1W1 + q2 W2 + q3W3 );
2
1
(q0 W1 - q3W2 + q2 W3 );
2
1
q2 = (q0 W2 - q1W3 + q3W1 ) ;
2
1
q3 = (q0 W3 - q2 W1 + q1W2 ) .
2
q1 =
(1.6.8)
Пример 1.6.1. Найти, как меняется кватернион поворота при регулярной прецессии волчка (см. рис. 16). Угловые скорости прецессии
и собственного вращения постоянны и соответственно равны wy , wj ,
2
p
а угол нутации изменяется по закону J = (1 - е t ). Выбранный закон
12
изменения угла нутации обеспечивает совпадение подвижных и неподвижных осей в начальный момент движения и быстрый переход к регулярной прецессии.
Функции изменения координат кватерниона поворота находятся
путем интегрирования системы дифференциальных уравнений (1.6.8).
При этом проекции вектора угловой скорости на подвижные оси определяются в соответствии со следующими равенствами:
53
Глава 1. Основные понятия
W1 = wy sin J sin wjt + J cos wjt ;
W2 = wy sin J cos wjt - J cos wjt ;
W3 = wj + wy cos J.
Результаты численного интегрирования при wy = p, wj =
компьютерной алгебры приведены на рис. 18.
p
в пакете
4
Рис. 18. Графики изменения координат кватерниона поворота
при регулярной прецессии
Пример 1.6.2. При условиях предыдущей задачи средствами компьютерной графики выполнить моделирование движения волчка.
Решение
С использованием матрицы поворота находятся положения волчка в произвольные моменты времени. На рис. 19 изображены положения волчка в моменты времени 5 и 6 с.
а
б
Рис. 19. Кадры анимации регулярной прецессии волчка в моменты времени 5 с (а)
и 6 с (б) [URL: https://www.youtube.com/watch?v=rXHLdjxftbg]
54
1.6. Кинематические уравнения
Вопросы для самоконтроля к параграфу 1.6
1. Как записывается кватернион угловой скорости?
2. Как записываются проекции вектора угловой скорости на неподвижные оси через координаты кватерниона и их производные?
3. Как записываются проекции вектора угловой скорости на подвижные оси через координаты кватерниона и их производные?
4. Как записываются производные от координат кватерниона через проекции вектора угловой скорости на неподвижные оси?
5. Как записываются производные от координат кватерниона через проекции вектора угловой скорости на подвижные оси?
55
1.7. Линейная и нелинейная интерполяция кватернионов
И
зложенный в предыдущих разделах метод кватернионного описания вращения твердого тела вокруг неподвижной точки предусматривал, что подвижная (связанная с телом) и неподвижная системы координат в начальный момент времени совпадают. Возможность
начать поворот тела из любого положения и менять положение оси поворота произвольным образом дает метод интерполяции кватернионов.
Отметим, что единичные кватернионы образуют группу Sp(1). Каждому элементу данной группы соответствует некоторая точка на гиперсфере единичного радиуса
q02 + q12 + q22 + q32 = 1.
Группа Sp(1) двулистным образом накрывает группу вращений
SO(3). Кватернионам q и q соответствует одна матрица поворота (1.4.4), то есть один элемент группы SO(3) (один и тот же поворот).
Рассматривая последовательно различные точки гиперсферы и проводя через эти точки интерполяционную кривую, лежащую на гиперсфере, получаем возможность выполнить процедуру интерполяции кватернионов.
В общем случае интерполяция кватернионов на отрезке t О [a,b ] по их
значениям q k в узлах tk сетки D n О{a = t0 < t1 < < tn = b} означает построение функции q (t ) такой, что q(tk ) = q k .
Так называемая сферическая линейная интерполяция кватернионов может быть представлена в двух формах:
t - tk
Slerp(q k , q k +1 ,t ) = q k ( q k q k +1 ) tk +1 -tk , tk Ј t Ј tk +1,
и
ж
t - tk ц
t - tk
sin з1 s in
J
ч Jk ,k +1
tk +1 - tk ш
tk +1 - tk k ,k +1
и
Slerp(q k , q k +1 ,t ) =
qk +
q k +1 ,
sin Jk ,k +1
sin Jk ,k +1
tk Ј t Ј tk +1 ,
56
1.7. Линейная и нелинейная интерполяция кватернионов
где Jk ,k +1 — дуга большого круга, соединяющая точки q k и q k +1 гиперсферы и измеряемая в радианах, Jk ,k +1 = arccos ( q k Ч q k +1 ).
Такой интерполяции соответствует равномерное движение на отрезке времени [tk ,tk +1 ]по соответствующей дуге большого круга гипер­
сферы. Можно изменять закон движения, используя нелинейную интерполяцию Snerp(q k , q k +1 ,t ).
В общем случае построение кратчайшей траектории в конфигурационном пространстве вращений, которым является группа SO(3), осуществим путем набора дуг большого круга на поверхности единичной
гиперсферы, соединяющих точки интерполяционной сетки.
На рис. 20 дана геометрическая интерпретация нелинейной интерполяции двух кватернионов на одном из участков интерполяционной сетки.
Рис. 20. Схема интерполяции двух кватернионов
точками дуги большого круга на единичной гиперсфере
Аналитически интерполяция двух кватернионов записывается
в виде равенства
Snerp(q k , q k +1 ,t ) = ak (t ) q k + bk (t ) q k +1 ,
где ak (t ) и bk (t ) — неизвестные весовые функции.
Для определения весовых функций умножим обе части этого равенства скалярно на q k , а затем на q k +1. Получим следующую систему уравнений:
57
Глава 1. Основные понятия
мak (t ) q k Ч q k + bk (t ) q k +1 Ч q k = q(t ) Ч q k ;
н
оak (t ) q k Ч q k +1 + bk (t ) q k +1 Ч q k +1 = q(t ) Ч q k +1 .
По свойству скалярного умножения кватернионов получаем
пмak (t ) + bk (t )cos Jk ,k +1 = cos f k (t )Jk ,k +1 ;
н
опak (t )cos Jk ,k +1 + bk (t ) = cos (1 - f k (t )) Jk ,k +1 ,
(1.7.1)
где f k (t ) — весовая функция, которая удовлетворяет условию
м0, t = tk ;
f k (t ) = н
о1, t = tk +1 ;
Jk ,k +1 =—
arccos
угловое
между кватернионами q k и q k +1,
( q k Ч q kрасстояние
+1 )
Jk ,k +1 = arccos ( q k Ч q k +1 ).
При линейной интерполяции Slerp(q k , q k +1 ,t ) весовая функция
на каждом интервале интерполирования записывается в виде
f k (t ) =
t - tk
.
tk +1 - tk
В результате решения системы уравнений (1.7.1) находим
ak (t ) =
sin ((1 - f k (t )) Jk ,k +1 )
sin Jk ,k +1
и bk (t ) =
sin ( f k (t ) Jk ,k +1 )
sin Jk ,k +1
.
С учетом найденных весовых коэффициентов, интерполяционная
функция определяется в соответствии с равенством
Snerp(q k , q k +1 ,t ) =
sin ((1 - f k (t )) Jk ,k +1 )
sin Jk ,k +1
qk +
sin ( f k (t ) Jk ,k +1 )
sin Jk ,k +1
q k +1 ,
(1.7.2)
tk Ј t Ј tk +1 .
Интерполяционная функция на сетке D n О{a = t0 < t1 < < tn = b} может быть записана в виде равенства
n
й sin ((1 - f k (t )) Jk ,k +1 )
щ
sin ( f k (t )Jk ,k +1 )
q( t ) = е H k ,k +1 (t ) к
qk +
q k +1 ъ ,
sin Jk ,k +1
sin Jk ,k +1
k =0
кл
ъы (1.7.3)
a Ј t Ј b,
58
1.7. Линейная и нелинейная интерполяция кватернионов
где H k ,k +1 (t ) — функция Хевисайда «ступенька вверх — ступенька вниз»,
мп1, t О [tk ,tk +1 ];
H k ,k +1 (t ) = н
оп0, t П [tk ,tk +1 ].
Пример 1.7.1. Используя интерполяцию Slerp, выполнить моделирование вращения самолета, заданного математической моделью (1.3.3). Движение начинается из положения q1 = [0.5, 0.5, 0.5, 0.5]
и через 4 с заканчивается в положении q 2 = [0.5, - 0.5, - 0.5, - 0.5].
Решение
Интерполяционная функция в данном случае определяется в соответствии с равенством
жж
ц
tц
ц
жt
sin з з1 - ч J1,2 ч
sin з J1,2 ч
4
4
ш
и
ш q , 0 Ј t Ј 4;
и
и
шq +
q( t ) =
1
2
sin J1,2
sin J1,2
J1,2 = arccos ( q 1 Ч q 2 ).
(1.7.4)
Графики изменения координат текущего кватерниона изображены на рис. 21.
Рис. 21. Графики изменения координат кватернионов
при линейной интерполяции йлq1 (t ) = q 2 (t ) = q 3 (t ) щы
По интерполяционной функции (1.7.4) с помощью равенства (1.4.4)
находится функциональная матрица поворота (1.4.4) и закон вращения самолета
59
Глава 1. Основные понятия
l
ж
ц
ul ч
з
ж x1 (u, v,t ) ц
3
ч
з
з
ч
(
,
,
)
)
1
x
u
v
t
t
R(
v
u
=
(
)
ч.
з
2
з
ч
ч
з
з x (u, v,t ) ч
-v2
и 3
ш
з -ae (1 - u ) ч
и
ш
Базовая ориентация самолета, при которой подвижные оси совпадают с неподвижными, а также его начальные и конечные ориентации изображены на рис. 22.
а
б
в
Рис. 22. Базовая ориентация (а) самолета, а также при t = 0 c (б) и 4 с (в)
Пример 1.7.2. Используя интерполяцию Slerp, выполнить моделирование вращения самолета, заданного математической моделью (1.3.3). Из начального положения, когда связанные с самолетом
оси совпадают с осями неподвижной системы координат, самолет поворачивается за 10 с в положение q1 = [0.5, 0.5, 0.5, 0.5], а затем за следующие 5 с в положение q 2 = [0.5, - 0.5, - 0.5, - 0.5].
Решение
Согласно уравнению (1.7.3) интерполяционная функция в данном
случае определяется в соответствии с равенством
й жж
щ
ц
t - tk ц
ж t - tk
ц
sin зз з1 Jk ,k +1 чч
sin
J
к
ъ
ч
з
ч
1
tk +1 - tk k ,k +1 ш
к и и tk +1 - tk ш
ъ
ш
и
q(t ) = е H k ,k +1 (t ) к
qk +
q k +1 ъ ,
sin Jk ,k +1
sin Jk ,k +1
k =0
к
ъ
кл
ъы
0 Ј t Ј 15,
где q 0 = [1, 0, 0, 0 ]; J0,1 = arccos ( q 0 Ч q1 ); J1,2 = arccos ( q1 Ч q 2 );
t0 = 0; t1 = 10; t2 = 15.
60
1.7. Линейная и нелинейная интерполяция кватернионов
Графики изменения координат текущего кватерниона изображены на рис. 23.
Рис. 23. Графики изменения координат кватерниона
при последовательном применении интерполяции Slerp [q1(t) = q2(t) = q3(t)]
Вопросы для самоконтроля к параграфу 1.7
1. Как определяется группа Sp(1)?
2. Как определяется интерполяционная сетка при интерполяции
кватернионов?
3. В чем разница между сферической линейной и сферической
нелинейной интерполяцией кватернионов?
4. Какова область определения функции Хевисайда «ступенька
вверх — ступенька вниз»?
