Тема 7. ГРАФЫ Примеры решения задач. 1. Задание: Для заданного графа Х2 Х1 Х4 Х3 Х5 определить: а) цикломатическое число; б) число внутренней устойчивости; в) число внешней устойчивости; г) хроматическое число. Решение: а) цикломатическое число графа можно найти по формуле: N n p Число ребер графа: N 5 . Число вершин графа: n 5 . Граф является связным, поэтому p 1 . Тогда цикломатическое число графа N n p 5 5 1 1. Цикломатическое число равно наибольшему количеству независимых циклов. На рисунке наглядно представлено, что у графа один цикл. Х2 Х1 Х4 Х3 Х5 б) число внутренней устойчивости показывает максимальное количество несмежных вершин. У данного графа можно выбрать только по две вершины, которые не будут смежными и смогут образовывать внутренне устойчивое множество, например: x1 , x3 , x1 , x4 , x1 , x5 , x2 , x4 , x2 , x5 . Любые три вершины между собой оказываются смежными. Поэтому число внутренней устойчивости графа 2 . Х2 Х1 Х3 Х4 Х5 в) число внешней устойчивости показывает минимальное число вершин, которые связаны со всеми остальными вершинами графа. У графа нет одной такой вершины, в которую бы попадали ребра из всех остальных вершин. Поэтому одна вершина не сможет образовать внешне устойчивое множество, а вот две вершины смогут. У данного 35 графа в вершину x3 попадают ребра из вершин x2 , x4 и x5 , а оставшуюся вершину x1 следует рассматривать вместе с вершиной x3 , которые вместе и будут образовывать внешне устойчивое множество x1 , x3 . Также будут образовывать внешне устойчивое множество вершины x1 , x4 , x1 , x5 , x2 , x3 , x2 , x4 , x2 , x5 . Больше двух вершин нет смысла рассматривать, так как при нахождении числа внешней устойчивости графа следует выбирать минимальное количество вершин, которые образуют внешне устойчивое множество. Таким образом, число внешней устойчивости графа 2 . Х2 Х1 Х4 Х3 Х5 г) хроматическое число показывает наименьшее число цветов, с помощью которых можно раскрасить вершины графа так, что никакие две смежные вершины не будут окрашены в один и тот же цвет. Для раскраски данного графа требуется как минимум три цвета, поэтому хроматическое число графа 3 . Х2 Х1 Х4 Х3 Х5 2. Задание: Для заданного графа Х1 Х4 Х2 Х3 построить: а) матрицу смежности; б) матрицу инциденций; в) матрицу достижимостей. Решение: а) построим матрицу смежности: 36 Элемент i -ой строки и j -го столбца матрице смежности равен 1, если имеется дуга из i -ой вершины в j -ую вершину, и равен 0 в противном случае. x1 x2 x3 x4 x1 0 1 0 0 x2 1 0 1 1 x3 0 0 1 1 x4 0 0 0 0 б) построим матрица инциденций: Это матрица с n строками, соответствующими вершинам, и m столбцами, соответствующими дугам. Для ориентированного графа столбец, соответствующий дуге ( x , y ) , содержит 1 в строке, соответствующей вершине x , -1 в строке, соответствующей вершине y и нули во всех остальных строках. Петлю, т.