Конспект Комплексные числа

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Тема «Комплексные числа»
Цели: 1. Напомнить студентам понятия с лекции «Комплексные числа».
2. Научиться выполнять арифметические операции с комплексными числами
(сложение и вычитание, умножение и деление).
3. Научиться находить целую и мнимую части, модуль комплексного числа, а
также возведение мнимой единицы в степень, решать квадратные уравнения в
комплексных числах.
Порядок выполнения практического занятия
1. Повторить теоретический материал.
2. Изучить схему решения задач.
3. Выполнить задания практической работы для закрепления материала.
4. Решить самостоятельную работу.
5. Ответить на контрольные вопросы
Повторение теоретического материала
Давайте вспомним, о чем шла речь на прошлой лекции. Мы с вами
говорили о том, что расширение множества вещественных чисел состоит в
том, что к действительным числам присоединяются новые числа (мнимые).
Введение этих чисел связано с невозможностью во множестве действительных
чисел извлечения корня из отрицательного числа.
1. Что же называется комплексным числом?
(Комплексным числом называется число вида z = x + iy, где x и y –
действительные числа, i – мнимая единица, то есть число квадрат которого
равен –1, x – действительная часть, y – мнимая часть, если x = 0, то число z =
iy чисто мнимое. Запись z = x + iy – алгебраическая форма записи числа).
2. Какие комплексные числа называются равными?
(Два комплексных числа z1  x1  iy1 и z2  x2  iy2 называются равными
z1  z2 тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их
мнимые
части: x1  x2 , y1  y2 . Понятия
«больше»
и
«меньше»
для
комплексных чисел не вводятся.)
3. Какие числа называются сопряженными?
(Два
комплексных
числа
вида
z  x  iy и z  x  iy
называются
сопряженными).
4. Как представить комплексное число графически?
(Всякое комплексное число z  x  iy можно изобразить точкой M ( x, y )
плоскости Oxy и, наоборот, каждую точку M ( x, y ) координатной плоскости
можно рассматривать как образ комплексного числа z  x  iy. Плоскость, на
которой
изображаются
комплексные
числа,
называется
комплексной
плоскостью. Комплексное число z  x  iy можно также изобразить в виде
радиус-вектора r  OM . ).
5. Что такое модуль числа?
(Длина вектора r  OM  x2  y 2 называется модулем комплексного числа).
6. Что такое аргумент числа и как его найти?
(Угол  , образованный вектором OM с положительным направлением оси
Ox называется аргументом комплексного числа:   Arg z . Аргумент
комплексного числа величина многозначная Arg z  arg z  2 k , , где arg z –
главное значение аргумента.   arg z  (или [0, 2 )). Угол  таков, что
x
y
cos   ; sin   )
r
r
7. Что такое тригонометрическая форма записи комплексного числа?
(Пусть
форма
z  x  iy; r  x 2  y 2 и   arg z. Тогда тригонометрическая
записи
комплексного
x
y
z  r (cos   i sin  ), где cos   ; sin   ).
r
r
8. Как перевести число в тригонометрическую форму?
числа
Для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа
к тригонометрической форме, нужно найти его модуль r 
из аргументов cos  
9.
Как
x 2  y 2 и один
x
y
y
y
; sin    tg  ;   arctg .
r
r
x
x
производятся
операции
умножения
и
деления
в
тригонометрической форме?
Видно, что в тригонометрической форме операции умножения и деления
производятся особенно просто: для того, чтобы перемножить (разделить) два
