Признаки параллельности двух прямых

Признаки параллельности двух прямых
(Г. 7-9; Глава III, § 1, п. 24, 25), урок усвоения теории
1. Обзор математической и методической литературы по теме
- Погорелов А.В. Геометрия: Учебник для 7-11 кл. сред. шк. – 2-е изд. – М.:
Просвещение, 1991. – 384 с.
- Погорелов А.В. Геометрия: Планиметрия. Учебник для 7-9 кл. сред. шк. – М.:
Просвещение, 1997.
- Готман Э.Г., Скопец З.А. Задача одна–решения разные.– К.: Рад. шк.,1988.–173 с.
- Лоповок Л.М. Факультативные задания по геометрии для 7-11 классов: Пособие
для учителей. – К.: Рад. шк., 1990. – 128с.
- Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.
- Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б.
Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.
2. Анализ теоретического материала
Учебник: Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. ср. шк./ Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б.
Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2010
Выделим основные дидактические единицы:
Новые понятия: Параллельные прямые, секущая, накрестлежащие углы,
односторонние углы, соответственные углы.
Новые теоремы: три признака параллельности двух прямых.
Определение параллельных прямых дано через род и видовые отличия. Данное
понятие представлено в четырех формах: натуральной, графической, вербальной и
символической. Понятия секущей и трех видов углов вводится описательно.
Существование параллельных прямых доказано в пункте 12 учебника (две прямые
плоскости, перпендикулярные третьей, не пересекаются). Следовательно, прежде чем
ввести определение параллельных прямых, надо повторить известное ученикам
утверждение.
Между дидактическими единицами рассматриваемой темы имеет место жесткая
связь, а именно:
Вводимые признаки параллельности двух прямых опираются на определения
параллельных прямых, секущей и накрест лежащих, односторонних, соответственных
углов.
Первый признак доказывается с применением приема дополнительных
построений, идея доказательства - свести к свойству прямых, перпендикулярных к
одной и той же прямой. Доказательство многошаговое, поэтому, как показывает
опыт, вызывает у семиклассников большие трудности. Следовательно, уместно
прибегнуть к поиску доказательства признака аналитико-синтетическим методом,
обосновав необходимость дополнительных построений. Степень самостоятельной
поисковой деятельности школьников пока будет невысокой. Доказательство двух
оставшихся признаков может быть проведено синтетическим методом в условиях
самостоятельной деятельности учащихся.
3. Анализ задачного материала
При изучении темы «Признаки параллельности двух прямых» у учащихся необходимо
сформировать следующие умения:
- безошибочно определять секущую прямую, углы, образованные при пересечении
двух прямых секущей
- выявлять параллельность двух прямых;
- доказывать параллельность прямых посредством трех признаков параллельности
прямых;
Анализ задач показал, что в теме «признаки параллельности двух прямых» можно
выделить задачи, в которых даны две прямые и секущая. При решении используются
признаки параллельности прямых. В основном, это задачи на доказательство
(параллельности или непараллельности прямых) или на вычисление и
доказательство с использованием свойств смежных и вертикальных углов. В целом,
задачи этой группы носят дидактический характер.
Разработка конспекта урока
Тип урока: Урок усвоения теории
Учебная задача урока: усвоение школьниками теории по теме «Признаки параллельности двух
прямых», на основе теоретического опроса и решения дидактических задач по теме.
Диагностируемые цели: в результате урока ученик:
-знает:
Определение параллельных прямых, определение секущей, какие углы называются
накрестлежащими, односторонними, соответственными, три теоремы-признака о параллельности
двух прямых.
-умеет:
Формулировать определения, формулировать признаки, производить их доказательства.
применять признакипараллельности двух прямых при решении дидактических задач.
- понимает:
Взаимосвязь понятий и теорем в теме
Методы обучения:репродуктивный, частично-поисковые.
Средства обучения: традиционные, презентация.
Форма работы: фронтальная, индивидуальная.
Структура урока:
Мотивационно-ориентировочный этап (7 Мин.)
Актуализация
Мотивация
Постановка учебной задачи
Планирование решения учебной задачи
Содержательный этап(28 Мин.)
Рефлексивно-оценочный этап (10 Мин.)
Подведение итогов урока
Постановка домашнего задания
Мотивационно-ориентировочная часть
I .Актуализация
Действия учителя
Идёт устная работа по
рисункам.
-На рисунке изображены
3 прямые.