е. дугу вида ( x , x ) , удобно представлять другим значением, например 2, в строке x . U1 Х1 U2 U3 Х4 x1 x2 x3 x4 U6 Х2 U4 Х3 U5 U1 U 2 U 3 U 4 U 5 U 6 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 1 0 0 1 в) построим матрицу достижимостей: Элемент i -ой строки и j -го столбца матрицы достижимостей равен 1, если существует путь любой длины из i -ой вершины в j -ую вершину, и равен 0 в противном случае. x1 x2 x3 x4 x1 1 1 1 1 x2 1 1 1 1 x3 0 0 1 1 x4 0 0 0 1 37 3. Задание: Для графов G1 и G2 найти G1 G2 , G1 G2 , G1 G2 . x1 x2 x2 x1 G2 x4 G1 x3 x3 Решение: Представим граф G1 и G2 как множество вершин и отображение вершин: G1 : X1 x1 , x2 , x3 , x4 G2 : X 2 x1 , x2 , x3 Г1 X1 : Г1x1 x1 , x2 , x3 Г 2 X 2 : Г 2 x1 x3 Г1x2 x3 Г 2 x2 x1 , x3 Г1x3 Г 2 x3 x3 Г1x4 x3 Объединением графов G1( X1 , Г1 X1 ) и G2 ( X 2 , Г 2 X 2 ) называется такой граф G( X , ГX ) , у которого множество вершин есть сумма множеств вершин объединяемых графов X X1 X 2 , а отображение есть сумма отображений объединяемых графов ГX Г1 X1 Г 2 X 2 . G( X , ГX ) G1 G2 : G : X x1 , x2 , x3 , x4 ГX : Гx1 x1 , x2 , x3 Гx2 x1 , x3 Гx3 x3 Гx4 x3 G G1 G2 x2 x1 x4 x3 Пересечением графов G1( X1 , Г1 X1 ) и G2 ( X 2 , Г 2 X 2 ) называется такой граф G( X , ГX ) , у которого множество вершин есть пересечение множеств вершин X X 1 X 2 , а отображение есть пересечение отображений перемножаемых графов ГX Г1 X 1 Г 2 X 2 . 38 G( X , ГX ) G1 G2 : G : X x1 , x2 , x3 ГX : Гx1 x3 Гx2 x3 Гx3 x2 x1 G G1 G2 x3 Прямым (декартовым) произведением графов G1( X1 , Г1 X1 ) и G2 ( X 2 , Г 2 X 2 ) называется граф G( X , ГX ) , для которого X X1 X 2 и ГX Г1 X1 Г 2 X 2 . G( X , ГX ) G1 G2 : G( X , ГX ) : X ( x , x ),( x , x ),( x , x ),( x , x ),( x , x ),( x , x ), 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 ( x3 , x1 ),( x3 , x2 ),( x3 , x3 ),( x4 , x1 ),( x4 , x2 ),( x4 , x3 ) Обозначим каждую получившуюся вершину через yi , i 1,..,12 , тогда получим: X y1 , y2 , y3 , y4 , y5 , y6 , y7 , y8 , y9 , y10 , y11 , y12 . G( X , ГX ) G1 G2 : ГX : Гy1 y3 , y6 , y9 Гy2 y1 , y3 , y4 , y6 , y7 , y9 y4 Гy3 y3 , y6 , y9 y12 Гy4 y9 y3 Гy5 y7 , y9 y10 y9 y2 Гy6 y9 y6 y8 Гy 7 Гy8 Гy9 Гy10 y9 Гy11 y7 , y9 Гy12 y9 y1 G G1 G2 y5 y11 y7 Задачи для решения: 1. Для заданного графа определить: а) цикломатическое число; б) число внутренней устойчивости; в) число внешней устойчивости; г) хроматическое число. 39 1. X2 X3 X6 X1 X2 X3 X1 X5 3. 2. X4 X4 X5 X3 4. X1 X2 X2 X1 X5 5. X5 X4 X2 6. X4 X3 X4 X3 X2 X4 X7 X1 X3 X1 7. X5 8. X2 X1 X5 X2 X3 X3 X5 9. X6 X1 X1 X4 1 0. X3 X4 X5 X4 X2 X1 X3 X2 X5 X5 X4 2. Для заданного графа построить: а) матрицу смежности; б) матрицу инциденций; в) матрицу достижимостей. 40 1. X1 X5 X2 2. X1 X2 X4 X4 3. X3 X5 4. X5 X3 X5 X1 X2 X1 X2 X4 X3 X4 X3 X2 5. X1 X6 7. 6. X3 X5 X6 X5 X6 8. X1 X4 X6 X1 X3 1 0. X1 X6 X4 X6 X5 X3 X5 X4 X2 X3 X2 9. X1 X4 X2 X1 X2 X3 X5 X4 X2 X3 X4 X5 3. Для графов G1 и G2 найти G1 G2 , G1 G2 , G1 G2 . 41 G1 1. X1 G2 X2 X1 X3 X2 X1 X2 X1 X2 X1 X2 X1 X3 X1 X3 X3 X1 G2 X2 X1 X3 G2 X1 10. X2 X3 X2 G1 X3 X2 G2 X2 X1 8. X2 G1 9. G1 X3 G2 X2 X3 X1 X2 X1 G2 X2 X1 6. X3 G1 X2 X3 X3 G2 X3 7. X1 X3 G1 X1 G1 4. X1 X3 G2 X2 X3 G2 X2 5. X1 X3 G1 3. G1 2. X2 X3 G2 G1 X1 X2 X3 X1 X2 X3 42