комплексных числа, нужно перемножить (разделить) их модули и сложить
(вычесть) их аргументы.
10. Что называется формулой Эйлера?
(Показательная и тригонометрические функции в области комплексных чисел
i
связаны между собой формулой e  (cos   i sin  ) , которая носит название
Формулы Эйлера).
Действия с комплексными числами
Давайте еще раз рассмотрим, какие действия можем выполнять с
комплексными числами.
1. Сложение
комплексных чисел.
Для того чтобы сложить два комплексных
числа нужно сложить их действительные и мнимые части.
Пример №1. 𝑧1 = 1 + 3𝑖; 𝑧2 = 4 − 5𝑖
𝑧1 + 𝑧2 = 1 + 3𝑖 + 4 − 5𝑖 = 5 − 2𝑖
2. Вычитание комплексных чисел.
Действие аналогично
сложению,
единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в
скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака.
Пример №2.
𝑧1 − 𝑧2 = 1 + 3𝑖 − (4 − 5𝑖) = 1 + 3𝑖 − 4 + 5𝑖 = −3 + 8𝑖
3. Умножение комплексных чисел. При умножении комплексных чисел
необходимо воспользоваться правилом умножения многочленов: чтобы
умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена
умножить на каждый член другого многочлена и помнить, что 𝐢𝟐 = −𝟏.
Пример №3.
𝑧1 ∙ 𝑧2 = (1 + 3𝑖) ∙ (4 − 5𝑖) = 1 ∙ 4 + 3𝑖 ∙ 4 + 1 ∙ (−5𝑖) + 3𝑖 ∙
(−5𝑖) = 4 + 12𝑖 − 5𝑖 − 15𝑖 2 = 4 + 12𝑖 − 5𝑖 − 15 ∙ (−1) = 4 + 12𝑖 − 5𝑖 +
15 = 19 + 7𝑖.
4. Деление комплексных чисел. Деление чисел осуществляется методом умножения
знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.
𝒛𝟏
Пример №4.
−𝟏𝟏+𝟏𝟕𝒊
𝟒𝟏
5.
=−
𝟏𝟏
𝟒𝟏
+
𝒛𝟐
𝟏𝟕
𝟒𝟏
=
𝟏+𝟑𝒊
𝟒−𝟓𝒊
𝟒+𝟏𝟐𝒊+𝟓𝒊+𝟏𝟓𝒊𝟐
𝟒𝟐 −(𝟓𝒊)𝟐
=
𝟒+𝟏𝟕𝒊−𝟏𝟓
𝟏𝟔+𝟐𝟓
=
𝒊.
Модуль комплексного числа:
Пример №5.
(𝟏+𝟑𝒊)∙(𝟒+𝟓𝒊)
= (𝟒−𝟓𝒊)∙(𝟒+𝟓𝒊) =
|𝑧| = √𝑎2 + 𝑏 2 .
|𝑧1 | = √12 + 32 = √1 + 9 = √10; |𝑧2 | = √42 + (−5)2 =
√16 + 25 = √41.
6. Возведение мнимой единицы в степень.
10
33
21
Пример №6. Возвести в степень комплексные числа i , i , (i)
Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения
10
2 5
5
такова: i  (i )  (1)  1
Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно
33
32
2 16
16
«и», получая четную степень: i  i  i  i  (i )  i  (1)  i 1  i
Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его
необходимо
предварительно
отделить:
(i)21  (1)21  i 21  i  i 20  i  (i 2 )10  i  (1)10  i
7.
Извлечение корней из комплексных чисел.
Квадратное уравнение с комплексными корнями
Пример №7. 𝑧 = √−4
В комплексных числах извлечь корень – можно! А точнее, два корня:
𝑧1 = 2𝑖; 𝑧2 = −2𝑖
Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями.
1  i,
9  3i,
36  6i,
3   3i,
5   5i и т.д.
Во всех случаях получается два сопряженных комплексных корня.
2
Пример 8. Решить квадратное уравнение z  6 z  34  0
Вычислим дискриминант:
D  36  136  100
z1,2 
6  10i
;
2
D  10i
z1,2  3  5i  сопряженные комплексные корни
8. Произведение чисел в тригонометрической форме.
Пусть z1  r1 (cos 1  i sin 1 ) и z2  r2 (cos 2  i sin 2 ), тогда произведение
z1 z2  r1r2 (cos(1  2 )  i sin(1  2 )).
9. Частное чисел в тригонометрической форме.
Пусть
z1  r1 (cos 1  i sin 1 ) и z2  r2 (cos 2  i sin 2 ),
тогда
частное
z1 r1
 (cos(1   2 )  i sin(1   2 )).
z2 r2
10. Возведение числа в тригонометрической форме в целую степень.
z  r (cos   i sin  ) и n  Z ,
Пусть
тогда
степень
z n  r n (cos n  i sin n ).
11. Корень n-ной степени из числа в тригонометрической форме.
Пусть
n
z  r (cos   i sin  ) и n  Z ,
тогда
корень
z
n-ой
степени
  2 k
  2 k 

