Идиатуллин Ильдарx

10 класс
1971
1971
1) Числа 2
и5
Идиатуллин Ильдар Флюрович
МБОУ СОШ №7 г.Туймазы
выписаны одно за другим. Сколько всего цифр выписано?
Решение:
1971
1971
1971
Пусть 2 - m- значное число, а 5 - n- значное число. Тогда 10m–1 < 2
<
1971
10m, 10n–1 < 5 < 10n. Перемножаю эти неравенства, и получаю: 10m+n–2 < 10 1971
< 10m+n, следовательно, m + n = 1971+1=1972.
Ответ: 1972.
2) Найти действительные решения уравнения:
(x-1)(x-3)(x+5)(x+7)=297
Решение:
(х-1)(х-3)(х+5)(х+7) = 297, умножаю (х-1) на (х-3) и (х+5) на (х-7), получаю:
(х2 + 4х – 5)(х2 + 4х – 21) – 297 = 0.
Ввожу обозначение: х2 + 4х – 13 = у.
Преобразую уравнение к виду: (у – 8)(у + 8) – 297 = 0, отсюда
у2 – 64 – 297 = 0; у2 = 361; у1= +19, . у2= -19.
Возвращаюсь к исходной переменной:
х2 + 4х– 13 = -19 <=> х2 + 4х +6=0 , D= - 8, D<0, нет действительных корней.
х2 + 4х -13 = 19 <=> х2 + 4х – 32 = 0.
Решаю уравнение по теореме, обратной теореме Виета х1 + х2 = – 4 и
х1 * х2 = – 32. Откуда х1 = – 8 , х2 = 4.
Ответ: – 8; 4.
3) Найти положительное четырехзначное число, кратное 7 и представляющие собой
сумму куба и квадрата некоторого целого числа.
Ответ: положительное четырехзначное число 2940 - кратно 7;
2940= 980+980+980 - сумма куба;
2940=735+735+735 +735– сумма квадрата.
1
2
14
4) Зная, что x  x  1  0 , определить x  14 .
x
Решение:
x - не равняется 0. Делю уравнение х2+х+1=0, почленно на x , получил x+1 + (1 /
x) = 0, или x+ (1 / x) = -1 . Умножаю данное уравнение почленно на x. Получаю:
x3+x2+x=0 , отсюда x3=-(x2+x), а так как х2+х= - 1, то х3= 1;
Раскладываю x14 = (x3)4x2
x14+1/x14=(x3)4x2+1/(x3)4x2=(1) 4х2+1/(1)4х2= x2+(1/x2) = (x+(1/x))2-2=1-2= -1.
Ответ: -1.
2 x2  6 x  6
5) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции: y  2
x  4x  5
6) Доказать, что в круге радиусом 10 нельзя поместить 400 точек так, чтобы
расстояние между каждыми двумя было больше 1.
Доказательство:
1) Круг радиуса 10 имеет площадь 100π . Если расстояние между двумя точками
равно 1, то круги радиуса 0,5 с центрами в этих точках касаются друг друга.
Площадь 400 таких кругов радиуса 0,5 равна 400· π· 0,52=100π . Если такие круги
поместить вплотную друг к другу, то они займут площадь большую, чем 100π кв.
единиц, так как между кругами будут зазоры. Отсюда ясно, что их нельзя
поместить в круг радиуса 10 единиц. Тем более нельзя поместить 400 точек в
этот круг так, чтобы расстояние между ними было больше, чем единица.
2) Пусть в круге радиуса 10 размещены 400 точек. Предположим, что расстояние
между каждыми двумя точками больше 1. Опишем вокруг каждой точки малый
круг радиуса 0,5. Эти круги окажутся внутри круга радиуса 11, площадь
которого равна 121 π . Сумма площадей малых кругов радиуса 0,5 равна
400·π·0,52 = 100π. Так как 100π < 121 π , то по принципу Дирихле два малых
круга имеют общую точку. Следовательно, расстояние между их центрами не
больше 1. Таким образом, в круге радиуса 10 нельзя поместить 400 точек так,
чтобы расстояние между каждыми двумя было больше 1 по мере, двух данных
отрезков.
7) Показать, что если
, то разность между средним арифметическим и
средним геометрическим этих чисел находится между
и
.
Решение:
Разность между средним арифметическим и средним геометрическим данных
чисел:
𝑎+𝑏
2
- √𝑎𝑏= (√𝑎 + √𝑏)2 / 2
Определяю знак разности:
(√𝑎 − √𝑏)2 / 2 – (a – b)2 / 8a = (√𝑎 − √𝑏)2 / 8a * (4a – (√𝑎 − √𝑏)2) = (√𝑎 − √𝑏)2 /
8a *(3a-b- 2√𝑎𝑏)
Это выражение положительно: первый множитель положителен по условию, а
второй можно представить в виде: (a – b)+2 a – 2√𝑎𝑏 > (a – b) +2√𝑎 (√𝑎 − √𝑏) > 0.
Так же положительна разность у выражения: (a – b)2 /8b - (√𝑎 − √𝑏)2 / 2 = (√𝑎 −
√𝑏)2 / 8b * ((√𝑎 + √𝑏)2) – 4 b) , первый множитель положителен, а второй (a – b)
+2 (√𝑎𝑏- b) > 0.
8) Круг радиуса R катится внутри круга радиуса 2R (без скольжения). Какие линии
описывают точки катящегося круга?
9) Доказать, что сумма
не зависит от a.
Доказательство:
Применяю формулу для суммы косинусов:
cosα+( cos(720+α)+ cos(288o+α))+( cos(1440+α)+ cos(216o+α))=
= cosα+2 cos(180o+α) cos 108o+2 cos(180o+α) cos 36o=
= cosα+2 cosα cos 72o-2 cosα cos 36o= cosα(1+2( cos 72o- cos 36o))=
= cosα(1-2 sin 54o sin 18o)= cosα(1-4 cos 36o sin 18o)=
= cosα(1-4 cos 36o sin 18o cos 18o/ cos 18o)= cosα(1-2 cos 36o sin 36o/ cos 18o)=
= cosα(1- sin 72o/ cos 18o)=0.
10)
В шахматном турнире участвовало 8 человек, сыгравших по одной партии с
каждым из остальных участников. Все они набрали различное количество очков.
Шахматист, занявший второе место, набрал столько же очков, сколько четыре
последних вместе. Как сыграли между собой шахматисты, занявшие третье и
седьмое места?
Решение: Шахматисты, занявшие четыре последних места, сыграли между
собой 6 партий. Поэтому все вместе они набрали не меньше 6 очков.
Так как каждый игрок сыграл в турнире 7 партий, то победитель мог набрать
максимум 7 очков. Поскольку победитель набрал больше очков, чем игрок,
занявший второе место, то последний не мог набрать 6,5 очка, т.к. это означало
бы, что у победителя было бы тогда 7 очков, т.е. он выиграл бы все партии, а у
второго игрока было бы поражение. Значит, игрок, занявший второе место
набрал 6 очков.
Поэтому шахматисты, занявшие четыре последних места, набирали очки только
во встречах друг с другом, а всем остальным участникам проиграли. Значит
игрок, занявший третье место, выиграл у игрока, занявшего седьмое.
Ответ: Игрок, занявший третье место, выиграл у игрока, занявшего
седьмое.