Множество вопросов к зачету/экзамену по спецкурсу «Комбинаторика слов» (Шур А.М.)

Множество вопросов
к зачету/экзамену по спецкурсу «Комбинаторика слов»
(Шур А.М.)
1. Слова и языки. Конкатенация. Уравнение XY=YX. Примитивные слова. Отношение
сопряженности. Сохранение примитивности. Классы сопряженности. Уравнение XY=YZ.
2. Периоды слова. Экспонента слова. Свойство взаимодействия периодов. Теорема ФайнаВильфа. Точность оценки. Следствие о числе различных букв в слове.
3. Частичные слова. Глобальные и локальные периоды ЧС. Длина взаимодействия.
Невзаимодействие локальных периодов. Теорема о взаимодействии периодов ЧС. Модель
сервисного робота и взаимодействие периодов. Сведение взаимодействия периодов к
реберной связности двудольного графа.
4. Локальный период слова в точке. Теорема о критическом разбиении.
5. Лексикографический порядок. Слова Линдона-Ширшова. Экспонента слов Л-Ш. Теорема
Линдона.
6. Морфизмы. Задание бесконечных слов морфизмами. Слова Туэ-Морса. Избегаемость.
Избегаемые экспоненты. Теорема Туэ о 2-избегаемости экспоненты 2+.
7. Слова Аршона. 3-избегаемость экспоненты (7/4)+.
8. Гипотеза Дежан. Доказательство нижней оценки. Кодировка Пансьё.
9. Задача о бесповторной раскраске графа. Число Туэ. Теорема о числе Туэ для деревьев.
Число Туэдля циклов: циклические слова, минимальные квадраты и граф К 3,3 .
10. Максимальные повторы. Теорема о числе максимальных повторов (runs theorem).
11. Палиндромы в словах, их минимальное и максимальное количество. Палиндромно
богатые слова и степенные представления (run-length encodings). Оценка числа богатых слов
через разбиения натуральных чисел.
12. Матожидание числа палиндромов и квадратов в случайных словах. Верхняя оценка.
Матожидание встречи фиксированного подслова: массив границ, многочлен границ и
формула Гуибаса-Одлыжко.
13. Комбинаторная сложность языка. Сложность бесконечного слова. Теорема МорсаХэдлунда о поведении сложности БС. Сложность слова Фибоначчи. Слова Штурма. Теорема
классификации бесконечных слов, порожденных морфизмами.
14. Комбинаторная сложность регулярных языков. Связь индекса роста и матрицы
смежности. Вычисление индекса роста: обеспечение сходимости метода простой итерации.
15. Использование регулярных приближений для оценки индекса роста языков, избегающих
экспоненты.
Полезные источники включают в себя, к примеру,
Шур А.М., Комбинаторика слов. Учебное пособие. Изд-во УрГУ, 2003.
Шур А.М., Комбинаторика слов и ее приложения.
http://compsciclub.ru/courses/wordscombinatorics/2015-spring/
Choffrut C., Karhumäki J., Combinatorics of words. In: Rosenberg G., Salomaa A. Eds., Handbook
of formal languages. Berlin, 1997. V.1, Ch.6.
Hideo Bannai, Tomohiro I, Shunsuke Inenaga, Yuto Nakashima, Masayuki Takeda, Kazuya
Tsuruta, The “runs” theorem. http://arxiv.org/abs/1406.0263