z  n r  cos
 i sin
.
n
n


Пусть z  r (cos   i sin  ) и n  Z , тогда корень z n-ой степени n различных
значений.
12. Комплексное число в показательной форме.
i
Показательная форма записи комплексного числа имеет вид z  re .
Действия над комплексными числами в показательной форме выполняются по
правилам
степеней:
z1 z2  r1r2 ei (1 2 ) ;
пусть
z1  r1ei1 и z2  r2ei2 ,
z1 r1 i (1 2 )
 e
; z1n  r1n ei1
z2 r2
Задания
тогда
Итак, мы с вами повторили материал лекции, привели алгоритмы
действия над комплексными числами. Используя теоретическую справку по
теме, рассмотрите примеры решения некоторых заданий и решите упражнения
для закрепления темы.
1. Даны
числа
комплексными
z1 и z2 . Выполнить
числами
в
следующие
действия
алгебраической
а ) z1  z2 ; б ) z1  z2 ; в ) z1  z2 ; г ) z1 z2 ; д)( z1  3) z2 
над
форме:
z1  i
2
z2  4i
2. Выполнить действия над числами в тригонометрической форме:
a) z1  z2 ; б ) z1 z2 ; в) z26 .
3. Выполнить действия в тригонометрической форме и представить
результат в тригонометрической, алгебраической и показательной формах.
4. Найти значения корней.
Примеры выполнения
Задание 1
Исходные данные:
Даны числа z1  5  2i, z2  3  i.
Решение:
а ) z1  z2  6  2i  3  i  9  i;
б ) z1  z2  6  2i  3  i  3  3i;
в ) z1  z2  (6  2i )(3  i )  18  6i  6i  2i 2  20;
(6  2i ) (6  2i)(3  i) 27  6i  6i  2i 2 25  12i
г ) z1 z2 



 2,5  1, 2i;
(3  i )
(3  i )(3  i )
9  i2
10
z1  i
(6  2i )i
6i  2i 2
д) ( z1  3) z2 
 2  (6  2i  3)(3  i ) 
 2  (9  2i )(3  i) 
2 
z2  4i
3  i  4i
3  3i
(2  6i )(3  3i )
6  6i  18i  18i 2
12  24i
 25  9i  6i  2i 
 27  3i 
 27  3i 

2
(3  3i )(3  3i )
9  9i
18
2 4
81 9 2 4
79 13
 27  3i 
 i   i  i 
 i
3 3
3 3 3 3
3 3
2
Задание 2
Исходные данные:




Даны числа z1  3(cos 75  i sin 75 ) z2  2(cos15  i sin15 )
Решение:
а) z1  z2  3(cos 75  i sin 75 )  2 (cos15  i sin15 )  6(cos(75  15 )  i sin(75  15 )) 
 6(cos 90  i sin 90 )  6i
б ) z1 z2 
3(cos 75  i sin 75 ) 3
3
 (cos(75  15 ))  i sin(75  15 ))  (cos(60  i sin 60 ) 


2 (cos15  i sin15 ) 2
2
31
3  3 3 3
  
i  
i
2  2 2  4
4
6
в) z26  2(cos15  i sin15   26 (cos(6 15 )  i sin(6 15 ))  64(cos90  i sin 90 )  64i
Задание 3
Исходные данные:
8
 3  3i 
Найти z  

 1 i 
Решение:
а) Переведем числитель в тригонометрическую форму:
r  9  3  12  2 3

3
3

cos  

2
2 3

sin    3   1

2
2 3


 
  
   ; 3  3i  2 3  cos     i sin    
6
6
6





б) Переведем знаменатель в тригонометрическую форму:
r  11  2

cos  

sin  



1
2
1
2



; 1  i  2  cos  i sin 
4
4
4

8
 3  3i 
z  

 1 i 
8


 
   
8
 2 3  cos     i sin      

  
   
 6
 6  



  6 cos      i sin       



  

 6 4
 6 4 
2  cos  i sin 


4
4



8
в)
 

 5 
 5   
 40
  6  cos     i sin       1296  cos  
 12 
 12   
 12

 

 40  
  i sin  
 

 12  



 10 
 10  

 10
 1296  cos  
  i sin  
   1296  cos  2      i sin  
3
 3 
 3 

 3




 



 2 
 2  
 1296  cos      i sin       1296  cos 
  i sin 

3
3 


 3 
 3 


2x
z  1296e 3

 

i

1296 1296 3
 
  
z  1296   cos    i sin     

i  648  648 3i
2
2
3
 3 

Задание 4
Исходные данные:
Найти 4 16.
Решение:
а) Представим в тригонометрической форме -16:
r  (16) 2  16
cos   1

sin   0
   ;  16  16  cos   i sin  
б) Найдем корень:
4
  2 k
  2 k      k 

   k 
16  4 16(cos   i sin  )  2  cos
 i sin
  2  cos  
  i sin  

4
4 

4 2 
 4 2 

в) Найдем различные корни:
 2


2 

k  0  4 16  2  cos  i sin   2 

i   2  2i
4
4
2 

 2

3
3
  
   

k  1  4 16  2  cos     i sin      2  cos
 i sin
4
4
4 2
 4 2 



2
2 


i    2  2i
  2  
2 

 2

5
5





k  2  4 16  2  cos      i sin       2  cos
 i sin
4
4
4

4




2
2 


i    2  2i
  2  
2
2




  3
k  3  4 16  2  cos  
4 2


  3
  i sin  

4 2
7
7


 i sin
   2  cos
4
4


 2
2 


i   2  2i
  2 
2 

 2
Задания к практической работе
Задание 1.
1. z1  3  2i, z2  1  5i
17. z1  3  2i, z2  1  i
2. z1  1  3i, z2  2  4i
18. z1  6  i, z2  1  2i
3. z1  2  i, z2  4  i
19. z1  2  2i, z2  1  3i
4. z1  3  2i, z2  1  5i
20. z1  4  i, z2  1  6i
5. z1  5  i, z2  1  i
21. z1  1  5i, z2  2  i
6. z1  3  2i, z2  4  2i
22. z1  5  i, z2  1  i
7. z1  5  i, z2  1  2i
23. z1  1  3i, z2  2  2i
8. z1  3  i, z2  4  2i
24. z1  4  3i, z2  2  i
9. z1  1  2i, z2  3  2i
25. z1  5  i, z2  1  i
10. z1  4  3i, z2  1  i
26. z1  4  3i, z2  1  i
11. z1  2  i, z2  5  i
27. z1  6  i, z2  2  2i
12. z1  1  i, z2  5  i
28. z1  3  i, z2  1  4i
13. z1  3  3i, z2  1  i
29. z1  5  i, z2  3  3i
14. z1  5  2i, z2  1  i
30. z1  2  2i, z2  4  i
15. z1  6  i, z2  1  i
31. z1  1  5i, z2  2  2i
16. z1  4  i, z2  7  i
32. z1  1  2i, z2  4  3i
Задание 2.
1. z1  8(cos 55  sin 55 ) z2  2(cos 5  sin 5 )
2. z1  5(cos 48  sin 48 ) z2  2(cos12  sin12 )
3. z1  3(cos 70  sin 70 ) z2  2(cos 20  sin 20 )
4. z1  10(cos105  sin105 ) z2  2(cos15  sin15 )
5. z1  12(cos145  sin145 ) z2  2(cos 5  sin 5 )
6. z1  7(cos 255  sin 255 ) z2  2(cos15  sin15 )
7. z1  9(cos168  sin168 ) z2  2(cos12  sin12 )
8. z1  6(cos 40  sin 40 ) z2  2(cos 20  sin 20 )
9. z1  3(cos 40  sin 40 ) z2  2(cos 5  sin 5 )
10. z1  10(cos 75  sin 75 ) z2  2(cos15  sin15 )
11. z1  9(cos123  sin123 ) z2  2(cos12  sin12 )
12. z1  5(cos160  sin160 ) z2  2(cos 20  sin 20 )
13. z1  3(cos 235  sin 235 ) z2  2(cos 5  sin 5 )
14. z1  4(cos 30  sin 30 ) z2  2(cos15  sin15 )
15. z1  2(cos 258  sin 258 ) z2  2(cos12  sin12 )
16. z1  7(cos115  sin115 ) z2  2(cos 20  sin 20 )
17. z1  14(cos 310  sin 310 ) z2  2(cos 5  sin 5 )
18. z1  8(cos 45  sin 45 ) z2  2(cos15  sin15 )
19. z1  6(cos 213  sin 213 ) z2  2(cos12  sin12 )
20. z1  9(cos 70  sin 70 ) z2  2(cos 20  sin 20 )
21. z1  4(cos 40  sin 40 ) z2  2(cos 5  sin 5 )
22. z1  6(cos300  sin 300 ) z2  2(cos15  sin15 )
23. z1  3(cos33  sin 33 ) z2  2(cos12  sin12 )
24. z1  5(cos 250  sin 250 ) z2  2(cos 20  sin 20 )
25. z1  8(cos85  sin 85 ) z2  2(cos 5  sin 5 )
26. z1  10(cos165  sin165 ) z2  2(cos15  sin15 )
27. z1  9(cos 48  sin 48 ) z2  2(cos12  sin12 )
28. z1  5(cos100  sin100 ) z2  2(cos 20  sin 20 )
29. z1  4(cos175  sin175 ) z2  2(cos 5  sin 5 )
30. z1  16(cos120  sin120 ) z2  2(cos15  sin15 )
Задание 3.
 0,5  i  0,5 3 
1. 

 0,5 3  i  0,5 
3
 1  3i 
5. 

 1 i 
6
 1 i 
8. 

 2  2i 
 2 3  2i 
10. 

 3 i 
6
11.(2  12i)
12
 3i 
19. 

 2 
3
25. (1  7i )8
 6 i 
23. 

 2 
3  i  1  i  


6
6

3  i  1  i  

3
18.( 3  3i )3
 0,5  i  0,5 3 
21. 

 0,5 3  i  0,5 
9
 i 1 
24. 

 1 i 
 3 i 
29. 

 2 
3
27.(2  12i )5
12
28. (3  3i)

3
4
26.(9  12i )3
3

4
6
 1  3i 
20. 

 1 i 
 0,8  i  0,8 6 
22. 

 0,8 6  i  0,8 
9. 

15. 

 2 3  2i 
17. 

 3 i 

3  i  1  i  

 1  3i 
12. 

 1 i 
5
14.(1  3i) 6
6

 2 3  2i 
6. 

 3 i 
3
13.(3  3i) 4
 1 i 
16. 

 2  2i 
3. 

2.(2  12i)5
4
 1 i 
4. 

 2  2i 
 1  3i 
7. 