5. Как меняется значение функции Хевисайда «ступенька вверх —
ступенька вниз»?
61
1.8. Нелинейная интерполяция кватернионов
при заданных ограничениях на угловую скорость
Р
ассмотрим возможности нелинейной интерполяции кватернионов. Для этого, воспользовавшись формулой (1.6.3) для кватернионной записи угловой скорости и интерполяционной функцией (1.7.2), найдем угловую скорость на соответствующем интервале
интерполирования
ж - fk (t ) Jk ,k +1 cos ((1 - f k (t )) Jk ,k +1 )
ц
fk (t ) Jk ,k +1 cos ( f k (t ) Jk ,k +1 )
w k (t ) = 2 з
qk +
q k +1 ч ґ
з
ч
sin Jk ,k +1
sin Jk ,k +1
и
ш
ж sin ((1 - f k (t )) Jk ,k +1 )
ц
sin ( f k (t ) Jk ,k +1 )
ґз
q k +
q k +1 ч .
з
ч
sin Jk ,k +1
sin Jk ,k +1
и
ш
Векторная часть кватерниона угловой скорости определяется следующими равенствами
fk (t ) Jk ,k +1
wk (t ) = 2
qk ,0qk +1 - qk +1,0q1 + qk ґ qk +1 ),
(
sin Jk ,k +1
ж (qk +1,1qk ,0 - qk +1,0qk ,1 + qk +1,3qk ,1 - qk +1,2qk ,3 ) i1 + ц
ч
f (t ) Jk ,k +1 з
з + (qk +1,2qk ,0 - qk +1,0qk ,2 + qk +1,1qk ,2 - qk +1,3qk ,1 ) i2 + ч.
wk (t ) = 2 k
sin Jk ,k +1 з
ч
з + (qk +1,3qk ,0 - qk +1,0qk ,3 + qk +1,2qk ,3 - qk +1,1qk ,2 ) i3 ч
и
ш
С учетом определения углового расстояния между кватернионами
получим
arccos ( q k Ч q k +1 )
wk (t ) = 2 fk (t )
(qk ,0qk +1 - qk +1,0q1 + qk ґ qk +1 ). (1.8.1)
2
1 - ( q k Ч q k +1 )
Вектор w(t ) в неподвижном базисе i1 , i2 , i3 записывается в виде равенства
62
1.8. Нелинейная интерполяция кватернионов при заданных ограничениях на угловую скорость
ж (qk +1,1qk ,0 - qk +1,0qk ,1 + qk +1,3qk ,1 - qk +1,2qk ,3 ) i1 + ц
ч
arccos ( q k Ч q k +1 ) з
з + (qk +1,2qk ,0 - qk +1,0qk ,2 + qk +1,1qk ,2 - qk +1,3qk ,1 ) i2 + ч.
wk (t ) = 2 fk (t )
2
ч
1 - ( q k Ч q k +1 ) з
з + (qk +1,3qk ,0 - qk +1,0qk ,3 + qk +1,2qk ,3 - qk +1,1qk ,2 ) i3 ч
и
ш
Равенство (1.8.1) позволяет получить закон изменения угловой скорости и угла поворота на отрезке времени
wk (t ) = 2 fk (t )arccos ( q k Ч q k +1 );
jk (t ) = 2 f k (t )arccos ( q k Ч q k +1 )
и единичный вектор оси поворота
ek =
1
1 - ( q k Ч q k +1 )
2
(q
q
k ,0 k +1
- qk +1,0qk + qk ґ qk +1 ) .
Вектор ek в неподвижном базисе i1 , i2 , i3 записывается в виде равенства
ж (qk +1,1qk ,0 - qk +1,0qk ,1 + qk +1,3qk ,1 - qk +1,2qk ,3 ) i1 + ц
з
ч
1
з + (qk +1,2qk ,0 - qk +1,0qk ,2 + qk +1,1qk ,2 - qk +1,3qk ,1 ) i2 + ч.
ek =
2
ч
1 - ( q k Ч q k +1 ) з
з + (qk +1,3qk ,0 - qk +1,0qk ,3 + qk +1,2qk ,3 - qk +1,1qk ,2 ) i3 ч
и
ш
Согласно теореме Эйлера — Даламбера твердое тело с одной неподвижной точкой можно переместить одним конечным поворотом вокруг фиксированной оси. Метод сферической интерполяции кватернионов позволяет описать конечный (эйлеров) поворот твердого тела
из одного углового положения в другое. При этом точка на единичной
гиперсфере, определяющая положение твердого тела, совершает движение по некоторой дуге большого круга.
В зависимости от вида безразмерных функций f k (t ), эйлеров поворот тела на разных участках интерполирования может осуществляться по разным законам. Рассмотрим несколько частных случаев движения на промежутке времени от 0 до T из углового положения q 1
в угловое положение q 2 . Законы изменения угловой скорости и угла
поворота в этом случае записываются в виде равенства
w(t ) = 2 f (t ) q;
j(t ) = 2 f (t ) q,
(1.8.2)
где q — угол между кватернионами q1 и q 2 , равный половине угла поворота твердого тела, q = arccos ( q1 Ч q 2 ) .
63
Глава 1. Основные понятия
Положение оси вращения определяется по ее единичному направляющему вектору
1
e =
q1,0q2 - q2,0q1 + q1 ґ q2 ) .
(1.8.3)
(
2
1 - ( q1 Ч q 2 )
Рассмотрим возможные законы эйлеровых поворотов.
1. Равномерное вращение.
Как следует из формул (1.8.2), равномерное вращение из углового
положения q 1 в угловое положение q 2 за время T реализуется при следующем виде функции f (t ):
t
f (t ) = ; t О [ 0,T ].
T
Угловая скорость в этом случае принимает значение
2 arccos ( q1 Ч q 2 )
,
T
то есть равна отношению удвоенного угла между кватернионами начального и конечного положения к промежутку времени поворота.
2. Плавный пуск и плавное торможение.
Цикл движения называется плавным, если в начальный и конечный
моменты движения скорость и ускорение тела равны нулю. Закон движения описывается дважды дифференцируемой функцией времени.
Реализация плавного движения в эйлеровом повороте осуществляется,
в частности, при задании функции f (t ) в следующем виде:
w=
5
4
3
жt ц
жt ц
жt ц
f (t ) = 6 з ч - 15 з ч + 10 з ч , t О [ 0,T ].
(1.8.4)
иT ш
иT ш
иT ш
Изменение угловой скорости в этом случае происходит по закону
3
2
ж ж t ц4
жt ц жt ц ц
w (t ) = 60 з з ч - 2 з ч + з ч ч arccos ( q1 Ч q 2 ) , t О [ 0,T ]. (1.8.5)
з иT ш
и T ш и T ш чш
и
Закон изменения углового ускорения
2
ж ж t ц3
жt ц
ж t цц
e (t ) = 60 з 4 з ч - 6 з ч + 2 з ч ч arccos ( q1 Ч q 2 ) , t О [ 0,T ]. (1.8.6)
з иT ш
иT ш
и T ш чш
и
3. Общий случай движения.
Достаточно общий случай движения тела в эйлеровом повороте
можно получить с использованием полиномиального закона изме64
1.8. Нелинейная интерполяция кватернионов при заданных ограничениях на угловую скорость
нения функций f (t ) и j (t ), которые связаны между собой соотношением (1.8.2).В случае, когда рассматривается движение тела из положения q1 в положение q 2 при краевых условиях j(0) = j0 = 0; w(0) = w0 ;
e(0) = e0 ; j(T ) = jT ; w(T ) = wT ; e(T ) = eT , необходимо воспользоваться полиномом пятой степени
5
j (t ) = 2 arccos ( q k Ч q k +1 ) е ak t k .
k =0
С учетом заданных краевых условий находим
a0 = 0; a1 =
w0
e0
; a2 =
,
2 arccos (q1 Ч q 2 )
4 arccos (q1 Ч q 2 )
1
2 arccos (q1 Ч q 2 ) a5T 5 + a4T 4 + a3T 3 = jT - w0T - e0T 2 ;
2
4
3
2
2 arccos (q1 Ч q 2 ) 5a5T + 4a4T + 3a3T = wT - e0T ;
(
2 arccos (q1 Ч q 2
)
(
) (20a T
5
)
3
)
+ 12a4T 2 + 6a3T = eT - e0 ,
откуда
ж T5
T4
ж a5 ц
з
з ч
4
4T 3
з a4 ч = 2 arccos (q1 Ч q 2 ) з 5T
зa ч
з 20T 3 12T 2
и 3ш
и
и
ж 6
з T5
ж a5 ц
з 15
з ч
з a4 ч = 2 arccos (q1 Ч q 2 ) з - T 4
зa ч
з
и 3ш
з 10 3
и T
-3 4
T
7 3
T
4
T2
T3 ц
ч
3T 2 ч
6T чш
-1
1
ж
2ц
з jT - w0T - 2 e0T ч
ч
з
wT - e0T
ч
з
ч
з
eT - e0
ч
з
и
ш
цж j - w T - 1 e T 2 ц
0
0
ч
2T 3 ч з T
2
з
ч
ч
- 1 2 чз
wT - e0T
ч.
T з
ч
ч
eT - e0
1
ч
чз
2T ш и
ш
1
В случае, когда w0 = wT = e0 = eT = 0, приходим к закону плавного пуска и торможения.
Пример 1.8.1. Найти закон изменения угловой скорости и положение оси вращения при эйлеровом повороте из углового положения
q 1 = [1, 0, 0, 0 ] в положение q 2 = [ 0.5, -0.5, -0.5, -0.5].
65
Глава 1. Основные понятия
Решение
Воспользовавшись формулами (1.8.2) и (1.8.3), находим
2p ж
3
3
3ц
3
f (t ) з i1 w(t ) =
i2 i3 ч; e = i1 + i2 + i3 .
з 3
3
3
3 чш
3
и
(
)
Пример 1.8.2. Найти изменение угловой скорости и углового ускорения в режиме плавного пуска и торможения из углового положения
q 1 = [1, 0, 0, 0 ] в угловое положение q 2 = [ 0.5, -0.5, -0.5, -0.5].
Решение
Воспользовавшись формулами (1.8.5) и (1.8.6), находим
3
2
ж ж t ц4
жt ц жt ц ц
w (t ) = 20 p з з ч - 2 з ч + з ч ч, t О [ 0,T ];
з иT ш
и T ш и T ш чш
и
2
ж ж t ц3
жt
жt ц
e (t ) = 20 p з 4 з ч - 6 з ч + 2 з
з иT ш
иT ш
иT
и
цц
ч чч, t О [ 0,T ].
шш
Вопросы для самоконтроля к параграфу 1.8
1. Как формулируется закон изменения угловой скорости на отдельном участке интерполяционной сетки?
2. Как формулируется закон изменения угла поворота на отдельном участке интерполяционной сетки?
3. Как найти положение оси поворота на отдельном участке интерполяционной сетки?
4. Запишите угловую скорость при равномерном вращении, если
заданы начальное и конечное угловые положения кватернионами q1 и q 2 .
5. Запишите закон изменения угловой скорости в режиме плавного пуска и торможения, если заданы начальное и конечное угловые положения кватернионами q1 и q 2 .
6. Запишите закон изменения углового ускорения в режиме плавного пуска и торможения, если заданы начальное и конечное угловые положения кватернионами q1 и q 2 .
7. Запишите закон изменения угла поворота при движении тела
из положения q1 в положение q 2 при произвольных краевых условиях.
66
Глава 2.