-Укажите верные
утверждения:
А)∠1 и ∠3вертикальные;
Б)∠5 и ∠1односторонние;
В) ∠ 7 и∠6 –
соответственные;
Действия ученика
А) Да
Б) Нет
В) Да
Г) Да
Д) Да
Е) Нет
Записи в тетрадях
Г) ∠5 и ∠3 –накрест
лежащие;
Д) ∠2 и ∠4 -смежные
Е) ∠7 и ∠1 –накрест
лежащие;
Ж) ∠3 и ∠7 –
односторонние.
-Какие прямые на
плоскости называются
параллельными?
Ж) Да
- Две прямые на плоскости
называются
параллельными,
если они не пересекаются.
- Укажите на рисунках пары
параллельных прямых.
-На рисунках изображены
пересечения двух прямых
секущей
-На рисунке показано, что
углы 4 и 6 равны. как
называются эти углы? что
мы можем сказать про
прямые a и b?
-Сформулируйте первый
признак параллельности
двух прямых
-На рисунке показано, что
углы 2 и 6 равны. Как
называются эти углы? что
мы можем сказать про
прямые a и b?
-Сформулируйте второй
признак параллельности
двух прямых.
-На рисунке углы 3 и 6 в
сумме дают 180 градусов.
Как называются эти углы?
что мы можем сказать про
прямые a и b?
- Сформулируйте третий
-Углы 4 и 6 накрест лежащие,
прямые a и b параллельные
- Если при пересечении двух
прямых секущей накрест
лежащие углы равны, то прямые
параллельны.
-Углы 2 и 6 соответственные,
прямые a и b параллельные
- Если при пересечении двух
прямых секущей
соответственные углы равны, то
прямые параллельны.
-Углы 3 и 6 односторонние,
прямые a и b параллельные
- Если при пересечении двух
прямых секущей сумма
признак параллельности
двух прямых.
односторонних углов равна
180°, то прямые параллельны.
∠3+∠6=180о
II.Мотивация и постановка учебной задачи урока
Вы
изучили
три
очень
интересные теоремы, должны
уметь их доказывать. Вот это я
сегодня проверю на уроке. А
так же вы начнёте учиться
применять
изученные
теоремы при решении задач.
III.Содержательный этап
Действия учителя
Даётся письменный опрос по
доказательству признаков.
Нужно продумать, как с
учеников спрашивать
доказательство, т.к. они по
сложности разные. Даются по
одной дидактической задачи в
опрос на каждый вариант.
Макс,не забудь ту задачу
которую ты в презентации
сделал лишней,ее раздробить
как раз в этот письменный
опрос.
-Решим следующую задачу.
Задача №1. (№188)
Отрезки AB и CD пересекаются в
их общей середине. Докажите,
что AC || BD.
Поиск решения?
-Сравните треугольники СОА и
DОВ?
Действия ученика
Записи в тетрадях
Дано: АО=ОВ, СО=ОD.
Доказать:АС∥ВD.
Прежде чем говорить об углах 1,
2…, их нужно обозначить в
решении, а зачем эти углы
вводятся обсудить в поиске
решения
∠1=∠2(как вертикальные)
∆СОА=∆DOB по первому
признаку. Какие условия
Доказательство:
-Что мы получили?
признака выполняются?
-Какие это углы?
∠3=∠4
-Накрест лежащие
Поскольку эти углы являются
накрест лежащими при прямых
АС и ВD и секущей АВ, то по
первому признаку
параллельности прямых что мы
получаем?
- АС∥ВD по первому признаку
что и требовалось доказать.
Где чёткое со всеми
пояснениями оформление
доказательства в тетрадях
учащихся?
В конце решения обсудите,
какая ещё пара равных углов
позволила бы сделать вывод о
параллельности данных
прямых.
Задача №2: Как предъявляется
учащимся?
На рисунке ∠2=45⁰, ∠7 в 3 раза
больше ∠2. Докажите, что а∥b.
Поиск решения?
Чему равен угол 7?
Можем ли мы найти угол 5?
Как мы найдем угол 4?
Найдем сумму углов 4 и 5
Какими являются углы 4 и 5?
Тогда, поскольку сумма
односторонних углов равна
, то что мы можем сказать
о прямых а и b?
что и требовалось доказать.
Где чёткое со всеми
пояснениями оформление
доказательства в тетрадях
учащихся?