 1 i 
8
30.
i 1
1 i
Задание 4.
1. 4 i
2. 3 8
3. 4 1
4. 4 i
5. 3 27i
6. 36i
7. 3 i
8. 3 27i
9. 36i
10. 3 1
11. 3 27
12. 4 81i
13. 4 16i
14. 3 27
15. 4 81i
16. 4 16i
17. 3 64i
18. 4 81i
19. 16i
20. 3 64
21. 4 81
22. 3 8i
23. 3 64i
24. 4 16i
25. 3 8
26. 16i
27. 3 8
28. 3 8i
29. 3 1
30. 3 8i
Самостоятельная работа
4
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 1
Комплексные числа и действия над ними
1. Выполнить действия над комплексными числами: а)
2. Число a 
3i
; б)
5i
4
1 .
4
представить в алгебраической, тригонометрической и
1 i 3
показательной формах, изобразить геометрически. Вычислить а12 . Решить уравнение
z3  a  0 .
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 2
Комплексные числа и действия над ними
1. Выполнить действия над комплексными числами: а)
1  i
; б)
2i
1  i 3
2 2
представить в алгебраической, тригонометрической и показательной
1 i
формах, изобразить геометрически. Вычислить а12 . Решить уравнение z 3  a  0 .
2. Число a 
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 3
Комплексные числа и действия над ними
1. Выполнить действия над комплексными числами: а)
2. Число a 
3  i
; б)
5i
i .
4
представить в алгебраической, тригонометрической и показательной
1 i 3
формах, изобразить геометрически. Вычислить а12 . Решить уравнение z 3  a  0 .
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 4
Комплексные числа и действия над ними
1. Выполнить действия над комплексными числами: а)
1  i
; б)
2  2i
3
1 .
2 2
представить в алгебраической, тригонометрической и показательной
1 i
формах, изобразить геометрически. Вычислить а12 . Решить уравнение z 3  a  0 .
2. Число a 
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 5
Комплексные числа и действия над ними
1. Выполнить действия над комплексными числами: а)
2. Число a 
2 2
1 i
2i
; б) 1  i .
3i
представить в алгебраической, тригонометрической и показательной
формах, изобразить геометрически. Вычислить а12 . Решить уравнение z 3  a  0 .
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 6
Комплексные числа и действия над ними
1. Выполнить действия над комплексными числами: а)
2. Число a 
2  2i
; б) 1  i .
3i
4
представить в алгебраической, тригонометрической и показательной
1 i 3
формах, изобразить геометрически. Вычислить а12 . Решить уравнение z 3  a  0 .
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 7
Комплексные числа и действия над ними
1. Выполнить действия над комплексными числами: а)
2. Число a 
1  3i
; б) 3 1  i
1  2i
4
представить в алгебраической, тригонометрической и показательной
3 i
формах, изобразить геометрически. Вычислить а12 . Решить уравнение z 3  a  0 .
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 8
Комплексные числа и действия над ними
1. Выполнить действия над комплексными числами: а)
2. Число a 
3i
; б)
3  2i
4
4 .
1
представить в алгебраической, тригонометрической и
3 i
показательной формах, изобразить геометрически. Вычислить а12 . Решить уравнение
z3  a  0 .
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 9
Комплексные числа и действия над ними
1. Выполнить действия над комплексными числами: а)
2. Число a 
3  3i
; б) 3 1  i
4  4i
1
представить в алгебраической, тригонометрической и
3 i
показательной формах, изобразить геометрически. Вычислить а12 . Решить уравнение
z3  a  0 .
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 10
Комплексные числа и действия над ними
1. Выполнить действия над комплексными числами: а)
2. Число a 
4i
; б) 3 1
2  2i
4
представить в алгебраической, тригонометрической и
1 i 3
показательной формах, изобразить геометрически. Вычислить а12 . Решить уравнение
z3  a  0 .
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 11
Комплексные числа и действия над ними
1. Выполнить действия над комплексными числами: а)
2. Число a 
3  2i
; б)
1  3i
 3i
3 i
представить в алгебраической, тригонометрической и
1 i 3
показательной формах, изобразить геометрически. Вычислить а12 . Решить уравнение
z3  a  0 .
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 12
Комплексные числа и действия над ними
1. Выполнить действия над комплексными числами: а)
2. Число a 
1  3i
; б)
2i
3
3 i
3 i
представить в алгебраической, тригонометрической и
1 i 3
показательной формах, изобразить геометрически. Вычислить а12 . Решить уравнение
z3  a  0 .
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 13
Комплексные числа и действия над ними
1. Выполнить действия над комплексными числами: а)
2. Число a 
1  2i
; б)
4i
2 i 2
 3 i
представить в алгебраической, тригонометрической и
1 i 3
показательной формах, изобразить геометрически. Вычислить а12 . Решить уравнение
z3  a  0 .
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 14
Комплексные числа и действия над ними
1. Выполнить действия над комплексными числами: а)
2. Число a 
4i
; б) 3 1  i 3
1  i
 3 i
представить в алгебраической, тригонометрической и
1 i 3
показательной формах, изобразить геометрически. Вычислить а12 . Решить уравнение
z3  a  0 .
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 15
Комплексные числа и действия над ними
1. Выполнить действия над комплексными числами: а)
2. Число a 
3  5i
; б)
1 i
 2 i 2
1 i 3
представить в алгебраической, тригонометрической и
3 i
показательной формах, изобразить геометрически. Вычислить а12 . Решить уравнение
z3  a  0 .
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 16
Комплексные числа и действия над ними
1. Выполнить действия над комплексными числами: а)
2. Число a 
2i
; б)
2i
3
i
1 i 3
представить в алгебраической, тригонометрической и
3 i
показательной формах, изобразить геометрически. Вычислить а12 . Решить уравнение
z3  a  0 .
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 17
Комплексные числа и действия над ними
1. Выполнить действия над комплексными числами: а)
2. Число a 
1  3i
; б)
2  i
 2 i 2
1 i 3
представить в алгебраической, тригонометрической и
3 i
показательной формах, изобразить геометрически. Вычислить а12 . Решить уравнение
z3  a  0 .
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 18
Комплексные числа и действия над ними
1. Выполнить действия над комплексными числами: а)
2. Число a 
2  2i
; б)
3  i
3
1  i
i 3  1
представить в алгебраической, тригонометрической и
3 i
показательной формах, изобразить геометрически. Вычислить а12 . Решить уравнение
z3  a  0 .
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 19
Комплексные числа и действия над ними
1. Выполнить действия над комплексными числами: а)
4  4i
; б)
2  3i
1  i
8 2
представить в алгебраической, тригонометрической и показательной
1 i
формах, изобразить геометрически. Вычислить а12 . Решить уравнение z 3  a  0 .
2. Число a 
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 20
Комплексные числа и действия над ними
1. Выполнить действия над комплексными числами: а)
2. Число a 
2  i2 3
 3 i
3  3i
; б)
1  2i
3
i
представить в алгебраической, тригонометрической и
показательной формах, изобразить геометрически. Вычислить а12 . Решить уравнение
z3  a  0 .
Контрольные вопросы
1. Что такое комплексное число?
2. Что такое мнимая единица?
3. Что такое действительная часть числа?
4. Что такое мнимая часть числа?
5. Какие числа называются сопряженными?
6. Как представить комплексное число графически?
7. Что такое модуль числа?
8. Что такое аргумент числа?
9. Как найти аргумент числа?
10. Как найти сумму комплексных чисел?
11. Как найти разность комплексных чисел?
12. Как найти произведение комплексных чисел?
13. Как найти частное комплексных чисел?
14. Что такое тригонометрическая форма записи комплексного числа?
15. Как перевести число в тригонометрическую форму?
16. Как найти произведение чисел в тригонометрической форме?
17. Как найти частное чисел в тригонометрической форме?
18. Как найти возвести число в тригонометрической форме в целую
степень?
19. Как найти корень n-ной степени из числа в тригонометрической
форме?
20. Формула Эйлера
21. Как представить комплексное число в показательной форме?
22. Как связаны тригонометрическая и показательная формы записи
комплексных чисел?
23. Как найти произведение чисел в показательной форме?
24. Как найти частное чисел в показательной форме?
25. Как найти возвести число в показательной форме в целую степень?
26. Как найти корень n-ной степени из числа в показательной форме?
Отчет о проделанной работе
1. Цель работы.
2. Основные определения.
3. Выписать формулы, необходимые для вычислений.
4. Описание решения заданий.
5. Провести необходимые вычисления.
6. Выполнить самостоятельную работу.
7. Ответить на контрольные вопросы.