Приложение алгебры
кватернионов
к некоторым задачам
механики
2.1. Визуализация полета самолета по спирали
О
дним из самых распространенных приложений алгебры кватернионов является ее использование при решении задач компьютерной графики. Проиллюстрируем это на примере решения элементарной задачи, связанной с визуализацией полета самолета
по спирали. Для моделирования полета самолета (см. рис. 5), заданного математической моделью (1.3.3), по спирали в качестве подвижной (связанной с самолетом) системы координат выберем естественные оси t, n, b спиральной траектории движения его центра масс, где
ось t направлена по оси симметрии самолета, а ось n — к его левому
крылу. При этом проекции угловой скорости самолета на подвижные
оси определяются равенствами
W t = V k2 ; Wn = 0; Wb = V k1 ,
(2.1.1)
где V — скорость центра масс самолета; k2 — кручение траектории; k1 —
ее кривизна.
Траекторию движения центра масс самолета зададим в виде уравнения
ж R cos wt ц
з
ч
rC (t ) = з R sin wt ч,
з kt ч
и
ш
где R, w, k — параметры спирали.
Кривизна и кручение спиральной траектории постоянны. Они определяются в соответствии со следующими равенствами:
R
k
k2 = 2
.
2;
R +k
R + k2
Записывая кинематические уравнения (1.6.8) и выполняя их численное интегрирование при начальных условиях q = [1, 0, 0, 0], формируем с помощью равенства (1.4.4) функциональную матрицу вращения. Далее, используя математическую модель самолета (1.3.3),
находим уравнение, описывающее его устойчивое движение по спиральной траектории,
k1 =
2
69
Глава 2. Приложение алгебры кватернионов к некоторым задачам механики
ж v (1 - u ) ц
0
0 цз
ч
ж1
l
з
чз
ч 0 Ј u Ј 1, - 8 Ј v Ј 8
r (t ) = rC (t ) + R (t ) з 0 cos J - sin J ч з
ul ,
ч,
3
з 0 sin J cos J ч з
ч
и
шз
-v2
ч
и -ae (1 - u ) ш
где J — угол тангажа самолета в его начальном положении,
Rw
cos J =
.
2
2
k + ( R w)
Координаты кватерниона, входящие в матрицу R (t ), можно найти
путем интегрирования дифференциальных уравнений (1.6.8) после
подстановки в них проекций вектора угловой скорости самолета
по формулам (2.1.1).
Графики изменения координат кватерниона при рассмотренном
полете самолета по спирали представлены на рис. 24.
Рис. 24. Графики изменения координат кватерниона
при полете самолета по спирали
На рис. 25 представлен фрагмент анимации полета по спирали.
Рис. 25. Фрагмент анимации полета по спирали (w = 0.25; k = 0.75; R = 20)
70
2.1. Визуализация полета самолета по спирали
Анимация полета по спирали [https://www.youtube.com/
watch?v=39KTU3DL1wg] реализована в пакете компьютерной алгебры.
Варианты задания к расчетной работе
Найти проекции скорости самолета на неподвижные оси при следующих значениях кривизны и кручения его спиральной траектории.
Варианты
1
2
3
4
5
Скорость, м/с
5
5
5
5
5
Кривизна k1, 1/м
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
Кручение k2, 1/м
0,001
0,001
0,001
0,002
0,002
71
2.2. Плавное сферическое движение по кратчайшей
траектории через узлы решетки на группе SO(3)
И
звестно, что задача о равномерном распределении точек на двумерной сфере в трехмерном пространстве может быть решена
с использованием правильных многогранников (тел Платона) (рис. 26).
Рис. 26. Тела Платона (слева направо: тетраэдр, октаэдр, гексаэдр, додекаэдр,
икосаэдр)
Существование равномерного распределения конечного числа точек на трехмерной гиперсфере в четырехмерном евклидовом пространстве доказывается существованием пяти центросимметричных правильных четырехмерных многогранников, вписанных в трехмерную
гиперсферу единичного радиуса. Этими многогранниками являются
(в скобках указано число вершин): тессеракт (16), шестнадцатиячейник (8), двадцатичетырехъячейник (24), стодвадцатиячейник (600),
шестисотячейник (120).
Таким образом, c учетом взаимно-однозначного отображения
группы Sp(1) на единичную гиперсферу и двулистного накрытия ею
группы SO(3), открывается путь к моделированию дискретного набора ориентаций твердого тела, равномерно заполняющих ориентационное пространство. При этом необходимо выполнить процедуру
отбрасывания половины вершин по условию тождественности кватернионов q и –q.
В качестве примера дискретного заполнения ориентационного пространства выберем ориентации, соответствующие вершинам двадцатичетырехъячейника с координатами [ ±1, 0, 0, 0 ], [0, ±1, 0, 0 ], [0, 0, ±1, 0 ],
1 1 1 1
[0, 0, 0,±1], йк ± 2 , ± 2 , ± 2 , ± 2 ъщ. После отбрасывания зеркально симметричл
ы
72
2.2. Плавное сферическое движение по кратчайшей траектории через узлы решетки на группе SO(3)
ных вершин остаются двенадцать вершин и находятся соответствующие единичные кватернионы:
1 — q1 = [1, 0, 0, 0 ], 2 — q 2 = [0,1, 0, 0 ], 3 — q 3 = [0, 0,1, 0 ], 4 — q 4 = [0, 0, 0,1],
5 — q 5 = [0.5, 0.5, 0.5, 0.5], 6 — q 6 = [0.5, -0.5, 0.5, 0.5],
7 — q 7 = [0.5, 0.5, -0.5, 0.5], 8 — q 8 = [0.5, 0.5, 0.5, -0.5],
9 — q 9 = [0.5, -0.5, -0.5, 0.5], 10 — q10 = [0.5, 0.5, -0.5, -0.5],
11 — q11 = [0.5, -0.5, 0.5, -0.5], 12 — q12 = [0.5, -0.5, -0.5, -0.5].
Для упорядочения ориентаций, задаваемых этими кватернионами,
определим угловые расстояния, приведенные в таблице ниже, задаваемые следующим равенством
Jk ,k +1 = arccos ( q k Ч q k +1 ),
где q k Ч q k +1 — скалярное произведение кватернионов.
Угловые расстояния Jk ,k +1 между дискретными ориентациями
q1
q2
q3
q4
q5
q6
q7
q8
q9
q10
q11
q12
q1
0
π/2
π/2
π/2
π/3
π/3
π/3
π/3
π/3
π/3
π/3
π/3
q2
q3
0
π/2
π/2
π/3
2π/3
π/3
π/3
2π/3
π/3
2π/3
2π/3
0
π/2
π/3
π/3
2π/3
π/3
2π/3
2π/3
π/3
2π/3
q4
q5
q6
q7
q8
0
π/3
0
π/3 π/3
0
π/3 π/3 π/2
0
2π/3 π/3 π/2 π/2
0
π/3 π/2 π/3 π/3 2π/3
2π/3 π/2 2π/3 π/3 π/3
2π/3 π/2 π/3 2π/3 π/3
2π/3 2π/3 π/2 π/2 π/2
q9
q10
q10
q12
0
π/2
π/2
π/3
0
π/2
π/3
0
π/3
0
Из 39 916 800 маршрутов, которые проходят через двенадцать выбранных вершин двадцатичетырехъячейника, можно отобрать двенадцать кратчайших. В дальнейшем используется маршрут
1 ® 12 ® 11 ® 3 ® 8 ® 10 ® 2 ® 7 ® 9 ® 6 ® 5 ® 4 .
Как видно из приведенной выше таблицы, угловое расстояние между вершинами и соответствующими кватернионами в этом случае одинаковое и равно π/3.
73
Глава 2. Приложение алгебры кватернионов к некоторым задачам механики
Построение кратчайшей траектории в пространстве ориентаций
осуществим при помощи набора дуг большого круга на поверхности
единичной гиперсферы, соединяющих выбранные вершины. Для построения закона плавного движения по соответствующей траектории
используем гладкую нелинейную интерполяцию кватернионов (1.7.2).
Воспользуемся при этом весовой функцией (1.8.4).
Для удобства аналитического представления закона плавного движения твердого тела в ориентационном пространстве по кратчайшей
траектории перенумеруем вершины двадцатичетырехъячейника и соответствующие им кватернионы по правилу
1 « 0, 12 « 1, 11 « 2, 3 « 3, 8 « 4, 10 « 5,
2 « 6, 7 « 7, 9 « 8, 6 « 9, 5 « 10, 4 « 11,
тогда на отрезке t О [0,T ] по значениям кватернионов q k = q k (tk ) в уз-
лах tk сетки D11 О{t0 = 0 < t1 < < t11 = T } согласно формуле (1.7.3) строится следующая интерполирующая функция q (t ):
q (t ) =
1
11
еH
3
k =0
k ,k +1
м
йp
щ
йp
щь
(t ) Ч нq k sin к (1 - f k (t ) ) ъ + q k +1 sin к f k (t ) ъ э,
л3
ы
л3
ыю
о
5
4
3
ж t - tk ц
ж t - tk ц
ж t - tk ц
f k (t ) = 6 з
ч - 15 з
ч + 10 з
ч .
и tk +1 - tk ш
и tk +1 - tk ш
и tk +1 - tk ш
Закон плавного перемещения точек твердого тела в пространстве
ориентаций по кратчайшей траектории, проходящей через точки пространства, равномерно его заполняющие, записывается в виде преобразования
r = R(t ) r0,
где R (t ) — функциональная матрица поворота (1.4.4); r0 — радиус-вектор некоторой фиксированной точки твердого тела в начальный момент движения.
Предложенный алгоритм нахождения закона плавного движения
по кратчайшей траектории иллюстрируется с помощью 3D анимации,
выполненной с использованием пакета компьютерной алгебры [URL:
https://www.youtube.com/watch?v=_k00jJIBqWY].
Плавное движение тела при обходе вершин двадцатичетырехъячейника до их упорядочения проиллюстрировано анимацией [URL:
https://www.youtube.com/watch?v=KwqQVov83jk].
74
2.2. Плавное сферическое движение по кратчайшей траектории через узлы решетки на группе SO(3)
На рис. 27 представлены последовательно дискретные ориентации
твердого тела, соответствующие значениям кватернионов q k = q k (tk )
в узлах tk сетки D11 О{t0 = 0 < t1 < < t11 = T }.
Рис. 27. Кадры двенадцати ориентаций твердого тела, равномерно заполняющих
ориентационное пространство, из анимации плавного движения
Изменение положения осей подвижной системы координат иллюстрируется с помощью движения точек на единичной двумерной сфере S 2, координаты которых заданы тройками направляющих косинусов (Q11 ,Q12 ,Q13 ), (Q21 ,Q22 ,Q23 ) , (Q31 ,Q32 ,Q33 ) . При этом матрица
направляющих косинусов в кватернионном представлении имеет вид:
75
Глава 2. Приложение алгебры кватернионов к некоторым задачам механики
Q (t ) = RT (t ) =
ж
1 - 2q 22 (t ) - 2q 32 (t )
2 q 1 (t ) q 2 (t ) + 2 q 0 ( t ) q 3 ( t ) 2 q 1 ( t ) q 3 ( t ) - 2 q 0 ( t ) q 2 ( t ) ц
з
ч
1 - 2q 32 (t ) - 2q12 (t )
= з 2q 1 (t ) q 2 (t ) - 2q 0 ( t ) q 3 ( t )
2q 2 ( t ) q 3 ( t ) + 2q 0 ( t ) q 1 ( t ) ч .