В конце решения обсудите,
какие ещё пары углов
позволили бы сделать вывод о
параллельности данных
прямых. Сколько здесь
вариантов решения задачи?
IV.Рефлексивно-оценочный этап
-Какова была цель урока?
АО = ОВ
СО = О𝐷
{
∠1 = ∠2(как вертикальные)
Тогда, по первому признаку
равенства треугольников,
∆СОА=∆DOB, из равенства
треугольников следует,
что∠3=∠4, а они накрест
лежащие при пересечении
прямых АС и ВD, секущей АВ,
следовательно по первому
признаку АС∥ВD
Дано: ∠2=45⁰, ∠7=3∠2 .
Доказать: а∥b.
∠7=3∙45⁰=135⁰
∠5=∠7=135⁰(как вертикальные)
∠4=∠2=45⁰(как вертикальные)
∠5+∠4=135⁰+45⁰=180⁰
односторонними
-они параллельны по третьему
признаку.
Доказательство:
∠7=3∙45⁰=135⁰
∠5=∠7=135⁰(как вертикальные)
∠4=∠2=45⁰(как вертикальные)
∠5+∠4=135⁰+45⁰=180⁰-сумма
односторонних
Следовательно по третьему
признаку а∥b.
-проверить
доказательство
признаков
параллельности двух
прямых и начать учиться применять изученные
-Достигли мы её?
-Как мы её достигли?
-Итак, с каким основным понятием мы работали
сегодня на уроке?
-Дайте ему определение
-сформулируйте первый признак параллельности
двух прямых?
-сформулируйте второй признак параллельности
двух прямых?
-сформулируйте третий признак параллельности
двух прямых?
теоремы
при решении задач.
-да
-писали опрос по доказательству
параллельности двух прямых
Рассмотрели различные решения
двух задач, в которых
приходилось использовать признаки.
-параллельные прямые.
признаков
- Две прямые на плоскости называются
параллельными, если они не пересекаются.
- Если при пересечении двух прямых секущей
накрестлежащие
углы
равны,
то
прямые
параллельны.
- Если при пересечении двух прямых секущей
соответственные углы равны, то прямые
параллельны.
- Если при пересечении двух прямых секущей сумма
односторонних углов равна 180°, то прямые
параллельны.
-домашнее задание: №№ ?.
Доказательство:
1) ∆ABC - равнобедренный, т.к. AB=BC, значит ∠1=∠2
(свойство равнобедренного треугольника)
2) ∆CDE - равнобедренный, т.к. CD=ED, значит
∠3=∠4 (свойство равнобедренного треугольника)
Доказать: AB||BC
Дано: AB=BC, AD=DE, ∠C=70°, ∠EAC=35°
Доказать: DE||AC
3) ∠2=∠3 (как вертикальные)
∠1=∠2, ∠3=∠4 (из 1 и 2)
∠1=∠2=∠3=∠4
А так как ∠1 и ∠4-канрест лежащие при прямых AB,
DE и секущей AE, то по признаку параллельности
прямых AB||DE, что и требовалось доказать.
Доказательство:
1) т.к. AB=BC, то ∠A=∠C=70° (свойство
равнобедренного треугольника)
2) т.к. ∠EAC=35°
∠A=70°
∠DAE=35°
3) т.к. ∆ADE - равнобедренный,
то ∠DAE=∠DEA=35° (свойство)
4) ∠DEA=∠EAC=35°
∠DEA и ∠EAC - накрест лежащие при прямых DE и
AC и секущей AE
DE||AE (по признаку), чтд
Доказательство:
1) т.к. CK - биссектриса ∠BCE, то ∠BCK=∠KCE=40°
2) ∠BAC и ∠KCE -соответственные при прямых AB,
CK и секущей AC
∠BAC=∠KCE=40°
AB||CK по признаку, чтд.
Дано: ∆ABC, ∠A=40°, ∠BCE, ∠ACB - смежные
∠BCE=80°, CE - биссектриса ∠BCE
Доказать: AB||CK
Дано: ∆ABC, ∠A=40°, ∠B=70°, BC-биссектриса ∠ABD
Доказать: AC||BD
Доказательство:
1) т.к. BC-биссектриса ∠DBA и ∠ABC=70°, то
∠DBA=140°
2) ∠DBA и ∠A - односторонние при прямых BD, AC и
секущей AB
∠DBA+∠A=140°+40°=180°
DB||AC по признаку, чтд.
Летучка для студентов: