Урок 6 . Тема урока «Применение производной к построению графиков функций». Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны знать таблицу производных, правила дифференцирования, а также темы «Возрастание и убывание функции», «Экстремумы функции». Цели урока: 1) образовательная: знакомство учащихся с общей схемой исследования функции методом построения графика чётной и нечётной функции, обучение проведению исследования и построению графика; 2) воспитательная: воспитание требовательного отношения к себе при самостоятельном изучении нового материала; 3) развивающая: развитие наблюдательности, умения рассуждать и аргументировать свои действия. Оборудование: кодоскоп, записи на доске, карточки, сигнальные карточки (зелёная-красная). Тип урока: урок – теоретическое и практическое исследование. Ход урока I. Организационный момент (Сообщение темы целей урока) II.Проверка домашнего задания (Выполняется устно) - Назовите промежутки убывания, возрастания, экстремумы функции. III. Актуализация опорных знаний Задание 1. Тест. (Задания выполняются по вариантам с последующей взаимопроверкой по кодоскопу) - По изображенному графику установите соответствие между каждым интервалом (А- Е) и характером поведения функции на этом интервале. Вариант I. Интервалы: А=(-3;0); В(-2;0); С=(-2;2); Д(0;3); Поведение: 1) убывает; 2) возрастает; 3) имеет минимум; 4) имеет максимум. Ответы: А2; В2; С4; Д1; Е(1;3); Е1. Вариант II. Интервалы: А=(-3;-1); В=(1;3); С=(-1;1); Поведение: 1) убывает; 2) возрастает; Ответы: А2; В3; С4; Д1; Д=(0;2); Е=(-2;0); 3) имеет минимум; 4) имеет максимум. Е2. - Обменяйтесь тетрадями, проверьте работу соседа. Поднимите зелёную карточку, у кого нет ошибок. Поднимите красную карточку, у кого 1 ошибка. IV. Работа с учебником (Самостоятельное изучение нового материала по плану , записанному на доске.) План: 1) Прочитать текст параграфа «Применение производной к построению графиков функций». 2) Записать в тетрадь схему исследования функции. 3) Записать с учителем образец решения задания 2(оно приводится ниже). 4) Рассмотреть метод построения графика четной (нечетной) функции на примере одной из задач учебника. Образцы решений. Задание 2. Постройте график функции f(x)=х3-2х2+х Решение. 1. Область определения D(f)=R. 2. Найдём производную f/(x)=(x3-2x2+x)/=3x2-4x+1 3. Найдём критические точки, решив уравнение f/(x)=0 3x2-4x+1=0 (3х-1)(х-1)=0 Х1=1, х2=1/3. 4. Найдём промежутки возрастания и убывания, используя метод интервалов и правило чередования знаков. 1 3 Для производной f/(x)=3x2-4x+1=3(x-1/3)(x-1) имеем три интервала знакапотоянства (-∞; ); 1 ( 3 ;1); (1; +∞). 1 Имеем 0 ∈ (-∞ 3) и f/(0)=1>0 .Значит, f/(x)>0 на промежутках (-∞; 1 ) 3 и (1; +∞), и значит, 1 функция возрастает на этих промежутках. А т.к. f/(x)<0 на промежутке ( 3 ; 1), значит, функция убывает на этом промежутке. 5. При переходе через точку х=1/3 знак производной меняется с «+» на «-», значит, это точка максимума. При переходе через точку х=1 знак производной меняется с «-» на «+», значит, это точка минимума. Значения в экстремумах равны: 1 1 1 1 4 f(3)=(3)3 – 2(3)2 +3=27, f(1)=13-2˙12+1=0 6. Составим таблицу по результатам исследований. Х (- ;1/3) 1/3 (1/3;1) 1 (1;+ ) + 0 - 0 + f(x) 4/27 7. Найдём абсциссы точек пересечения графика с осью Ох: Х=0 или х=1 8. Построим график функции. V. Творческое задание Задание 3. Завершите эскиз графика функции, зная, что у=f(x) – четная функция. Задание 4. Завершите эскиз графика функции, зная, что у=f(x) – нечетная функция. 0 Задание 5. Закончите фразу. 1) График четной функции симметричен относительно… (оси Оу). 2) График нечетной функции симметричен относительно… (начала координат (0;0)). VI. Закрепление изученного материала Задание 6. Постройте график функции. (Работа над заданиями ведётся на доске и в тетрадях) У=6х Решение. 1. D(f)=R 2. Функция у(-х)=6(-х) чётная, график симметричен относительно Оу. Исследуем на (0;+ ). 3. Находим производную у= 4. Находим критические точки: у=0. 5. Промежутки возрастания и убывания. Х 0 (0;1) 1 (1;+ ) f(x) 0 + 0 - f(x) 0 2 Экстремумы min max 6. График. VII. Подведение итогов урока - По какой схеме проводится исследование свойств функции? Ответ: Надо найти: 1. Область определения функции( D(f)=R) 2. Производную 3. Стационарные точки (f(x)=0)/ 4. Промежутки возрастания и убывания(методом интервалов). 5. Точки экстремума и значение функции в этих точках. 6. а) Точки пересечения с осью Ох (если возможно); б) несколько дополнительных точек графика (для более точного построения). Домашнее задание Задание 7. Построить график функции: а) у=2+3х-х б) у=3х+1/3х