з 2q ( t ) q ( t ) + 2q ( t ) q ( t ) 2q ( t ) q ( t ) - 2q ( t ) q ( t )
ч
1 - 2q 12 (t ) - 2q 22 (t )
3
0
2
2
3
0
1
и 1
ш
На рис. 28 показаны следы, оставляемые точками пересечения осей
подвижной системы координат со сферой S 2, при движении твердого
тела по кратчайшей траектории.
а
б
в
г
Рис. 28. Следы осей (а) OX 1 (красный) (б), OX 2 (зеленый) (в),
OX 3 (синий) (г) на единичной сфере
Перемещение твердого тела по кратчайшему маршруту в ориентационном пространстве осуществляется как результат последовательных поворотов на угол 2π/3 вокруг осей, равно наклоненных к осям
глобальной системы координат.
76
2.2. Плавное сферическое движение по кратчайшей траектории через узлы решетки на группе SO(3)
Варианты задания к расчетной работе
Определить суммарный угол поворота твердого тела и сравнить его
с полученным в движении по кратчайшей траектории, если движение
происходит по заданному маршруту.
Вариант
Маршрут
1
[q1 ] ® [q3 ] ® [q2 ] ® [q8 ]
2
[q1 ] ® [q2 ] ® [q3 ] ® [q8 ]
3
[q1 ] ® [q4 ] ® [q5 ] ® [q8 ]
4
[q1 ] ® [q5 ] ® [q4 ] ® [q8 ]
5
[q1 ] ® [q5 ] ® [q2 ] ® [q8 ]
77
2.3. Оптимальная стабилизация космического аппарата (КА)
П
овышенные технические требования, предъявляемые при разработке системы ориентации и управления движением КА в целях повышения их надежности и точности, привели к созданию новых научно-технических подходов и построению системы ориентации
и управления движением на базе бесплатформенной инерционной навигационной системы (БИНС). Эти системы хорошо уже апробированы и показали свою перспективность при создании в РКК «Энергии»
транспортных пилотируемых кораблей «Союз-Т/ТМ», грузовых кораблей «Прогресс-М/М1», станции «Мир» и спутников связи «Ямал».
БИНС не имеет подвижных частей, абсолютно бесшумна, механически сравнительно прочна, не требует специального обслуживания,
имеет хорошие показатели наработки на отказ (до 80 тыс. ч у некоторых моделей) и малое энергопотребление (десятки ватт).
БИНС позволяет разделить управление на два контура: кинематический — построение требуемых опорных базисов и динамический,
описывающий процесс стабилизации в выбранном опорном базисе.
В частности, при определении ориентации КА относительно инерциальной системы координат используется широкоугольный звездный
датчик для приема изображения звездного неба и его компьютерной
обработки. За счет достаточно широкого поля зрения (8°) прибор может визировать более 3‑х звезд и тем самым определять три угловые
координаты.
Динамический контур управления имеет дело с управляющими моментами, воздействующими на КА и вызывающими изменения его
угловой скорости вращения. Управляющие моменты создаются либо
за счет внешних (реактивных) сил, либо за счет инерционных маховиков. Основными исполнительными органами ориентации являются
инерционные маховики. При этом возможны различные способы их
ориентации относительно строительных осей КА. Наиболее распространенными случаями расположения инерционных маховиков является использование четырех или шести маховиков. При использовании четырех маховиков, три устанавливаются по строительным осям
КА, а четвертый (резервный) — по биссектрисе. Возможны и другие
схемы их установки.
78
2.3. Оптимальная стабилизация космического аппарата (КА)
При отсутствии внешних моментов, дифференциальные уравнения движения КА находят с помощью закона сохранения кинетического момента
dK C
= 0, K C = const .
dt
В дальнейшем принимается следующая схема расположения четырех двигателей-маховиков: три по осям КА, четвертый по биссектрисе (рис. 29).
Рис. 29. Схема расположения двигателей-маховиков в КА
В этом случае проекции вектора кинетического момента на главные
центральные оси инерции записываются в виде следующих равенств:
K 1 (t ) = A p(t ) + H 1 (t ) +
K 2 (t ) = B q(t ) + H 2 (t ) +
K 3 (t ) =C
C r (t ) + H 3 (t ) +
1
3
1
3
1
3
H 4 (t );
H 4 (t );
H 4 (t ),
где A, B , C — моменты инерции КА; p(t ), q(t ), r (t ) — проекции вектора угловой скорости КА на главные оси; H i — кинетические моменты
маховиков, H i = I i wi .
79
Глава 2. Приложение алгебры кватернионов к некоторым задачам механики
Из закона сохранения кинетического момента
м
п A p(t ) + I 1w1 (t ) +
п
п
нB q(t ) + I 2 w2 (t ) +
п
п
пC r (t ) + I 3w3 (t ) +
о
1
3
1
3
1
3
I 4 w4 (t ) = A p0 ;
I 4 w4 (t ) = B q0
Ю
I 4 w4 (t ) = C r0 ;
м
1ж
1
ц
I 4 w4 (t ) ч;
п p(t ) = p0 - з I 1w1 (t ) +
Aи
3
ш
п
пп
1ж
1
ц
I 4 w4 (t ) ч;
нq(t ) = q0 - з I 2 w2 (t ) +
Bи
3
ш
п
п
1ж
1
ц
пr (t ) = r0 - з I 3w3 (t ) +
I 4 w4 (t ) ч,
Cи
3
по
ш
(2.3.1)
где p0 , q0 , r0 — угловые скорости КА в начале корректирующего маневра; wi (0) =—0угловые скорости маховиков в начальном положении
КА, wi (0) = 0 (i = 1, , 4 ).
Путем изменения угловых скоростей маховиков обеспечивается
управление ориентацией КА.
Положение КА определяется функцией единичного кватерниона
q (t ), которая находится путем сферической нелинейной интерполяции кватернионов,
(
)
й sin J (1 - f (t ) ) щ
й sin ( J f (t ) ) щ
ъ q1 + к
q (t ) = к
ъ q 2, 0 Ј t Ј T ,
sin J
sin
J
к
ъ
ъы
к
л
л
ы
5
4
3
жt ц
жt ц
жt ц
где J = arccos ( q1 Ч q 2 ); f (t ) = 6 з ч - 15 з ч + 10 з ч ; q1 = [1, 0, 0, 0 ]; q 2 —
иT ш
иT ш
иT ш
кватернион, определяемый положением КА в конце корректирующего маневра; Т — время маневра.
Указанный выбор весовой функции f (t ) позволяет моделировать
корректирующее движение КА, обеспечивая плавное движение
по кратчайшей траектории в конфигурационном пространстве на группе вращений SO(3), совпадающей с дугой большого круга единичной
гиперсферы S3.
80
2.3. Оптимальная стабилизация космического аппарата (КА)
Для получения уравнения движения находится функциональная
матрица поворота (1.4.4)
ж 1 - 2q22 (t ) - 2q32 (t )
2 (q1 (t )q2 (t ) - q0 (t )q3 (t )) 2 (q0 (t )q2 (t ) + q1 (t )q3 (t )) ц
з
ч
R(t ) = з 2 (q0 (t )q3 (t ) + q1 (t )q2 (t ))
1 - 2q12 (t ) - 2q32 (t )
2 (q2 (t )q3 (t ) - q0 (t )q1 (t )) ч
з 2 (q (t )q (t ) - q (t )q (t )) 2 (q (t )q (t ) + q (t )q (t ))
1 - 2q12 (t ) - 2q22 (t ) чш
2
3
1
3
0
2
0
1
и
и движение каждой точки вращающегося КА в неподвижных осях задается с помощью следующего матричного алгоритма:
r (t ) = R(t ) r (t0 ).
Оптимальное движение КА осуществляется за счет возникновения
управляющих моментов от работающих двигателей-маховиков. По кинематическим соотношениям (1.6.5)
p(t ) = 2 (q1 (t )q0 (t ) - q0 (t )q1 (t ) - q3 (t )q2 (t ) + q2 (t )q3 (t )) ;
q(t ) = 2 (q2 (t )q0 (t ) - q0 (t )q2 (t ) - q1 (t )q3 (t ) + q3 (t )q1 (t )) ;
(2.3.2)
r (t ) = 2 (q3 (t )q0 (t ) - q0 (t )q3 (t ) - q2 (t )q1 (t ) + q1 (t )q2 (t ))
и уравнениям (2.3.1) можно найти требуемые законы изменения угловых скоростей p(t ),q(t ) и r (t ).
Процедура оптимального управления зависит от того, какие двигатели-маховики обеспечивают требуемый маневр.
При неработающем резервном двигателе-маховике, с использованием кинематических уравнений (2.3.2) и условия w4 (t ) є 0 из уравнений (2.3.1) находим
w1 (t ) = -
A
B
C
p(t ); w2 (t ) = - q(t ); w3 (t ) = - r (t ).
I1
I2
I3
При значениях параметров
A = 10; B = 20; C = 30; I 1 = I 2 = I 3 = 1; T = 20
и q 2 = [0.5, -0.5, -0.5, -0.5],
соответствующие графики изменений координат кватерниона положения КА, его угловых скоростей и угловых скоростей маховиков представлены на рис. 30–32.
81
Глава 2. Приложение алгебры кватернионов к некоторым задачам механики
Рис. 30. Графики изменения координат кватерниона положения КА
(q1 (t ) є q2 (t ) є q3 (t ))
Рис. 31. Графики изменения угловых скоростей КА ( p(t ) є q(t ) є r (t ))
Рис. 32. Графики изменения угловых скоростей маховиков
При отказе первого двигателя-маховика и замене его резервным,
из уравнений (2.3.2) находим
w4 (t ) =
82
AЧ 3
p(t );
I4
2.3. Оптимальная стабилизация космического аппарата (КА)
w2 (t ) = -
B
1 I4
q(t ) +
w4 (t );
I2
3 I2
w3 (t ) = -
C
1 I4
p(t ) +
w4 (t ).
I3
3 I3
При тех же значениях параметров и дополнительном условии I 4 = 1,
законы изменения координат кватерниона положения и угловых скоростей сохраняются. Графики изменения угловых скоростей маховиков представлены на рис. 33.
Рис. 33. Графики изменения угловых скоростей маховиков
Результаты моделирования верифицированы путем создания анимации корректирующего движения КА при оптимальном управлении тремя основными двигателями-маховиками [URL:
https://www.youtube.com/watch?v=uCgJuyOO5Lo] и при оптимальном
управлении с использованием резервного двигателя-маховика [URL:
https://www.youtube.com/watch?v=ugNsZfojclI].
Варианты задания к расчетной работе
Найти законы изменения угловых скоростей основных двигателеймаховиков для реализации разворота объекта управления из углового
положения q1 в угловое положение q 2 .
Вариант
1
2
3
4
5
А, кг·м 2
10
10
10
10
10
В, кг·м 2
25
25
25
25
25
С, кг·м 2
30
30
30
30
30
I1, кг·м 2
1
2
3
1
3
I2, кг·м 2
2
1
1
3
2
I3, кг·м 2
3
3
2
2
1
Т, с
5
10
15
20
25
83
Глава 2. Приложение алгебры кватернионов к некоторым задачам механики
84
Вариант
q1
1
[1,0,0,0]
[0.5, 0.5, 0.5, 0.5]
q2
2
[1,0,0,0]
3
[1,0,0,0]
4
[1,0,0,0]
5
[1,0,0,0]
[ -0.5, 0.5, 0.5, 0.5]
[0.5, -0.5, 0.5, 0.5]
[0.5, 0.5, -0.5, 0.5]
[0.5, 0.5, 0.5, -0.5]
2.4. Эффект Джанибекова
Д
раматическая история о потере связи с советской орбитальной
станцией «Союз‑7» и об экспедиции по ее спасению послужила сюжетом для блокбастера с одноименным названием, вышедшего
на экраны осенью 2017 г. Прототипами героев, спасших орбитальную станцию летом 1985 г., были советские космонавты — командир
корабля Владимир Александрович Джанибеков и бортинженер Виктор Петрович Савиных. В рассказе о подвиге, совершенном в экстремальных условиях, к сожалению, не нашлось места для описания удивительного открытия, сделанного В. Джанибековым. Он увидел, что
гайка-барашек, скрученная в невесомости с длинной шпильки, пролетает немного и разворачивается на 180°, потом, еще пролетев, опять
разворачивается [https://www.youtube.com/watch?v=agEn8M5SM_o].
В рамках классической механики это объясняется тем, что вращение
вокруг оси со средним значением осевого момента инерции является
неустойчивым. В общем случае, согласно динамическим уравнениям
Эйлера, свободное вращение твердого тела описывается с помощью
системы дифференциальных уравнений
I x p - ( I y - I z ) q r = 0;
I y q - ( I z - I x ) r p = 0;
(2.4.1)
I z r - ( I x - I y ) pq = 0,
где I x , I y , I z — моменты инерции относительно главных осей; p, q, r —
проекции вектора угловой скорости на главные оси.
Используя кинематические уравнения (1.6.8)
q0 = -
1
(q1 p + q2q + q3r );
2
1
(q0 p - q3q + q2r );
2
1
q2 = (q0q - q1r + q3 p ) ;
2
1
q3 = (q0 r - q2 p + q1q ) ,
2
q1 =
85
1
(q1 p + q2q + q3r );
2
Приложение алгебры кватернионов к некоторым задачам механики
1
q1 = (q0 p - q3q + q2r ) ;
2
1
q2 = (q0q - q1r + q3 p ) ;
2
1
q3 = (q0 r - q2 p + q1q ) ,
2
q0 = -
Глава 2.
(2.4.2)
получаем динамическую математическую модель, состоящую из семи
дифференциальных уравнений (2.4.1) и (2.4.2), которая описывает свободное вращение твердого тела. Результаты численного интегрирования данных уравнений в пакете компьютерной алгебры приведены
на рис. 34. При этом были выбраны следующие начальные условия:
q0 (0) = 1; q1 (0) = 0; q2 (0) = 0; q3 (0) = 0;
p(0) = 1 рад/с; q(0) = 1 Ч10 -3 раад/с; r (0) = 0.
Осевые моменты инерции гайки
I x = 7 Ч10 -7 кг Ч м 2 ; I y = 2 Ч10 -7 кг Ч м 2 ; I z = 8 Ч10 -7 кг Ч м 2.
а
б
Рис. 34. Графики изменения:
а — координаты кватерниона, задающего повороты твердого тела; б — проекции вектора
угловой скорости твердого тела на главные оси, соответственно розовая, синяя и зеленая
линии
86
2.4. Эффект Джанибекова
Найденное решение позволяет получить функциональную матрицу
поворота (1.4.4) и выполнить анимацию свободного вращения твердого
тела. На рис. 35 приведены кадры анимации «кувырка» гайки-барашка.
а
б
в
г
Рис. 35. Кадры анимации «кувырка», демонстрирующего эффект Джанибекова
в моменты времени: (а) t1 = 0 с; (б) t2 = 5 с; (в) t3 = 15 с; (г) t4 = 20 с
[URL: https://youtu.be/_Qd6JLkfTGs]
Классическая механика описывает это движение как неустойчивое
возмущенное движение. Начальным возмущением в нашем примере
является наличие очень малой составляющей начальной угловой скорости q(0) = 1 Ч10 -3 рад/с.
Интерес представляет рассмотрение критического случая в задаче интегрирования дифференциальных уравнений Эйлера, когда
m 2 = 2hI y (m — кинетический момент тела относительно центра масс;
h — его кинетическая энергия; I y — промежуточный момент инерции). Решение в таком случае находится аналитически в терминах
гиперболических функций. Несмотря на многовековую историю данной задачи, российскому ученому С. Ф. Адлай в 2017 г. удалось обнаружить новое удивительное свойство этого решения. Оказывает87
Глава 2. Приложение алгебры кватернионов к некоторым задачам механики
ся, существует фиксированная в твердом теле ось (ось Галуа),
располагающаяся ортогонально оси с промежуточным моментом
инерции, которая при движении твердого тела вращается равномерно независимо от того, свершает ли тело «кувырок» или вращается
перманентно. [URL: https://www.youtube.com/watch?v=e9wGPh-iiRw]
[URL: http://cyclowiki.org/wiki/Ось_Галуа ].
Варианты задания к расчетной работе
Оценить время кувырка гайки Джанибекова при следующих значениях ее начальной угловой скорости. Осевые моменты инерции гайки:
I x = 7 Ч10 -7 кг Ч м 2 , I y = 2 Ч10 -7 кг Ч м 2 , I z = 8 Ч10 -7 кг Ч м 2.
Вариант
1
2
3
4
5
88
р(0), рад/с
2
3
4
5
6
q(0), рад/с
1·10–3
1·10–3
1·10–3
1·10–3
1·10–3
r(0)
0
0
0
0
0
2.5. Математическая модель движения шара Чаплыгина
Р
ассмотрим систему, состоящую из шара с тремя установленными
в нем двигателями-маховиками и балансирами (рис. 36), который
катится по плоскости без проскальзывания. При этом будем полагать,
что конструкция системы удовлетворяет следующим ограничениям:
1) центр масс всей системы шар – маховики – балансиры находится в геометрическом центре шара;
2) все маховики осесимметричны и оси вращения совпадают с их
осями симметрии, то есть их вращение не меняет распределение масс
системы;
3) оси вращения роторов ортогональны и совпадают с главными
осями инерции системы, а их угловые скорости являются функциями
времени w k (t ), k = 1, 2, 3.
Рис. 36. Шар Чаплыгина на неподвижной плоскости Ox1 x2 x3
с тремя двигателями-маховиками и балансирами
Пусть матрица тензора инерции системы шар – маховики – балансиры в главных осях I = diag ( I 1 , I 2 , I 3 ), моменты инерции махо89
Глава 2. Приложение алгебры кватернионов к некоторым задачам механики
виков ik (k = 1, 2, 3), радиус шара равен a . Требуется найти программное управление, задаваемое функциями w k (t ), (k = 1, 2, 3), при котором
точка контакта P движется по кусочно-гладкой траектории согласно закону
xk = xk (t ), k = 1, 2, 0 Ј t Ј T .
(2.5.1)
Кинематика движения шара полностью определяется уравнениями (2.5.1) и уравнением неголономной связи
vC + a w ґ i3 = 0 .
(2.5.2)
Из уравнений (2.5.1) и (2.5.2) следует, что при качении шара, проекции вектора его абсолютной угловой скорости на неподвижные оси
определяются по равенствам
w1 =
x2
;
a
w2 = -
x1
;
a
w3 = 0.
(2.5.3)
Воспользуемся кватернионной записью кинематических уравнений в виде линейных дифференциальных уравнений для определения
координат кватерниона положения q = [q0 , q1 , q2 , q3 ] через проекции
вектора угловой скорости на оси неподвижной системы координат
q0 = -
1
(q1w1 + q2 w2 + q3w3 );
2
1
(q0 w1 + q3w2 - q2 w3 );
2
1
q2 = (q0 w2 + q1w3 - q3w1 ) ;
2
1
q3 = (q0 w3 + q2 w1 - q1w2 )
2
q1 =
(2.5.4)
c начальным условием q t = 0 = [1, 0, 0, 0 ].
С учетом соотношений (2.5.3) дифференциальные уравнения (2.5.4)
могут быть переписаны в виде
90
2.5. Математическая модель движения шара Чаплыгина
1
(q1 x2 - q2 x1 );
2a
1
q1 =
(q0 x2 - q3 x1 );
2a
1
q2 = (q0 x1 + q3 x2 );
2a
q0 = -
q3 =
(2.5.5)
1
(q2 x2 + q1 x1 )
2a
c начальным условием q t = 0 = [1, 0, 0, 0 ].
Результат интегрирования этих уравнений позволяет найти положение всех точек оболочки шара в любой момент времени из уравнения
r (t ,u, v ) = r (t ) + R (t ) r0 (u, v ),
T
T
где r (t ) = ( x1 (t ), x2 (t ),a ) r0 (u, v ) = (a cos u sin v,a sin u sin v,a cos v ) ;
R (t ) — матрица поворота,
ж q02 + q12 - q22 - q32
з
R (t ) = з 2 (q0q3 + q1q2 )
з 2 (q q - q q )
1 3
0 2
и
2 (q1q2 - q0q3 )
q02 - q12 + q22 - q32
2 (q0q1 + q2q3 )
2 (q0q2 + q1q3 ) ц
ч
2 (q2q3 - q0q1 ) ч .
q02 - q12 - q22 + q32 чш
Кадры анимации движения шара при различных законах его движения приведены на рис. 37.
Для получения динамических уравнений движения системы
шар – маховики – балансиры воспользуемся теоремами о движении
центра масс и об изменении кинетического момента в относительном движении
mvC = m g + R;
(2.5.6)
K C = r ґ R,
(2.5.7)
где R — реакция неподвижной плоскости.
Дифференцируем уравнение связи (2.5.2) и с помощью получаемого соотношения исключаем реакцию неподвижной плоскости из равенств (2.5.6) и (2.5.7). В результате приходим к уравнению
K C = ma 2 w
.
91
Глава 2. Приложение алгебры кватернионов к некоторым задачам механики
Интегрируя это равнение в предположении о неподвижности шара
в начальный момент времени, находим
K C = ma 2 w.
а
б
в
г
Рис. 37. Кадры анимации при законах движения:
a — x1 = 5 sin 2t ; x2 = 10 sin 2 t ; б — x1 = 5 sin 2j (t ); x2 = 10 sin j (t );
ж 6j 3w ц
ж 15j 7w ц
ж 10j 4w ц
j(t ) = з 5 t - 4 t ч t 5 + з - 4 t + 3 t ч t 4 + з 3 t - 2 t ч t 3; j t = 2p; wt = 0; t = 10;
t
t
t
t
t ш
и
ш
и
ш
и t
3
в — x1 = 4 sin 3t ; x2 = 6 sin 4t ; г — x1 = 5 cos 0.2 t ; x2 = 5 sin 3 0.2 t
В проекциях на оси подвижной системы координат имеем
1 = ma 2 W1 ;
I 1W1 + i1w
2 = ma 2 W2 ;
I 2 W 2 + i2 w
3 = ma 2 W3 ,
I 3W1 + i3w
где Wk — проекции вектора угловой скорости на главные оси,
92
2.5. Математическая модель движения шара Чаплыгина
откуда
1 =
w
ma 2 - I 1
W1 ;
i1
2 =
w
ma 2 - I 2
W2 ;
i2
3 =
w
ma 2 - I 3
W3 .
i3
Для решения задачи управления остается выразить координаты Wk
вектора угловой скорости в подвижной системе координат через функции (2.5.1), определяющие закон движения шара. Для этого достаточно воспользоваться преобразованием
ж W1 ц
ж w1 ц
з ч
з ч
з W 2 ч = Q з w2 ч ,
зw ч
зW ч
и 3ш
и 3ш
где Q — матрица направляющих косинусов,
ж q02 + q12 - q22 - q32
з
Q = RT = з 2 (q1q2 - q0q3 )
з 2 (q q + q q )
0 2
1 3
и
2 (q0q3 + q1q2 )
q02 - q12 + q22 - q32
2 (q2q3 - q0q1 )
2 (q1q3 - q0q2 ) ц
ч
2 (q0q1 + q2q3 ) ч.
q02 - q12 - q22 + q32 чш
Управление движением шара маховиками при заданном законе движения осуществляется по алгоритму
1 =
w
ma 2 - I 1
й q02 + q12 - q22 - q32 x2 - 2 (q0q3 + q1q2 ) x1 щ ;
л
ы
i1a
2 =
w
ma 2 - I 2
й2 (q1q2 - q0q3 ) x2 - q02 - q12 + q22 - q32 x1 щ ;
л
ы
i2 a
(
3 =
w
)
(
)
ma 2 - I 3
йл2 (q0q2 + q1q3 ) x2 - 2 (q2q3 - q0q1 ) x1 щы .
i3a
Координаты кватерниона положения q = [q0 ,q1 ,q2 ,q3 ] находятся
из решения линейного дифференциального уравнения (2.5.6).
В качестве примера найдем законы изменения угловых скоростей
маховиков при движении шара по закону
93
Глава 2. Приложение алгебры кватернионов к некоторым задачам механики
x1 = 5 cos3 0.2t ; x2 = 5 sin 3 0.2t ; 0 Ј t Ј 10 p ,
полагаем при этом, что m = 10; I = diag (10, 20,30 ); i1 = i2 = i3 = 1; a = 2.5.
Результат интегрирования системы дифференциальных уравнений (2.5.5) приведен на рис. 38.
Рис. 38. Графики изменения координат кватерниона ориентации
шара Чаплыгина
Графики изменения проекций угловой скорости шара на неподвижные оси приведены на рис. 39.
ω
ω
ω
Рис. 39. Графики проекций угловой скорости шара Чаплыгина
на неподвижные оси
Графики изменения проекций угловой скорости шара на подвижные оси приведены на рис. 40.
94
2.5. Математическая модель движения шара Чаплыгина
Рис. 40. Графики проекций угловой скорости шара Чаплыгина на подвижные оси
Графики изменения угловых скоростей маховиков приведены
на рис. 41.
ω
ω
ω
Рис. 41. Графики изменения угловых скоростей маховиков
Графики законов вращения маховиков приведены на рис. 42.
φ
φ
φ
Рис. 42. Графики законов вращения маховиков
Кадры анимации движения шара с маховиками приведены на рис. 43.
95
Глава 2. Приложение алгебры кватернионов к некоторым задачам механики
а
б
в
г
Рис. 43. Кадры анимации
[URL: https://www.youtube.com/watch?v=9PVqnH1Ap9A] движения шара:
а — t = 7 с; б — t = 14 с; в — t = 21 с; г — t = 28 с
Варианты задания к расчетной работе
Найти законы изменения угловых скоростей двигателей-маховиков для реализации качения шара Чаплыгина по заданной траектории.
Вариант
m, кг
1
2
3
4
5
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
I1,
I2,
I3,
i1,
i2,
i3,
10–4·кг·м 2 10–4·кг·м 2 10–4·кг·м 2 10–4·кг·м 2 10–4·кг·м 2 10–4·кг·м 2
1
2,5
3
0,1
0,2
0,3
1
2,5
3
0,2
0,1
0,3
1
2,5
3
0,3
0,1
0,2
1
2,5
3
0,2
0,3
0,1
1
2,5
3
0,3
0,2
0,1
Вариант
1
2
3
4
5
96
а, см
0,025
0,025
0,025
0,025
0,025
х1(t), см
0,05sin0,4t
0,05sin0,4t
0,04sin0,2t
0,05cos 30,2t
0,1cos0,25t
х2(t), см
0,1sin 20,2t
0,1sin0,2t
0,06sin0,4t
0,05sin 30,2t
0,05cos0,5t
2.6. Кинематика универсального шарнира
У
ниверсальный шарнир (шарнир Кардана — Гука) — это основной узел карданной передачи — механизма, передающего крутящий момент у валов с пересекающими осями. Карданные передачи
находят широкое применение в автомобилестроении, при изготовлении сельскохозяйственных и дорожных машин, в механическом
оборудовании металлургических производств и пр. Универсальный
шарнир состоит из двух вилок, жестко соединенных с валами, и крестовины (рис. 44).
Рис. 44. Шарнир Кардана — Гука
Универсальный шарнир получил свое название по имени Джероламо Кардано, который описал, не претендуя на авторство, в книге
«Хитроумное устройство вещей» в 1550 г. устройство подвеса, позволяющее сохранять твердому телу свою ориентацию в пространстве.
Конструкция подвеса была известна еще в Древнем Китае и Древней Греции, где он применялся при изготовлении кресла императора,
неопрокидывающихся масляных светильников и чернильниц. Роберт
Гук в 1676 г. впервые предложил использовать универсальный шарнир в силовых передачах при изготовлении астрономических приборов, дав ему соответствующее название. Первые теоретические работы,
97
Глава 2. Приложение алгебры кватернионов к некоторым задачам механики
посвященные кинематике универсального шарнира, выполнены Робертом Уиллисом в 1841 г. и Жан-Виктором Понселе в 1845 г. и были
посвящены установлению связи кинематических характеристик ведущего и ведомого вала. Крестовина универсального шарнира совершает достаточно сложное сферическое движение, но оно легко может
быть описано с помощью кватернионной модели.
Основной результат кинематики универсального шарнира относится к установленной связи между угловой скоростью ведомого вала w2
и угловой скоростью ведущего вала w1, задаваемой в виде соотношения
w2 =
cos a
w1 ,
1 - sin 2 a sin 2 j1
(2.6.1)
где a — угол между осями валов; j1 — угол поворота первого вала.
Этот результат был найден путем дифференцирования по времени
следующего равенства, полученного с помощью геометрического метода
tg j2 = tg j1 cos a ,
(2.6.2)
где j2 — угол поворота второго вала.
Формула (2.6.1) получена при условии, что в начальном положении
вилка ведущего вала расположена в плоскости осей пересекающихся
валов. Если вилка ведущего вала перпендикулярна этой плоскости,
то связь между угловыми скоростями задается в виде соотношения
w2 =
cos a
w1.
1 - sin 2 a cos 2 j1
Для задания ориентации крестовины универсального шарнира используем самолетные углы: J — угол тангажа; y — угол курса; g — угол
крена (рис. 45). При этом ось Ox2 опорной системы координат с началом в центре крестовины направлена вертикально, а ось Ox3 — в горизонтальной плоскости по оси ведущего вала. Угол тангажа J определяется поворотом ведущего вала вокруг оси O x3 опорной системы
против хода часовой стрелки от оси Оx1 к оси Ox2. В результате этого
поворота получается система координат Ox1ўx2ў x3ў. Угол курса y в данной задаче равен нулю. Угол крена g определяет поворот крестовины
вокруг оси Ox1ў от оси Ox2ў к оси O x3ў. В результате последовательного
98
2.6. Кинематика универсального шарнира
выполнения этих поворотов получается связанная с крестовиной система координат Ox1ўўx2ўўx3ўў.
Рис. 45. Пример задания ориентации крестовины с помощью самолетных углов
Справедливо следующее утверждение: для углов J, g и a, определяющих положение крестовины универсального шарнира (рис. 46), в любой момент времени выполняется равенство
tg a tg g cos J = 1.
Для доказательства утверждения находим матрицу направляющих
косинусов преобразования Ox1 x2 x3 ® Ox1ўўx2ўўx3ўў
0
0 ц ж cos J sin J
ж1
з
чз
Q = з 0 cos g sin g ч з - sin J cos J
з 0 - sin g cos g ч з 0
0
и
ши
0 ц
sin J
ж cos J
з
ч
= з - cos g sin J cos g cos J sin g ч, Qij
з sin g sin J - sin g cos J cos g ч
и
ш
0ц
ч
0ч =
1 чш
= eiўўЧ e j ,
где eiўў и e j — базисные векторы систем координат Ox1ўўx2ўўx3ўў и Ox1 x2 x3 .
99
Глава 2. Приложение алгебры кватернионов к некоторым задачам механики
При этом базисный вектор e3ўў представим в виде разложения
e3ўў = Q31e1 + Q32e2 + Q33e3.
Вводя в рассмотрение единичный вектор e оси ведомого вала
e = sin a e2 + cos a e3,
из условия
находим
e3ўў Ч e = 0
sin a sin g cos J - cos a cos g = 0,
откуда
tga tgg cos J = 1.
Из этого равенства следует, что при движении крестовины, угол
крена g меняется по закону
p
- arc tg( tg a cos J(t )).
(2.6.3)
2
Для доказательства равенства (2.6.2) принимаем во внимание, что
e3ўў = sin j2e1 - cos j2 cos a e2 + cos j2 sin a e3 ;
e1ўў = cos J e1 + sin J e2 ; e3ўў Ч e1ўў = 0; j1 = J.
g(t ) =
Находим
sin j2 cos j1 - cos j2 cos a sin j1 = 0,
откуда
tg j2 = tg j1 cos a.
По равенству (2.6.2), с учетом области значений функции
arc tg ( tg j1 cos a ), нельзя записать закон изменения угла поворота ведомого вала на всем интервале времени. При необходимости получения такого закона можно воспользоваться равенством (2.6.1), тогда
t
cos a
j 1dt .
1 - sin a sin 2 j1 (t )
0
j2 = т
2
Для описания сферического движения крестовины воспользуемся
кватернионной моделью, согласно которой координаты единичного
100
2.6. Кинематика универсального шарнира
кватерниона ориентации связаны с самолетными углами соотношениями (1.5.4).
При равномерном вращении ведущего вала с угловой скоростью w,
с учетом равенств (1.5.4), (2.6.3) и y = 0 для координат кватерниона находим
1 йp
wt
щ
q0 = cos cos к - arc tg( tg a cos wt )ъ ;
2
2 л2
ы
1 йp
wt
щ
q1 = cos sin к - arc tg( tg a cos wt )ъ ;
2
2 л2
ы
1 йp
wt
щ
q2 = sin sin к - arc tg( tg a cos wt )ъ ;
2
2 л2
ы
1 йp
wt
щ
q3 = sin cos к - arc tg( tg a cos wt )ъ .
2
2 л2
ы
Положение любой точки крестовины при известном ее начальном
положении определяется функцией
r (t ) = R(t ) r0 ,
где R(t ) — матрица поворота (1.4.4).
p
При значениях w = 0,5 рад/с и a = в пакете компьютерной алгебры
6
выполнены анализ и анимация движения крестовины универсального шарнира [URL: https://youtu.be/DnEq4CxJKig] (рис. 46–48).
γ
Рис. 46. График изменения угла крена крестовины универсального шарнира
101
Глава 2. Приложение алгебры кватернионов к некоторым задачам механики
φ
Рис. 47. График изменения угла поворота ведомого вала
Рис. 48. Графики изменения координат кватерниона ориентации
крестовины универсального шарнира
По координатам кватерниона могут быть найдены проекции вектора угловой скорости на связанные оси из следующих кинематических соотношений:
W1 = 2 (q1q0 - q0q1 - q3q2 + q2q3 ) ;
W2 = 2 (q2q0 - q0q2 - q1q3 + q3q1 ) ;
W3 = 2 (q3q0 - q0q3 - q2q1 + q1q2 ) .
На рис. 49 приведены графики изменения координат вектора угловой скорости
Путем непосредственной проверки можно убедиться, что для вращающейся крестовины справедливо равенство
+ W W = 0.
W
3
1 2
102
2.6. Кинематика универсального шарнира
Рис. 49. Графики изменения проекций вектора угловой скорости крестовины
на связанные оси
Проекции вектора угловой скорости крестовины w i на неподвижные оси записываются в виде равенств
1 = 2 (q1q0 - q0q1 - q2q3 + q3q2 );
w
2 = 2 (q2q0 - q0q2 - q3q1 + q1q3 );
w
3 = 2 (q3q0 - q0q3 - q1q2 + q2q1 ) .
w
На рис. 50 приведены графики изменения координат вектора угловой скорости.
i
w
i
w
i
w
Рис. 50. Графики изменения проекций вектора угловой скорости крестовины
на связанные оси
Угловая скорость ведомого вала также может быть получена из соотношения
Че = w
2 sin a + w
3 cos a.
w2 = w
103
Глава 2. Приложение алгебры кватернионов к некоторым задачам механики
Варианты задания к расчетной работе
Определить угловые скорости крестовины и ведомого вала в указанный момент времени при заданном значении угловой скорости
ведущего вала.
Вариант
1
2
3
4
5
104
ω1, рад/с
2
4
6
8
10
α, град
5
10
15
20
25
t1, с
1
2
3
4
5
2.7. Кватернионная модель вращения Земли
Р
ассмотрим упрощенную кватернионную модель* вращения Земли, полагая, что Земля движется вокруг Солнца по круговой орбите с постоянной угловой скоростью суточного вращения (рис. 51).
Рис. 51. Схема движения Земли
Примем следующие допущения:
1) моделью Земли является шар;
2) центр масс Земли движется равномерно по круговой орбите вокруг Солнца, совершая полный оборот за 8 766 ч (сидерический
год 365 суток по 24 ч);
3) в инерциальной системе отсчета, оси которой направлены к неподвижным звездам, Земля совершает полный оборот вокруг своей
оси за 23 ч 56 мин 4 с, или 23,93 ч (сидерические сутки);
4) угол между осью вращения Земли и перпендикуляром к плоскости эклиптики равен 23°26ʹ14ʺ, или 23,44°;
* Модель разработана при участии канд. физ.-мат. наук Н. П. Копытова.
105
Глава 2. Приложение алгебры кватернионов к некоторым задачам механики
5) земные сутки — интервал времени между двумя подряд следующими пересечениями нулевого меридиана воображаемой линии
между центрами Земли и Солнца, принимается равными 24 ч;
6) пренебрегаем угловым размером Солнца и астрономической рефракцией;
7) за начало отсчета времени принимаетcя момент летнего солнцестояния для нулевого меридиана.
Введем в рассмотрение орбитальную систему координат OxhV с началом в центре масс Земли и следующей ориентацией ее осей: ось Ox
направлена в сторону противоположную движению Земли по орбите,
ось Oh направлена от Солнца, ось OV перпендикулярна плоскости
эклиптики (рис. 52).
Рис. 52. Иллюстрация расположения орбитальной системы координат
В этой системе координат Земля совершает регулярную прецессию с постоянной угловой скоростью прецессии wy , постоянной угловой скоростью собственного вращения wj и имеет постоянный угол
нутации:
wy = -
2p
рад/ч;
365 Ч 24 + 6
wf =
2p
рад/ч ;
23, 93
J0 =
p
Ч 23, 44 рад.
180
Знак минус в выражении угловой скорости wy прецессии обусловлен выбором системы координат.
Отдельно стоит отметить, что не следует путать введенное в данной
модели понятие прецессии с долгосрочной прецессией земной оси относительно полюса эклиптики. Долгосрочная прецессия и нутационные колебания не учитываются в этой модели.
106
2.7. Кватернионная модель вращения Земли
Положение объектов, расположенных на поверхности Земли, будем
определять с помощью единичного кватерниона ориентации
q (t ) = йлq0 (t ) , q1 (t ) , q2 (t ) , q3 (t ) щы ; q02 (t ) + q12 (t ) + q22 (t ) + q32 (t ) = 1.
С учетом прецессионного движения Земли, в системе OxhV координаты кватерниона положения определяются с помощью равенств (1.5.1):
(wy + wj ) t ; q (t ) = sin J0 cos ( wy - wj ) t ;
J
q0 (t ) = cos 0 cos
1
2
2
2
2
(wy - wj ) t ; q (t ) = cos J0 sin (wy + wj ) t .
J0
sin
3
2
2
2
2
Математическая модель вращающейся Земли записывается в виде
равенства
q2 (t ) = sin
ж x1 (u, v ) ц ж R cos wy t ц
ж r cos u sin v ц
ч
з
ч з
з
ч
з x2 (u, v ) ч = з R sin wy t ч + R(t ) з r sin u sin v ч, 0 Ј u Ј 2p, 0 Ј v Ј p,
з x (u, v ) ч з
з r cos v ч
ч
0
и 3
ш и
и
ш
ш
где R — радиус орбиты; R(t ) — матрица поворота; r — радиус Земли.
Фрагмент анимации вращения Земли представлен на рис. 53.
Рис. 53. Кадр анимации вращения Земли [URL: https://youtu.be/sIpof3DH0oQ]
Изменение положения любой точки, связанной с Землей в орбитальной системе координат, находят с помощью преобразования поворота
r (t ) = R (t ) r0 ,
107
Глава 2. Приложение алгебры кватернионов к некоторым задачам механики
где r (t ) и r0 — радиус-векторы текущего и начального положения точки в орбитальной системе координат, а R (t ) — матрица поворота, опре-
деляемая с помощью компонентов кватерниона следующим образом:
ж
1 - 2q22 (t ) - 2q32 (t )
-2q0 (t ) q3 (t ) + 2q1 (t ) q2 (t ) 2q0 (t ) q2 (t ) + 2q1 (t ) q3 (t ) ц
з
ч
1 - 2q12 (t ) - 2q32 (t )
R (t ) = з 2q0 (t ) q3 (t ) + 2q1 (t ) q2 (t )
-2q0 (t ) q1 (t ) + 2q3 (t ) q2 (t ) ч.
з -2q (t ) q (t ) + 2q (t ) q (t ) 2q (t ) q (t ) + 2q (t ) q (t )
ч
1 - 2q22 (t ) - 2q12 (t )
2
0
2
1
3
0
1
3
и
ш
Кватернионная модель вращения Земли позволяет достаточно просто получать время восхода и заката Солнца в любой точке Земли в любой день года, а также определять положение Солнца относительно
объектов,
находящихся на Земле. Введем в рассмотрение вектор оси
Земли a (t ) (направлен от центра Земли к ее географическому северному полюсу). Изменение положения этого вектора определяется в соответствии со следующим уравнением
ж0ц
з ч
a (t ) = R (t ) з 0 ч.
з1ч
и ш
Введем в рассмотрение угол J между вектором нормали к поверхности Земли на заданной широте j Гринвичского меридиана и осью
Земли
J=
p
p
ґ j,
2 180
где j > 0 в Северном полушарии и j < 0 в Южном полушарии.
Положение вектора нормали nj (t ) к поверхности Земли на заданной широте j Гринвичского меридиана определяется по уравнению
ж0ц
з ч
nj = R(t )R J з 0 ч,
з1ч
и ш
0
0 ц
ж1
з
ч
где R J = з 0 cos J - sin J ч — матрица поворота вокруг оси Ox .
з 0 sin J cos J ч
и
ш
Введем в рассмотрение направление на Солнце — вектор s = ( 0, -1, 0 ),
который примем одинаковым для всех точек поверхности земного
108
2.7. Кватернионная модель вращения Земли
шара независимо от широты. Это упрощение часто используется в связи с большим расстоянием между Землей и Солнцем, а также размерами Солнца.
Визуализация положения основных векторов относительно введенной орбитальной системы отсчета в нулевой момент времени (точка
летнего солнцестояния) представлена на рис. 54.
Рис. 54. Визуализация основных векторов в момент летнего солнцестояния
(a — земная ось; n — вектор нормали к поверхности Земли; s — вектор направления на Солнце) в орбитальной системе координат
Введенные величины и операции над ними позволяют получать различную информацию, связанную с движением Земли. Например, график смены дня и ночи, а также время восхода и заката могут быть определены по изменению
угла между вектором нормали
в заданной точке
поверхности nj (t ) и направлением на Солнце s . Если косинус угла
c(t ) = nj Ч s > 0, в данной точке поверхности Земли день, если c(t ) = nj Ч s < 0,
то — ночь. Если c(t ) = nj Ч s = 0 , то это соответствует моментам восхода
либо заката в соответствии со знаком c (t ) до этого момента.
График смены дня и ночи на нулевом меридиане задается с помощью следующей обобщенной функции:
ж
1з
d(t ) = 1 +
2 зз
и
ц
ч;
2 ч
[c(t )] чш
c(t )
м1 - день,
d(t ) = н
о0 - ночь.
109
Глава 2. Приложение алгебры кватернионов к некоторым задачам механики
В качестве примера на рис. 55 приведен график смены дня и ночи
на широте 66° нулевого меридиана.
Рис. 55. График смены дня и ночи на широте 66° нулевого меридиана
(время отсчитывается от 12 ч дня летнего солнцестояния)
Для построения графика смены дня и ночи на заданной долготе l
необходимо добавить соответствующую разницу времени
l
,
15
где l — долгота в градусах (восточная долгота берется отрицательной,
а западная — положительной)
График смены дня и ночи для места с произвольно заданными географическими координатами задается с помощью функции
D(l) =
ж
1
d(t ) = з1 +
2 зз
и
ц
ч.
2 ч
[c(t + D)] чш
c(t + D)
На рис. 56 приведен график смены дня и ночи в Москве (φ = 55.75;
λ = 37.62) в день осеннего равноденствия.
Рис. 56. График смены дня и ночи в Москве
в день осеннего равноденствия
110
2.7. Кватернионная модель вращения Земли
Варианты задания к расчетной работе
Определить продолжительность дня в заданном географическом
пункте.
Вариант
1
2
3
4
5
Город
Москва
Нью-Йорк
Брест
С.-Петербург
Дублин
День
9.05
11.09
22.06
7.11
4.09
Событие
День Победы
Террористические атаки в США
Начало ВОВ
Октябрьская революция
День рождения У. Р. Гамильтона
111
Приложения
Приложение 1. Вывод формулы умножения кватернионов
Умножение кватернионов осуществляется по правилу умножения
многочленов с учетом введенного правила умножения чисел i1 , i 2 , i 3:
i12 = -1, i 22 = -1,
i 32 = -1,
i1 i 2 = i 3 , i 2 i 3 = i1 , i 3 i1 = i 2 ,
i 2 i1 = - i 3 , i 3 i 2 = - i1 , i1 i 3 = - i 2 .
В результате получаем:
(
)(
)
pq = p0 + p1 i1 + p2 i 2 + p3 i 3 q0 + q1 i1 + q2 i 2 + q3 i 3 = p0 q0 + p1 i1q0 +
+ p2 i 2q0 + p3 i 3q0 + p0 q1 i1 + p1 i1q1 i1 + p2 i 2q1 i1 + p3 i 3q1 i1 + p0 q2 i 2 +
+ p1 i1q2 i 2 + p2 i 2q2 i 2 + p3 i 3q2 i 2 + p0 q3 i 3 + p1 i1q3 i 3 + p2 i 2q3 i 3 + p3 i 3q3 i 3 =
= p0 q0 + p1 q0 i1 + p2 q0 i 2 + p3 q0 i 3 + p0 q1 i1 - p1 q1 - p2 q1 i 3 + p3 q1 i 2 +
+ p0 q2 i 2 + p1 q2 i 3 - p2 q2 - p3 q2 i1 + p0 q3 i 3 - p1 q3 i 2 + p2 q3 i1 - p3 q3 =
(
+(p q
) (
)i + ( p q
)
= p0 q0 - p1 q1 - p2 q2 - p3 q3 + p0 q1 + p1 q0 + p2 q3 - p3 q2 i1 +
0 2
+ p2 q0 + p3 q1 - p1 q3
2
0 3
)
+ p3 q0 + p1 q2 - p2 q1 i 3 .
Приложение 2. Свойство произведения кватернионов
r = pq, r = q p
(
) (
)i + ( p q
)
- p q )i
pq = p0 q0 - p1 q1 - p2 q2 - p3 q3 + p0 q1 + p1 q0 + p2 q3 - p3 q2 i1 +
(
+ p0 q2 + p2 q0 + p3 q1 - p1 q3
2
0 3
+ p3 q0 + p1 q2
2 1
3
p = p0 - p1 i1 - p2 i 2 - p3 i 3 ; q =q0 - q1 i1 - q2 i 2 - q3 i 3.
q p = (q0 - q1 i1 - q2 i 2 - q3 i 3 )( p0 - p1 i1 - p2 i 2 - p3 i 3 ) =
= (q0 p0 - q1 p1 - q2 p2 - q3 p3 ) + (q0 p1 + q1 p0 + q2 p3 - q3 p2 ) i1 - (q0 p2 + q2 p0 + q3 p1 - q1 p3 ) i 2 - (q0 p3 + q3 p0 + q1 p2 - q2 p1 ) i 3 ,
112
Приложения
r =r0 - r1 i1 - r2 i 2 - r3 i 3 =
(
-(p q
) (
)i - ( p q
)
= p0 q0 - p1 q1 - p2 q2 - p3 q3 - p0 q1 + p1 q0 + p2 q3 - p3 q2 i1 0 2
+ p2 q0 + p3 q1 - p1 q3
2
0 3
)
+ p3 q0 + p1 q2 - p2 q1 i 3 .
Приложение 3. Свойство нормы кватерниона
q = q q = (q0 + q1 i1 + q2 i 2 + q3 i 3 ) (q0 - q1 i1 - q2 i 2 - q3 i 3 ) =
= q02 - q0q1 i1 - q0q2 i 2 - q0q3 i 3 + q0q1 i1 + q12 - q1q2 i 3 + q1q3 i 2 +
+ q0q2 i 2 + q2q1 i 3 + q22 - q2q3 i1 + q3q0 i 3 - q3q1 i 2 + q3q2 i1 + q32 = q02 + q12 + q22 + q32 .
Приложение 4. Вывод формулы умножения кватернионов,
заданных в геометрической интерпретации
p q = p 0 q0 + p 0 q + pq0 - p Ч q + p ґ q = p 0 q0 + p 0 q1i1 + q2i2 + q3i3 +
+q 0 p1i1 + p2i2 + p3i3 - q1 p1 - q2 p2 - q3 p3 + ( p2q3 - p3q2 ) i1 +
+ ( p3q1 - p1q3 ) i2 + ( p1q2 - p2q1 ) i3 =
= p 0 q0 - q1 p1 - q2 p2 - q3 p3 + ( p 0 q1 + q 0 p1 + p2q3 - p3q2 ) i1 +
+ ( p 0 q2 + q 0 p2 + p3q1 - p1q3 ) i2 +
+ ( p 0 q3 + q 0 p3 + p1q2 - p2q1 ) i3 .
(
)
(
)
113
Библиографический список
К подглаве 1.1. Историческая справка
1. Graves, R. P. Life of Sir William Rowan Hamilton. Vol. II. Ch.
XXVIII / R. P. Graves. — Dublin: University Press, 1885. — 719 p. —
https://archive.org/details/lifeofsirwilliam02grav/page/n72. (дата обращения: 05.08.20). — Загл. с титул. экрана.
2. Полак, Л. С. Уильям Роуэн Гамильтон (к 150‑летию со дня рождения) / Л. С. Полак // Труды института истории естествознания и техники. Т. 15 : История физико-математических наук. —
Москва : АН СССР, 1956. — С. 206–276.
3. Stewart, I. Why beauty is truth: a history of symmetry / I. Stewart. —
New York : Basic Books, 2007. — 304 p.
4. Pritchard, Ch. Flaming swords and hermaphrodite monsters:
Peter Guthrie Tait and the promotion of quaternions. Part II /
Ch. Pritchard // The Mathematical Gazette. — 1998. — Vol. 82,
№ 494. — P. 235–241. — DOI: 10.2307/3620406.
5. Altmann, S. L. Hamilton, Rodrigues, and the quaternion scandal /
S. L. Altmann // Mathematics Magazine. — 1989. — Vol. 62, № 5. —
P. 291–308. — DOI: 10.2307/2689481.
К главе 1. Основные понятия и определения
Амелькин, Н. И. Кинематика и динамика твердого
тела / Н. И. Амелькин. — Москва : МФТИ, 2000. — 64 с.
Арнольд В. И. Геометрия кватернионов / В. И. Арнольд. — Москва : МЦНМО, 2017. – 143 с. ISBN 978-5-4439-1164-9.
Голубев, Ю. Ф. Алгебра кватернионов в кинематике твердого
тела / Ю.Ф. Голубев // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша.— 2013. —
№ 39. — 23 с. — URL: https://keldysh.ru/papers/2013/prep2013_39.pdf
(дата обращения: 05.08.20). — Загл. с титул. экрана.
Конвей, Дж. К64 О кватернионах и октавах, об их геометрии,
арифметике и симметриях / Дж. Конвей, Д. Смит ; пер. с англ.
С. М. Львовского. — Москва : МЦНМО, 2009. — 184 с. — ISBN
978-5-94057-517-7.
114
Дополнительная литература
Ликбез по кватернионам URL: https://nabbla1.livejournal.com/172771.html
(дата обращения: 04.08.20). — Загл. с титул. экрана.
К главе 2. Приложение алгебры кватернионов к некоторым задачам
механики
Бранец В. Н. Применение кватернионов в задачах ориентации
твердого тела / В. Н. Бранец, И. П. Шмыглевский. — Москва :
Наука, 1973. — 320 с.
Гордеев, В. Н. Кватернионы и бикватернионы с приложениями
в геометрии и механике / В. Н. Гордеев. — Киев : Сталь, 2016. —
316 с. — ISBN 978-617-676-099-3.
Ковалев, А. М. Применение параметров Родрига-Гамильтона для исследования прецессионного движения твердого тела
с неподвижной точкой / А. М. Ковалев, Г. В. Горр, Д. А. Данилюк // Тр. ИПММ НАН Украины. — 2014. — Т. 28. — С. 93–
101. — ISSN 1683-4720.
Побегайло, А. П. Применение кватернионов в компьютерной
геометрии и графике / А. П. Побегайло. — Минск : БГУ, 2010. —
216 с. — ISBN 978-985-518-2819.
Севастьянов Н.Н. Концепция построения системы ориентации
и управления движением спутника связи «Ямал». Штатная схема функционирования //Вестник Томского государственного
университета. Математика и механика. 2013, № 2(22). С. 85–96.
Челноков, Ю. Р. Кватернионные модели и методы динамики,
навигации и управления движением / Ю. Р. Челноков. — Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2011. — 500 с. — ISBN 978-5-9221-1270-3.
Dam, Erik B. Quaternions, Interpolation and Animation / Erik B. Dam,
Martin Koch, Martin Lillholm // Technical Report DIKU-TR‑98/5. —
Copenhagen : Department of ComputerScienceUniversity of Copenhagen Universitetsparken, 1998. – 98 s.
Jia, Yan-Bin. Quaternion and Rotation / Yan-Bin Jia. — [s. l.], 2017. —
21 p.
115
Оглавление
Указатель основных обозначений.................................................3
Предисловие.................................................................................4
Глава 1. Основные понятия и определения...................................7
1.1. Историческая справка...........................................................9
1.2. Алгебра кватернионов.........................................................16
Вопросы для самоконтроля к параграфу 1.2......................23
1.3. Вращение твердого тела......................................................24
Вопросы для самоконтроля к параграфу 1.3......................31
1.4. Специальная ортогональная группа вращений SO(3).......32
Вопросы для самоконтроля к параграфу 1.4......................39
1.5. Параметризация поворотов и вращений............................40
Вопросы для самоконтроля к параграфу 1.5......................48
1.6. Кинематические уравнения................................................50
Вопросы для самоконтроля к параграфу 1.6......................55
1.7. Линейная и нелинейная интерполяция кватернионов.....56
Вопросы для самоконтроля к параграфу 1.7......................61
1.8. Нелинейная интерполяция кватернионов
при заданных ограничениях на угловую скорость.............62
Вопросы для самоконтроля к параграфу 1.8......................66
Глава 2. Приложение алгебры кватернионов
к некоторым задачам механики...................................................67
2.1. Визуализация полета самолета по спирали........................69
Варианты задания к расчетной работе...............................71
2.2. Плавное сферическое движение по кратчайшей
траектории через узлы решетки на группе SO(3)...............72
Варианты задания к расчетной работе...............................77
2.3. Оптимальная стабилизация космического аппарата (КА)....78
Варианты задания к расчетной работе...............................83
116
2.4. Эффект Джанибекова.........................................................85
Варианты задания к расчетной работе...............................88
2.5. Математическая модель движения шара Чаплыгина........89
Варианты задания к расчетной работе...............................96
2.6. Кинематика универсального шарнира...............................97
Варианты задания к расчетной работе............................. 104
2.7. Кватернионная модель вращения Земли......................... 105
Варианты задания к расчетной работе............................. 111
Приложения.............................................................................. 112
Библиографический список...................................................... 114
Для заметок
118
Для заметок
119
Учебное издание
Мисюра Наталья Евгеньевна
Митюшов Евгений Александрович
Кватернионные модели
в кинематике и динамике
твердого тела
Редактор И. В. Меркурьева
Верстка О. П. Игнатьевой
Подписано в печать 21.12.2020. Формат 70×100/16.
Усл. печ. л. 9,7. Уч. изд. л. 5,0. Гарнитура Newton.
Бумага офсетная. Тираж 50 экз. Заказ 017.
Издательство Уральского университета
620083, Екатеринбург, ул. Тургенева, 4
Отпечатано в учебной лаборатории
полиграфических машин кафедры
«Металлургические и роторные машины» ИНМТ УрФУ
620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19, ауд. И-120
I SBN 579963150 - 1
9 785799 631505
МИСЮРА НАТАЛЬЯ ЕВГЕНЬЕВНА
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической механики, выпускница мехмата МГУ им. М. В. Ломоносова. Научные интересы:
инвариантные методы математического моделирования в геометрии и механике, алгебра кватернионов в описании кинематики и динамики твердого
тела. Автор курса «Инженерная механика» — победителя IV Международного конкурса Edcrunch Award 2018 в номинации «Лучшая практика создания открытых онлайн-курсов», лауреат премии Правительства Российской
Федерации в области образования за 2019 год.
МИТЮШОВ ЕВГЕНИЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ
Доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической механики, почетный работник высшего профессионального образования РФ. Научные интересы: геометрия, теоретическая механика, механика деформируемого твердого тела, физика конденсированного состояния.
Автор 3 монографий, 300 научных трудов, 12 учебных пособий и учебников, а также курса «Инженерная механика» — победителя IV Международного конкурса Edcrunch Award 2018 в номинации «Лучшая практика создания открытых онлайн-курсов», лауреат премии Правительства Российской
Федерации в области образования за 2019 год.
